自然哲學的數學原理 · 第VII部分 論流體的運動及拋射體所遇到的阻力
命題XXXII 定理XXVI
如果兩個相似的物體系統由數目相等的小部分構成，且對應的小部分相似且成比例，在一個系統中的每一個對在另一個系統中的每一個，處於彼此相似的位置，且具有密度相互間的給定之比，且它們彼此在成比例的時間開始相似的運動（在一個系統中的小部分彼此之間且在另一個系統中的小部分彼此之間），如果在同一個系統中小部分相互不接觸，除非在反射的瞬間；亦不相互吸引或者排斥，除非加速力與對應的小部分的直徑成反比且與速度的平方成正比：我說，那些系統的小部分在成比例的時間彼此繼續相似的運動。
我說，相似且處於相似位置的物體在成比例的時間彼此的運動相似，當那些時間結束時，它們相互之間總在相似的位置：假如一個系統的小部分與另一個系統對應的小部分相比較。因此時間成比例，在此期間由對應的小部分畫出相似圖形的相似且成比例的部分。所以如果存在此類的兩個系統，它們對應的小部分，由於在運動開始時的相似性，將繼續相似的運動，直到它們彼此相遇。因為如果沒有力的作用，由運動的定律I，它們將在直線上均勻地前進。如果它們由某一個力相互作用，且那些力與對應的小部分的直徑成反比，且與速度的平方成正比，因為小部分的位置相似且力成比例，總的力，由它對應的小部分受到作用，由每個作用力（按照諸定律的系理2）合成，有相似的指向，一如它們趨向位於小部分中的相似的中心，且那些總力彼此如同每個分量，這就是，與對應的小部分的直徑成反比，且與速度的平方成正比；所以使對應的小部分繼續畫出相似的圖形。只要那些中心靜止（由第I卷命題IV系理1和系理8）事情將會如此。但如果它們運動，因為移動的相似性，它們的位置在系統的小部分之間保持相似；在小部分畫出的圖形中引入相似的變化，所以，對應且相似的小部分的運動相似直到它們初次相撞，且所以相撞相似，反射相似。然後（由已證明的）小部分之間彼此的運動相似直到它們再次相撞，且如此繼續，以至無窮。此即所證 。
系理1 因此，如果任意兩個物體，它們相似且相對於系統的對應的小部分處於相似的位置，在成比例的時間它們開始相似的運動，且如果它們的大小和密度彼此如同對應的小部分的大小和密度：這些物體在成比例的時間繼續相似的運動。因為對兩個系統中較大的部分與對小部分，情況是一樣的。
系理2 如果兩個系統中所有相似且位於相似位置的部分彼此靜止，且它們中的兩個，它們大於其餘的，且在兩個系統中相互對應，沿位置相似的線開始無論何種相似的運動，它們引起系統的其餘部分的相似的運動，而且其餘部分之間在成比例的時間繼續相似的運動；且因此畫出的空間與它們的直徑成比例。
命題XXXIII 定理XXVII
假定同樣的情形，我說，系統的較大的部分受到的阻礙按照來自它們速度的二次比和直徑的二次比以及系統的部分的密度之比的複合比。
因為阻力部分地來源於向心力或者離心力，由它們系統中的小部分相互作用，部分地來源於小部分和較大部分的相撞和反射。第一種阻力彼此如同整個引起運動的力，阻力來源於此，亦即，如同整個加速力以及對應的部分的物質的量；這就是（由假設）與速度的平方成正比且與對應的小部分的距離成反比，又與對應的部分的物質的量成正比：且因此，由於一個系統中小部分的距離比另一個系統中對應的小部分的距離如同前一系統的小部分或者部分的直徑比後一系統中對應的小部分或者部分的直徑，且物質的量如同部分的密度和直徑的立方；阻力彼此如同速度的平方和直徑的平方，以及系統的部分的密度。此即所證 。後一類阻力如同對應反射的數目和力的聯合。但反射的數目彼此與對應部分的速度成正比，與它們的反射之間的空間成反比。且反射力如同對應部分的速度和大小以及密度的聯合；亦即，如同部分的速度和直徑的立方以及密度。且如果所有這些比聯合起來，對應部分的阻力彼此如同部分的速度的平方和直徑的平方以及密度的聯合。此即所證 。
系理1 所以，如果那些系統是像空氣那樣的兩種彈性流體，且它們的部分相互靜止；此外兩個相似物體與流體的部分的大小和密度成比例，且在那些部分中被放在相似的位置，兩者沿位置相似的直線被拋射；且加速力，由它流體的小部分相互作用，與被拋射的物體的直徑成反比，且與速度的平方成正比：那些物體在成比例的時間在流體中引起相似的運動，它們畫出的空間相似且與它們的直徑成比例。
系理2 因此在同樣的流體中一個快速的拋射體所承受的阻力，差不多按照速度的二次比。因為，如果力，由它遠離的小部分相互作用，按照速度的二次比被增大，阻力將精確地按照相同的二次比；且因此在一種介質中，它的部分由於它們彼此遠離而沒有力相互作用，阻力精確地按照速度的二次比。所以，令A，B，C為由相似且相等並按等距離規則分布的部分構成的三種介質。設介質A和B的部分以彼此如同T和V的力相互退離，介質C的部分完全隔離這種力。且如果四個相等的物體D，E，F，G在這些介質中運動，前兩個物體D和E［分別］在前兩種介質A和B中，且後兩個物體F和G在第三種介質C中；又設物體D比物體E的速度，且物體F比物體G的速度按照力T比力V的二分之一次比：物體D的阻力比物體E的阻力，且物體F的阻力比物體G的阻力，按照速度的二次比；且所以物體D的阻力比物體F的阻力如同物體E的阻力比物體G的阻力。令物體D和F等速，如同物體E和G；且按照任意的比增大物體D和F的速度，再按照同一比的二次方減小介質B中的小部分的力，介質B任意靠近介質C的形態和條件，且因此相等且等速的物體E和G在這些介質中的阻力持續接近相等，使得它們的差在最終變得小於任意給定的差。所以，由於物體D和F的阻力彼此如同物體E和G的阻力，它們也類似地接近等量之比。所以物體D和F的阻力，當它們更迅速地運動時，接近相等；且因此，由於物體F的阻力按照速度的二次比，物體D的阻力很接近地按照相同的比。
系理3 在任意彈性流體中快速運動的一個物體的阻力幾乎與如果流體的部分的離心力被隔離，且不相互退離時一樣，只要流體的彈性力來源於小部分的離心力，且速度如此之大致使力沒有足夠的時間［發生］作用。
系理4 因此，由於相似且等速物體的阻力，在一種其遠離的部分不相互退離的介質中，如同直徑的平方；等速且快速運動的物體在彈性流體中的阻力也很近似地如同直徑的平方。
系理5 且由於相似，相等且等速的物體，在同樣密度的介質中，介質的小部分不相互退離，無論那些小部分是較多且較小，或者是較少且較大，在相等的時間與相等的物質的量相撞，所以在那些物質上施加等量的運動，且反過來（由運動的第三定律）物體受到來自流體物質的相等的反作用，這就是，受到同等的阻礙；顯然在相同密度的彈性流體中，當［物體］非常快速地運動時，它們的阻力近似相等；無論那些流體由較粗糙的小部分構成，或者由非常精微的小部分構成。介質的細微性對非常快速地運動的拋射體的阻力沒有大的減小。
系理6 所有這些論斷在其彈性力來源於小部分的離心力的流體中如此。但如果那個力有別的來源，例如小部分以類似羊毛或者樹枝的方式擴張，或者由於任意其他的原因，它使小部分之間的運動更少自由；阻力，由於介質的較小的流動性，較在以上的引理中為大。
命題XXXIV 定理XXVIII
如果一個球和一個圓柱由相同的直徑畫出，在由相等且彼此等距地自由放置的小部分構成的稀薄介質中，沿圓柱的軸的方向以相同的速度運動：球的阻力是圓柱的阻力的一半。
因為介質在同一個物體上的作用是相同的（由諸定律的系理5），無論物體在靜止的介質中運動，或者介質的小部分以同樣的速度撞擊處於靜止的物體；我們考慮物體，一如它是靜止的，且讓我們來看由於介質的運動它被何種衝擊推動。所以，指定ABKI為以C為中心，CA為半直徑畫出的球體，且介質的小部分以給定的速度沿平行於AC的直線碰到那個物體的表面，又設FB為這樣的［平行］直線。在它上面取LB等於半直徑CB，且引BD，它與球切於B。在KC和BD上落下垂線BE，LD；則力，由它介質的小部分沿直線FB與球面在B傾斜地相碰，比一個力，由它同樣的小部分與以軸ACI圍繞球畫出的圓柱ONGQ在b垂直地相碰，如同LD比LB或者BE比BC。再者，這個力沿著它的相碰的方向FB或者AC移動球的效力（efficacia），比它沿確定的方向移動球的效力，亦即，沿直線BC的方向直接推動球的效力，如同BE比BC。且由比的聯合，一個小部分沿直線FB傾斜地碰在球上，它沿相碰方向移動球的效力，比相同的小部分沿相同的直線垂直地碰在圓柱上，它沿相同的方向移動圓柱的效力，如同BE的平方比BC的平方。所以，如果在bE上，它垂直於圓柱的底面的圓NAO且等於半徑AC，取bH等於（BEquad. ）/（CB）：則bH比bE如同小部分在球上的效力比小部分在圓柱上的效力。且所以立體，它由所有的直線bH占據，比一個立體，它由所有的直線bE占據，如同所有的小部分在球上的效力比所有的小部分在圓柱上的效力。但是，前一個立體是以頂點C，軸CA和通徑CA畫出的拋物線形體（parabolois），且後一個立體是外接拋物線形體的圓柱：習知拋物線形體是外接拋物線形體的圓柱的一半。所以介質在球上的整個力是其在圓柱上的整個力的一半。且所以，如果介質的小部分靜止，且一個圓柱和一個球以相等的速度運動，球的阻力是圓柱的阻力的一半。此即所證 。
解釋
由同樣的方法可以比較其他圖形彼此之間的阻力，且能發現那些更適於在阻力介質中繼續它們的運動的圖形。如以圓形的底CEBH，它由中心O，半徑OC畫出，和高OD構作一個圓錐截形CBGF，它所受到的阻礙在沿軸的方向朝著D前進時小於任意其他以相同的底和相同的高構作的圓錐截形：高度OD平分於Q，並延長OQ至S，使得QS等於QC，則S為需求的圓錐截形的頂點。
附帶地，由於角CSB總為銳角，因此，如果立體ADBE由橢圓形或者卵形ADBE圍繞軸AB旋轉生成，且生成的圖形被三條直線FG，GH，HI切於點F，B和I，使得GH在切點B垂直於軸，且FG，HI與同一GH包含135度的角FGB，BHI，則立體，它由圖形ADFGHIE圍繞相同的軸AB旋轉生成，所受的阻礙小於前一立體；只要兩者都沿它們的軸AB的方向前進，且兩者的端點B在前面。的確，我認為這個命題對將來造船不會沒有用處。
但如果圖形DNFG為此類曲線，如果從它的任意點N向軸AB上落下垂線NM，且由給定的點G引直線GR，它平行於在N與圖形相切的直線，又與軸的延長截於R，作成MN比GR如同GRcub. 比4BR×GBq ；立體，它由這個圖形圍繞軸AB旋轉畫出，在以上所說的稀薄介質中自A向B運動，它所受到的阻礙小於以相同的長度和寬度轉動畫出的任何立體。
命題XXXV 問題VII
如果一種稀薄的介質由小部分構成，它們極小，靜止，相等且彼此等距地放置，需求在此介質中均勻前進的一個球所遇到的阻力。
情形1 設想在相同的介質中，一個以相同的直徑和高度所畫的圓柱以相同的速度沿自身的軸的長度［的方向］前進。且我們假設介質的小部分，它們與球或者圓柱相碰，以最大可能的反射力彈回。又由於球的阻力（由上一命題）是圓柱的阻力的一半，且球比圓柱如同二比三，再者垂直碰到圓柱的小部分，被最大可能地反射，傳送它自身速度的二倍給它們。因此，圓柱在均勻前進中畫出其軸的長度的一半的時間，傳送給小部分的運動比圓柱的整個運動，如同介質的密度比圓柱的密度；且球，在均勻前進中畫出其整個直徑的時間，傳送相同的運動給小部分；又在畫出其直徑的三分之二的時間，傳送給小部分的運動比球的整個運動，如同介質的密度比球的密度。且所以，球遇到的阻力比一個力，由它球的整個運動在球均勻前進中畫出其直徑的三分之二的時間能被除去或者生成，如同介質的密度比球的密度。
情形2 我們假設介質的小部分與球或者圓柱相碰而不被反射；則圓柱向與它垂直相碰的小部分，傳遞其單純的速度給它們，且因此所遇到的阻力是前一種情形的一半；又球的阻力也是前一種情形的一半。
情形3 我們假設介質的小部分從球彈回的反射力既不是最大又不是零，而是某個平均的力，則球的阻力按照第一種情形的阻力和在第二種情形的阻力之間的同一個平均比。此即所求 。
系理1 因此，如果球和小部分無限堅硬，所有彈性力被隔絕，且因此所有反射力也被隔絕：球的阻力比一個力，由它在球畫出其直徑的三分之四的時間能除去或者生成它的整個運動，如同介質的密度比球的密度。
系理2 球的阻力，其他情況相同，按照速度的二次比。
系理3 球的阻力，其他情況相同，按照直徑的二次比。
系理4 球的阻力，其他情況相同，如同介質的密度。
系理5 球的阻力按照一個比，它由來自速度的二次比和直徑的二次比，以及介質的密度之比複合而成。
系理6 且球的運動以及它的阻力的能如此表示。設AB為時間，在此期間由於球的阻力的均勻持續能使球失去其全部運動。豎立AD，BC垂直於AB。且設BC為整個運動，再過點C，以AD，AB為漸近線畫雙曲線CF。延長AB至任意點E。豎立垂線EF交雙曲線於F。補足平行四邊形CBEG，並引AF與BC交於H。則如果球在任意時間BE，它的初始的運動BC均勻地持續，在無阻力介質中畫出的空間CBEG由平行四邊形的面積表示，同一物體在阻力介質中畫出的空間CBEF由雙曲線的面積表示，則其運動在那段時間結束時由雙曲線的縱標線EF表示，其運動失去的部分由FG表示。且在同一時間結束時其阻力由長度BH表示，阻力失去的部分由CH表示。所有這些由第II卷命題V系理1和系理3是明顯的。
系理7 因此，如果球在時間T由於均勻地持續的阻力R失去其全部運動M：同一個球在有阻力的介質中經時間t，在那裡阻力R按照速度的二次比減小，失去其運動M的（tM）/（T+t）份，剩下（TM）/（T+t）份；且球所畫出的空間比由均勻的運動M在相同的時間t所畫出的空間，如同數（T+t）/T的對數 （38） （logarithmus）乘以數2.302585092994比數tT，因為雙曲線BCFE的面積比矩形BCGE按照這個比。
解釋
在此命題中我已展示了球形拋射體在不連續的介質（medium non continuum）中的阻力和遲滯，且我顯示這個阻力比一個力，由它球在以均勻持續的速度畫出其直徑的三分之二的時間能除去或者生成球的整個運動，如同介質的密度比球的密度，只要球和介質的小部分是高度彈性的且具有最大的反射力；但這個力，在球和介質的小部分無限堅硬且隔絕任何反射力時，減小一半。此外，在連續的介質中，如水，熱油，以及水銀中，在其中球不與流體所有產生阻力的小部分相碰，而只壓迫最靠的小部分，且這些小部分壓迫其他的小部分，它們又壓迫其他的小部分，如此下去，在這種介質中阻力減小一半。球在這種極端的流體介質中遇到的阻力比一個力，由它球在以那個均勻持續的運動畫出其直徑的三分之八的時間能除去或者生成其整個運動，如同介質的密度比球的密度。這正是後面我們要努力表明的。
命題XXXVI 問題VIII
確定從圓柱形容器底部開的一個孔中流出的水的運動。
設ACDB 為一個圓柱形容器，AB為其上方的開口，底CD平行於地平線，EF為在底中間的圓孔，G為孔的中心，且圓柱的軸GH垂直於地平線。再想像一冰柱APQB，它與容器的腔有相同的寬度，且有相同的軸，又以均勻的運動持續下降，它的部分一接觸到表面AB就化成液體，當它們化成水由其重力流入容器，且在它們的下降中形成瀑布或者水柱ABNFEM，再從孔EF中穿過，並恰好充滿它。設冰下降的和在圓AB附近的水的均勻的速度是水下落且由下落畫出高度IH所能獲得的速度；又IH，HG位於一條直線上，且過點I引直線KL平行於地平線交冰的邊緣於K和L。則水從孔EF流出的速度等於水自I下落且由下落畫出高度IG所能獲得的速度。且因此由伽利略的定理，IG比IH按照從孔流出的水的速度比水在圓AB的速度的二次比，這就是，按照圓AB比圓EF的二次比；因為這些圓與通過它們的水的速度成反比，水在相同的時間以相等的量恰好通過它們。這裡所考慮的水的速度朝向地平線。而平行於地平線的運動，由它下落的水的部分彼此靠近，由於它不起源於重力，亦於改變起源於重力的垂直於地平線的運動，這裡沒有加以考慮。確實我們假設水的部分略有凝結，且由於其凝結在它們下落時由平行於地平線的運動而彼此靠近，使得它們只形成一個瀑布而不被分成幾個瀑布，但起源於那種凝結的平行於地平線的運動，這裡我們沒有考慮。
情形1 現在想像整個容器的腔內包圍下落的水ABNFEM，充滿冰，使水通過冰如通過一個漏斗。且如果水與冰幾乎不接觸，或者，這是一回事，如果水接觸冰且由於冰極光滑，水很自由且全然沒有阻力地滑過它；水以與以前同樣的速度從孔EF流出，且水柱ABNFEM的整個重量用於產生如同以前的向下流體，再者容器的底承受環繞的冰柱的重量。
現在在容器中的冰溶化；則水流出的速度保持與以前一樣。它不小於以前，因為冰化成的水努力下落；它不大於以前，因為冰化成的水不能下落，除非對其他下落的水的阻礙等於其自身的下落。同樣的力在流出的水中應產生同樣的速度。
但是在容器的底部的孔，因為水的小部分在流出時的傾斜運動，［水流的速度］應稍大於以前。因為現在水的小部分不都垂直從孔通過；而且從容器側面各處匯流並聚積於孔，以傾斜的運動通過；其路徑向下彎折，它們匯合為一水流，在孔的下方較在孔中稍細，它的直徑比孔的直徑近似地如同5比6或者 比 ，只要我對直徑的測量無誤。我設法得到在中間穿孔的一塊很薄的平板，圓孔的直徑為八分之五吋。且流出的水流在下落中不會被加速並由於加速度變細，我將這塊板安在容器的側面而不是底部，使得水流沿平行於地平線的直線流出。然後，當容器中充滿水時，我打開孔使水流出；且水流的直徑，在離孔二分之一吋的距離，儘可能準確地測量，得出為四十分之二十一吋。所以此圓孔的直徑比水流的直徑，很近似地如同25比21。所以水流過孔，從各個方向會聚，且流出容器之後，由於會聚而變細，且由於變細而被加速直到離孔半吋遠，且在那個距離按照25×25比21×21或者近似地17比12，亦即約略按照二比一的二分之一次比較水流在孔中時細小和快速。由實驗證實在給定的時間通過在容器底部的圓孔流出的水量，是以上面所說的速度，不是通過那個孔，而是通過一個圓孔，其直徑比那個孔的直徑如同21比25，在相同的時間應流出的水量。且因此這些水通過孔向下流出的速度差不多等於一個重物在下落時通過容器中蓄積著的水的高度的一半時能獲得的速度。但水在流出容器後，它由於會聚而被加速，直到它前進到離孔幾乎等於孔的直徑的一個距離，獲得一個速度，它約按照二比一的二分之一次比大於水流出孔的速度；這個速度很接近一個重物下落，且其下落畫出在容器中蓄積著的水的高度時能獲得的速度。
所以，此後水流的直徑由我們稱為EF的較小的孔表示。再想像在約等於孔的直徑的距離處引另一較高的平面VW平行於孔EF的平面且穿一較大的孔ST；通過它下落的水流正好充滿下方的孔EF，因此它的直徑比下方的孔的直徑大約如同25比21，由此水流垂直通過下方的孔；且流出的水量，按照這個孔的大小，很接近要求的問題的解。兩個平面包圍的空間和下落的水流，可以被認為是容器的底部，但為了使問題的解更簡單和更數學化，只應用下面的一個平面代替容器的底更好，再想像水從冰上流下好像從漏斗流下，且通過在下方平面的孔EF流出容器，保持其持續的運動，且冰保持靜止。所以接下來以Z為中心畫出直徑為ST的圓孔，當在容器中的所有水為流體時，瀑布通過孔流出容器。且設EF為孔的直徑，下落的瀑布恰好穿過它，無論流出容器的水通過上方的孔，或者從在容器中的冰中間落下如同通過漏斗。且設上方孔的直徑比下方孔的直徑近似地如同25比21，又孔的平面之間的垂直距離等於較小的孔的直徑EF。則水從容器中通過孔ST流出，在該孔向下的速度是一個物體從高度IZ的一半下落能獲得的速度；兩個下落的瀑布在孔EF的速度，是一個物體從整個高度IG下落獲得的速度。
情形2 如果孔EF不在容器的底的中央，而開在別處；水以與前面相同的速度流出，只要孔的大小相同。因為重物經過傾斜的線比經過垂直的線下降到同樣的深度所用的時間要長；但在兩種情形中獲得相同的下降速度，正如伽利略所證明的。
情形3 水從在容器的側面上的孔流出的速度是相同的。因為如果孔細小，使得而AB和KL之間的間隔在感覺上消失，且水平地湧出的水流形成拋物線的圖形。從這個拋物線的通徑能推出，水流出的速度是一個物體在容器中蓄積著的水的高度HG或者IG下落能獲得的速度。因為通過所做的一個實驗，我發現如果蓄積著的水高於孔的高度為二十吋，且孔高於平行於水平面的高度也是二十吋，湧出的水流落在那個平面上，距離從孔向那個平面落下的垂線計，大約為37吋。因為在沒有阻力時水流應以40吋的一個距離落在那個平面上，拋物線形水流的通徑是80吋。
情形4 而且流出的水如果向上，它以相同的速度離開。因湧出的細的水流以其垂直運動上升到在容器中蓄積著的水的高度GH或者GI，除了其上升由於空氣的阻力而略微受阻；且因此它以從那個高度下落能獲得的速度流出。蓄積著的水的每個小部分從各個方向所受的壓迫相等（由卷II命題XIX），且以相等的力退離壓力被攜帶到各個方向，無論它通過在容器的底部的孔下降，或者通過其側面的孔水平地流出，或者進入一管道中並由此從在管道上面的部分所開的細孔射出。且速度，水以此速度流出，是我們在本命題中所定出的，這不僅被推理導出，且由已描述的人所悉知的實驗，這也是顯然的。
情形5 無論孔是圓形，正方形或者三角形，或者任意［面積］等於圓形的圖形，水流出的速度相同。因為水流出的速度與孔的形狀無關，而由它低於平面KL的高度引起。
情形6 如果容器ABDC的靠下的部分浸沒在蓄積著的水中，且蓄積著的水高出容器的底的高度為GR：容器中的水通過孔EF流入蓄積著的水中的速度，是水下落且在其下落中畫出高度IR所能獲得的速度。因為在容器中低於蓄積著的水的表面的所有水的重量，由於蓄積著的水的承受而平衡，且因此一點也不加速容器中水的下降運動。這種情形亦可通過測量水流出的時間由實驗揭示。
系理1 因此，如果水的高度CA延伸至K，使得AK比CK按照在底的任意部分所開的孔的面積比圓AB的面積的二次比：水流出的速度等於一個速度，它能由水下落且在其下落中畫出高度KC獲得。
系理2 且力，由它能生成湧出的水的所有運動，等於一個圓柱形水柱的重量，它的底是孔EF，且高為2GI或者2CK。因為湧出的水，在流出等於這個圓柱的時間，以其自身的重量自高度GI下落所能獲得的速度湧出。
系理3 在容器ABDC中所有水的總重量比一個部分的重量，它被用於水向下流出，如同圓AB和EF的和比二倍的圓EF。因為設IO是IH和IG之間的比例中項；且由孔EF流出的水，在水滴自I下落能畫出高度IG的時間，等於其底為圓EF且高為2IG的一個圓柱，亦即，等於其底為AB且其高是為2IO的一個圓柱，因為圓EF比圓AB按照高度IH比高度IG的二分之一次比，這就是，按照比例中項IO比高度IG的簡單比；且在水滴自I下落能畫出高度IH的一段時間，流出的水等於其底為AB且高為2IH一個圓柱；且自I下落的一水滴經H到G畫出高度的差HG的一段時間，流出的水，亦即，在立體ABNFEM中所有的水，等於圓柱的差，亦即，等於其底為AB且高為2HO的一個圓柱。且所以在容器ABDC中所有的水比在立體ABNFEM中所有下落的水如同HG比2HO，亦即，如同HO+OG比2HO，或者IH+IO比2IH。但是在立體ABNFEM中所有水的重量用於水流下，且因此在容器中所有水的重量比一個部分的重量，它被用於水流下：如同IH+IO比2IH，且因此如同圓EF和AB的和比二倍的圓EF。
系理4 且因此在容器ABDC中所有水的重量比另外一個部分的重量，它由容器的底承受，如同圓AB和EF的和比這些圓的差。
系理5 且一個部分的重量，它由容器的底承受，比另外一個部分的重量，它被用於水流下，如同圓AB和EF的差比二倍的較小的圓EF，或者如同底的面積比二倍的孔的面積。
系理6 但一個部分的重量，它只壓迫底，比所有水的重量，它垂直壓在底上，如同圓AB比圓AB和EF的和，或者如同圓AB比圓AB的二倍對底的超出。因為由系理4，部分的重量，它只壓迫底，比在容器中所有水的重量，如同圓AB和EF的差比這些圓的和；且在容器中所有水的重量比垂直壓在底上的所有水的重量，如同圓AB比圓AB和EF的差。所以，由錯比，部分的重量，它只壓迫底，比所有水的重量，它垂直壓在底上，如同圓AB比圓AB和EF的和或者圓AB的二倍對底的超出。
系理7 如果在孔EF的中央放置一個以中心G畫出的小圓PQ，且它與地平線平行：水的重量，它由那個小圓PQ承受，大於其底是那個小圓且高為GH的一個水圓柱的三分之一的重量。因為設ABNFEM為瀑布或者下落的水柱它具有如上的軸GH，並想像凍結在容器中圍繞瀑布的和小圓上面的所有水，其流動性對於水的即刻和非常迅速的下落是不需要的。且設PHQ為小圓之上凍結的水柱，它具有頂點H和高GH。又想像這個瀑布以其全部重量下落，既不靠在PHQ上又不壓迫它，而自由且無摩擦地滑過它；也許除了在冰的頂點，那裡在瀑布剛開始下落時，是凹的。且由於環繞瀑布的水AMEC，BNFD凍結，相對於下落的瀑布的內表面AME，BNF是凸的，如此這個柱PHQ對瀑布的面也是凸的，且所以大於其底為那個小圓PQ且高為GH的一個圓錐，亦即，大於所描述的同底同高的圓柱的三分之一。但那個小圓承受了這個柱的重量，亦即，大於圓錐或者三分之一那個圓柱的一個重量。
系理8 水的重量，它由很小的圓PQ承受，似乎小於其底是那個小圓且高為HG的一個水圓柱的三分之二。因為保持以上的假設，想像畫出一個其底為那個小圓且半軸或者高為HG的半扁球。則這個圖形等於那個圓柱的三分之二且包含其重量由那個小圓承受的凍結的水柱PHQ。因為為了使水的運動最大地陡直，那個柱的外表面與底PQ交於一個稍微尖銳的角，因為水在下落中持續被加速，且因為加速度使柱變細；又由於那個角小於直角，這個柱的下面部分位於半扁球內。它在上面部分也是尖銳的，因為否則水在扁球的頂的水平運動較其向地平線的運動無限地迅速。且小圓PQ愈小，柱的頂愈尖銳；又小圓減小以至無窮，則角PHQ被減小以至無窮，且所以柱位於半扁球內。所以，那個柱小於半扁球，或者其底為那個小圓且高為GH的一個圓柱的三分之二。此外，小圓承受水的力等於這個柱的重量，因為周圍水的重量被用於［水］向下流。
系理9 水的重量，它由很小的圓PQ承受，近似地等於其底為那個小圓且高為 GH的一個水圓柱的重量。因為這個重量是前述圓錐和半扁球的重量之間的算術平均。但是，如果那個小圓不是特別的小，而被增大直至它等於孔EF；它承受垂直落在其上的所有水的重量，亦即，其底為那個小圓且高為GH的一個水圓柱的重量。
系理10 且（就我所知）重量，它由小圓承受，比其底為那個小圓且高為 GH的一個水圓柱的重量，總很接近地如同EFq 比EFq - PQq ，或者如出圓EF比這個圓對小圓PQ的一半的超出。
引理 IV
一個圓柱，它沿其長度的方向均勻地前進，阻力不因增加或者減少其長度而改變，且因此與由同樣的直徑所畫的圓以同樣的速度沿垂直於圓的平面的直線前進時的阻力相同。
因為圓柱的側面一點也不對抗其運動；且圓柱，當它的長度減小以至無窮時，轉化為一個圓。
命題XXXVII 定理XXIX
一個圓柱，它在一種被壓縮的，無限的且非彈性的流體中沿自身長度的方向均勻地前進；阻力，它起源於［圓柱的］橫截部分的大小，比一個力，由它圓柱的整個運動在畫出四倍其長度期間能被除去或者生成，非常接近地如同介質的密度比圓柱的密度。
因為如果容器ABDC的底CD與蓄積著的水的表面接觸，且水從這個容器中經與地平線垂直的圓柱形管道EFTS流入蓄積著的水中，且小圓PQ被放置在管道中央任何平行於地平線的地方，又延長CA至K，使得AK比CK按照管道的開口EF對小圓PQ的超出比圓AB的二次比：顯然（由命題XXXVI的情形5，情形6以及系理1）水從小圓和容器的壁之間的環形空間穿過的速度是水下落且在其下落中畫出高度KC或者IG能獲得的速度。
且（由命題XXXVI系理10）如果容器的寬成為無限，使短線HI消失且高度IG、HG相等；水向下流在小圓上的力比其底為那個小圓且高為 IG的一個水圓柱的重量，近似地如同EFq 比EFq - PQq 。因為以均勻的運動通過整個管道流下的水的力，與在放置在管道中任意部分的小圓PQ上的力相同。
現在封閉管道的開口EF、ST，且在各個方向受到壓迫的小圓上升，在其上升中它迫使上方的水通過小圓和管道的壁之間的環形空間下落：則小圓上升的速度比水下降的速度如同圓EF和PQ的差比圓PQ，則小圓上升的速度比速度的和，這就是，比水下降的相對速度，以它水流過上升的小圓，如同圓EF和PQ的差比圓EF， 或者如同EFq -PQq 比EFq 。設那個相對速度等於一個速度，由上面的證明，以這個速度水在穿過同樣的環形空間期間，小圓保持不動，亦即，等於水下落且在其下落中畫出高度IG能獲得的速度；則水的力對小圓上升與前面一樣（由諸定律的系理V），亦即，上升的小圓的阻力比其底為那個小圓且高為 IG的一個水圓柱的重量，很接近地如同EFq 比EFq - PQq 。但是小圓的速度比一個速度，水下落且在其下落中畫出高度IG得到它，如同EFq -PQq 比EFq 。
設管道的寬度被增加以至無窮，那些EFq -PQq 和EFq 以及EFq 和EFq - PQq 之間的比最終成為等量之比。且所以小圓的速度現在是水下落且在其下落中畫出高度IG能獲得的速度，它的阻力變成等於其底是那個小圓且高度為高度IG的一半的一個水圓柱的重量，從那裡圓柱應下落以獲得上升的小圓的速度；且圓柱以這個速度，在下落的時間，畫出四倍其自身的長度。但以這個速度沿其自身長度的方向前進的圓柱的阻力，（由引理IV）與小圓的阻力相同，且因此很接近地等於一個力，由它在圓柱畫出四倍其自身長度期間，能生成其運動。
如果圓柱的長度被增加或者減小，它的運動以及時間，在此期間它畫出四倍其自身的長度，按照相同的比被增加或者減小；且因此那個力，由它運動增加或者減小，在按相同的比例增大或者減小的時間能被生成或者被除去，不被改變；且因此仍等於圓柱的阻力，因為由引理IV這也保持不變。
如果圓柱的密度被增大或者減小：它的運動以及力，由這個力運動能在相同的時間被生成或者除去，按照相同的比被增大或者減小。所以，任意一個圓柱的阻力比一個力，由它在圓柱畫出四倍其自身長度期間其整個運動能被生成或者除去，很接近地如同介質的密度比圓柱的密度。此即所證 。
一種流體應被壓縮以致成為連續的，它應是連續的且非彈性的，使得所有來源於它的壓縮的壓力被瞬時地傳播，且相等地作用在運動物體的所有部分，阻力不改變。的確，起源於物體的運動的壓力，它被用來產生流體的部分的運動，且這產生阻力。但壓力，它起源於流體的壓縮，無論它多麼強，如果被瞬時地傳播，它不在連續流體的部分產生運動，對所有的運動不引起改變；且因此既不增大也不減小阻力。無疑流體的作用，它起源於流體的壓縮，對於運動物體的尾部不會強於其頭部，因此在這一命題中所描述的阻力不會被減小；且對頭部的作用不會強於尾部，只要其傳播比被壓迫的物體的運動無限地迅速。作用無限地迅速且被瞬時地傳播，只要流體是連續的且非彈性的。
系理1 圓柱，它們在無限的連續的介質中沿自身的長度［的方向］均勻地前進，阻力按照一個比，它由來自速度的二次比和直徑的二次比以及介質的密度之比的複合而成。
系理2 如果管道的寬度不被以至無窮地增加，但圓柱在被密閉的靜止介質中沿自身的長度［的方向］均勻地前進，且在此期間它的軸與管道的軸重合：圓柱的阻力比一個力，由它其整個運動能在圓柱畫出四倍其長度期間被生成或者除去，按照一個比，它由來自EFq 比EFq - PQq 的一次比和EFq 比EFq -PQq 的二次比以及介質的密度比圓柱的密度之比複合而成。
系理3 對同樣的假設，又長度L比圓柱長度的四倍按照一個比，它由來自EFq 比EPq - PQq 的一次比和EFq 比EFq -PQq 的二次比複合而成；則圓柱的阻力比一個力，由它在圓柱畫出長度L期間能除去或者生成其整個運動，如同介質的密度比圓柱的密度。
解釋
在這個命題中我們研究的阻力，它只起源於圓柱的橫截部分的大小，忽略了可能起源於運動的傾斜的那部分的阻力。因為正如在命題XXXVI的情形1中，運動的傾斜，容器中的水以它從各個方向匯聚於孔EF，阻礙那些水從孔中流出；同樣，在這個命題中，運動的傾斜，水的部分以它受到圓柱前端的壓迫，它們退離壓力且向各個方向擴散，遲滯它們通過圓柱的前端周圍的地方向圓柱末端的遷移，使流體移動一個更大的距離且阻力被增大，且幾乎按照一個比，由它從容器中流出的水被減小，亦即近似地按照25比21的二次比。同樣，在那個命題的第一種情形中，通過假設在容器中所有圍繞瀑布的水被凍結，且其運動為傾斜又無用的水的部分保持不運動，我們使水的部分垂直且極充滿地通過孔EF；因此在這個命題中，為能除去運動的傾斜，且水的部分通過以最直接和最快速的退離，能給圓柱最便於移動的通道，使得只起源於橫截部分的大小的阻力被保持，且它不能被減小，除非減小圓柱的直徑。必須這樣想像流體的部分，它們的運動是傾斜的，無用的且產生阻力，它們在圓柱的兩端彼此靜止，且依附並連結在圓柱上。設ABCD為一個矩形，且AE和BE為以軸AB和一條通徑畫出的兩條拋物線弧，此通徑比空間HG，它被下落的圓柱在獲得其速度期間畫出，如同HG比 AB。又設CF和DF為另兩條拋物線弧，它們以軸CD和一條通徑畫出，它是前一條通徑的四倍；且圖形圍繞軸EF旋轉生成一個立體，其中間的部分ABDC是我們正處理的圓柱，又頂端部分ABE和CDF所包含的流體的部分彼此靜止且凝結成兩個剛性物體，附著在圓柱的兩端猶如頭和尾。則沿其軸FE的長度［的方向］向著E前進的固體EACFDB的阻力很接近我們在這個命題中所描述的，亦即，它比一個力，由這個力在圓柱以那個均勻連續的運動畫出長度4AC期間，圓柱的整個運動或者能被除去或者能被生成，所具有的比與流體的密度比圓柱的密度所具有的比非常接近。且由命題XXXVI系理7，阻力比這個力不可能按照小於2比3的比。
引理 V
如果一個圓柱，一個球和一個扁球，它們的寬度相同，並被如此相繼放在一根圓柱形管道中，使得它們的軸與管道的軸重合：這些物體相等地阻礙流過管道的水。
因為管道和圓柱、球以及扁球之間的空間，水從那裡通過，是相等的：則水相等地通過相等的空間。
這是如此來自一個假設：圓柱、球或者扁球上方的所有水被凍結，其流動性對水的非常快速的通道不再需要，正如在命題XXXVI系理VII中我所解釋的。
引理 VI
對同樣的假設，前述物體被流過管道的水相等地推動。
由引理V和運動的第三定律這是顯然的。無論如何水和物體之間彼此相互且相等地作用。
引理 VII
如果水在管道中靜止，且這些物體以相同的速度沿相反方向穿過管道，它們的阻力彼此相等。
由上一引理這是顯然的，因為它們彼此之間的相對運動保持相同。
解釋
對所有既凸且圓的物體，其軸與管通的軸重合，情形是相同的。一些偏差可能來源於大的或者小的摩擦；但是在這些引理中，我們假定物體極光滑，且介質沒有黏性和摩擦，又流體的部分，由於其偏斜和過多的運動能擾亂、阻礙，且遲滯水從管道流過，彼此靜止猶如凍結的冰，並附著在物體的頭部和尾部，一如在上一命題的解釋中我說明的。因隨後我們考慮以給定最大的橫截部分畫出的圓形物體可能遇到的最小的阻力。
物體浮在流體中，當它一直向前運動，使流體在它們前面上升，在它們後面下沉，特別地如果它們的形狀是鈍的；且因此它們比如果頭和尾都是尖的物體所受的阻力稍大。又物體在彈性流體中運動，如果它們的頭和尾是鈍的，流體在它前面的收縮稍大且在它後面擴張稍大；且因此比如果頭和尾都是尖的物體所受的阻力稍大。但是我們在這些引理和命題中沒有論及彈性流體，而是論及非彈性流體；沒有論及浮在流體表面的物體，而論及深深地浸沒的物體。且當物體在非彈性流體中的阻力已知，在彈性流體中這個阻力需有些增加，如空氣以及在蓄積著的流體的表面，如大海和沼澤。
命題XXXVIII 定理XXX
一個球，它在無限且無彈性的一種壓縮流體中均勻地前進，其阻力比一個力，由它球在畫出其直徑的三分之八的時間能除去或者生成其整個運動，很接近地如同流體的密度比球的密度。
因為球比外接的圓柱如同二比三；且所以那個力，由它圓柱的所有運動在圓柱畫出四倍直徑的一個長度期間能被除去，球的所有運動在球畫出這個長度的三分之二期間被除去，亦即，球自身直徑的三分之八。現在圓柱的阻力比這個力，由命題XXXVII，很近似地如同流體的密度比圓柱的或者球的密度，再由引理V，VI，VII，球的阻力等於圓柱的阻力。此即所證 。
系理1 球在無限壓縮的介質中的阻力按照一個比，它由來自速度的二次比及直徑的二次比和介質的密度之比複合而成。
系理2 最大的速度，以它一個球由其相對的重力（vis ponderis）能在一種阻力介質中下落，是相同的球以相同的重量無阻力地下落能獲得的，球在其下落中畫出一個空間，此空間比球自身的直徑的三分之四如同球的密度比流體的密度。因為球在其下落的時間，以在下落中獲得的速度，畫出一個空間，它比球自身的直徑的三分之八，如同球的密度比流體的密度；且生成這個運動的重力比一個力，由這個力在以相同的速度畫出球自身的直徑的三分之八的時間能生成相同的運動，如同流體的密度比球的密度；且因此由本命題，重力等於阻力，所以不能加速球。
系理3 給定球的密度和在開始運動時它的速度，以及球在其中運動的靜止的壓縮流體的密度；由命題XXXV系理VII，在任意時刻球的速度和它的阻力，以及由它畫出的空間被給定。
系理4 一個球在與它自身的密度相同的靜止的壓縮流體中運動，由同一系理VII，在球畫出其直徑的二倍之前，它自己的運動已失去一半。
命題XXXIX 定理XXXI
一個球，通過被封閉且被壓縮在一根圓柱形管道中的流體均勻地向前運動，它的阻力比一個力，由它球在畫出其直徑的三分之八的時間能生成或者除去其整個運動，很接近地按照一個比，它由來自管道的開口比這個開口對球的最大的圓的一半的超出之比，和管道的開口比這個開口對球的最大的圓的超出的二次比，以及流體的密度比球的密度之比複合而成。
由命題XXXVII系理2，這是顯然的，且證明如同上一命題進行。
解釋
在以上兩個命題中（與在引理V中一樣）我假設跑在球前面，且其流動性增大球的阻力的所有的水被凍結。如果所有那些水溶化，阻力有些增加。但在這些命題中阻力增加較小且能被忽略，因為球的凸表面幾乎與冰有相同的功能。
命題XL 問題IX
一個球，在一極易流動的、壓縮的介質中前進，通過現象求它的阻力。
設A為在真空中球的重量，B為它在阻力介質中的重量，D為球的直徑，F為一個空間，它比 D如同球的密度比介質的密度，亦即，如同A比A-B，G為時間，在此期間球以重量B無阻力地下落，畫出空間F，且H為速度，它被這個球在其下落中獲得。由命題XXXVIII系理2，H是最大的速度，以它球由其重量B能在介質中下降；由命題XXXVIII系理1，球以那個速度H所遇到的阻力，等於它的重量B；球以其他任意速度所遇到的阻力，比重量B按照它的速度比那個最大的速度H的二次比。
這是起源於流體物質的惰性的阻力。起源於它的部分的彈性，黏性和摩擦的阻力，可如此研究。
放下球使它以自身的重量B在流體中下降；且P為下落的時間，且它以秒計，如果G以秒計。找到絕對數 （39） （numerus absolutus）N，它對應於對數 ，且設L為數（N+1）/N的對數，則在下落中獲得的速度為 H，且畫出的高度為[（2PF）/G]-1.3862943611F+4.605170186LF。如果流體足夠深，可忽略項4.605170186LF；畫出的高度很接近[（2PF）/G]-1.3862943611F。這些由第二卷命題九及其系理是顯然的，由假設，球不受其他的阻力，除非它來源於物質的惰性。如果它確定受到其他的阻力，下降將會變慢，且由遲滯可以知道這個阻力的量。
如是物體在流體中下落的速度和下降能更容易地知道，我編制了下表，其第一列指示下降的時間，第二列顯示在下落中獲得的速度，最大的速度為100000000，第三列顯示在那些時間下落畫出的空間，2F為空間，它由物體以最大的速度在時間G畫出，且第四列顯示以最大的速度在相同的時間畫出的空間。在第四列中的數為（2P）/G，並通過減去數1.3862944－4.6051702L，發現在第三列中的數，且為了得到下落畫出的空間，這此數必須乘以空間F。此外加上第五列，其中包含一個物體在真空中下落，由其自身的相對重力B畫出的空間。
解釋
為了通過實驗研究流體的阻力，我得到了一個正方形的木頭容器，內部的長和寬各為一倫敦 呎的九吋，深九又二分之一吋，且我用雨水注滿容器；並由蠟包著鉛製成球，我記錄球下降的時間，球下降的高度為112吋，1立方倫敦 呎的立體包含76羅馬磅 （40） （libra Romana）的雨水，這種呎的一吋的立體包含這種磅的 盎司或者 格令；以一吋的直徑畫出的水球在空氣介質中包含132.645格令雨水，或者在真空中包含132.8格令雨水；且任意其它球如同它在真空中的重量對它在水中的重量的超出。
實驗1 一個球，在空氣中它的重量為 格令，且在水中為77格令，在四秒鐘的時間畫出的總高度為112吋。且當實驗被重複，球在四秒鐘的時間下落相同的路程。
此球在真空中的重量是 格令，且其重量對在水中球的重量的超出是 格令。因此得出球的直徑為0.84224吋。但那個超出比在真空中球的重量，如同水的密度比球的密度，於是如同球的直徑的三分之八（即2.24597吋）比空間2F，因此它［2F］為4.4256吋。在1秒鐘的時間，球由其自身的總重量 格令下落，在真空中畫出 吋；且由77格令的重量下落，在相同的時間，在沒有阻力的水中畫出95.219吋；則在時間G，它比一秒按
照空間F或者2.2128吋比95.219吋的二分之一次比，球畫出2.218吋，並能獲得在水中下降時的最大的速度H。所以時間G為0″.15244。且在這個時間G，球以最大的速度H畫出4.4256吋的一個空間2F；因此在四秒的時間畫於116.1245吋的一個空間。減去空間1.3862944F或者3.0676吋，則保留113.0569吋的一個空間，它由球在一個很寬的容器中下落，在四秒鐘畫出。這個空間，由於上述木頭容器的狹窄，應按照來自容器的開口比這個開口對球的最大的半圓的超出的二分之一次比和相同的開口比其對球的最大圓的超出的簡單比的複合比減小，亦即按照1比0.9914之比減小。這樣做之後，得到112.08吋的一個空間，理論上，球在這個木頭容器中下落，在四秒的時間應近似地畫出這個空間。且由實驗它畫出112吋。
實驗2 三個相等的球，每個在空氣中的重量是 格令且在水中是 格令，相繼落下；每一個在水中下落，在十五秒的時間在各自的下落中畫出112吋的一個高度。
由計算得出，在真空中一個球的重量是 格令，這個重量對在水中球的重量的超出是 格令，球的直徑為0.81296吋，這個直徑的三分之八是2.16789吋，空間2F為2.3217吋；一個空間，它由重 格令的球無阻力地下落在1″的時間畫出，是12.808吋；且時間G為0″.301056。所以，球以最大的速度，由這個速度球能以 格令的力在水中下落，在0″.301056的時間畫出2.3217吋的一個空間，且在15″的時間畫出115.678吋的一個空間。減去1.3862944F或者1.609吋的一個空間，則保留114.069吋的一個空間，因此該球在很寬的容器中下落在相同的時間應畫出它。由於我們的容器的狹窄，大約0.895吋的空間應被扣除。且因此保留113.174吋的一個空間，理論上，它由球在這個容器中下落，在15″的時間應很接近地畫出。且由實驗它畫出112吋。差異是感覺不到的。
實驗3 三個相等的球，每個在空氣中的重量是121格令，且在水中是1格令，相繼落下；且在水中下落，在46″，47″，和50″的時間，畫出112吋的高度。
按照理論，這些球應在大約40″的時間下落。它們的下落得較緩慢是否歸之於在緩慢運動中起源於惰性力的阻力比起源於其他原因的阻力的較小的比例；或者是寧可歸之於附著於球上的一些小泡，或者蠟由於天氣的或者使球落下時手上的熱而變稀，或者甚至是在水中稱量球時感覺不到的誤差，我不能肯定。且因此球在水中的重量應大於一格令，則實驗會確實且可信。
實驗4 為了研究流體的阻力，我著手至此描述的實驗，這早於我得知在最近的命題中闡述的理論。此後，為檢驗已發現的理論，我得到了一個內部寬 吋，深十五又三分之一呎深的木頭容器。然後我由蠟包著鉛製成四個球，每個在空氣中重 格令且在水中重 格令。再者，我讓這些球落下，並用一架半秒的振動擺測量它們在水中的下落時間。球，當被稱量時且在此後的下落中，是冰涼的且冰涼被保持一段時間；因為熱使蠟變稀，且由於變稀減小在水中的球的重量，已變稀的蠟由於寒冷不立刻回歸到原先的密度。在下落前，它們被完全地浸沒在水中，使得它們的下落在開始時不被凸出水的部分的某些重量所加速。且當它們完全浸沒並靜止時，極細心地讓它們下落，由釋放它們的手不會接受某個衝擊。它們相繼下落，在振動 ， ，50和51次的時間，畫出十五英呎又二吋的高度。但現在的天氣比稱量球時稍冷，因此在另一天我重複了實驗，且球在振動49， ，50和53次的時間下落，第三次做時，球在振動 ，50，51和53次的時間下落。多次重複實驗，我得到球大多在振動 和50次的時間下落。當下落較慢時，我懷疑由於它們碰到容器的壁而變緩慢。
現在按照理論進行計算，得出球在真空中球的重量是 格令，這個重量對在水中球的重量的超出是 格令。球的直徑為0.99868吋。此直徑的三分之八是2.66315吋。空間2F為2.8066吋。一個空間，它由球以 格令的重量在一秒的時間無阻力地下落畫出，是9.88164吋。且時間G為0″.376843。所以球，以最大的速度，由它球能以重 格令的重力在水中下降，在0″.376843的時間畫出2.8066吋的一個空間。且在1″的時間畫出7.44766吋的一個空間，又在25″或者［擺］振動50次的時間畫出186.1915吋的一個空間。減去1.386294F或者1.9454吋的一個空間，則保留184.2461吋的一個空間，它由球在一個很寬的容器中下落，在相同的時間畫出。由於我們的容器的狹窄，這個空間按照來自容器的開口比這個開口對球的最大的半圓的超出的二分之一次比，和相同的開口比它對球的最大圓的超出的簡單比的複合比減小；則得到181.86吋的一個空間，它很接近球在這個容器中在［擺］振動50次的時間由理論應畫出的空間。由實驗，球在［擺］振動 或者50次的時間，畫出182吋的一個空間。
實驗5 四個球在空氣中重 格令且在水中重 格令，它們多次落下，在 ，29， 和30次，且有時在31，32，或者33次振動的時間，畫出十五呎又二吋的一個高度。
由理論它們應在很接近29次振動的時間下落。
實驗6 五個球在空氣中重 格令，且在水中重 格令，它們多次落下，在振動15， ，16，17和18次的時間，畫出十五呎又二吋的一個高度。
由理論它們應在很接近15次振動的時間下落。
實驗7 四個球在空氣中重 格令，且在水中重 格令，它們多次落下，在［擺］振動 ，30， ，32和33次的時間，畫出十五呎又一吋半的一個高度。
由理論它們應在很接近28次振動的時間下落。
在研究諸球，它們的重量和大小相同，在下落時為何有的迅速有的遲緩的原因時，我偶然想到，當初始球被放下並開始下落時，那一側，它碰巧較重並先下降，產生一振動運動，振動圍繞它們的中心。因為由於其自身的振動，一個球傳遞給水的運動比它下降而沒有振動時大，且由此振動失去原有的運動的一部分，球應以此運動下降；且根據振動是較大或者較小，受到較大或者較小的遲滯。此外，球總從振動中正下降的那一側退離，且由於退離靠近容器的壁，並在某些情況撞在壁上。且這種振動在球較重時強烈，且較大的球對水的推動較大。所以，為減小球的振動，我由蠟和鉛新做了球，鉛嵌在球中靠近其表面的一側，且我這樣放在球，使較重的一側儘可能在開始下降時的最低點。於是振動變得比以前小很多，且球在不相等性較小的時間下落，正如在以下的實驗中。
實驗8 四個球，在空氣中重139格令且在水中重 格令，多次落下，在振動不多於52次，不少於50次，且大多在約51次振動的時間下落，畫出182吋的一個高度。
由理論它們應在大約52次振動的時間下落。
實驗9 四個球，在空氣中重 格令，且在水中重 格令，多次落下，在振動不少於12次，不多於13次的時間，畫出182吋的一個高度。
由理論這些球應在很接近 次振動的時間下落。
實驗10 四個球，在空氣中重384格令且在水中重 格令，多次落下，在 ，18， 和19次振動的時間，畫出 吋的一個高度。且當它們在19次振動的時間下落時，我有時聽到在到達底部之前它們撞擊容器的壁。
由理論它們應在很接近 次振動的時間下落。
實驗11 三個相等的球，在空氣中重48格令且在水中重 ，多次落下，在振動 ，44， ，45和46次，且大多在44和45次的時間，畫出很接近 吋的一個高度。
由理論它們應在大約 次振動的時間下落。
實驗12 三個相等的球，在空氣中重141格令且在水中 格令，數次落下，在61，62，63，64和65次振動的時間，畫出182吋的一個高度。
且由理論，它們應在很接近 次振動的時間下落。
從這些實驗，顯然，當球緩慢下落，如在第二，第四，第五，第八，第十一和第十二個實驗中，下落的時間由理論正確地顯示；且當球迅速下落，如在第七，第九和第十個實驗中，阻力稍大於按照速度的二次比的阻力。因為球在下落期間有些振動；且這個振動在較輕的球且較慢的下落中，由於運動微弱而迅速停止；但是在輕重且較大的球的下落中，由於運動強烈而持續較久，且不能通過包圍著的水檢驗除非在多次振動之後。而且球，它們愈迅速，它們在後面所受水的壓迫愈小；且如果速度持續增大，它們最後會在後面留下是真空的一個空間，除非流體的壓力同時增大。但是流體的壓力（由命題XXXII和XXXIII）應按照速度的二次比增大，使得阻力按照相同的二次比。因為這不會發生，快速的球後面所受的壓迫稍小，且由於這個壓力的減小，它們的阻力變得稍大於按照速度的二次比的阻力。
所以理論與物體在水中的下落相符，剩下我們檢驗物體在空氣中的下落現象。
實驗13 1710年6月，從位於倫敦 城的聖保羅教堂的屋頂，同時落下兩個玻璃球，一個充滿水銀，另一個充滿空氣；且在下落中它們畫出220倫敦 呎的一個高度。一塊木板，其一邊被懸於鐵鉸鏈上，另一邊由一個木栓支撐；放在這塊板上的兩個球同時落下，這通過延伸至地的鐵絲拔去木栓，使得木板只倚靠在鐵鉸鏈上面而向下旋轉，同時一個按秒的振動擺由那條鐵絲牽引下落而開始振動。球的直徑和重量以及下落的時間顯示在下表中。
但是，觀察到的時間應被修正。因為水銀球（由伽利略的理論）在四秒鐘畫出257倫敦 呎，故畫出220呎僅需3″.42。所以木板，當木栓被拉下時，比它應當要旋轉得要慢，且旋轉的緩慢阻礙球在開始時的下降。因為球差不多位於木板的中心，且事實上離木板的［轉］軸比離木栓更近。且因此下落的時間被延長大約一秒鐘的六十分之十八，所以修正應扣除這些時間，特別對較大的球，因為它們的大小使它們在木板上的時間稍久。這樣做了之後，時間，在此期間六個較大的球下落，成為8″.12，7″.42，7″.42，7″.57，8″.12，和7″.42。
所以，第五個充滿空氣的球，直徑為五吋，重483格令，在8″.12的時間下落，畫出220呎的一個高度。［體積］等於這個球的水的重量是16600格令；且［體積］等於它的空氣的重量是 格令，或者 格令；且因此在真空中球的重量是 格令，又這個重量比［體積］等於球的空氣的重量，如同 比 ，且因此等於2F比球的直徑的三分之八，亦即，比 吋。由此得出2F為28呎11吋。球在真空中，以它自身的全部重量 格令下落，在一秒鐘的時間畫出 吋如上，則以483格令畫出185.905吋，且相同的重量483格令也在真空中在57.58″″的時間畫出空間F或者14呎 吋，並獲得它能在空氣中下降的最大的速度。球以這個速度，在8″.12的時間，畫出245呎又 吋的一個空間。減去1.3863F或者20呎 吋，則保留225呎5吋。所以，這個空間，由理論應該在8″.12的時間被球下落畫出。在實驗中它畫出220呎的一個空間。誤差是感覺不到的。
對其餘充滿空氣的球應用類似的計算，我編制了下表。
實驗14 1719年7月，德扎爾格 先生重做此類實驗，豬的一個膀胱通過凹的木球被製成球殼，濕的膀胱由於充入的空氣而膨脹；且在它們幹了之後被取出，並從同一座教堂的圓頂閣上的一個更高的位置，即從272呎的高度落下；且在同一時刻也下落一個鉛球，它的重量約為二羅馬磅。且在這期間，有人站在此教堂的最高處，在那裡球落下，標記下落的整個時間，又有人站在地上標記鉛球下落的和膀胱下落的時間之間的差。且時間由按半秒鐘振動的擺測定。在那些站在地上的人中，某人有一隻每秒振動四次的彈簧時鐘；另一個人有另外一台由每秒振動四次的擺巧妙地製成的機械。站在教堂頂部的人中，也有人有一台類似的機械，且這些機械如此製造，使得它們可隨意地開始或者停止。又鉛球在約四又四分之一秒的時間下落。且上述的差加上這個時間，膀胱下落的整個時間被確定。時間，在此期間，五個膀胱在鉛球落地後繼續下落，在第一次為 ″， ″， ″， ″，和 ″，且在第二次為 ″， ″，14″，19″，和 ″。加上時間 ″，在此期間鉛球下落，則總的時間，在此期間五個膀胱下落，在第一次為19″，17″， ″，22″，和 ″，且在第二次為 ″， ″， ″， ″，和21″。而在教堂頂部所標記的時間，在第一次為 ″， ″， ″， ″，和 ″，且在第二次為19″， ″， ″，24″，和 ″。但膀胱並不總是一直下落，有時飄浮不定，且在下落中來回擺動。則下落時間被這些運動延長和增加，有時為半秒，有時為一整秒。此外，第二個和第四個膀胱在第一次直線下落；且第一個和第三個膀胱在第二次也如此。第五個膀胱是皺的且由於其皺它稍被遲滯。膀胱的直徑我從很細的線環繞它們兩次測得的周長導出。且在下表中我把理論與實驗相比較，假定空氣的密度比雨水的密度如同1比860，並計算空間，由理論球在下落中應畫出它們。
所以，我們的理論正確地顯示了球在空氣中以及在水中運動時幾乎所有的阻力，且對等速且等大的球，它與流體的密度成比例。
在一個解釋中，它附屬於第六部分，由擺的實驗我們證明，相等且等速的球在空氣，水，和水銀中運動，阻力如同流體的密度。在這裡由物體在空氣和水中下落的實驗，我們更精確地證明了同一事情。因為擺在每次振動中，引起流體的一個運動，它總與擺返回時的運動相反，且由起源於這個運動的阻力，以及線的阻力，擺由線懸掛，使得擺的總的阻力大於由物體下落的實驗發現的阻力。因為在那個解釋中由擺的實驗說明，密度與水相同的一個球，在空氣中畫出自身半直徑的一個長度，應失去其自身運動的 。但由在這個第七部分中闡述且由物體下落的實驗證實的理論，假定水的密度比空氣的密度如同860比1，相同的球畫出同樣的長度，僅應失去其自身運動的 。所以，由擺的實驗發現的阻力大於（因剛才所描述的原因）由球下落的實驗發現的阻力，且約按照4比3之比。但是，由於在空氣，水，和水銀中振動的擺的阻力由於類似的原因而被類似地增大，在這些介質中阻力的比例，不但能由擺的實驗，而且能由物體下落的實驗足夠正確地顯示。且因此可以斷定，物體在靜止且極易流動的流體中運動時的阻力，其他情況相同，如同流體的密度。
由這些如此被確立的，現在有可能很接近地指出在任意流體中被拋射的任意一個球，在一段給定的時間其運動失去的部分。設D為球的直徑，且V為運動開始時它的速度，T為時間，在此期間球以速度V在真空中畫出一個空間，它比 D的一個空間如同球的密度比流體的密度；又球在那一流體中被拋射，在任意時間t，其速度失去（tV）/（T+t）份，留下（TV）/（T+t）份；且由命題XXXV系理VII，它畫出一個空間，這空間比在相同的時間以均勻的速度V在真空中畫出的空間，如同數（T+t）/T的對數乘以2.302585093比數t/T。在緩慢的運動中阻力稍小，因為球的形狀較以相同的直徑畫出的一個圓柱的形狀稍微更適於運動。在快速的運動中阻力稍大，因為流體的彈性力和壓縮力不按照速度的二次比增大。但這裡我沒有思考此類細節。
且即使空氣，水，水銀，和類似的流體，它們的部分通過無限分解，被細化而成為流動性無限的介質；它們對被拋射的球的阻礙並不減小。因為阻力，關於它產生了上述命題，起源於物質的惰性；而物質的惰性是物體的本質且總與物質的量成比例。通過流體的部分的分解，阻力，它起源於部分的黏性和摩擦，確能被減小，但由它的部分的分解，物質的量沒有被減小；且物質的量被保持，其惰性力被保持，這裡討論的阻力，總與惰性力成比例。因為這個阻力被減小，在一個空間中的物質的量必須被減小，物體在此空間中運動。且所以天體空間，通過它行星的和彗星的球體在各個方向極自由地持續運動，且所有運動沒有可察覺到的減小，全然沒有物質性的流體，也許非常稀薄的水汽和穿過那些空間的光束是例外。
無疑當拋射體在流體中前進時，它們在流體中激起一個運動，且這個運動起源於拋射體前部的流體的壓力對其後部的壓力的超出，再者按照每種物質的密度的比，它在流動性無限的介質中不能小於它在空氣，水和水銀中。且壓力的這個超出，與自身的量成比例，不僅在流體中激起運動，而且作用於流體上以遲滯其運動；且所以在所有流體中的阻力如同由拋射體在流體中激起的運動，又它在最精緻的以太中，按照以太的密度的比，也不能小於它在空氣，水和水銀中按照這些流體的密度的比。