自然哲學的數學原理 · 第IX部分 論流體的圓形運動

假設 阻力，它來源於流體的部分缺乏潤滑，在其他情形相同時，與速度成比例，流體的部分以此速度相互分離。 命題LI 定理XXXIX 如果一根無限長的固體圓柱在均勻且無限的流體中圍繞位置給定的軸以均勻的運動旋轉，且流體僅由這個圓柱的衝擊而被迫旋轉，又流體的每一部分均勻地保持自身的運動；我說，流體的部分的循環時間如同它們離圓柱的軸的距離。 設AFL為圍繞軸S均勻轉動的一個圓柱，且流體被同中心的圓BGM，CHN，DIO，EKP，等等分成無數厚度相同的牢固的（solidus）同心圓柱層（orbis）。且因為流體是同質的，接觸的層相互作用的壓迫（由假設）如同彼此間的遷移，和壓迫作用於其上的接觸的表面。如果對某個層的壓迫在凹的部分大於或者小於在凸的部分，較強的壓迫會占優勢，並依照它指向運動的相同或者相反方向加速或者遲滯層的運動。所以，為使每一層能均勻地保持其運動，在兩側上的壓迫應相等且方向相反。因此，由於壓迫如同接觸的表面和它們彼此之間的遷移，則遷移與表面成反比，這就是，與表面離軸的距離成反比。但是圍繞軸的角運動的差如同這些遷移除以距離，或者與遷移成正比且與距離成反比；這就是，由比的聯合，與距離的平方成反比。所以，如果在無限的直線SABCDEQ上的每一部分豎立與SA，SB，SC，SD，SE等等的平方成反比的垂線Aa，Bb，Cc，Dd，Ee等等，且想像經過垂線的端點引雙曲形曲線；差的和，這就是，整個角運動，如同對應的直線Aa，Bb，Cc，Dd，Ee的和，亦即，如果為了構成均勻的流體介質，層數增加且寬度減小以至無窮，如同類似於這些和的雙曲形的面積AaQ，BbQ，CcQ，DdQ，EeQ，等等。且與角運動成反比的時間，也與這些面積成反比。所以，任意一個小部分D的循環時間與面積DdQ成反比，這就是（由習知的曲線求積）與距離SD成正比。此即所證 。 系理1 因此，流體的小部分的角運動與它們離開圓柱的軸的距離成反比，且絕對速度相等。 系理2 如果流體盛在一個長度無限的圓柱形容器中，且內部包含另一圓柱，兩圓柱繞公共的軸旋轉，又轉動的時間如同它們的半直徑，再者流體的每一部分保持其運動，則每一部分的循環時間如同它離圓柱的軸的距離。 系理3 如果按如此方式運動的圓柱和流體，任意的角運動被加上或者被除去；因為這個新運動不改變流體部分的相互摩擦，部分之間彼此的運動不被改變。因為部分相互的遷移依賴摩擦。任意部分在那個運動中被保持，由於摩擦在方向相反的兩側作用，運動被加速不大於被遲滯。 系理4 因此，如果外面圓柱的所有角運動從圓柱和流體的整個系統中被除去，得到在靜止圓柱中流體的運動。 系理5 所以，如果流體和外面的圓柱靜止，裡面的圓柱均勻地轉動；圓運動被傳給流體，且逐漸傳播到整個流體；它不停止增加直到流體的每一部分獲得在系理四中定義的運動。 系理6 且因為流體努力向更遠處傳播它的運動，其衝擊也使外面的圓柱旋轉，除非被強烈地保持在原來的位置；又它的運動被加速直到兩個圓柱的循環時間彼此相等。但是，如果外面的圓柱被強烈地保持在原來的位置，它將努力遲滯流體的運動；且除非裡面的圓柱由外面施加的某個力保持那個運動，外面的圓柱將逐步使那個運動停止。 所有這些能在蓄積的深水中實驗。 命題LII 定理XL 如果一個固體的球，在均勻且無限的流體中圍繞位置給定的軸以均勻的運動旋轉，且流體僅由這個球的衝擊而被迫旋轉；又流體的每一部分均勻地保持自身的運動；我說，流體部分的循環時間如同它們離球的中心的距離的平方。 情形1 設AFL為圍繞軸S均勻轉動的一個球，且流體被同心的圓BGM，CHN，DIO，EKP，等等分成無數厚度相同的球殼（orbis）。想像那些球殼是牢固的；且因為流體是同質的，接觸的層相互作用的壓迫（由假設）如同彼此間的遷移，和壓迫作用於其上的接觸的表面。如果對某個殼的壓迫在凹的部分大於或者小於在凸的部分；較強的壓迫會占優勢，且殼的速度或者被加速或者被遲滯，依照它指向運動的相同或者相反方向。所以，為使每一個殼能均勻地保持其運動，在兩側上的壓迫應彼此相等，且方向相反。因此，由於壓迫如同接觸的表面和它們彼此之間的遷移；遷移與表面成反比，這就是，與表面離中心的距離的平方成反比。但是圍繞軸的角運動的差如同這些遷移除以距離，或者與遷移成正比且與距離成反比；這就是，由比的聯合，與距離的立方成反比。所以如果在無限的直線SABCDEQ上的每一部分豎立與SA，SB，SC，SD，SE等等的立方成反比的垂線Aa，Bb，Cc，Dd，Ee，等等；差的和，這就是，整個角運動，如同對應的直線Aa，Bb，Cc，Dd，Ee的和，亦即（如果為了構成均勻的流體介質，殼數增加且寬度減小以至無窮）如同類似於這些和的雙曲形的面積AaQ，BbQ，CcQ，DdQ，EeQ，等等。且角運動的循環時間也與這些面積成反比。所以，任意的殼DIO的循環時間與面積DdQ成反比，這就是，由習知的曲線求積，與距離SD的平方成正比。這是我首先想要證明的。 情形2 設自球的中心引許多無窮直線，它們與軸包含給定的角，彼此超出一個相等的差；想像這些直線圍繞軸旋轉截球殼於無數的環（annulus），且每個環有四個環與它接觸，一個在裡面，一個在外面，且兩個在邊上。每個環都不能被內環和外環的摩擦相等地且沿相反的方向推動，除非在按情形一中的定律所發生的運動中。這由情形一的證明是顯然的。且所以自球在直線上向前的一系列環，按情形一中的定律運動，除非受到側面的環的摩擦的阻礙。但在按照這個定律所做的運動中在側面的環的摩擦為零，因此按照這個定律所做的運動不受阻礙。如果環，它們離中心等距，靠近兩極時比靠近黃道時旋轉得更快或者更慢；由相互摩擦，緩慢者被加速，迅速者被遲滯，且因此按照情形一中的定律，循環時間總趨於相等。所以，這個摩擦不阻礙按照情形一中的定律所做的運動，且所以那個定律被保持：這就是，每個環的循環時間如同它離球的中心的距離的平方。這是其次我想要證明的。 情形3 現在每個環被橫截面分成無數的小部分以構成絕對且均勻的流體物質；且由於這些截面與圓形運動的定律沒有關係，而只有利於流體的構成，圓形運動保持如前。對於這些截面，所有非常小的環或者一點也不改變它們的粗糙和相互的摩擦力，或者作相等的改變。又因為原因的相互關係保持不變，結果的相互關係，這就是，運動和循環時間的相互關係將保持不變。此即所證 。但因為圓形運動，且來源於此的離心力，在黃道時比在兩極時大；應有某一原因，由它每個小部分被保持在它［所屬］的圓上；否則，在黃道的物質總自中心退離並通過渦漩的外側移向兩極，並從那裡沿軸以持續的旋轉返回到黃道。 系理1 因此，流體的部分圍繞球的軸的角運動，與離球的中心的距離的平方成反比，且絕對速度與相同的平方除以離軸的距離成反比。 系理2 如果一個球，在類似且無限的靜止流體中，以均勻的運動圍繞一位置被給定的軸旋轉，它按渦漩的方式傳給流體一運動，且這個運動逐漸傳播以至無窮；流體的每一部分被加速不會停止，直到每一部分的循環時間如同它離球的中心的距離的平方。 系理3 因為渦漩靠內的部分由於其較大的速度，摩擦並推動靠外的部分，由這一作用持續傳給它們運動，那些靠外的部分同時傳遞同樣的運動的量到其外部，且這一作用保持它們的運動的量完全不變；顯然，運動持續從中心傳遞到渦漩的周邊，且被無限的周邊所吸收。與渦漩同中心的兩個球面之間的物質絕不會被加速，因為它自靠內的物質接受的所有運動總傳遞到靠外的物質。 系理4 所以，為使一個渦漩保持同樣的運動狀態，需要某一能動的起點（principium activum），由它球總接受相同的運動的量，它壓迫渦漩的物質。沒有這樣一個起點，球和渦漩的靠內的部分，不可避免地總傳播它們的運動到靠外的部分，且由於不接受任何新的運動，它逐漸運動得愈來愈慢，且最終停止旋轉。 系理5 如果另一個球漂浮在這個渦漩中，離其中心有一定的距離，且同時由某一力圍繞位置給定的軸不斷地旋轉；流體被這個運動拖入一個渦漩：且首先這個新的和微小的渦漩與球一起圍繞另一個渦漩的中心旋轉，且同時其運動擴散得更遠，按照第一個渦漩的方式，逐漸傳播以至無窮。且由同樣的理由，新渦漩的球被拖入另一個渦漩的運動，另一個球也被拖入這個新渦漩的運動，如此使得兩個球圍繞某個居間的點旋轉，且由於那個圓形運動相互退離，除非被某個力抑制。然後，如果持續的壓迫力，由它球保持它們的運動，停止了，且一切留給力學的定律，則球的運動逐漸減弱（由在系理3和系理4中指定的理由），且渦漩最終靜止。 系理6 如果幾個球在給定的位置圍繞位置給定的軸以確定的速度不斷地旋轉，將出現同樣數目的渦漩，以至無窮。因為任意一個球傳播它的運動以至無窮，由同樣的理由，每一個球也傳播其自身的運動以至無窮，如此使得無限流體的每一部分被一運動所推動，它來自所有球作用的結果。因此渦漩不被固定的界限制，而彼此逐漸離開；又球由於渦漩的相互作用不斷從它們的位置移開，正如在上一系理中所解釋的；它們彼此不能保持任意確定的位置，除非由另外的力維持。但如果那些力，它們不斷壓迫球以繼續這些運動，停止了，由在系理三和系理四中指定的理由，物質逐漸靜止且停止在渦漩中的運動。 系理7 如果一種類似的流體被封閉在球形容器中，且流體被位於其中心的一個球的均勻旋轉成一渦漩，且球和容器圍繞同一軸向相同的方向旋轉，又設它們的循環時間如同半直徑的平方：則流體的部分不保持它們的先前的既不加速也不遲滯的運動，直到它們的循環時間如同它們離渦漩的中心的距離的平方。沒有其他構造的渦漩是持久的。 系理8 如果容器、被封閉的流體以及球保持這個運動，且此外以一個公共的角運動圍繞任意給定的軸旋轉；因為這個新運動不改變流體的部分彼此之間的摩擦，部分相互之間的運動不被改變。因為部分相互之間的遷移依賴摩擦。任意部分在那個運動中被保持，來自一側的摩擦對它的遲滯不大於來自另一側的摩擦對它的加速。 系理9 因此，如果容器靜止且球的運動被給定，流體的運動將被給定。因為想像一個平面穿過球的軸且以相反的運動旋轉；並假設這個平面旋轉的和球的旋轉的時間之和比球旋轉的時間，如同容器的半直徑的平方比球的半直徑的平方：則流體的部分相對於這個平面的循環時間如同它們離球的中心的距離的平方。 系理10 所以，如果容器無論與球圍繞相同的軸，或者圍繞某個不同的軸以給定的速度運動，流體的運動將被給定。因為如果在整個系統中，容器的角運動被除去，由系理VIII，所有的運動彼此保持如前。且這些運動由系理IX給定。 系理11 如果容器和流體靜止且球以均勻的運動旋轉，運動逐漸通過所有流體傳播到容器，且容器被旋轉除非被強烈地保持在原來的位置，則流體和容器在它們的循環時間等於球的循環時間之前，不會被停止加速。因為如果容器被某個力保持在原來位置或者以任意持續和均勻的運動旋轉，介質逐漸達到系理VIII，IX和X中定義的運動狀態，不會保持其他任何狀態。但如果此後力，由它們球和容器以一定的運動轉動，停止了，且整個系統留給力學的定律；容器和球通過中介的流體相互作用，且不停止通過流體相互傳播運動，直到它們的循環時間彼此相等，整個系統一起旋轉，像一個固體。 解釋 在所有這些論證中，我假設流體由密度和流動性均勻的物質組成。這樣的流體，使得放在其中任意位置的球，以相同的運動，在相同的時間間隔，能在液體中離它自身總是相等的距離傳播相似且相等的運動。物質由其圓形運動努力從渦漩的軸退離，且所以壓迫所有更靠外的物質。由這個壓力，部分的摩擦變強且彼此分離更為困難；結果使物質的流體性減小。再者，如果在某處的流體的部分較粗或者較大，那裡的流動性就小，由於那裡能被彼此分開的部分的表面較少。在此類情形，我假設流動性的缺乏或者其由部分的潤滑或者柔軟或者其他條件補償。如果這不發生，流動性小的物質會相連更緊且惰性更大，且因此更慢地接受運動並傳播到比以上比例指定的更遠的地方。如果容器的形狀不是球，小部分不在圓形路線上而在與容器的形狀相合的（conformis）路線上運動，則循環時間很接近地如同離中心的平均距離的平方。在中心和邊界之間的部分，在空間較寬的地方，運動較慢，在空間較窄的地方，運動較迅速，然而較快的小部分不跑向邊界。因為它們將畫出彎曲較小的弧，且自中心退離的努力由它們的曲率的減量所減小的並不小於它們由速度的增量所增加的。在自較窄的空間進入較寬的空間時，它們自中心退離得稍遠，但這一退離被遲滯；此後它們自較寬的空間靠近較窄的空間時被加速，且由是每個小部分持續交替地被遲滯和加速。在一個剛性的容器中將會如此。因為在一無限流體中渦漩的構造能由本命題的系理6知悉。 我曾努力在此命題中探究渦漩的性質，以檢驗是否天體現象能由渦漩解釋。因為現象是，圍繞木星運行的諸行星的循環時間按照它們離木星的中心的距離的二分之三次比；且對圍繞太陽運行的諸行星擁有同樣的規律。再者，就迄今天文學觀測的發現而言，兩種行星擁有的這些規律是非常精確的。且因此，如果那些行星由圍繞著木星的和太陽的渦漩攜帶著運行，渦漩也應按照同樣的定律旋轉。但一個渦漩的部分顯示的循環時間按照離運動中心的距離的二次比，此比不可能減小並約化為二分之三次比，除非渦漩的物質離中心愈遠流動性愈大，或者阻力，它來源於流體的部分缺乏潤滑，由於速度的增加流體的部分彼此分離，按照較速度增加的比大的一個比增加。但這些推測沒有一個看起來是適宜的。較粗或者流動性較小的部分跑向邊界，除非它們沉重且趨向中心；儘管為了證明起見，在本部分的開篇我提出一個假設：阻力與速度成比例，然而可能阻力按照的一個比小於速度之比。如果這被承認，渦漩的部分的循環時間按照的比大於離其中心的距離的二次比。但如果渦漩（正如某些人的意見）愈靠近中心運動得愈迅速，然後較慢直到一個特定的界限，繼而鄰近邊界時又較迅速；毫無疑問，［渦漩中］既不能擁有二分之三次比，又不能擁有其他確定的比。那麼，讓哲學家審視那個二分之三次比的現象如何能由渦漩解釋。 命題LIII 定理XLI 物體，它們由一個渦漩攜帶並返回到一條軌道，則其密度與渦漩的密度相同，且按照與確定渦漩的部分的速度和方向相同的定律運動。 因為如果渦漩的某個微小部分（pars exigua），其小部分或者物理點保持彼此給定的位置，假設被凝結；這個部分，因為其自身的密度，固有的力和形狀沒有改變，按照與以前同樣的定律運動；且反之，如果渦漩的凝結的和固體的部分與渦漩的其餘部分有相同的密度且被分解為流體；這個部分按照與以前同樣的定律運動，但小部分，它現在變成流體，相互間的運動除外。所以，小部分彼此之間的運動由於對整體的前行運動沒有關係而被忽略，且整個運動同前。但這個運動與離中心距離相等的渦漩的其他部分的運動相同，因為固體分解為流體在各方面與渦漩的其他部分相似。所以固體，如果它與渦漩物質的密度相同，它的運動與渦漩的部分相同，與緊緊包圍它的物質相對靜止。如果固體較緻密，它現在較以前更努力地退離渦漩的中心；且因此渦漩的那個力，由此力先前固體保持平衡，被維持在軌道上，現在被超過，它自中心退離且在環繞中畫出一條螺旋線，不再返回相同的軌道。由同樣的論證，如果固體較稀薄，它會靠近中心。所以，固體不返回到相同的軌道，除非它的密度與流體的密度相同。且已證明在這種情況下固體的環繞與離渦漩中心等距的流體的部分遵循相同的定律。此即所證 。 系理1 所以一個固體，它在一個渦漩中運行且總返回到相同的軌道，則固體在它所漂浮的流體中相對靜止。 系理2 且若渦漩的密度是均勻的，同一物體能在離渦漩中心任意的距離運行。 解釋 因此很清楚，行星不能被渦漩體攜帶。因為按照哥白尼的假設，行星圍繞太陽在橢圓上運行，橢圓有一個焦點在太陽上，且向太陽所引的半徑畫出的面積與時間成比例。但渦漩的部分不能以這樣的運動旋轉。指定AD，BE，CF為圍繞太陽S畫出的三條軌道，其中最外面的是與太陽同中心的圓CF，且裡面的兩個軌道的遠日點為A，B，近日點為D，E。所以，一個物體在軌道CF上運行，向太陽所引的半徑畫出的面積與時間成比例，它以均勻的運動移動。但在軌道BE上運行的一個物體，按照天文學的定律，在遠日點B運動得較慢且在近日點E運動得較迅速；然而按力學定律，渦漩的物質在A和C之間的較窄的空間應比在D和F之間的較寬的空間運動得更迅速，亦即，在遠日點較在近日點迅速。這兩者相互矛盾。於是在室女宮的開始，當現在火星在遠日點時，火星的和金星的軌道之間的距離比這些軌道在雙魚宮開始時這些軌道之間的距離，約略如同三比二，且所以那些軌道之間的渦漩物質在雙魚宮開始時比在室女宮開始時應按三比二之比更迅速。因為對較窄的空間在一次運行的相同的時間通過同樣的物質的量，通過的速度應較大。所以，如果地球，在這種天體物質中相對靜止並被攜帶著環繞太陽運行，其速度在雙魚宮開始時比在室女宮開始時按照一個二分之三次比。所以太陽的視日運動在室女宮開始時應大於七十分，在雙魚宮開始時應小於四十八分；儘管（如實驗證實）太陽的視運動在雙魚宮開始時大於在室女宮開始時，且所以地球在室女宮開始時比在雙魚宮開始時迅速。由是渦漩的假設與天文學現象完全不協調，且對天體運動的模糊甚於對它們的澄清。這些運動在沒有渦漩的自由空間怎樣進行，可由第一卷理解；且現在將更充分地在《論宇宙的系統 》中論述。