自然哲學的數學原理 · 第II部分 論所受的阻礙按照速度的二次比的物體的運動

命題V 定理III 如果一個物體所受的阻礙按照速度的二次比，且僅以其固有的力在一種類似的介質中運動；若時間被取為從較小項到較大項前進的幾何級數：我說，在每一段時間開始時物體的速度按照同一幾何級數的反比；又，空間是相等的，它們在每一段時間被畫出。 因為由於介質的阻力與速度的平方成比例，且速度的減量與阻力成比例；如果時間被分為無數相等的小部分，每一段時間開始時速度的平方與同樣速度的差成比例。令那些時間的小部分為AK，KL，LM，等等，在直線CD上取得，且豎立垂線AB，Kk，Ll，Mm，等等，交以中心C，直角漸近線CD，CH畫出的雙曲線BklmG於B，k，l，m，等等，又AB比Kk如同CK比CA，由分比，AB-Kk比Kk如同AK比CA，由更比，AB-Kk比AK如同Kk比CA，且因此如同AB×Kk比AB×CA。因此，由於AK和AB×CA被給定，則AB-Kk如同AB×Kk；且最終，當AB和Kk重合，如同ABq。再由類似的論證，Kk-Ll，Ll-Mm，等等，如同Kkquad. ，Llquad. ，等等。所以直線AB，Kk，Ll，Mm的平方如同它們的差；於是，由於速度的平方也如同它們的差，兩者的級數是類似的。由已證明的得出，這些線所畫出的面積所成的級數也與速度所畫出的空間所成的級數相似。所以，如果第一段時間AK開始時的速度由直線AB表示，第二段時間KL開始時的速度由直線Kk表示，且第一段時間畫出的長度由面積AKkB表示；此後所有速度由此後的直線Ll，Mm，等等表示，且所畫出的長度由面積Kl，Lm，等等表示。又由合比，如果整個時間由它的部分的和AM表示，畫出的整個長度就由它的部分的和AMmB表示。現在想像時間AM被如此分成部分AK，KL，LM等等，使得CA，CK，CL，CM，等等在一幾何級數中；那些部分在相同的級數中，且速度AB，Kk，Ll，Mm，等等，按照同一級數的反比，又畫出的空間Ak，Kl，Lm，等等，相等。此即所證 。 系理1 所以，顯然，如果時間用漸近線的任意部分AD表示，且在時間一開始時的速度用縱標線AB表示；在時間結束時的速度用縱標線DG表示，則被畫出的整個空間用雙曲線之下的面積ABGD表示；一個空間，它能由另一物體在相同的時間AD，以初始速度AB，在沒有阻力介質中畫出，用矩形AB×AD表示。 系理2 因此，在阻力介質中所畫出的空間被給定，取那個空間比以均勻的速度AB能在無阻力介質中同時畫出的空間，如同雙曲線的面積ABGD比矩形AB×AD。 系理3 介質的阻力亦被給定，在運動剛開始時使它等於一均勻的向心力，它能在一落體通過無阻力介質時，經時間AC，生成速度AB。因為如果引BT，它切雙曲線於B，且交漸近線於T；直線AT等於AC，並表示時間，在此期間初始阻力均勻地持續能抵消掉整個速度AB。 系理4 且因此這個阻力比重力，或者任意其他給定的向心力之比亦被給定。 系理5 且反之亦然，如果阻力比任意給定的向心力之比被給定；時間AC被給定，在此期間等於阻力的一個向心力能產生任意速度AB：且因此點B被給定，經過它，以CH，CD為漸近線的雙曲線被畫出；以及空間ABGD，物體以那個速度AB開始它的運動，在阻力類似的介質中，經任意時間AD能畫出它。 命題VI 定理IV 同質且相等的諸球形物體，所受到的阻礙按照速度的二次比，且僅由其固有的力推進，在與初始速度成反比的時間，總畫出相等的空間，且速度失去的部分與整個速度成比例。 依直角漸近線CD，CH畫任意雙曲線BbEe截垂線AB，ab，DE，de於B，b，E，e，初始速度由垂線AB，DE，且時間由直線Aa，Dd表示。所以，使Aa比Dd如同（由假設）DE比AB，且因此如同（由雙曲線的性質）CA比CD；又由合比，如同Ca 比Cd。所以面積ABba，DEed，這就是，所畫出的空間，彼此相等，且初始速度AB，DE與末速度ab，de成比例，所以由分比亦與它們失去的部分AB-ab，DE-de成比例。此即所證 。 命題VII 定理V 如果諸球形物體所受的阻礙按照速度的二次比，在與初始運動成正比且與初始阻力成反比的時間，運動失去的部分與整個運動成比例，且所畫出的空間與那些時間及初始速度的聯合成比例。 因為運動失去的部分如同阻力和時間的聯合。所以那些部分與整體成比例，阻力與時間的聯合應如同運動。因此時間與運動成正比且與阻力成反比。由此，如果時間的小部分按照此比取得，物體總失去與整體成比例的運動的小部分。又由於速度之比被給定，它們所畫出的空間總如同初始速度和時間的聯合。此即所證 。 系理1 所以，如果等速物體所受的阻礙按照直徑的二次比：同質球以任意速度無論以何種方式運動，所畫出的空間與它們的直徑成比例，運動失去的部分與整體成比例。因為每個球的運動如同它的速度和質量的聯合，亦即，如同速度和直徑的立方的聯合；阻力（由假設）如同直徑的平方和速度的平方的聯合；且時間（由本命題）按照前一個比的正比和後一個比的反比，亦即，與直徑成正比且與速度成反比；且因此，空間，它與時間和速度成比例，如同直徑。 系理2 如果等速物體所受的阻礙按照直徑的二分之三次比：同質球以任意速度無論以何種方式運動，所畫出的空間按照直徑的二分之三次比，運動失去的部分與整體成比例。 系理3 且一般地，如果等速物體所受的阻礙按照直徑的任意次比：空間，同質球以任意速度無論以何種方式在其中運動，運動失去的部分與整體成比例，如同直徑的立方除以那個冪。令［球的］直徑為D和E，且如果阻力，當假定速度相等時，如同Dn 和En 。空間，球以任意速度無論以何種方式在其中運動，運動失去的部分與整體成比例，如同D3-n 和E3-n 。且所以同質球畫出的空間與D3-n 和E3-n 成比例，並按照與在開始時彼此之比相同的比保持速度。 系理4 但是，如果球不是同質的，由較密的球畫出的空間應按照密度之比被增加。因為運動，對於相同的速度，其大小按照密度之比，且時間（由本命題）按照運動的正比被增大，而所畫出的空間按照時間之比。 系理5 又，如果球在不同的介質中運動；在介質中的空間，其他情況相同，對阻力大的［介質］，按照較大的阻力之比被減小。因時間（由本命題）按照阻力增加的比被減小，且空間按照時間之比。 引理 II 一個生成量（gentium）的瞬（momentum）等於每個生成邊的瞬乘以那些邊的冪指數且連乘以它們的係數。 我稱每一個量為生成量，不用加法或減法，它由任意的邊或者項在算術中由乘法、除法或求根生成；在幾何中由求容積和邊，或者比例的外項和內項生成。此類量是乘積、商、根、矩形、平方、立方、平方根、立方根，以及諸如此類。這裡我考慮的這些量，是不確定的和變化的，且好像被一連續的運動或者流（fluxus）增加或減小；且我用瞬這一名稱意指它們的瞬時增量或減量：使得增量為被加上的或正的瞬，且減量為被減去的或負的瞬。但是要防備把瞬理解為有限的小部分。有限的小部分不是瞬，而正是由瞬生成的量。它們應被理解為有有限大小的剛生成的成分。因為這個引理的目的不在於瞬的大小，而在於它們生成時的初始比。如果瞬被增量或者減量的速度（也可能被稱為量的運動，變化和流數（fluxiones））或者與這些速度成比例的任何有限量代替，情形是一樣的。但每個生成邊的係數是一個量，它來自生成量除以這個邊。 情形2 假設AB總等於G，則容量ABC或者GC的瞬（由情形1）為gC+cG，亦即（如果G和g被AB和aB+bA代替）aBC+bAC+cAB。此理適於任意數目的邊之下的容量。此即所證 。 情形6 所以任意的生成量Am Bn 的瞬是Am 的瞬乘以Bn ，同時Bn 的瞬乘以Am ，亦即maAm-1 Bn +nbBn-1 Am ；指數m和n或者為整數，或者為分數，或者為正，或者為負。且此理適於多個冪之下的容量。此即所證 。 系理1 因此成連比的量，如果一項被給定，其餘項的瞬如同那些項乘以它們和給定項間隔的數目。令A，B，C，D，E，F成連比；且如果項C被給定，其餘項的瞬彼此如同-2A，-B，D，2E，3F。 系理2 且如果在四個成比例的項中兩個內項被給定，外項的瞬如同相同的外項。同樣可以理解任意給定的矩形的邊。 系理3 且如果兩個平方的和或差被給定，邊的瞬與邊成反比。 解釋 在1672年12月10日致我們的同國人J.科林斯先生的一封信中，當描述一種切線方法時，我猜測它與在那時向未公開的斯呂塞的方法相同；我附加上：這是一個一般方法的特例，或更好些，是一個系理，不用任何麻煩的計算，它本身不僅擴展到畫任意曲線的切線，無論它是幾何的或是機械的或以任何方式涉及直線或曲線，而且擴展到解決其他關於曲線的曲率，面積，長度，重力的中心等難解的問題，且不限於（像許德的關於最大和最小的方法那樣）那些沒有無理量的方程。我把這個方法和其他的相結合，通過把方程化為無窮級數求解。信就至此。且這些最後的話關係到在1671年我關於此問題寫的論文。這個普遍方法的原理已包含在上一引理中。 命題VIII 定理VI 如果一個物體在均勻的介質中，由於重力均勻的作用，直線上升或者下降，且畫出的整個空間被分成相等的部分，在每一部分開始時（當物體上升時，加上介質的阻力；或者在物體下降時，減去它）的絕對力被導出；我說，那些絕對力成一幾何級數。 設重力由給定的直線AC表示；阻力由不定的直線AK，在物體的下降中絕對力由差KC，物體的速度由直線AP表示，它是AK和AC之間的比例中項，且因此按照阻力的二分之一次比；在給定的時間的小部分所成的阻力的增量由短線KL，同時的速度的增量由短線PQ表示；又以C為中心，成直角的CA，CH為漸近線畫任意雙曲線BNS，交豎立的垂線AB，KN，LO於B，N，O。因為AK如同APq ，它的瞬KL如同那個APq 的瞬2APQ，亦即，如同AP乘以KC；然而速度的增量PQ（由運動的第II定律）與生成力KC成比例。複合KL的比和KN的比，則矩形KL×KN如同AP×KC×KN；這就是，由於矩形KC×KN被給定，如同AP。但雙曲線的面積KNOL比矩形KL×KN的最終比，當點K和L會合時，為等量之比。所以那個消失的雙曲線的面積如同AP。因此，雙曲線ABOL的總面積由總與速度AP成比例的小部分KNOL構成，且所以與這個速度畫出的空間成比例。現在那個面積被分為相等的部分ABMI，IMNK，KNOL，等等，則絕對力AC，IC，KC，LC，等等成一幾何級數。此即所證 。由類似的論證，在物體上升時，向點A的另一側取相等的面積ABmi，imnk，knol，等等，顯然，絕對力AC，iC，kC，lC，等等，為一連比。且因此，如果上升和下降的所有空間被取成相等，所有的絕對力lC，kC，iC，AC，IC，KC，LC，等等，為一連比。此即所證 。 系理1 因此，如果所畫出的空間由雙曲線的面積ABNK表示；重力，物體的速度和介質的阻力能分別由直線AC，AP和AK表示；且反之亦然。 系理2 且最大的速度，物體在無限的下降中曾經獲得過它，由直線AC表示。 系理3 所以如果對某一給定的速度，介質的阻力已知，最大的速度由取它比那個給定的速度，按照重力比那個已知的介質的阻力所具有的比的二分之一次比而被發現。 命題IX 定理VII 在剛才的證明的假定下，我說，如果一個圓扇形的和一個雙曲線扇形的角的正切被取得與速度成比例，存在適當大小的半徑：上升到最高位置的總時間如同圓扇形，且從最高位置下降的總時間如同雙曲線扇形。 直線AC，它表示重力，引AD垂直且等於它。以D為中心，AD為半直徑畫四分之一圓AtE；又畫直角雙曲線AVZ，它有軸AX，主頂點A和漸近線DC。引Dp，DP，則圓扇形AtD如同上升到最高位置的總時間；且雙曲線扇形ATD如同自最高位置下降的總時間：只要扇形的切線Ap，AP如同速度。 情形1 引直線Dvq割下扇形的ADt和三角形ADp的瞬，或者極小的小部分tDv和qDp，它們被同時畫出。因為那些小部分，由於公共的角D，按照邊的二次比，小部分tDv如同（qDp×tDquad. ）/（pDquad. ），亦即，由於tD被給定，如同（qDp）/（pDquad. ）。但pDquad. 等於ADquad. +Apquad. ，亦即，ADquad. +AD×Ak，或者AD×Ck；又qDp等於 AD×pq。所以扇形的小部分tDv如同（Pq）/（Ck），亦即，與速度的極小的減量pq成正比，且與那個使速度減小的力Ck成反比；且因此如同對應於速度的減量的時間的小部分。又由合比，在扇形ADt中所有的小部分tDv的和，如同對應所減小的速度Ap每次失去的小部分pq的時間的小部分的和，直到那個速度減小為零並消失；這就是，整個扇形ADt如同從最高位置下降的總時間。此即所證 。 情形2 引DQV既割下扇形DAV的，又割下三角形DAQ的極小的小部分TDV和PDQ；則這些小部分彼此之比如同DTq 比DPq ，亦即（如果TX和AP平行）如同DXq 比DAq 或者TXq 比APq ，且由分比，如同DXq -TXq 比DAq -APq 。但由雙曲線的性質DXq -TXq 等於ADq ，且由雙曲線，APq 等於AD×AK。所以小部分彼此之比如同ADq 比ADq －AD×AK；亦即，如同AD比AD-AK或者AC比CK：且因此扇形的小部分TDV等於（PDQ×AC）/（CK）；由是，由於AC和AD被給定，如同（PQ）/（CK），亦即，與速度的減量成正比，且與生成減量的力成反比；且因此，如同對應於減量的時間的小部分。再由合比，時間的小部分的和，在此期間，速度AP的所有的小部分PQ被生成，如同扇形ATD的小部分的和，亦即，總的時間如同整個扇形。此即所證 。 系理1 因此，如果AB等於AC的四分之一，空間，它由下落物體在任意時間畫出，比一個空間，它能由物體以最大的速度AC，在相同的時間均勻地前進所畫出，如同面積ABNK，它表示下落所畫出的空間，比面積ATD，它表示時間。因為，由於AC比AP如同AP比AK，則（由本卷引理II系理1）LK比PQ如同2AK比AP，這就是，如同2AP比AC，且因此LK比 PQ如同AP比 AC或者AB，又KN比AC或者AD如同AB比CK；由此由錯比，LKNO比DPQ如同AP比CK。但是，DPQ比DTV如同CK比AC。所以，再由錯比，LKNO比DTV如同AP比AC；這就是，如同下降物體的速度比物體在下降中能獲得的最大的速度。所以，由於面積ABNK和ATD的瞬LKNO和DTV如同速度，同時生成的那些面積的所有部分如同所畫出的空間，且因此從開始生成的總面積ABNK和ATD如同從開始下降畫出的整個空間。此即所證 。 系理2 對上升時所畫出的空間有同樣的結論。即是，那整個空間比一個空間，它在相同的時間以速度AC畫出，如同面積ABnk比扇形ADt。 系理3 物體在下落時經時間ATD的速度比一個速度，它在相同的時間在無阻力的空間所獲得，如同三角形APT比雙曲線扇形ATD。因為在無阻力介質中速度如同時間ATD，且在阻力介質中如同AP，亦即，如同三角形APD。又在開始下降時那些速度彼此相等，一如那些面積ATD，APD。 系理4 由同樣的論證，上升時的速度比物體在相同的時間在無阻力的空間中能完全失去其整個上升的運動的速度，如同三角形ApD比圓扇形AtD；或如同直線Ap比弧At。 系理5 所以時間，在此期間物體在阻力介質中下落獲得速度AP，比一段時間，在此期間［物體］在無阻力空間中下落能獲得最大的速度AC，如同扇形ADT比三角形ADC。且時間，在此期間速度AP能在阻力介質上升中失去，比一段時間，在此期間相同的速度能在無阻力的空間上升中失去，如同弧At比它的切線Ap。 系理6 因此，由給定的時間，上升或下降所畫出的空間被給定。因為，物體在無限的下降中最大的速度被給定（由第II卷定理VI系理2和系理3），且因此時間，在此期間物體在無阻力空間下落能獲得那個速度，被給定。又按照給定的時間比剛發現的時間之比取扇形ADT或者ADt比三角形ADC；則速度AP或者Ap，以及面積ABNK或者ABnk被給定，它比扇形ADT或者ADt如同要求的空間比一個空間，它能在給定的時間由剛才發現的那個最大的速度均勻地畫出。 系理7 且向後返回，由已給的上升或下降空間ABnk或者ABNk，時間ADt或者ADT被給定。 命題X 問題III 均勻的重力直接地趨向水平面，並設阻力如同介質的密度和速度的平方的聯合：既要求在各個位置的介質的密度，它使得物體能在任意給定的曲線上運動；又要求在各個位置上物體的速度及介質的阻力。 解釋