自然哲學的數學原理 · 第VI部分 論擺體的運動和阻力

命題XXIV 定理XIX 擺的物體的物質的量，它們的振動的中心離懸掛點的中心等距，按照來自重量之比和在真空中振動的時間的二次比的一個複合比。 因為速度，它能由給定的力在給定的時間在給定的物質上產生，與力和時間成正比，且與物質成反比。較大的力或者較長的時間或者較少的物質，產生的速度較大。這由運動的第二定律是顯然的。現在如果擺的長度相同，運動的力在離垂線等距的位置如同重量；且因此，如果兩個振動物體畫出的弧相等，又那些弧被分成相等的部分；由於時間，在此期間物體畫出弧的每個對應部分，如同整個振動的時間，在對應的振動部分的速度彼此與引起運動的力和整個振動的時間成正比，且與物質的量成反比；於是，物質的量與力和振動的時間成正比且與速度成反比。但速度與時間成反比，由此時間的正比和速度的反比如同時間的平方，且所以物質的量如同運動的力和時間的平方，亦即，如同重量和時間的平方。此即所證 。 系理1 且因此，如果時間相等，在每個物體中的物質的量如同重量。 系理2 如果重量相等，物質的量如同時間的平方。 系理3 如果物質的量被取作相等，重量與時間的平方成反比。 系理4 因此，由於時間的平方，其他情況相同，如同擺的長度；如果時間和物質的量是相等的，重量如同擺的長度。 系理5 且一般地，擺的物質的量與重量和時間的平方成正比，且與擺的長度成反比。 系理6 但在無阻力介質中，擺的物質的量與相對的重量（pondus comparativum）和時間的平方成正比，且與擺的長度成反比。因為在任意重的介質中，相對的重量是物體的引起運動的力，如我在上面所解釋的；且因此，在這樣一種沒有阻力的介質中它被賦予與在真空中絕對的重量（pondus absolutum）同樣的作用。 系理7 由此，一個方法是顯然的，它既用於物體的彼此比較，對在每個［物體］中的物質的量；又用來比較同一物體在不同位置的重量，以知道重力的變化。通過以最大的精確性所做的實驗，我總是發現在每個物體中的物質的量與它們的重量成比例。 命題XXV 定理XX 諸擺的物體，在任意的介質中，它們按照時間的瞬之比被阻礙，且擺的物體，它們在同比重的無阻力介質中運動，在相同的時間完成在旋輪線上的振動，又同時畫出成比例的弧段。 設AB為一條旋輪線的弧，它由在無阻力介質中振動的物體D在任意時間畫出。那條弧在C被平分，於是C為其最低點；且加速的力，由它物體在任意位置D或者d或者E被推動，如同弧CD或者Cd或者CE的長度。那些力由同一弧表示；又由於阻力如同時間的瞬，且因此被給定，用旋輪線的給定的弧段CO表示它，且取弧Od，按照它比弧CD與弧OB比弧CB有相同的比；則力，由它在阻力介質中的物體在d被推動，是力Cd對阻力CO的超出，由弧Od表示，且因此比一個力，由它在無阻力介質中物體D在位置D被推動，如同弧Od比弧CD；且所以在位置B亦如同弧OB比弧CB。因此，如果兩個物體D，d離開位置B且被那些力推動：由於力在一開始時如同弧CB和OB，初始的速度和初始畫出的弧按照相同的比。令那些弧BD和Bd，以及餘下的弧CD，Od按照相同的比。因此力，它們與那些弧CD，Od成比例，保持與開始時同樣的比，且所以物體繼續同時按相同的比畫出弧。所以力和速度以及餘下的弧CD，Od總如同整個弧CB，OB，且因此那些餘下的弧同時被畫出。由是兩個物體D，d將同時到達位置C和O，在無阻力介質中的那個在位置C，且在阻力介質中的那個在位置O。現在，由於在C和O的速度如同弧CB，OB；弧，它們由物體再進一步前進時同時畫出，按照相同的比。令那些弧為CE和Oe。力，由它在無阻力介質中的物體D在E被遲滯，如同CE；且力，由它在阻力介質中的物體d在e被遲滯，如同力Ce與阻力CO的和，亦即，如同Oe；且因此力，由它們物體被遲滯，如同與弧CE，Oe成比例的弧CB，OB；且所以，速度，按照那個給定的比被遲滯，保持那個相同的給定的比。所以速度和以這些速度畫出的弧彼此總按照弧CB和OB的那個給定的比；且所以，如果整個弧AB，aB按照相同的比被取得，物體D，d同時畫出這些弧，且在位置A和a同時失去所有的運動。所以，整個振動是等時的，且被同時畫出的任意弧段BD，Bd或者BE，Be，與整個弧BA， Ba成比例。此即所證 。 系理 所以在阻力介質中最快速的運動不發生在最低點C，而在那個點O被發現，在此整個畫出的弧aB被平分。且物體此後前進到a，被遲滯的程度與此前在它自B向O下降時被加速的程度相同。 命題XXVI 定理XXI 諸擺的物體，它們按照速度之比被阻礙，在旋輪線上的振動是等時的。 因為，如果兩個物體，離懸掛中心等距，振動畫出不等的弧，且在弧的對應部分的速度彼此之間如同整個弧；阻力與速度成比例，彼此之間亦如同相同的弧。所以如果從起源於重力的引起運動的力，它們如同同樣的弧，被除去或者被加上這些阻力，差或者和彼此之比按照與弧相同的比，又由於速度的增量或減量如同這些差或者和，速度總如同整個弧：所以速度，如果在某一情形如同整個弧，它們將總保持相同的比。但在運動的開端，當物體開始下降並畫出那些弧，力，由於與弧成比例，生成的速度與弧成比例。所以速度總如同被畫出的整個弧，且因此那些弧總被同時畫出。此即所證 。 命題XXVII 定理XXII 如果擺的物體所受的阻礙按照速度的二次比，在阻力介質中的振動的時間與在同比重的無阻力介質中的振動的時間之差，很接近地與振動所畫出的弧成比例。 因為設相等的擺在阻力介質中畫出不等的弧A，B；且物體在弧A上的阻力，比物體在弧B上的對應部分的阻力，按照速度的二次比，亦即，很接近地如同AA比BB。如果在弧B上的阻力比在弧A上的阻力如同AB比AA；由上面的命題，在弧A和B上的時間就相等。且因此在弧A上的阻力AA，或者在弧B上的AB，在弧A上產生對在無阻力介質中的時間的超出；且阻力BB在弧B上產生對在無阻力介質中的時間的超出。但那些超出很近似地如同產生它們的力AB和BB，亦即，如同弧A和B。此即所證 。 系理1 因此，由在阻力介質中不相等的弧上所成的振動的時間，可以知道在同比重的無阻力介質中的振動的時間。因為時間的差比在較短弧上對在無阻力介質中的時間的超出，如同弧的差比較短的弧。 系理2 愈短的振動愈等時，且極短的振動與在無阻力介質中的振動非常接近地在相同的時間完成。事實上，在較大的弧上完成的時間略長，因為在物體下降時由於阻力時間被延長，［阻力］按下降時畫出的長度的大小，大於隨後上升時的阻力，由於阻力［上升的］時間被縮短。但短的和長的振動的時間似乎由於介質運動而有些延長。因為被遲滯的較物體按速度之比所受阻礙略小，且被加速的物體比均勻前進的物體所受阻礙略大；因為介質，由於從物體接受的運動沿［與物體］同樣的方向前進，在前一種情形受到的較大的推動，在後一種情形受到較小的推動，且由此或大或小地隨物體一起運動。所以較按照速度之比，擺在下降時受到較大的阻礙，在上升時受到較小的阻礙，且由於這兩種原因，時間被延長。 命題XXVIII 定理XXIII 如果在旋輪線上振動的一個擺的物體所受的阻礙按照時間的瞬之比，它的阻力比重力如同在整個下降中所畫出的弧對隨後上升所畫出的弧的超出，比二倍的擺的長度。 指定BC為下降畫出的弧，Ca為上升畫出的弧，且Aa為弧的差；又保持在命題XXV中的作圖和證明，力，由它振動物體在任意位置D被推動，比阻力，如同弧CD比弧CO，它［CO］是那個差Aa的一半。且因此，力，由它振動物體在旋輪線的開端或者最高點被推動，亦即，重力，比阻力，如同那個最高點和最低點C之間的弧比弧CO；亦即（如果弧被加倍）如同整個旋輪線的弧，或者二倍的擺的長度，比弧Aa。此即所證 。 命題XXIX 問題VI 假設一個物體在旋輪線上振動，所受的阻礙按照速度的二次比：需求它在各個位置的阻力。 設Ba為一次完整振動畫出的弧，且C為旋輪線的最低點，又CZ是整個旋輪線弧的一半，它等於擺的長度；且需求物體在任意位置D的阻力。無窮直線OQ被截於點O，S，P，Q，使得（如果豎立垂線OK，ST，PI，QE，且以O為中心，OK，OQ為漸近線畫雙曲線TIGE截垂線ST，PI，QE於T，I和E，再過點I引KF平行於漸近線OQ交漸近線OK於K，且交垂線ST和QE於L和F）雙曲線的面積PIEQ比雙曲線的面積PITS如同物體下降畫出的弧BC比上升畫出的弧Ca，且面積IEF比面積ILT如同OQ比OS。然後被垂線MN割下的雙曲線的面積PINM，它比雙曲線的面積PIEQ如同弧CZ比下降畫出的弧BC。且如果被垂線RG割下的雙曲線的面積PIGR，它比面積PIEQ如同任意的弧CD比下降畫出的整個弧BC；則在位置D的阻力比重力，如同面積[（OR）/（OQ）]IEF-IGH比面積PINM。 因為，由於來源於重力的力，由它物體在位置Z，B，D，a被推動，如同弧CZ，CB，CD，Ca，且那些弧如同面積PINM，PIEQ，PIGR，PITS；不僅弧而且力分別由這些面積表示。此外，設Dd為物體在下降時畫出的極小的一個空間，且它由平行線RG，rg圍成的極小的面積RGgr表示；又延長rg至h，使得GHhg和RGgr同時為面積IGH，PIGR的減量。則面積[（OR）/（OQ）]IEF-IGH的增量GHhg-[（Rr）/（OQ）]IEF，或者Rr×HG-[（Rr）/（OQ）]IEF，比面積PIGR的減量RGgr，或者Rr×RG，如同HG-[（IEF）/（OQ）]比RG；且因此如同OR×HG-[（OR）/（OQ）]IEF比OR×GR或者OP×PI，這就是（由於OR×HG，OR×HR-OR×GR，ORHK-OPIK，PIHR和PIGR+IGH相等）如同PIGR+IGH-[（OR）/（OQ）]IEF比OPIK。所以，如果面積[（OR）/（OQ）]IEF-IGH被稱為Y，且如果面積PIGR的減量RGgr被給定，面積Y的增量如同PIGR-Y。 如果V指定來源於重力的力，它與將要被畫出的弧CD成比例，由它物體在D被推動，且阻力被設為R；總的力為V-R，由它物體在D被推動。且由此速度的增量如同V-R和在其間增量生成的那個時間的小部分的聯合。但是速度自身與同時被劃出的空間的增量成正比且與相同的時間的小部分成反比。因此，由於由假設阻力如同速度的平方，阻力的增量（由引理II）如同速度和速度的增量的聯合，亦即，如同空間的瞬和V-R的聯合；於是，如果空間的瞬被給定，如同V-R；亦即，如果把力V寫作其表示PIGR，且阻力用另外某個面積Z表示，如同PIGR-Z。 所以面積PIGR通過減去給定的瞬而均勻地減小，面積Y按照PIGR－Y之比增加，且面積Z按照PIGR-Z之比增加。且所以，如果面積Y和Z同時開始且在開始時相等，它們通過加上相等的瞬繼續相等，且同樣減去相等的瞬繼續相等並同時消失。且反之，如果它們同時開始且同時消失，它們會有相等的瞬且總是相等；如此情形是由於如果阻力Z被增加，速度與那個弧Ca，它在物體上升時被畫出，一起減小；且在靠近點C的點，整個運動與阻力一起停止，阻力消失得較面積Y更為迅速。且當阻力被減小時，得出相反的結果。 現在面積Z當阻力為零時開始並結束，這就是，當弧CD等於弧CB且直線RG遇到直線QE時運動開始，且當弧CD等於弧Ca且RG遇到直線ST時運動結束。又面積Y或者[（OR）/（OQ）]IEF-IGH當阻力為零時，且因此當[（OR）/（OQ）]IEF和IGH相等時開始和結束：這就是（由作圖）當直線RG相繼遇到直線QE和ST時。且所以那些面積同時開始並同時消失，又由此它們總相等。所以面積[（OR）/（OQ）]IEF-IGH等於面積Z，阻力由Z表示，且所以比表示重力的面積PINM，如同阻力比重力。此即所證 。 系理1 所以，在最低位置C的阻力比重力，如同面積（OP）/（OQ）IEF比面積PINM。 系理2 它［阻力］當面積PIHR比面積IEF如同OR比OQ時，成為最大。因為在那一情形，它的瞬（即PIGR-Y）為零。 系理3 因此在每個位置的速度也可以知道：實際上它按照阻力的二分之一次比，且在運動開始時等於在相同的旋輪線上無阻力振動物體的速度。 但由於由這一命題發現阻力和速度在計算上的困難性，附加如下命題是適宜的。 命題XXX 定理XXIV 如果直線aB等於由振動物體所畫出的旋輪線的弧，且向它的每個點D豎立垂線DK，它比擺的長度如同在弧上對應點的物體的阻力比重力：我說，整個下降所畫出的弧與隨後整個上升所畫出的弧之間的差，乘以那些弧的和的一半，等於由所有垂線DK所占據的面積BKa。 由於一次完整振動畫出的旋輪線的弧由那條等於它的直線aB表示，且在真空中畫出的弧由長度AB表示。AB在C被平分，且點C表示旋輪線的最低點，又CD如同來源於重力的力，由它在D的物體沿旋輪線的切線被推動，且它比擺的長度所具有的比正如在D的力比重力所具有的比。所以那個力可由長度CD表示，且重力由擺的長度表示，再者，如果在DE上按照DK比擺的長度正如阻力比重力所具有的比取DK，則DK表示阻力。以C為中心，以及CA或者CB為間隔作半圓BEeA。此外，設物體在極短時間畫出空間Dd，並豎立垂線DE，de交圓周於E和e，這些垂線如同物體在真空中自點B下降，在位置D和d獲得的速度。（由第I卷命題LII）這是顯然的。於是這些速度由那些垂線DE，de表示；又設DF是［物體］在阻力介質中自B下落在D獲得的速度。且如果以中心C和間隔CF畫圓FfM交直線de和AB於f和M，則M為此後沒有進一步的阻力時［物體］上升到的位置，且df為它在d獲得的速度。因此，如果Fg指明速度的瞬，物體D畫出極短的空間Dd，由於介質的阻力而失去它；又取CN等於Cg：則N為此後沒有進一步的阻力物體上升到的位置，且MN為上升的減量，它來源於那個速度的失去。往df上落下垂直線Fm，則由阻力DK生成的速度DF的減量Fg，比由力CD生成的同一速度的減量fm，如同生成力DK比生成力CD。但是，又由於三角形Fmf，Fhg，FDC相似，fm比Fm或者Dd如同CD比DF；又由錯比，Fg比Dd如同DK比DF。同樣，Fh比Fg如同DF比CF；再由並比，Fh或者MN比Dd如同DK比CF或者CM；且因此所有MN×CM的和等於所有Dd×DK的和。往動點M豎立成直角且總等於不定量CM的縱標線，它在連續運動中走過總的長度Aa；由那個運動畫出的四邊形或與它相等的矩形Aa× aB，等於所有MN×CM的和，且因此等於所有Dd×DK的和，亦即，等於面積BKVTa。此即所證 。 系理 因此從阻力的定律和弧Ca，CB的差Aa，能很接近地推知阻力比重力之比。 因為如果阻力DK是均勻的，圖形BKTa是Ba和DK之下的矩形；且因此 Ba和Aa之下的矩形等於Ba和DK之下的矩形，則DK等於 Aa。所以，由於DK表示阻力，且擺的長度表示重力，阻力比重力如同 Aa比擺的長度；所有這些正如在命題XXVIII中所證明的。 如果阻力如同速度，圖形BKTa很接近一個［半］橢圓。因為如果物體在沒有阻力的介質中，一次完整的振動畫出長度BA，在任意位置D的速度如同以直徑AB所畫的圓的縱標線DE。因此，由於Ba在阻力介質中，且BA在無阻力介質中，在近於相等的時間被畫出；且因此在Ba上每個點的速度，比在長度BA上對應點的速度，很接近地如同Ba比BA；在阻力介質中在點D的速度很接近地如同畫在直徑Ba上的圓的或者橢圓的縱標線；且因此圖形BKVTa很接近一個［半］橢圓。由於阻力被假設為與速度成比例，設OV表示在中點O的介質阻力；又以中心O，半軸OB，OV畫［半］橢圓BRVSa，它與等於矩形Aa×BO的圖形BKVTa，很接近地相等。所以Aa×BO比OV×BO如同這個橢圓的面積比OV×BO，亦即，Aa比OV如同半圓的面積比半徑的正方形，或者近似地如同11比7；且因此 Aa比擺的長度如同振動物體在O的阻力比其重力。 但是，如果阻力DK按照速度的二次比，圖形BKVTa幾乎是一個頂點為V且軸為OV的拋物線，且因此很接近地等於 Ba和OV之下的矩形。所以 Ba和Aa之下的矩形等於 Ba和OV之下的矩形，且因此OV等於 Aa；於是振動物體在O的阻力比它的重力如同 Aa比擺的長度。 且我認為這些結論對實用目的已足夠精確。因為，由於橢圓或者拋物線BRVSa與圖形BKVTa在中點V相合，如果在BRV或者VSa的一邊大於那個圖形，在另一邊要小於它，且因此很接近地等於它。 命題XXXI 定理XXV 如果振動物體的阻力在每一畫出的成比例的弧的部分按給定的比增大或者減小；則在下降所畫的弧和隨後上升所畫的弧之間的差，按相同的比被增大或者減小。 因為那個差由於介質的阻力來源於擺的遲滯，且因此如同總的遲滯以及與它成比例的遲滯阻力。在上一命題中直線 aB和那些弧CB，Ca的差Aa之下的矩形等於面積BKTa。且那個面積，如果保持長度 aB，它按橫標線DK之比增大或者減小；這就是，按照阻力之比，且因此如同長度aB和阻力的聯合。所以Aa和 aB之下的矩形，如同aB和阻力的聯合，且因此Aa如同阻力。此即所證 。 系理1 因此，如果阻力如同速度，在同一介質中的弧之差如同畫出的整個弧；且反之亦然。 系理2 如果阻力按照速度的二次比，那個差按照整個弧的二次比；且反之亦然。 系理3 且一般地，如果阻力按照速度的三次或任意其他比，差按照整個弧的相同的比；且反之亦然。 系理4 且如果阻力部分地按照速度的簡單比，部分地按照速度的二次比，差部分地按照整個弧的比且部分地按照它的二次比；且反之亦然。對速度的阻力的定律和比，與那個差對弧的長度的定律和比相同。 系理5 且因此，如果擺相繼畫出不等的弧，能對所畫出的弧發現這個差的增量或者減量的比；亦有對較大或較小阻力的增量或者減量的比。 總釋 由這些命題，通過在任意介質中的振動擺，我們能發現介質的阻力。事實上，我曾由如下實驗探究空氣的阻力。一隻木球重 羅馬 盎司，直徑為 倫敦 吋 （36） ，被我用細線懸掛在一個很牢固的鉤上，使得鉤和球的振動中心之間的距離為 呎。在線上距離懸掛中心10呎又1吋處，我標記一點；且對著那個點我放置一把按吋劃分的尺子，藉助於它我能標記由擺畫出的弧的長度。然後我對振動計數，在此期間球失去其運動的八分之一。如果擺被引至離垂線二吋的距離，並由此使它落下，於是在其整個下落中畫出二吋的弧，且第一次全振動，由下落及隨後上升構成，畫出約四吋的弧，然後它經164次振動失去其八分之一的運動，以致其最後一次上升畫出一又四分之三吋的弧。如果初次下降畫出四吋的弧，它經121次振動失去其八分之一的運動，以致其最後的上升畫出了 吋的弧。如果初次上升畫出八吋，十六吋，三十二吋或六十四吋的弧，它分別經69， ， ， 次振動失去其八分之一的運動。所以初次下降和最後一次上升畫出的弧的差，在第一，第二，第三，第四，第五和第六種情形分別為 ， ，1，2，4，8吋。在每一種情形這些差除以振動數，則在一次平均振動中，在此期間［球］畫出 ， ，15，30，60，120吋的弧，下降和隨後上升的弧的差分別為 ， ， ， ， ， 吋。但這些差在較大的振動中近似地按照所畫弧的二次比，在較小的振動中按照較那個比略大的比；且所以（由本卷命題XXXI系理2）球的阻力，當運動較為迅速時，很近似地按照速度的二次比；當較為遲緩時，按照略大於那個比的比。 最後，因為有些人的看法是存在一種特定的以太介質，它極為細微，能很自由地滲透到所有物體的細孔和通道，這種介質通過物體的細孔流動應產生一種阻力；為檢驗是否我們在運動物體上所經驗的阻力全在它們的外表面，或者內部部分是否遇到作用於其表面的顯著阻力，我設計了如下實驗。我用一根十一呎長的線把一個圓樅木小盒通過一個鋼環懸掛在一隻很牢固的鋼鉤上，在鉤上向上有一鋒利的凹口，使靠在凹口上的環的靠上的弧能更自由地運動。線系在環的靠下的弧上。我拉它離開垂線至約六呎的距離，並沿垂直於鉤上凹口的平面，使擺振動時，環不在鉤的凹口上前後滑動。因為懸掛點，環在此接觸鉤，應保持靜止。我精確地標出擺被拉到的位置，並放下擺，標記另外三個位置，擺經第一次，第二次和第三次振動後返回到此處。我曾相當頻繁地重複；使得我儘可能精確地發現那些位置。然後我在小盒中裝入鉛和其他在手邊的更重的金屬。但首先我稱出空盒連同繞在盒上的細線的部分以及其餘延伸於鉤和懸掛的小盒之間的線的一半的重量。因為拉直的線當擺拉離垂線，它總以其一半的重量作用於擺上。在這個重量上我加上小盒容納的空氣的重量。且總重量約為盒中填滿金屬時重量的七十九分之一。然後，由於當盒子填滿金屬時，線被其重量拉伸，增加了擺的長度，我縮短線使目前振動的擺與以前的長度相同。然後，再拉擺至第一個標記的位置並放下，我數了約七十七次振動，直到小盒返回到第二個標記的位置，之後同樣多的次數，直到小盒返回到第三個標記的位置，且又經過同樣多的次數直到小盒返回到第四個位置。由此我得出結論，填滿盒子的整個阻力比空盒的阻力所具有的比不大於78比77。因為如果兩者的阻力相等，填滿的小盒子，由於其固有的力是空盒的七十八倍，應該保持其振動運動如此長久，使得完成78次振動總返回到那些地方。但它在完成77次振動返回到同樣的地方。 所以，設A表示在小盒外表面的阻力，且B表示在空小盒內部的阻力；如果等速物體在內部的阻力如同物質，或者被阻礙的小部分的數目，78B是填滿的小盒在其內部的阻力，且因此空小盒的總阻力A+B比填滿的小盒的總阻力A+78B如同77比78，且由分比，A+B比77B如同77比1，且由此A+B比B如同77×77比1，又由分比A比B如同5928比1。所以空小盒在其內部的阻力小於在其外表面的阻力超過五千倍。這個論證依賴假設填滿的小盒的阻力較大不是來源於其他原因，而只來源於某種流體對被包圍的金屬的作用。 我對這個實驗的敘述出於記憶。因為一張紙，在它上面我曾寫下描述，丟失了。因此我被迫略去了從記憶中被遺忘的某些分數。 而且我沒有時間一一重試。第一次，由於我用的鉤不牢固，填滿的盒子被遲滯得更快。在尋找原因時，我發現鉤如此不牢固以致不能承擔小盒的重量，且向這個方向或者那個方向彎曲以服從擺的振動。所以，我得到一牢固的鉤，使懸掛點保持不動，且此後得到的一切如以上所描述的。