自然哲學的數學原理 · 研究哲學的規則

在前面的兩卷中，我已陳述了［自然］哲學的原理，然而它們不是哲學的而只是數學的，即是，在哲學之事的討論中能以此作為基礎。這些原理是運動的和力的定律及條件，它們主要是關於［自然］哲學的。為了不使這些原則看起來空洞無物，我用一些［自然］哲學解釋對它們加以說明，處理的論題是普遍的並且看起來［自然］哲學亟應建立在其上，如物質的密度和阻力，沒有物體的空間，以及光的和聲音的運動。下面，由相同的原理，我們證明宇宙的系統的構造。關於這個論題我曾以通俗的方式寫成第三卷，使得它能被更多的人閱讀。但那些沒有充分理解這裡建立的原理的人，一定不會感受結論的力量，他們也不會拋棄偏見，對此多年來他們已經習慣；所以，為了不引起爭論，我把那一卷的內容以數學的風格改為命題，使得它只能被那些掌握前兩卷所建立的原理的人閱讀。但因為那裡有很多命題出現，即使對於精通數學的讀者也要用去很多時間，作者不願建議任何人研究每一個命題，只要仔細地閱讀定義，運動的定律和第一卷的前三部分，然後轉到本卷《論宇宙的系統 》，而且可隨意查閱這裡所引用的前兩卷的其他命題。 規則 I 對自然事物的原因的承認，不應比那些真實並足以解釋它們的現象的為多。 哲學家如是說：自然絕不為無用之事，且在較少即成時，多則無用。因為自然是簡單（simplex）的且不沉迷於過多的原因。 規則 II 且因此，對同類的自然效果，應儘可能歸之於相同的原因。 例如對人和動物的呼吸；石頭在歐洲和在美洲的下落；灶火的光和太陽的光；光在地球上和在行星上的反射。 規則 III 物體的性質，它們既不能被增強又不能被減弱，並且屬於所能做的實驗中所有物體的，應被認為是物體的普遍性質。 因為物體的性質不能被知道，除非通過實驗，且因此普遍的性質是任何與實驗普遍地符合的性質；且它們不能被減小亦不能被除去。無疑我們不應輕率地產生反對實驗證據的臆想，亦不應該離開自然的相似性，由於她習慣於單純且其自身總是和諧的。我們不能知道物體的廣延，除非通過我們的感覺，並非所有的廣延都能被感覺到，但由於廣延在所有能感覺到的物體中被發現，它被普遍地歸之於所有的物體。由經驗，許多物體是堅硬的。又由於整個物體的堅硬來源於其部分的堅硬，我們合理地斷言不僅被我們感覺到的物體，而且所有其他物體的不可分的小部分的堅硬性。我們不是由理性而是由感覺推斷出所有物體是不可入的。那些我們觸到的物體被發現是不可入的。且由此我們得出不可入性是所有物體的一個普遍性質。所有物體是可運動的，且物體在運動或者靜止是被某種力（我們稱它為惰性力）保持，這從我們看到的物體所發現的性質推斷出來。整個物體的廣延性、堅硬性、不可入性，可運動性和惰性力起源於部分的廣泛性，堅硬性、不可入性、可運動性和惰性力；且由此我們得出結論：所有物體的每一最小的部分是廣延的、堅硬的、不可入的，可運動的且具有惰性力。且這是整個哲學的基礎。此外，從現象我們得知，物體已被分割但鄰接在一起的部分能彼此分開，且由數學，未被分割的部分一定能由理性區分為更小的部分。但是，那些被區分而未被分割的部分能否由自然界的力分割並彼此分開，未可預定。但是如果單獨一個實驗能確定在粉碎一個堅硬和結實的物體時，任意未被分割的小部分能被分割，由這條規則的力量，我們推斷出不僅被分割的部分是可分離的，而且未被分割的部分能被分割，以至無窮。 最後，如果由實驗和天文觀測普遍地確立，地球附近所有的物體有向著地球的重力，且它與每個物體的物質的量成正比，又月球向著地球有與其自身的物質的量成比例的重力；另一方面，我們的海洋亦有向著月球的重力，再者所有的行星彼此有重力，此外彗星有向著太陽的類似的重力：由這個規則必須承認所有物體普遍有朝著彼此的重力。的確，來自現象的證據對於普遍的重力比對物體的不可入性更為有力；對於它［不可入性］，在天體的情形，我們既沒有實驗，也全然沒有觀測。然而，我絕不斷言重力對物體是本質的（essentialis）。通過固有的力我僅指惰性力。這是不變的。當物體退離地球時，重力被減小。 規則 IV 在實驗哲學中，由現象通過歸納推得的命題，在其他現象使這些命題更為精確或者出現例外之前，不管相反的假設，應被認為是完全真實的，或者是非常接近於真實的。 應遵從這條規則，使得歸納論證不被假設消除。 天象 天象 I 諸環木行星 （43） （Planetas circumjoviales），向木星的中心引半徑，畫出的面積與時間成比例，且它們的循環時間，恆星靜止不動，按照它們離同一個中心的距離的二分之三次比。 這由天文觀測確立，這些行星的軌道與木星的同心圓之差感覺不到，且發現在這些圓上它們的運動是均勻的。天文學家一致承認它們的循環時間按照它們的軌道的半直徑的二分之三次比；且由下表這是顯然的。 木星的衛星的循環時間 1d .18h .27′.34″ 3d .13h .13′.42″ 7d .3h .42′.36″ 16d .16h .32′.9″ 利用最好的測微儀，龐德 先生以如下方式確定木星的衛星的角距和木星的直徑。第四顆衛星離木星的中心的最大的日心角距，用帶測微儀的15呎長的一架望遠鏡，且在木星離地球的平均距離上得出約為8′.16″。第三顆衛星的最大的角距，用帶測微儀的123呎長的一架望遠鏡，且在木星離地球的相同的距離上得出為4′.42″。其餘衛星的最大的角距，在木星離地球的相同的距離上，從循環時間得出為2′.56″.47和1′.51″.6。 用帶測微儀的123呎長的一架望遠鏡測量木星的直徑多次，且約化為木星離太陽或者地球的平均距離時，得到的總小於40″，但從不小於38″，大多為39″。在較短的望遠鏡中，這個直徑為40″或者41″。因木星的光由於其不等的折射性而略有擴張，且這一擴張比木星的直徑所具有的比，在長而完善的望遠鏡中小於在短而較不完善的望遠鏡中的比。木星的第一和第三兩顆衛星穿過木星的本體 （44） ，從它們開始進入到它們開始離開的時間，以及從完全進入到完全離開的時間，藉助同樣長的望遠鏡被觀測到。且木星的直徑，在它離地球的平均距離上，由第一顆衛星的穿過得到為 ″，又由第三顆衛星的穿過得到為 ″。木星的第一顆衛星的陰影穿過木星的本體的時間，亦被觀測到了，且由此得出木星的直徑在它離地球的平均距離上約為37″。我們假設它的直徑很接近 ″；則第一、第二、第三和第四顆衛星的最大的角距分別等於5.965、9.494、15.141和26.63個木星的半直徑。 天象 II 諸環土行星 （45） （Planetas circumsaturnios），向土星的中心引半徑，畫出的面積與時間成比例，且他們的循環時間，恆星靜止不動，按照它們離同一個中心的距離的二分之三次比。 的確，卡西尼 從他自己的觀測如此確定它們離土星中心的距離以及循環時間。 土星的衛星的循環時間 1d .21h .18′.27″2d .17h .41′.22″4d .12h .25′.12″15d .22h .41′.14″79d .7h .48′.00″ 按照[土星]環的半直徑，衛星離土星中心的距離 由觀測推得第四顆衛星離土星的中心的最大的角距常常很接近八個［土星環的］半直徑。但這顆衛星離土星中心的最大的角距，由惠更斯 的123呎長的望遠鏡確定，它帶有極好的測微儀，得到八又十分之七個［土星環的］半直徑。且由這個觀測和循環時間，衛星離土星的中心的距離按照環的半直徑為2.1、2.69、3.75、8.7 和25.35。在同一望遠鏡中，土星的直徑比環的直徑如同3比7，又在1719年5月28日和29日得到環的直徑為43″。且由此環的直徑在土星離地球的平均距離上為42″，土星的直徑為18″。在最長和最好的望遠鏡中，這些結果就是如此，因為在較長的望遠鏡中看到的天體的視大小與在那些物體邊緣光的擴張的比大於在較短的望遠鏡中看到的。如果捨棄所有散亂的光，被保留的土星的直徑不大於16″。 天象 III 五個一等行星：水星、金星、火星、木星和土星以自己的軌道圍繞太陽。 水星和金星圍繞太陽運行，由它們有與月球類似的相而被證明。當這些行星渾圓閃爍時，它們位於太陽以外；當半圓時，位於太陽的一側；月牙狀時，位於太陽這邊，有時它們像斑點一樣穿過太陽的圓盤。從火星接近與太陽合時的渾圓，以及在與太陽成九十度時的凸圓形狀，無疑它環繞太陽。木星和土星總是渾圓的相，對他們同樣的事情被證明；從它們的衛星投射在它們上面的陰影，它們以借自太陽的光閃爍是顯然的。 天象 IV 五個一等行星，以及或者太陽環繞地球或者地球環繞太陽的循環時間，恆星靜止不動，按照它們離太陽的平均距離的二分之三次比。 這個由克卜勒 發現的比已被所有的人接受。事實上，無論太陽環繞地球，還是地球環繞太陽，循環時間是相同的，軌道的尺寸也是相同的。關於循環時間的測量在天文學家中間是普遍同意的。但是在所有天文學家中，克卜勒 和布利奧 是從觀測確定軌道大小的最勤奮者，且平均距離，它們與循環時間對應，與這兩個人發現的距離相差不明顯，且大多位於它們之間，如從下表可以看出 （46） 。 關於水星和金星離太陽的距離，由於這些距離是通過它們離太陽的距角確定的，現在已無爭議之處。關於更靠上的行星離太陽的距離的爭議，已被利用木星的衛星的食所消除。因為由那些食，木星投射的陰影的位置被確定，且這給出木星的日心經度。再由日心經度和地心經度的相互比較，木星的距離被確定。 天象 V 諸一等行星，向地球引半徑，畫出的面積絕不與時間成比例；但向太陽引半徑，畫出的面積與經過的時間成比例。 因為相對於地球，它們有時順行，有時停留，有時甚至逆行；但相對於太陽它們總是順行，且以幾乎是均勻的運動，但在近日點稍微迅速，在遠日點稍微遲緩，且如此畫出的面積是相等的。這是天文學家最為熟悉的一個命題，且尤其是對木星由衛星的食而作出的證明，我們說過，通過這些食這顆行星的日心經度和它離太陽的距離被確定。 天象 VI 月球，向地球的中心引半徑，畫出的面積與時間成比例。 從月球的視運動與它的視直徑的比較這是顯然的。事實上，月球的運動受到太陽的力的些微攝動，但感覺不到絲毫的誤差，在述說這一天象時，我略而不論。 命題 命題I 定理I 力，由它們諸環木行星不斷地被拉離直線運動並被保持在自己的軌道上，向著木星的中心，且與它們的位置離同一中心的距離的平方成反比。 這個命題的前一部分由天象一以及第一卷中的命題二或者命題三是顯然的；且後一部分由天象一以及同一卷中的命題四系理六是顯然的。 對於行星，它們伴隨土星，由天象二能理解同樣的事情。 命題II 定理II 力，由它們諸一等行星不斷地被拉離直線運動並被保持在自己的軌道上，向著太陽，並且與它們離太陽的中心的距離的平方成反比。 這個命題的前一部分由天象五以及第一卷中的命題二是顯然的；且後一部分由天象四以及同一卷中的命題四是顯然的。但命題的這個部分由遠日點的靜止而以極大的精確性被證明。因為對二次比的一個極小的偏離（由第I卷命題XLV系理1），必然引起拱點在每次運行中的顯著運動，在多次運行中這一運動應是巨大的。 命題III 定理III 力，由它月球被保持在自己的軌道上，向著地球，且與它的位置離地球中心的距離的平方成反比。 這個命題的前一部分由天象六以及第一卷命題二或者命題三是顯然的；且後一部分是由於月球的遠地點的極緩慢的運動。因為這項運動，在每次運行中僅前行三度又三分，可以忽視。因為（由第I卷命題XLV系理1）如果月球離地球中心的距離比地球的半直徑如同D∶1；力，由它如此的運動能被引起，與 成反比是顯然的，亦即，與D的指數為 的冪成反比，這就是，按照距離的略大於二次的一個反比，但接近二次的程度比接近三次的程度大 倍。但這項運動起源於太陽的作用（正如後面要證明的），且所以在這裡可以忽略。太陽的作用，就它拖拉月球離開地球而言，很近似地如同月球離地球的距離；且因此（由在第I卷命題XLV系理2中所證明的）比月球的向心力近似地如同2比357.45或者1比 。且如果太陽的如此小的力被忽略，剩餘的力，由它月球被保留在軌道上，與D2 成反比。通過比較這個力與重力，這將會被更充分地證明，正如下一個命題所做的。 系理 如果平均的向心力，由它月球被保持在它的軌道上，先按照 比 之比增大，其次再按照地球的半直徑比月球的中心離地球中心的平均距離的二次比增大：則得到在地球表面上月球的向心力，假設那個力降至地球表面時，持續按照高度的二次反比增大。 命題IV 定理IV 月球向著地球有重量，且由重力它持續被拉離直線運動，並被保持在她自己的軌道上。 月球在朔望時離地球的平均距離，按照托勒密和大多數天文學家，是59個地球的半直徑，按照文德林和惠更斯 是60，按照哥白尼是 ，按照斯特里特是 ，按照第谷是 。然而第谷以及所有遵循他的折射表的人，指定太陽和月球的折光差（與光的性質全然不合）大於恆星的折光差，這大約為四分或者五分，月球的視差被增大了相同的度數，這就是，大約增大了整個視差的十二分之一或者十五分之一。這些誤差被修正後，則距離成為大約 個地球的半直徑，這接近其他人指定的值。我們假定［月球］在朔望時的平均距離為六十個地球的半直徑；且相對於恆星月球在27天7小時43分鐘完成一次循環，正如已由天文學家所確立的；且地球的周長，按法蘭西 人測量所確定的，為123249600巴黎 呎；再者如果想像月球的整個運動被奪去且它離開，使得它受到那整個力的推動，由它（依命題III的系理）月球被保持在自己的軌道上，落向地球；在一分鐘的時間，下落畫出 巴黎 呎。這由計算得到，或者用第一卷命題XXXVI，或者（這得出同樣的結果）用同一卷中的命題四引理九完成。因為那個弧，它由月球在一分鐘的時間，由其平均運動在六十個地球的半直徑的距離畫出，其正矢約為 巴黎 呎，或者更精確些，15呎1吋又 吩。因此，由於那個力靠近地球時按照距離的二次反比增大，且所以在地球的表面上比在月球上大60×60倍；一個物體以那個力在我們的區域下落，在一分鐘的時間應畫出60×60× 巴黎 呎，在一秒鐘的時間畫出 呎，或者更精確些15呎1吋又 吩。且重物的確以相同的力向地球下落。因為一個擺，在巴黎 城的緯度，按每秒鐘振動，其長度為三巴黎 呎又 吩，如惠更斯 觀察到的。且高度，它由重物下落在一秒鐘的時間畫出，比這個擺的長度的一半，按照一個圓的圓周比它的直徑的二次比（正如也是由惠更斯 指出的），且因此為15巴黎 呎1吋又 吩。所以，力，由它月球被保持在自己的軌道上，如果降至地球的表面，變成等於我們面前的重力，且因此（由規則I和II）那個力自身正是我們通常所說的重力。因為如果重力與它不同，奔向地球的物體由兩個力的聯合以加倍的速度下降，且在一秒鐘的時間下落畫出 巴黎 呎：這與實驗完全不符合。 這一計算建立在地球是靜止的假設之上。因為如果地球和月球圍繞太陽運動，且同時也圍繞它們的重力的公共中心運行；重力的定律被保持，月球的和地球的中心彼此相距約 個地球的半直徑；正如進行計算所揭示的。且可用第I卷命題LX進行計算。 解釋 這一命題的證明可以更詳細地解釋如下。如果許多月球圍繞地球運行，如同在土星的或者木星的系統中那樣；它們的循環時間（由歸納論證）遵循由克卜勒 對行星所發現的定律，且所以由本卷的命題I，它們的向心力與離地球的中心的距離的平方成反比。且如果它們中最低的一個月球較小，且幾乎觸到最高山的山頂；其向心力，由它被保留在軌道上，很接近地等於（由前面的計算）在那些山頂上的物體的重力，且如果同一小月球在其軌道中前進的所有運動被奪去，這引起離心力的缺失，由它小月球被保持在軌道上，它落向地球，且速度與重物在那些山頂上下落的速度相同，因為使它們下降的力相同。且如果那個力，由它最低的那個小月球下降，不同於重力；又那個小月球按在山頂上的物體的方式有向著地球的重量：同一個小月球受到兩個力的聯合作用，以兩倍的速度下降。所以，由於兩種力，即這些重物的［重力］，和那些小月球的［向心力］，向著地球的中心，且彼此相似又相等，它們有（由規則I和II）相同的原因。且所以那個力，由它月球被保持在自己的軌道上，正是我們通常所說的重力；如果若不是如此，山頂上的小月球或者沒有重力，或者以二倍於通常物體下落的速度下落。 命題V 定理V 諸環木行星向著木星有重量，諸環土行星向著土星有重量，諸環日行星向著太陽有重量；由於自身的重力行星總被從直線運動上拉離，並被保持在曲線的軌道上。 因為環木行星圍繞木星運行，環土行星圍繞土星運行，且水星和金星以及其他環日行星圍繞太陽運行，與月球圍繞地球運行是同類現象；且所以（由規則II）依賴同類的原因；特別地由於已經證明，力，那些運行依賴它們，向著木星的、土星的和太陽的中心，且從木星、土星和太陽退離時減小的比和定律，與從地球退離時重力減小的比和定律相同。 系理1 所以，向著所有行星的重力被給定。因為金星、水星和其餘的行星與木星和土星無疑是同一種類的物體。又由運動的第三定律，所有的吸引是相互的，木星向著它的所有的衛星，土星向著它的所有的衛星，地球向著月球，且太陽向著所有的一等行星有重量。 系理2 重力，它向著每一顆行星，且與位置離行星的中心的距離的平方成反比。 系理3 由系理1和系理2，所有行星相互有重量。且因此木星和土星接近會合時相互牽引，顯著地攝動彼此的運動，太陽攝動月球的運動，太陽和月球攝動我們的海洋，正如隨後所解釋的。 解釋 到目前為止，那個力，由它天體被保持在自己的軌道上，我們稱之為向心力。現在很清楚它與重力是相同的，且因此以後我們稱之為重力。因為那個向心力的原因，由此力月球被保持在軌道上，由規則I、II和IV，應擴展到所有的行星。 命題VI 定理VI 所有物體向著每一顆行星有重量，且向著同一顆行星的重量，在離行星的中心相等的距離上，與每一個物體所含的物質的量成比例。 其他人久已觀察到，所有的重物［從同一高度］向地球下落（至少除去不相等的遲滯，它起源於空氣的很小的阻力）在相等的時間發生；且用擺能以極高的精確性確定時間的相等性。我曾試驗過的物品有金、銀、鉛、玻璃、沙、食鹽、木頭、水、小麥。我得到兩個圓形且相等的小盒。一個塞滿木頭，且在另一個的振動中心（我儘可能地精確）懸掛相同重量的金。小盒由相等的十一呎長的線懸掛，使製成的擺，其重量、形狀和［遇到的］空氣的阻力完全相同：則同等的振動，處於並排的位置，同時向前和向後很長時間。因此在金中的物質的量（由第II卷命題XXIV系理1和6）比在木頭中的物質的量，如同作用在整個金上的引起運動的力比作用在整個木頭上的相同的作用；這就是，如同金的重量比木頭的重量。對其餘的物質亦是如此。重量相同的物體，質量相差即使小於總質量的千分之一，在這些實驗中我也能清楚地察覺到。現在，重力朝向行星的特性與朝向地球的特性是相同的，已無可懷疑。想像這個地球上的物體升高直到月球的軌道，且與月球一起被奪去所有運動並放開，於是一起向地球下落；則由剛才所證明的，無疑它們在相等的時間畫出的空間與月球畫出的相等，且所以，它們比在月球中的物質的量，如同它們自身的重量比月球自身的重量。此外，因為木星的衛星的運行時間按照它們離木星中心的距離的二分之三次比，它們向著木星的加速重力與離木星中心的距離的平方成反比；且因此在離木星的距離相等的地方，它們的加速重力成為相等。所以，自相等的高度［向木星］下落，在相等的時間畫出相等的空間；正如重物在我們地球上所發生的。由同樣的論證，環日行星，在離太陽相等的距離處放開，它們向太陽下落，在相等的時間畫出相等的空間。且力，由它們不相等的物體被同等地加速，如同物體；這就是，［行星朝向太陽的］重量如同行星的物質的量。此外，由第I卷命題XLV系理3，土星和它的衛星向著太陽的重量與它們的物質的量成比例，由衛星的極規則的運動這是顯然的。因為如果這些星體中的某幾個受到向著太陽的牽引與其餘的所受到的相比，大於按照它們的物質的量的比例；衛星的運動（由第I卷命題LXV系理2）由於吸引的不等性而被攝動。如果在離太陽等距的地方，某顆衛星向著太陽依其自身的物質的量，按照任意給定的比，設為d比e，較木星依其自身的物質的量更重；太陽的中心和衛星的軌道的中心之間的距離總大於太陽的中心和木星的中心之間的距離，且很近似地按照那個比的二分之一次方；正如過去我由計算發現的。且如果衛星按照那個比d比e向著太陽較輕，則衛星的軌道的中心離太陽的距離按照那個比的二分之一次方小於木星的中心離太陽的距離。且因此，如果離太陽的距離相等，任何一顆衛星向著太陽的加速重力僅以總重力的千分之一大於或者小於木星向著太陽的加速重力，則衛星的軌道的中心離太陽的距離以整個距離的 ，亦即，最外面的衛星離木星的距離的五分之一大於或者小於木星離太陽的距離：軌道的這個偏心率是非常顯著的。但衛星的軌道與木星是同心的，且所以木星和［它的］衛星向著太陽的加速重力彼此相等。又由同樣的論證，土星及它的伴侶向著太陽的重量，在離太陽相等的距離，如同它們各自的物質的量；月球和地球向著太陽的重量或者沒有，或者精確地與它們的物質成比例。但由命題V系理1和3，它們有重量。 再者，每顆行星的各個部分向著其他任一顆行星的重量彼此之間如同在各個部分中的物質。因為，如果某個部分的重力大於，另一部分小於按物質的量的比：則整個行星的重力，按照在其中最豐富的部分的種類，大於或者小於按照整個物質的量的重力。但與那些部分靠外或者靠里沒有關係。因為，例如，若想像大地上的物體，它們在我們的周圍，並被升高到月球的軌道上，且與月球的本體相比；如果這些物體的重量比月球外面部分的重量如同在它們中的物質的量，但比裡面部分的重量按照一個較大或者較小的比，則這些重量比整個月球的重量按照較大或者較小的一個比，這與以上所證明的矛盾。 系理1 因此，物體的重量與它們的形態和結構（textura）無關。因為如果重量能隨形態變化；對相等的質量，它們按照形態的不同或者較大或者輕小：這與經驗完全不合。 系理2 在地球周圍的所有物體，有向著地球的重力；且所有物體的重量，在離地球的中心距離相等的地方，與它們的物質的量成比例。這是能做的實驗中所有物體的性質，且所以由規則III，對所有物體普遍地成立。如果以太或者其他任何物體，無論它們完全離棄重力，或者所受的重力小於按照其物質的量的比，因為它（由亞里士多德 、笛卡兒 和其他人的意見）除了物質的形態，與其他物體沒有差別，它能通過形態的逐步變化變成一個物體，這個物體與那些按照物質的量重力最大的物體的條件相同，且反之，重力最大的物體，逐步呈現那個物體的形態，能逐步失去自身的重力。且由此重量與物體的形態有關且隨形態改變，與在上面的系理中所證明的矛盾。 系理3 不是所有的空間都被同等地充滿。因為如果所有空間都被同等地充滿，空氣的區域被流體充滿，則流體的比重，因為其物質的極大的密度，不小於水銀的或者金的，或者其他任意密度極大的物體的比重，且所以金以及其他任意物體不能在空氣中下降。因為物體在流體中絕不下降，除非比重較大。因為如果在給定空間中物質的量能由於任意稀薄作用而減小，它為何不能無限地減小呢？ 系理4 如果任何物體的所有堅固的小部分都有同樣的密度，並且在沒有小孔時不能變得稀薄，則必存在真空。當物體的惰性力如同它們的大小時，我說它們的密度是相同的。 系理5 重力是一種與磁力不同種類的力。因為磁的吸引並不如同被吸引的物質［的量］。有的物體受磁體的牽引強些，一些較弱，許多根本不受牽引。且在同一物體中的磁力可被增大或者減小，再者有時按照物質的量遠大於重力，又在退離磁體時，磁力的減小不按照距離的二次比，而幾乎按照三次比，這是就我從一些粗略的觀察所能斷定的。 命題VII 定理VII 向著所有物體存在重力，重力與在每個物體中的物質的量成比例。 前面我們已經證明所有行星相互之間是重的，且向著任意一顆行星的重力，分開考慮，與位置離此行星的中心的距離的平方成反比。且因此結論是（由第I卷命題LXIX及其系理），向著所有行星的重力與在它們中的物質的量成比例。 此外，由於任意行星A的所有部分向著任意行星B是重的，且每一部分的重力比總的重力，如同部分的物質比總的物質，而且因為每一作用（由運動的第三定律）有一相等的反作用；另一方面，行星B向著行星A的所有部分亦有重力，且他向著任一部分的重力比他向著整個行星的重力，如同部分的物質比總的物質。此即所證 。 系理1 所以，向著整個行星的重力起源於，並由向著其各個部分的重力組成。對磁和電的吸引我們有這種例子。因為向著一個整體的吸引起源於向著每個部分的吸引。在重力的情形，這通過想像幾個較小的行星聚合成一個球並構成較大的行星而被理解。因為整個力應來源於其組成部分的力。若有反對，因為由這一定律，我們周圍的所有物體相互應有重力作用，而這類重力無法被感覺到，我的回答是：朝向這些物體的重力，由於它們比朝向整個地球的重力如同這些物體比整個地球，遠遠不能被感覺到。 系理2 向著一個物體的每一個相等的小部分的重力與位置離小部分的距離的平方成反比。這由第I卷命題LXXIV系理3是顯然的。 命題VIII 定理VIII 如果兩個球互相有重力作用，它們的物質在離球的中心距離相等的區域上到處是同一的：則任一球相對於另一球的重量與它們中心之間的距離的平方成反比。 在我發現向著整個行星的重力起源於且由向著部分的重力組成，以及向著每一部分的重力與離開部分的距離的平方成反比之後，我仍懷疑二次反比在由一些力合成的總力中是能準確地得到，或是只是近似地如此。因為在大的距離上充分精確地得到的比，在靠近行星的表面，由於小部分的距離的不相等及位置的不相似而顯著地偏離此比是可能發生的。然而由第一卷命題LXXV和LXXVI及其推論，我終於弄清了這裡所敘述的命題的正確性。 系理1 因此，能發現並相互比較物體向著不同行星的重量。因為相等的物體在圓上圍繞行星運行時的重量（由第I卷命題IV系理2）與圓的直徑成正比且與循環時間的平方成反比；又在行星的表面或者離中心任意距離處的重量，（由這個命題）按照距離的二次反比或者更大或者較小。於是，由金星環繞太陽的循環時間224天又 小時，最外面的環木衛星環繞木星的16天又 小時，惠更斯 衛星 （47） （satelles Hugenianus）環繞土星的15天又 小時，以及月球環繞地球的27天7小時43分鐘，與金星離太陽的平均距離，和最外面的環木衛星離木星的中心的最大的日心距角8′.16″，惠更斯 衛星離土星的中心的3′.4″，以及月球離地球中心的10′.33″比較，通過計算我發現，相等的物體且離太陽的、木星的、土星的和地球的中心距離相等，它們向著太陽的、木星的、土星的和地球的重量分別如同1， ， 和 ，且距離增大或者減小，重量按照距離的二次比減小或者增大：物體在離太陽的、木星的、土星的和地球的中心的距離分別為10000、997、791和109時，向著他們的重量相等，且因此在它們的表面的重量分別如同10000、943、529和435。物體在月球的表面上重量如何，在後面說明。 系理2 在每個行星中的物質的量亦可以知道。因為在行星中的物質的量如同在離它們的中心距離相等處它們的力，亦即，在太陽、木星、土星和地球中的物質的量分別如同1， ， 和 （48） 。如果太陽的視差取作大於或者小於10″.30′″，在地球中的物質的量應按照三次比增大或者減小。 系理3 諸行星的密度亦可知道。因為由第I卷命題LXXII，相等且同質的（homogeneorum）物體向著同質的球的重量在球的表面如同球的直徑，且因此異質（heterogeneorum）球的密度如同那些重量除以球的直徑。但是太陽的、木星的、土星的和地球的真實直徑彼此分別如同10000、997、791和109，且向著它們的重量分別如同10000、943、529和435。且所以密度如同100、 、67和400。由這一計算發現的地球密度，不依賴太陽的視差，而是由月球的視差確定的，且所以在這裡被正確地定出。所以，太陽比木星略為緻密，且木星比土星緻密，而地球比太陽緻密四倍。因為由於自身的高溫太陽變得稀薄。月球比地球緻密，在後面這是顯然的。 系理4 所以，在其他情況相同時，愈小的行星愈緻密。因為這樣重力在他們的表面接近相等。但在其他情況相同時，行星愈靠近太陽愈緻密；正如木星較土星緻密，且地球較木星緻密。無疑行星被安放在離太陽不同的距離上，使得按照其密度而或多或少地享有太陽的熱。如果地球位於土星的軌道上，我們的水將會凍結，如果在水星的軌道上，水以蒸氣逃逸。因為太陽的光，熱與它成比例，在水星的軌道上比在我們跟前稠密七倍；且我用一支溫度計發現，在夏天太陽熱度的七倍之下水沸騰。毫無疑義，水星上的物質與其熱相適應，且所以比我們地球上的這種物質緻密；因為所有更緻密的物質，為了大自然的造化之功（operatio），需要較多的熱。 命題IX 定理IX 自行星的表面向下前進，重力的減小很接近地按照離中心的距離之比。 如果行星的物質有均勻的密度，由第I卷命題LXXIII，這一命題精確地成立。所以，誤差不大於起源於密度的不等性。 命題X 定理X 行星的運動在天空中能保持極長的時間。 在第II卷命題XL的解釋中，已證明凍結的一個水球，在我們的空氣中自由地運動且畫出其自身的半直徑的一個長度，由於空氣的阻力，它失去自身的運動的 。對大小和速度任意的球，能很接近地獲得相同的比。現在，我們的地球比如果它整個地由水構成的球更稠密，我如此推斷：如果這個球全是水，比水稀疏的無論什麼東西，由於比重較小而浮起並漂在水面上。由於這一原因，一個由地球的物質構成的球被水完全覆蓋，如果它比水稀疏，它在某處浮起，且所有水由此流走並匯聚在對面。而這是我們的地球的情形，它的大部分被海洋環繞。如果土地不比海洋緻密，它從海洋浮起，且按照其輕的程度，土地的一部分突出水外，所有那些海水流向對面。由同樣的論證，太陽上的黑子比它們浮在其上的太陽的發光物質輕。且無論怎樣形成行星，在物質為流體時，較重的物質離開水向中心前進。因此，由於地球表面的一般物質約比水重兩倍，且略低一些，在礦井中發現物質比水約重三倍或者四倍，甚至五倍；似乎在地球中所有物質的量約為整個由水構成的地球的五倍或者六倍；尤其是由於上面已表明地球比木星約緻密四倍。所以，如果木星較水略為緻密，在三十天的時間，它畫出459倍自身的半直徑的一個長度，在與我們的空氣的密度相同的介質中，幾乎失去其運動的十分之一。但是，由於介質的阻力按照它們的重量和密度之比減小，因此，水，它比水銀輕 倍，阻力按照同樣的比減小；且空氣，它比水輕860倍，阻力按照同樣的比減小；如果升入太空，那裡介質的重量被減小以至無窮，行星在這種介質中運動，阻力幾乎消失。在第II卷命題XXII的解釋中我們已表明，如果升高到高於地球二百哩，那裡的空氣按照30比0.0000000000003998，或者大約75000000000000比1之比較地球表面的空氣稀薄。且因此木星，在與那些上方的空氣的密度相同的介質中運行，在1000000年的時間，由於介質的阻力，也不會失去其運動的百萬分之一。在很接近地球的空間，能產生阻力的只有空氣，呼出的氣（exhalationes）和蒸汽。這些被從圓柱形的玻璃腔中被極細心地吸出，重物在玻璃內非常自由地下落，且沒有任何阻力可以感覺得到，使得金和極輕的羽毛同時落下，它們以相同的速度下落，且在其下落中畫出四呎、六呎或者八呎的一個高度，同時到達底部，正如由實驗所發現的。且所以，若上升到太空，那裡沒有空氣和呼出的氣，行星和彗星沒有任何可以感覺得到的阻力，通過那些空間他們運動極長的時間。 假設 I 宇宙的系統的中心是靜止的。 這是所有人都同意的，儘管一些人認定地球，另一些人認定太陽在系統中的中心靜止。我們且看由此隨之而來的結論是什麼。 命題XI 定理XI 地球，太陽和所有行星的重力的公共的中心是靜止的。 因為那個中心（由諸定律的系理IV）或者靜止，或者均勻地一直前進。但是如果那個中心總是前進，宇宙的中心也將運動，這與假設矛盾。 命題XII 定理XII 一項運動持續不斷地驅動太陽，但太陽從不退離所有行星的重力的公共的中心太遠。 因為由於（由命題VIII系理2）在太陽中的物質比在木星中的物質如同1067比1，且木星離太陽的距離比太陽的半直徑按照略大的一個比；木星和太陽的重力的公共中心落在略高於太陽的表面的一個點上。由同樣的論證，由於在太陽中的物質比在土星中的物質如同3021比1，且土星離太陽的距離比太陽的半直徑按照略小的一個比；土星和太陽的重力的公共中心落在略低於太陽的表面的一個點上。再承同樣計算的餘緒，如果地球和所有行星位於太陽的一側，所有這些天體的重力的公共中心離太陽的中心僅能為太陽的一個完整的直徑那麼遠。在其他情況，中心間的距離更小。且所以，因為重力的那個中心總是靜止的，太陽依行星位置的變化而向各個方向運動，但從不退離那個中心很遠。 系理 因此地球、太陽和所有行星的重力的公共中心被認為是宇宙的中心。因為由於地球、太陽和所有行星相互之間有向著它們的重力，且所以，按照它們每個的重力，由運動的定律它們持續地被推動；顯然它們的運動的中心不能作為宇宙的靜止的中心。如果所有物體朝向那個被放置在中心的物體的重力最大（如普遍持有的意見），首選必須讓給太陽。但由於太陽自身是運動的，必須選擇靜止的一點，太陽的中心離它最近，且會離得更近，只要太陽更為緻密和更大，這樣太陽的運動更小。 命題XIII 定理XIII 諸行星在焦點是太陽中心的一些橢圓上運動，且由向那個中心所引的半徑畫出的面積與時間成比例。 關於這些運動我們在前面已由天象加以討論。現在認識了運動的原理，由這些原理我們先驗地（a priori）導出天空中的運動。因為行星向著太陽的重量與 ［行星］ 離太陽中心的距離的平方成反比；如果太陽靜止且其餘的行星不相互推動，則（由第I卷命題I和命題XI以及命題XIII系理1）它們的軌道是橢圓，太陽在它們的公共的焦點上，且畫出的面積與時間成比例，但行星之間的相互作用甚小（以致能忽略），且（由第I卷命題LXVI）它們攝動在橢圓上圍繞動的太陽的行星的運動比如果那些運動是圍繞靜止的太陽進行時要小。 然而，木星對土星的作用不能完全被忽略。因為朝著木星的重力比朝著太陽的重力（在相等的距離）如同1比1067；且因此在木星和土星會合時，因為土星離木星的距離比土星離太陽的距離差不多如同4比9，土星朝著木星在重力比土星朝著太陽的重力如同81比16×1067，或者約略如同1比211。由是每當土星和木星會合時引起土星的軌道的攝動，它如此顯著使天文學家對此煩憂。按照該行星的位置在這些會合處的變化，它的偏心率有時被增大有時被減小，遠日點有時前行有時後退，且平均運動被交替加速和遲滯。然而在其圍繞太陽運動的整個誤差，儘管起源於如此大的一個力，（由第I卷命題LXVII）通過把其軌道的下焦點安放在木星和太陽的重力的公共中心上，差不多能避免（平均運動除外）；且所以當誤差最大時，幾乎不超過二分。且在平均運動中的最大誤差一年幾乎不超過二分。但是，在木星和土星的會合時，太陽向著土星的，木星向著土星的和木星向著太陽的加速重力，差不多如同16，81和 或者156609，且因此太陽向著土星的和木星向著土星的重力之差比木星向著太陽的重力如同65比156609，或者1比2409。但土星攝動木星運動的最大的能力與這個差成比例，且所以木星軌道的攝動遠小於土星軌道的攝動。其餘的軌道的攝動更小，除了地球的軌道被月球顯著地攝動。地球和月球的重力的公共中心在圍繞太陽的一個橢圓上前進，太陽位於橢圓的一個焦點，且向太陽所引的半徑在那個橢圓上畫出的面積與時間成正比例，但同時地球以每月的運動圍繞這個公共中心運行。 命題XIV 定理XIV 諸［行星的］軌道的遠日點和交點是靜止的。 由第I卷命題XI，遠日點是靜止的，且由同一卷命題I，軌道的平面為靜止的；又平面是靜止的，交點也靜止。然而由行星和彗星在其運行中的相互作用會產生某些不等性，但它們是如此之小在這裡能被忽略。 系理1 諸恆星也靜止不動，因為它們相對於［行星的］遠日點和交點保持給定的位置。 系理2 且因此，由於地球的周年運動對諸恆星沒有產生可覺察到的視差，它們的力由於這些物體的巨大的距離而在我們的系統的區域沒有產生可以覺察到的影響。事實上，因為恆星在天空的所有部分相等地分散著，由第I卷命題LXX，它們相互的力由相反的吸引而被抵消。 解釋 因為靠近太陽的行星（即水星、金星、地球和火星）由於它們的本體規模不大，相互推動較弱：它們的遠日點和交點靜止，但受木星的、土星的和更高處物體的力的擾動除外。且由此能由重力的理論推出，這些遠日點相對於恆星略有向前（in consequentia）運動，且它按照這些行星離太陽的距離的二分之三次比。於是，如果火星的遠日點相對於恆星在一百年積累的前行為33′.20″；則在一百年，地球的、金星的和水星的遠日點積累的前行分別為17′.40″、10′.53″和4′.16″。且這些運動由於它們如此之小，在這一命題中被忽略了。 命題XV 問題I 求諸［行星的］軌道的主直徑。 由第I卷命題XV，這些直徑按照循環時間的二分之三次比被取得，然後由第I卷命題LX，每一個［值］按太陽的與每個環繞的行星的質量之和比那個和與太陽［的質量］之間的兩個比例中間中的第一個的比增大。 命題XVI 問題II 求諸［行星的］軌道的偏心率和遠日點。 此問題被第I卷命題XVIII解決。 命題XVII 定理XV 諸行星的周日運動是均勻的，且月球的天平動起源於它的周日運動。 由運動的定律I和第I卷命題LXVI系理22，這是顯然的。的確，木星相對於恆星的旋轉時間為9小時56分鐘，火星為24小時39分鐘，金星約為23小時，地球為23小時56分鐘，太陽為 天，且月球為27天7小時43分鐘。這些事情如此是由於顯而易見的天象。相對於地球，太陽本體上的黑子在太陽的日輪上約 天回歸到相同的位置；且所以相對於恆星，太陽的旋轉時間約為 天。但是，因為月球圍繞自身的軸均勻地旋轉一［個太陰］日是一個月：月球的同一個面總是近似地轉向其軌道的較遠的焦點，且所以依照那個焦點的位置離開地球向這邊或者那邊偏離。這就是月球的經天平動；因為緯天平動起源於月球的緯度和其軸對於黃道面的傾斜。N.墨卡托先生，在他的出版於1676年初的《天文學 》中，根據我的一封信詳細地闡述了天平動的這一理論。土星最外面的衛星圍繞自身的軸旋轉被觀察到類似於月球的運動，它的同一個面總轉向土星。因為在圍繞土星運行時，每當它靠近自己的軌道的東面的部分時，不適於觀看，且平常看不到，這種情況的發生可能由於其本體轉向地球的部分上有某些斑點，正如卡西尼 所指示的。木星最外面的衛星亦被觀察到圍繞其軸旋轉的類似於月球的運動，無論何時衛星從木星和我們的眼睛之間穿過時，因為在其本體轉離木星的部分有一個斑點，看起來好像在木星的本體上。 命題XVIII 定理XVI 諸行星的軸小於垂直於軸所引的直徑。 若除去行星整個的周日圓運動，由於部分的重力向各方面是相等的，它們應為球形。由於那個圓運動，結果使［行星的］部分自軸退離，努力向赤道附近上升。且因此，如果物質為流體，則其上升使在赤道的直徑增大，且其下降使在兩極的軸減小。由是木星的直徑（天文學家的觀察意見一致）在兩極之間的比從東向西的短。由同樣的論證，若我們的地球不是在靠近赤道比在兩極略高，則海洋在兩極退去，且在赤道附近升高，並完全淹沒那裡。 命題XIX 問題III 求行星的軸比垂直於它的直徑的比例。 1635年前後，我們的同國人諾伍德 測得倫敦 和約克 之間的距離為905751倫敦 呎，並觀測到［那些地方的］緯度的差為2°28′，他推出一度的長短為367196倫敦 呎，亦即，57300巴黎 丈。 皮卡德 沿子午線測量亞眠 和馬爾瓦桑 之間2度22′.55″的一段弧，發現一度的弧為57060巴黎 丈。老卡西尼 沿子午線測得從魯西永 的科利烏爾 鎮到巴黎 天文台的距離；且他的兒子加上了從天文台到敦刻爾克 城的城堡的距離。總的距離為 丈，科利烏爾鎮的和敦刻爾克 城的緯度之差為8°又31′. ″。由此得出1°的弧為57061巴黎 丈。且由這些測量，在地球為球形的假設下，推得地球的周長為123249600巴黎 呎，且它的半直徑為19615800呎。 在巴黎 的緯度，重物下落一秒鐘畫出15巴黎 呎1吋又 吩，如同上面，亦即 吩。物體的重量由於周圍空氣的重量而減小。我們假設失去的重量是總重量的一萬一千分之一，則那個重物在真空中下落，一秒鐘的時間畫出2174吩。 一個物體在每個恆星日的23小時56′.4″在離中心的距離為19615800呎的一個圓上均勻地運行，在一秒鐘的時間畫出1433.36呎的一段弧，其正矢為0.0523656呎，或者7.54064吩。且由此，一個力，由它重物在巴黎 的緯度降落，比物體在赤道的離心力，它起源於地球的周日運動，如同2174比7.54064。 物體在地球的赤道的離心力比一個離心力，由它物體在巴黎 的緯度48°51′.10″直接地離開地球，按照半徑比那緯度的餘角的正弦的二次比，亦即，如同7.54064比3.267。這個力加到一個力上，重物由後者在巴黎 的那個緯度下降，則物體在那個緯度以總的重力下落，在一秒鐘的時間畫出2177.267吩，或者15巴黎 呎1吋又5.267吩。則在那個緯度，總的重力比物體在地球的赤道的離心力如同2177.267 比7.54064或者289比1。 由此，如果指定APBQ為地球的形狀，現在它不再是球而是由一個橢圓圍繞較短的軸PQ旋轉產生，又設ACQqca為充滿水的管道，從極Qq到中心Cc，再由此前進到赤道Aa:則在管道的股ACca 中的水的重量比在管道的另一股QCcq中的水的重量應如同289比288，因為起源於圓形運動的離心力支撐並除去289份重量中的一份，且在另一股中的288份重量支撐餘下的重量。然後（根據第I卷命題XCI系理2）進行計算，我發現如果地球由均勻的物質構成，且所有的運動被奪去，則它的軸PQ比直徑AB如同100比101:在位置Q朝著地球的重力比在相同的位置Q朝著以中心C半徑PC或者QC畫出的球的重力，如同126比125。且由同樣的論證，在位置A朝著橢圓APBQ圍繞軸AB一起旋轉畫出的扁球的重力，比在相同的位置A朝著以中心C半徑AC畫出的球的重力，如同125比126。但是在位置A朝著地球的重力是朝著所說的扁球的和球的重力之間的比例中項:因為那個球，當它的直徑PQ按照101比100之比減小，它轉變為地球的形狀；且這個形狀按照相同的比減小第三條直徑，它與兩條直徑AB、PQ垂直，轉變為所說的扁球；且在A的重力，在任一種情形，很接近地按同一比減小。所以在A朝著以中心C半徑AC畫出的球的重力，比在A朝著地球的重力如同126比 ，且在位置Q朝著以中心C半徑QC所畫出的球的重力，比在位置A朝著以中心C半徑AC所畫出的球的重力，（由第I卷命題LXXII）按照直徑的比，亦即，如同100比101。現在，這三個比126比125、126比 和100比101聯合起來，則在位置Q朝著地球的重力比在位置A朝著地球的重力，如同126×126×100比125× ×101，或者如同501比500。 如今，因為（由第I卷命題XCI系理3）在管道的任一股ACca或者QCcq中的重力如同位置離地球中心的距離；如果那些股由等距的橫截面區分為與整體成比例的部分，在股ACca 中任意數目的部分的重量比在另一股相同數目的部分的重量，如同它們的大小和加速重力的聯合；亦即，如同101比100和500比501的聯合，這就是，如同505比501。且因此，如果在股ACca中每一部分的起源於周日運動的離心力，它比同一部分的重量如同4比505，使得每一部分的重量被分成505份，四份被它除去；在每個股中重量保持相等，且所以流體處於平衡。但每一部分的離心力比同一部分的重量如同1比289，這就是，離心力，它應為重量的 ，而僅為 。且所以，我說，按照黃金規則（regula aureum），如果重量的 的離心力使水在股ACca中的高度超出水在股QCcq中的高度為其整個高度的百分之一:則重量的 的離心力使水在股ACca中的高度的超出僅為水在另一股QCcq 中的高度的 。所以地球沿著赤道的直徑比它的經過兩極的直徑如同230比229。且因此，因於地球的平均半直徑，按照皮卡德 的測量，為19615800巴黎 呎，或者3923.16哩（假定一哩等於5000呎），地球的赤道比在兩極高，超出為85472呎，或者 哩。且在赤道其高度約為19658600呎，在兩極約為19573000呎。 如果大於或者小於地球的行星保持其密度和周日旋轉的循環時間，則離心力比重力的比被保持，且所以兩極之間的直徑比沿著赤道的直徑的比被保持。且如果周日運動按任意的比被加速或者遲滯，則離心力按那個比的二次方被增大或者減小，且所以直徑的差很接近地按同一二次比。再者，如果行星的密度按任意的比增大或者減小，朝向它的重力按相同的比增大或者減小，且直徑之間的差按重力增大的比被減小或者按重力減小的比被增大。因此，由於地球相對於恆星以23小時56′旋轉，而木星以9小時56′旋轉，則時間的平方如同29比5，又旋轉物體的密度如同400比 :木星的直徑的差比它自己的較短的直徑如同 × × 比1，或者很接近地如同1比 。所以，木星的自東向西所引的直徑，比它的兩極之間的直徑很接近地如同 比 。因此，由於它的較長的直徑為37″，它的較短的直徑，它位於兩極之間，為33″.25。由於光的不規則性應加上大約3″，則這顆行星的視直徑變成40″和36″.25；它們彼此很接近地如同 比 。這些結果如此出自一個假設：木星本體的密度均勻。但如果它的本體往赤道的平面比往兩極緻密，其直徑彼此之比可能如同12比11，或者13比12，甚至14比13。的確，卡西尼 在1691年觀測到，木星的自東向西伸展的直徑約以其自身的十五分之一超出另一條直徑。此外，我們的同國人龐德 ，用帶最好測微儀的123呎長的望遠鏡，在1719年測得木星的直徑如下。 況且，由於我們的地球的周日轉動，重力在赤道被減小，且因此地球在那裡比在兩極更隆起（如果它的物質密度均勻），由在下一命題中敘述的擺的實驗，這是顯然的。 命題XX 問題IV 求出並相互比較物體在地球上不同區域的重量。 因為在水的管道ACQqca的不等的股中的重量相等；且部分的重量，它與整個股成比例，又在整個股中處於相似的位置，彼此如同整個重量，且因此也相互相等；重量相等且在股中處於相似位置的部分與股成反比，亦即，與230比229成反比。任意同質且相等的物體處於管道的股中相似的位置，情形相同。這些物體的重量與股成反比，亦即，與物體離地球中心的距離成反比。因此如果物體在管道的最上端部分，或者位於地球的表面，它們的重量彼此與它們離中心的距離成反比。且由同樣的論證，［物體］在整個地球表面上的任意區域的重量，與位置離中心的距離成反比；且所以，由地球為扁球的假設，［那些重量的］比被給定。 由此導出定理：從赤道向兩極前進時，重量的增加很接近地如同緯度的二倍的正矢，或者同樣，如同緯度的正弦的平方。且在一條子午線上，緯度的弧近似地按照相同的比增大。且因此，由於巴黎 的緯度為48gr. .50′ （49） ，在赤道上的位置的緯度為00gr. .00′，且在兩極位置上的緯度為90gr. ，又那些緯度的二倍的正矢為11334，00000和20000，半徑為10000，且在兩極的重力比在赤道的重力如同230比229，則在兩極重力的超出比在赤道的重力如同1比229：在巴黎 的緯度，重力的超出比在赤道的重力，如同1× 比229，或者5667比2290000。且所以，在這些位置的總的重力彼此如同2295667比2290000。因此，由於振動時間相等的擺的長度如同重力，且在巴黎 的緯度每秒振動的擺的長度為三巴黎 呎又 吩，或者由於空氣的重量，更好些，為 吩；在赤道的擺的長度被在巴黎 的等時的擺的長度超過，超出為一又千分之八十七吩。且類似的計算產生下表。 所以，由這張表，度數的不等性如此之小，使得在地理學之事上能用球形代替地球的形狀是顯然的，如果地球往赤道的平面比往兩極略為緻密時尤其如此。 現在一些天文學家被派到遙遠的地區做天文觀測，觀察到他們的擺鐘靠近赤道比在我們的地區慢。而且事實上，這首先由里奇 先生於1672年在卡宴 島上觀察到。因為當他在8月份正觀察恆星經過子午線時，他發現他自己的時鐘比他應相對的太陽的平均運動慢，差為每天2′.28″。然後通過一台精良的時鐘的測量，一架按秒振動的單擺被製成，他記下單擺的長度，且在十個月中的每一周重複此事多次。當他返回法蘭西 時，他將這架擺的長度與在巴黎 的［按秒振動的］擺的長度相比較（它是三巴黎 呎八又五分之三吩），發現它較短，差為一又四分之一吩。 後來，我們的同國人哈雷 約於1677年航行到了聖赫勒拿 島，他發現他自己的擺鐘在那裡比在倫敦 運動得慢，但他沒有記錄［時間的］差。他使他的時鐘的擺縮短超過八分之一吋，或者一又二分之一吩。為達到這一目的，由於在擺的下端的螺帽的長度不夠，他在螺帽和擺的重物之間置入一個木環。 此後，在1682年，瓦倫 先生和得海斯 先生髮現在巴黎 皇家天文台一架按秒振動的擺的長度為3呎 吩。且在戈雷 島他們用同樣的方法發現等時的擺的長度為3呎 吩，長度的差為2吩。在同一年他們又航行到瓜德羅普 島和馬提尼克 島，發現在這些島上等時的擺的長度為3呎 吩。 後來，小庫普萊 先生於1697年7月，在巴黎 皇家天文台這樣將他自己的擺鐘與太陽的平均運動校準，使得在相當長的時間時鐘與太陽的運動相符。然後航行到里斯本 ，他發現在接下來的11月，時鐘走得比以前慢，在24小時相差2′.13″。且在次年的3月，他航行到帕拉伊巴 ，他發現在那裡他自己的時鐘走得比在巴黎 慢，在24小時相差4′.12″。且他斷言按秒振動的擺在里斯本 和在帕拉伊巴 比在巴黎 短 吩和 吩。他應能更正確地把這些差定為 和 。因為這些差與時間的差2′.13″和4′.12″對應。這個人的觀測由於粗心而不大可信。 接著的兩年（1699和1700年）得海斯 先生又航行到美洲 ，在卡宴 島和格拉納達 島他確定按秒振動的擺的長度稍小於3呎 吩，在聖克里斯多福 島那個長度為3呎 吩，且在聖多明各 島同樣的長度為3呎7吩。 再者，在1704年，弗萊 神父在美洲 的波托貝洛 發現按秒振動的擺的長度為三巴黎 呎僅又 吩，亦即，比在巴黎 約短三吩，但此觀測有誤。因隨後他航行到馬提尼克 島，發現等時的擺的長度僅為三巴黎 呎又 吩。 現在帕拉伊巴 的緯度是向南6gr. .38′，且波托貝洛是向北9gr. .33′，又卡宴 島、戈雷 島、瓜德羅普 （50） 島、馬提尼克 島、格拉納達 島、聖克里斯多福 島和聖多明各 島的緯度分別為向北4gr. .55′、14gr. .40′、14gr. .00′、14gr. .44′、12gr. .6′、17gr. .19′和19gr. .48′。巴黎 的擺的長度對等時的擺在這些緯度觀測到的長度的超出略大於按照上表中計算出的擺的長度。且所以地球在赤道比上面計算的要高，且往中心比接近表面的礦物更緻密，除非也許熱帶的熱使擺的長度有些增加。 的確，皮卡德 先生曾觀察到，一根鐵棒，它在冬季當冰凍時的長度為一呎，在火上加熱時它變為1呎又四分之一吩。後來拉伊爾 先生觀察到，一根鐵棒，它在冬季相當的時候長六呎，當暴露於夏天的太陽下時長度成為六呎又三分之二吩。在前一種情形比後一種情形更熱，且在後一種情形比人的身體的外表部分更熱。因為金屬在夏天的太陽下變得很熱。但擺鐘的擺杆從不暴露於夏天太陽的炎熱之下，且從不吸收等於人的身體外表部分的熱。且所以，在時鐘中三呎長的擺杆，在夏天的確比在冬天略長，但超出幾乎不超過一吩的四分之一。因此，在不同區域等時的擺的長度的整個差，不能歸之於熱的不同。這個差也不能歸之於由法蘭西 派出的天文學家所犯的錯誤。因為儘管他們的觀測彼此不完全相符，但差異如此之小以至能忽略。且對此他們一致同意：等時的擺在赤道比在巴黎 皇家天文台短，差不小於一又四分之一吩，不大於 吩。依里奇 先生在卡宴 所做的觀測，此差為一又四分之一吩，依得海斯 先生的觀測那個差經過修正成為一又二分之一吩或者一又四分之三吩。依其他人所做的較不精確的觀測，那個差約為二吩。且這一差異可能部分地來自觀測的誤差，部分地來自地球內部的不同和山的高度的不同，且部分地來自空氣的熱度的不同。 據我所知，一根三呎長的鐵棒，在英格蘭 的冬季比在夏季短六分之一吩。由於在赤道的熱度，從里奇 觀測到的一又四分之一吩的差中除去這個量，則剩下 吩，它與前面已由理論推得的 吩非常符合。此外，里奇 在卡宴 所做的觀測，十個月的時間他每周重複，並把在那裡標記在鐵棒上的擺的長度與在法蘭西 類似地標記的長度相比較。這種勤奮與細心為其他觀測者所缺乏。如果他的觀測是可信的，則地球在赤道比在兩極高，超出約為十七哩，正如上面由理論所得出的。 命題XXI 定理XVII 二分點退行；且地球的軸，由於在每年運行中的章動，兩次向黃道傾斜並兩次返回到原來的位置。 由第I卷命題LXVI系理20，這是顯然的。但是章動這個運動應當很小，且很難或者全然感覺不到。 命題XXII 定理XVIII 月球的所有運動，以及所有那些運動的不等性（inœquatitas）遵循已確立的原理。 較大的行星，在它們圍繞太陽轉動期間，可能攜帶其他較小的行星圍繞它們運行，且那些較小的行星，由第一卷命題LXV，顯然它們應在焦點在較大的行星的中心的橢圓上運行。此外，它們的運動以多種方式被太陽的作用攝動，且它們受到在我們的月球上觀測到的不等性的影響。無論如何，它［月球］（由第一卷命題LXVL系理2，3，4和5）運動得較迅速，且向地球所引的半徑畫出的面積比按照時間的要大，又有彎曲較小的一條軌道，且所以它在朔望比在方照更靠近地球，這些作用被偏心運動的阻礙除外。因為（由命題LXVI系理9）當月球的遠地點在朔望時，偏心率為最大；且當它在方照出現時，偏心率為最小；且因此月球當近地點在朔望比在方照時較迅速且更靠近我們，而當遠地點在朔望比在方照時更遲緩且更遠離我們。此外，遠地點前行，且交點退行，而運動是不均勻的。且由於（由命題LXVI系理7和8）遠地點在其朔望前行更迅速，且在方照的退行更遲緩，它由前行對退行的超出每年被攜帶前行。但交點（由命題LXVI系理2）在其朔望靜止且在方照最迅速地退行。但月球的最大的緯度，在其方照（由命題LXVI系理10）比在其朔望大，且月球的平均運動在地球的近日點（由命題LXVI系理6）比在其遠日點緩慢。這些是被天文學家記錄下來的顯著的不等性。 也有其他一些不等性沒有被以前的天文學家觀測到，由於它們月球的運動被如此攝動，以致至今這些運動未能由定律歸結為某一法則。因為月球的遠地點的和交點的速度或者小時運動，且它們的均差（æquatio），以及在朔望的最大的偏心率和在方照的最小的偏心率之間的差，和被稱為變差（variatio）的不等性，每年的增大和減小（由命題LXVI系理14）按照太陽的視直徑的三次比。且此外，變差的增大或者減小很近似地按照（由第一卷引理X系理1和2，以及命題LXVI系理16）方照之間時間的二次比，但在天文學計算上這一不等性通常歸入月球的中心差（prosthaphæresin），並與它相結合。 命題XXIII 問題V 由月球的運動導出木星的和土星的諸衛星的不均勻運動。 由我們的月球的運動可導出木星的月球或者衛星的類似的運動。木星最外面的衛星的交點的平均運動，比我們的月球的交點的平均運動，（由第I卷命題LXVI系理16）按照來自地球圍繞太陽的循環時間比木星圍繞太陽的循環時間的二次比，和那顆衛星圍繞木星的循環時間比月球圍繞地球的循環時間的簡單比的複合比，且因此在一百年那個交點積累的退行為8gr. .24′。裡面的衛星的平均運動比這顆衛星的運動，（由同一系理）如同那顆衛星的循環時間比這顆衛星的循環時間，且因此被給定。此外，每顆衛星的拱點運動的前行比其交點運動的退行，（由同一系理）如同我們的月球的遠地點的運動比其交點的運動，且因此被給定。然而，這樣發現的拱點的運動應按5比9或者約1比2的比減小，其原因沒有時間在這裡解釋。每顆衛星的交點的和拱點的最大的均差，分別比月球的交點的和拱點的最大的均差，近似地如同在前一均差的一次環繞時間中衛星的交點的和拱點的運動，比在後一均差的一次環繞時間中月球的交點的和拱點的運動。從木星上觀看一顆衛星的變差，比月球的變差，由同一系理，如同衛星和月球在環繞太陽期間它們的交點的整個運動的相互之比；且由此［木星的］最外面的行星的變差不超過5″.12。 命題XXIV 定理XIX 海洋的潮起潮落起源於太陽的和月球的作用。 由第I卷命題LXVI系理19和20，顯然海洋在每個太陰日和每個太陽日應有兩次上漲和兩次回落，且水的最大的高度，在既深且開闊的海洋中，應在發光體靠近一個位置的子午線後小於六小時的時間來臨，如在法蘭西 和好望角 之間的大西洋 和衣索比亞 海的整個東部所發生的，也如在太平洋 的智利 和秘魯 沿海發生的；在所有這些海岸，海潮在約第二，第三或者第四個小時發生，除非當來自深海的運動在淺的地方的傳播而一直被拖延到第五，第六，第七個小時或者更晚。我從兩個發光體中的任何一個靠近一個位置的子午線開始對小時計數，無論發光體在地平線之下或者地平線之上，且一個太陰日的小時，我意指一段時間的二十四分之一，在此期間月球的視周日運動返回到它昨天留下的那個位置的子午線上。在發光體靠近一個位置的子午線時，舉起海洋的太陽的和月球的力最大。但此施加于海洋上的力保持一會兒且被隨後施加的一個新力增大，直到海洋上升到最大的高度，這將在一或者兩小時內發生，但在海岸經常是在大約三小時，如果在淺的海洋時間會更長。 而且兩項運動，它們由兩個發光體引起，不能明確地被區分開，而引起一種混合的運動。發光體在合或者沖時他們的作用被聯合起來，並造成最大的潮起和潮落。在方照時，太陽當月球下壓海水時舉起它，且當月球舉起海水時下壓它；所有漲潮中最低的起源於兩種作用的差。且因為，經驗證明，月球的作用大於太陽的作用，海水的最大高度約發生在第三個太陰小時。在朔望和方照之外，最大的海潮，它單獨由月球的力引起，總應發生在第三個太陰小時，且單獨由太陽的力引起的最大的海潮發生在第三個太陽小時，由兩者合成的力引起的最大的潮發生在更接近第三個太陰小時的某個中間時間；且因此月球在自朔望到方照的路徑中，當第三個太陽小時先於第三個太陰小時，海水的最大高度［的出現］也先於第三個太陰小時，最大的時間間隔略後於月球的八分點；且在月球自方照至朔望的路徑中，最大的漲潮以相同的時間間隔跟隨在第三個太陰小時之後。在開闊的海洋就是如此。因為在河流的入海口，較高的漲潮，在其他情況相同時，它們的頂點（áκμήυ）較緩慢地來臨。 但是發光體的作用與它們離地球的距離有關。因為在較近的距離，它們的作用較大；在較遠的距離，它們的作用較小，且這按照它們的視直徑的三次比。所以太陽在冬季時；當它在近地點產生較大的作用並使得海潮在朔望略大於，且在方照略小於（其他情況相同）在夏季時的海潮；又月球在它每月的近地點產生一個較十五日之前或者十五日之後當它在遠地點時海潮大的潮。因此，最大的兩次海潮並不跟隨在相繼的朔望之後。 每個發光體的作用也與其赤緯或者離赤道的距離有關。因為如果一個發光體被放置在地球的一極，它不斷地牽引水的每一部分，沒有作用的加強和減退，且因此不產生運動的交替。所以，發光體在從赤道向一極退離時，其作用逐漸失去，且因此在二至的朔望產生的海潮比在二分的朔望產生的小。然而，在二至的方照產生的海潮比在二分的方照產生的大；因為月球的作用，它現在位於赤道，超出太陽的作用甚大。所以，大約在任何一個二分的時候，發光體在朔望發生最大的海潮，且發光體在方照發生最小的海潮。又，在朔望的最大海潮總伴隨著在方照的最小的海潮，正如經驗所發現的。此外，由於太陽離地球的距離在冬季比在夏季近，使得春分前的最大的海潮和最小的海潮比在春分後更經常，且在秋分後比在秋分前更經常。 發光體的作用也與位置的緯度有關。指定ApEP為各處被深水覆蓋的地球；C為其中心；P，p為極；AE為赤道；F為赤道之外的任一位置，Ff為那個位置的緯線；Dd為在赤道另一側對應於它的緯線；L為一個位置，它在三個小時之前被月球占據；H為地球上豎直地位於L之下的位置；h這個位置的對點；位置K，k離H，h的距離為90度，CH，Ch為自地球的中心量起的海的最大高度；且CK，Ck為最小高度；再者，如果以軸Hh，Kk畫一個橢圓，然後如果這個橢圓再圍繞長軸Hh畫一扁球HPKhpk；則這個扁球相當接近地表示了海洋的形狀，且CF，Cf，CD，Cd為大海在位置F，f，D，d的高度。而且，如果在所說的橢圓的旋轉中，任意一點N畫出的圓NM截緯線Ff，Dd於任意的位置R，T，且截赤道AE於S；CN為位於這個圓上的所有的位置R，S，T處海的高度。因此，在任意位置F的周日旋轉中，最大的漲潮發生在F，在月球經過地平線之上的子午線後的第三個小時；然後，最大的落潮發生在Q，在月球落下之後的第三個小時；此後，最大的漲潮發生在f，在月球經過地平線之下的子午線後的第三個小時；最後，最大的落潮位於Q，在月球升起之後的第三個小時；且靠後在f的漲潮小於在前面在F的漲潮。因為整個海洋被分為兩個半球的流，一個是在北邊的半球KHk，另一個為相對的半球Khk；所以這些可以被稱為北流和南流。這些流，它們彼此總是相對的，且輪流來到每一個位置的子午線，它們之間的間隔為十二個太陰小時。且由於北邊的區域分享了較多的北流，南邊的區域分享了較多的南流，因此在赤道之外的每個地方，發光體在此處升起和下落，交替地產生較大或者較小的海潮。但較大的海潮，當月球向一個位置的天頂點偏斜時，在它經過地平線之上的子午線後大約第三個小時發生，且月球赤緯的改變，使較大的海潮轉變為較小的海潮。且這些漲潮之間最大的差發生在二至的時候；特別地，如果月球的升交點位於白羊宮的開端。於是由經驗發現，在冬季，早晨的海潮超過傍晚的海潮；且在夏季，傍晚的海潮超過早晨的海潮。依據科爾普雷斯 和斯圖米 的觀察，在朴利茅斯 ，超過的高度約為一呎，在布里斯托爾 ，這一高度為十五吋。 但是至此所描述的運動由於水的交互作用的力而有些改變，海潮，即使發光體的作用停止了，也能保持一會兒。施加的運動的這種保持減小了交替的海潮的差；且使緊隨朔望之後的較大，並使緊隨方照之後的海潮較小。因此在朴利茅斯 和布里斯托爾 交替的海潮除了高度為一呎或者十五吋之外，並無差別；且在那些港口，最大的海潮不是朔望後的第一次的海潮，而是第三次的。所有的運動在通過淺灘時被遲滯，因此使得海潮中最大的潮，在一些海峽和河流的入海口中，是朔望後的第四或者第五次海潮。 況且，會發生一次海潮從海洋經過不同的海峽到達同一港口，且通過某些海峽比通過另一些海峽快，在這種情形海潮分成兩個或者更多的海潮相繼到達，能合成不同種類的新的運動。我們想像來自不同地方的兩個相等的海潮到達同一個港口，其中一個比另一個提前六小時的時間，並在月球靠近港口的子午線後的第三個小時發生。如果月球在它這次靠近子午線時在赤道上，則每六小時到達的相等的漲潮，與相同的落潮相遇而平衡；且因此在那天中它們使得水平靜且不動。如果那時月球從赤道離開，在大洋中的海潮彼此交替地較大或者較小，正如已說過的；且自大洋中兩個較大的和兩個較小的漲潮彼此交替也到達這個港口。再者兩個較大的潮在它們中間的時候形成最高的水位，較大的漲潮和較小的漲潮在它們中間的時候使水上升到一個平均的高度，且在兩次較小的漲潮之間水上升到最小的高度。於是在二十四小時的時間裡，水不是如通常那樣兩次達到最大的高度，而是一次達到最大的高度且一次達到最小的高度；且最大的高度，如果月球在那個位置的地平線的上方趨向一極，將發生在月球經過那個位置的子午線之後的第六個小時或者第三十個小時，且月球的赤緯的改變，使漲潮變為落潮。所有這些事情的一個例子由哈雷 給出，他依據水手們在東京 王國 （51） （Regnum Tunquini）的位於北緯20gr. .50′的巴特沙姆 港的觀測。在這裡當月球穿過赤道後的一天，海水平靜；然後，當月球趨向北時，海水開始漲潮和落潮，不是如其他港口的每天兩次，而是一次；又當月球下落時，漲潮開始，且當在它升起時，落潮最大。這個海潮與月球的赤緯一起增大，直到第七或者第八天；在接下來的七天它減小的程度與以前增加的程度相同；且當月球的赤緯改變時，漲潮停止並不久變成落潮。因為隨後的落潮發生在月球下落時，且漲潮發生在它升起時，直到月球再次改變其赤緯。到這個港口和附近的海峽有兩條不同的通道，一為經過大陸和呂宋 島之間的中國 海，一為經過大陸和婆羅洲 島之間的印度洋 。但是否來自印度洋 的海潮在十二小時的時間，且來自中國 海的海潮在六小時的時間通過這些海峽到來，並由此在第三個和第九個太陰小時發生此類的合成運動；以及那些大海是否有其他情況，我留待由對鄰近海岸的觀察確定。 至此我已給出了月球的和海洋的運動的原因。現在添加一些關於那些運動的量的內容是適宜的。 命題XXV 問題VI 求太陽對月球的運動攝動的力。 指定S為太陽，T為地球，P為月球，CADB為月球的軌道。 在SP上取SK等於ST；又設SL比SK按照SK比SP的二次比，且引LM平行於PT；又若地球向著太陽的加速重力由距離ST或者SK表示，則SL是月球向著太陽的加速重力。它由部分SM，LM合成，其中的LM和SM的部分TM攝動月球的運動，正如已在第一卷命題LXVI及其系理中所闡述的。既然地球和月球圍繞它們的重力的公共的中心旋轉，地球圍繞那個中心的運動也被類似的力攝動；但是這可以把力的和及運動的和歸之於月球，且力的和由與它們相似的直線TM和ML表示。力ML，按其平均的量，比一個向心力，由它月球能以距離PT在自己的軌道上圍繞靜止的地球運行，（由第一卷命題LXVI系理17）按照月球圍繞地球的循環時間比地球圍繞太陽的循環時間的二次比，這就是，按照27天7小時43分比365天6小時9分的二次比，亦即如同1000比 ，或者1比1782940。但我們在命題四發現，如果地球和月球圍繞它們的重力的公共的中心運行，一個離開另一個的平均距離很接近 個地球的平均的半直徑。且力，由它月球能以 個地球的半直徑的一段距離PT圍繞靜止的地球在軌道上運行，比一個力，由它月球能在相同的時間以60個地球的半直徑的一段距離運行，如同 比60；且這個力比在我們周圍的重力很接近地如同1比60×60。且因此平均的力ML比在地球的表面的重力，如同1× 比60×60×60× ，或者1比638092.6。由此，並由直線TM，ML的比，力TM也被給定；且太陽的這些力，由於它們月球的運動被攝動。此即所求 。 命題XXVI 問題VII 求面積的小時增量，它由從月球向地球所引的半徑在一圓形的軌道上畫出。 我們曾說過，面積，它由向地球引半徑的月球畫出，與時間成比例，但月球的運動由於太陽的作用而受到的擾動除外。我們計劃在這裡研究［在擾動的情況下］瞬的不等性，或者小時增量。為了使計算更容易，我們想像月球的軌道是圓形的，且除了這裡討論的不等性之外，我們忽略其他一切不等性。由於太陽的巨大的距離，我們也假設直線SP，ST彼此平行。按這種方式，力LM總被化為其自身的平均量TP，且因此力TM將化為其自身的平均量3PK。這些力（由諸定律的系理II）合成力TL；且如果向半徑TP落下一條垂線LE，這個力被分解為力TE，EL，其中的TE總沿半徑TP作用，對由那個半徑TP畫出的面積TPC既不加速，也不遲滯；而EL，它沿半徑的垂直方向作用，按照它對月球加速或者遲滯的大小，加速或者遲滯畫出的面積。月球的那個加速度，在它自方照C到合A的路徑中的每一個瞬間所成的，如同加速力EL自身，這就是，如同 。時間由月球的平均運動，或者（這幾乎得出相同的結果）由角CTP，或者由弧CP表示。以直角在CT上豎立CG等於CT。且圓周的四分之一弧AC被分成無數相等的小部分Pp，等等，由它們相同數目的相等的時間小段能被表示，又引pk垂直於CT，連結TG交KP，kp的延長於F和f；則FK等於TK，且Kk比PK如同Pp比Tp，這就是，按照給定的比，且因此FK×Kk或者面積FKkf，如同 ，亦即，如同EL；且由複合，整個面積GCKF如同在整個時間施加於月球的力EL的總和，因此也如同由這個和生成的速度，亦即，如同畫出面積CTP的加速度，或者瞬的增量。力，由它月球能在其27天7小時43分鐘的循環時間CADB，以距離TP圍繞靜止的地球運行，它使一個物體在時間CT下落，畫出 CT的一個長度，並獲得一個速度，它等於月球在自己的軌道上運動的速度。這由第I卷命題IV系理9是顯然的。但是，因為向TP垂直落下的Kd是EL的三分之一，它等於在八分點的TP的或者ML的一半，在八分點的力EL，在這裡它最大，按照3比2之比超過力ML，且因此比那個力，由它月球能在自己的循環時間圍繞靜止的地球運行，如同100比 ×17872 或者11915，則在時間CT應生成一個速度，它是月球速度的 ，但在時間CPA按照CA比CT或者TP之比，生成較大的一個速度。設在八分點的最大的力EL用等於矩形 TP×Pp的面積FK×Kk表示。且速度，它能由最大的力在任意時間CP生成，比一個速度，它由較小的力EL在相同的時間生成，如同矩形 TP×CP比面積KCGF；但在整個時間CPA生成的速度彼此如同矩形 TP×CA和三角形TCG，或者如同四分之一圓的弧CA和半徑TP。且因此（由《幾何原本 》第V卷命題IX）後一速度，在整個時間所生成的，是月球的速度的 。對月球的這個速度，它與面積的平均的瞬相似，加上並減去另一個速度的一半；且如果平均的瞬用數11915表示，則和11915＋50或者11965表示在朔望A時面積的最大的瞬，且差11915－50或者11865表示在方照時同一面積的最小的瞬。所以，在相等的時間在朔望和在方照畫出的面積，彼此如同11965比11865。最小的瞬11865加上一個瞬，它比瞬的差100如同四邊形FKCG比三角形TCG（或者結果一樣，如同正弦PK的平方比半徑TP的平方，亦即，如同Pd比TP）；則和表示當月球在居間的任意位置P時面積的瞬。 所有這些事情如此，是來自一個假設：太陽和地球靜止，且月球運行的會合周期為27天7小時43分鐘。但由於月球真實的會合周期為29天12小時44分鐘，瞬的增量應接時間之比增大，亦即，按照1080853比1000000的比。按這種方式，總的增量，它是平均的瞬的 ，現在成為平均的瞬的 。且因此在方照時面積的瞬比在朔望時面積的瞬，如同11023－50比11023＋50，或者10973比11073；且比面積的瞬，當月球在其他居間的任意位置P時，如同10973比10973＋Pd，TP取作等於100。 所以，面積，它由向地球引半徑的月球在每一相等的時間小段畫出，在一個半徑為一的圓上，非常近似地如同數219.46 及二倍月球離最近的方照的距離的正矢之和。當變差在八分點是其平均的大小時，有以上這些情形。但如果在那裡的變差較大或者較小，那個正矢應按相同的比增大或者減小。 命題XXVII 問題VIII 從月球的小時運動求它離地球的距離。 面積，它由向地球引半徑的月球在時間的每一個瞬間畫出，如同月球的小時運動和月球離地球的距離的平方的聯合；且所以，月球離地球的距離按照來自面積的二分之一次正比和小時運動的二分之一次反比的複合比。此即所求 。 系理1 因此，月球的視直徑被給定，因為它與月球離地球的距離成反比。讓天文學家嘗試這一規則與天象何等相符。 系理2 因此，從天象可以較以前更精確地確定月球的軌道。 命題XXVIII 問題IX 求軌道的直徑，月球應在其上運動，它無偏心率。 由一個運動物體畫出的軌道的曲率，如果它沿垂直於那個軌道的方向被牽引，與吸引成正比且與速度的平方成反比。我假定曲線的曲率彼此按照相對於相等的半徑的切角的正切或者正弦的最終比，當那些半徑減小以至無窮時。但在朔望向著地球的月球的吸引是其向著地球的重力對太陽的力2PK的超出（見527頁上的圖），由這個力［2PK］向著太陽的月球的加速重力超過向著太陽的地球的加速重力或者被後者超過。但在方照，那個吸引是向著地球的月球的重力和太陽的力KT的和，由它［KT］月球被向著地球牽引。且這些吸引，如果稱 為N，很近似地如同 - 和 + ；或者如同178725N×CTq －2000ATq ×CT和178725N×ATq +1000CTq ×AT。因為如果向著地球的月球的加速重力用數178725表示，平均力ML，它在方照等於PT或者TK並向著地球牽引月球，為1000，則平均力TM在朔望為3000；如果從它減去平均力ML，被保留的力為2000，由它月球在朔望被拉離地球，且我在上面稱它為2PK。但是在朔望A和B時月球的速度比它在方照C和D時的速度，如同CT比AT和在朔望時由向地球引半徑的月球所畫的面積的瞬比在方照時同樣的面積的瞬的聯合，亦即，如同11073CT比10973AT。取這個比的反比兩次和前一個比的正比一次，則月球的軌道在朔望的曲率比在方照它的曲率成為120406729×178725ATq ×CTq ×N－120406729×2000ATqq ×CT比122611329×178725ATq ×CTq ×N+122611329×1000CTqq ×AT，亦即，如同2151969AT×CT×N－24081ATcub. 比2191371AT×CT×N+12261CTcub. 。 因為不知道月球的軌道的形狀，假設我們代之以一個橢圓DBCA，地球被放置在它的中心，且其長軸DC位於方照之間，短軸AB位於朔望之間。但是，由於這個橢圓的平面以一個角運動圍繞地球旋轉，且軌道，我們正考慮其曲率，應在完全失去所有角運動的平面上被畫出，我們必須考慮一個圖形，它由月球在那個橢圓上運行時在這個平面上畫出，這就是圖形Cpa，它的每個點p這樣被發現，在橢圓上取任意點P，它表示月球的位置，並引Tp等於TP，使得角PTp等於太陽自方照C後完成的視運動；或者（這幾乎得出相同的結果）使得角CTp比角CTP如同月球的會合周期的時間比循環運行的時間，或者29d. .12h .44′ （52） 比27d. .7h .43′。所以按相同的比取角CTa比直角CTA，並使長度Ta等於TA，則a 為這個軌道Cpa的下拱點且C為上拱點。但是，通過計算，我發現軌道Cpa在頂點a的曲率，和以中心T間隔TA所畫出的圓的曲率之間的差，比橢圓在頂點A的曲率和同一個圓的曲率的差，按照角CTP比CTp的二次比；且橢圓在A的曲率比那個圓的曲率，按照TA比TC的二次比；又那個圓的曲率比以中心T和間隔TC所畫出的圓的曲率，如同TC比TA；但這個曲率比橢圓在C的曲率，按照TA比TC的二次比；則橢圓在頂點C的曲率和最後一個圓的曲率之間的差，比圖形Tpa在頂點C的曲率和同一個圓的曲率之間的差，按照角CTp比角CTP的二次比。這些比容易從切角的和那些角的差的正弦推得。此外，通過相互比較這些比，得出圖形Cpa在a的曲率比在C它的曲率，如同ATcub. + CTq ×AT比CTcub. + ATq ×CT。這裡數 代表角CTP和CTp的平方的差除以較小的角CTP的平方，或者（這是一樣的）時間27d. .7h .43′和29d. .12h .44′的平方的差除以時間27d .7h .43′的平方。 所以，由於指定a為月球的朔望，且C為它的方照，剛才發現的比例應與上面已發現的月球的軌道在朔望的曲率比在方照它的曲率是相同的。因此，為發現CT比AT的比例，我將外項和外項且內項和內項彼此相乘。把得到的項除以AT×CT，變成2062.79×CTqq －2151969N×CTcub. +368676N×AT×CTq +36342 ATq ×CTq －362047N×ATq ×CT+2191371N×ATcub. +4051.4ATqq =0。當我把項AT和CT的和之半N寫成1，且它們的差之半設為x，則CT＝1＋x，且AT＝1－x；在方程中代入這些值並解所得的方程，得到x等於0.00719，且因此半直徑CT為1.00719，半直徑AT為0.99281，這些數彼此非常近似地如同 和 。所以，月球在朔望時離地球的距離比在方照時它離地球的距離（擯棄考慮偏心率）如同 比 ，或者取整數如同69比70。 命題XXIX 問題X 求二均差（variatio lunœ）。 這一不等性部分地起源於月球的軌道的橢圓形狀，部分地來自面積的瞬的不等性，面積由向地球引半徑的月球畫出。如果月球P在橢圓DBCA上圍繞在橢圓中心靜止的地球運動，且向地球引的半徑TP畫出的面積CTP與時間成比例；又橢圓的最大半直徑CT比最小的半直徑TA如同70比69；角CTP的正切比從方照C算起的平均運動的角的正切，如同橢圓的半直徑TA比它的半直徑TC或者69比70。但當月球自方照向朔望前進時，面積CTP的畫出應如此被加速，在月球的朔望它的瞬比在方照它的瞬如同11073比10973，且使在任意中間位置P時［面積的］瞬對在方照時［面積的］瞬的超出如同角CTP的正弦的平方。這會足夠精確地發生，如果角CTP的正切按照數10973比數11073的二分之一次比減小，亦即，按照數68.6877比數69之比減小。由此，角CTP的正切現在比平均運動的正切如同68.6877比70，且在八分點，那裡的平均運動為45gr. ，發現角CTP為44gr. .27′.28″，從平均運動的角45gr. 中減去它，剩下最大的變差為32′.32″。事情將會如此，如果月球自方照向朔望前進只畫出九十度的角CTA。但是，因為地球的運動，由此運動太陽的視運動被前移，月球，當它趕上太陽時，畫出的角CTa按照月球的會合周期的時間比它運行的循環時間，亦即，按照29d. .12h .44′比27d. .7h .43′的比大於直角。且按這種方式圍繞中心的所有角接相同的比被擴大，而最大的變差不再是32′.32″，現在按相同的比增大為35′.10″。 這是在太陽離地球的平均距離上，忽略差異，它們可能起源於大軌道（orbis magnus）的曲率以及太陽對鐮刀狀的朔月的作用比對凸形的望月的作用大，得到的。在太陽離地球的其他距離上，最大的變差按照一個比，它由來自會合周期的時間（每年的時間被給定）的二次正比和太陽離地球的距離的三次反比複合而成。且因此，在太陽的遠地點，最大的變差為33′.14″，且在它的近地點為37′.11″，只要太陽的偏心距 （53） 比大軌道的橫截的半直徑如同 比1000。 但目前為止，我們已研究了在無偏心率的一條軌道上的變差，在此軌道上，月球在它自己的八分點時總在它離地球的平均距離上。如果月球，由於其偏心率，它離地球的距離大於或者小於如果它在這個軌道上的距離，變差較按照這個規則的變差會略大，或者略小，但超出或者不足我留給天文學家們從天象上確定。 命題XXX 問題XI 在一個圓軌道上求月球的交點的小時運動。 指定S為太陽，T為地球，P為月球，NPn為月球的軌道，Npn為軌道在黃道的平面上的投影，N，n為交點，nTNm為無限延長的交點線；PI，PK為落到直線ST，Qq上的垂線，Pp為落到黃道的平面上的垂線；A，B為在黃道的平面上的月球的朔望；AZ為落到交點線Nn上的垂線；Q，q為月球在黃道的平面上的方照，且pK為落到方照之間的直線Qq上的垂線。攝動月球的運動（由命題XXV）的太陽之力是分成兩部分的，其中一部分與這個命題的圖形中的直線LM成比例，另一部分與直線MT成比例。且前一個力把月球拉向地球，後一個力沿從地球到太陽所引直線的平行線把它拉向太陽。前一個力LM沿月球的軌道的平面作用，且所以一點也不改變平面的位置。因此這個力被忽略了。後一個力MT對月球軌道的攝動與力3PK或者3IT是相同的。且這個力（由命題XXV）比一個力，由它月球能在圍繞靜止的地球的圓上以自己的循環時間均勻地運行，如同3IT比圓的半徑乘以數178.725，或者如同IT比半徑乘以數59.575。但在這個計算，以及以後的一切計算中，我考慮所有自月球到太陽所引的直線作為平行於自地球到太陽所引的直線；因為如此的傾斜在一些情形下對所有影響的減小几乎與它在另一些情況下對所有影響的增大一樣；且我們探究交點的平均運動，忽略這樣的枝節，它們會使計算受到過多的阻礙。 現在指定PM為一段弧，它由月球在給定的極短的時間畫出，且ML為一條短線，在相同的時間月球在施加所說的力3IT的情況下能畫出它的一半。連結PL，MP並延長它們至m和l，在那裡它們與黃道的平面相截；又在Tm上落下垂線PH。又，因為直線ML平行於黃道的平面；且因此，由於直線ml位於那個平面上，它們不可能相交，然而這兩條直線位於一個共同的平面LMPml上；這些直線平行，且由此三角形LMP，lmP相似。現在，由於MPm在軌道的平面上，在其上在位置P的月球在運動，Mpm交過那個軌道的交點N，n引的直線Nn於點m。又由於力，由它短線LM的一半被生成，如果整個力同時且一次施加於位置P，將生成那整條直線；並使月球沿其弦為LP的弧運動，因此月球從平面MPmT上被遷移到平面LPlT上；由那個力產生的交點的角運動等於角mTl。但是ml比mP如同ML比MP，且所以，由於MP因為時間的給定而被給定，ml如同矩形ML×mP，亦即，如同矩形IT×mP。又，角mTl，只要角Tml為直角，就如同（ml）/（Tm），且因此如同（IT×Pm）/（Tm），亦即（由於Tm和mP，TP和PH成比例）如同（IT×PH）/（TP），由於TP給定，因此如同ML×PH。但是，如果角Tml，或者角STN是傾斜的，角mTl按照角STN的正弦比半徑，或者AZ比AT之比而更小。所以交點的速度如同IT×PH×AZ，或者如同三個角TPI，PTN和STN的正弦之下的容量。 如果那些角，當交點在方照和且月球在朔望時，為直角，短線ml遠離以至無窮，且角mTl變得等於角mPl。但在這種情況下，角mPl比角PTM，它由月球在相同的時間由它的視運動圍繞地球畫出，如同1比59.575。因為角mPl等於角LPM，亦即，等於月球從一直線路徑偏轉的角，它能單獨由所說過的太陽的力3IT在那段給定的時間生成，如果月球的重力消失；且角PTM等於月球從一直線路徑偏轉的角，它能由月球被保持在它自己的軌道上的那個力在相同的時間生成，如果太陽的力3IT消失。且這些力，按照我們上面所說，彼此之比如同1比59.575。所以，由於月球相對於恆星的小時平均運動為32′.56″.27. iv ，在這種情況下交點的小時運動為33″.10.33iv .12v 。但是在其他情形，交點的小時運動比33″.10.33iv .12v 如同三個角TPI，PTN，和STN的正弦（或者月球離方照的，月球離交點的和交點離太陽的距離）之下的容量比半徑的立方。且每當任一個角的符號從正變負，且又從負變正時，退行運動應變為前行運動且前行運動變為退行運動。因此，當月球位於方照之一和離方照最近的交點之間時，交點前行。在其他情形，交點退行，且由於退行對前行的超出交點每月被攜帶著向後移動。 系理1 因此，如果從給定的極短的弧PM的端點P和M，向連結方照的直線Qq落下垂線PK，Mk，並延長這些垂線直到它們截交點線Nn於D和d；交點的小時運動如同面積MPDd和直線AZ的平方的聯合。因為PK，PH和AZ為上述的三個正弦。即月球離方照的距離的正弦PK，月球離交點的距離的正弦PH，和交點離太陽的距離的正弦AZ：交點的速度如同容量PK×PH×AZ。但是，PT比PK如同PM比Kk，且因此，由於PT和PM給定，Kk和PK成比例。又，AT比PD如同AZ比PH，且所以PH與矩形PD×AZ成比例，再由比的聯合，PK×PH如同容量Kk×PD×AZ，且PK×PH×AZ如同Kk×PD×AZqu. ，亦即，如同面積PDdM和AZqu. 的聯合。此即所證 。 系理2 在交點的任何給定的位置，其小時平均運動是在月球的朔望時的小時運動的一半，且因此它比16″.35.16iv .36v 的比如同交點離朔望的距離的正弦的平方比半徑的平方，或者如同AZqu. 比ATqu. 。因為如果月球以均勻的運動經過半圓QAq，在月球從Q前進到M期間，所有的面積PDdM的和是面積QMdE，它由圓的切線QE界定；且月球到達點n的時間，那個和是整個面積EQAn，它由直線PD畫出，然後月球從n前進到q，直線PD落在圓的外面，並畫出由圓的切線qe界定的面積nqe；它，因為交點在前面退行而現在前行，應從前者的面積中減去，且因為它等於面積QEN，剩下半圓NQAn。所以在月球畫出半個圓的一段時間，所有面積PDdM的和是半圓的面積；且在月球畫出一個圓的時間所有的面積的和是整個圓的面積。但是面積PDdM，當月球在朔望時，是弧PM和半徑PT之下的矩形；且在月球畫出一個圓的時間，等於這個面積的所有面積的和是整個圓周和圓的半徑之下的矩形；且這個矩形，由於它等於兩個圓，是前一個矩形的兩倍。因此，如果交點以它們在月球的朔望所具有的速度均勻地持續，它們將畫出二倍於它們實際畫出的空間；且所以平均的運動，如果以它均勻地持續，能畫出它們以不等的運動實際畫出的空間，是它們在月球的朔望所具有的運動的一半。因此，由於最大的小時運動，如果交點在方照，是33″.10.33iv .12v ，在這一情形的小時平均運動是16″.35.16iv .36v 。且由於交點的小時運動總如同AZqu. 和面積PDdM的聯合，且所以交點的小時運動在月球的朔望如同AZqu. 和面積PDdM的聯合，亦即（由於畫出的面積PDdM在朔望被給定）如同AZqu. ，平均運動也如同AZqu. ；且因此這個運動，當交點在方照之外，比16″.35.16iv .36v ，如同AZqu. 比ATqu. 。此即所證。 命題XXXI 問題XII 在一個橢圓軌道上求月球的交點的小時運動。 指定Qpmaq為以長軸Qq，短軸ab畫出的一個橢圓，QAqB為一個外接圓；T為在兩者公共的中心的地球，S為太陽，p為在橢圓上運動的月球，且pm為在給定的極短的時間段月球畫出的弧，N和n為由直線Nn連結的交點，pK和mk為落在軸Qq上的垂線並向兩邊延長直到它們交圓於P和M，且與交點線交於D和d。再者，如果月球，由向地球引的一個半徑，畫出的面積與時間成比例，在橢圓上的交點的小時運動如同面積pDdm和AZq 的聯合。 因為，如果PF切圓於P，且延長交TN於F，又pf切橢圓於p並延長交同一TN於f，這些切線在軸TQ上相遇於Y；且如果指定ML為一段空間，它能由在圓上運行的月球，在它畫出弧PM期間，在以上說過的力3IT或者3PK的壓迫和推動下以橫向的運動畫出；且指定ml為一段空間，它能由在橢圓上運行的月球在相同時間，也在力3IT或者3PK的推動下畫出；再延長LP和lp直到它們交黃道的平面於G和g；又連結FG和fg，延長其中的FG分別截pf，pg和TQ於c，e和R，且延長fg截TQ於r。因為在圓上的力3IT或者3PK比在橢圓上的力3IT或者3pK，如同PK比pK，或者AT比aT；由前一個力生成的空間ML比後一個力生成的空間ml，如同PK比pK，亦即，由於圖形PYKp和FYRc相似，如同FR比cR。但是ML比FG（由於三角形PLM，PGF相似）如同PL比PG，這就是（由於Lk，PK，GR平行）如同pl比pe，亦即（由於三角形plm，cpe相似）如同lm比ce；且與LM比lm成反比，或者如同FR比cR，於是如同FG比ce。所以，如果fg比ce如同fY比cY，亦即，如同fr比cR（這就是，如同fr比FR和FR比cR的聯合，亦即，如同fT比FT和FG比ce的聯合），因為兩邊除去FG比ce之比，剩下fg比FG之比和fT比FT之比，有fg比FG如同fT比FT；且因此FG和fg 對地球T所張的角彼此相等。但那些角（由我們在上一命題所陳述的）等於是交點的運動，在此期間月球在圓上跑過弧PM，在橢圓上跑過弧pm；且所以在圓上和在橢圓上交點的運動彼此相等。事情就是如此，只要fg比ce如同fY比cY，亦即，如果fg等於 。但是，由於三角形fgp，cep相似，fg比ce如同fp比cp；且因此fg等於 ；且所以角，它由fg實際張成，比前一個角，它由FG張成，這就是，在橢圓上交點的運動比在圓上交點的運動，如同這個fg或者 比前一個fg或者 ，亦即，如同fp×cY比fY×cp，或者fp比fY和cY比cp，這就是，如果與TN平行的ph交FP於h，如同Fh比FY和FY比FP；這就是，如同Fh比FP或者Dp比DP，且因此如同面積Dpmd比面積DPMd。且所以，因為（由命題XXX系理1）後一個面積和AZq 的聯合與在圓上交點的小時運動成比例，則前一個面積和AZq 的聯合與在橢圓上交點的小時運動成比例。此即所證。 系理 所以，由於在交點的任意給定的位置，在月球從方照前進到任意的位置m期間，所有面積pDdm的和，等於面積mpQEd，它由橢圓的切線QE界定；在一次完整的運行中，所有那些面積之和等於整個橢圓的面積：在橢圓上交點的平均運動比在圓上交點的平均運動，如同橢圓比圓；亦即，如同Ta比TA，或者69比70。且所以，因為（由命題XXX系理2）在圓上交點的平均小時運動比16″.35.16iv .36v 如同AZqu. 比ATqu. ，如果取角16″.21.3iv .30v 比角16″.35.16iv .36v 如同69比70，則在橢圓上交點的平均小時運動比16″.21.3iv .30v 如同AZqu. 比ATqu. ；這就是，如同交點離太陽的距離的正弦的平方比半徑的平方。 但月球，由向地球引的一條半徑，畫出的面積在方照比在朔望迅速，且因此在朔望的時間被縮短，在方照被延長；又交點的運動隨著時間被增大或者減小。但在月球的方照面積的瞬比在朔望它的瞬如同10973比11073，且所以在八分點時平均的瞬比在朔望時的超出，以及在方照時的缺失，如同那些數的和之半11023比它們的差之半50。因此，由於月球在其軌道的每一個相等的小部分的時間與它的速度成反比，在八分點時的平均的時間比在方照時時間的超出，以及在朔望時的缺失，由於這個原因，很接近地如同11023比50。但對從方照到朔望，我發現在任一個位置的面積的瞬對在方照的最小的瞬的超出，很近似地如同月球離方照的距離的正弦的平方；且所以在任意位置的瞬和在八分點的平均的瞬的差如同月球離方照的距離的正弦的平方與45度的正弦的平方，或者半徑的平方的一半的差；且在八分點和方照之間任一位置的時間的增量，以及在八分點和朔望之間其減量，按照相同的比。但交點的運動，在此期間月球跑過任一相等的一小段軌道，按照時間的二次比被加速或者遲滯。因為那個運動，當月球跑過PM（其他情況相同）期間，如同ML，又ML按照時間的二次比。所以，交點在朔望的運動，在月球跑過其軌道的給定的小部分的時間所完成的，按照數11073比數11023的二次比減小；且減量比剩餘的運動如同100比10973，比總的運動很近似地如同100比11073。但在八分點和朔望之間的位置上的減量和在八分點和方照之間的位置上的增量，比這個減量，很近似地如同在那些位置的整個運動比在朔望的整個運動，和月球離方照的距離的正弦的平方與半徑的平方的一半之間的差比半徑的平方的一半的聯合。因此如果交點在方照，並取離八分點等距離的兩個位置，一個在一側，一個在另一側，且離朔望和離方照以同樣的距離取另兩個位置，又若從在朔望和八分點之間的兩個位置的運動的減量減去在其餘兩個位置的運動的增量，這兩個位置在八分點和方照之間；剩下的減量等於在朔望的減量，進行計算容易得出。且所以，平均的減量，應從交點的平均運動減去的，是在朔望的減量的四分之一。在朔望交點的整個小時運動，在月球向地球所引半徑畫出的面積被假定為與時間成比例時，為32″.42.7iv 。且交點的運動的減量，在現在月球更迅速地畫出相同的空間的時間裡，按我們剛才所說，比這個運動，如同100比11073；且因此那個減量為17.43iv .11v ，它的四分之一為4.25iv .48v ，從上面發現的平均小時運動16″.21.3iv .30v 減去它，剩下正確的平均小時運動16″.16.37iv .42v 。 如果交點在方照之外，且針對離朔望距離相等的兩個位置，一個在一側，一個在另一側；當月球在這些位置時，交點的運動的和，比當月球在同樣的位置且交點在方照時運動的和，如同AZqu. 比ATqu. 。且運動的減量，它起源於剛才闡述的原因，相互之比如同運動自身，所以剩下的運動相互之比如同AZqu. 比ATqu. ，且平均運動如同剩下的運動。於是正確的平均小時運動，在交點任意給定的位置，比16″.16.37iv .42v ，如同AZqu. 比ATqu.；亦即，如同交點離朔望的距離的正弦的平方比半徑的平方。 命題XXXII 問題XIII 求月球的交點的平均運動。 平均年運動是在一年中的所有平均小時運動的和。設想交點在N，且由於每一小時的運動已完成，它被拉回到原來的位置，使得儘管有它自身的正常運動，相對於恆星它總被保持在某一給定的位置。在此期間太陽S，由於地球的運動，太陽從交點前進且以均勻的運動完成其視年路徑。此外，設Aa為給定的極短的弧，總向太陽引直線TS，它與圓NAn的相交部分在給定的極短的時間畫出弧Aa：則平均小時運動（由已顯示的）如同AZq，亦即（由於AZ，ZY成比例）如同AZ和ZY之下的矩形，這就是，如同面積AZYa。從開始所有平均小時運動的和，如同所有面積aYZA的和，亦即，如同面積NAZ。但是最大的［面積］AZYa等於弧Aa和圓的半徑之下的矩形；且所以在整個圓中所有矩形的和比同樣數目的最大的矩形的和，如同整個圓的面積比整個圓的圓周和半徑之下的矩形，亦即，如同1比2。此外，最大的矩形對應的小時運動，是16″.16.37iv .42v 。且這個運動，在一個整恆星年的365天6小時9分鐘中累計為39gr. .38′.7″.50。且因此，它的一半19gr. .49′.3″.55，是對應於整個圓的交點的平均運動。且交點的運動，在太陽自N前進到A的時間，比19gr. .49′.3″.55，如同面積NAZ比整個圓。 這些論斷如此來自假設，交點每小時被拉回到它原來的位置，這樣使得太陽在一整年過完時返回到相同的交點，它曾經從這裡開始離開。但是由於交點的運動使得太陽更迅速地轉回到交點，且現在必須計算時間的縮短。由於太陽在一整年完成360度，且在相同的時間交點以其最大的運動完成39gr. .38′.3″.50，或者39.6355度；又在任意位置N時交點的平均運動比在方照時它的平均運動，如同AZq 比ATq ：太陽的運動比在N時交點的運動，如同360ATq 比39.6355AZq ；亦即，如同9.0827646ATq 比AZq 。因此，如果整個圓的圓周NAn被分為相等的小部分Aa，時間，在此期間太陽跑過小部分Aa，如果圓靜止，比一段時間，在此期間它跑過相同的小部分，如果圓與交點一起圍繞中心T旋轉，與9.0827646ATq 比9.0827646ATq +AZq 成反比。由於時間與跑過小部分的速度成反比，且這個速度是太陽的和交點的速度之和。所以時間，如果在此期間交點沒有運動，太陽跑過弧NA，由扇形NTA表示，且時間的小部分，在此期間它跑過極短的弧Aa，由扇形的小部分ATa表示；又（在Nn上落下垂線aY）如果在AZ上取dZ，其長度使得dZ和ZY構成的矩形比扇形的小部分ATa如同AZq 比9.0827646ATq +AZq ，亦即，使得dZ比 AZ如同AZq 比9.0827646ATq +AZq ，dZ和ZY構成的矩形表示在弧Aa被跑過的整個時間中起源於交點運動的時間的減量。且如果點d 占據曲線NdGn，曲線的面積NdZ是整個減量，在此期間整個弧NA被跑過；所以扇形NAT對面積NdZ的超出是那整個時間。又因為交點的運動在較短時間按時間的比較小，面積AaYZ應按相同的比減小。這將會發生，如果在AZ上取一段長度eZ，它比長度AZ如同AZq 比9.0827646ATq +AZq 。因為這樣eZ和ZY構成的矩形比面積AZYa如同時間的減量，在此期間弧Aa被跑過，比整個時間，在此期間弧［Aa］被跑過，如果交點靜止：所以那個矩形對應於交點的運動的減量。又，如果點e點據曲線NeFn，整個面積NeZ，它是所有減量的和，在弧AN被跑過的時間，對應於整個減量；且剩餘的面積對應於剩餘的運動，在整個弧NA被太陽的和交點的聯合的運動跑過的時間，它是交點的真運動。現在，由無窮級數法找到半圓的面積比圖形NeFn的面積，很接近地如同793比60。但是運動，它對應於整個圓，是19gr. .49′.3″.55，且所以運動，它對應於二倍的圖形NeFn，是1gr. .29′.58″.2。從前一個運動中減去它，剩下18gr. .19′.5″.53，是交點相對於恆星在它兩次與太陽會合期間的整個運動；且從太陽的年運動360度中減去這個運動，剩下的341gr. .40′.54″.7是太陽在相同的會合期間的運動。但由於這個運動比年運動360gr. ，如同剛發現的交點的運動18gr. .19′.5″.53比它自己的年運動，所以它為19gr. .18′.1″.23。這是在一個恆星年中交點的平均運動。由天文表這個值是19gr. .21′.21″.50。差小於整個運動的三百分之一，且似乎起源於月球的軌道的偏心率和對於黃道的平面的傾角。由於軌道的偏心，交點的運動被過度加速，另一方面，由於其傾角，交點的運動有些被遲滯，並導致其恰當的速度。 命題XXXIII 問題XIV 求月球的交點的真實運動。 在時間，它如同面積NTA－NdZ（在上圖中），運動如同面積NAe，且因此被給定。但是由於計算過於困難，應用問題的下述作法更好。以中心C，任意間隔CD畫圓BEFD。延長DC至A，使得AB比AC如同當交點在方照時的平均運動比一半的真實的平均運動，亦即，如同19gr. .18′.1″.23比19gr. .49′.3″.55，且因此BC比AC如同運動的差0gr. .31′.2″.32，比後一個運動19gr. .49′.3″.55，這就是，如同1比 ；然後過D引無限的直線Gg，它切圓於D；如果又取角BCE或者BCF等於二倍的太陽離交點的位置的距離，作為通過平均運動發現的；再作AE或者AF截垂線DG於G；並取一個角，它比在其朔望之間交點的整個運動（亦即，比9gr. .11′.3″）如同切線DG比圓BED的整個圓周；並加上這個角（對此可用角DAG）到交點的平均運動中，當交點越過方照向朔望時；並從相同的平均運動中被減去，當交點越過朔望向方照時；得到它們的真實運動。因為如此發現的真實運動與時間由面積NTA－NdZ且交點的運動由面積NAe表示得到的真實運動非常接近；對任何斟酌此事並進行計算的人，是顯然的。這是交點運動的半年差（aequatio semestris）。也存在月差（aequatio menstrua），但對求月球的緯度絕不需要。因為由於月球對於黃道的平面的傾角的變化附屬於兩個均差，一為半年的，一為一月的；這個變差的月均差（menstrua inaequalitas）和交點的月差，彼此相互節制和修正，使得兩者在確定月球的緯度中能被忽略。 系理 從本命題和前面的一個命題，顯然，交點在它們的朔望是靜止的，但在方照，它們以16″.19.26iv 的小時運動退行。且在八分點，交點的運動的變差為1gr. .30′。所有這些與天象適相吻合。 解釋 求交點的運動的其他方法已由格雷欣［學院］的天文學教授約翰·梅欽 和醫學博士亨利·彭伯頓 分別發現。這個方法在別處曾被提到。兩人的論文，就我所見，包含兩個命題，且兩者彼此一致。梅欽先生的論文，由於先到我手中，附於此。 論月球的交點的運動 命題 I 離開交點的太陽的平均運動，由太陽的平均運動和那個平均運動之間的幾何比例中項確定，太陽由那個平均運動最迅速地退離在方照的交點。 設T為地球所在的位置，Nn為在任意給定的時刻月球的交點線，引一直線KTM與這條直線成直角，直線TA圍繞中心以太陽和交點相互退離的角速度轉動，如此使得靜止的直線Nn和旋轉的TA之間的角總等於太陽的和交點的位置之間的距離。現在如果任意的直線TK被分成部分TS和SK，使得它們如同太陽的平均小時運動比在方照時交點的平均小時運動，且設直線TH是部分TS和整體TK之間的比例中項，其中的這條直線［TH］與太陽離開交點的平均運動成比例。 由於以中心T和半徑TK畫圓NKnM，又以相同的中心和半軸TH和TN畫橢圓NHnL，且時間，在此期間太陽經弧Na退離交點，如果引直線Tba，扇形NTa的面積表示在相同的時間交點的和太陽的運動的和。所以，設aA是極短的弧，它由直線Tba按照前面所說的定律轉動並在給定的一小段時間均勻地畫出，且極小的扇形TAa如同速度的和，太陽和交點在那時以它們分別被移動。但是太陽的速度幾乎是均勻的，因為它的小的不等性難以在交點的運動中引入變化。這個和的另一部分，即交點按自身平均量的速度，由《原理 》第III卷命題XXXI的系理，在退離朔望時按它離太陽的距離的正弦的二次比被增大；且它的［速度］相對於K處的太陽位於方照時最大，這個速度比太陽的速度與SK比TS有相同的比，這即是如同（TK和TH的平方的差或者）矩形KHM比正方形TH。但橢圓NBH將這個表示兩個速度之和的扇形ATa分為兩部分ABba和BTb，它們與速度成比例。因為，延長BT至圓上的β，並從點B向長軸落下垂線BG，它向兩個方向延長交圓於點F和f，又因為空間ABba比扇形TBb如同矩形ABβ比正方形BT（因那個矩形等於來自TA和TB的正方形的差，由於Aβ在T被平分且在B不被平分）。所以這個比，當空間ABba在K最大時，與矩形KHM比正方形HT的比相同；但交點的最大的平均速度比太陽的速度按照這個比。所以在方照扇形ATa被分成與速度成比例的部分。又因為矩形KHM比正方形HT如同［矩形］FBf比正方形BG，且矩形ABβ等於矩形FBf。所以一小塊面積ABba當它最大時比餘下的扇形TBb，如同矩形ABβ比正方形BG。但這些小面積的比總如同矩形ABβ比正方形BT；且所以在位置A時的小面積ABba按照BG比BT的二次比，就是按照太陽離交點的距離的正弦的二次比，小於在方照時的類似的小面積。又由於所有小面積ABba的和，即空間ABN如同交點在一段時間的運動，在此期間太陽通過弧NA遠離交點。且剩下的空間，即橢圓扇形NTB如同太陽在相同時間的平均運動。所以，因為交點的平均年運動是它在一段時間發生的運動，在此期間太陽完成了自己的循環，交點離開太陽的平均運動比太陽自身的平均運動，如同圓的面積比橢圓的面積，這就是，如同直線TK比直線TH，即TK和TS之間的比例中項；或者得到同樣的結果，如同比例中項 TH比直線TS。 命 題 II 給定月球的交點的平均運動求真實運動。 設角A為太陽離交點的平均位置的距離，或者太陽離開交點的平均運動。如果又取角B，它的正切比角A的正切如同TH比TK，這就是，按照太陽的平均小時運動比當交點位於方照時太陽離開交點的平均小時運動的二分之一次比；同一個角B是太陽離開交點的真實位置的距離。因為連結FT，且從上一命題的證明中，角FTN是太陽離交點的平均位置的距離，而角ATN為太陽離交點的真實位置的距離，且這些角的正切彼此如同TK比TH。 系理 因此，角FTA為月球交點的均差，且當這個角的正弦最大時是在八分點，它比半徑如同KH比TK＋TH。但在其他任意位置A這個均差的正弦比最大的正弦，如同角的和FTN＋ATN的正弦比半徑：這幾乎如同二倍的太陽離交點的平均位置的距離（即2FTN）的正弦比半徑。 解釋 如果交點的平均小時運動在方照為16″.16.37iv .42v ，這就是在整個恆星年中為39°.38′.7″.50，TH比TK按照數9.0827646比數10.0827646的二分之一次比，這就是，如同18.6524761比19.6524761。且所以TH比HK如同18.6524761比1，這就是如同太陽在一個恆星年中的運動比交點的平均運動19°.18′.1″. 。 但是，如果月球的交點的平均運動在20儒略年 （54） 的386°.50′.15″，作為在觀測中得到的並用於月球的理論：則交點的平均運動在一恆星年為19°.20′.31″.58，且TH比HK如同360gr. 比19°.20′.31″.58′″，這就是，如同18.61214比1，因此交點在方照的平均小時運動成為16″.18.48iv 。且交點在八分點的最大均差為1°.29′.57″。 命題XXXIV 問題XV 求月球的軌道對於黃道的平面的傾角的小時變差。 指定A和a為朔望；Q和q為方照；N和n為交點；P為月球在它自己軌道上的位置，p為那個位置在黃道的平面上的射影，且為mTl為交點的運動的瞬如上。且如果向直線Tm落下垂線PG，連結pG，並延長它直至交Tl於g，再者也連結Pg；角PGp為當月球在P時月球的軌道對黃道的平面的傾角；且角Pgp為相同的軌道在時間的瞬完成之後的傾角，且因此角GPg為傾角的瞬時變化。但這個角GPg比角GTg如同TG比PG和Pp比PG的聯合。且所以，如果以一小時代替時間的瞬；由於角GTg（由命題XXX）比角33″.10.33iv 如同IT×PG×AZ比ATcub. ，則角GPg（或者傾角的小時變差）比33″.10.33iv ，如同IT×AZ×TG×[（Pp）/（PG）]比ATcub. ，此即所求 。 如果假設月球在一條圓軌道上均勻地旋轉，這些結果就是如此。但是，如果那個軌道是橢圓，交點的平均運動按照短軸比長軸之比減小，正如上面所闡述的。且傾角的變差也按照相同的比減小。 系理1 如果在Nn上豎立垂線TF，且設pM為月球在黃道的平面內的小時運動，並在QT上落下垂線pK和Mk，延長兩者交TF與H和h：則IT比AT如同Kk比Mp，TG比Hp如同TZ比AT，且所以IT×TG等於（Kk×Hp×TZ）/（Mp），這就是，等於面積HpMh乘以比（TZ）/（Mp）；所以傾角的小時變差比33″.10.33iv 如同HpMh乘以AZ×[（TZ）/（Mp）]×[（Pp）/（PG）]比ATcub. 。 系理2 且因此，如果每個小時完成時，地球和交點從它們的新位置被拉回，並總是迅速地返回到它們原來的位置，使得經過一個整周期月它們給定的位置被保持，那個月的時間產生的傾角的整個變差比33″.10.33iv 如同點p在一次繞行期間生成的所有面積HpMh的累積，並由適當的符號「+」和「－」連接起來，再乘以AZ×TZ×[（Pp）/（PG）]比Mp×ATcub. 。亦即，如同整個圓QAqa乘以AZ×TZ×[（Pp）/（PG）]比Mp×ATcub. ，也就是，如同QAqa的周長乘以AZ×TZ×[（Pp）/（PG）]比2Mp×ATq 。 系理3 所以，在交點的一個給定的位置，平均小時變差，它從該處均勻地持續一個月能產生那個月變差，比33″.10.33iv ，如同AZ×TZ×[（Pp）/（PG）]比2ATq ，或者如同Pp× 比PG×4AT，亦即（因Pp比PG如同上面所說的傾角的正弦比半徑，且 比4AT如同二倍的角ATn的正弦比四倍的半徑）如同同一個傾角的正弦乘以二倍的交點離太陽的距離的正弦比四倍的半徑的平方。 系理4 因為，當交點在方照時，傾角的小時變差（由本命題）比角33″.10.33iv 如同IT×AZ×TG×[（Pp）/（PG）]比ATcub. ，亦即，如同 ×[（Pp）/（PG）]比2AT；這就是，如同月球離方照的距離的二倍的正弦乘以[（Pp）/（PG）]比二倍的半徑；在交點的這一位置月球從方照移動到朔望期間（亦即，在17716小時的時間）的所有小時變差的和比同樣數目的角33″.10.33iv 之和，或者5878″，如同所有月球離方照的距離的二倍的正弦的和乘以[（Pp）/（PG）]比同樣數目的直徑的和；這就是，如同直徑乘以（Pp）/（PG）比圓周；亦即，若傾角為5gr. .1′，如同7× 比22，或者278比10000。且因此，總的變差，它由所述期間所有小時變差的和湊成，為163″，或者2′.43″。 命題XXXV 問題XVI 給定時間，求月球的軌道對於黃道的平面的傾角。 設AD為最大的傾角的正弦，且AB為最小的傾角的正弦。BD在C被平分，且以C為中心，BC為間隔畫一個圓BGD。在AC上按照CE比EB之比與EB比2BA所具有的比相同，取CE；且對給定的時間，角AEG設為等於二倍的交點離方照的距離，並向AD落下垂線GH：則AH為尋求的傾角的正弦。 因為GEq 等於GEq +HEq =BHD+HEq =HBD+HEq －BHq =HBD+BEq －2BH×BE=BEq +2EC×BH=2EC×AB+2EC×BH=2EC×AH。且因此，由於2EC被給定，GEq 如同AH。現在指定AEg為某個給定的時間的瞬完成之後，交點離方照的距離的二倍，則弧Gg 由於角Geg被給定，如同距離GE。但是Hh比Gg 如同GH比GC，於是Hh如同容量GH×Gg，或者GH×GE；亦即，如同[（GH）/（GE）]×GEq 或者[（GH）/（GE）]×AH，亦即，如同AH和角AEG的正弦的聯合。所以，如果AH在任意一種情形是傾角的正弦，由上一命題的系理3，它將以相同的增量與傾角的正弦一起增大，且所以總與那個正弦保持相等。但AH，當點G無論落在點B或者點D時，等於這個正弦，且所以總保持與它相等。此即所證 。 在這一證明中我曾假設角BEG，它是二倍的交點離方照的距離，均勻地增大。因為沒有時間考慮均差的所有細節，現在設想角BEG為一直角，且在此情形Gg為二倍的交點和太陽彼此離開的距離的小時增加；且在同一情形傾角的小時變差（由上一命題的系理3）比33″.10.33iv 如同傾角的正弦AH和直角BEG的正弦之下的容量，比四倍的半徑的平方，BEG是二倍的交點離太陽的距離；亦即，如同平均傾角的正弦AH比四倍的半徑；這就是（由於那個平均傾角約為5gr. . ′）如同其正弦896比四倍的半徑40000，或者如同224比10000。且總的變差，與正弦的差BD對應，比那個小時變差，如同直徑BD比弧Gg；亦即，如同直徑BD比半圓周BGD和時間 小時，在此期間交點自方照前進到朔望，比一小時的聯合；這就是，如同7比22和 比1的聯合。所以，如果所有的比聯合起來，總的變差BD比33″.10.33iv 如同224×7× 比110000，亦即，如同29645比1000，且因此得出那個變差BD為16′. ″。 這是不考慮月球在它自己的軌道上的位置時傾角的最大變差。因為傾角，如果交點在朔望，一點也不會由於月球的位置的不同而變化。但如果交點在方照，月球在朔望時的傾角小於月球在方照時的傾角，超出為2′.43″；正如我們在上一命題的系理四所指明的。且月球在方照，總的平均變差BD，減少這個超出的一半1′. ″，變為15′.12″，但在朔望增大相同的量，變為17′.45″。所以，如果月球出現在朔望，總的變差在交點在從方照到朔望的路徑上為17′.45″；且因此，如果傾角，當交點在朔望時，為5gr. .17′.20″；則當交點在方照且月球在朔望時，為4gr. .59′.35″。且這些結果已被觀測證實。 如果現在需求當月球在朔望而交點在任意位置時軌道的傾角；設AB比AD如同4gr. .59′.35″的正弦比5gr. .17′.20″的正弦，並取角AEG等於二倍的交點離方照的距離：則AH是所尋求的傾角的正弦。當月球離交點90gr. 遠時，軌道的傾角等於這個傾角。在月球的其他位置，月均差，它從屬於傾角的變化，在計算月球的緯度時以消除的方式為交點運動的月均差所平衡（如我們在以上所說），且因此在緯度的計算中可以被忽視。 解釋 我期望由月球運動的這些計算證明，月球的運動能由重力的理論從它們的原因算出。由同一理論我更發現月球的平均運動的周年差（æquatio annua），按照第一卷命題LXVI系理6，起源於月球的軌道的傾角由於太陽的力發生的變化。當太陽在近地點，這個力較大，且擴大月球的軌道；在遠地點它較小，且允許那個軌道收縮。在被擴大的軌道上月球運行得較緩慢，在被收縮的軌道上月球運行得較迅速；且周年差，由它這一不等性被補償，在太陽的遠地點和近地點消失，在太陽離地球的平均距離上大約升高到11′.50″，在其他位置與太陽的中心差成比例；且當地球自它的遠日點向近日點前進中，它被加到月球的平均運動上，又在軌道的對面部分，它被從月球的平均運動中減去。假定地球的大軌道的半徑為1000，且地球的偏心距為 ，這個差，當它最大時，由重力理論得出為11′.49″。但地球的偏心率似乎略大；且如果偏心率增大這個差應按相同的比被增大。設偏心距為 ，則最大的差為11′.51″。 我也發現，在地球的近日點，因為太陽的力較大，月球的遠地點和交點比在地球的遠日點運動得迅速，且按照地球離太陽的距離的三次反比。且由此引起這些運動的周年差與太陽的中心差成比例。但是，太陽的運動按照地球離太陽的距離的二次反比，且最大的中心差，它由這一不等性生成，是1gr. .56′.20″，與前面所說太陽的偏心率 對應。且如果太陽的運動按照距離的三次反比，則由這一不等性生成的最大的［中心］差為2gr. .54′.30″。且所以最大的差，它由月球的遠地點和交點的運動的不等性生成，比2gr. .54′.30″，如同月球的遠地點的日平均運動和月球的交點的日平均運動比太陽的日平均運動。因此，得到遠地點的平均運動的最大的差為19′.43″，且交點的平均運動的最大的差為9′.24″。當地球由其近日點向遠日點前進時，加上前一個差且減去後一個差；又在軌道的相對的部分發生相反的情形。 由重力理論亦可確立太陽對月球的作用，當月球的軌道的橫截直徑穿過太陽時比當這條直徑與地球和太陽的連線成直角時稍大；且所以月球的軌道在前一種情形較後者稍大。且因此產生月球的平均運動的另一個差，它依賴月球的遠地點對於太陽的位置；這個差當月球的遠地點離太陽四十五度遠時為最大；且當遠地點抵達方照或者朔望時消失：在月球的遠地點自太陽的方照到朔望的路徑上它被加到平均運動上，且在月球的遠地點自朔望到方照的路徑中它被從平均運動中減去。這個差，我將稱之為半年的，在遠地點的八分點為最大，盡我能從天象推出的，約上升到3′.45″。這是在太陽離地球的平均距離時它的量。它按照太陽的距離的三次反比增大或者減小，因此在太陽的最大的距離很接近地為3′.34″，且在最小的距離很接近地為3′.56″；且當月球的遠地點位於八分點之外時，它變得更小；且它比最大的差，如同月球的遠地點離最近的朔望或者方照的距離的二倍的正弦比半徑。 由同一重力理論，太陽對月球的作用當過月球的交點引的直線經過太陽時比當那條直線與太陽和地球的連線成直角時稍大。且因此產生月球平均運動的另一個差，我稱之為第二半年差，且它當交點離太陽四十五度遠時最大，且當交點在朔望和方照時消失，在交點的其他位置與交點離最近的朔望或者方照的距離的二倍的正弦成比例；如果太陽在離它最近的交點的前面，它被加到月球的平均運動，且如果太陽在後面，它被從月球的平均運動中減去；且在離太陽四十五度遠，在那裡它最大，在太陽離地球的平均距離，上升到47″，正如我由重力理論推得的。在太陽的其他距離，這個在離交點四十五度遠時最大的差與太陽離地球的距離的立方成反比，且因此在太陽的近地點約上升到49″，在其遠地點約上升到45″。 由同一重力理論，月球的遠地點當它與太陽會合時或者相對時，它儘可能快地前進；當它相對於太陽在方照時，它後退。且由第I卷命題LXVI系理7、8和9，偏心率在前一種情形最大且在後一種情形最小。又由相同的系理，這些不等性極大，並生成遠地點的主差，我稱它是半年的。且最大的半年差，盡我能從天象推出的，約為12gr. .18′。我們的同國人霍羅克斯 ，首先提出月球在圍繞地球的一個橢圓上運動，地球位於其下焦點上。哈雷 把橢圓的中心安置在一本輪（epicyclus）上，其中心均勻地圍繞地球旋轉。且由在旋輪線上的運動引起以上提到的在遠地點的前行和後退以及在偏心率的量上的不等性。假設月球離地球的平均距離被分成100000份，並設T表示地球且TC表示5505份的月球的平均偏心距。延長TC至B，使得CB是最大的半年差12gr. .18′對於半徑TC的正弦，則以中心C，間隔CB畫出的圓BDA是那個本輪，月球的軌道的中心被安置在其上並沿字母BDA的順序旋轉。取角BCD等於二倍的年角距（argumentum annum），或者二倍的太陽的真實位置離被一次取平後的月球的遠地點的距離，則CTD為月球的遠地點的半年差，而TD為其軌道的偏心率，趨向被二次取平後的遠地點。但是，有了月球的平均運動和遠地點以及偏心率，以及有200000份的軌道的長軸；由這些［數據］通過熟知的方法求得月球在其軌道上的真實位置和它離地球的距離。 在地球的近日點，因為太陽的力較大，月球的軌道的中心圍繞中心C比在遠日點運動得更迅速，且這按照地球離太陽的距離的三次反比。由於太陽的中心差被包含在年角距中，月球的軌道的中心按照地球離太陽的距離的二次反比在本輪BDA上更迅速地運動。為使同一個中心按照距離的簡單反比運動得更迅速；由軌道的中心D引一直線DE朝向月球的遠地點，或者平行於直線TC；再取角EDF等於前面所說的年角距對月球的遠地點沿向前的方向離太陽的近地點的距離的超出；或者這也得出同樣的結果，取角CDF等於太陽的真近點角對360度的補角。又設DF比DC如同二倍的大軌道的偏心距比太陽離地球的平均距離和離開月球的遠地點的太陽的日平均運動比離開它自己的遠地點的太陽的日平均運動的聯合，亦即，如同 比1000和52′.27″.16比59′.8″.10的聯合，或者如同3比100。再想像月球的軌道的中心位於點F，且在一中心為D，半徑為DF的本輪上旋轉，在此期間點D在圓DABD的周線上前進。因為按這種方式，月球的軌道的中心在圍繞中心C畫出的某一曲線上運動的速度，很近似地與太陽離地球的距離的立方成反比，正如它應當的。 這一運動的計算是困難的，但可由以下的近似變得容易。如果設月球離地球的平均距離為100000份，且偏心距TC為5505，如同上面；直線CB或者CD被發現為 份，直線DF為 份。且這條直線［DF］在距離TC對著一個在地球的角，軌道的中心在這個中心的運動中自位置D到位置F的遷移中生成它；且同一直線的二倍在平行的位置以月球的軌道的上焦點離地球的距離，對著在地球的相同的角，在焦點的運動中生成那個遷移；且在月球離地球的距離它對著一個角，在月球的運動中生成相同的遷移，且所以可以稱為第二中心差。再者，這個差，在月球離地球的平均距離，很接近地如同一個角的正弦，角由那條直線DF與自點F向月球所引的直線圍成，且當它最大時為2′.25″。但直線DF和自F向月球所引的直線包含的角，或者通過從月球的平均近點角減去角EDF得到，或者通過月球的遠地點離太陽的遠地點的距離加上月球離太陽的距離得到。且由於半徑比如此被發現的那個角的正弦，如同2′.25″比第二中心差。如果那個和小於半圓，第二中心差被加上；如果那個和大於半圓被減去。由此能夠發現月球在［兩個］發光體的朔望時它的經度。 由於地球的大氣直到35或者40哩的高度折射太陽光，通過折射，光線被散射到地球的陰影里，且由於光線在陰影邊緣的散射擴大了陰影；對於陰影的直徑，它由視差發現，在月食時我加上一分或者一分三十秒。 然而，月球的理論應由天象檢查和證實，首先在朔望，其次在方照，而且最後在八分點。且任何著手完成這項工作的人在格林尼治皇家天文台用在舊曆 （55） （stilus vetus）1700年12月的最後一天的正午時太陽和月球的如下的平均運動，當不會不相宜，即，太陽的平均運動 20gr. .43′.40″，且其遠地點的平均運動 7gr. .44′.30″，又月球的平均運動 15gr. .21′.00″，且其遠地點的平均運動 8gr. .20′.00″，其升交點的平均運動 27gr. .24′.20″，又這座天文台和巴黎 皇家天文台的子午線的差為0hor. .9min. .20 sec.（56） ；但月球的和其遠地點的平均運動尚未充分精確地確定。 命題XXXVI 問題XVII 求移動海洋的太陽的力。 太陽的力ML或者PT，在月球的方照，對月球運動的攝動（由本卷命題XXV）比我們周圍的重力，如同1比638092.6。且力TM－LM或者2PK在月球的朔望是［在方照時的］二倍。但是這些力，如果下降到地球的表面，它們按照離地球的中心的距離之比減小，亦即，按照 比1之比；且因此前一個力在地球的表面比重力如同1比38604600。由這個力海洋在一些地方受到壓迫，那裡離太陽90度遠。另一個力，它有二倍大，不僅太陽下面的一片海洋而且對面的一片海洋也被它舉起。這些力的和比重力如同1比12868200。且因為相同的力引起相同的運動，無論它壓迫離太陽90度遠的一片區域或者舉起太陽之下以及太陽對面的一片海洋；這個和是太陽推動海洋的總力；且它有相同的作用，好像整個力舉起在太陽之下的和太陽對面的區域的海洋，但在離太陽90度遠的區域一點也沒有作用。 這是當太陽在任一給定位置的天頂點且在它自己離地球的平均距離上推動該處海洋的力。在太陽的其他位置，它舉起海洋的力與太陽高出位置的地平線高度的二倍的正矢成正比，且與太陽離地球的距離的立方成反比。 系理 由於地球的部分的離心力，它起源於地球的周日運動，比重力如同1比289，它引起赤道之下的水的高度比兩極之下的水的高度高出的尺寸為85472巴黎 呎，如在前面的命題XIX所示；我們所論的太陽的力，由於它比重力如同1比12868200，因此比那個離心力如同289比12868200，或者1比44527，它引起太陽之下以及太陽對面區域的水比與離太陽90度遠的地方的水高出的尺寸僅為一巴黎 呎十一又三十分之一吋。因為該尺寸比85472這樣的尺寸如同1比44527。 命題XXXVII 問題XVIII 求移動海洋的月球的力。 移動海洋的月球的力從它比太陽的力的比例推出，而這個比從海洋運動的比推出，它們起源於這些力。在［下］埃文河 河口的前方，布里斯托爾 下方第三塊里程碑處，春季和秋季，在兩個發光體 （57） 的合和沖，水的總的上升，根據撒母爾·斯圖米 的觀測，約為45呎，但在方照時僅為25呎。前一個高度起源於力的和，後一個起於同樣的力的差。所以，令太陽和月球在赤道且在離地球的平均距離的力為S和L，則L＋S比L－S，如同45比25，或者9比5。 根據撒母爾·科爾普雷斯 的觀測，在普利茅斯 港，海潮被舉起的平均高度約為十六呎，但在春季和秋季，在朔望時海潮的高度能比在方照時的高度的超出多於七呎或者八呎。如果這些高度的最大的差是九呎，則L＋S比L－S將如同 比 或者41比23。一個與前者足夠符合的比。由於在布里斯托爾 港的海潮的大小，斯圖米的觀測似乎更為可信，且因此在更確定的一些東西建立起來之前，我們使用9比5的比例。 但是由於水的往復運動，最大的潮不發生在發光體的朔望，而在，如我們在前面所說，朔望後的第三次潮或者在朔望之後緊接著月球第三次靠近那個位置的子午線，或者更確定些（正如由斯圖米注意到的）是朔月日或者望月日後的第三次潮；或者接近朔月或者望月之後的第十二小時，且因此大約發生在朔月或者望月之後的第四十三小時。但在這個港口它們大約發生在月球接近這個位置的子午線後的第七小時；且因此當月球離太陽的或者太陽的沖的距離，以向前的方向接近十八或者十九度時，它們緊跟在月球靠近子午線之後。在夏季和冬季，它們不是在二至點自身，而是當太陽離二至點約為整個圓的十分之一遠時，或者約為36或者37度時，達到最大。且類似地，起源於月球靠近一個位置的最大的海潮，［發生在］月球離太陽約為從一次潮到下一次潮它的整個運動的十分之一遠的時候。設那個距離約為 度。在月球離朔望和方照的這個距離上的太陽的力，對起源於月球的力的海洋的運動的增大和減小，按照半徑比二倍的這個距離或者37度角的餘弦，這就是，按照10000000比7986355的比小於在朔望和方照時它們自身。且因此在上面的類比中S應寫成0.7986355S。 但是由於月球離開自赤道的傾角，在方照時月球的力應被減小。因為月球在方照，或者更確切些，在方照之後的 度，傾角約為22gr. .13′。且自赤道傾斜的任一發光體移動海洋的力很接近地按照其傾角的餘弦的二次比減小。且因此在這些方照月球的力僅為0.8570327L。所以L＋0.7986355S比0.8570327L－0.7986355S如同9比5。 此外，月球應在其上無偏心地運動的軌道的直徑，彼此如同69比70；且因此在朔望月球離地球的距離比在方照它離地球的距離如同69比70，若其他情況相同。且它的距離，當最大的潮生成時，離朔望 度，且當最小的潮生成時，離方照 度，比它的平均的距離如同69.098747和69.897345比 。但是移動海洋的月球的力按照距離的三次反比，且因此在這些最大的和最小的距離上的力比在平均的距離上的力如同0.9830427和1.017522比1。於是1.017522L+0.7986355S比0.9830427×0.8570327L－0.7986355S如同9比5。則S比L如同1比4.4815。所以，由於太陽的力比重力如同1比12868200，則月球的力比重力如同1比2871400。 系理1 因為［海］水受太陽的力的作用升高至一呎十一又三十分之一吋的一個高度，受月球的力的作用它升高至八呎 吋的一個高度，且兩力的作用使海水升高至十又二分之一呎，又當月球在近地點會使水升高到十二又二分之一呎或者更高的一個高度，特別是在風助海潮的時候。如此大的一個力引起海洋的所有運動是綽綽有餘的，且恰與諸運動的量對應。因為在海洋，它們自東往西廣袤地延伸，如在太平洋 ，以及在大西洋 和衣索比亞 海 （58） （Mare Æthiopicum）的回歸線之外的部分，水通常被舉起到六、九、十二或者十五呎的一個高度。但在太平洋 ，它更深且更寬廣，海潮據說比在大西洋 和衣索比亞 海的海潮大。因為為了有一個全潮，海洋自東往西的寬度應不小於九十度。在衣索比亞 海，因為此海在非洲 和美洲 南部之間的狹窄，海水在回歸線之間的升高小於在溫帶的升高。在海洋的中間，水不能上升，除非在東海岸和西海岸的水同時下降；然而，在我們的狹窄的海洋，水應在那些海岸交替下降。由於這個原因，在海島上的漲潮和落潮，它們離海岸極遠，通常甚小。在某些港口，那裡水以大的衝擊通過淺的地方流入並流出，交替地填滿並清空海灣，漲潮和落潮必較通常要大，如在英吉利 的普利茅斯 和切普斯托橋 ，在諾曼底 的聖米歇爾山 和阿布瑞卡圖奧勒姆 鎮（通稱阿夫朗什 ）；在東印度 的坎貝 和勃固 。在這些地方，海水以大的速度到來和退去，有時淹沒海岸，有時留下許多哩的乾燥海岸。且流入的和回流的衝擊在水被舉起或者壓下至30、40或者50呎以及更高之前，不會被削弱。且這個理由亦適於長而淺的海峽，如麥哲倫 海峽和那些環繞英吉利 的海峽。海潮在此類港口和海峽中由於水流入和流出的衝擊而極度增大。但在海岸，它們以陡坡面對深而且開闊的海洋，水沒有流入和回流的衝擊亦能被舉起並降低，海潮的大小對應於太陽和月球的力。 系理2 由於月球移動海洋的力比重力如同1比2817400，顯然那個力比用擺的實驗，或者任何靜力學或者流體靜力學中的實驗所能察覺到的力要小很多。只在海洋的潮汐中，這個力才產生顯著效應。 系理3 因為月球移動海洋的力比太陽的同類的力如同4.4815比1，且那些力（由第I卷命題LXIV系理14）如同月球和太陽的本體的密度及它們的視直徑的立方的聯合；月球的密度比太陽的密度如同4.4815比1的正比，和月球的直徑的立方比太陽的直徑的立方的反比，亦即如同4891比1000。（因為月球的和太陽的平均視直徑為31′. ″和32′.12″）但是，太陽的密度比地球的密度如同1000比4000；且因此月球的密度 （59） 比地球的密度如同4891比4000，或者11比9。所以月球的本體比我們的地球更緻密且有更多的土壤。 系理4 且因為由天文觀測，月球的真實直徑比地球的真實直徑如同100比365；月球的質量與地球的質量如同1比39.788。 系理5 且在月球表面的加速重力約比地球表面的加速重力小三倍。 系理6 且月球中心離地球中心的距離比月球中心離地球和月球的重力的公共中心的距離，如同40.788比39.788。 系理7 且在月球的八分點，月球中心離地球中心的平均距離很接近 個地球的最大的半直徑。因為地球的最大的半直徑為19658600巴黎 呎，則地球和月球的中心之間的平均距離由 個這樣的半直徑構成，等於1187379440呎。且這個距離（由上一系理）比月球中心離地球和月球的重力的公共的中心的距離，如同40.788比39.788：且因此後一距離為1158268534呎。又由於月球相對於恆星的運行為27天7小時又 分鐘；一個角的正矢，這個角由月球在一分鐘的時間畫出，為12752341，半徑取為1000000000000000。且由於此半徑比這個正矢，如同1158268534呎比14.7706353呎。所以月球以那個力，由那個力月球被保持在軌道上，向地球下落，一分鐘的時間畫出14.7706353呎。又按照 比 之比增加這個力，由命題III的系理，得到在月球軌道上總的重力。月球又由這個力向地球下落，在一分鐘的時間它畫出14.8538067呎。且在六十分之一個月球離地球的中心的距離，亦即在離地球的中心197896573呎的一段距離，重物下落，在一秒鐘的時間也畫出14.8538067呎。且因此在［離地球的中心］19615800呎的一段距離，這段距離是地球的平均的半直徑，重物下落［在一秒鐘的時間］畫出15.11175呎，或者15呎1吋又 吩。這是物體在45度的緯線上的下落。且由前面畫在命題XX中的一張表，下落稍大於在巴黎 的緯度的下落，超出約為 吩。所以，由這一計算，在巴黎 的緯度重物在真空中下落，在一秒鐘的時間約畫出15巴黎 呎1吋又 吩。且如果重力除去離心力而被減小，離心力起源於在那個緯度的地球的周日運動；重物在那裡下落，一秒鐘的時間畫出15呎1吋又 吩。且在上面的命題IV和XIX中已經證明，重物以這個速度在巴黎 的緯度下落。 系理8 地球和月球的中心之間的平均距離在月球的朔望，是60個地球的最大的半直徑除去大約 個地球的最大的半直徑。且在月球的方照，相同的中心之間的平均距離是 個地球的半直徑。因為由命題XXVIII這兩個距離比月球在八分點的平均距離如同69和70比 。 系理9 地球的和月球的中心之間的平均距離在月球的朔望是六十又十分之一個地球的平均的半直徑。且在月球的方照，相同的中心之間的平均距離，去掉三十分之一個半直徑，是六十一個地球的平均的半直徑。 系理10 在月球的朔望，其平均的地平視差在0，30，38，45，52，60，90度的緯度上，分別為57′.20″，57′.16″，57′.14″，57′.12″，57′.10″，57′.8″和57′.4″。 在這些計算中，我沒有考慮地球的磁吸引，其量太小且未知。但是如果幾時能定出這一吸引，且如果在子午線度數的測量，在不同的緯線上等時的擺的長度，海洋運動的定律和月球的視差以及太陽和月球的視直徑幾時能從天象更精確地確定；那時可使這一計算更為精確。 命題XXXVIII 問題XIX 求月球的本體的形狀。 如果月球的本體是像我們的海洋那樣的流體，舉起那一流體的最近的和最遠的部分的地球的力，比月球的力，由月球的力我們的大海在月球下方的和月球對面的部分被舉起，如同月球向著地球的重力加速度比地球對月球的重力加速度，以及月球的直徑比地球的直徑的聯合；亦即，如同39.788比1和100比365的聯合，或者如同1081比100。因此，由於我們的海洋被月球的力舉起到 呎，地球的力應把月球的流體舉起到93呎。且由於這個原因月球的形狀是一個扁球，它的最大的直徑延長穿過地球中心，且超出垂直於它的直徑186呎。所以，如此的形狀是月球現在具有的，而且是從一開始就必定具有的。此即所求 。 系理 由此月球恆以它的相同的一個面轉向地球。因為在其他任意位置，月球的本體不能靜止，而經振動它總返回到這個位置。然而振動極為緩慢，由於產生它們的力極小；因此使得那個面，它應總是轉向地球，能轉向（由在命題XXVII中給出的理由）月球軌道的另一個焦點，且不從那裡馬上被拉回並向地球旋轉。 引理 I 如果指定APEp為密度均勻的地球，且用中心C，兩極P和p，以及赤道AE描繪；並假設以中心C，半徑CP畫出一個球Pape；設QR為一個平面，從太陽的中心向地球的中心所引的直線以九十度的角立在它上面。又若地球的整個靠外的部分PapAPepE，它高於剛剛畫出的球，它的每個小部分努力在兩個方向上退離平面QR，且每個小部分退離的努力如同它離平面的距離：我說，首先，在赤道的圓AE上的所有小部分，它們均勻地分布在球外，按環的方式整個地圍繞這個球，使地球圍繞其中心旋轉的力和作用，比放在赤道上點A的同樣數目的小部分，這個點離平面QR最遠，使地球圍繞其中心做類似的圓運動的力和作用，如同一比二。並且那個圓運動圍繞位於赤道和平面QR的共同部分的軸進行。 設以中心K，直徑IL畫出半圓INLK。假設半圓周INL被分成無數相等的部分，且自每一部分N向直徑IL落下正弦［線］NM。則所有正弦NM的平方的和等於正弦KM的平方的和，且兩者的和等於同樣數目的半直徑KN的平方的和；且因此所有NM的平方的和是同樣數目的半直徑KN的平方的和的一半。 現在圓AE的周線被分成相同數目的相等的小部分，且從每個這樣的小部分F向平面QR落下垂線FG，又從點A落下垂線AH。且力，由它小部分F退離平面QR，由假設如同那條垂線FG，且這個力乘以距離CG 是小部分F使地球圍繞其中心轉動的作用。且因此，在位置F的小部分的作用，比在位置A的小部分的作用，如同FG×GC比AH×HC，這就是，如同FCq 比ACq ；於是在自己位置的所有小部分F的總的作用比在位置A的同樣數目的小部分的作用，如同所有的FCq 的和比同樣數目的ACq 的和，這就是（由已證明的）如同一比二。此即所證 。 且由於小部分通過垂直地退離平面QR而發生作用，因此對於這個平面的每一側是相等的：圍繞既位於那個平面QR又位於赤道的平面的軸，它們旋轉赤道的圓的周線，以及附著於它的地球。 引理 II 在同樣的條件下：我說，其次，位於球外各處的所有小部分的使地球圍繞同一軸旋轉的總的力和作用，比同樣數目的小部分的總的力，這些小部分按照環的方式均勻地分布在赤道的圓AE上，使地球做類似的圓運動，如同二比五。 因為，設IK為平行於赤道AE的任意一個較小的圓，又設L，l為在這個圓上位於球Pape外的任意兩個相等的小部分。如果向平面QR上，該平面垂直於向太陽引的半徑，落下垂線LM，lm：總的力，由它們那些小部分逃離平面QR，與那些垂線LM，lm成比例。再設直線Ll平行於平面Pape且在X被平分，又過點X引Nn，它平行於平面QR並且交垂線LM，lm於N和n，又在平面QR上落下垂線XY。則小部分L和l在相反的方向轉動地球的相反的力，如同LM×MC和lm×mC，這就是，如同LN×MC+NM×MC和ln×mC－nm×mC，或者LN×MC+NM×MC和LN×mC－NM×mC；且它們的差LN×Mm－NM× 是兩個小部分合併轉動地球的力。這個差的正的部分LN×Mm或者2LN×NX比位於A的相同大小的兩個小部分的力2AH×HC，如同LXq 比ACq 。且負的部分NM× 或者2XY×CY比位於A的相同的兩個小部分的力2AH×HC，如同CXq 比ACq 。所以部分的差，亦即，兩個小部分L和l合併轉動地球的力比兩個小部分的力，它們有相同的大小且處於位置A並類似地轉動地球，如同LXq －CXq 比ACq 。但是，如果圓IK的周線IK被分成無數相等的小部分L，（由引理I）所有的LXq 比同樣數目的IXq ，如同1比2，且因此比同樣數目的ACq ，如同IXq 比2ACq ；且同樣數目的CXq 比同樣數目的ACq ，如同2CXq 比2ACq 。所以在圓IK的周線上的小部分聯合起來的力比相同數目的小部分在位置A聯合起來的力，如同IXq －2CXq 比2ACq ；且所以（由引理I）比在圓AE的周線上的同樣數目的小部分聯合起來的力，如同IXq －2CXq 比ACq 。 現在，如果球的直徑Pp被分成無數相等的小部分，在其上直立著同樣數目的圓IK；在每一個圓IK的周線上的物質如同IXq ：且因此那些物質轉動地球的力，如同IXq 乘以IXq －2CXq 。且相同的物質的力，如果它們在圓AE的周線上，如同IXq 乘以ACq 。且所以，全部物質的所有小部分的力，它們位於球之外的所有的圓的周線上，比位於最大的圓AE的周線上的同樣數目的小部分的力，如同所有的IXq 乘以IXq －2CXq 比同樣數目的IXq 乘以ACq ，這就是，如同所有的ACq －CXq 乘以ACq －3CXq 比同樣數目的ACq －CXq 乘以ACq ，亦即，如同所有的ACqq －4ACq ×CXq +3CXqq 比同樣數目的ACqq －ACq ×CXq ，這就是，如同整個流量，其流數為ACqq －4ACq ×CXq +3CXqq ，比整個流量，其流數為ACqq －ACq ×CXq ；且因此，由流數方法，如同ACqq ×CX－ ACq ×CXcub. + CXqc 比ACqq ×CX－ ACq ×CXcub. ，亦即，如果CX代之以整個Cp或者AC，如同 ACqc 比 ACqc ，這就是，如同二比五。此即所證 。 引理 III 在同樣的條件下：我說，其三，整個地球圍繞以上描述過的軸的運動，該運動由所有小部分的運動組成，比以上所說的圍繞相同的軸的環的運動按照一個比，該比由來自在地球中的物質比在環中的物質之比，以及任意一個圓的四分之一弧的平方的三倍比直徑的平方的二倍之比複合而成；亦即，按照物質比物質以及數925275比數1000000之比。 因為，圓柱圍繞其不動的軸旋轉的運動比與它一起旋轉的內切球的運動，如同任意四個相等的正方形比三個內切於它們的圓；且圓柱的運動比一個極薄的環的運動，它在球和圓柱共同接觸的地方環繞它們，如同二倍的在圓柱中的質量比三倍的在環中的質量；且環的這個圍繞圓柱的軸均勻地持續的運動，比環圍繞它自身的直徑的均勻運動，這些運動在相同的循環時間完成，如同一個圓的圓周比二倍的它的直徑。 假設 II 如果上述的環，地球的其餘所有部分被除去，單獨地在地球的軌道上以周年運動圍繞太陽旋轉，且在此期間圍繞其軸，它以 度的角向黃道的平面傾斜，以周日轉動旋轉：二分點的運動是相同的，無論環是流體的或者是由剛性且牢固的物質組成。 命題XXXIX 問題XX 求歲差。 在圓軌道上月球的交點的平均小時運動，當交點在方照時，是16″.35.16iv .36v ，且它的一半8″.17.38iv .18v （由於以上解釋的理由）是交點在這樣的一條軌道上的小時平均運動；且在整整一個恆星年達到20gr. .11′.46″。所以，因為在這樣的一條軌道上，月球的交點在一年後退20gr. .11′.46″；且如果有多個月球，每個交點的運動（由第I卷命題LXIV系理16）將如同它的循環時間；如果月球在一個恆星日的時間靠近地球的表面運行，交點的年運動比20gr. .11′.46″如同一個恆星日的23小時56′比月球的循環時間27天7小時43′，亦即，如同1436比39943。且對環繞地球的諸月球的環的交點，無論那些月球相互不接觸，或者變成流體並形成一個連續的環，或者最後那個環凍結並變成剛性不變形的環，結果是一樣的。 所以，我們設想這個環，它的物質的量等於球Pape外面地球所有的部分PapAPepE（參見邊碼473頁上的圖）；且因為這個球比靠外的地球的那個部分，如同aCqu. 比ACqu. －aCqu. ，亦即（由於地球的短半直徑PC或者aC比長半直徑AC如同229比230）如同53441比459；如果這個環沿赤道纏繞且兩者一起圍繞環的直徑旋轉，環的運動比裡面球的運動（由本卷的引理III）如同459比52441和1000000比925275的聯合，這就是，如同4590比485223；且因此，環的運動比環的和球的運動的和，如同4590比489813。因此，如果環附著在球上，且其自身的運動，由它其交點或者二分點退行，傳遞給球；在環上尚存的運動比它原來的運動，如同4590比489813；於是二分點的運動按相同的比減小。所以，由環和球構成的物體的二分點的年運動比運動20gr. .11′.46″，如同1436比39343和4590比489813的聯合，亦即，如同100比292369。但是，力，由它月球的交點（正如我在上面所解釋的）退行，且因此由它環的二分點退行（亦即在邊碼539和540頁上的力3IT），在每一小部分如同那個小部分離平面QR的距離，且小部分以這些力逃離那個平面；且所以（由定律II）如果環的物質散布到球的整個表面，按照圖形PapAPepE的樣式構成地球的外面部分，所有的小部分使地球圍繞它的赤道的任意直徑旋轉的力和作用，且因此使二分點運動，將按照2比5的比較以前變小。則由此現在周年歲差比20gr. .11′.46″如同10比73092；且因此它成為9″.56.50iv 。 但是，由於赤道的平面對黃道的平面的傾斜，這個運動按照正弦91706（它是 度的餘角的正弦）比半徑100000之比減小。這個運動現在變成9″. .7′″.20iv 。這是起源於太陽的力的周年歲差。 但是月球移動大海的力比太陽的力約略如同4.4815比1。且月球移動二分點的力比太陽的力按照相同的比。且因此得出起源於月球的力的周年歲差是40″. .52.52iv ，而起源於兩者的力的整個周年歲差為50″. .00.12iv 。且這一運動與天象相符。因為由天文觀測，每年的歲差在五十秒左右。 如果地球在赤道的高度超出在兩極的高度 哩，其物質在邊界上比在中心稀薄；歲差應由於高度的超出而增大，且由於較大的稀薄度而減小。 現在，我們已描述了太陽、地球、月球和諸行星的系統；餘下的應加入論彗星的一些內容。 引理 IV 諸彗星高於月球並位於行星的區域內。 由於缺乏周日視差，彗星被抬高到月球以下區域的上方，因此它們的周年視差是它們升入行星區域的令人信服的證據。因為彗星，它們按［黃道十二］宮的順序前進，如果地球在它們和太陽之間，全都在快不可見時比通常緩慢或者退行；如果地球靠近對面，它們比通常更迅速。且反之，當那些彗星逆著［黃道十二］宮的順序前進時，如果地球在它們和太陽之間，在快不可見時比它們應當要迅速；且如果地球位於太陽的另一側，它們以比它們應當的速度緩慢或者退行。這主要由於地球在其不同的位置上的運動，正如對於行星的情形，它根據與地球的運動一致或者相反，有時退行，有時看起來前進得緩慢，有時迅速。如果地球與一顆彗星在相同的方向前進，且繞太陽的角運動如此迅速，使得持續通過地球和彗星引的直線匯聚於彗星之外的區域，從地球上觀察彗星，由於它們自身運動的緩慢而表現為退行；如果地球緩慢移動，彗星的運動（除去地球的運動）最少也變得更慢。但如果地球在彗星運動的相反方向前進，於是彗星看起來更迅速。按如下方式從加速或者遲滯或者退行運動可推知彗星的距離。令 QA， QB， QC是在運動開始時三次觀測到的彗星的黃經，且 QF為最後一次觀測到的黃經，當時彗星剛要看不見。引直線ABC，其部分AB，BC位於直線QA和QB，QB和QC之間，且彼此如同前三次觀測之間的時間。延長AC至G，使得AG比AB如同初次和最後一次觀測之間的時間比初次和第二次觀測之間的時間，並連結QG。則如果彗星沿直線均勻地運動，又地球或者靜止，或者也在直線上以均勻的運動前進，角 QG將為最後一次時間觀測到的彗星的黃經。所以角FQG，它是黃經的差，起源於彗星的和地球的運動的不等性。但是這個角，如果地球和彗星在相反的方向上運動，應加到角 QG上，且由此使彗星的視運動加快；否則，如果彗星在與地球相同的方向上前進，這個角被從同一個角中減去，而使彗星的運動或者變慢，或者可能退行；正如我剛才解釋過的。所以這個角度主要起源於地球的運動，且因此作為彗星的視差是適當的，自然，它的某些增量或者減量被忽視了，它們可能起源於彗星在它自己軌道上運動的不等性。彗星的距離可由這個視差如此推得。指定S為太陽，acT為大軌道，a為在初次觀測時地球的位置，c為在第三次觀測時地球的位置，T為在最後一次觀測時地球的位置，且T 為向白羊宮的開始處引的直線。取角 TV等於角 QF，這就是，等於當地球位於T時彗星的黃經。連結ac，並延長它至g，使得ag 比ac如同AG比AC，則g是一個位置，若地球在直線ac上均勻地持續，在最後一次觀測的時間碰到它。且因此，如果引g 平行於T ，並取角 gV等於角 QG，則這個角 gV 等於自位置g觀察時彗星的黃經；且角TVg為視差，它起源於地球自位置g到位置T的遷移；且因此V是在黃道的平面上彗星的位置。但是這個位置V一般低於木星的軌道。 由彗星的路徑的曲率可以推斷出同樣的事情。這些物體當它們運動得更迅速時幾乎在極大的圓上前進；但在它們的路徑的結束，當物體的視運動的那個部分，它起源於視差，比整個視運動有較大的比時，它們通常從這些圓偏離，且每次當地球在一個方向運動時，它們在相反的方向消失。這種偏離主要起源於視差，所以它與地球的運動對應；且其顯著的量，根據我的計算，推斷出彗星消失的位置遠在木星之下。因此，結果是當彗星在它們的近地點和近日點更靠近我們時，經常降到火星以及更靠下的行星的軌道之下。 彗星的靠近也可從［它們的］頭部的光得以證實。因為被太陽照耀且向更遙遠的區域離去的天體，其光輝按照距離的四次比減小；顯然由於物體離太陽的距離的增大它按照一個二次比減小，且由於視直徑的減小它按照另一個二次比減小。因此如果彗星的光的量和視直徑被給定，則按照彗星的直徑比一個行星的直徑的正比和彗星的光比行星的光的二分之一次反比，取彗星的距離比行星的距離，彗星的距離被給定。於是1682年的彗星 （60） 的彗發的最小直徑，按弗拉姆斯蒂德 用帶測微計的十六呎長的望遠鏡的觀測，等於2′.0″；但在彗發中間的彗核或者星占據這個寬度的不及十分之一，且因此僅寬8″或者12″。但是頭部的光和明亮超過1680年的彗星 （61） 的頭部，且與一等或者二等星取齊。我們假設土星及其環約為四倍亮，且因為環的光幾乎等於它裡面的球的光，又球的視直徑約為21″，且因此球和環的光聯合起來等於一個球的光，其直徑為30″；彗星的距離比木星的距離如同1比√4的反比和12″比30″的正比，亦即，如同24比30或者4比5。再者，1665年4月的彗星，按赫維留 的報告，其明亮幾乎超過所有的恆星，且甚至超過土星自身，理由是其遠為鮮亮的顏色。的確，這顆比另一顆明亮，後者在上一年的年未出現且堪與一等星相比。彗星的彗發的寬度約為6′，但核與行星相比，藉助望遠鏡，它無疑小於木星，且被斷定為有時小於土星的中間的物體，有時等於它。然而，由於彗星的彗發很少超過8′或者12′，彗核的，或者中心的星的直徑約為彗發直徑的約十分之一或者也許為十五分之一，顯然這些星大多有與行星相同的視星等。因此，由於它們的光堪與土星的光相比並不罕見，且有時超過它；很清楚，所有的彗星在它們的近日點被安置得或者低於土星，或者高於它不遠。所以使彗星遠去到幾乎是恆星的區域的人是完全錯誤的；無疑在這種情形，它們受到我們的太陽的照耀，它們在我們這裡不會比行星受到恆星的照耀更多。 在我們討論這些事情時，沒有考慮彗星由於那種極多且濃的煙而出現的模糊，它包圍彗星的頭，仿佛彗星的頭總是通過雲而暗淡地發光。因為一個物體被這種煙模糊得愈甚，它必須愈靠近太陽，使得被它反射的大量的光可與行星的光相媲。因此彗星可能下降得遠低於土星的球，正如我們由它們的視差所證明的。尤其是由彗尾能證實同樣的事情。這些或者起源於被散布於以太中的煙所反射的光，或者起源於彗星頭的光。在前一種情形彗星的距離必須被減小，否則總是起源於彗星的頭的煙以難以置信的速度和擴展在巨大的空間傳播。在後一種情形，彗尾的和彗星的頭的所有的光必須歸之於彗星的頭的核。所以，如果我們假設所有這些光聯合併聚積在彗核的圓盤（discus）內，則無疑那個核，當它發出極大和極亮的尾時，它的明亮遠超木星。所以，如果它有一個較小的視直徑並發出更多的光，它將更多地被太陽照耀且因此更靠近太陽。由同樣的論證，當彗星的頭隱藏在太陽之下，且有時發出的尾既巨大又明亮，像燃燒的火柱，它們應位於金星的軌道之下。因為，如果假設所有的那些光聚集在一顆星上，它有時不僅會超過金星，而且會超出一些金星的聯合。 最後，從彗星的頭的光可推斷出同樣的事情，光在彗星自地球朝向太陽退離時增大，在自太陽朝向地球退離時減小。於是1665年的後一顆彗星（按照赫維留 的觀測），從開始看見它，它的視運動總在減小，且因此已過了它的近地點，但彗星的頭的光亮照樣逐日增加，直到彗星被太陽的光線遮蓋，終止可見。1683年的彗星（按照同一個赫維留 的觀測）在7月底，當它初次被看到，它運動得極緩慢，每天在它自己的軌道上約前進40分或者45′。從那時起其運動逐日持續增大，直到9月4日，它達到約五度。所以，在所有這些時間，彗星正靠近地球。這也可以從由測微計測得的彗星的頭的直徑推斷出：因為赫維留 在8月6日發現包括彗發的頭部僅為6′.5″，在9月2日為9′.7″。所以彗星的頭在運動開始時看起來大大小於在運動結束時；但在開始時彗星的頭鄰近太陽，遠比在運動快要結束時明亮，正如同一個赫維留 所報告的。所以，在所有這段時間，由於它自太陽退離，其光亮減小，雖然它靠近地球。1618年的彗星 （62） 約在12月的月中，且1680年的彗星約在同一個月的月底，運動非常迅速，且因此它們那時在它們的近地點。然而它們的頭最明亮時發生在約兩星期之前，那時它們剛從太陽的光線中離開；且彗尾最明亮的時間略靠前，那時它們更鄰近太陽。前一顆彗星的頭，按照齊扎特 的觀測，在12月1日，看起來大於一等星，且在12月16日（那時它在近地點），它在大小上略為減小，而在明亮或者其光的明朗上大為減小。在1月7日，克卜勒 由於不確知彗星的頭而結束了他的觀測。在12月12日，後一顆彗星的頭可見，並在離太陽九度的一個距離被弗拉姆斯蒂德 觀測到，僅及一顆三等星。12月15日和17日，彗星的頭部如同一顆三等星出現，因為它被鄰近日出的雲的光亮所減小。在12月26日，它以最大的速度運動，且幾乎在它的近地點，弱於飛馬座之口 （63） ，這是一顆三等星。在1月3日，它如同一顆四等星出現，1月9日如同一顆五等星，1月13日，由於新月的光亮而不出現。1月25日勉強等於一顆七等星。如果從近地點向兩個方向取相等的時間，彗星的頭，它在那些時間位於遙遠的區域，由於離地球的距離相等，應以相等的光發亮，但在朝向太陽的區域最明亮，並在近地點的另一側消失。所以，從光在一種情形和另一種情形的大的差異，得出在前一種情形太陽和彗星顯著接近。因為彗星的光趨於規則，且當彗星的頭運動最迅速時光最大，因此它在近地點；但鄰近太陽的範圍光變大除外。 系理1 所以諸彗星由於它們反射太陽的光而發光。 系理2 從以上所說也可以理解為何彗星頻繁地出現在太陽的區域。如果它們在遠高於土星的區域被識別，它們應更頻繁地出現在對著太陽的那部分天空。因為它們在那些部分離地球更近，且位於中間的太陽遮蓋其他天體。然而我博覽彗星的記載，發現在向著太陽的半球被識別的比在對著太陽的半球被識別的多四到五倍，除此之外，無疑相當多的彗星被太陽的光遮蓋。的確，當它們下降到我們的區域，既不射出尾巴，又沒有被太陽照得如此之亮，以至在它們離我們比木星更近之前能被肉眼發現。但是以如此小的間隔圍繞太陽所畫的空間的絕大部分在面對太陽的地球的一側；彗星在那個較大的部分，由於離太陽近得多，通常被照耀得很亮。 系理3 因此，天空缺乏阻力也是顯然的。因為彗星順著傾斜的且有時與行星的路線相反的路徑，在各個方向極自由地運動，且它們的運動保持極長的時間，即使與行星的路線相反。若我沒有弄錯，彗星是一類行星且以持續的運動在返回到自身的軌道上運動。因為一些著作家主張彗星為流星，他們的論證由彗星的頭的持續變化引出，似乎沒有根據。彗星的頭由巨大的大氣層包圍，且大氣層向下應當較緻密。所以，那些變化是在雲上，而不是彗星的本體上被看到。於是，如果從行星上觀看地球，它無疑從自身雲的光發亮，且其固態的本體幾乎隱藏在雲下。因此木星的雲帶（cingula）由那顆行星的雲形成，因為雲的位置彼此變化，所以通過那些雲很難看到木星的固態的本體。且彗星的本體必定更是隱藏在它們的既深且濃的大氣之下。 命題LX 定理XX 諸彗星在圓錐截線上運動，圓錐截線的焦點是太陽的中心，且向太陽所引的半徑畫出的面積與時間成比例。 通過第一卷中的命題XIII系理1與第三卷中的命題VIII，XII和XIII比較，這是顯然的。 系理1 因此，如果彗星在返回到自身的軌道上運行，這些軌道為橢圓，且循環時間比行星的循環時間按照主軸的二分之三次比。彗星，因為絕大部分處於行星之外，且因此以更長的軸畫出軌道，運行得較慢。因此，如果彗星的軌道的軸是土星的軌道的軸的四倍，彗星的運行時間比土星的運行時間，亦即，比30年，如同4√4（或者8）比1，且因此為240年。 系理2 但這些軌道與拋物線如此接近，以致用拋物線代替它們不會產生可以感覺到的誤差。 系理3 且所以（由第一卷命題XVI系理7），每個彗星的速度比任意圍繞太陽在圓形軌道上運行的行星的速度，總是非常接近地按照二倍的行星離太陽的中心的距離比彗星離太陽的中心的距離的二分之一次比。我們假設大軌道的半徑，或者地球在其上運行的橢圓的最大的半直徑為100000000份；且地球自身的平均周日運動畫出1720212份，則小時運動為 份。且所以彗星在地球離太陽的相同的平均距離上，以一個速度，它比地球的速度如同√2比1，由其周日運動畫出2432747份，且由其小時運動畫出 份。但在較大或者較小的距離上，周日運動以及小時運動比這個周日運動和小時運動，按照距離的二分之一次反比，且因此被給定。 系理4 因此，如果拋物線的通徑是四倍的地球的大軌道的半徑，且如果那個半徑的平方被取作100000000份：則彗星由向太陽所引的半徑每天畫出的面積為 份，且每小時那個面積為 份。但如果通徑以任何的比增大或者減小，則彗星的周日面積和小時面積按照同一個比的二分之一次方增大或者減小。 引 理 V 求一條拋物線類的曲線，它穿過任意數目的給定點。 令那些點為A，B，C，D，E，F，等等，且自它們向任意位置給定的直線HN上落下同樣多的垂線AH，BI，CK，DL，EM，FN。 情形1 如果點H，I，K，L，M，N之間的間隔HI，IK，KL，等等相等，列出垂線AH，BI，CK，等等的第一差b，2b，3b，4b，5b，等等，第二差c，2c，3c，4c，等等，第三差d，2d，3d，等等，亦即，在此條件下AH－BI＝b，BI－CK＝2b，CK－DL=3b，DL+EM=4b，－EM+FN=5b，等等，然後b－2b=c，等等，並如此繼續到最終的差，在這裡它是f。然後，豎立任意的垂線RS，它是所求曲線的縱標線，為了發現它的長度，假設間隔HI，IK，KL，LM，等等為單位，且令AH＝a，－HS＝p， p乘以－IS＝q， q乘以＋SK＝r， r乘以＋SL＝s， s乘以＋SM＝t；繼續進行，如此一直到倒數第二條垂線ME，且在項HS，IS，等等前綴以負號，它們位於點S向著A的一側，又在項SK，SL等等前綴以正號，它們位於點S的另一側。且如果符號［規則］被準確地遵守，則RS＝a+bp+cq+dr+es+ft，等等。 情形2 如果點H，I，K，L等等之間的間隙不相等，列出垂線AH，BI，CK，等等的第一差除以垂線的間隔：b，2b，3b，4b，5b；第二差除以每兩個間隔：c，2c，3c，4c，等等；第三差除以每三個間隔：d，2d，3d，等等，第四差除以每四個間隔：e，2e，等等；且如此繼續；亦即，在此條件下，b=（AH-BI）/（HI），2b=（BI-CK）/（IK），3b=（CK-DL）/（KL），等等；其次 c=（b-2b）/（HK），2c=（2b-3b）/（IL），3c=（3b-4b）/（KM），等等；再次，d=（c-2c）/（HL），2d=（2c-3c）/（IM），等等。當已發現這些差，令AH=a，－HS=p，p 乘以－IS=q，q乘以＋SK＝r，r乘以＋SL＝s，s乘以＋SM=t；繼續進行，如此一直到倒數第二條垂線ME，則縱標線RS＝a+bp+cq+dr+es+ft，等等。 系理 因此所有曲線的面積可以很近似地求得。因為如果任意要求積的曲線的一些點被發現，且假設經過它們引一拋物線，這條拋物線的面積與那條要求積的曲線的面積非常接近相等。但拋物線總能用習知的方法幾何地求積。 引理 VI 從一顆彗星的若干個已觀測到的位置，求在任意給定的中間時間它的位置。 指定HI，IK，KL，LM為觀測之間的時間（在前圖中），HA，IB，KC，LD，ME為五個觀測到的彗星的黃經，HS為第一次觀測和要求的黃經之間的時間。且如果想像著過點A，B，C，D，E引一條規則的曲線ABCDE；由上面的引理髮現其縱標線RS，則RS為要求的黃經。 由同樣的方法從五個觀測到的彗星的黃緯可發現在一給定時間的黃緯。 如果觀測到的黃經之間的差較小，比如說4或者5度；三次或者四次觀測就足以發現新的黃經和黃緯。但如果差較大，比如說10或者20度，必須用五次觀測。 引理 VII 通過給定點P引一直線BC，它的部分PB，PC被位置已給定的兩條直線AB和AC割下，它們彼此有給定的比。 從那個點P向兩直線之一AB引任意一條直線PD，並向另一直線AC延長同一直線一直到E，使得PE比PD按照那個給定的比。設EC平行於AD；且如果作CPB，則PC比PB如同PE比PD。此即所作 。 引理 VIII 設ABC是焦點為S的一條拋物線。弦AC在I被平分並割下弓形ABCI，它的直徑為Iμ且頂點為μ。在Iμ的延長上取μO等於Iμ的一半。連結OS，並延長它至ξ，使得Sξ等於2SO。且如果一顆彗星B在弧CBA上運動，又作ξB截AC於E：我說，點E從弦AC上割下的一段AE非常接近地與時間成比例。 因連結EO截拋物線的弧ABC於Y，且作μX，它切同一弧於頂點μ，並交EO於X；則曲線［形］AEXμA的面積比曲線［形］ACYμA的面積如同AE比AC。且因此，由於三角形ASE比三角形ASC按照相同的比，整個ASEXμA的面積比整個ASCYμA的面積如同AE比AC。但是，由於ξO比SO如同3比1，且EO比XO按照相同的比，SX平行於EB；且所以，如果連結BX，則三角形SEB等於三角形XEB。於是，如果三角形EXB被加到面積ASEXμA上，並從中除去三角形SEB，留下的面積ASBXμA等於ASEXμA，且因此比面積ASCYμA如同AE比AC。但是，面積ASBYμA很接近地等於面積ASBXμA；且這個面積ASBYμA比ASCYμA，如同畫出弧AB的時間比畫出整個弧AC的時間。且因此AE比AC很接近地按照相同的比。此即所證 。 系理 當點B落在拋物線的頂點μ上，AE比AC精確地按照時間之比。 解釋 如果連結μξ截AC於δ，且在它之上取ξn，它［ξn］比μB如同27MI比16Mμ；作Bn，則Bn按照較以前更精確的時間之比截弦AC。但是，如果點B離拋物線的主頂點比離點μ遠，點n位於點之外；如果點B離同一個頂點較近，則相反。 引理 IX 直線Iμ和μM以及長度（AIC）/（4Sμ）彼此相等。 因4Sμ是屬於頂點μ的拋物線的通徑。 引理 X 如果延長Sμ至N及P，使得μN等於μI的三分之一，且SP比SN如同SN比Sμ。一顆彗星，在畫出弧AμC的一段時間，如果它總以它在等於高度SP時所具有的速度前進，它將畫出等於弦AC的一個長度。 因為如果彗星以它在μ所具有的速度在相同的時間在一條直線上均勻地前進，它切拋物線於μ；面積，它由向點S所引的半徑畫出，等於拋物線的面積ASCμ。且因此在切線上畫出的長度和長度Sμ之下的容量比長度AC和SM之下的容量，如同面積ASCμ比三角形ASC，亦即，如同SN比SM。是以AC比在切線上畫出的長度，如同Sμ比SN。但是，由於彗星在高度SP的速度（由第一卷命題XVI系理6）比它在高度Sμ的速度，按照SP比Sμ的二分之一次反比，亦即，按照Sμ比SN之比；在相同的時間以這個速度畫出的長度，比在切線上畫出的長度，如同Sμ比SN。所以，因為AC和以這個新的速度畫出的長度，比在切線上畫出的長度，按照相同的比，它們彼此相等。此即所證 。 系理 所以，彗星以它在高度Sμ＋ Iμ所具有的速度，在相同的時間，非常接近地畫出弦AC。 引理 XI 如果一顆彗星被奪去所有的運動，從高度SN或者Sμ＋（2/3）Iμ墜落，使得它向太陽下落，且彗星一直被一均勻地持續的力推向太陽，在一開始時它即受此力推動；當彗星在自己的軌道上畫出弧AC的時間的一半，它在下落中畫出等於長度Iμ的一個空間。 因為彗星，在一段時間畫出拋物線弧AC，在相同的時間它以在高度SP所具有的速度（由上一引理）畫出弦AC，且因此（由第一卷命題XVI系理7）在相同的時間，它在一個圓上，其半直徑為SP，以它自身的重力旋轉，畫出一段弧，其長度比拋物線的弧的弦AC，按照一比二的二分之一次比。且所以它以它在高度SP向著太陽的重量，從那個高度向太陽下落，在那段時間的一半畫出的一個空間（由第一卷命題IV系理9）等於那條弦的一半的平方除以四倍的高度SP，亦即，空間（AIq ）/（4SP）。由是，因為在高度SN上彗星向著太陽的重量比在高度SP上它向著太陽的重量，如同SP比Sμ；彗星以它在高度SN所具有的重量，在相同的時間向太陽下落，畫出空間（AIq ）/（4Sμ），亦即，長度等於Iμ或者Mμ的一個空間。此即所證 。 命題XLI 問題XXI 由給定的三次觀測，確定在拋物線上運動的彗星的軌道。 我曾多方嘗試這個非常困難的問題，在第一卷中我撰寫了一些問題，它們從屬於其解答。其後我想到了如下稍為簡單的解法。 選擇三次觀測，彼此的時間間隔近似地等遠。但在那個時間間隔，當時彗星緩慢運動，比另一個略大，即是使得時間的差比時間的和，如同時間的和比差不多六百天；或者使得點E（在引理VIII的圖中）落在很靠近點M 的地方，且從那裡向I偏離而不是向A偏離。如果不具備如此的觀測，必須用引理六發現彗星新的位置。 指定S為太陽，T，t，τ為在大軌道上地球的三個位置，TA，tB，τC為三個觀測到的彗星的黃經，V為第一次和第二次觀測之間的時間，W為第二次和第三次觀測之間的時間，X為一段長度，它能由彗星在整個那段時間從它在地球離太陽的平均距離處的速度畫出，（由第三卷命題XL系理3）發現這段長度，且tV是弦Tτ的垂線。在中間一次觀測到的黃經tB上，任意取一點B作為在黃道的平面上彗星的位置，並由此向太陽S引直線BE，它比矢tV，如同SB和Stquad 之下的容量比一個直角三角形的斜邊的立方，它的［直角］邊為SB和在第二次觀測時對半徑tB的彗星的黃緯的切線。且過點E引（由本卷中的引理VII）直線AEC，它的部分AE，EC，由直線TA和τC界定，彼此如同時間V和W：則A和C與在第一次和第三次觀測時在黃道的平面上的彗星的位置很接近，只要B是在第二次觀測時正確地假設的它的位置。 在平分於I的AC上豎立垂線Ii。過點B引想像的直線Bi 平行於AC。連結想像的直線Si，它截AC於λ，並補足平行四邊形iIλμ。取Iσ等於3Iλ，並過太陽S引想像的σξ等於3Sσ＋3iλ。然後，刪去字母A，E，C，I，自點B向點ξ引一條新的想像的直線BE，使得它比原來的BE按照距離BS比量Sμ+ iλ的二次比。且過點E按照與前面相同的定律再引直線AEC，亦即，使得其部分AE和EC彼此如同觀測之間的時間V和W。則A和C是彗星的更精確的位置。 在平分於I的AC上豎立垂線AM，CN，IO，其中AM和CN是在第一次和第三次觀測時對半徑TA和τC的黃緯的切線。連結MN截IO於O。作矩形iIλμ如前。在IＡ的延長線上取ID 等於Sμ+ iλ，然後在MN上向著N截取MP，MP比上面發現的長度Ｘ，按照地球離太陽的平均距離（或者大軌道的半徑）比距離OD的二分之一次比。如果點P落在點N上，則A，B，C為彗星的三個位置，通過它們的軌道被畫在黃道的平面上。但如果點P不落在點N上，在直線AC上取CG等於NP，如此使得點G和P位於直線NC的同一側。 由同樣的方法，從假設的點B發現點E，A，C，G，從其他任意假設的b和β發現新的點e，a，c，g和ε，α，κ，γ。然後過G，g，γ畫的圓的周線Ggγ截直線τC於Z：則Z為在黃道的平面上彗星的位置。且如果在AC，ac，ακ上取AF，af，αφ分別等於CG，cg，κγ，且過點F，f，φ畫的圓的周線Ffφ截直線AT於X；則X為在黃道的平面上彗星的另一個位置。在點X和Z，豎立對半徑TX和τZ的彗星的黃緯的切線，則彗星在其軌道上的兩個位置被發現，最後（由第一卷命題XIX）以焦點S，過那兩個位置畫出一拋物線，則這條拋物線是彗星的軌道。此即所求 。 這個做法的證明由諸引理推出：因為由引理VII，直線AC在E按照時間之比被截，正如引理VIII所要求的；且因為BE，由引理XI，是直線BS的或者Bξ的在黃道的平面上位於弧ABC和弦AEC中間的部分；又因為MP（由引理X的系理）是弧的弦的長度，這個弧應由彗星在第一次和第三次觀測之間在自己的軌道上畫出，且因此等於MN，只要B是在黃道的平面上的彗星的真實位置。 但是，如果不任意地選擇點B，b，β，而以接近真的位置選擇它們，這是方便的。如果角AQt被近似地知道，軌道在黃道的平面上畫出的射影以這個角截直線tB；在那個角引想像的直線AC，它比43Tτ按照SQ比St的二分之一次比。且通過引直線SEB，它的部分EB等於長度Vt，點B被確定，B首先被用到。然後刪去AC並按前面的作法重新引一條直線AC，且在發現長度MP之後，在tB上取點b，按照定律，如果TA，τC相互截於Y，則距離Yb比距離YB，按照來自MP比MN的比和SB比Sb的二分之一次比的複合比。且只要心甘情願重複第三次，按同樣的方法發現第三個點β。但這一方法對於大多數情況，兩次操作就夠了。因為，如果遇到的距離Bb非常小，發現點F、f和G、g之後，引直線Ff和Gg截TA和τC於需求的點X和Z。 例子 問題設為1680年的彗星。彗星的運動經弗拉姆斯蒂德 的觀測並由他從觀測加以計算，再由哈雷 根據同樣的觀測做了修正，顯示在下表中。 在這些觀測上增加我們的一些觀測。 這些觀測是用一架帶測微計的七呎長的望遠鏡做的，測微計的線位於望遠鏡的焦點；用這些儀器我們確定了恆星彼此之間的位置和彗星相對於恆星的位置。指定A為在英仙座左踵上的一顆四等星（在巴耶 的星表 （64） 中為ο），B為緊跟著在腳上的一顆三等星（在巴耶 的星表中為ζ），且C為同一踵上的一顆六等星（在巴耶 的星表中為n），又D，E，F，G，H，I，K，L，M，N，O，Z，α，β，γ，δ為在同一隻腳上的其他較小的星。再設p，P，Q，R，S，T，V，X是以上描述的觀測中彗星的位置，且距離AB被認作 份，AC為 份，BC ，AD ，BD ，CD ，AE ，CE ，DE ，AI ，BI ，CI ，DI ，AK ，BK43，CK ，FK29，FB23，FC ，AH ，DH ，BN ，CN ，BL ，NL 。HO比HI如同7比6且當它延長時從星D和星E之間穿過，於是星D離這條直線的距離為 CD。LM比LN如同2比9，且它延長穿過星H。這些恆星彼此之間的位置被確定。 後來我國人龐德 又觀測了這些恆星彼此之間的位置，且它們的黃經和黃緯記錄在下表中。 我觀測到彗星相對於恆星的位置如下。 2月25日，星期五，舊曆，在午後8時半，彗星在p，它離星E的距離小於 AE，大於 AE，且因此約等於 AE；又角ApE稍微有些鈍，但幾乎是直角。因為自A向pE上落下垂線，彗星離那條垂線的距離為 pE。 在同一個晚上的9時半，彗星在P，離星E的距離 （65） 大於 AE，小於 AE，且因此約等於 AE，或者 AE。且彗星離從星A向直線PE落下的垂線的距離為 AE。 2月27日，星期天，在午後8時1刻，彗星在Q，離星O的距離等於星O和H之間的距離，且直線QO延長從星K和B之間穿過。由於中間的雲，我未能更精確地確定這條直線的位置。 3月1日，星期二，在午後11時，彗星在R，恰好在星K和C之間，且直線CRK的部分CR稍大於 CK，且稍小於 CK＋ CR，且因此等於 CK＋ CR或者 CK。 3月2日，星期三，在午後8時，彗星在S，離星C的距離約為 FC。星F離直線CS的延長線的距離為 FC；且星B離同一直線的距離，是星F的距離的五倍。同樣地，直線NS被延長，從星H和I之間穿過，靠近星H比靠近星I約五倍或者六倍。 3月5日，星期六，在午後11時半，彗星在T，直線MT等於 ML，且直線LT的延長線從B和F之間穿過，靠近F比靠近B約四或者五倍，從BF上割下它朝向F的四分之一或者五分之一。又MT延長時，從空間BF向星B的外邊穿過，且靠近星B比靠近星F約四倍。星M很小，用望遠鏡能勉強看到，而L為大約八等的一顆較大的星。 3月7日，星期一，在午後9時半，彗星在V，直線Vα的延長線從B和F之間穿過，從BF上割下向著F的 BF，且它比直線Vβ如同5比4。又彗星離直線αβ的距離為 Vβ。 3月9日，星期三，在午後8時半，彗星在X，直線γX等於 γδ，且自星δ向直線γX落下的垂線為 γδ。 同一天晚上12時，彗星在Y，直線γY等於 γδ，但略小，設為 γδ。且自星δ向直線γY落下的垂線約等於 γδ或者 γδ。但由於彗星靠近地平線而難於分辨，其位置的確定自然不能與以上的同樣確切。 通過作圖和計算，從這類觀測中我導出了彗星的黃經和黃緯，且我國人龐德 從修正的恆星的位置修正了彗星的位置，而這些修正了的位置已在上面給出。我使用的測微計製作得不夠精緻，但黃經和黃緯的誤差（就我們觀測的範圍而言）幾乎不超過一分。此外，彗星（按照我們的觀測）在其運動結束時明顯地由它在2月底占據的平行線上往北傾斜。 現在，為了確定彗星的軌道，我從以上描述的觀測中選擇三個，它們是弗拉姆斯蒂德 在12月21日，1月5日和1月25日做的。從這些觀測我發現St為9842.1份，且Vt為455份，若假設大軌道的半直徑為10000份。然後，對第一次運算，我假定tB為5657份，我發現SB為9747，BE在第一輪中為412，Sμ 9503，iλ413；BE在第二輪中為421，OD 10186，X 8528.4，MP 8450，MN 8475，NP 25。因此由第二次運算，我推得距離tb為5640。且由這些計算我最終求得距離TX為4775以及τZ為11322。在從這些距離確定軌道時，我發現其降交點在 在且升交點在 1gr. .53′；它的平面對於黃道的平面的傾角為61gr. . ′；其頂點（或者彗星的近日點）離交點8gr. .38′遠，且以南黃緯7gr. .34′在 27gr. .43′；又其通徑為236.8，而且向太陽所引的半徑每天畫出93585，假設大軌道的半徑的平方為100000000；且我發現彗星在這個軌道上按［黃道十二］宮的順序前進，並在12月8d .0h .4′ （66） 在軌道的頂點或者近日點。所有這些我是用一條被等分的尺子和角的弦通過繪圖定出，角的弦取自自然正弦的表；我作了一張頗大的圖表，在其上大軌道的半直徑（10000份的）等於一英呎的 吋。 最後，為了確定彗星是否真的在這樣發現的軌道上運動，我部分地由算術運算且部分地由畫圖，推算了彗星在一些觀測時間在這條軌道上的位置，正如在下表所見。 後來，我們的同國人哈雷 用算術計算比用畫圖更精確地確定了［這顆彗星的］軌道；且保持交點在 和 1gr. .53′的位置，軌道的平面對黃道的平面的傾角61gr. . ′，以及彗星在近日點的時間12月8d .0h .4′；他發現近日點離升交點的距離在彗星的軌道上測量為9gr. .20′，且拋物線的通徑為2430份，太陽離地球的平均距離取為100000份。且從這些數據由更精確的算術計算，他計算了在觀測時間上彗星的位置，如下表。 這顆彗星也在更早的11月份出現過，且在薩克森 的科堡，由戈特夫里德·柯奇 先生在這個月的第四、第六和第十一日，舊曆，作了觀測，且由其相對於最近的恆星的位置，有時用二呎長的望遠鏡，有時用十呎長的望遠鏡，觀測相當精確，由科堡 的和倫敦 的十一度的經度差和由我們的同國人龐德 觀測的恆星的位置，我們的同國人哈雷 確定了彗星的位置如下。 在倫敦 的視時間11月3d .17h .2′，彗星以北黃緯1gr. .17′.45″在 29gr. .51′。 11月5d .15h .48′，彗星以北黃緯1gr. .6′在 3gr. .23′。 11月10d .16h .31′，彗星離獅子座中在巴耶 的星表中被記為σ和τ的星等距；它尚未觸及連結它們的直線，但相離它很近。在弗拉姆斯蒂德 的星表中σ以北黃緯1gr. .41′在 14gr. .15′，τ以南黃緯0gr. .34′在 17gr. ′。且這些星的中點以南黃緯0gr. . ′在 15gr. . ′。設彗星離那條直線的距離約為10′或者12′，則彗星的和那個中點的黃經之差約為7′，且黃緯之差約為 ′。由此彗星約以北黃緯26′在 15gr. .32′。 彗星的位置相對於某個小恆星的第一次觀測是足夠精確的。第二次也充分精確。在第三次觀測，較不精確，能有一個六或者七分的誤差，但幾乎不會更大。則在第一次觀測中彗星的黃經，在以上所說的拋物線軌道上計算，為 29gr. .30′.22″，其北黃緯為1gr. .25′.7″，再者它離太陽的距離為115546。 此外，哈雷 注意到一顆奇異的彗星，它以575年的間隔已出現四次，即在尤利烏斯·凱撒 被謀殺後的9月，公曆（anno Christi）531年當拉姆帕迪烏斯和奧雷斯特斯為執政官時，公曆1106年2月，以及1680年的年底，且這顆彗星帶一個長而且顯著的尾（除了凱撒之死那年，由於地球的位置不相宜，彗尾看起來較小）；他尋求其軸為1382957份的橢圓軌道，地球離太陽的平均距離取為10000份；在這軌道上彗星能以575年的間隔循環。且置升交點在 2gr. .2′；軌道的平面對於黃道的平面的傾角為61gr. .6′.48″，彗星的近日點在這個平面上的 22gr. .44′.25″；近日點的平時（tempus æquatum）是12月7d .23h .9′；在黃道的平面上近日點離升交點的距離是9gr. .17′.35″；且共軛軸為18481.2；他計算了彗星在這條橢圓軌道上的運動。這個彗星的位置，從觀測導出的以及從這條軌道計算所得的，展示在下表中。 自始至終對這顆彗星的觀測與在剛才描述的軌道上彗星的運動的符合，並不比通常行星的運動與行星理論的符合差，且這一符合證明在所有那些時候出現的是一顆且是同一顆彗星，再者，它的軌道已在這裡被正確地確定了。 在前面的表中我們已經略去11月16、18、20和23日的觀測，由於它們較不精確。因為在那些時刻彗星亦被他人觀測。蓬蒂奧 和他的同伴在11月17日，舊曆，在羅馬的早上六時，亦即倫敦 的5時10分，用對著恆星的線觀察到彗星以南黃緯0gr. .40′在 8gr. .30′。他們的觀測可在論及這顆彗星的一篇論文中找到，該文由蓬蒂奧 公之於眾。切利奧 ，他當時在場且他把自己的觀測寫在致卡西尼 先生的一封信中，他在相同的時間看到彗星在 8gr. .30′且南黃緯為0gr. .30′。在同一時刻，阿維尼翁 的加萊 （亦即，在倫敦 的早晨5時42分）看到彗星在 8gr. ，他沒有給出黃緯，但由理論計算那時彗星在 8gr. .16′.45″且南黃緯為0gr. .53′.7″。 11月18日羅馬的早晨6時30分（亦即，倫敦 的5時40分），蓬蒂奧 看到彗星在 13gr. .30′，且南黃緯為1gr. .20′。切利奧 看到在 13gr. .30′且南黃緯為1gr. .00′。再者，加萊 在阿維尼翁 的早晨5時30分看到彗星在 13gr. .00′，且南黃緯為1gr. .00′。此外，昂戈 神父在法蘭西 的拉弗萊什 學院，在早晨5時（亦即，倫敦 的5時9分）看到彗星在兩顆小星的中間，其中之一是在室女座南邊的手上成一直線的三顆恆星中間的一顆，在巴耶 的星表中記為ψ，且另一顆是翼上最靠外的一顆星，在巴耶 的星表中記為θ。因此彗星那時在 12gr. .46′，且南黃緯為50′。同一天，在新英格蘭 的波士頓 ，它在［北］緯 度，早晨5時（亦即倫敦 的早上9時44分），彗星被看到臨近 14gr. ，且南黃緯為1gr. .30′，正如傑出的哈雷 告知我的。 11月19日在劍橋早晨的四時半，彗星（按照一位青年的觀測）離角宿一（spica virginis）向西北約2gr. 遠。但是角宿一在 19gr. .23′.47″，且南黃緯為2gr. .1′.59″。同一天，在新英格蘭 的波士頓 的早上5時，彗星離角宿一的間隔約一度遠，黃緯的差為40′。在同一天的牙買加 島，彗星離角宿一約一度遠。在同一天，阿瑟·斯托勒 先生在帕塔克森特 河，它鄰近馬里蘭 的亨廷克里克 ，在［北］緯 gr. 的弗吉尼亞 的邊界，早晨5時（亦即倫敦 的早上10時）看到彗星高於角宿一且幾乎與角宿一相連，它們之間的距離約為 gr. 。且通過相互比較這些觀測，我推出在倫敦 的9時44分，彗星在 18gr. .50′，且南黃緯約為1gr. .25′。但由理論，那時彗星在 18gr. .52′.15″，且南黃緯為1gr. .26′.54″。 11月20日，帕多瓦 的天文學教授蒙塔納里 先生在威尼斯 的早上六時（亦即，倫敦 的5時10分）看到彗星在 23gr. ，且南黃緯為1gr. .30′。同一天在波士頓 ，彗星離角宿一向東4gr. 黃經遠，且因此約在 23gr. .24′。 11月21日，蓬蒂奧 和他的同伴在早上7時1刻觀測到彗星在 27gr. .50′，且南黃緯為1gr. .16′；切利奧 的觀測，是在 28gr. 。昂戈 在早上五時的觀測是在 27gr. .45′。蒙塔納里 的觀測是在 27gr. .51′。同一天在牙買加 島上，彗星被看到在靠近天蠍座的開始，且其黃緯與角宿一的黃緯差不多相同，亦即，2gr. .2′。同一天在東印度 的巴拉索爾 的早上五時（亦即，倫敦 的前一天晚上的11時20分），得到彗星離角宿一向東7gr. .35′遠。在角宿一和［天秤座的］秤盤之間的直線上，且因此在 26gr. .58′，且南黃緯約為1gr. .11′；又後來在5時40分（即在倫敦 的早上五時）它在 28gr. .12′，且南黃緯為1gr. .16′。由理論計算彗星那時在 28gr. .10′.36″，且南黃緯為1gr. .53′.35″。 11月22日，彗星被蒙塔納里 看到在 2gr. .33′，但在新英格蘭 的波士頓 它大約出現在 3gr. ，黃緯同前，亦即1gr. .30′。同一天在巴拉索爾 的早上5時，彗星被觀測到在 1gr. .50′；且因此在倫敦 的早上5時，彗星約在 3gr. .5′。同一天在倫敦 的早上六時半，我們的同國人胡克 看到彗星約在 3gr. .30′，且它在穿過角宿一和軒轅十四（cor leonis）的一條直線上，但不盡精確，離開那條直線略向北偏。蒙塔納里 同樣注意到彗星通過角宿一引的直線，在這一天和接下來的一天，穿過軒轅十四的南側，軒轅十四和這條線之間的間隔甚小。穿過軒轅十四和角宿一的直線，以2gr. .51′的角截黃道於 3gr. .46′。且如果彗星曾位於這條直線上且在 3gr. ，它的黃緯應為2gr. .26′。但由於彗星，胡克 和蒙塔納里 同意，離開這條直線向北稍有距離，其黃緯略小。20日，由蒙塔納里 的觀測，其黃緯幾乎等於角宿一的黃緯，即約為1gr. .30′，又胡克 、蒙塔納里 和昂戈 同意，黃緯持續增大，且因此現在明顯的大於1gr. .30′。在現在建立的界限2gr. .26′和1gr. .30′之間，平均黃緯的大小約為1gr. .58′。彗星的尾，胡克 和蒙塔納里 同意，指向角宿一，自這個星稍有傾斜，按胡克 為向南，按蒙塔納里 為向北；且因此這個傾斜很難察覺，且彗星的尾幾乎與赤道平行，自太陽的對面略向北傾斜。 11月23日，舊曆，紐倫堡的早上五時（亦即倫敦 的四時半）齊墨爾曼先生看到彗星在 8gr. .8′，且南黃緯為2gr. .31′，當然，它的距離由恆星確定。 11月24日，在太陽升起前彗星被蒙塔納里 看到在 12gr. .52′，在穿過軒轅十四和角宿一所引的直線的北側，且因此它所具有的黃緯略小於2gr. .38′。這個黃緯，正如我們所說，按照蒙塔納里 ，昂戈 和胡克 的觀測，持續增大；且因此現在略大於1gr. .58′；且其平均大小能取作2gr. .18′，沒有可辨認出的誤差。現在蓬蒂奧 和加萊 要黃緯減小，而切利奧 和在新英格蘭 的一位觀測者幾乎要黃緯保持相同的大小，即1度或者1度半。蓬蒂奧 和切利奧 的觀測是粗略的，尤其是由方位角和高度取得的，加萊 的那些也是如此；由蒙塔納里 、胡克 、昂戈 以及在新英格蘭 的那位觀測者，再者有時由蓬蒂奧 和切利奧 以彗星相對於恆星的位置取得的結果較好。同一天在巴拉索爾 的早上五時，彗星被觀測到在 11gr. .45′，且因此在倫敦 的早上五時它約在 13gr. 。由理論計算，彗星在那時在 13gr. .22′.42″。 11月25日，在太陽升起之前，蒙塔納里 觀測到彗星約在 gr. 。且在同一時間切利奧 觀察到彗星在室女座的右股上的一顆亮星和天秤座的南邊的秤盤之間的直線上，且這條直線截彗星的道路於 18gr. .36′。由理論計算，彗星在那個時間約在 gr. 。 所以這些觀測與理論符合，依照它們彼此相符的標準，且由這一相符證明那是一顆且是同一顆彗星，它從［1680年］11月4日到［1681年］3月9日的整個時間出現。這顆彗星的軌道截黃道的平面兩次，且所以它不是一條直線。它不在天空的相對部分與黃道相截，而在室女宮的結束和摩羯宮的開始，間隔約98度；且因此彗星的路徑甚為偏離一個極大的圓。因為在11月，其路徑從黃道向南至少傾斜三度，且後來在12月從黃道向北傾斜29度，軌道的兩部分，彗星在其上奔向太陽又從太陽返回，彼此傾斜的視角超過三十度，正如蒙塔納里 的觀察。這顆彗星在行進中經過九個宮，即從獅子宮的末尾到雙子宮的開始；獅子宮除外，因為經過它前進時在能被看到之前；且沒有其他理論，按照這一理論彗星能以規則的運動經歷如此大的天空部分。它的運動是極為不等的。因為它在11月20日前後，每天約畫出五度；此後其運動在11月26日和12月12日之間被遲滯，即在十五天半的時間，它僅畫出40度；此後運動被加速，它每天差不多畫出五度，直至運動開始被再次遲滯。且一項理論，它與經過天空的極大部分的如此不均勻的運動非常相符，遵守與行星理論相同的定律，又與精確的天文觀測準確符合，不會是不正確的。 此外，彗星畫出的軌道以及在一些位置拋射出的真實的尾，由在軌道的平面上描繪的附圖展示是適宜的：這裡ABC表示彗星的軌道，D為太陽，DE為軌道的軸，DF為交點線，GH為大軌道的球與軌道的平面的相交部分；I為1680年11月4日彗星的位置；K為11月11日它的位置；L為11月19日它的位置；M為12月12日它的位置；N為12月21日它的位置；O為12月29日它的位置；P為次年1月5日它的位置；Q為1月25日它的位置；R為2月5日它的位置；S為2月25日它的位置；T為3月5日它的位置，且V為3月9日它的位置。在確定彗尾時，我使用了如下的觀測。 11月4日和6日，彗尾還沒有出現。11月11日，彗尾開始能被看到，通過十呎的望遠鏡觀看不超過半度長。11月17日，彗尾被蓬蒂奧 看到超過十五度長。11月18日，彗尾在新英格蘭 被看到有30gr. 長，且正對太陽，並一直延伸到星♂，它［火星］當時在 9gr. .54′。11月19日，在馬里蘭 ，彗尾被看到有15或者20度長。12月10日，彗尾（根據弗拉姆斯蒂德 的觀測）從蛇夫座的巨蛇尾和天鷹座南翼的星δ之間的中間距離穿過，且終止處靠近巴耶 的星表中的星A，ω，b。所以彗星的尾終止於 gr. ，且北黃緯約為 gr. 。12月11日，彗尾升高到天箭座的頭（巴耶 星表中的α，β），終止於 26gr. .43′，且北黃緯為38gr. .34′。12月12日，彗尾穿過天箭座的中間，沒有太大的伸展，終止於 4gr. ，且北黃緯約為 gr. 。這些情形被理解為彗尾的較亮的部分的長度。因為當光線較暗，在也許較晴朗的天空，在12月12日羅馬的5時40分（根據蓬蒂奧 的觀測）彗尾高於天鵝座之尾 （67） 至10度；且其邊自這顆星向西北終止於45分。但在那些天向著彗尾在鄰近其靠上的一端有3度寬，且因此它的中間離那顆星向南有2gr. .15′遠，且其上端以北黃緯61gr. 終止於 22gr. 。且因此彗尾約70gr. 長。12月21日，彗尾幾乎伸展到仙后座的座尾，離［星］β和王良四（Schedir）等距，且離它們其中一個的距離等於它們彼此之間的距離，且因此終止於 24gr. ，又黃緯為 gr. 。12月29日，彗尾觸到室宿二（Scheat），此星位於它的左邊，並精確地填滿了仙女座的北邊的腳上的兩顆星之間的間隔，有54gr. 長；且因此終止於 19gr. ，又黃緯為35gr. 。1月5日，彗尾觸到仙女座胸上的星π的右側和在她的腰帶上的星μ的左側；且（按照我們的觀測）它有40gr. 長；但它是彎曲的，且凸的一側朝南。靠近彗星的頭它與經過太陽和彗星的頭的圓成一個4度的角；但朝向另一端它以約10或者11度的角向那個圓傾斜且彗尾的弦與圓包含一個8度的角。在1月13日，彗尾明顯被看到的光終止於天大將軍一（Alamech）和大陵五（Algol）之間，且以微弱的光在向著在英仙座星κ的一側終止。彗尾的末端離連結太陽和彗星的圓的距離是3gr. .50′，且彗尾的弦對那個圓的傾角為 gr. 。1月25和26日，彗尾以弱光閃爍至6到7度；且大約一夜之後，當時天空極為晴朗，它的長度延伸到十二度或者更多些，光很弱且幾乎不能被看到，但它的軸正對著在御夫座東肩上的亮星，且因此從太陽的對面向北以十度的角傾斜。然後在2月10日，彗尾被我裝備［望遠鏡］的眼睛看到有二度長。因為上面提到的更弱的光通過玻璃不出現。但蓬蒂奧 寫道，在2月7日他看到長度為12度的彗尾。2月25日以及以後彗星沒有尾出現。 任何現在思考已描述的軌道且在他的心中回想這顆彗星的其他現象的人，不難認定，彗星的本體是固態的、緊密的、固定的和耐久的，像行星的本體。因為如果彗星不是別的而是蒸汽或者地球的、太陽的以及行星的蒸發水分，這顆彗星在它自己的路徑中經過太陽的近處時應會立刻消滅。因為太陽的熱如同［它的］光線的密度，這就是，與位置離太陽的距離的平方成反比。且因此，由於在12月8日，當彗星在它的近日點時，它離太陽的中心的距離比地球離太陽的中心的距離大約如同6比1000，在那時太陽在彗星上的熱比夏天太陽在我們這裡的熱如同1000000比36，或者28000比1。但沸騰的水的熱約比乾燥的地在夏天的太陽下吸收的熱大三倍，正如我從經驗得知的；且白熱的鐵的熱（如果我猜得正確）約比沸騰的水的熱大三或者四倍；且由此，彗星上的乾地在彗星處於它的近日點時從太陽的光線所吸收的熱，約比白熱的鐵的熱大2000倍。對如此大的熱，蒸汽和蒸發水分，以及所有的揮發性的物質立即被耗盡並消滅。 所以彗星在它自己的近日點從太陽吸收極多的熱，且那些熱能保持極長的時間。因為一吋寬的白熱的鐵球，在空氣中一小時的時間很難失去其所有的熱。但較大的球按直徑的比保持更長時間的熱，因為它的表面（是一個度量，按照表面球通過與周圍的空氣接觸而被冷卻）按照那個比相對於它所包含的熱的物質的量較小。且因此一個等於這個地球的白熱的鐵球，亦即，寬約為40000000呎，在相等的天數，或者約50000年，才勉強被冷確。但我懷疑熱的持續，由於一些隱匿的原因，按照小於直徑的比增加，而且我期望通過實驗研究真正的比。 此外，應注意到在12月，當彗星新近被太陽加熱，它發射出比在此前的11月大得多且光彩得多的尾，然而它還未到達近日點。且一般地，起源於彗星的所有最大且最燦爛的尾，緊隨在它們通過太陽的區域的路徑中。所以被灼熱的彗星助長其尾的大小。且因此我相信能推斷出彗尾不是別的而是極稀薄的蒸汽，它由彗星的頭或者核由於自身的熱而發射。 然而關於彗星的尾有三種意見：它們或者是太陽的光通過彗星的透明的頭部的傳播，或者起源於光從彗星的頭到地球前進時的折射，或者最後，它們是不斷地產生於彗星的頭的雲或者蒸汽，並向離開太陽的方向跑去。持有第一種意見的人尚未受到光學科學的陶冶，因為進入暗室中的太陽的光不能被分辨出來，除非在空氣中飛舞的灰塵和煙的小顆粒反射太陽的光；且因此在濃煙瀰漫的空中，太陽的光顯得更亮，並且更強地觸及視覺；在晴天的空氣中這些光較暗淡且不易被感覺到，但在沒有物質反射這些光的天空，它們一點也不能被看到。光不是在有光的地方被看到，而是在當它被反射到我們的眼睛的地方被分辨出來。因為視覺不會發生，除非通過射入眼睛的光線。所以在彗尾的區域必定存在某些反射物質，否則整個天空受太陽的光照射均勻地發亮。第二種意見被許多困難所包圍。彗尾從來沒有被改變顏色，而顏色通常是折射的不可分離的相伴者。恆星的和行星的光到我們這裡的明晰的傳播證明天空的介質沒有反射的能力。據說埃及人有時曾看到有頭髮的恆星，但這極難遇到，應當歸之於雲的偶然折射。恆星的光彩和閃爍既由於眼睛的折射又由於顫動的空氣的折射，因為當通過望遠鏡看這些星時它們消失了。由於空氣的和上升的蒸汽的顫動，會發生光線交替地從瞳孔的狹窄空間偏斜，但通過［望遠鏡的］物鏡寬的入口則不會發生這樣的事情。且因此它是在前一種情形產生的閃爍，但在後一種情形停止；且在後一種情形的停止證明在天空中光規則地傳播，沒有任何可以感覺到的折射。但是，為了避免以當彗星的光線不夠強時通常看不到彗尾，因為次等光線沒有足夠的力量影響眼睛，且這就是看不到恆星的尾的原因為理由反對時，應考慮到恆星的光用望遠鏡可以被增大到超過一百倍，但仍看不到尾。行星的光更豐富但沒有尾，且當彗星的頭的光微弱且很昏暗時，彗星往往有極大的尾。1680年的彗星就是如此，在12月，在彗星的頭的光剛及二等星時，它拋射出的彗尾非常明亮，長度可達40，50，60或者70度，甚至更大；此後在1月27日和28日，彗星的頭勉強如同一顆七等星出現，但彗尾以微弱但是可以感覺到的光在長度上延伸至6或者7度，且以幾乎不能被看到的極暗淡的光，延伸到十二度或者略多，正如以上所說。但在2月9日和10日，當時肉眼看不到彗星的頭，通過望遠鏡我觀察到二度長的彗尾。而且，如果彗尾起源於天體物質的折射，且如果它按照天空的形狀從太陽的對面偏轉，在天空的相同區域，那個偏轉總應發生在相同的方向。但是，1680年的彗星，在12月28日倫敦 的午後八時半，它在 8gr. .41′，且北黃緯為28gr. .6′，太陽出現在 18gr. .26′。又1577年的彗星，在12月29日，它在 8gr. .41′，且北黃緯為28gr. .40′，太陽也大約出現在 18gr. .26′。在兩種情形中，地球在相同的位置而彗星出現在天空的相同部分；然而在前一種情形，彗星的尾（根據我的和其他人的觀測）從太陽的對面向北有 度角的一個傾斜，在後一種情形（根據第谷的觀測）向南的傾角為21度。所以，由於被天空的折射所拒絕，餘下的是從其他反射光的物質導出彗尾的現象。 而且由彗尾遵守的定律證實，彗尾起源於彗星的頭且升高到背離太陽的區域。例如在穿過太陽的彗星的軌道的平面上的彗尾，它們總從正對著太陽偏轉並指向彗星在那些軌道上前進時留在後面的區域。對一個被安置在那些平面上的觀察者，它們出現在正對著太陽的部分；但當觀察者離開這些平面，偏轉逐漸能被感到，且日漸增大。在其他情況相同時，當彗尾對於彗星的軌道更傾斜時，偏轉較小，且當彗星的頭更靠近太陽，尤其是偏轉的角取得靠近彗星的頭時，亦是如此。此外，沒有偏轉的彗尾顯出是直的，但偏轉的彗尾是彎曲的。再者，當偏轉大時曲率較大，且在其他情況相同彗尾較長時，感覺更明顯，因為在較短的彗尾上曲率不易被觀察到。由於偏轉的角鄰近彗星的頭較小，鄰近彗尾的另一端較大，且因此彗尾的凸的一側對著由它形成偏轉的方向，並位於從太陽穿過彗星的頭所引的無限的直線上。又，彗尾，當它較長且較寬，而又更有力地閃閃發光時，向著凸出的一側稍微更加明亮且以比凹的一側較不分明的界線終止。所以，尾部的現象依賴頭部的運動，而不是頭部被看到的天空的區域；且因此這些現象不是通過天空的折射，而起源於彗星的頭所提供的物質。因為如同在我們的空氣中，任何被燃燒的物體的煙尋求上升，且如果物體靜止時它垂直，或者當物體運動時它傾斜：於是在天空中，當物體有向著太陽的重力，煙和蒸汽應遠離太陽上升（正如剛才所說），且如果冒煙的物體靜止，則它直線上升；如果物體由於前進總離開蒸汽的部分已上升到的較高的位置，則它傾斜地上升。且當上升的蒸汽較迅速時，傾斜較小，即在太陽附近且靠近冒煙的物體。此外，由於傾斜的參差不齊，蒸汽柱被彎曲；且由於蒸汽到柱向前的一側稍晚，且因此在同一側較緻密，且所以反射的光更豐富，且邊界終止得較不分明。關於彗尾的突然和不穩定的搖動，以及關於它們有時被描述成不規則的形狀，在這裡我不增加任何東西；因為它們可能起源於我們的空氣的變化，以及雲的運動，使彗尾的某一部分被遮蔽；或者，也許起源於銀河（via lactea）的部分，當彗尾經過時，它可能與它們混淆並被認為是彗尾的部分。 但是能填滿如此巨大的空間的蒸汽能來自於彗星的大氣，可從我們自己的大氣的稀薄上去理解。因為靠近地球的表面的空氣所占的一個空間比相同重量的水所占的空間約大850倍，且因此850呎高的圓柱形空氣柱與一呎高寬度相同的水柱的重量相同。而且高聳至大氣頂端的空氣柱，其自身的重量等於高約33呎的水柱；且所以如果整個空氣柱的較低的850呎高的部分被除去，剩餘的較高的部分自身的重量等於32呎高的水柱。且因此（由被許多實驗證實的規則，空氣的壓力如同壓在它們上面的大氣的重量，且重力與位置離地球的中心的距離的平方成反比），由第二卷命題XXII的系理計算，我發現，空氣，在地球表面之上一個地球的半直徑的高度，按照遠大於土星軌道之下的整個空間比以一吋的直徑畫出的球的比稀薄於我們周圍的空氣。且由是一吋寬的我們的空氣充滿的球，以在地球的半直徑的一個高度上的稀薄度，將充滿遠至土星的球，甚至更遠的區域。因此，由於更高的空氣變得極為稀薄，且彗發或者彗星的大氣，自那個中心上升到約十倍彗核的表面的高度，然後彗尾從那裡上升得更高，彗尾必定極為稀薄。且即使由於更濃密的彗星的大氣，和物體向著太陽的大的重力，以及空氣和蒸汽的小部分相互之間的重力，在天體的空間中的和在彗尾中的空氣可能會不是如此稀薄；然而，從這一計算，顯然極少量的空氣和蒸汽產生彗尾的所有那些天象是綽綽有餘的。因為彗尾的非同尋常的稀薄由星星通過它們發光可推知。地球的大氣，厚度只有幾哩，被太陽的光照亮時，不僅所有星星的光，而且月球自身的光被遮蔽並熄滅；然而通過極厚的彗尾，它同樣地被太陽照亮，能看到最小的星發光，且它們的亮度絲毫不減。大多數的彗尾的亮度通常並不比在暗室中我們的寬度為一吋或者二吋的空氣對太陽的光的反射亮。 時間，在此期間蒸汽自彗星的頭上升到彗尾的末端，約略可以得知。自彗尾的末端向太陽引一直線，並記下那條直線截［彗星的］軌道的位置。因為，如果蒸汽在一條直線上遠離太陽上升，現在它在彗尾的末端，則它一定當彗星的頭在相交部分時開始從彗星的頭上升。但是由於蒸汽不遠離太陽直線上升，蒸汽在上升之前所具有的彗星的運動被保持，而由那個運動和其上升的運動的合成，傾斜地上升。因此問題的解更為接近真實，如果那條直線，它截軌道，畫得平行於彗尾的長度［的方向］，或者寧可（由於彗星的曲線運動）它偏離彗尾的線。按這種方式我發現，蒸汽，在1月25日它在彗尾的末端，在此前的12月的11日它開始從彗星的頭上升，且因此它自身的整個上升用去超過45天的時間。但那整個彗尾出現在12月10日，在過了近日點後兩天的時間完成了其上升。所以，蒸汽在鄰近太陽時其上升開始得極為迅速，然後以總被其自身的重力遲滯的運動繼續上升；且上升增加了彗尾的長度；但彗尾，在能看到的時間，幾乎由在彗星過近日點後上升的所有蒸汽組成；且最先上升的蒸汽，組成彗尾的末端，在不是由於彗尾離照亮它的太陽的距離和離我們的眼睛的距離變得太遠之前，它不隱沒不見。因此，其他彗星的尾，它們不長，也不以迅速和持續的運動自彗星的頭上升並不久消失，而是自彗星的頭由極緩慢的運動經許多天延長的久留的蒸汽和噴發［形成］的柱，它們，分享彗星的頭在蒸汽開始噴發時的那些運動，與彗星的頭一起在天空前進。且由此可以推知天體的空間缺乏阻力，因為在它們之中不僅固體的行星和彗星，而且彗尾的極稀薄的蒸汽自由地運動並保持極長的時間。 彗尾從彗星的頭的大氣上升並在遠離太陽的方向上前進被克卜勒 歸之於攜帶彗尾物質的光束的作用。又，假設在極自由的空間中非常稀薄的氣（aura）退讓光線的作用，並非絕不相宜，儘管那些光線不能有感覺地移動在我們周圍的稠密的物質。另外，有人認為存在如同重力那樣的輕力（levitas）的小部分，且彗尾的輕力的物質由於其自身的輕而遠離太陽上升。但由於在地球上的物體的重力如同在物體中的物質的量，如果物質的量被保持，既不增加亦不減少，我寧可懷疑這種上升起源於彗尾物質的稀薄作用。在煙囪中的煙由於它飄浮在其中的空氣的推動而上升。這些空氣，由於熱而被稀薄，因為其比重的減小而攜帶和它纏結的煙一同上升。彗星的尾為何不以同樣的方式上升呢？因為太陽的光線對它通過的介質沒有作用，除非反射和折射。反射的小部分被此種反射加熱，並且小部分把熱加於與它們纏結的以太上。那些物質由於傳遞給它的熱而變稀薄，這一稀薄作用使那些物質在被稀薄之前向著太陽的比重被減小，它上升並且攜帶構成彗尾的反射的小部分。蒸汽的上升也由於它們圍繞太陽運行而被增強，而且由這種作用它努力退離太陽，同時太陽的大氣和天空的物質或者完全靜止，或者僅由從太陽的轉動接受到的運動而緩慢地旋轉。這些是彗星的尾在太陽的附近上升的原因，在那裡軌道更為彎曲，在太陽的稠密的且因此較重的大氣內，不久噴射出極長的彗尾。因為彗尾，它們那時被生成，保持自身的運動且同時有朝向太陽的重力，它們在橢圓軌道圍繞太陽按照彗星的頭的方式運動，且由這種運動，它們總陪伴彗星的頭且非常自由地附著在彗星的頭上。因為蒸汽向著太陽的重力引起此後彗尾自彗星的頭向著太陽的下落不比彗星的頭的重力使蒸汽自彗尾的下落來得大。由於它們的公共的重力，它們或者一起落向太陽，或者在它們的上升中一起被遲滯；且因此無論由剛才描述的原因，或者其他任何的原因，那個重力不阻礙彗尾和彗星的頭很容易得到的，且此後很容易保持的相互之間的位置。 所以，彗尾，它們產生於彗星的近日點，將與彗星的頭一起跑到遙遠的區域，無論由此歷經多年後與彗星的頭一起再回到我們這裡，或者在那裡被稀薄並逐漸消失。因為後來在彗星的頭向太陽降落時，新的、短小的彗尾應以緩慢的運動從彗星的頭傳播，且那些彗尾當彗星在它們的近日點降低至太陽的大氣時，應被無止境地增大。因蒸汽在那些極自由的空間持續變得稀薄並被擴張。由於這個原因所有彗尾在上端比靠近彗星的頭更寬。但是被稀薄的蒸汽持續地擴張，最終擴散並分布於整個天空，然後由其重力逐步被吸向行星並與它們的大氣混合，看來是適宜的。正如海洋對這個地球的構成是絕對必需的，使得由於太陽的熱，豐富的水蒸氣出自它們，或者聚積成雲，降落為雨，澆灌並滋養整個地球上植物的生長；或者在山頂冷凍凝結（正如一些合理的哲學思索），奔入泉中和河中；因此為了保持海洋和行星上的流體，彗星似乎是需要的，從它們的薄霧和蒸汽的凝結，被植物和腐敗作用消耗液體而變乾的土地能被不斷補充和恢復。因為所有植物全賴液體生長，然後其大部分由腐敗作用變為乾燥的土地，泥漿持續地從腐敗的流體中淤積。因此乾地的大小日漸增加，且流體，除非有外來的增加量，必不斷減少，直至乾涸。再者，我懷疑那種精氣（spiritus），它是我們的空氣中最小但極精緻且最好的部分，而又為萬物的生命所需要，主要來自彗星。 只要赫維留 對它們的現象的觀察是正確的，彗星的大氣在它們向太陽降落時由於進入彗尾而被減少，且（無疑對於朝向太陽的那部分）變窄，又在彗星退離太陽時，那時進入彗尾的較少，它又變寬。但是當彗星的頭已被加熱並射出極大和極亮的尾時，大氣層看起來極小，且核被大氣包圍，它們最低的部分也許是較濃且較黑的煙。因為所有由高熱產生的煙一般都是既濃且黑的。因此那顆彗星的頭部，我們剛討論過它，在離太陽和地球相等的距離處，在它經過其近日點之後比在此之前看起來更暗。因在12月它常常可與三等星相比，在11月相當於一等星或者二等星。且那些看到這兩者的人把先出現的描述為一顆較大的彗星。因為劍橋 的某個青年，在11月19日看到這顆彗星自身的光儘管是鉛色的和暗淡的，但等於角宿一，且比後來更亮。11月20日，舊曆，蒙塔納里 看到彗星比一等星大，那時［彗尾］的長度為二度。又斯托勒先生，給我們的信中寫道，在12月當噴出的尾最大且最亮時，彗星的頭不大且所看見的彗星的頭的大小遠不及彗星在11月日出前所呈現的。且他猜測此事的原因是在開始時彗星的頭部的更為豐富的物質已逐漸地被消耗。 其他噴射極大且極亮的尾的彗星，它們的頭看起來相當暗淡且微小，這似乎出於相同的原因。因為1668年3月5日，新曆，瓦倫廷·斯坦塞爾神父，早上七時，在巴西看見一顆彗星向著太陽下落處的南面，很接近地平線，頭極小，幾乎看不見，但尾極度明亮，使得站在岸邊的人很容易看到它從海中反射的形象。它看起來像自西向南在長度上伸展23度的明亮的火柱，且幾乎與地平線平行。但如此大的一個光輝僅持續了三天，之後，馬上顯著地減小，且在光輝減弱的時間內尾的大小被增加。因此在葡萄牙它被說成幾乎占據了天空的四分之一（亦即45度），自西向東以顯著的光輝伸展，但不是整個的尾都能被看見，因為在那些部分彗星的頭總隱藏在地平線之下。由彗尾的大小的增加和光輝的減小可知，顯然彗星的頭正退離太陽，且在剛開始被看到時它很靠近太陽，正如1680年的彗星的情形。在《撒克遜編年史 》上可以讀到，1106年有一顆類似的彗星:星小且暗（如1680年的那顆），然由彼尾發出之光輝亮甚，似火柱伸於東方及北方之間。正如赫維留 從達勒姆的僧侶西米恩 那裡得到的。這顆彗星在2月初出現，且此後在太陽下落處的南方，約在黃昏時能看到。由此且由彗尾的位置推知彗星的頭靠近太陽。離太陽之距，帕利斯·馬太說，約一肘，自三時（更正確些，六時）至九時，一長光柱由彼射出。這也是亞里士多德 在《天象論 》第一卷第6節描述過的燃燒的彗星：其頭初不能見，或因下沉早於日落，或因匿於日光；次日其形盡現，因距太陽至近，傾即下沉。四散之頭火，因（即彗尾）燃燒過度，乃不見。燃燒有日（亞里士多德 說），其次乃小，彗星之面目（彗星的頭）亦復出現。光輝橫天，三有其一（亦即達60gr. ）。其所來也，是年（第101次奧林匹克競技大會的第4年）冬天，其所去也，獵戶腰帶。1618年的那顆彗星，它從太陽的光線中顯示出非常大的尾，似乎等於，甚至於超過一等星，但一些被看到的較大的彗星有較短的尾。傳說它們中的一些等於木星，一些等於金星，或者甚至等於月球。 我們說彗星是一類在非常偏心的軌道上圍繞太陽運行的行星。且由於行星沒有尾，一般地它們之中較小的在靠近太陽的較小的軌道上運行，因此似乎在它們的近日點更靠近太陽的彗星多半較小是合理的，否則因為它們的吸引而對太陽作用太過。但是，至於它們的軌道的橫截直徑，以及它們運行的循環時間，我留待通過比較過了很長一段時間後又回到相同的軌道的彗星確定它們。同時下面的命題可能有助於此。 命題XLII 問題XXII 修正已求得的彗星的軌道。 運算1 假設由前面的命題發現的軌道的平面的位置；並選擇由非常精確的觀測確定的彗星的三個位置，且彼此之間的距離儘可能地大，又設A為第一次和第二次觀測之間的時間，且B為第二次和第三次觀測之間的時間。但在這些位置之一，彗星應在它的近地點，或者至少離近地點不遠。由這些視位置，通過三角學運算，發現彗星在假定的那個軌道的平面上的三個真實位置。然後由這些已發現的位置，由算術運算，遵照第一卷命題XXI，圍繞作為焦點的太陽的中心，畫一圓錐截線；且它的面積，由太陽向所發現的位置引的半徑界定，設為D和E；即D為第一次和第二次觀測之間的面積，且E為第二次和第三次觀測之間的面積。又設T為整個時間，在此期間這顆彗星以由第一卷命題XVI所發現的速度應畫出整個面積D+E。 運算2 軌道的平面的交點的黃經被增大，那個黃經加上20′或者30′，它被稱為P；且保持那個平面對黃道的平面的傾角。其次從上述的彗星的三個觀測到的位置，按照上面，在這個新的平面上發現三個真實位置；再次發現經過那些位置的軌道，且觀測之間同樣畫出的兩個面積，是d和e，若整個時間果真為t，在此期間應畫出總的面積d+e。 運算3 保持在第一次運算中交點的黃經，而軌道的平面對黃道的平面的傾角被增大，那個傾角加上20′或者30′，它被稱為Q。然後從上述觀測到的彗星的三個視位置，在這個新的平面上發現三個真實位置；且軌道也穿過那些位置，觀察之間同樣畫出的兩個面積，是δ和ε，且整個時間為τ，在此期間應畫出總的面積δ+ε。 現在取C比1如同A比B，且G比1如同D比E，又g比1如同d比e，再者γ比1如同δ比ε；再設S為第一次和第三次觀測之間的真實時間；且細心觀察+號和-號，並按照定律2G-2C=mG-mg+nG-nγ，以及2T-2S等於mT-mt+nT-nτ尋找數m和n。且如果在第一次運算中指定I為軌道的平面對於黃道的平面的傾角，且K為任一交點的黃經，則I+nQ是軌道的平面對黃道的平面的真實傾角，而K+mP為交點的真實黃經。且最終，如果在第一，第二和第三次運算中，指定量R，r和ρ分別為軌道的通徑，且量1/L，1/l，1/λ為它們的橫截徑，則彗星畫出的軌道的真實通徑為R+mr-mR+nρ-nR，且真實橫截徑為1/（L+ml-mL+nλ-nL）。從給定的橫截徑，則彗星的循環時間亦被給定。此即所求 。 但是彗星運行的循環時間，以及軌道的橫截徑，絕不能足夠精確地被確定，除非相互比較在不同時期出現的彗星。如果找到幾顆彗星，在相等的時間間隔過後，它們畫出同一軌道，必須得出所有這些在同一軌道上運行的彗星是一顆且同一顆彗星。且最後由運行時間軌道的橫截徑被給定，且由這些徑橢圓軌道被確定。 所以，為此目的，幾顆彗星的軌道的計算依據它們是拋物線的假設。因為這樣的軌道總與天象很近似地符合。這是明顯的，不僅從1680年彗星的拋物線軌道，在上面我把它與觀測相比較；而且也從那顆著名的彗星，它出現在1664年和1665年，且被赫維留 觀測過。他從自己的觀測計算了這顆彗星的黃經和黃緯，但欠精確。由同樣的觀測，我們的同國人哈雷 重新計算了這顆彗星的位置，且由如此發現的位置他確定了彗星的軌道。他發現彗星的升交點在 21gr. .13′.53″，軌道對黃道的平面的傾角為21gr. .18′.40″，在其軌道上近日點離交點的距離為49gr. .27′.30″。近日點在 8gr. .40′.30″，且日心緯度為南黃緯16gr. .1′.45″。彗星在11月倫敦 的平時24d .11h .52′的午後，或者格但斯克 的13h .8′，舊曆，在近日點，且拋物線的通徑為410286，地球離太陽的平均距離取作100000。在這一計算的軌道上彗星的位置與觀測符合得何等精確，從如下由哈雷 計算的表顯而易見。 1665年初的2月，白羊座的第一顆星，今後我稱之為γ，在 28gr. .30′.15″，且北黃緯為7gr. .8′.58″。白羊座的第二顆星在 29gr. .17′.18″，且北黃緯為8gr. .28′.16″。又［座中的］一顆七等星，我稱之為A，在 28gr. .24′.45″，且北黃緯為8gr. .28′.33″。在巴黎 的2月7d .7h .30′（亦即格但斯克 的2月7d .8h .37′），舊曆，彗星與星γ和A構成一三角形，直角在γ。且彗星離星γ的距離等於星γ和星A之間的距離，亦即一個大圓的1gr. .19′.46″；且因此在星γ的緯線的平行線上是1gr. .20′.26″。所以，如果從星γ的黃經除去經度1gr. .20′.26″，留下彗星的黃經 27gr. .9′.49″。奧祖 ，從他自己的這一觀測中近似地把彗星置於 27gr. .0′。從胡克 描繪的彗星的運動圖中，那時它在 26gr. .59′.24″。取平均值，我把它置於 27gr. .4′.46″。由相同的觀測，奧祖 把彗星當時的黃緯置為向北7gr. 又4′或者5′。他本應該把它置於更準確的7gr. .3′.29″，因為彗星的和星γ的黃緯的差等於星γ和星A的黃經的差。 倫敦 的2月22d .7h .30′，亦即格但斯克 的2月22d .8h .46′，根據胡克 的觀測，他自己畫在一幅圖中，以及奧祖 的觀測，並由珀蒂畫在一幅圖中，彗星離星A的距離，是星A和白羊座的第一顆星之間的距離的五分之一，或者15′.17″。且彗星離連結星A和白羊座的第一顆星的線的距離是同一個五分之一的四分之一，亦即4′。且因此彗星在 28gr. .29′.46″，且北黃緯為8gr. .12′.36″。 倫敦 的3月1d .7h .0′，亦即格但斯克 的3月1d .8h .16′，彗星被觀測到靠近白羊座的第二顆星，它們之間的距離比白羊座的第一和第二顆星之間的距離，這就是，比1gr. .33′，如同4比45，按照胡克 ；或者如同2比23，按照戈蒂尼 。因此彗星和白羊座第二顆星之間的距離，按照胡克 為8′.16″，按照戈蒂尼 為8′.5″，或者取平均，為8′.10″。又按照戈蒂尼 ，彗星現在剛過了白羊座的第二顆星大約它一天完成的空間的四分之一或者五分之一，亦即大約1′.35″（對此奧祖 深表同意），或者按照胡克 稍小一些，他置之為1′。所以，如果白羊座的第一顆星的黃經加上1′，且其黃緯加上8′.10″，得到彗星的黃經 29gr. .18′，且北黃緯8gr. .36′.26″。 巴黎 的3月7d .7h .30′（亦即格但斯克 的3月7d .8h .37′），由奧祖 的觀測，彗星離白羊座第二顆星的距離等於白羊座第二顆星離星A的距離，亦即52′.29″。且彗星的和白羊座第二顆星的黃經的差為45′或者46′，或者取平均45′.30″。且因此彗星在 0gr. .2′.48″。由奧祖 的觀測圖，它由珀蒂繪製，赫維留 導出彗星的黃緯為8gr. .54′。但刻工使彗星臨近其運動結束時的路徑不合法地彎曲，而赫維留 在奧祖 的觀測圖上由自己作圖糾正了不合法的彎曲，且如此彗星的黃緯成為8gr. .55′.30″。且由稍大一點的糾正，黃緯成為8gr. .56′或者8gr. .57′。 3月9日，這顆彗星亦曾被看到，且那時它的位置應在 0gr. .18′，且北黃緯約為9gr. . ′。 這顆彗星在三個月內可以見到，它幾乎行經六個宮，且其中有一天幾乎完成約二十度。它的路徑與一個極大的圓偏離很多，路徑向北彎曲；且其運動臨近結束時由逆行變為順行。而儘管其路徑如此異常，自始至終理論與觀測符合的精確性，不低於通常行星的理論與對它們的觀測的符合，由表這是明顯的。但我們在彗星最迅速時，應減去約二分，這使得從升交點和近日點之間的角被除去十二秒，或者使那個角為49gr. .27′.18″。兩顆（這一顆和前面的一顆）彗星中每一顆的周年視差很顯著，且由此地球在大軌道上的周年運動被證明。 此理論亦被一顆彗星的運動證實，它出現在1683年。這顆彗星在一條軌道上逆行，它的平面與黃道的平面幾乎夾一直角。它的升交點（由哈雷 的計算）在 23gr. .23′；軌道對黃道的平面的傾角為83gr. .11′；近日點在 25gr. .29′.30″；近日點離太陽的距離為56020，大軌道的半徑取作100000，且它在近日點的時間為7月2d .3h .50′。又彗星在這一軌道上的位置由哈雷 計算，並與弗拉姆斯蒂德 觀測到的位置相比較，如下表所示。 理論也被一顆逆行的彗星的運動證實，它出現在1682年。它的升交點（由哈雷 的計算）在 21gr. .16′.30″。軌道對黃道的平面的傾角為17gr. .56′.0″。近日點在 2gr. .52′.50″。近日點離太陽的距離為58328，大軌道的半徑取為100000。且它在近日點的平時為9月4d .7h .39′。由弗拉姆斯蒂德 的觀測計算的位置與由理論計算的位置的比較，如下表所示。 理論又被一顆逆行的彗星的運動證實，它出現在1723年。這顆彗星的升交點（由牛津 的薩維里 天文學教授布拉得雷 先生的計算），在 14gr. .16′。軌道對黃道的平面的傾角為49gr. .59′。近日點在 12gr. .15′.20″。近日點離太陽的距離為998651，大軌道的半徑取為1000000，且它在近日點的平時為9月16d .16h .10′。彗星在這一軌道上的位置由布拉得雷 計算，且與由他自己和由他的舅父龐德 先生，以及由哈雷 先生觀測的位置的比較，如下表所示。 由這些例子更為清楚，彗星的運動由我們闡述的理論表示，在精確性上並不比通常由行星的理論表示行星的運動差。且所以彗星的軌道能由這一理論計算，而彗星在任意的軌道上運行的循環時間終究能被確定，且最後橢圓軌道的橫截徑和遠日點的高度會被知道。 一顆逆行的彗星，它出現在1607年，畫出一條軌道，它的升交點（由哈雷 的計算）在 20gr. .21′；軌道的平面對黃道的平面的傾角為17gr. .2′；近日點在 2gr. .16′；且近日點離太陽的距離為58680，大軌道的半徑取為100000。又彗星在10月16d .3h .50′在近日點。這一條軌道與出現在1682年的一顆彗星的軌道非常接近。如果這兩顆彗星是一顆且同一顆，則這顆彗星的運行時間為75年，且它的軌道的長軸比大軌道的長軸，如同√c：75×75比1，或者約為1778比100。又這顆彗星的遠日點離太陽的距離比地球離太陽的平均距離，約略如同35比1。一旦知道了這些量，確定這顆彗星的橢圓軌道絕不困難。如果彗星在那條軌道上在那以後75年的時間返回，則情況就是這樣。其他的彗星似乎運行的時間更長並上升得更高。 但是彗星，因為它們中多數的遠日點離太陽很遠，且在遠日點運動緩慢，由於它們相互的重力而彼此攝動，使得它們的偏心率和運行時間有時被增加一些，有時被減小一些。因此，不要期待同一顆彗星在相同的軌道上，且在相同的時間準確地回歸。如果我們發現的變化沒有起源於以上所說的原因的變化大，這就足夠了。 且因此為什麼彗星不像行星那樣被限制於黃道，而從那裡離開，並以各種運動被攜帶到天空的所有的區域的原因被顯現出來。即是，為此目的，在它們的遠日點，當它們緩慢地運動時，它們能彼此離得儘可能地遠且彼此之間的牽引儘可能地小。這是彗星下降至最低，且因此在遠日點遠動得最慢，並也應該升至最高的原因。 一顆彗星，它出現在1680年，在它自己的近日點離太陽的距離小於太陽的直徑的六分之一；且由於它的速度在接近太陽的那個地方最大，又由於一定的太陽的大氣的密度，彗星必定受到一些阻礙和遲滯，因此經每次運行更靠近太陽，並最終落到太陽的本體上。但是在它的遠日點，當它運動得最緩慢時，有時會由於其他彗星的吸引而有些被遲滯，且因此向太陽降落。恆星也是如此，它們逐漸發出光和蒸汽，能由彗星落入它們而得以補給，且被它們的新的供給點燃，而被認為是一顆新星。這一類的那些恆星，它們突然出現，起初以極大的光輝發亮，且以後逐漸消失。在仙后座的椅上出現的就是如此的一顆星，1572年11月8日，當科內利烏斯·格馬 在天氣晴朗的晚上巡視那一部分天空時，一點也看不到它；在次日（11月9日）晚上，他看見它比任何恆星都亮，且其光輝難於讓位於金星。第谷·布拉赫 在同一個月的11日，當這顆星最亮時看到了；並且他觀察到自那時以後它逐漸減弱，又在16個月的時間之後，他觀察到它的消失。在11月，當它剛出現時，它的光輝等於金星。在12月，它減小一些，等於木星。在1573年的1月，它弱於木星而比天狼星（sirius）亮，在2月和3月初它變得等於天狼星。在4月和5月被看到等於二等星，在6月、7月和8月等於三等星，在9月、10月和11月等於四等星，在12月和1574年的1月等於五等星；且在2月被看到等於六等星，又在3月它飄然而逝。它的顏色在開始時明朗、發白且發亮，此後變黃，且在1573年3月它像火星和畢宿五（Aldebaran）那樣發紅；但在5月它呈青白色，如我們在土星上看到的，它保持這種顏色直至最後，然而一直在變暗。這類星也出現在蛇夫座的右腳，在1604年9月30日，舊曆，它開始被克卜勒 的學生們觀察到，且其光輝超過木星，而在前一夜，一點也看不到它，且自那時起它逐步減弱，在15或者16個月的時間飄然而逝。據說以不尋常的光輝按這種方式出現的一顆新星喚起喜帕恰斯去觀測恆星並列為星表。但是恆星，它們交替地出現並消失，也逐漸增大，但它們自身的光輝很少超過三等星，它們似乎是另一類的星，且由旋轉交替顯示明的一側和暗的一側。但是蒸汽，它們起源於太陽和恆星，以及彗星的尾，由自身的重力它們能落入行星的大氣中，且在那裡凝結並變成水和濕氣（spiritus humidos），且之後由於緩熱逐漸變成鹽、硫黃、酊（tinctura）、泥、黏土、陶土、沙、石、珊瑚，以及其他地上的物質。 總釋（SCHOLIUM GENERALE） 渦漩的假設被許多困難包圍。由於任意行星向太陽所引的半徑畫出的面積與時間成比例，渦漩的部分的循環時間應按照離太陽的距離的二次比。由於行星的循環時間按照離太陽的距離的二分之三次比，渦漩的部分的循環時間必須按照距離的二分之三次比。由於圍繞土星、木星和其他行星的較小的渦漩保持旋轉且平靜地漂浮在太陽的渦漩中，太陽的渦漩的部分的循環時間應相等。太陽和行星圍繞它們自身的軸旋轉，它們應與渦漩的運動相符，這與所有所說的比例不相容。彗星的運動是極為規則的，且遵從與行星運動相同的定律，而這不能由渦漩解釋。彗星以很大的偏心運動被攜帶到天空的所有部分，這是不可能的，除非渦漩被除去。 拋射體，在我們的空氣中，只受到空氣的阻礙。抽出空氣，如同在波義耳的真空中，阻力消失，誠然如此，則纖細的羽毛和純金以相同的速度在這真空中下落。且這對天上的空間，它在地球的大氣之上，有相同之理。所有物體在這種空間中應自由地運動；且所以行星和彗星在種類和位置被給定的軌道上按前面闡述過的定律永久地運行。無疑它們由重力的定律被保持在自己的軌道上，但絕不能由這些定律在一開始就獲得軌道的規則的位置。 六個一等行星圍繞太陽在太陽的同心圓上運行，運動的方向相同，很近似地在同一平面上。十個月球圍繞地球，木星和土星在它們的同心圓上運行，運動的方向相同，很近似地在行星軌道的平面上。而所有這些規則的運動不起源於力學的原因；因為彗星在偏心率很大的軌道上，被自由地攜帶到天空的所有部分。以這種類型的運動，彗星極迅速且極容易地穿過行星的軌道，且在它們自己的遠日點，在那裡它們很緩慢地運動且逗留很長時間，它們彼此相距非常遙遠，使得相互的牽引儘可能地小。太陽、行星和彗星的這個極精緻的結構不可能發生，除非通過一個理智的和有權能的存在（ens）的設計和主宰。且如果恆星位於類似的系統的中心，所有這些，因為是根據類似的設計建造的，必定受惟一者的主宰；尤其是由於恆星的光與太陽的光的本性相同，且每一個系統的光向其他所有系統發射，且為了使恆星的系統不因為它們自身的重力而相互降落，他讓它們彼此之間存在巨大的距離。 他不是作為宇宙的靈魂，而是作為一切的主宰而統治所有。且a 亦即宇宙的統帥。因為他自身的統治，我主上帝經常被稱作a Παντοκρáτωρ，因為上帝是一個相對的稱謂，且涉及臣僕；再者神性是上帝的統治權，不是對其自身的本體，如上帝是宇宙的靈魂的那個看法，而是對臣僕。至高的上帝是永恆的、無限的、絕對完美的存在；但無論如何，一個完美卻沒有統治權的存在不是我主上帝。我們也說我的上帝，你們的上帝，以色列人的上帝，上帝的上帝，以及主人的主人，但我們不說我的永恆者，你們的永恆者，以色列人的永恆者，上帝的永恆者；我們不說我的無限者，或者我的完美者。這些稱號不包含對臣僕的關係。上帝b 我國人波科克 從阿拉伯語的詞du（在間接格的情形：di）引出［拉丁文的］詞dei，它的意思是主人。且在這種意義上王子被稱為dii，《詩篇 》lxxxiv.6和《約翰福音 》x.45。以及摩西被稱為他哥哥亞倫的上帝，法老的上帝（《出埃及記 》iv.16和vii.1）。且在相同的意義上過去死了的王子的靈魂被異教徒稱為上帝，但這是錯誤的，由於他們缺乏統治權。這個詞處處指主人，但並非每個主人是上帝。精神存在的統治權構成上帝，真正的統治權構成真正的上帝，崇高的統治權構成崇高的上帝，想像上的統治權構成想像上的上帝。且作為出自真正的統治權的結果，真正的上帝是生氣勃勃的、明智的和有權能的；從其餘的完美性上來說，他是至高者或者最高的完美。永恆者（æternus）是無限的、全能的和全知的，亦即，在自無有窮期到無有窮期的延展中，在從無限到無限的空間中，他統治一切；且他知道一切，無論是已發生的和將要發生的。他不是永恆和無限，而是永恆的和無限的；他不是持續（duratio）和空間（spatium），而是持續的和此在的，他永恆持續，且無所不在，且通過他永久的和到處的存在，構成持續和空間。由於空間的每一個小部分是永久的，且持續的任一不可分的瞬是無處不在的，毫無疑義，萬物的創造者和主人是無時不在的和無處不在的。每一個有感覺的靈魂，在不同的時間，且在不同的感覺的和運動的器官上，是同一個不可分的主體（persona）。給定的部分在持續上是連續的，在空間上是共存的，二者皆不在人的主體中或者他的思維本原中；且更不在上帝的思維實體中。每一個人，就感覺問題而言，是一個，且同一個在他自己生命延續期間存在於所有和每個感覺器官中的人。上帝是一個且同一個永恆的和無處不在的上帝。他無處不在不僅由其能力，而且也由其實質：因為無實質無以支持能力。一切事物被他c 這是古人的看法，如西塞羅在《論上帝的本性 》第I卷中的畢達格拉斯。泰勒斯，阿那克薩哥拉，維吉爾《農事詩 》第iv卷，第220行，和《伊尼特 》第6卷721行；斐洛在《寓言 》第I卷的開頭；阿拉托斯在《天象 》的開頭。這也是聖書作者的看法，如保羅在《使徒行傳 》xvii.27，28。約翰在《約翰福音 》xiv.2。摩西在《出埃及記 》iv.39以及x.14。大衛在《詩篇 》cxxxix.7，8，9。所羅門在《列王記·上 》viii.27。約伯在《約伯記 》xxii.12，13，14。耶利米在《耶利米書 》xxiii.23，24。此外，偶像崇拜者想像太陽，月球和星星，人的靈魂以及世界的其他部分是至高的上帝的部分，且因此但卻是錯誤地加以崇拜。包容且在其中運動，但沒有相互的感覺。上帝不承擔來自軀體的運動；那些軀體絲毫沒有感到來自上帝的無處不在的阻礙。承認至高上帝的存在是必然的，且同樣要承認他是永恆的和無處不在的。因此他也完全與自身相似，全都是眼，全都是耳，全都是腦，全都是臂，全都是感覺的、理解的和作用的力，但絕不以人的方式，絕不以物體的方式，總起來以我們不能理解的方式［存在］。正如失明者沒有顏色的概念，我們同樣沒有一種方式，以它能完全感覺和理解最明智的上帝。他完全離棄了身體和身體的外形，且因此既不能被看到，也不能被聽到，也不能被觸到，也不應以某一身體形象加以禮拜。我們有他的屬性的觀念，但我們對任一事物的本質一無所知。我們看到的只是物體的形狀和顏色，聽到的只是聲音，觸到的只是［物體的］外表，嗅到的僅僅是氣味，嘗到的只是滋味：對最深的本質我們沒有感覺，也不能認識它們反映的行動；且我們更不能對上帝的本質有什麼概念。我們只能通過他的性質和品質，並通過至慧和至善的事物的結構和終極原因認識他，且由於他的完美性而欽佩他；又由於統治權而崇拜和服務於他。我們的服務也是作為臣僕，且沒有統治權，先見的和終極目的的上帝除命運和大自然外什麼也不是。由形上學的盲目的必然性，無論如何它同樣是永恆的和無處不在的，但事物的變化不可能由它產生。一切事物在位置和時間狀況上的差異，只可能出自一個真的必然存在的理念（idea）和意志。但人們通過寓言說上帝能看，能聽，能說，能笑，能愛，能恨，能慕，能予，能受，能喜，能怒，能戰，能制，能立，能建。因為所有關於上帝的說法借用了出自人的關係的某種程度的相似性，這種相似性不是完美的，但能達到一定程度。關於上帝而言就是這些，從現象研究他，從屬於自然哲學。 到現在為止，我由重力解釋了天體的和我們的大海的現象，但我尚未指明重力的原因。無疑，這種力起源於某個原因，它深入到太陽的和行星的中心，能力沒有減小；且那種作用不與它在其上作用（如通常力學的原因）的表面上的小部分的量成比例，而與立體 中的物質的量成比例，且其作用在每個方向被延伸到巨大的距離，總按照距離的二次比減小。向著太陽的重力由向著太陽的每個小部分的重力複合而成，且在退離太陽時精確地按照距離的二次比減小直至土星的軌道，由行星的遠日點靜止，這是顯然的，且甚至一直到彗星最遠的遠日點，只要那些遠日點靜止。我尚未能從現象導出重力的這些性質的原因，且我不虛構假設（hypotheses non fingo）。因為凡不能現象導出的，被稱為假設；且假設，無論是形上學的，或者是物理學的，無論是隱藏的屬性的，或者是力學的，在實驗哲學中是沒有地位的。在這一哲學中，命題由現象導出，且由歸納法使之一般化。物體的不可入性，可運動性，和衝擊以及運動的和重力的定律就是如此被發現的。且重力確實存在，並按照我們已闡述的定律作用，由它足以解釋天體和我們的海洋的一切運動，這就夠了。 現在有可能增添關於某種氣（spiritus）的一些內容，它極為精細，能侵入粗大物體並藏匿在它們之中；由它的力和作用，物體的小部分在極短的距離相互吸引，且當它們接觸時凝聚；且帶電的物體在較遠的距離作用，排斥並吸引鄰近的小物體；此外，光被發射，反射，折射，彎曲，並加熱物體；且所有被激起的感覺，以及動物的肢體按意願的要求運動，即，由這種氣的振動，沿著神經的牢固的纖維從外部的感覺器官傳播到腦，再由腦傳入肌肉。但這些事情三言兩語說不清楚；而且沒有足夠多的實驗，由它們能精確地確定和證明這種氣的作用定律。