自然哲學的數學原理 · 第XIII部分 論非球形物體的吸引力

命題LXXXV 定理XLII 如果被吸引物體當它與吸引物體鄰接時的吸引遠強於當它們彼此分開即使極短的一段間隔時的吸引：吸引物體的小部分的力，在被吸引物體退離時，按照離小部分的距離的高於二次的比減小。 因為如果力按離小部分的距離的二次比減小；向著球形物體的吸引，因為它（由命題LXXIV）與被吸引物體離球的中心的距離的平方成反比，在接觸時，不會顯著增加；且接觸時，它增加得更少，如果吸引在被吸引物體在退離時按更小的比減少。所以本命題對吸引球是明顯的。凹球形殼吸引外面的物體，情形相同，且在殼吸引放置在它們中的物體時更是如此，因為通過殼的空腔的各個方向的吸引被相反的吸引（由命題LXX）抵消，因此即使在接觸時，也沒有吸引力。如果從遠處取去這些球或者球殼的任意部分，且在任意地方增加新的部分，這些吸引物體的形狀可隨意改變，然而增加或者去掉的部分不顯著增加來自接觸的吸引的超出，因為它們遠離接觸位置。所以此命題對所有形狀的物體成立。此即所證 。 命題LXXXVI 定理XLIII 如果小部分，由它們構成吸引物體，它們的力當吸引物體退離時，按照離小部分的距離的三次比或者高於三次的比減小：在接觸時的吸引遠強於當吸引物體和被吸引物體相互分開即使極短的一段間隔時的吸引。 因為吸引當被吸引的小物體靠近這類牽引球時吸引增大以至無窮，這由問題XLI中例二和例三所給出的解確立。通過把那些例子和定理XLI相互比較，對向著凹凸球殼的吸引，容易得出同樣的結論，無論被吸引物體被放置在殼外，或者放置在它們的腔中。然而，在接觸位置之外的任何地方，通過增加或者去掉這些球或者殼的吸引物質，使吸引物體被賦予任意指派的形狀，此命題對所有物體普遍成立。此即所證 。 命題LXXXVII 定理XLIV 如果兩個物體由彼此相似，且由同等的吸引物質構成，分別吸引與它們自身成比例的小物體，並且小物體相對於它們位於相似的位置：小物體向著整個物體的加速吸引如同小物體向著與整個物體成比例且在它們中位於相似位置的小部分的加速吸引。 因為如果物體被分成小部分，它們與整個物體成比例，且相似地位於整個物體中；向著一個物體的任意一個小部分的吸引比向著另一個物體的對應的一個小部分的吸引，如同向著第一個物體的每一個小部分的吸引比向著另一個物體的對應的每一個小部分的吸引；且由合比，如同向著第一個物體整體的吸引比對第二個物體整體的吸引。此即所證 。 系理1 所以，如果小部分的吸引力，隨著被吸引的小物體的距離的增加，按照距離的任意次冪的比減小；向著整個物體的加速吸引與物體成正比且與距離的那個冪成反比。因為，如果小部分的力按照離被吸引的小物體的距離的二次比減小，且物體如同Acub. 和Bcub. ，因此物體的立方根，以及被吸引的小物體離物體的距離，如同A和B：向著物體的加速吸引如同（Acub. ）/（Aquad. ）和（Bcub. ）/（Bquad. ），亦即，如同物體的那些立方根A和B。如果小部分的力按照被吸引的小物體的距離的三次比減小；向著整個物體的加速吸引如同（Acub. ）/（Acub. ）和（Bcub. ）/（Bcub. ），亦即，相等。如果力按照四次比減小，向著物體的吸引如同（Acub. ）/（Aqq. ）和（Bcub. ）/（Bqq. ），亦即，與立方根A和B成反比。且對其餘情況，亦是如此。 系理2 因此，另一方面，從力，由它們相似的物體牽引相對於這些物體處於相似位置的小物體，能推知在被吸引的小物體退離時，小部分的吸引力減小的比；只要那種減小按照距離的某個正比或者反比。 命題LXXXVIII 定理XLV 如果任意物體的相等的小部分的吸引力如同位置離小部分的距離：整個物體的力趨向它的重力的中心；並且與由相似和相等的物質構成且其中心在那個重力的中心的球的力相同。 設牽引某一個小物體的物體RSTV的小部分A，B的力，如果小部分彼此相等，如同距離AZ，BZ；若不然，假定小部分不相等，力如同這些小部分與它們的距離AZ，BZ的聯合；或者（如果可以這樣說的話）如同這些小部分分別乘以它們的距離AZ，BZ。且這些力由那些容量A×AZ和B×BZ表示。連結AB，且它被截於G，使得AG比BG如同小部分B比小部分A；則G是小部分A和B的重力的公共的中心。力A×AZ（由諸定律的系理II）被分解為力A×GZ和A×AG，且力B×BZ被分解為力B×GZ和B×BG。但是力A×AG和B×BG，由於A比B和BG比AG成比例，它們相等；且由此由於指向相反的方向，相互被抵消。剩餘的力是A×GZ和B×GZ。這些力從Z趨向中心G，併合成力 ×GZ；這就是，與假如吸引的小部分A和B被放在它們的重力的公共的中心G，並在那裡構成一個球時的力相同。 由同樣的論證，如果加入第三個小部分C，且它的力與趨向中心G的力 ×GZ合成，產生趨向那個在G的球和小部分C的重力的公共的中心的力；這就是，趨向三個小部分A，B，C的重力的公共的中心；且與假如球和小部分C被放在那個重力的公共的中心，並在那裡構成一個更大的球時的力相同。且如此進行以至無窮。所以，任意物體RSTV的所有小部分的總的力，與假如那個物體保持重力的中心，被賦予球的形狀時的力相同。此即所證 。 系理 因此，被吸引物體Z的運動與假如吸引物體RSTV為球時是相同的；且所以，如果那個吸引物體或者靜止，或者均勻地一直前進；被吸引物體在中心在吸引物體的重力的中心的橢圓上運動。 命題LXXXIX 定理XLVI 如果多個由相等的小部分構成的物體，小部分的力如同位置離每個［小部分］的距離：由任意的小物體被牽引的所有的力合成的力，趨向物體的重力的公共的中心；且這與假如那些牽引物體保持它們重力的公共的中心，並在那裡結合，形成一個球時是一樣的。 這一命題按照與上一命題相同的方式被證明。 系理 所以，被吸引物體的運動與假如牽引物體保持它們重力的公共的重心，並在那裡結合形成一個球時是一樣的。且因此，如果牽引物體的重力的公共的中心或者靜止，或者在一條直線上均勻地前進；被吸引物體在中心在牽引物體的重力的公共的中心的橢圓上運動。 命題XC 問題XLIV 如果趨向任意圓的每一個點有按照距離的任意比增加或者減小的同等的向心力：需求力，由它位於一條直線上任意位置的一個小物體被吸引，直線在圓的中心垂直立於圓的平面。 設以A為中心，任意AD為間隔，在與直線AP垂直的平面上想像著畫一個圓；並需求力，由它任意小物體P被向著同一個圓牽引。從圓上任意的點E向被吸引的小物體引直線PE。在直線PA上取PF等於PE，並豎立成直角的線FK，它如同力，由這個力點E牽引小物體P。再設曲線IKL是點K持續接觸的曲線。曲線交同一個圓的平面於L。在PA上截取PH等於PD，並立垂線HI交前述曲線於I；則小物體P向著圓的吸引如同面積AHIL乘以高度AP。此即所求 。 因為在AE上取極短的線Ee。連結Pe，且在PE，PA上取PC，Pf等於Pe。又因為力，由它在前述平面上以A為中心，任意AE為間隔所畫的環的任意點E被物體P吸向自身，被假定為如同FK，且因此力，由它那個點向著A牽引物體P，如同（AP×FK）/（PE），則力，由它整個環向著A牽引物體P，如同環和（AP×FK）/（PE）的聯合；但是那個環如同半徑AE和寬度Ee之下的矩形，且這個矩形（由於PE和AE，Ee和CE成比例）等於矩形PE×CE或者PE×Ff；力，由它這個環向著A牽引物體P，如同PE×Ff和（AP×FK）/（PE）的聯合，亦即，如同容量Ff×FK×AP，或者如同面積FKkf乘以AP。且所以力的和，由它們在以A為中心，AD為間隔所畫的圓中的所有環，向著A牽引物體P，如同整個面積AHIKL乘以AP。此即所證 。 系理1 因此，如果點的力按照距離的二次比減小，這就是，如果FK如同1/（PFquad. ），因此面積AHIKL如同1/（PA）-1/（PH）；小物體P向著圓的吸引如同1－（PA）/（PH），亦即如同AH/PH。 系理2 並且一般地，如果在距離為D的點的力與該距離的任意次方Dn 成反比，這就是，如果FK如同1/（Dn ），且因此面積AHIKL如同1/（PAn-1 ）－1/（PHn-1 ）；小物體P向著圓的吸引為如同1/（PAn-2 ）－（PA）/（PHn-1 ）。 系理3 並且如果圓的半徑增大以至無窮，且數n大於1；小物體P向著整個無窮平面的吸引與PAn-2 成反比，因為另一項（PA）/（PHn-1 ）消失。 命題XCI 問題XLV 求放在圓形立體的軸上的一個小物體的吸引，趨向立體的每個點的同等的向心力按照距離的任意的比減小。 設小物體P被向著立體DECG牽引，小物體位於立體的軸AB上。垂直於這個軸的任意圓RFS與這個立體相截，且在它的半直徑FS上，它在某個穿過軸的平面PALKB內，取（由命題XC）長度FK，它與小物體P被吸向那個圓的力成比例。點K接觸的曲線LKI交最外面的圓的平面AL和BI於L和I；則小物體P向著立體的吸引如同面積LABI。此即所求 。 系理2 因此，也能知道一個力，由它一個扁球（sphærois）AG BC牽引任意的物體P，物體位於扁球外且在它的軸AB上。設NKRM為一條圓錐截線，它的縱標線ER垂直於PE，總等於長度PD，它引向那個點D，在那個點這條縱標線與扁球相截。自扁球的頂點A，B豎立垂直於其軸AB分別等於AP，BP的垂線AK，BM，且所以交圓錐截線於K和M；又連結KM從同一圓錐截線中割下弓形KMRK。設扁球的中心為S且最大的半直徑為SC：力，由它扁球牽引物體P，比一個力，由它以直徑AB畫出的球牽引同一個物體，如同（AS×CSq -PS×KMRK）/（PSq +CSq -ASq ）比（AScub. ）/（3PSquad. ）。且由相同的計算原則可以發現扁球截形的力。 系理3 如果小物體被放在扁球內並在其軸上；吸引如同它離中心的距離。這容易由以下的論證推出，無論小部分在軸上，還是在任意其他給定的直徑上。設AGOF為吸引扁球，S為它的中心，且P為被吸引物體。經那個物體P既引半直徑SPA，又引兩條任意直線DE，FG交扁球的這一側於D，F，那一側於E和G；且設PCM，HLN為兩個內扁球面，與外扁球面相似且同心，前一個扁球面穿過物體P，且截直線DE和FG於B和C，後一個扁球面截相同的直線於H，I和K，L。所有的扁球有一個公共的軸，則直線在兩側被截取的部分DP和BE，FP和CG，DH和IE，FK和LG彼此相等；因為直線DE，PB，和HI在同一點被平分，如同直線FG，PC和KL。現在想像DPF，EPG表示對頂圓錐，它們由無限小的頂點角DPF，EPG畫出，且直線DH，EI也無限地短；又圓錐被扁球面割下的小部分DHKF，GLIE，由於直線DH，EI相等，彼此之比如同它們離小物體P的距離的平方，且所以那個小物體受到相等的牽引。由同樣的理由，如果空間DPF和EGCB被無數相似的同心的且有一公共軸的扁球面分成小部分，所有這些小部分在相反的方向從兩邊牽引物體P。所以圓錐DPF的力與圓錐截形EGCB的力相等，且由於相反而彼此抵消。且對最裡邊的扁球PCBM外的所有物質的力，情形相同。所以物體P只受最裡邊的扁球PCBM的牽引，且因此（由命題LXXII系理3）它的吸引比一個力，由這個力物體A被整個扁球AGOD吸引，如同距離PS比距離AS。此即所證 。 命題XCII 定理XLVI 給定一個吸引物體，求趨向它的每個點的向心力減小的比。 被給定的物體應構成一個球，或者一個圓柱或者其他規則圖形，它的吸引定律，對應任意減小的比（由命題LXXX，LXXXI以及XCI）能被發現。然後，通過做實驗發現在不同距離的吸引力，以及由此揭示向著整體的吸引定律，將給出每個部分的力減小之比，這正是要尋找的。 命題XCIII 定理XLVII 如果一個立體的一側是一平面，其餘側面是無限的，由同等吸引的相等的小部分構成，它們的力在從立體退離時按照大於距離的平方的任意次冪的比減小，且放在平面的任一側的小物體被整個立體的力所牽引：我說，立體的那個吸引力在退離立體的平面時按照一個冪的比減小，它的底為小物體離平面的距離，且其指數比距離的冪指數小三。 情形1 設LGl為一個平面，立體終止於它。立體位於這個平面向著I的一側，且被無數與GL平行的平面mHM，nIN，oKO等等分解。首先設被吸引物體C安放在立體之外。引CGHI垂直於那些無數的平面，且立體的點的吸引力按照距離的一個冪下降，它的指數為不小於三的數n。所以（由命題XC系理3）力，由它任意平面mHM牽引點C，與CHn-2 成反比。在平面mHM上取長度HM與CHn-2 成反比例，則那個力如同HM。類似地，在每個平面lGL，nIN，oKO等等上，取長度GL，IN，KO等等，與CGn-2 ，CIn-2 ，CKn-2 等等成反比例，則那些平面的力如同所取的長度，且因此力的和如同長度的和，這就是，整個立體的力如同向著OK無限延長的面積GLOK。但是那個面積（由熟知的求積法）與CGn-3 成反比，且所以整個立體的力與CGn-3 成反比。此即所證 。 情形2 現在設小物體C被安放在立體lGL之內，且取距離CK等於距離CG。立體的部分LGloKO，終止於平行平面lGL，oKO，位於中間的小物體C在任何方向上不被牽引，相對點的相反作用由於相等而彼此抵消。因此小物體C只是被平面OK之外的立體牽引。但是這個力（由第一種情形）與CKn-3 成反比，這就是（由於CG，CK相等）與CGn-3 成反比。此即所證 。 系理1 因此，如果立體LGIN在兩側終止於兩平行的無窮平面IG，IN；它的吸引力能通過從整個無窮立體LGKO的吸引力減去較遠的部分NIKO的吸引力而得知，NIKO向著KO無限伸展。 系理2 如果這個立體的較遠的無窮部分，它的吸引與較近部分的吸引相比是幾乎為零的瞬（momentum），而被拋棄：那個較近的部分的吸引隨著距離的增加很接近地按照冪CGn-3 的比減小。 系理3 且因此，如果任意有限且一側為平面的物體吸引正對著那個平面的中間的小物體，且小物體和平面之間的距離與吸引物體的寬廣相比甚小，而吸引物體由相同的小部分構成，它們的吸引力按照距離的大於四次的一個冪的比減小；整個物體的吸引力很接近地按照一個冪的減小，它的底是那個甚小的距離，且指數比前一個指數小三。對由吸引力按照距離的三次比減小的小部分構成的物體，斷言不成立；因為在這種情形，系理2中無限物體的那個較遠的部分的吸引，總是無限地大於較近的部分的吸引。 解釋 如果某一物體被垂直地向著一個給定的平面牽引，且從所給的吸引定律需求物體的運動：通過求（由命題XXXIX）物體向這個平面的直線降落運動，和（由諸定律的系理II）這個運動與一個均勻運動的複合，它沿平行於同一平面的直線進行，使問題得以解決。且反之，如果需求沿垂直於平面的直線向著平面的吸引定律，這個條件使被吸引物體在任意給定的曲線上運動，此問題按照處理問題三的方式被解決。