自然哲學的數學原理 · 第XII部分 論球形物體的吸引力

命題LXX 定理XXX 如果趨向一個球面上的每一點的同等的（æqualis）向心力按照離點的距離的二次比減小：我說，處於球面內的一個小物體在任何方向上都不被這些力吸引。 設HIKL為那個球面，且小物體P放置在其中。過P往這個球面引兩條直線HK，IL，截取極小的弧HI，KL；則由於三角形HPI，LPK（由引理VII系理3）相似，那些弧與距離HP，LP成比例；球面的在HI和KL的任意的小部分，由穿過P的直線界定，按照那些距離的二次比。所以那些小部分施加於物體P的力彼此相等。因為它們與小部分成正比，且與距離的平方成反比。又這兩個比的複合得出等量之比。所以在相反的方向施加相等的吸引，彼此被抵消。由類似的論證，整個球面的所有吸引被相反的吸引所抵消。因此物體P在所有的方向上不被這些吸引推動。此即所證 。 命題LXXI 定理XXXI 假定同樣的情形，我說，處於球面外的一個小物體被吸向球的中心，力與它離同一中心的距離的平方成反比。 設AHKB，ahkb為以S，s為中心，AB，ab為直徑畫出的兩個相等的球面，且位於球外的小物體P，p在那些直徑的延長上。由小物體引直線PHK，PIL，phk，pil，從最大圓AHB，ahb截下相等的弧HK，hk和IL，il；又往它們落下垂線SD，sd；SE，se；IR，ir；其中SD，sd截PL，pl於F和f。再往直徑上落下垂線IQ，iq。設角DPE和dpe消失，又由於DS和ds，ES和es相等，直線PE，PF和pe，pf以及短線DF，df可認為是相等的；因為它們的最終比，當那些角DPE，dpe同時消失時，是等量之比。這些既已確定，則PI比PF如同RI比DF，且pf比pi如同df或者DF比ri；又由錯比，PI×pf比PF×pi如同RI比ri，這就是（由引理VII系理3）如同弧IH比弧ih。再者，PI比PS如同IQ比SE，且ps比pi如同se或者SE比iq；又由錯比，PI×ps比PS×pi如同IQ比iq。由比的聯合，PIquad. ×pf×ps比piquad. ×PF×PS如同IH×IQ比ih×iq；這就是，如同圓形面，它由弧IH當半圓AKB圍繞直徑AB轉動時畫出，比一個圓形面，它由弧ih當半圓akb圍繞直徑ab轉動時畫出。且力，由它們這些面沿直線向著自己牽引小物體P和p，與（由假設）這些面成正比，且與面離物體的距離的平方成反比，這就是，如同pf×ps比PF×PS。又，這些力比它們的傾斜部分，即那些（由諸定律的系理2，力被分解）沿直線PS，ps趨向中心的力，如同PI比PQ，和pi比pq；亦即，（由於三角形PIQ和PSF，piq和psf相似）如同PS比PF和ps比pf。因此，由錯比，這個小物體P向著S的吸引比小物體p向著s的吸引，如同（PF×pf×ps）/（PS）比（pf×PF×PS）/（ps），這就是，如同psquad. 比PSquad. 。且由類似的論證，力，由它們弧KL，kl轉動所畫出的面牽引小物體，如同psquad. 比PSquad. ，且兩個球面通過總是取sd等於SD和se等於SE能被劃分為圓形面，所有圓形面的力按照相同的比。又由合比，整個球面施加在小物體上的力，按照相同的比。此即所證 。 命題LXXII 定理XXXII 如果趨向任意球的每個點的同等的向心力按照離點的距離的二次比減小；並且既給定球的密度，又給定球的直徑比小物體離它的中心的距離之比：我說，力，由它小物體被吸引，與球的半直徑成比例。 因想像兩個小物體分別被兩個球吸引，一個小物體被一個球且另一個小物體被另一個球，又它們離球的中心的距離分別與球的直徑成比例，兩個球被分解為相似的小部分且相對於小物體處於相似的位置。一個小物體向著一個球的每個小部分的吸引比另一個小物體向著另一個球的同樣數目的類似的小部分的吸引，按照來自小部分的正比和距離的二次反比的複合比。但是小部分如同球，這就是，按照直徑的三次比，又距離如同直徑；則前一個正比與後一個二次反比是直徑比直徑之比。此即所證 。 系理1 因此，如果諸小物體圍繞由同等的吸引物質構成的諸球在圓上運行；且離球的中心的距離與球的直徑成比例：循環時間是相等的。 系理2 且反之亦然，如果循環時間是相等的；距離與直徑成比例。這兩條系理由定理IV的系理3是顯然的。 系理3 如果趨向兩個任意的，相似的且密度相等的物體的每個點的同等的向心力，按照離點的距離的二次比減小；力，由它們相對於那兩個立體處於相似位置的小物體被這兩個物體吸引，相互之比如同立體的直徑之比。 命題LXXIII 定理XXXIII 如果趨向任意給定的球的每一點的同等的向心力按照離點的距離的二次比減小：我說，處於球內的小物體被吸引的力與它自己離球的中心的距離成比例。 設小物體P位於以S為中心畫出的球ABCD中；想像以同一個S為中心，以間隔SP畫出內球PEQF。顯然，（由命題LXX）同心球面，由它們構成球的差AEBF，它們的吸引被相反的吸引抵消，對P一點也不影響。只餘下內球PEQF的吸引。且（由命題LXXII）這如同距離PS。此即所證 。 解釋 面，由它們構成立體，在這裡不是純數學上的，而是特別薄的球面（orbes），以至其厚如同沒有；即是消失的球面，當那些球面的數目增加，厚度減小以至無窮時，由它們最終構成球。類似地，當說線、面和立體由點構成時，點被理解為相等的小部分，其大小可忽略。 命題LXXIV 定理XXXIV 假定同樣的情形，我說，處於球外的小物體被吸引的力與它自己離同一個球的中心的距離的平方成反比。 因為球被分解為無數同心的球面，且小物體被來自每個面的吸引與小物體離中心的距離的平方成反比（由命題LXXI）。再由複合，吸引的和，這就是小物體向著整個球的吸引，按照同樣的比。此即所證 。 系理1 因此在離同質的（homogeneus）球的中心相等的距離，吸引如同球。因為（由命題LXXII）如果距離與球的直徑成比例，則力如同直徑。如果較大的距離按照那個比被減小，且現在距離成為相等，吸引按照二次那個比被增大；且因此比另一吸引按照三次那個比，這就是，按照球的比。 系理2 在任意的距離吸引如同球除以距離的平方。 系理3 如果一個小物體放在同質的球的外面，它被牽引的力與它離球的中心的距離的平方成反比，且球由吸引的小部分構成；每個小部分的力按照離小部分的距離的二次比減小。 命題LXXXV 定理XXXV 如果趨向給定的球的每一點的同等的向心力按照離點的距離的二次比減小；我說，另外任意一個類似的球被它吸引的力與中心間的距離的平方成反比。 因為任意小部分的吸引與它自己離牽引球的中心的距離的平方成反比（由命題LXXIV），且所以與好像整個吸引力從單獨一個位於這個球的中心的小物體發出的一樣。但另一方面，這個吸引與同樣的小物體的吸引一樣大，只要被牽引的球的每個小部分以小物體吸引它們同樣的力吸引那個小物體。小物體的那個吸引（由命題LXXIV）與它自己離球的中心的距離的平方成反比；且因此球的吸引，它等於小物體的吸引，按照相同的比。此即所證 。 系理1 對其他同質的球，球的吸引如同牽引球除以它們自己的中心離它們所牽引的球的中心的距離的平方。 系理2 當被吸引的球也吸引時，結論同樣成立。因為這個球的每個點牽引另一個球的每個點的力，與反過來它被牽引的力相同；且因此，由於在所有的吸引中（由定律三）吸引的點與被吸引的點所受到的推動相等，力由相互的吸引被加倍，比保持不變。 系理3 以上關於物體圍繞圓錐截線的焦點運動的證明，當一個吸引的球被放在焦點，並且物體在球外運動時，全都保持一樣。 系理4 且無論如何，已證明的關於物體圍繞圓錐截線的中心的運動，當運動在球內進行時發生。 命題LXXVI 定理XXXVI 如果在諸球中，從中心向邊界前進（對物質的密度和吸引力）無論如何是不相似的，但前進到離中心給定的距離的各處是相似的；且每個點的吸引力按照被吸引物體的距離的二次比減小：我說，整個力，由它這些球中的一個吸引另一個，與中心間的距離的平方成反比。 令任意個同心的相似的球AB，CD，EF，等等，它們中的裡面的加上外面的構成向著中心更稠密的物質，或者減去裡面的，剩餘的物質更稀薄；則這些球（由命題LXXV）吸引其他任意個相似的同心球GH，IK，LM，等等的力，一個對一個，與距離SP的平方成反比。又，由合比或者分比，所有這些力的和，或者其中任一個對其他的超出；這就是，力，由它任意同心球或者同心球的差構成的整個球AB，吸引整個球GH，它由任意同心球或者同心球的差構成，按照同樣的比。同心球的數目如此增加以至無窮，使得物質的密度與吸引力一起，在由周界往中心前進時，按照任意的定律增加或者減小；且增加不吸引的物質，使缺失的密度被補充，如此球獲得任意適宜的形狀；則力，由它這些球中的一個吸引另一個，由上面的論證，仍然是按照距離的平方的同一反比。此即所證 。 系理1 因此，如果此種類型的許多球，在各方面相似，彼此牽引；它們中的任何一個對另一個的加速吸引，在中心間的任何相等的距離，如同吸引球。 系理2 且在不等的距離，如同吸引球除以中心之間的距離的平方。 系理3 至於引起運動的吸引，或者一些球向著其他球的重量，在中心間的相等的距離，如同吸引球和被吸引的球聯合起來，亦即，如同球通過乘法所得的容量。 系理4 且在任何不等的距離，力與那些容量成正比且與球的中心之間的距離的平方成反比。 系理5 當起源於每個球的吸引能力（virtus）相互施加於其他的球時，結論同樣成立。力的聯合使吸引加倍，比保持不變。 系理6 如果此種類型的一些球環繞其他靜止的球運行，一個環繞一個；且環繞的球和靜止的球的中心之間的距離與靜止的球的直徑成比例，則循環時間相等。 系理7 且反之，如果循環時間相等，則距離與直徑成比例。 系理8 以上關於物體圍繞圓錐截線的焦點運動的證明，當已描述過的任何形式和條件的吸引球被放在焦點時，全都同樣適用。 系理9 而且當在軌道上運行的物體是已描述過的任何條件的吸引球時亦然。 命題LXXVII 定理XXXVII 如果趨向球的每一點的向心力與點離被吸引物體的距離成比例：我說，合成的力，由它兩個球相互牽引，如同球的中心之間的距離。 情形1 設AEBF為一個球，S為它的中心；P為被吸引的小物體；球的軸PASB穿過小物體的中心；兩個平面EF，ef截球面並垂直於這個軸，且一個平面在一側，另一個平面在另一側，離球的中心的距離相等；G，g是平面和軸的公共部分；又H是平面EF上的任意一點。點H的沿直線PH施加於小物體P上向心力，如同距離PH；且它的（由諸定律的系理II）沿直線PG，或者向著中心S［的向心力］，如同長度PG。所以在平面EF的所有點的力，這就是整個平面的力，由它小物體被向著中心S吸引，如同距離PG乘以點的數目，亦即，如同包含於那個平面EF自身和那個距離PG之下的立體。且類似地，平面ef的力，由它小物體P被向著中心S吸引，如同那個平面乘以它自己的距離Pg，或者如同與此相等的平面EF乘以那個距離Pg；則那兩個平面的力之和如同平面EF乘以距離之和PG+Pg，亦即，如同那個平面乘以二倍的中心和小物體的距離PS，這就是，如同二倍的平面EF乘以距離PS，或者如同相等的平面之和EF+ef乘以同一距離。由類似的論證，在整個球中所有平面的力，在離球的中心距離相等的兩側，如同平面之和乘以距離PS，這就是，如同整個球和距離PS的聯合。此即所證 。 情形2 現在小物體P牽引球AEBF。由相同的論證可以證明，力，由它那個球被牽引，如同距離PS。此即所證 。 情形3 現在另一個球由無數小物體P組成；且因為力，由它任意小物體被牽引，如同小物體離第一個球的中心的距離與同一個球的聯合，因此猶如所有的力來自在球的中心的單獨一個小物體那樣；整個力，由它在第二個球中的所有小物體被牽引，這就是，由它那個球的整體被牽引，猶如那個球被牽引的力來自第一個球的中心的單獨一個小物體那樣，且所以與球的中心之間的距離成比例。此即所證 。 情形4 設球彼此相互牽引，則被加倍的力保持以前的比例。此即所證 。 情形5 現在設小物體p位於球AEBF的裡面；則因為對於小物體平面ef的力如同包含於那個平面和距離pg之下的立體；且平面EF的相反的力如同包含於那個平面和距離pG之下的立體；兩者合成的力如同立體的差，這就是，如同相等的平面的和乘以距離的差的一半，亦即，如同那個和乘以小物體離球的中心的距離pS。又由類似的論證，在整個球中，所有平面EF，ef的吸引，這就是，整個球的吸引，如同所有平面的和，或者整個球，與小物體離球的中心的距離pS的聯合。此即所證 。 情形6 且如果由無數個小物體p組成一個新球，位於原先的球AEBF內；如同前面可以證明，吸引，或者一個球對於另一個球的單純吸引，或者兩者彼此相互吸引，如同中心間的距離pS。此即所證 。 命題LXXVIII 定理XXXVIII 如果在諸球中從中心前進到邊界，無論如何是不相似的和不等的，但是前進到環繞離中心給定的任何距離在各個方向上是相似的；並且每個點的吸引力如同被吸引物體的距離：我說，整個力，由它這類球中的兩個相互牽引，與球的中心之間的距離成比例。 這由上面的命題，按照與由命題LXXV證明命題LXXVI同樣的方式可證。 系理 在前面關於物體圍繞圓錐截線的中心運動的命題X和LXIV的證明中，當所有的吸引是上述條件的球體的力，並且被吸引物體是同樣條件的球時，仍然成立。 解釋 現在我已給出了對吸引的兩種主要情形的說明：即當向心力按照距離的二次比減小時，或者按照距離的簡單比增加時；使兩種情形下物體在圓錐截線上運行，並結合成球形物體，其向心力在從中心退離時，與小部分按照同樣的定律減少或者增加：這是值得驚奇的。其餘的情形，結論不甚優雅，逐一處理勢必冗長。我寧願用一個普遍的方法同時包括並處理它們全體如下。 引理XXIX 如果以中心S畫任意圓AEB，且以中心P畫兩個圓EF，ef，它們截前一個圓於E，e，又截直線PS於F，f；再向PS上落下垂線ED，ed：我說，如果假使弧EF，ef之間的距離減小以至無窮，消失的直線Dd比消失的直線Ff的最終比與直線PE比直線PS是相同的。 因為，如果直線Pe截弧EF於q；又直線Ee，它與消失的弧Ee重合，被延長交直線PS於T；再由S向PE落下成直角的線SG：由於三角形DTE，dTe，DES相似；Dd比Ee，如同DT比TE，或者DE比ES；又因為三角形Eeq，ESG（由引理VIII和引理VII系理3）相似，Ee比eq或者Ff如同ES比SG；再由錯比，Dd比Ff如同DE比SG；這就是（由於三角形PDE，PGS相似）如同PE比PS。此即所證 。 命題LXXIX 定理XXXIX 如果厚度無限減小的正消失的面EFfe圍繞軸PS旋轉，畫出既凹且凸的球形立體，趨向它的每個相等的小部分有同等的向心力：我說，力，由它那個立體牽引位於P的小物體，按照來自立體DEq ×Ff的比，和在位置Ff的給定的小部分牽引同一個小物體的力的比的複合比。 因為，如果我們首先考慮球面FE的力，它由弧FE旋轉產生，且被直線de截於任意處r；這個面的環形部分，它由弧rE旋轉產生，如同短線Dd，球的半徑PE被保持（如阿基米德 在書《論球與圓柱 》（de Sphœra & Cylindro）中的證明）。且這個面的力，沿遍布於錐面的直線PE或者Pr施加，如同這個環形部分自身；這就是，如同短線Dd，或者，同樣，如同給定的球半徑和那條短線Dd之下的矩形；沿直線PS趨向中心S，［這個力］按照PD比PE之比減小，且因此如同PD×Dd。現在假設直線DF被分成無數相等的小部分，每一小部分被稱為Dd；且球面FE被分成相同數目的等環，它的力如同PD×Dd的總和，這就是，如同 PFq － PDq ，因此如同DEquad. 。現在，面FE乘以高度Ff，則立體EFfe施加於小物體P上的力如同DEq ×Ff：假定某個給定的小部分Ff在距離PF對小物體P施加的力被給定，且如果那個力沒有被給定。立體EFfe的力變得如同立體DEq ×Ff和那個沒有被給定的力的聯合。此即所證 。 命題LXXX 定理XL 如果趨向以中心S畫出的任意球ABE的每個小部分有同等的向心力，且向球的軸AB，某小物體P位於該軸上，由每個點D豎立垂線DE，交球於E，且在那些垂線上取長度DN，它如同量（DEq ×PS）/（PE）以及一個力的聯合，位於軸上的球的小部分在距離PE以這個力施加於小物體P：我說，整個力，由它小物體P被向著球牽引，如同球的軸AB在下面與曲線ANB所圍的面積，點N與曲線持續接觸。 保持在上面的引理和定理中相同的作圖，想像球的軸AB被分成無數等於Dd的小部分，且整個球被分為相同數目的既凹且凸的球形薄片（lamina sphærica）EFfe；並豎立垂線dn。由上面的定理，力，由它的薄片EFfe牽引小物體P，如同DEq ×Ff和一個小部分在距離PE或者PF施加的力的聯合。但是（由上面的引理）Dd比Ff如同PE比PS，且因此Ff等於（PS×Dd）/（PE）；又DEq ×Ff等於Dd乘以（DEq ×PS）/（PE），且所以薄片EFfe的力如同Dd乘以（DEq ×PS）/（PE）和一個小部分在距離PF施加的力的聯合，這就是（由假設）如同DN×Dd，或者消失的面積DNnd。所以所有薄片施加於物體P的力，如同所有DNnd的面積，這就是，球的整個力如同整個ANB的面積。此即所證 。 系理1 因此，如果趨向每個小部分的向心力在所有的距離總保持相同，且DN被取得如同（DEq ×PS）/（PE）：則整個力，由它小物體被球牽引，如同面積ANB。 系理2 如果小部分的向心力與被它吸引的小物體的距離成反比，且DN被取得如同（DEq ×PS）/（PEq ）：則力，由它小物體被整個球牽引，如同面積ANB。 系理3 如果小部分的向心力與被它吸引的小物體的距離的立方成反比，且DN被取得如同（DEq ×PS）/（PEqq ）：則力，由它小物體被整個球牽引，如同面積ANB。 系理4 並且一般地，如果往球的每個小部分的向心力被設為與量V成反比，又DN被取得如同（DEq ×PS）/（PE×V）：則力，由它小物體被整個球牽引，如同面積ANB。 命題LXXXI 問題XLI 在與前面相同的條件下，需測量面積ANB。 命題LXXXII 定理XLI 在以中心S、間隔SA所畫出的球中，如果取SI，SA，SP成連比例：我說，在球內任意位置I的小物體的吸引比它在球外位置P的吸引，按照來自離中心的距離IS，PS的二分之一次比和在那些位置P及I趨向中心的向心力的二分之一次比的複合比。 正如，若球的小部分的向心力與被它們吸引的小物體的距離成反比；力，由它位於I的小物體被整個球牽引，比一個力，由它在P的小物體被球牽引，按照來自距離SI比距離SP的二分之一次比，和在位置I起源於在中心的另一小部分的向心力比在位置P起源於同一個在中心的小部分的向心力的二分之一次比，亦即，距離SI，SP相互之比的二分之一次反比的複合比。這兩個二分之一次比複合出等量之比，且所以在I和P由整個球產生的吸引相等。由類似的計算，如果球的小部分的力按照距離的二次反比，得出在I的吸引比在P的吸引，如同距離SP比球的半直徑SA；如果那些力按照距離的三次反比，在I和P的吸引的彼此之比如同SPquad. 比SAquad. ；如果那些力按照距離的四次反比，在I和P的吸引的彼此之比如同SPcub. 比SAcub. 。在這個最後的情形，由於在P的吸引曾被發現為與PScub. ×PI成反比，在I的吸引與SAcub. ×PI成反比，亦即（由於SAcub. 給定）與PI成反比。同樣的進程以至無窮。定理的證明如下。 現在保持上面的作圖，且存在一個小物體在任意的位置P，縱標線DN被發現如同（DEq ×PS）/（PE×V）。所以，如果引IE，對小物體在其他任意位置I的那條縱標線，經過必要的變化（mutatis mutandis），得出它如同（DEq ×IS）/（IE×V）。假設向心力，它由球面的任意點E流出，在距離IE，PE的彼此之比，如同PEn 比IEn （這裡數n指明PE和IE的冪指數）且那些縱標線變得如同（DEq ×PS）/（PE×PEn ）和（DEq ×IS）/（IE×IEn ），它們的彼此之比如同PS×IE×IEn 比IS×PE×PEn 。因為，由於SI，SE，SP構成連比，三角形SPE，SEI相似，且由此，IE比PE如同IS比SE或者SA；把IE比PE之比寫成IS比SA之比，則得出縱標線之比如同PS×IEn 比SA×PEn 。但PS比SA是距離PS和SI的二分之一次比，且IEn 比PEn （由於比例IE比PE如同IS比SA）是在距離PS，IS的力的二分之一次比。所以縱標線，且因此面積，它們由縱標線畫出，與它們成比例的吸引，按照來自那些二分之一次比的複合比。此即所證 。 命題LXXXIII 問題XLII 求力，由它位於一個球的中心的小物體被任意的球截形吸引。 設物體P在球的中心，且它的球截形RBSD由平面RDS和球面RBS圍成。以中心P畫出的球面EFG截DB於F，球截形被分為部分BREFGS，FEDG。但是那些球面不是純數學的，而是物理的，有極小的厚度。稱那個厚度為O，則這些面（由阿基米德 的證明）如同PF×DF×O。此外，我們設球的小部分的吸引力與距離的那個冪成反比，其指數為n；且力，由它面EFG牽引物體P，（由命題LXXIX）如同（DEq ×O）/（PFn ），亦即如同（2DF×O）/（PFn-1 ）－（DFq ×O）/（PFn ）。垂線FN乘以O與此量成比例；則曲線BDI的面積，縱標線FN在長度DB上以連續運動畫出曲線，如同整個力，由它整個球截形RBSD牽引物體P。此即所求 。 命題LXXXIV 問題XLIII 求力，由它位於球的中心之外且在球截形的軸上的小物體被同一個球截形所吸引。 設球截形EBK牽引位於它的軸ADB上的物體P。以中心P和間隔PE畫球面EFK，球截形被它分為EBKFE和EFKDE兩個部分。前一部分的力由命題LXXXI，且後一部分的力由命題LXXXIII求出；則力之和是整個球截形EBKDE的力。此即所求 。 解釋 現在已解釋了球形物體的吸引，接下來可以繼續其他物體的吸引定律，它們類似地由吸引的小部分構成；但特別地處理它們對於我的計劃不是必須的。增補關於此類物體的力的一些更一般的命題以及由此引起的運動就足夠了，由於它們在哲學中有一些用處。