自然哲學的數學原理 · 第XI部分 論以向心力互相趨向的物體的運動

至此，我已陳述了被吸引向一個不動的中心的物體的運動，儘管在自然界中很難存在這樣的事情。因吸引一如既往地向著物體；且由第三定律，牽引物體的和被吸引物體的作用總是相互的和相等的；所以如果有兩個物體，牽引物體和被吸引物體皆不能靜止，但是兩者同時（由諸定律的系理四）相互吸引，圍繞［它們的］重力的公共的中心運行；且如果有兩個以上的物體，它們或者被一個物體牽引，且它們又牽引同一個物體，或者所有物體彼此牽引；這些物體之間須如此運動，使得［它們的］重力的公共的中心或者靜止，或者一直向前均勻地運動。由於這個原因，現在我開始陳述相互牽引的物體的運動，向心力作為吸引考慮，無論如何，也許按照物理學的說法，稱它們為推動（impulsus）更為真實。［命題］將在數學上加以考慮；且所以，放棄物理學上的爭論，我們使用一種熟悉的語言，使［通曉］數學的讀者更容易理解。 命題LVII 定理XX 兩個相互牽引的物體，既圍繞它們的重力的公共的中心，又相互圍繞，畫出相似的圖形。 因物體離重力的公共的中心的距離與物體成反比；因此彼此之比按照給定的比，又由合比，［這些距離］比物體之間的整個距離按照給定的比。現在這些距離以相等的角運動圍繞它們的公共的端點轉動，由於位於同一直線上，所以它們彼此的傾斜不改變。但是，直線，它們彼此按照給定的比，以相等的角運動圍繞它們的端點轉動，在與這些端點或者一起靜止，或者一起沒有任何角運動的平面上，畫出完全相似的圖形。所以圖形是相似的，它們由這些距離的旋轉畫出。此即所證 。 命題LVIII 定理XXI 如果兩個物體以任意的力互相牽引，且在此期間它們圍繞重力的公共的中心運行：我說，圖形，它由如此運動著的物體相互圍繞畫出，與一個圖形相似且相等，它能由一個物體以同樣的力圍繞二者中另一個不動的物體畫出。 設物體S，P圍繞［它們的］ 重力的公共的中心C運行，由S向T以及由P向Q前進。由一給定的點s引總與 SP，TQ相等且平行的sp，sq；又曲線pqv，它由點p圍繞不動點s旋轉畫出，與由物體S，P相互圍繞畫出的曲線相似且相等；且所以（由定理XX）相似於曲線ST和PQV，它們由相同的物體圍繞重力的公共的中心C畫出；這是因為直線SC，CP與SP或者sp彼此之比被給定。 情形1 由諸定律的系理四，那個重力的公共的中心C，或者靜止，或者一直向前均勻地運動。我們首先假設它靜止，兩個物體位於s和p，不動的位於s，運動的位於p，與物體S和P相似且相等。此後設直線PR和pr與曲線PQ和pq相切於P和p，且延長CQ和sq至R和r。又由於圖形CPRQ，sprq相似，RQ比rq如同CP比sp，且因此按照給定的比。因此如果力，由它物體P被向著物體S，因此向著居間的中心C牽引，比一個力，由它物體p被向著中心s牽引，按照那個相同的給定的比；這些力在相等的時間總牽引物體離開切線PR，pr，經過與它們成比例的間隔RQ，rq到達弧PQ，pq，且由是後一個力的作用使物體p在曲線pqv上運行，它相似於曲線PQV，前一個力的作用使物體P在其上運行；且運行在相同的時間完成。由於那些力彼此之比並不按照CP比sp之比，而是（由於物體S和s，P和p相似且相等，又距離SP，sp相等）彼此相等；物體在相等的時間被相等地拉離切線；且所以，由於後一物體p被拉離［切線］經過較長的間隔rq，所需時間較長，它按照間隔的二分之一次比；因為（由引理十）運動開始時所畫的空間按照時間的二次比。所以，假設物體p的速度比物體P的速度，按照距離sp比距離CP的二分之一次比，因此弧pq，PQ，它們按照一個整比，能在按照相同的二分之一次比的時間內被畫出：物體P，p總被相等的力吸引，圍繞不動的中心C和s畫出相似的圖形PQV，pqv，其中後一圖形pqv與一個圖形相似且相等，它由物體P圍繞運動的物體S畫出。此即所證 。 情形2 現在我們假設重力的公共的中心與物體在其中相互運動的空間一起均勻地向前運動；又（由諸定理的系理六）在這個空間發生的一切運動如前，且因此物體彼此相互圍繞畫出的圖形如前，所以與圖形pqv相似且相等。此即所證 。 系理1 因此，兩個物體以與它們的距離成比例的力互相牽引，畫出（由命題X）既圍繞重力的公共的中心，又相互圍繞的同中心的橢圓：且反之亦然，如果這樣的圖形被畫出，則力與距離成比例。 系理2 且兩個物體，力與它們的距離的平方成反比，畫出（由命題XI，XII，XIII）既圍繞重力的公共的中心，又相互圍繞的圓錐截線，它們的焦點在圖形被畫出時所圍繞的中心上。且反之亦然，如果這樣的圖形被畫出，則向心力與距離的平方成反比。 系理3 任意兩個物體圍繞重力的公共的中心沿軌道運行，向那個中心並相互引半徑，畫出的面積與時間成比例。 命題LIX 定理XXII 兩個物體S和P，圍繞［它們的］重力的公共的中心C運行，循環時間比二者中之一的物體P的循環時間，它圍繞另一不動的［物體］S運行，且畫出的圖形與兩個物體相互圍繞所畫出的圖形相似且相等，按照二者中另一物體S比物體之和S+P的二分之一次比。 又因，從上一命題的證明，時間，在此期間任意相似的弧PQ和pq被畫出，按照距離CP和SP或者sp的二分之一次比，這就是，按照物體S比物體之和S+P的二分之一次比。由合比，時間的和，在此期間所有相似的弧PQ和pq被畫出，這就是，總時間，在此期間整個相似的圖形被畫出，按照相同的二分之一次比。此即所證 。 命題LX 定理XXIII 如果兩個物體S和P，以與它們的距離的平方成反比的力相互牽引，圍繞重力的公共的中心運行：我說，橢圓，它由兩者中之一的物體P在這個運動中圍繞另一物體S畫出，它的主軸比一個橢圓的主軸，這個橢圓能由同一物體P圍繞另一靜止的物體S在相同的循環時間畫出，如同兩個物體的和S+P比這個和與另一物體S之間的兩個比例中項中的第一個 （28） 。 因為如果所畫的橢圓彼此相等，循環時間（由上一定理）按照物體S比物體之和S+P的二分之一次比。設在後一橢圓上的循環時間按照這個比被減小；且周期時間變得相等；但橢圓的主軸（由命題XV）按照一個比被減小，它的二分之三次方是這個比，亦即按照一個比，它的三次方是S比S+P之比；且因此那個主軸比另一橢圓的主軸如同S+P和S之間的兩個比例中項中的第一個比S+P。且反之，圍繞運動的物體所畫出的橢圓的主軸比圍繞不動的物體所畫出的橢圓的主軸，如同S+P比S+P和S之間的兩個比例中項中的第一個。此即所證 。 命題LXI 定理XXIV 如果兩個物體以任意類型的力相互牽引，不受其他的推動或者阻礙，以任意方式運動；它們的運動將一如它們不相互牽引，但兩者以相同的力被放在［它們的］重力的公共的中心的第三個物體牽引；相對於物體離那個重力的公共的中心的距離的牽引力的定律，與相對於物體之間的整個距離的牽引力的定律是一樣的。 因為那些力，由於它們物體相互牽引，趨向物體，趨向居間的重力的公共的中心；且因此好似與由一個居間的物體流出一樣。此即所證 。 又因為任一物體離那個公共的中心的距離比物體之間的距離的比被給定，一個距離的任意次冪比另一距離的任意次冪的比被給定；任意一個量，它從一個距離和給定的量以任何方式被導出，比另一個量，它從另一個距離和同樣數目的給定的量以類似的方式被導出，給定的量具有那個距離比前者的給定的比，為給定的比。所以，如果力，由它一個物體被另一個物體牽引，與物體彼此之間的距離成正比或者成反比；或者如同這個距離的任意次冪；或者最終如同以任意方式從這個距離和給定的量導出的任意的量；同樣的力，由它相同的物體被向著重力的公共的中心牽引，同樣與被吸引物體離那個公共的中心的距離成正比或者成反比，或者如同這個距離的相同的冪，或者最終如同以類似方式從這個距離和類似的給定量導出的量。這就是，牽引力相對於兩個距離有相同的定律。此即所證 。 命題LXII 問題XXXVIII 兩個物體，以與它們的距離的平方成反比的力相互牽引，並且在給定的位置使它們落下，確定它們的運動。 所以物體（由上面的定理）的運動與假如受到放置在重力的公共的中心的第三個物體牽引時一樣，且由假設那個中心在運動開始時靜止；所以它（由諸定律的系理4）總是靜止的。所以物體的運動的確定（由問題XXV）與假設它們被力拖向那個中心時一樣，也就有了相互牽引的物體的運動。此即所求 。 命題LXIII 問題XXXIX 兩個物體，以與它們的距離的平方成反比的力相互牽引，並且它們從給定的位置，沿給定的直線，以給定的速度離去，確定它們的運動。 由物體的初始運動的給定，重力的公共的中心的均勻運動，與這個中心一同均勻向前的空間的運動，以及相對於這個空間的物體的初始運動被給定。然而隨後在此空間中發生的運動（由諸定律的系理五和上面的定理）與假如和那個重力的公共的中心一起的空間是靜止的，且物體彼此不相互牽引而被放置在那個中心的第三個物體牽引時是一樣的。所以在這個運動的空間中，兩個物體之一從給定的位置，沿給定的直線，以給定的速度離去，且被向心力拉向那個中心的運動，由問題九和問題二十六確定；而且同時有另一物體圍繞同一中心的運動。由這個運動與上面已發現的物體在其中運行的那個空間系統的均勻向前的運動的合成，有物體在一個不動空間中的絕對運動。此即所求 。 命題LXIV 問題XL 力，由它諸物體相互牽引，按照離中心的距離的簡單的比增加：需求多個物體彼此之間的運動。 首先假設兩個物體T和L有一個重力的公共的中心D。這些物體（由定理XXI系理一）畫出中心在D的橢圓，它們的大小由問題V可知。 現在第三個物體S以加速力ST，SL牽引前兩個物體T和L，且反過來被它們牽引。力ST（由諸定律的系理II）分解為力SD，DT；且力SL分解為力SD，DL。現在力DT，DL，如同它們的和TL，因此如同加速力，由於它們物體T和L彼此相互牽引，增加到物體T和L的力上，前者對前者且後者對後者，合成的力與距離DT和DL成比例，如同前面，但較前面的那些力大；且因此（由命題X系理1和命題IV系理1和系理8）使那些物體畫出的橢圓同前，但運動更迅速。剩餘的加速力SD和SD，以如同物體引起運動的作用SD×T和SD×L沿與DS平行的直線TI，LK同等地牽引那些物體，一點也不改變它們相互的位置，但使它們同等地靠近直線IK；它是想像中過物體S的中間所引的與直線DS垂直的直線。但對直線IK的靠近由引起的系統中的物體T和L為一部分，物體S為另一部分，以適當的速度圍繞重力的公共的中心C運行所阻礙。以如此的運動，物體S，因為引起運動的力SD×T與SD×L的和與距離CS成比例，趨向中心C，圍繞同一個中心C畫出一個橢圓；且點D，由於CS，CD成比例，正對著（e regione）畫出相似的橢圓。但是物體T和L受到沿平行線TI和LK的引起運動的力SD×T和SD×L的同等吸引，前者對前者，後者對後者，正如已說過的，它們（由諸定律的系理5和系理6）繼續圍繞運動的中心D畫出它們自己的橢圓，如同前面。此即所求 。 現在加入第四個物體V，並由類似的論證推出這個物體和點C圍繞所有物體的重力的公共的中心B畫出橢圓；物體T，L和S圍繞中心D和C的原有運動被保持，但被加速。且由同樣的方法能隨意加入更多的物體。此即所求 。 事情本身如此，即使物體T和L相互牽引的加速力大於或者小於它們牽引其他物體的按照距離之比的力。令所有相互的加速力彼此之比如同距離乘以牽引物體，則由前述的容易導出，所有物體在相等的循環時間，圍繞所有物體的重力的公共的中心B，在不動的平面上畫出不同的橢圓。此即所求 。 命題LXV 定理XXV 諸物體，它們的力按照物體離它們的中心的距離的二次比減小，能彼此在橢圓上運動；且往焦點引半徑所畫出的面積很接近地與時間成比例。 在上面的命題中證明了多個運動精確地在橢圓上進行的情形。力的定律與那裡所假設的定律退離得愈遠，物體對它們相互運動的攝動愈大；物體按照這裡假設的定律相互牽引，它們不可能精確地在橢圓上運動，除非彼此之間的距離保持確定的比例。但是在如下的情形，［物體運動的軌道］與橢圓相差不大。 情形1 假設幾個較小的物體圍繞某個非常大的物體在離它的不同的距離上運行，且趨向每個物體的絕對力與同一物體成比例。又因為重力的公共的中心（由諸定律的系理四）或者靜止或者均勻地一直向前運動，我們設想較小的物體是如此之小，使得非常大的物體絕不顯著地偏離這個中心：則那個非常大的物體或者靜止，或者均勻地一直向前運動而沒有可感覺到的誤差；較小的物體圍繞非常大的物體在橢圓上運行，且向較小的物體所引半徑畫出的面積與時間成比例；除了或者由非常大的物體離開那個重力的公共的中心引入的誤差，或者由較小的物體彼此的相互作用引入的誤差。然而，較小的物體能減小到這種程度，使［離開中心的］那個誤差和相互作用小於任意的給定值，且因此軌道與橢圓相合，又面積與時間的對應沒有不能小於任意給定值的誤差。此即所示。 情形2 現在我們設想按剛才描述過的方式較小的物體圍繞一個非常大的物體運行的系統，或者其他任意兩個物體相互圍繞運行的系統一直均勻地前進，且此時側面受到處於遙遠距離的一個巨大物體的驅動。因為等加速力，由於它們物體沿平行線被驅動，不改變物體的相互位置，但引起整個系統的同時遷移，此時部分之間的相互運動被保持；顯然，來自巨大物體的吸引絕不引起被吸引物體之間運動的改變，除非或者由於加速的不相等，或者由於吸引所沿的直線彼此的傾斜角不相等。所以，假設所有趨向巨大物體的加速吸引彼此之間與距離的平方成反比；又增大巨大物體的距離直到由它向其他物體所引的直線的差相對於它們的長度，以及這些直線之間的傾斜角，小於任何已給的量，系統中的部分相互之間的運動將繼續，而沒有不能小於任意給定的誤差。又因為，由於那些部分彼此之間的短距離，整個系統如同一個物體被牽引；因此同一個系統由於這個吸引的運動如同它是一個物體那樣；這就是，它的重力的中心圍繞巨大的物體畫出某一圓錐截線（就是弱吸引時的雙曲線或者拋物線，強吸引時的橢圓），且向巨大物體所引半徑畫出的面積與時間成比例，除了由部分間的距離產生的甚小且能隨意減小的誤差之外，全然沒有誤差。此即所示。 由類似的論證可繼續至更複雜的情形以至無窮。 系理1 在情形2中，所有物體中最大的物體離兩個或者多個［物體］的系統愈近，系統中部分間的相互運動被攝動得愈甚；因為從最大物體到這些部分所引直線相互間的傾斜已彼此變大，比例的不等性亦變大。 系理2 但最大的攝動，以假設系統中的部分向著所有物體中最大的物體的加速吸引彼此之比不與離那個最大的物體的距離的平方成反比為前提；尤其是如果這個比例的不等性大於物體離最大的物體的距離的比例的不等性時。因為如果加速力，它們相等且沿平行線作用，絲毫不攝動［系統中的部分］彼此之間的運動，攝動必然起源於作用的不等性，當不等性較大或者較小時，攝動較大或者較小。作用於某些物體而不作用於另一些物體的較大的推動的超出，必然改變它們彼此之間的位置。且這一攝動加到起源於直線的傾斜和不等性的攝動上時，使整個攝動更大。 系理3 因此，如果這個系統中的部分在橢圓上，或者在圓上運動而沒有顯著的攝動；顯然，如果它們受趨向其他物體的加速力的推動，［對這些部分］或者除了很小的推動之外就沒有推動，或者推動相等並沿幾乎平行的直線。 命題LXVI 定理XXVI 如果三個物體，以按照距離的二次比減小的力相互牽引；且任意兩個向著第三個的加速吸引相互之間與距離的平方成反比；且較小的［兩個］物體圍繞最大的物體運行：我說，裡面的物體圍繞最裡面且最大的物體，在假如最大的物體被這些吸引推動時，與假如那個最大的物體不受較小的物體的吸引而靜止，或者受到更小或更大的吸引，或者更小或更大的推動時相比，由裡面的物體向最大的物體所引的半徑畫出的面積與時間更近於成比例，且圖形更接近焦點在半徑交點的一個橢圓的形狀。 由先行命題的系理二的證明這很明顯；但是它由如下更明晰和更有說服力的論證所證明。 情形1 設較小的物體P和S在同一平面內圍繞最大的物體T運行，P畫出內軌道PAB，且S畫出外軌道ESE。設SK是物體P和S的平均距離；且物體P向著S的加速吸引在那個平均距離由同一SK表示。按照SK比SP的二次比取SL比SK，則SL為物體P向著S的在任意距離SP的加速吸引。連結PT，平行與它引LM交ST於M；且吸引SL被分解為（由諸定律的系理2）吸引SM，LM。由是物體P由三重的加速力推動。一個力趨向T，且它起源於物體T和P的相互吸引。單獨由這個力，物體P圍繞無論靜止，或者由這個吸引推動的物體T，通過半徑PT應畫出與時間成比例的面積，以及它的焦點在物體T的中心上的橢圓。這由命題XI以及定理XXI的系理2和系理3顯而易見。另一個力是吸引LM，因為它由P趨向T，添加到第一個力上，由於它與PT自身重合，由定理XXI的系理3，使得畫出的面積仍與時間成比例。然而，由於它不與距離PT的平方成反比，它與第一個力合成的力偏離這個比例，在其他情況相同時，這個力比第一個力的比愈大，偏離愈大。所以，因為（由命題XI和定理XXI系理2）力，由它圍繞焦點T的橢圓被畫出，應趨向那個焦點，且應與距離PT的平方成反比；那個合成的力，與這個比例偏離，引起軌道偏離焦點在T的橢圓形；與這個比例的偏離愈大，這個［軌道的偏離］愈大；在其他情況相同時，第二個力LM比第一個力的比愈大，合成的力與這個比例偏離得愈大。現在第三個力SM沿平行於ST的直線牽引物體P，它與前面的力合成的力不再由P指向T；在其他情況相同時，它愈從這個方向偏離，這第三個力比前面的力的比愈大；因此它使物體P由半徑TP畫出的面積不再與時間成比例；且愈偏離這個比例，第三個力比其他的力的比愈大。這第三個力使軌道PAB從前述的橢圓形的偏離增加有兩個原因：它既不由P指向T，又不與距離PT的平方成反比。領悟了這些，顯然，當第三個力成為最小，其他力被保持時，面積最接近與時間成比例；又不僅當第二個力，而且第三個力，但特別是第三個力成為最小，第一個力被保持時，軌道PAB最接近前述的橢圓形。 設物體T向著S的加速吸引由直線SN表示；且如果加速吸引SM，SN是相等的，它們沿平行線同等地牽引物體T和P，絕不改變這些物體相互之間的位置。在這種情況，物體之間的運動（由諸定律的系理6）與如果除去這些吸引是相同的。由相同的理由，如果吸引SN小於吸引SM，從吸引SM中去掉部分SN，則單獨的部分MN被保持，它攝動時間和面積的比例以及軌道的橢圓形狀。類似地，如果吸引SN大於吸引SM，由單獨的差MN引起對比例和軌道的攝動。如此上面的第三個吸引SM總被吸引SN約減為吸引MN，第一個和第二個吸引完全不變地被保持：所以當吸引MN或者為零，或者最小可能時，面積和時間最接近成比例，且軌道PAB最接近前述的橢圓形；這就是，當物體P和T向著物體S的加速吸引儘可能接近相等時；亦即，當吸引SN不為零，亦不小於所有吸引SM中的最小者，而在吸引SM的最小者和最大者之間，一如平均值，這就是，既不比吸引SK太大，又不比它太小。此即所證 。 情形2 現在設較小的物體P，S圍繞最大的物體T在不同的平面內運行；則力LM，沿位於軌道PAM的平面上的直線PT作用，且有如前面一樣的效果，不把物體P從它自己的軌道平面逐出。另一個力NM，沿平行於ST的直線作用（且由此，當物體S在交點線（linea nodi）之外時，它向軌道PAB的平面傾斜），除了前面業已說明的運動在經度上的攝動外，它還引起運動在緯度上的攝動，物體P被拉離自己的軌道平面。且這種攝動，對物體P和T彼此之間任意給定的位置，如同那個生成力MN，因此當MN最小時成為最小，這就是（正如剛才我所申明的）當吸引SN既不比吸引SK太大，又不比它太小的時候。此即所證 。 系理1 由此容易推知，如果幾個較小的物體P，S，R等等，圍繞最大的物體T運行，當最大的物體T被其他物體的吸引和推動，按照加速力之比，等於其他物體之間相互的吸引和推動時，最裡面的物體P由外面的物體吸引所致的攝動最小。 系理2 至於在三個物體T，P，S的系統中，如果任意兩個向著第三個的加速吸引彼此與距離的平方成反比；物體P，由半徑PT圍繞物體T畫出的面積在接近合A和沖B時，較接近方照C，D時迅速。因為每個力，由它物體P被推動且物體T不被推動，不沿直線PT作用，對畫出面積的加速或者遲滯，一如力是順向或者是逆向。如此的是力NM。這個力在物體P從C到A的道路上與運動順向並加速運動，然後，一直到D，是逆向並遲滯運動；繼之順向直到B，且最後在物體由B到C移動時，與它逆向。 系理3 由同樣的論證，顯然物體P，其他情況相同時，在合和沖較在方照運動得迅速。 系理4 物體P的軌道，其他情況相同時，在方照較在合和沖更彎曲。因為快速的物體自直線路徑彎折得較小。此外，力KL，或者NM，在合和沖與物體T牽引物體P的力反向；因此那個力被減小；當物體P受到向著物體T的較小的推動時，它自直線路徑彎折得較小。 系理5 因此物體P，其他情況相同，從物體T的退離在方照較在合和沖更遠。這些論斷如此，如果排除偏心的運動。因為如果物體P的軌道是偏心的，其偏心率（如即將在本命題系理9中所示的）當拱點在朔望 （29） （syzygiae）時成為最大；且因此會發生物體P到達上拱點，在朔望離物體T較在方照 （30） （quadratura）離得更遠。 系理6 因為中心物體T的向心力，由它物體P被保持在自己的軌道上，它在方照由加上的力LM被增大，且在朔望由減去的力KL被減小，又由於力KL的大小，減小較增加為甚；又因為那個向心力（由命題IV系理2）按照來自半徑TP的簡單正比和循環時間的二次反比的複合比；顯然這個複合比由於力KL的作用被減小；且因此循環時間，如果保持軌道的半徑TP，按照那個向心力被減小的比的二分之一次比增加；因此這個半徑增加或者減小，循環時間按照大於這個半徑的二分之三次比增大或者按照小於這個半徑的二分之三次比減小（由命題IV系理6）。如果中心物體的那個力逐漸減小，物體P受到的吸引總是越來越小，它從中心T退離得越來越遠；且反之，如果那個力被增大，它越來越靠近中心。所以，如果遙遠物體S的作用，由它那個力被減小，交替增大或者減小，半徑TP同時交替增大或者減小；則循環時間按照來自半徑的二分之三次比和那個中心物體T的向心力，由於遙遠物體S的作用增大或者減小而減小或者增大的比的二分之一次比的複合比，增大或者減小。 系理7 由前面得出的同樣推出，至於由物體P畫出的橢圓的軸，或者拱線的角運動，交替地前行和後退，但畢竟前行較大，且由前行的超出攜帶著順向運動。因為物體P在方照被推向物體T的力，當力MN消失時，由力LM和物體T牽引物體P的向心力合成。第一個力LM，如果距離PT增加，差不多按照與距離相同的比增加，且後一個力按照距離的二次比減小，因此這些力的和按照小於距離PT的二次比減小，且所以（由命題XLV系理1）引起軌道的最遠點 （31） （auge），或者上拱點後退。在合及沖的力，由它物體P被推向物體T，是物體T牽引物體P的力和力KL之間的差，由於力KL很接近地按距離PT的比增大，那個差按照大於距離PT的二次比減小，所以（由命題XLV系理1）引起軌道的最遠點的前行。在朔望和方照之間的位置，軌道的最遠點的運動依賴這些因素雙方的聯合，所以由這個因素和那個因素的超出，它自身前行或者後退。由於在朔望的力KL幾乎比在方照的力LM大兩倍，超出傾向於力KL，軌道的最遠點被攜帶順行。此系理和上一系理的真理更易於被理解，若設想兩個物體T，P的系統由許多在軌道ESE上的物體S，S，S，等等從各個方向所包圍。因為物體T的作用在各個方向被這些物體的吸引所削減，且按照大於距離的二次比減小。 系理8 由於在由下拱點到上拱點的路途中，拱點的前行或者後退取決於向心力的減小按照大於或者小於距離TP的二次比；且［由上拱點］返回下拱點時，取決於類似的增加，且所以在上拱點的力比在下拱點的力之比退離距離的二次反比最遠時，成為最大；顯然，拱點在朔望，由減去的力KL，或者NM－LM，前行更迅速，又在方照，由加上的力LM，後退愈緩慢，由於前進的迅速和後退的緩慢被持續，這一不等性變得非常大。 系理9 如果某個物體，以與離中心距離的平方成反比的力，圍繞這個中心在一個橢圓上運行；且此後，在由上拱點或者軌道的最遠點向下拱點的下降中，那個力由連續附加的新力，按照大於被減小的距離的二次比被增大，顯然，那個物體總被連續附加的新力推向中心，比假如物體單獨按被減小的距離的二次比增加的力推動更傾向中心，且所以畫出在橢圓軌道內的一個軌道，且在下拱點較前更靠近中心。所以軌道，由於這個附加的新力，變得更為偏心。如果力在物體離開下拱點到上拱點期間，依前面增加的相同程度減小，物體返回到先前的距離；因此，如果力按照更大的比減小，現在物體由於較小的吸引，上升到較大的距離，且由此軌道的偏心率仍被增大。如果在一次運行中向心力的增加和減小的比被增大，則偏心率總被增大；且反之，如果那些比被減小，偏心率同樣被減小。現在，在物體T，P，S的系統中，當軌道PAB的拱點在方照時，那個增加和減小的比為最小，且當拱點在朔望時為最大。如果拱點位於方照，靠近拱點時比小於且靠近朔望時大於距離的二次比，且由以那個較大的比引起軌道的最遠點的順向運動，正如剛才所說的。如果考慮在拱點間進程的整個增加或者減小的比，這個比小於距離的二次比。在下拱點的力比在上拱點的力按照小於上拱點離橢圓的焦點的距離比下拱點離橢圓的焦點的距離的二次比；且反之，當拱點在朔望，在下拱點的力比在上拱點的力按照大於那些距離的二次比。因為在方照，物體T的力加上力NM合成的力按照一個較小的比，且在朔望，從物體T的力減去力KL剩餘的力按照一個較大的比。所以在拱點之間的路徑上的整個增加或者減小的比，在方照最小，在朔望最大；且因此，在拱點由方照到朔望的路徑上，比持續增大，且它增大橢圓的偏心率；又在由朔望到方照的路徑上，比持續減小且偏心率減小。 系理10 為給出在緯度上誤差的解釋，我們設想軌道EST的平面保持不動，由上面解釋的誤差的原因，顯然，力NM，ML是引起那些誤差的所有原因，力ML總沿軌道PAB的平面作用，不攝動在緯度上的運動；力NM，當交點在朔望時，沿同樣的軌道平面作用，不攝動這些運動；當交點在方照時，它對那些運動的攝動最大，且物體P持續被牽引離開自己的軌道平面，在物體自方照到朔望的路徑中平面的傾斜減小，在由朔望到方照的路徑中傾斜同樣地增大。因此物體在朔望時傾斜成為所有傾斜中的最小者，當物體接近另一交點，它回復到接近先前的大小。如果交點在方照後的八分點 （32） （octans），亦即，位於C和A，D和B之間［的八分點］，從最近所解釋的可知，在物體P從任一交點到離此九十度的路徑上，平面的傾斜持續減小；然後在經過接下來的45度，直到下一個方照，傾斜被增大；且此後在路徑上重新經過另一個45度，直到下一個交點，傾斜被減小。所以，傾斜的減小甚於其增加，且因此傾斜在隨後的交點總小於在其前的交點。由相同的理由，當交點在A和D，B和C之間的八分點，傾斜的增大甚於其減小。所以當交點在朔望時，傾斜是所有傾斜中的最大者。在交點自朔望到方照的路徑中，在每一次物體與交點會合時，傾斜減小；且當交點在方照，物體在朔望時，傾斜成為所有傾斜中的最小者，然後它增加的度數與它減小的度數相同，交點與最靠近的朔望會合時，傾斜回復到它原來的大小。 系理11 因為交點在方照時，在物體由交點C經合A到交點D的路徑上，物體P在向著S的方向被持續拉離它自己的軌道平面；在物體由交點D經沖B到交點C的路徑上，方向相反。顯然，在物體自交點C的運動中，它持續從原來的軌道的平面CD退離，直至下一個交點；且因此在這個交點，距離原來那個平面CD最遠，它不在那個平面的另一交點D穿過軌道的平面EST，而在一個與物體S更近的點，此點在原來位置之後成為新的交點。由同樣的論證，在物體從這個交點到下一個交點的路徑中，交點持續退離。因此交點，當位於方照時，持續退離；位於朔望，當運動在寬緯上絲毫不被攝動，交點靜止；在中間位置時，因交點分享兩種條件，緩慢地退離：所以，因為交點總是或者後退，或者靜止，在每一次運行中被攜帶著逆行（in antecedentia）。 系理12 在這些系理中所描述的所有那些誤差在物體P，S的合，較在它們的沖稍大；這是因為生成力NM和ML較大。 系理13 且因為在這些系理中的比例與物體S的大小無關，當物體S被想像得如此之大，使得兩個物體T和P 的系統圍繞它運行，前面所有的論斷被保持。且由物體S的增大，因而向心力增大，由於它引起物體P的誤差，所有那些誤差，在等距時，在這種情形變得比另一種情形，即當物體S圍繞P和T的系統運行時大。 系理14 由於力NM，ML，當物體S很遙遠時，很近似地如同力SK和PT比ST之比的聯合，這就是，如果既給定距離PT，又給定物體S的絕對力，與STcub. 成反比；那些力NM，ML是前面的系理中處理過的誤差和效應的原因。顯然，所有那些效應，如果物體T和P 的系統被保持，只變化距離ST和物體S的絕對力，近似地按照來自物體S的絕對力的正比和距離ST的三次反比的複合比。由此，如果物體T和P 的系統圍繞遙遠的物體S運行，那些力NM，ML及它們的效應（由命題IV系理2和系理6）與循環時間的平方成反比。且由此，如果物體S的大小與它的絕對力成比例，則那些力NM，ML及它們的效應與自物體T觀看遙遠物體S的視直徑的立方成正比，且反之亦然。因為這些比與上面的複合比是一樣的。 系理15 如果保持軌道ESE和PAB的形狀，比例及彼此之間的傾斜角，改變它們的大小，且如果物體S和T的力被保持或者按任意給定的比改變，則這些力（這就是，物體T的力，由它物體P自直線路徑彎折進入軌道PAB，以及物體S的力，由它同一物體P被迫從那個軌道偏離）總按同樣的方式和同樣的比例作用：［如此］必須所有的效應類似且成比例，且效應的時間成比例；這就是，所有直線的誤差如同軌道的直徑，角的誤差與以前一樣；且類似的直線誤差的或者相等的角誤差的時間如同軌道的循環時間。 系理16 因此，如果給定軌道的形狀和彼此之間的傾斜，任意改變物體的大小，力和距離，由一種情形所給的誤差和誤差的時間，能近似地推知在其他任意情形的誤差和誤差的時間。但下面的方法更簡捷。力NM，ML，在其他情況被保持時，如同半徑TP，因此對它們的周期性的影響（由引理X系理2）如同力與物體P的循環時間的平方的聯合。這些是物體P的直線誤差，且自中心T觀察到的角誤差（亦即，［軌道的］最遠點的和交點的運動，以及所有在經度和緯度上的視誤差）在物體P的每次運行中，近似地如同運行時間的平方。這些比與系理14中的比聯合，則在物體T，P，S的任意系統中，當P圍繞較近的T，且T圍繞遙遠的S運行時，物體P的角誤差，從中心T觀察，在那個物體P的每次運行中，與物體P的循環時間的平方成正比，且與物體T的循環時間的平方成反比。由此，［軌道的］最遠點的平均運動比交點的平均運動按照給定的比；且兩運動中的任一個與物體P的循環時間成正比，且與物體T的循環時間的平方成反比。軌道PAB的偏心率和傾斜的增大或者減小不明顯地改變［軌道的］最遠點的和交點的運動，除非過度的增大或者減小。 系理17 由於直線LM有時大於，有時小於半徑PT，設平均力LM用那個半徑PT表示，則這個力比平均力SK或者SN（它能用ST表示）如同長度PT比長度ST。平均力SN或者ST，由它物體T被保持在圍繞S的軌道上，比一個力，由它物體P被保持在它自己圍繞T的軌道上，按照來自半徑ST比半徑PT之比和物體P圍繞T的循環時間比物體T圍繞S的循環時間的二次比的複合比。且由錯比，平均力LM比一個力，由它物體P被保持在它自己環繞T的軌道上（它能使相同的物體P，在相同的循環時間，圍繞任意不動的點T，以距離PT運行）按照那些循環時間的二次比。所以，如果給定循環時間，以及距離PT，則平均力LM被給定；且那個力被給定，由直線PT，MN的類似，力MN亦很近似地被給定。 系理18 對同樣的定律，遵照它物體P圍繞物體T運行，我們設想許多流體物體圍繞同一物體T以離它相等的距離運動；然後由這些物體彼此相連，形成一個圓形的流體環，且與物體T共心；環的每一部分，它們的所有運動按物體P的定律進行，在它們自身與物體S在合和沖較在方照更接近物體T，且運動得更迅速。且這個環的交點，或者它與物體S或者T的軌道的平面的相交部分，在朔望靜止；在朔望之外逆行，且在方照最迅速，在其他位置較緩慢。環的傾斜不斷變化，且它的軸在每一次運行中振動，完成一次運行時，它返回到原來的位置，除了到那種程度的由交點的進動（præcession）所致的攜帶繞行。 系理19 現在設想球形物體T，它由非流體的物質構成，增大並伸展直至這個環，且由環繞球開挖的槽盛以水，球圍繞自己的軸以相同的循環運動均勻地旋轉。這液體由加速力和遲滯力（如同在上一系理中）在朔望較球的表面運動得迅速，在方照較球的表面運動得緩慢，且在槽中如海洋那樣潮漲潮落。水，圍繞球的靜止的中心運行，如果除去物體S的吸引，無以獲得潮漲潮落的運動。球均勻地一直向前運動，同時圍繞自己的中心旋轉（由諸定律的系理5）與球均勻地從其直線路徑被拉離（由諸定律的系理6），情況是一樣的。但加入物體S，由其不等的吸引，隨後水被擾動。因它的吸引對近處的水較大，對遠處的水較小。此外，力LM在方照向下牽引水並使它下降直至朔望；且力KL在朔望牽引相同的那些水向上，阻止其下降，並使它上升直至方照；除了某種程度的潮漲潮落運動對準水槽，以及由於摩擦引起的某種遲滯。 系理20 現在如果環變得堅硬，且球被縮小，潮漲和潮落運動將終止；但那個傾斜的振動運動和交點的進動被保持。設球和環有相同的軸，且在相同的時間完成環繞，又球表面接觸環的內側並貼附於它，然後，球參與環的運動，兩者的聯合體將振動，且交點退行。因為球，正如現在要證明的，在對所有衝擊在承受上沒有差別。環在失去球之後，當交點在朔望時，傾斜角最大。從那裡在交點向方照的前進中，它努力減小其傾斜，由那個努力施加於整個球上一個運動。球保持被施加的運動，直至環由相反的努力並在相反的方向上施加一個新的運動而被除去。按照這種方式，減小傾斜的最大運動發生在交點在方照時，且最小的傾斜角出現在方照後的八分點；然後，最大的下偏運動（rectlinationis motus）發生在朔望，且最大的角在下一個八分點。對除去環的球，情形一樣，如果赤道區域稍高於鄰近極的區域，或者由稍稠密的物質構成。因為在赤道區域過剩的物質代替了環。且即使任意增加這個球的向心力，假設其所有部分趨向下方，按地球上重物的方式，這個系理和上一系理的現象幾乎不變，除了水的最大高度和最小高度的地點不同。現在水被保持和停留在其軌道上，不是由於其自身的離心力，而是它在其中流動的槽。此外，力LM在方照最大地向下牽引水，且力KL或者NM－LM在朔望最大地向上牽引水。這些力合起來在朔望前的八分點停止向下並開始向上牽引水，在朔望後的八分點停止向上並開始向下牽引水。因此，水的最大高度約發生在朔望之後的八分點，最小高度約發生在方照之後的八分點；除了某種程度的由這些力施加在水上的上升和下降運動，或者由於水的惰性而持續稍久，或者由於槽的阻礙而停止得稍快。 系理21 由同樣的理由，臨近球的赤道的過剩物質引起交點後退，增加這些物質，後退增加，減少這些物質，後退減小，移去這些物質，［交點的運動］被除去；如果多於過剩的物質被除去，這就是，如果球的赤道附近比兩極附近或者較低，或者較疏鬆，則引起交點的順向運動。 系理22 且因此，從交點的運動亦可以知道球的構造。即是，如果球的兩極恆定保持原樣，且發生交點的逆向運動，則靠近赤道的物質過剩；若順向運動，則物質缺失。假定一均勻渾圓的球初始在自由的空間中靜止；然後受到傾斜於其表面的任意衝擊的推進，並由此得到部分為圓形的部分為一直向前的一個運動。因為這個球對通過其中心的所有軸沒有差別，對一個軸，較其他任意的軸，既不更傾向於它，亦不更傾向於軸的一個位置；很清楚，球自身的力不改變它的軸，亦不改變軸的傾斜。現在在球的表面與前面相同的地方被一新的任意衝擊傾斜地推進，且由於衝擊到來的早晚絲毫不改變其效果，顯然，由這些相繼施加的兩次衝擊產生相同的運動，好像它們是同時施加的，亦即，好像球由兩者合成的（由諸定律的系理II）簡單力推進產生的相同運動，因此是一圍繞傾斜角給定的軸的簡單的運動。如果第二次衝擊施加在第一個運動的赤道上的任意位置，情況一樣；也如同假定第一次衝擊施加在第二次衝擊在沒有第一次衝擊時產生的運動的赤道上的任意位置，因此，二次衝擊發生在任何位置，這些衝擊產生相同的圓運動，好像它們一起，並同時施加在那些運動的赤道的相交部分，運動由衝擊分別產生。所以，一個同質的和渾圓的球不能保持幾個不同的運動，而是複合那些施加於其上的運動並約減為一個，並盡它的力量，總圍繞一條傾斜角給定且總不變的軸做均勻和簡單的旋轉運動。向心力既不能改變軸的傾斜，又不能改變旋轉的速度。如果球被通過它的中心以及力指向的中心的任意平面平分為兩個半球；那個力總是相等地推動兩個半球，所以球旋轉運動，不向任何方向傾斜。但是假設在極和赤道之間增加新物質，堆積成山的形狀，這些物質持續退離它的運動中心的努力干擾球的運動，並使球的極在其表面漫遊，並圍繞它們自身和它們相對的點畫出圓。極的這一顯著的漫遊（vagatio）不能被糾正，除非把這座山放在兩極中的一極，在這種情形（由系理21）赤道的交點前進；或者放在赤道，在這種情形（由系理20）交點後退；或者最後在軸的另一側增加新物質，由它平衡山的運動，按這種方式，交點或者前進或者後退，一如山和這些新物質更靠近極或者更靠近赤道。 命題LXVII 定理XXVII 假定相同的吸引定律，我說，外面的物體S，環繞裡面的物體P和T的重力的公共的中心O，向那個中心引半徑，與它環繞最裡面且最大的物體T，並向同一物體引半徑相比，畫出的面積與時間更接近成比例，且畫出的軌道更接近焦點在同一中心的一個橢圓的形狀。 因為物體S向著T和P的吸引合成它的絕對吸引，它指向物體T和P的重力的公共的中心O甚於指向最大的物體T；它與距離SO的平方成反比超過與距離ST的平方成反比；仔細考慮易於明確此事。 命題LXVIII 定理XXVIII 假定相同的吸引定律，我說，外面的物體S，環繞裡面的物體P和T的重力的公共的中心O，在假如最裡面且最大的物體一如其他的物體被這些吸引推動時，與假如它或者不受吸引而靜止，或者受到更小或者更大的推動時相比，［由物體S］向那個中心引半徑所畫出的面積與時間更接近成比例，且物體畫出的軌道更接近焦點在同一個中心的一個橢圓的形狀。 本命題按照幾乎與命題LXVI相同的方式被證明，但由於論證冗長，因此我放棄了。下面的考慮就足夠。由上一命題的證明，顯然物體S由聯合的力推向的中心，很接近那兩個物體的重力的公共的中心。如果這個中心與那個公共的中心重合，則三個物體的重力的公共的中心靜止；一方面物體S，另一方面其他兩個物體的公共的中心，圍繞全體的靜止的公共的中心，畫出精確的橢圓。由命題LVIII的系理二比較命題LXIV和LXV的證明，這是顯然的。這個在橢圓上的運動由兩個物體的中心離第三個物體S被吸引的中心的距離而略被攝動。此外，給定三者的公共的中心一個運動，則攝動被增大。因此，當三者的公共的中心靜止時，攝動最小；這就是，當最裡面且最大的物體T按照與其他物體同樣的定律被吸引時；它總變大，當三個物體的那個公共的中心，由於物體T的運動減小，開始運動且受到越來越強的驅動時。 系理 且因此，如果多個較小的物體圍繞一個最大的物體運行，容易推出，如果所有物體以與它們的絕對力成正比，且與距離的平方成反比的加速力相互牽引和推動，且每個軌道的焦點被安放在所有裡面物體的重力的公共的中心上（即，如果第一個同時是最裡面的軌道的焦點在最大且最裡面的一個物體的重心上；第二個軌道的焦點在最裡面的兩個物體的重力的公共的中心上，第三個軌道的焦點在最裡面三個物體的重力的公共的中心上，且如此繼續下去），與如果最裡面的物體靜止並指定為所有軌道的焦點時相比，較小的物體所畫出的軌道更接近橢圓，且所畫出的面積更接近均勻。 命題LXIX 定理XXIX 在多個物體A，B，C，D等的一個系統中，如果任一物體A牽引其他所有物體B，C，D等等，加速力與離牽引物體的距離的平方成反比；且另一物體B也牽引其他物體A，C，D等等，力與離牽引物體的距離的平方成反比：牽引物體A與B的絕對力相互之比如同那些力所屬的物體A，B之比。 因所有物體B，C，D［等等］向著A的加速吸引，在相等的距離，由假設它們彼此相等；類似地，所有物體向著B的加速吸引，在相等的距離，彼此相等。此外，在相等的距離，物體A的絕對的吸引力比物體B的絕對的吸引力，如同所有物體向著A的加速吸引比所有物體向著B的加速吸引，且由是也等於物體B向著物體A的加速吸引比物體A向著物體B的加速吸引。但物體B向著A的加速吸引比物體A向著B的加速吸引，如同物體A的質量比物體B的質量；因為引起運動的力，它們（由定義二，定義七和定義八）如同加速力和被吸引物體的聯合，在這一情形（由運動的第三定律）彼此相等。所以，物體A的絕對的吸引力比物體B的絕對的吸引力，如同物體A的質量比物體B的質量。此即所證 。 系理1 因此，如果A，B，C，D等的一個系統中的每一個物體單獨地牽引所有其他的物體的加速力，與離牽引物體的距離的平方成反比，所有那些物體的絕對的力的相互之比如同物體自身之比。 系理2 由同樣的論證，如果A，B，C，D等的一個系統中的每一個物體單獨地牽引所有其他物體的加速力，與離牽引物體的距離的任意次方成反比或者成正比，或者它由離每一個牽引物體的距離按照任意公共的定律定義；顯然，那些物體的絕對的力如同物體。 系理3 在物體的一個系統中，力按照距離的二次比減小，如果較小的物體環繞最大的一個物體儘可能精確地在橢圓上運行，它們的公共的焦點在那個最大的物體的中心，且向那個最大的物體所引的半徑畫出的面積與時間極接近成比例：則那些物體的絕對的力的相互之比或者精確地或者非常接近地按照物體的比；且反之亦然。由命題LXVIII的系理與本命題的系理1比較，這是顯然的。 解釋 由這些命題我們被引向向心力和那些力慣常指向的中心物體之間的類似。被指向物體的力與這些物體的性質和數量有關是合乎邏輯的，如發生在磁體的情形。且每當這種情形發生，物體的吸引必須這樣計算，指派給物體的每一小部分以適當的力，再總計力的和。這裡，我在廣泛的意義上把「吸引」（attractio）一詞用於物體彼此相互靠近的無論什麼樣的努力，無論那個努力由於物體的作用而發生，或者相互靠近，或者由發射的氣（spiritus）相互推動；或者由以太（æther）或者空氣，或者任意物質的（corporeus）或者非物質的介質的作用，以任何方式推動漂浮在其中的物體彼此靠近。在同樣普遍的意義上，我使用「推動」（impulsus）一詞，因為在這一著作中不考慮力的種類和物理性質，而考慮它們的數量和數學上的比例，如同我們在定義中已申明的。在數學上，應追隨可能被假設的任意條件，研究那些力的數量和比例。然後，當進入物理學，這些比例必須與現象相比較，以此可以知道那些力的什麼條件與每一種類的吸引物體相符。且只是在那個時候，才能更有根據地討論那些力的物理種類，物理原因和物理比例。所以，讓我們看看，其吸引方式由已經說過的小部分構成的球形物體，必須以怎樣的力彼此相互作用，以及隨之而來的是何種運動。