自然哲學的數學原理 · 第V部分 論流體的密度和壓縮及流體靜力學流體的定義

流體是任一物體，它的部分退離所受的任意力，且由於退離彼此之間易於運動。 命題 XIX 定理XIV 同質且不運動的流體，它被封閉在任意不運動的容器中且在各個方向上被壓縮，它的所有部分（摒棄考慮濃縮，重力以及所有的向心力）在各個方向受到相等的壓迫，且沒有任何起源於那個壓力的運動而是停留在它們自己的位置上。 情形1 設流體被封閉在球形容器ABC中且在各個方向上受到均勻的壓縮：我說，沒有流體的部分由於那個壓力（pressio）而運動。因為，如果某個部分D運動，所有在各個方向上位於離中心相同距離的所有此類部分必須同時做類似的運動；事情如此是因為它們的壓力全部相似且相等，且每一運動假定被排除，除非來源於那個壓力的運動。但流體的部分不能都靠近中心，除非流體在中心被濃縮，這與假設矛盾。它們不能退離它，除非流體在邊界被濃縮，這亦與假設矛盾。它們不能保持離中心的距離在一個方向上運動，因為由同樣的理由它們沿相反方向運動；但同一部分不可能同時在兩個方向上運動，所以沒有流體的部分離開自己的位置運動。此即所證 。 情形2 現在我說，這一流體的所有的球形部分在各個方向所受的壓迫相等。因為設EF為流體的一個球形部分，且如果它在各個方向上所受的壓迫不相等，較小的壓力被增大直至在各個方向上的壓迫相等；且它的部分，由情形1，將停留在自己的位置。但在壓力增加之前，同樣由情形1，它們停留在自己的位置，又由流體的定義，增加的新的壓力使它們離開自己的位置運動。這兩者矛盾。所以，說球EF在各個方向受的壓迫不相等是虛假的。此即所證 。 情形3 此外，我說不同球的部分的壓力相等。因為由運動的定律III，接觸的球部分在接觸點相等地相互擠壓。但是，由情形2，它們被相同的力在各個方向壓迫。所以任意兩個不相接觸球的部分受同樣力的壓迫，因為位於兩者之間的球的部分能與兩者相切。此即所證 。 情形4 現在，我說，流體的所有部分在各個方向受到同等的壓迫。因為任意兩部分能被球形部分在任意點相切，且由情形3，在那裡它們相等地壓迫那些球形部分，且由運動的第三定律，反過來它們受到相等的壓迫。此即所證 。 情形5 所以，由於流體中任意的部分GHI在流體中被其餘流體包圍如同在一容器中，且在各個方向受到相等的壓迫，又它的部分彼此相等地壓迫，且相互靜止；顯然任意的流體GHI的所有部分在各個方向受到相等的壓迫，它們彼此相等地壓迫，且相互靜止。此即所證 。 情形6 所以，如果那一流體被封閉的容器不是堅硬的，且各個方向所受的壓迫不相等；由流體的定義它將屈服於較強的壓力。 情形7 且所以在一堅硬的容器中的流體，不會受一側的壓力較另一側強大，而將退讓它，且這發生在一瞬間，因為堅硬容器的壁不追隨退讓的液體。退讓將壓迫相對的一側，且因此壓力趨向各個方向相等。且因為，當流體努力從較大壓力的部分退離，它被容器相對一側的阻力阻止；壓力向各個方向歸於相等，在一瞬間，沒有局部的運動；且由此由情形5，流體的部分彼此相等地壓迫，且相互靜止。此即所證 。 系理 因此流體的部分彼此間的運動，不能由在那一流體的外表面上的任意地方施加壓力而改變，除非或者表面的形狀在某處被改變，或者流體的所有部分由於彼此壓迫得更強烈或更緩和，它們之間的滑動更困難或者更容易。 命題XX 定理XV 如果球形流體的每一部分，在離中心等距處是均質的，壓在同心的球形底部，重力趨向於全體的中心；底部承受一個圓柱的重量，它的底等於底部的表面，且高度與壓在上面的流體的高度相同。 設DHM為底部的表面，且AEI為流體的外表面。流體被無數球面BFK，CGL分成厚度相等的球殼（orbis）；並想像重力只作用於每個球殼的上表面，且在所有表面的相等部分作用相等，所以最高的球面AE受到自身固有的單純重力的壓迫，且由它最高的球面的所有部分受到壓迫，又第二個表面BFK（由命題XIX）按其大小（mensura）受到相等的壓迫。此外，第二個表面BFK受到自身固有的重力的壓迫，它加到前一個力上，使壓力加倍。第三個面CGL受到這個壓力的作用，按照其大小，並加上自身固有的重力，亦即，受到三倍的壓力。且類似地，第四個表面受到四倍壓力的壓迫，第五個表面受到五倍壓力的壓迫，且如此繼續。所以壓迫一個表面的壓力，並不如同壓在其上的流體的立體的量，而如同直到流體最高處的球殼數；且等於最低的球殼的重力乘以球殼的數目，這就是，等於一個立體的重力，它比指定的圓柱的最終比（只要球殼的數目增加，且厚度減小以至無窮，使得重力的作用自最低的表面到最高的表面變為連續的）成為等量之比。所以最低的表面承受指定圓柱的重量。此即所證 。由類似的論證，當重力按照離中心的距離的任意次冪之比減小時，這個命題是顯然的，且當流體向上稀薄，向下稠密時也一樣。此即所證 。 系理1 所以底部不受整個壓在上面的流體的重量的壓迫，而只承受本命題所描述的部分重量；其餘的重量被流體的穹隆形（figura fornicata）所承擔。 系理2 而且，在離中心等距處壓力的量總相等，無論受壓的表面與地平線平行，或者垂直，或者傾斜；無論自受壓的表面連續向上的流體，沿一直線垂直上升，或者通過彎曲的腔和槽傾斜地爬動，且無論通道是規則的或極不規則的，寬闊的或極狹窄的。通過應用本定理的證明於流體的各種情形，推知這些環境一點也不改變壓力。 系理3 由同樣的證明亦推知（由命題XIX），重流體的部分從壓在上面重量的壓力沒有獲得相互間的運動；只要排除起源於濃縮的運動。 系理4 且所以，如果另一具有相同比重的物體，它不能被濃縮，浸沒在此流體中，它不從來自壓在上面的重量的壓力獲得運動；既不下沉，也不上浮，也不受迫改變自己的形狀。如果它是球形的就保持球形，儘管有壓力，如果它是正方形就保持正方形：而且無論它是柔軟的，還是非常容易流動的；無論它自由地漂浮在流體中，或者貼著底部。因為任意流體的內部與浸沒物體的情形一樣，且對所有大小，形狀和比重相同的浸沒物體情形一樣。如果浸沒物體的重量被保持，它液化並被賦予流體的形態；這個物體，如果先前上浮或下沉，或者由於壓力被賦予新的形狀，則現在它也上浮，或下沉，或者被賦予新的形狀，它如此是由於其重力和它的運動的其他原因保持不變。但（由命題XIX的情形5）現在它將靜止並保持其形狀。所以也在原先的條件下。 系理5 因此，比重較鄰近流體自身的比重大的物體下沉，且比重較鄰近流體自身的比重小的物體上浮，且得到的運動和形狀的變化和重力能引起的那個超出和缺失一樣多。由於那個超出或缺失的作用像衝擊，由它那個物體按與流體平衡不同的方式被推動；且能在天平的任一個托盤裡比較超出或者缺失的重量。 系理6 所以，處於流體中的物體的重力是雙重的：其一是真正的和絕對的，另一是表面上的，通常的和相對的。絕對的重力是物體由於它趨向下方的整個力；相對的和通常的重力是重力的超出，由它物體較周圍的流體更趨向下方。由前一種重力所有流體和物體的部分在它們的位置受到重力的作用，且因此它們的重量合在一起構成整個重量。因為整個一起是重的，正如能由盛滿液體的容器檢驗；且總重量等於所有部分的重量，且因此由它們構成。由另一種重力物體沒有在它們的位置受到重力的作用，亦即，彼此相互比較，它們並不較重，但阻止彼此下降的努力，保持在自己的位置，好像它們不是重的。在空氣中的東西不比空氣重，通常認定為不是重的。通常認定為重的東西，只要它們達到空氣的重量不能支持的程度。通常的重量不是別的，正是真正的重量對空氣的重量的超出。因此，通常所說的輕是不沉重，退讓較重的空氣向上升。它們只是相對的輕，而不是真正的，因為它們在真空中下落。且類似地，物體在水中由於它們較大或較小的重力下沉或者上浮，是相對的和表面上的重和輕，且它們的相對的和表面上的重和輕是超出或者缺失，由於它們的真正的重力或者超過水的重力或者被水的重力超過。且物體既不由於較重而下落，又不由於退讓較重的水而上升，即使它們自身的真正的重量增加了總重量。然而相對地且按通常所理解的，它們在水中不受重力作用。因為這些情形的證明是類似的。 系理7 所有關於重力的證明，對其他任意的向心力成立。 系理8 因此，如果介質，某一物體在其中運動，受到自身的重力或其他任意向心力的推動，且物體受到同樣力的推動較強；力的差是那個引起運動的力，它在前面的命題中被我們作為向心力考慮。但如果物體受到那個力的推動較弱，力的差應作為離心力考慮。 系理9 但是，由於流體通過壓迫被包圍的物體不改變其外形，而且顯然（由命題XIX的諸系理）它不改變內部的部分相互間的位置；且因此，如果動物被浸沒，且所有的感覺來自部分的運動，流體既不損害浸入的身體，又不喚起任何感覺，除非這些身體由於壓力而達到收縮的程度。且對被有壓力的流體包圍的物體的系統，情況是一樣的。系統的所有部分被激起同樣的運動，如同它們在真空中那樣，且被它們相對的重力所維持，除了流體有些阻礙它們的運動，或者需要壓力結合它們。 命題XXI 定理XVI 設某一流體的密度與壓力成比例，且它的部分被與離中心的距離成反比的向心力向下牽引：我說，如果那些距離被取作連比，流體的密度在相同的距離上亦成連比。 指定ATV為流體壓在其上的球形底面，設S為中心，距離SA，SB，SC，SD，SE，SF，等等成連比。豎立垂線AH，BI，CK，DL，EM，FN，等等，它們如同在位置A，B，C，D，E，F［等等］上的介質的密度；則在那些位置的比重如同（AH）/（AS），（BI）/（BS），（CK）/（CS）等等，或者同樣，如同（AH）/（AB），（BI）/（BC），（CK）/（CD），等等。首先假設這些重力自A到B，自B到C，自C到D，等等，均勻地持續，減量階梯式地在點B，C，D，等等發生。且這些重力乘以高度AB，BC，CD，等等得出壓力AH，BI，CK，等等，由於它們底部ATV（按照定理XV）被壓迫。所以小部分A承擔了全部的壓力AH，BI，CK，DL，如此以至無窮；且小部分B承擔了除第一個AH之外的全部壓力；又小部分C承擔了除前兩個AH，BI之外的全部壓力；且如此繼續下去；且因此第一個小部分A的密度AH比第二個小部分B，+58.4mm。35.2mm，Y#的密度BI如同總和AH+BI+CK+DL，以至無窮，比總和BI+CK+DL，［+］等等。且第二個小部分B的密度BI比第三個小部分C的密度，如同總和BI+CK+DL，［+］等等，比總和CK+DL，［+］等等。所以那些和與它們的差AH，BI，CK，等等，成比例，且因此［那些和］成連比（由本卷引理I），且所以差AH，BI，CK，等等，與和成比例，［差］亦成連比。所以，由於在位置A，B，C，等等的密度如同AH，BI，CK，等等，它們亦成連比。跳躍地進行，且由錯比，在成連比的距離SA，SC，SE，密度AH，CK，EM成連比。且由同樣的論證，在任意成連比的距離SA，SD，SG，密度AH，DL，GO成連比。現在點A，B，C，D，E，等等會合，使得比重的級數自底部A至流體的頂端成為連續的，則在任意成連比的距離SA，SD，SG，總構成連比的密度AH，DL，GO，將仍保持連比。此即所證 。 系理 因此，如果在兩個位置上流體的密度被給定，置為A和E，能推知它在其他任一位置Q的密度。以S為中心，SQ，SX為直角漸近線畫雙曲線截垂線AH，EM，QT於a，e，q，且截向漸近線SX落下的垂線HX，MY，TZ於h，m和t。使面積YmtZ比給定的面積YmhX如同給定的面積EeqQ比給定的面積EeaA；則延長的直線Zt割下的直線QT與密度成比例。因為，如果直線SA，SE，SQ成連比，則面積EeqQ，EeaA相等，且因此與這些成比例的面積YmtZ，XhmY亦相等，又直線SX，SY，SZ，亦即，AH，EM，QT成連比，正如它們應當的。且如果直線SA，SE，SQ作為在連比級數中的任意排列（ordo）而得到，直線AH，EM，QT，由於雙曲線的面積成比例，將在另一連比量的級數中得到相同的排列。 命題XXII 定理XVII 設某一流體的密度與壓力成比例，且它的部分被與離中心的距離的平方成反比的重力向下牽引：我說，如果距離被取作一音樂級數 （35） （progressio musica），在這些距離上的流體的密度成一幾何級數。 指定S為中心，且距離SA，SB，SC，SD，SE成一幾何級數。豎立垂線AH，BI，CK，等等，它們如同在位置A，B，C，D，E，等等上的流體的密度，則在相同位置的比重是（AH）/（SAq ），（BI）/（SBq ），（CK）/（SCq ），等等。假設這些重力，首先從A到B，其次從B到C，再次從C到D，等等，均勻地持續。且這些［比重］乘以高度AB，BC，CD，DE，等等，或者同樣，乘以距離SA，SB，SC，等等，它們與那些高度成比例，得到壓力的表示（AH）/（SA），（BI）/（SB），（CK）/（SC），等等。所以，由於密度如同這些壓力的和，密度的差AH-BI，BI-CK，等等，如同和的差（AH）/（SAq ），（BI）/（SBq ），（CK）/（SCq ），等等。以S為中心，SA，Sx為漸近線畫任意雙曲線，它截垂線AH，BI，CK，等等於a，b，c，等等，又截向漸近線Sx落下的垂線Ht，Iu，Kw於h，i，k；且密度的差tu，uw，等等，如同（AH）/（SA），（BI）/（SB），等等。又矩形tu×th，uw×ui，等等，或者［矩形］tp，uq，等等，如同（AH×th）/（SA），（BI×ui）/（SB），等等，亦即，如同Aa，Bb，等等。因為，由雙曲線的性質，SA比AH或者St，如同th比Aa，且因此（AH×th）/（SA）等於Aa。再由類似的論證（BI×ui）/（SB）等於Bb，等等。但是Aa，Bb，Cc，等等，成連比，且所以與它們的差Aa-Bb，Bb-Cc，等等，成比例；且因此矩形tp，uq，等等，與這些差成比例，又矩形的和tp+uq或者tp+uq+wr與差的和Aa-Cc或者Aa-Dd成比例。令此類項如此之多，則所有差的和，設為Aa-Ff，與所有矩形的和，設為zthn，成比例。增加項的數目並減小點A，B，C，等等的距離以至無窮，則那些矩形變成等於雙曲線的面積zthn，且因此差Aa-Ff與這塊面積成比例。現在取任意距離，設SA，SD，SF成一音樂級數，則差Aa-Dd，Dd-Ff相等；且所以與這些差成比例的面積thlx，xlnz彼此相等，又距離St，Sx，Sz，亦即，AH，DL，FN，成連比。此即所證 。 系理 因此，如果流體的任意兩個密度被給定，置為AH和BI，則它們的差tu對應的面積thiu將被給定；且因此在任意高度SF的密度FN通過取面積thnz比那個給定的面積thiu如同差Aa-Ff比Aa-Bb而被發現。 解釋 由類似的論證可以證明，如果流體的小部分的重力按照小部分離中心的距離的三次比減小，且距離SA，SB，SC，等等的平方的倒數（即SAcub. /SAq ，SAcub. /SBq ，SAcub. /SCq ）被取作一算術級數；密度AH，BI，CK，等等，將成一幾何級數。且如果重力按照距離的四次比減小，且距離的立方的倒數（設為SAqq /SAcub. ，SAqq /SBcub. ，SAqq /SCcub. ，等等）被取作一算術級數；密度AH，BI，CK，等等，將成一幾何級數。且如此以至無窮。再者，如果流體的小部分的重力在所有距離是相同的，且距離成一算術級數，則密度將成一幾何級數，正如傑出人士埃德蒙·哈雷 所發現的。如果重力如同距離，且距離的平方成一算術級數，密度將成一幾何級數。且如此以至無窮。這些事情如此，當被壓力壓縮的流體的密度如同壓力，或者，同樣地，由流體占據的空間與這個力成反比。可以設想其他的壓縮定律，如壓力的立方如同密度的平方的平方，或者力的三次比與密度的四次比相同。在這種情況，如果重力與離中心的距離的平方成反比，密度將與距離的立方成反比。設想壓力的立方如同密度的平方的立方，且如果重力與距離的平方成反比，密度將按照距離的二分之三次反比。設想壓力按照密度的二次比，且重力按照距離的二次反比，則密度與距離成反比。歷述所有的情形將是冗長的。但由實驗確定空氣的密度或者很精確地，或者相當接近地如同壓力：且所以在地球的大氣中空氣的密度如同壓在上面的所有空氣的重量，亦即，如同在氣壓計中水銀的高度。 293 命題XXIII 定理XVIII 如果流體由相互逃避的小部分構成，密度如同壓力，則小部分的離心力與它們的中心之間的距離成反比。且反之亦然，以與它們的中心之間的距離成反比的力彼此相互逃避的小部分構成的彈性流體，它的密度與壓力成正比。 設流體被封閉在立方體的空間ACE中，然後由於壓力縮小為較小的立方體的空間ace；且小部分在兩個空間中保持彼此之間的相似位置，距離如同立方體的邊AB，ab；且介質的密度與ABcub. 和abcub. 包含的空間成反比。在大立方體邊的平面ABCD上取正方形DP等於小立方體邊的平面db；且由假設，壓力，由它正方形DP壓迫被封閉的流體，比一個壓力，由它那個正方形db壓迫被封閉的流體，如同彼此的介質的密度，這就是，如同abcub. 比ABcub. 。但是，壓力，由它正方形DB壓迫被封閉的流體，比一個壓力，由它正方形DP壓迫同一流體，如同正方形DB比正方形DP。 所以，由錯比，壓力，由它正方形DB壓迫流體，比一個壓力，由它正方形db壓迫流體，如同ab比AB。過立方體的中間引平面FGH，fgh，分流體為兩部分，且這些部分以與它們受平面AC和ac壓迫相同的力彼此壓迫，這就是，按照ab比AB的比例；且因此離心力，由於它們這些壓力被保持，按照相同的比。因為在兩個立方體中小部分的數目相同且它們的位置相似，所有小部分沿平面FGH和fgh施加於整體的力，如同力，以它每個小部分施加於每個其他的小部分。所以力，以它在較大的立方體中沿平面FGH每個作用於另一個，比一個力，以它在較小的立方體中沿平面fgh每個作用於另一個，如同ab比AB，這就是，與小部分彼此之間的距離成反比。此即所證 。 且反之亦然，如果每個小部分的力與距離成反比，亦即，與立方體的邊AB，ab成反比；力的和按照相同的比，且邊DB，db的壓力如同力的和；又正方形DP的壓力比邊DB的壓力，如同abquad. 比ABquad. 。再由錯比，正方形DP的壓力比邊db的壓力如同abcub. 比ABcub. ，亦即，一個的壓力比另一個的壓力如同前一個的密度比後一個的密度。此即所證 。 解釋 由類似的論證，如果小部分的離心力按照中心之間距離的二次反比，則壓力的立方如同密度的平方的平方。如果離心力按照距離的三或四次反比，壓力的立方與如同密度的平方的立方或者立方的立方。且一般地，如果假設D為距離，且E為被壓縮的流體的密度，又離心力與距離的任意次冪Dn 成反比，其指數為n；壓力如同冪En+2 的立方根，其指數為n+2；且反之亦然。所有這些事情應理解為小部分的離心力終止在鄰近它們的小部分，或者不能延伸到超出它們太遠。關於磁體我們有這樣一個例子。它們的吸引特性幾乎被終止在靠近它們的它們自身的那一類物體上。磁的力量（virtus）被置於中間的薄鐵片減弱，且幾乎終止於它。因為更遠的物體與其說被磁體吸引，不如說被薄片吸引。按同樣的方式，如果小部分排斥其他靠近它們自身的那一類小部分，但對更遙遠的小部分不施加任何力量，在本命題中處理了由此類的小部分構成的流體。但如果每個小部分的力量傳播至無窮，對更大的量的流體，相等的壓縮需要更大的力。但彈性流體是否真的由如此相互逃避的小部分構成，是一個物理學問題。我們已從數學上證明了由此類小部分構成的流體的性質，因此給哲學家提供了討論那個問題的機會。