自然哲學的數學原理 · 第IV部分 論物體在阻力介質中的圓形運動

引理 III 設PQR為與所有半徑SP，SQ，SR等等以等角相截的螺線。引直線PT，它切同一螺線於任意點P，且截半徑SQ於T；並向螺線豎立垂線PO，QO，它們交於O，連結SO。我說，如果點P和Q彼此靠近並重合，角PSO成為直角，又矩形TQ×2PS比PQ^ Tquad.的最終比為等量之比。 的確從直角OPQ，OQR減去相等的角SPQ，SQR，相等的角OPS，OQS被保持。所以，經過點O，S，P的圓也經過點Q。當點P和Q會合，則這個圓在PQ會合的位置與螺線相切，這樣圓垂直截直線OP。所以OP成為這個圓的直徑，且在半圓上的角OSP為直角。此即所證 。 向OP上落下垂線QD，SE，則直線的最終比是這樣：TQ比PD如同TS或者PS比PE，或者2PO比2PS；同樣PD比PQ如同PQ比2PO；再經過並比，TQ比PQ如同PQ比2PS。由此PQq 變成等於TQ×2PS。此即所證 。 命題XV 定理XII 如果在每一位置的介質的密度與位置離一個不動的中心的距離成反比，且設向心力按照密度的二次比：我說，物體能在一條螺線上運行，它與從那個中心所引的所有半徑以給定的角相截。 系理8 由此，可以很接近地推知物體在介質中的運動，它的密度或者均勻，或者服從任意其他設定的定律。以中心C和成連比的間隔SA，SB，SC等等，畫任意數目的圓，並設在上面所說的介質中，在這些圓中的任意兩個的圓周之間［物體的］環繞時間比在目前介質中的環繞時間之比非常接近地如同在目前介質中這些圓之間的平均密度比上面所說的介質中同樣的圓之間的平均密度；並設上面所說的介質中的螺線截半徑AS的角的正割比目前介質中的新螺線截同樣半徑的角的正割按照相同的比：同樣的兩個圓之間的環繞數也非常接近這些角的正切。如果對每兩個圓之間都這樣做，運動將連續地通過所有的圓。由此，我們不難想像物體在任何規則的介質中的環繞方式和時間。 系理9 且對在接近卵形的螺線上進行的任意的偏心的運動；然而想像那些螺線在彼此間隔相同的每次環繞，其接近中心的程度如同上面所描述過的螺線，我們能理解在此類螺線上物體的運動以何種方式進行。 命題XVI 定理XIII 如果在每一個位置的介質的密度與位置離一個不動的中心的距離成反比，且若向心力與同一距離的任意次冪成反比：我說，物體能在一條螺線運行，它與從那個中心所引的所有半徑以給定的角相截。 系理1 阻力比向心力如同1-12n×OS比OP。 系理2 如果向心力與SPcub. 成反比，則1-12n=0；且因此阻力和介質的密度為零，正如第一卷中的命題九。 系理3 如果向心力與半徑SP的某次冪成反比，它的指數大於3，則正阻力將變為負阻力。 解釋 但是這個命題及上面的命題；它們針對介質的不相等的密度，應被理解為關於物體的運動，它們是如此之小，以致介質在物體的一側大於其另一側的密度不必考慮。我又假定阻力，在其他情形相同時，與密度成比例。因此，在介質中，它的阻力不與密度成比例時，密度應增加或者減小到這種程度，使或者阻力的超出被除去，或者缺失被補充。 命題XVII 問題IV 需求向心力和介質的阻力，由它們一個物體能在給定的螺線上，以給定的速度的定律運行。 設那條螺線為PQR。從速度，以它物體跑過極短的弧PQ，時間被給定，又從高度TQ，它如同向心力和時間的平方，力被給定。然後從在相等的時間的小部分完成的面積PSQ和QSR的差RSr，物體的遲滯被給定，再從遲滯發現阻力和介質的密度。 命題XVIII 問題V 給定向心力的定律，需求在每個位置的介質的密度，由它一個物體畫出給定的螺線。 從向心力發現［物體］在每個位置的速度，然後從速度的遲滯尋求介質的密度；如同上一命題。 但是我已經在本卷的命題十和引理二中揭示了處理這些問題的方法，並且我不願讀者再停留在此類複雜的探究中。現在我想加入關於物體向前運動的力，以及關於介質的密度和阻力的一些事項，迄今解釋的運動以及與這些有關的運動在其中進行。