自然哲學的數學原理 · 第III部分 論所受的阻礙部分地按照速度之比且部分地按照速度的二次比的物體的運動

命題XI 定理VIII 如果一個物體所受的阻礙部分地按照速度之比，部分地按照速度的二次比，且只由其固有的力在類似的介質中運動；而且時間被取作一算術級數，與速度成反比的量增加一給定的量成一幾何級數。 以中心C，直角漸近線CADd和CH畫雙曲線BEe，且AB，DE，de平行於漸近線CH。在漸近線CD上點A，G被給定。且如果時間用均勻地增加的雙曲線的面積ABED表示；我說，速度能用長度DF表示，它的倒數GD與給定的CG一起構成按幾何級數增長的長度CD。 因為設小面積DEed是給定的極小的時間增量，則Dd與DE成反比且因此與CD成正比。所以1/（GD）的減量，它（由本卷引理II）是（Dd）/（GDq ），如同（CD）/（GDq ）或者（CG+GD）/（GDq ），亦即，如同1/（GD）+（CG）/（GDq ）。所以，當時間ABED由給定的小部分EDed相加均勻地增長，1/（GD）按照與速度相同的比減小。因為速度的減量如同阻力，這就是（由假設）如同兩個量的和，其中的一個如同速度，另一個如同速度的平方；又1/（GD）的減量如同量1/（GD）及量（CG）/（GDq ）的和，其中前者是1/（GD）自己，且後者（CG）/（GDq ）如同1/（GD）q ：因此1/（GD），由於減量的相似（analogus），如同速度。且如果量GD，它與1/（GD）成反比，增加給定的量CG；它們的和CD，在時間ABED均勻地增加時，按幾何級數增大。此即所證 。 系理1 所以，如果點A和G給定，時間由雙曲線的面積ABED表示，則速度能用GD的倒數1/（GD）表示。 系理2 且取GA比GD如同在開始時速度的倒數比在任意時間ABED結束時速度的倒數，點G將被發現。當它被發現，由其他任意給定的時間能發現速度。 命題XII 定理IX 對同樣的假設，我說，如果［物體］所畫出的空間被取作一算術級數，速度增加一給定的量成為一幾何級數。 設在漸近線CD上點R被給定，且豎立垂線RS，它交雙曲線於S，畫出的空間用雙曲線的面積RSED表示；又速度如同長度GD，它與給定的CG一起構成的長度按照幾何級數減小，在此期間空間RSED按照算術級數增大。 因為，由於空間的減量EDde被給定，短線Dd，它是GD自身的減量，與ED成反比，且因此與CD成正比，這就是，如同同一個GD和給定的長度CG的和。但是速度的減量，在與它成反比的時間，且在此期間給定的空間的小部分DdeE被畫出，如同阻力和時間的聯合，亦即，與兩個量的和成正比，其中一個如同速度，另一個如同速度的平方，且與速度成反比；且因此與兩個量的和成正比，其中一個被給定，另一個如同速度。所以速度的減量以及直線GD的減量，如同一個給定量和一個減小的量的聯合；且因為減量相似，減小的量總相似；即是速度和［直］線GD相似。此即所證 。 系理1 如果速度由長度GD表示，物體畫出的空間如同雙曲線的面積DESR。 系理2 且如果任意假設點R，通過取GR比GD，如同開始時的速度比畫出任意的空間RSED後的速度，發現點G。發現點G後，由給定的速度空間被給定，且反之亦然。 系理3 因此，由於（命題XI）由給定的時間速度被給定，又由本命題由給定的速度空間被給定；從給定的時間，空間將被給定。且反之亦然。 命題XIII 定理X 假設一個物體由向下的均勻的重力吸引而直線上升或下降；並且它所受的阻礙部分地按照速度之比，部分地按照速度的二次比：我說，如果過共軛直徑的端點引一個圓的和一條雙曲線的直徑的平行直線，又速度如同自一個給定的點所引的那些平行線的截段；則時間如同扇形的面積，它被自中心向截段的端點所引的直線割下；且反之亦然。 情形1 首先我們假設物體上升，且以中心D和任意的半直徑DB畫四分之一圓BETF，又過半直徑DB的端點作無窮的［直線］BAP平行於半直徑DF。在其上點A被給定，且截段AP被取得與速度成比例。又由於阻力的一部分如同速度且另一部分如同速度的平方；總的阻力如同APquad. +2BAP。連結DA，DP截圓於E和T，且重力由DAquad. 表示，這樣重力比阻力如同DAq 比APq +2BAP：則上升的總時間如同圓扇形EDT。 因為引DVQ，割下速度AP的瞬PQ，和扇形DET的瞬DTV，它對應於時間的一個給定的瞬；又速度的那個減量PQ如同重力DAq 以及阻力APq +2BAP的和，亦即（由《幾何原本 》卷2命題12）如同DPquad. 。所以面積DPQ，它與PQ成比例，如同DPquad. ，且面積DTV，它比面積DPQ如同DTq 比DPq ，如同給定的DTq 。所以通過減去給定的小部分DTV，面積隨著將來的時間的瞬均勻地減小，且所以與上升的整個時間成比例。此即所證 。 情形2 如果速度在物體上升中用長度AP表示，如同上面，且阻力被假設為如同APq +2BAP，且如果重力小於能由DAq 表示的，取BD，它的長度使得ABq -BDq 與重力成比例，又DF垂直且等於DB，且過頂點F畫雙曲線FTVE，它的共軛半直徑為DB和DF，且它截DA於E，又截DP，DQ於T和V；則上升的總時間如同雙曲線扇形TDE。 因為在給定的時間的小部分產生的速度的減量PQ，如同阻力APq +2BAP以及重力ABq -BDq 的和，亦即，如同BPq -BDq 。但是面積DTV比面積DPQ如同DTq 比DPq ；且因此，如果向DF落下垂線GT，如同GTq 或者GDq -DFq 比BDq ，且如同GDq 比BPq ，又由分比，如同DFq 比BPq -BDq 。所以，由於面積DPQ如同PQ，亦即，如同BPq -BDq ；面積DTV如同給定的DFq 。所以在每一相等的時間的小部分，由減去相同數目的給定的小部分DTV，面積EDT均勻地減小，且所以與時間成比例。此即所證 。 情形3 設AP為物體在下落時的速度，且APq +2BAP為阻力，又BDq -ABq 為重力，角DBA為一個直角。且如果以中心D，主頂點B，畫直角雙曲線BETV截延長的DA，DP和DQ於E，T和V；則這個雙曲線扇形DET如同下落的整個時間。 由於速度的增量PQ，且與它成比例面積的DPQ，如同重力對阻力的超出，亦即，如同BDq -ABq -2BAP-APq 或者BDq -BPq 。又面積DTV比面積DPQ如同DTq 比DPq ，且因此如同GTq 或者GDq -BDq 比BPq ，又如同GDq 比BDq ，再由分比，如同BDq 比BDq -BPq 。所以，由於面積DPQ如同BDq -BPq ，面積DTV將如同給定的BDq 。所以在每一相等的時間的小部分，由加上數目相同的給定的小部分DTV，面積DET均勻地增加，且所以與下落的時間成比例。此即所證 。 系理 如果以中心D和半直徑DA，過頂點A畫相似於弧ET的弧At，且類似地對著角ADT：速度Ap比一個速度，物體經時間EDT在無阻力的空間能在上升中失去它或者在下落中獲得它，如同三角形DAP的面積比扇形DAt的面積；且因此由給定的時間而被給定。因為速度，在無阻力介質中與時間，且因此與這個扇形成比例；在阻力介質中［速度］如同三角形；且在兩種介質中，當速度極小，它接近等量之比，正如扇形和三角形的表現。 解釋 在物體上升時，此種情形亦被證明：當重力小於能由DAq 或者ABq +BDq 所表示的，以及大於能由ABq -BDq 所表示的，因而必須用ABq 表示。但是我急於轉向其他問題。 命題XIV 定理XI 對同樣的假設，我說，上升或者下降所畫出的空間，如同表示時間的面積與另一以算術級數增加或者減小的面積的差；如果由阻力和重力合成的力被取作幾何級數。 解釋 球形物體在流體中的阻力部分來源於黏性，部分來源於摩擦，且部分來源於介質的密度。且阻力的那個部分，它來源於流體的密度，我們說它按照速度的二次比；另一部分，它來源於流體的黏性，是均勻的，或者如同時間的瞬；且因此現在可以進而論及物體的運動，它所受阻礙部分地為均勻的力或者按照時間的瞬的比，且部分地按照速度的二次比。在前面的命題VIII和IX，以及它們的系理中，對打開這一主題的探究之路已很充分。因在那些命題中，對上升物體的均勻阻力，它來源於它的重力，能用來源於介質的黏性的均勻阻力代替，當物體僅由其自身固有的力（vis insita）運動時；在物體直線上升時，可能重力要加上這個均勻阻力；在物體直線下落時，減去它。而且可以進而論及物體的運動，其所受的阻礙部分是均勻的力，部分按照速度之比，且部分按照速度的二次比。且我已在前面的命題XIII和XIV中開闢了道路，其中來源於介質的黏性的均勻阻力能代替重力，或者如上面那樣與它複合。但我急於其它問題。