自然哲學的數學原理 · 第I部分 論所受的阻礙按照速度之比的物體的運動

命題I 定理I 一個物體，它所受的阻礙按照速度之比，由於阻礙失去的運動如同在運動中所走完的空間。 因為由於在每一相等的時間的小部分失去的運動如同速度，這就是，如同完成的路程的一個小部分：由合比，整個時間失去的運動如同整個路程。此即所證 。 系理 所以，如果一個物體，在完全隔絕重力的自由的空間中僅由其固有的力運動；既給定開始時的整個運動，又給定此後走完一個空間所剩下的運動：整個空間被給定，它能由物體在無限的時間畫出。因為那個空間比已畫出的空間，如同在開始時的整個運動比那個運動已失去的部分。 引理 I 與它們自己的差成比例的量構成連比。 設A比A-B如同B比B-C和C比C-D，等等，由換比（convertendo）A比B如同B比C以及如同C比D，等等。此即所證 。 命題II 定理II 如果一個物體所受的阻礙按照速度之比，且僅由其固有的力在類似的介質（medium simile）中運動，時間被取作相等：在每一段時間開始時的速度成一幾何所級數，且在每一段時間畫出的空間如同速度。 情形1 設時間被分成相等的小部分；且如果在每一小部分的開始，物體受到阻力的一次衝擊（impulsus），它如同速度；在每一時間的小部分中速度的減量如同同一速度。所以速度與它們的差成比例，且所以（由第II卷引理I）成連比。因此，如果由相等數目的小部分構成任意相等的時間，在那些時間開始時的速度，如同在一連續級數中的項，在其中通過跳躍，略去各處相等數目的中間項而被取得。但這些項的比由同等重複的中間項的等比構成，且因此這些複合的比彼此相同。所以速度，它們與這些項成比例，成一幾何級數。現在減小那些相等的時間的小部分，且它們的數目增加以至無窮，使得阻力的衝擊成為連續的；在相等的時間開始時的速度，總成連比，在這種情形亦成連比。此即所證 。 情形2 且由分比，速度的差，這就是，在每一段時間［速度］失去的部分，如同整個的速度；但是在每一段時間畫出的空間如同速度失去的部分（由第II卷命題I），且所以也如同整個的速度。此即所證 。 系理 因此，如果以直角漸近線AC，CH畫出雙曲線BG，且AB， DG垂直於漸近線AC，又在運動開始時，任意給定的直線AC既表示物體的速度又表示介質的阻力，但時間流逝後由不定的直線DC表示：時間能由面積ABGD表示，且在那段時間畫出的空間能由直線AD表示。因為，如果那個面積按照與時間相同的方式由點D的運動均勻地增加，直線DC以與速度相同的方式按照一幾何比減小，且在相同的時間直線AC被畫出的部分按照相同的比減小。 命題III 問題I 一個物體，當它在類似的介質中直線上升或下降時，所受阻礙按照速度的比，且被均勻的重力推動，確定它的運動。 物體上升時，由任意給定的矩形BACH表示重力，且在開始上升時，介質的阻力由直線AB另一側的矩形BADE表示。對成直角的漸近線AC，CH，過點B畫雙曲線截垂線DE，de於G，g；則上升的物體在時間DGgd畫出空間EGge，在時間DGBA畫出整個上升的空間EGB；在時間ABKI畫出下降的空間BFK，且在時間IKki畫出下降的空間KFfk；且物體的速度（與介質的阻力成比例）在這些時期分別是ABED，ABed，零，ABFI，ABfi；再者，最大的速度，它能由物體在下降中獲得，為BACH。 因為把矩形BACH分解為無數矩形Ak，Kl，Lm，Mn，等等，它們如同同樣數目的相等時間所成的速度增量；零，Ak，Al，Am，An，等等，如同整個速度，且因此（由假設）如同每一段相等的時間開始時介質的阻力。使AC比AK或者ABHC比ABkK如同重力比第二段時間開始時的阻力，再從重力減去阻力，則留下的ABHC，KkHC，LlHC，MmHC，等等，如同絕對力，由它們在每一段時間開始時物體被推動，且因此（由運動定律II）如同速度的增量，亦即，如同矩形Ak，Kl，Lm，Mn，等等，且所以（由第II卷引理I）成一幾何級數。所以，如果延長直線Kk，Ll，Mm，Nn，等等交雙曲線於q，r，s，t，等等，則面積ABqK，KqrL，LrsM，MstN，等等，相等，且因此既與總是相等的時間又與總是相等的重力類似。但是面積ABqK（由第I卷引理VII系理3和引理VIII）比面積Bkq如同Kq比 kq或者AC比12AK，這就是，如同重力比在第一段時間中間的介質中的阻力。由類似的論證，面積qKLr，rLMs，sMNt等等，比面積qklr，rlms，smnt，等等，如同重力比在第二段時間中間的，第三段時間中間的，第四段時間中間的，等等的阻力。因為相等的面積BAKq，qKLr，rLMs，sMNt，等等與重力類似，面積Bkq，qklr，rlms，smnt，等等與在每一段時間中間的阻力類似，這就是（由假設）與速度類似，因此與畫出的空間類似。對類似的量求和，面積Bkq，Blr，Bms，Bnt，等等，與所畫出的整個空間類似；且面積ABqK， ABrL，ABsM，ABtN，等等，與時間類似。所以物體在下降期間，在任意的時間ABrL，畫出空間Blr，且在時間LrtN，畫出空間rlnt。此即所證 。對上升運動有類似的證明。此即所證 。 系理1 所以，最大的速度，物體在下落中能獲得這一速度，比任意給定的時間它所獲得的速度，如同給定的重力，由它那個物體持續被推動，比阻礙力，由它在那段時間的最後物體被施加。 系理2 然而，時間按照算術級數增長，那個最大的速度與上升時速度的和，及同一速度與下降時速度的差，按照幾何級數減小。 系理3 但是空間的差，它們在相等的時間差被物體畫出，按照相同的幾何級數減小。 系理4 被物體所畫出的空間是兩個空間的差，其中一個空間如同從下落開始所用的時間，另一個空間如同速度，這些空間在下落開始時彼此相等。 命題IV 問題II 假設重力在某種類似的介質中是均勻的，且垂直趨向水平面；確定在同一介質中拋射體的運動，它所受阻礙與其速度成比例。 設拋射體從任意位置D沿任意直線DP離去，且由長度DP表示運動開始時它的速度。由點P向水平線DC落下垂線PC，並截DC於A，使得DA比AC如同來自向上運動開始時介質的阻力比重力；或者（同樣）使得DA和DP之下的矩形比AC和CP之下的矩形，如同運動開始時總的阻力比重力。以漸近線DC，CP畫任意雙曲線GTBS截垂線DG，AB於G和B；再補足平行四邊形DGKC，它的邊GK截AB於Q。取直線N，按照它比QB如同DC比CP；且從直線DC上的任意點R豎立垂線RT，它交雙曲線於T，且交直線EH，GK，DP於I，t和V；在RT上取Vr等於（tGT）/N，或者同樣，取Rr等於（GTIE）/N；則在時刻DRTG拋射體前進到點r，畫出曲線DraF，點r總與它接觸，又［拋射體］在垂線AB上到達最大的高度a，且此後總向漸近線PC靠近。又在任意點r，它的速度如同曲線的切線rL。此即所求 。 因為N比QB如同DC比CP或者DR比RV，且由此RV等於（DR×QB）/N，又Rr（亦即RV-Vr或者 ）等於DR×AB-RDGTN。現在時間由面積RDGT表示，且（由諸定律的系理II）物體的運動被分解為二，一個上升，另一個橫向（ad latus）。又由於阻力如同運動，它亦被分解成與運動的部分成比例且相反的兩部分；且因此長度，它由橫向運動畫出，（由本卷命題II）如同直線DR，高度（由本卷命題III）如同面積DR×AB-RDGT，這就是，如同直線Rr。但在運動開始時面積RDGT等於矩形DR×AQ，且因此那條直線Rr（或 ）在那時比DR如同AB-AQ或者QB比N，亦即，如同CP比DC；因此如同在開始時在高度上的運動比在長度上的運動。所以，由於Rr總如同高度，且DR總如同長度，又在開始時Rr比DR如同高度比長度：由此Rr比DR總如同高度比長度，且所以物體在［曲］線DraF上運動，點r與它持續接觸。此即所證 。 系理1 所以Rr等於（DR×AB）/N-（RDGT）/N；且因此，若延長RT至X使得RX等於（DR×AB）/N；亦即，若補足平行四邊形ACPY，連結DY截CP於Z，且延長RT直至它交DY於X；則Xr等於（RDGT）/N，且因此與時間成比例。 系理2 因此，如果在一幾何級數中取無數的CR，或者無數的ZX，亦達到同樣的目的；則同樣數目的Xr在一算術級數中。因此藉助對數表，曲線DraF容易被畫出。 系理3 如果以頂點D，直徑DE向下延長，且通徑比2DP如同運動開始時的總阻力比重力，構作拋物線：速度，物體應以它沿直線DP離開位置D，在阻力均勻的介質中畫出曲線DraF，與它應離開同一位置D，沿同一直線DP，在沒有阻力的空間畫出一條拋物線的速度是相同的。因為這條拋物線的通徑，在運動剛開始時，是（DVquad. ）/（Vr）；且Vr等於（tGT）/N或（DR×Tt）/（2N）。但如果引一條平行於Dk的直線，它將與雙曲線GTS切於G，因此Tt等於（CK×DR）/（DC），且N等於（QB×DC）/（CP）。且所以Vr等於（DRq ×Ck×CP）/（2DCq ×QB），亦即（由於DR和DC，DV和DP成比例）（DVq ×CK×CP）/（2DPq ×QB），又得出通徑（DVquad. ）/（Vr）為（2DPq ×QB）/（CK×CP），亦即（由於QB和CK，DA和AC成比例）（2DPq ×DA）/（AC×CP），且因此比2DP，如同DP×DA比CP×AC；這就是，如同阻力比重力。此即所證 。 系理4 因此，如果物體從任意位置D，沿任意位置給定的直線DP，以給定的速度被拋射；且介質的阻力在運動一開始即被給定，能發現曲線DraF，它由同一物體畫出。因由所給定的速度，拋物線的通徑亦被給定，這是習知的。又取2DP比那條通徑如同重力比阻力，DP被給定。其次，在A分割DC，使得CP×AC比DP×DA按照重力比阻力的那個相同的比，點A被給定。且由此曲線DraF被給定。 系理5 且反之，如果曲線DraF被給定，則物體的速度和介質的阻力在每個位置r被給定。因為由給定的CP×AC比DP×DA之比，運動開始時介質的阻力及拋物線的通徑都被給定；且因此運動開始時的速度亦被給定。然後在任意位置r，由切線rL的長度，與它成比例的速度，以及與速度成比例的阻力被給定。 系理6 但是由於長度2DP比拋物線的通徑如同重力比在D的阻力；且增加速度，阻力按照相同的比被增加，拋物線的通徑按照那個比的二次方增加：顯然長度2DP按照那個簡單的比增加，且因此它總與速度成比例，由角CDP的改變，它既不增加，亦不減小，除非速度被改變。 系理7 因此，從現象近似地確定曲線DraF的方法是明顯的，並因此推知阻力和物體被拋射的速度。設兩個相似且相等的物體以相同的速度從位置D以不同的角CDP，CDp被拋射，且已知它們落在水平面DC上的位置F，f。然後，假設取任意長度代表DP或Dp，設想在D的阻力比重力按照任意的比，且那個比由任意的長度SM表示。此後，經過計算，從那個假設的長度DP，求得長度DF，Df，並從經計算發現的比（Ff）/（DF）減去經實驗發現的同樣的比，且差由垂線MN表示。在直線SM的一側畫正的差，並在另一側畫負的差，經過點N，N，N畫一條規則的曲線 （33） NNN截直線SMMM於X，則SX為阻力比重力的真實比，它就是所要求的。由這個比經計算求得長度DF；則長度，它比假設的長度DP，如同由實驗得知的長度比剛才發現的長度DF，是真實長度DP。這一旦求得，就既有了物體所畫出的曲線DraF，又有了在每個位置物體的速度和阻力。 解釋 然而，物體的阻力按照速度之比，這一假設作為數學上的更甚於它作為自然界的。在介質中，它們完全缺乏剛性（rigor），物體的阻力按照速度的二次比。因為由更迅速的物體的作用，按照更大的速度之比的更大的運動在更短的時間被傳播給相同量的介質；且因此在相等的時間，由於更大量的介質被擾動，更大的運動按照［速度的］二次比被傳播；且阻力（由運動的定律II和定律III）如同被傳播的運動。所以，我們來看看，由這個阻力定律能發生何種運動。