自然哲學的數學原理 · 第XIV部分 論極小物體的運動，它受到趨向任何大物體的各個部分的向心力的推動

第XIV部分 論極小物體的運動，它受到趨向任何大物體的各個部分的向心力的推動 命題XCIV 定理XLVIII 如果兩種相似的介質被終止於兩個平行平面的空間彼此分開，且一個物體在穿過這個空間時垂直地向著任一介質被吸引或者推動，而不受其他任何力的推動或者阻礙；在平面同側與平面等距離的各處的吸引相同：我說，在兩者之中的一個平面上入射的正弦比從另一個平面上出射的正弦按照給定的比。 情形1 令Aa，Bb為兩個平行平面。物體沿直線GH進入第一個平面Aa，且在經過中間的空間的整個路徑中向著入射的介質被吸引或者推動，且由這個作用它畫出曲線HI，再沿直線IK出射。向出射平面Bb豎立垂線IM，它與入射直線GH的延長交於M，又與入射平面Aa交於R；再者出射直線KI的延長交HM於L。以L為中心，LI為間隔畫圓，既截HM於P，和Q，又截MI的延長於N；且首先，如果吸引或者推動被假定為均勻的，曲線HI（由伽利略的證明）為拋物線，它的給定的通徑和直線IM之下的矩形等於正方形HM是拋物線的一個性質；且直線HM又平分於L。因此，如果向MI落下垂線LO；MO，OR是相等的；再加上相等的ON，OI，總和MN，IR相等。因為由於IR被給定，MN亦被給定；矩形NMI比通徑和直線IM之下的矩形，這就是，比HMq ，按照給定的比。但矩形NMI等於矩形PMQ，亦即正方形MLq 與PLq 或者LIq 的差；又HMq 比其四分之一的部分MLq 有給定的比；所以MLq －LIq 比MLq 之比被給定，且由換比（convertendo），LIq 比MLq 之比，以及其二分之一次比LI比ML［亦被給定］。但在每個三角形LMI中，角的正弦與對邊成比例。所以入射角LMR的正弦比出射角LIR的正弦之比被給定。此即所證 。 情形2 現在物體相繼穿過終止於平行平面的一些空間，AabB，BbcC等等，且在單獨一個空間作用的力是均勻的，並隨空間的不同而不同；由剛才的證明，在第一個平面Aa入射的正弦比從第二個平面Bb出射的正弦，按照給定的比；且這個正弦，它是在第二個平面Bb入射的正弦，比從第三個平面Cc出射的正弦，按照給定的比；且這個正弦比從第四個平面Dd出射的正弦，按照給定的比；且如此以至無窮：又由錯比，在最初一個平面入射的正弦比從最後一個平面出射的正弦按照給定的比。現在，減小平面的間隔並且它們的數目增加以至無窮，使吸引或者推動作用，遵照任意設定的定律，成為連續的；則在最初一個平面入射的正弦比從最後一個平面出射的正弦之比，總被給定，因而現在仍被給定。此即所證 。 命題XCV 定理XLIX 假定同樣的情形；我說，物體在入射前的速度比它出射後的速度，如同出射的正弦比入射的正弦。 取AH，Id相等，且豎立垂線AG，dK交入射線和出射線GH，IK於G和K。在GH上取TH等於IK，並向平面Aa落下成直角的線Tv。且（由諸定律的系理II）設物體的運動被分解為二，其一與平面Aa，Bb，Cc等等垂直，另一個與同樣的平面平行。吸引力或者推動力沿垂線作用，一點也不改變沿平行線的運動，且所以物體的這個運動在相等的時間沿平行線方向，在直線AG和點H之間，以及點I和直線dK之間完成相等的間隔；這就是，在相等的時間畫出直線GH，IK。因為入射前的速度比出射後的速度如同GH比IK或者TH，亦即，如同AH或者Id比vH，這就是（相對於半徑TH或者IK）如同出射的正弦比入射的正弦。此即所證 。 命題XCVI 定理L 假定同樣的情形，且入射前的運動較入射後的運動更迅速：我說，物體，由於入射線的彎折，最終被反射，且反射角等於入射角。 因為想像物體在平行的平面Aa，Bb，Cc等等之間畫出拋物線形的弧，如同前面；且設那些弧為HP，PQ，QR等等。再設入射直線GH向第一個平面Aa如此傾斜，使得入射的正弦比它的圓的半徑，按照與入射的正弦比在空間DdeE中離開平面Dd出射的正弦同樣的比：且因為出射的正弦現在等於半徑，出射角為直角，由此出射線與平面Dd重合。物體到達這個平面的點R；又因為出射線與同一個平面重合，很明顯物體不能再向著平面Ee前進得更遠。然而，它也不能在出射直線Rd上前進，因為它持續受到向著入射介質的吸引或者推動。所以它返回到平面Cc，Dd之間，畫出拋物線弧QRq，其主頂點（正如伽利略曾證明過的）在R；與平面Cc在q與先前在Q以相同的角相截；然後在拋物線弧qp，ph等等上前進，它們與前面的拋物線弧QP，PH相似且相等，與其餘平面在p，h等等與在P，H等等以相同的角相截，且最終在h以與在H進入時同樣的傾斜離開。現在想像平面Aa，Bb，Cc，Dd，Ee等等的間隔減小且數目增加至無窮，使吸引或者推動作用，遵照任意設定的定律，成為連續的；則出射角總等於入射角，因而現在仍然保持相等。此即所證。 解釋 這些吸引與按照給定的正割之比的反射和折射非常相似，正如斯涅耳所發現的，又由邏輯推理，按照給定的正弦之比，正如笛卡兒 所展示的。因為由木星的衛星的天象，目前已確定無疑，不同天文學家的觀測已證實，光線連續傳播，且自太陽到達地球大約要七或者八分鐘時間。此外，光線在空氣中（近來格里馬爾迪發現，他讓光線通過小孔進入黑暗的房間，這我自己也曾實驗過）經過不透明或者透明物體的稜角（諸如由金、銀或者銅鑄造的錢幣的圓形或者方形邊緣，以及刀子、石頭和碎玻璃的銳利邊緣）圍繞物體彎曲，好像被吸向物體；且這些光線中，其路徑愈靠近物體，彎曲愈甚，好像它們受到的吸引愈大，正如我自己所做過的辛勤觀察。且那些在較遠距離經過的彎曲較小，再者，距離更遠的略微彎向正對著的方向，並形成三個色帶。在圖中，指定s為刀或者任意楔AsB的鋒；且gowog，fnunf，emtme，dlsld為光線，弧owo，nun，mtm，lsl向刀彎曲；彎曲的大小按照它們離刀的距離。此外，由於光線如此的彎曲發生在刀之外的空氣中，遇到刀的光線，在它碰到刀之前在空氣中彎曲。且光線進入玻璃的情況一樣。所以折射，不在入射點發生，而是逐步地由光線連續彎曲，一部分在碰到玻璃之前，一部分（如果我沒有弄錯的話）在玻璃中，在它們進入之後：正如所畫的光線ckzc，biyb，ahxa，它們在r，q，p進入玻璃，且在k和z，i和y，h和x之間彎曲。所以，由於光線傳播和物體前進之間的類似，依我之見在下面附加上用於光學的命題；同時對於光的本性（無論它們是否是物體）全然不爭論，而僅確定物體的軌道，它們與光線的軌道非常相似。 命題XCVII 問題XLVII 假定在某一表面上入射的正弦比出射的正弦之比按照給定的比；物體的路徑在鄰近那個表面的彎折發生在一個極短的空間，可以認為是一個點：需確定一個曲面，由它從給定的一個位置連續發射的小物體全都匯聚到另一個給定的位置。 設A為一個位置，小物體由此發散；B為它們應會聚的位置；CDE為曲線，它圍繞軸AB旋轉畫出要求的曲面；D，E為那條曲線上的任意兩點；且EF，EG垂直落在物體的路徑AD，DB上。設點D靠近點E；且直線DF，由它AD被增加，比直線DG，由它DB被減小，它們的最終比與入射的正弦比出射的正弦相同。所以直線AD的增量比直線DB的減量之比被給定；且所以，如果在軸AB上取任意一點C，曲線CDE應經過它，再按那個給定的比取AC的增量CM比BC的減量CN，又以A，B為中心，以間隔AM，BN畫兩個圓相互截於D；那個點D接觸所求的曲線CDE，由任意與它接觸的點，曲線被確定。此即所求 。 系理1 但是，在一種情形使點A 或者B 離開以至無窮，在另一種情形移至點C 的另一側，可得到所有那些笛卡兒 在關於折射的光學和幾何學中所展示的圖形。由於笛卡兒 隱瞞了發現它們的方法，依我之見在本命題中揭示之。 系理2 如果一個物體沿按照任何定律所引的直線AD入射任意的表面CD，沿另一任意的直線DK出射，並假設從點C引曲線CP，CQ，它們總與AD，DK垂直：直線PD和QD增量，且所以由那些增量生成的直線PD和QD本身，彼此如同入射的和出射的正弦；且反之亦然。 命題XCVIII 問題XLVIII 假定同樣的情形，又圍繞軸AB畫出任意一個規則的或者不規則的吸引表面CD，從一個給定的位置A發出的物體應經過它：需求第二個吸引表面EF，由它所有那些物體匯聚到一個給定的位置B。 連結AB截第一個表面於C且截第二個表面於E，任意選取點D。並假設在第一個表面入射的正弦比從同一個表面出射的正弦，和從第二個表面出射的正弦比在同一個表面入射的正弦，如同給定的某個量M比另一個給定的量N：延長AB至G，使得BG比CE如同M－N比N；又延長AD至H，使得AH等於AG；再延長DF至K，使得DK比DH如同N比M。連結KB，且以D為中心，DH為間隔畫圓交KB的延長於L，引BF平行於DL：則點F接觸［曲］線EF，它圍繞軸AB旋轉畫出要求的面。此即所作 。 因為想像線CP，CQ分別與線AD，DF，且線ER，ES分別與線FB，FD處處垂直，且因此QS和CE總相等；又（由命題XCVII系理2）PD比QD如同M比N，且因此如同DL比DK或者FB比FK；再由分比如同DL－FB或者PH－PD－FB比FD或者FQ－QD；又由合比，如同PH－FB比FQ，亦即（由於PH與CG，QS與CE相等）CE+BG－FR比CE－FS。事實上（由於BG比CE和M－N比N成比例）CE+BG比CE也如同M比N；且因此由分比FR比FS如同M比N；且所以（由命題XCVII系理2）面EF逼迫沿直線DF入射的物體，沿直線FR前往位置B。此即所證 。 解釋 按同樣的方法可繼續到三個或者更多的表面。但對於光學的應用，球形最為適宜。如果望遠鏡的物鏡由中間封閉著水的兩塊玻璃構成；則發生在最外面的玻璃表面的折射，可能由水的折射而很精確地加以校正，這些物鏡優於橢圓形或者雙曲線形透鏡。不僅因為它們能更容易且更準確地製造，也因為它們能更準確地曲折位於透鏡軸之外的光錐（penicillus radii）。然而，不同光線的不同折射能力是通過或者球形或者其他任意圖形的完善的光學的阻礙。除非產生於這個根源的那些誤差能被校正，用在校正其他誤差的一切辛勞均為浪費。