自然哲學的數學原理 · 第X部分 論物體在給定表面上的運動及擺的往復運動

命題XLVI 問題XXXII 假設一種任意種類的向心力，且既給定力的中心又給定一個平面，物體在其上任意地運行，再者許可曲線圖形的求積：需求從給定的一個點，以給定的一個速度，沿在那個平面上的一條給定的直線離去的物體的運動。 設S為力的中心，SC為這個中心離給定的平面的最小距離，物體P從位置P沿直線PZ離去，同一物體Q在自己的軌道上運行，且那個軌道PQR為應求的在給定平面上畫出的軌道。連結CQ，QS，且如果在QS上取SV與向心力成比例，由它物體被拉向中心S，並引VT平行於CQ且交SC於T：力SV被分解（由諸定律的系理II）為力ST，TV；它們中的ST沿垂直於平面的直線拉物體，一點也不改變在這個平面上它的運動。但另一個力TV，沿位置給定的平面作用，物體在給定的平面上直接地被拉向點C，使得那個物體在這個平面上如此運動，好像力ST被除去，且物體僅由力VT在自由空間中圍繞中心C運行。但向心力TV給定，由它物體Q在自由空間中圍繞給定的中心C運行，不但軌道PQR（由命題XLII）被給定，它由物體畫出，而且位置Q被給定，在那裡物體在任意給定的時間將被發現，最後在那個位置Q物體的速度被給定；且反之亦然。此即所求 。 命題XLVII 定理XL 假設向心力與物體離一個中心的距離成比例；則在任意平面上無論怎樣運行的所有物體都將畫出橢圓，且完成運行的時間相等；又，在直線上運動的那些物體來回奔跑，各自往復的循環在相同的時間完成。 因為，保持上一命題的所有情形，力SV，由它在任意平面PQR上運行的物體Q被拉向中心S，如同距離SQ；且因此，由於SV和SQ，TV和CQ成比例，力TV，由它在給定軌道平面上的物體被拉向點C，如同距離CQ。所以力，由它位於平面PQR上的物體被拉向點C，按照距離的比等於一個力，由它物體從各個方向被拉向中心S；所以在相同的時間，物體在相同的圖形，在任意平面PQR圍繞點C運動，一如它們在自由空間中圍繞中心S運動；且因此（由命題X系理2和命題XXXVIII系理2）總在相等的時間，無論它們在那個平面上圍繞中心C畫出橢圓，或者在那個平面上在過中心C所引的直線上完成循環的往復運動。此即所證 。 解釋 物體在曲面上的上升和下降與這些［我們剛討論過的運動］密切相關。設想在一個平面上畫出的曲線，然後它們圍繞任意穿過力的中心的給定軸轉動，且由這一轉動畫出曲面；物體如此運動，使得它們的中心總在這些曲面上被發現。如果那些物體傾斜地上升和下降，往返奔跑；它們的運動在穿過軸的平面上進行，因此在曲線上進行，由曲線的轉動產生了那些曲面。所以在這些情形，考慮在那些曲線上的運動就夠了。 命題XLVIII 定理XVI 如果一隻輪子立於一個球的外表面並與此面成直角，且它在［球面的］一個最大圓上如輪子滾動那樣前進；曲線的長度，它由輪子邊緣上任意給定的一點從該點與球接觸時起做出（可稱之為旋輪線或者圓外旋輪線），比一段弧的一半的正矢的二倍，球在輪子前進的時間接觸它，如同球的和輪子的直徑之和比球的半直徑。 命題XLIX 定理XVII 如果一隻輪子立於一個凹球的內表面並與此面成直角，且它在［球面的］一個最大圓上滾動著前進；曲線的長度，它由輪子邊緣上任意給定的一點從該點與球接觸時起做出，比一段弧的一半的正矢的二倍，球在輪子前進的整個時間接觸它，如同球的和輪子的直徑之差比球的半直徑。 設ABL為球，C為它的中心，輪子BPV站立在它之上，E為輪子的中心，B為切點，且給定點P在輪子的邊緣。想像這隻輪子在最大圓ABL上自A經B向L前進，在它的前進期間滾動使得弧AB，PB彼此總相等，且那個在輪子邊緣給定的點P在此期間畫出曲線路徑AP。設AP是自輪子在A接觸球之後畫出的整個曲線路徑，則這條路徑AP的長度比弧 PB的正矢的二倍，如同2CE比CB。因直線CE（如果需要就延長之）交輪子於V，又連結CP，BP，EP，VP，且在CP的延長上落下成直角的VF。設切圓於P和V的PH，VH交於H，又PH截VF於G，再往VP上落下成直角的GI，HK。以同樣的中心C和任意間隔畫圓nom截直線CP於n，輪子的邊緣BP於o，又截曲線路徑AP於m；又以中心V和間隔Vo畫圓截VP的延長於q。 因為輪子在前進中總圍繞切點B滾動，顯然直線BP垂直於那條曲線AP，它由輪子上的點P畫出，因此直線VP與這條曲線在點P相切。逐漸地增大或者減小圓nom的半徑並最終使它等於距離CP；由於正消失的圖形Pnomq與圖形PFGVI相似，正消失的短線Pm，Pn，Po，Pq的最終比，亦即，曲線AP，直線CP，圓弧BP，以及直線VP瞬時變化率，分別與直線PV，PF，PG，PI的相同。但由於VF與CF且VH與 CV垂直，所以角HVG，VCF相等；又角VHG（由於四邊形HVED在V和P是直角）等於角CEP，三角形VHG，CEP相似；且由此得出EP比CE如同HG比HV或者HP且如同KI比KP，又由合比或者分比，CB比CE如同PI比PK，後項加倍得CB比2CE如同PI比PV，且如同Pq比Pm。所以直線VP的減量，亦即，直線BV－VP的增量比曲線AP的增量按照給定的比CB比2CE，且所以（由引理IV的系理）長度BV－VP和AP，它們被那些增量生成，按照相同的比。但是，以BV作為半徑，VP為角BVP或者 BEP的餘弦，且因此BV－VP是同一個角的正矢：所以在這個輪子上，它的半徑為 BV，BV－VP是弧 BP的正矢的二倍。所以，AP比弧 BP的正矢的二倍如同2CE比CB。此即所證 。 為了區別起見，我們稱前一個命題中的線AP為球外旋輪線，後一命題中的另一線為球內旋輪線。 系理1 因此，如果整個旋輪線ASL被畫出且在S被平分，則部分PS的長度比長度VP（它是角VBP的正弦的兩倍，以EB作為半徑）如同2CE比CB，因此按照給定的比。 系理2 且旋輪線的半周長AS等於一條直線，它比輪子的直徑BV如同2CE比CB。 命題L 問題XXXIII 使一個擺的物體在一條給定的旋輪線上振動。 在以C為中心畫出的球QVS內，設被給定的旋輪線QRS平分於R且它的端點Q和S在兩側與球面相交。引CR平分弧QS於O，且延長它至A，使得CA比CO如同CO比CR。以C為中心，CA為間隔畫外球DAF，且在這個球內由一隻輪子，它的直徑為AO，畫出兩條半旋輪線AQ，AS，它們與內球在Q和S相切並與外球在A相交。由那個點A，以長度等於AR的細線APT懸掛物體T，且它如此在半旋輪線AQ，AS之間振動，每次擺離開垂線AR，細線的上面部分AP貼附在運動朝向的那條半旋輪線APS上，且圍繞著它彎曲如繞阻礙，又細線的其餘部分PT沒有被半旋輪線阻礙伸展成直線；則重物T在給定的旋輪線QRS上振動。此即所作 。 因為設細線PT既與旋輪線QRS交於T，又與圓QOS交於V，再引［直線］CV；且對細線的直線部分PT，自端點P和T豎立垂線BP，TW，交直線CV於B和W。顯然，從作圖和相似圖形AS，SR的生成，那些垂線PB，TW從CV上截下的長度VB，VW等於輪子的直徑OA，OR。所以TP比VP（它是角VBP的正弦的二倍，以 BV作為半徑）如同BW比BV，或者AO+OR比AO，亦即（因CA比CO，CO比CR，由分比，與AO比OR成比例）如同CA+CO比CA，或者，如果BV被平分於E，如同2CE比CB。因此（由命題XLIX系理1）細線的直線部分PT的長度總等於旋輪線的弧PS，且整條細線APT總等於旋輪線的半弧APS，這就是（由命題XLIX系理2）長度AR。且所以，反之，如果細線之長總保持與長度AR相等，點T在給定的旋輪線QRS上運動。此即所證 。 系理 細線AR等於半旋輪線AS，且因此比外球的半直徑AC所具有的比與相似的那條半旋輪線SR比內球的半直徑CO所具有的比相同。 命題LI 定理XVIII 如果向心力從各個方向趨向一個球的中心C，在每個位置如同這個位置離中心的距離，且只有這個力推動物體T在旋輪線QRS的邊緣上振動（按剛才所描述的方式）：我說無論振動如何不等，［振動］時間是相等的。 因為設在旋輪線的無限延長的切線TW上落下垂線CX，並連結CT。因為向心力，由它物體T被推向C，如同距離CT，設這個力（由諸定律的系理II）被分解為分量CX，TX，其中的CX通過自P直接地推動物體而伸展細線PT，由於線的抵抗而完全中止，不產生其他效果；但另一分量TX，橫向或者向X推動物體，物體在旋輪線上的運動直接被加速；顯然物體的加速度，它與加速力成比例，在每一時刻如同長度TX，亦即，由於CV，WV給定，且TX，TW與它們成比例，如同長度TW，這就是（由命題XLIX系理1）如同旋輪線的弧TR的長度。所以，兩個擺APT，Apt被不等地引離垂線AR並同時放開，它們的加速度總如同待要畫出的弧TR，tR。但在運動開始時所畫出的部分如同加速度，這就是，如同在開始時待要畫出的總的弧，且所以等候畫出的部分以及尾隨的加速度，與這些部分成比例，因此同樣如同整個的弧；且如此繼續。所以，加速度，因此產生的速度和以這些速度畫出的部分，以及待要畫出的部分，總如同整個弧；且所以待要畫出的弧保持彼此之間的給定的比，並同時消失，亦即，兩個振動物體同時到達垂線AR。又因為，另一方面，擺從最低點R上升，由同樣的旋輪線弧做後退的運動，在每個位置被同樣的力所遲滯，由它們物體在下降時被加速，顯然，它們通過同樣的弧上升和下降的速度是相等的，且因此在相等的時間發生；所以，由於位於垂線兩側的兩個旋輪線的部分RS，RQ相似且相等，兩個擺總在相等的時間完成全振動以及半振動。此即所證 。 系理 力，由它物體T在旋轉線上任意的位置T被加速或者遲滯，比在最高位置S或者Q處同一物體的整個重量，如同旋輪線的弧TR比它的弧SR或者QR。 命題LII 問題XXXIV 確定擺在各個位置的速度，和時間，在此期間整個振動以及各個振動部分被完成。 以任意的中心G，等於旋輪線的弧RS的間隔畫被半直徑GK平分的半圓HKM。且如果向心力，它與位置離中心的距離成比例，趨向中心G，在圓周HIK上的向心力等於在球QOS的圓周上趨向它自己的中心的向心力；又在擺從最高位置S離去的同時，另一物體L自H向G墜落。因為力，它們在開始時推動物體，是相等的，且與將要畫出的空間總成比例，由此，如果TR和LG相等，在位置T和L的力相等；顯然那些物體在開始時畫出相等的空間ST，HL，於是此後受到相等的推動，並畫出相等的空間。所以（由命題XXXVIII）時間，在此期間物體畫出弧ST，比一次振動的時間，如同弧HI，物體H前進到L的時間，比半圓周HKM，物體H前進到M的時間。又擺的物體在位置T的速度比它自己在最低位置R的速度，（這就是，物體H在位置L的速度比它自己在位置G的速度，或者線HL的瞬時增量比線HG的瞬時增量。而弧HI，HK以均勻的流 （27） （fluxus）增加）如同縱標線LI比半徑GK，或者如同 比SR。由此，因為在不等的振動中，相等時間所畫出的弧與振動的整個弧成比例，從給定的時間，可普遍地得到在振動中的速度和所畫出的弧。這就是首先要找的。 現在設擺的物體在不同的球內所畫出的不同的旋輪線上振動，它們的絕對力也不相同。又，如果任意球QOS的絕對力被稱為V，加速力，由它在這個球的圓周上的擺被推動，當它開始直接朝向球的中心運動時，如同擺的物體離那個中心的距離和球的絕對力的聯合，這就是，如同CO×V。因此短線HY，它如同這個加速力，在給定的時間被畫出；而且，如果豎立成直角的YZ交圓周於Z，初生成的弧HZ表示那個給定的時間。但是這條初生成的弧HZ按照矩形GHY的二分之一次比，且因此如同 。所以在旋輪線QRS上一次完整振動的時間（因為它與半圓周HKM成正比，半圓周HKM表示那個完整的振動，且與弧HZ成反比，弧HZ類似地表示給定的時間）與GH成正比且與 成反比，這就是，由於GH與SR相等，如同√ ，或者（由命題L的系理）如同√ 。所以，在所有球和旋輪線的振動中，無論什麼絕對力使然，它們按照來自細線的長度的二分之一次正比，和懸掛點與球的中心之間的距離的平方根的反比，以及球的絕對力的二分之一次反比的複合比。此即所求 。 系理1 因此也可以相互比較物體振動、下落和環繞的時間。因為，如果輪子，由它球內旋輪線被畫出，其直徑被指定等於球的半直徑，旋輪線變成穿過球的中心的直線，且現在振動是在這條直線上的下降和接著的上升。因此不僅從任意位置下降到中心的時間被給定，而且等於它的時間亦被給定，在此期間物體以任意距離圍繞球的中心均勻地運行，畫出四分之一圓的弧。因為這段時間（由第二種情形）比在任意旋輪線QRS上的半振動的時間，如同1比√ 。 系理2 因此也可獲得雷恩 和惠更斯 關於普通旋輪線的發現。因為如果球的直徑被增大以至無窮，它的球面變為平面，向心力沿垂直於這個平面的直線均勻地推動物體，且我們的旋輪線變為普通的旋輪線。在這種情形，旋輪線的弧的長度，它在那個平面和正畫出的點之間，等於四倍的輪子在同一平面和正畫出的點之間的弧的一半的正矢；正如雷恩 所發現的。且在兩條此類的旋輪線之間的擺在相似且相等的旋輪線上等時地振動，正如惠更斯 所證明的。而且重物在一次振動時間的下落是惠更斯 曾指出的。 但是，由我們證明的命題適合地球的真實情況，因為輪子在她的最大圓上行進，插入輪子邊緣的釘子的運動畫出球外旋輪線；擺懸掛在地下的礦井和洞中，它必須在球內旋輪線上振動，使得所有的振動成為等時的。因為重力（正如將要在第三卷中證明的）在離開地球的表面前進時的減小，事實上向上時按照離地球的中心的距離的二次比，但是向下時按照［離地球的中心的距離的］簡單比。 命題LIII 問題XXXV 許可曲線圖形的求積，需求力，由它們物體在給定的曲線上所做的振動總是等時的。 設物體T在任意［曲］線STRQ上振動，它的軸是從力的中心C穿過的AR。引TX，它與那條曲線相切於物體所在的任意位置T，且在這條切線TX上取TY等於弧TR。因為那條弧的長度從圖形的求積，由通常的方法可以知道。由點Y引直線YZ垂直於切線。引CT交那條垂線於Z，則向心力與直線TZ成比例。此即所求 。 因為如果力，物體被它從T向C牽引，由取得與它成比例的直線TZ表示，這個力被分解為力TY，YZ；它們中的YZ沿細線PT的長度［方向］牽引物體，絲毫不改變它的運動，但另一個力TY直接地加速或者直接地遲滯在曲線STRQ上的它的運動。所以，由於這個力如同要畫出的路徑TR，在畫出兩個成比例的［一個較大的和一個較小的］部分的振動中的加速或者遲滯，總如同那些部分，且所以使得那些部分同時被畫出。但物體，它們同時畫出總與整體成比例的部分，也將同時畫出整體。此即所證 。 系理1 因此，如果物體T，它懸掛在始自中心A的筆直的細線AT上，畫出圓弧STRQ，且在此期間沿向下的平行線它受某個力的推動，這個力比均勻的重力，如同弧TR比它的正弦TN：則每一振動的時間相等。因為，由於TZ，AR平行，三角形ATN，ZTY是相似的；且所以TZ比AT如同TY比TN；這就是，如果均勻的重力由給定的長度AT表示；力TZ，由它振動成為等時的，比重力AT，如同等於TY的弧TR比那個弧的正弦TN。 系理2 且所以在時鐘中，如果力由機械施加於擺以維持運動，它與重力如此複合使得向下的整個力總如同一條直線，它由弧TR和半徑AR之下的矩形除以正弦TN產生，則所有的振動是等時的。 命題LIV 問題XXXVI 許可曲線圖形的求積，需求時間，在此期間物體由於任意的向心力在任意曲線上上升和下降，曲線畫在穿過力的中心的平面上。 設物體自任意的位置S下落，經過在從力的中心C穿過的一個平面上給定的任意的曲線STtR。連結CS並把它分成無數相等的部分，且設Dd為那些部分中的一個。以C為中心，以間隔CD，Cd畫圓DT，dt，交曲線STtR於T和t。既給定向心力的定律，又給定物體從那裡落下的高度CS；（由命題XXXIX）物體在其他任意高度CT的速度被給定。然而，時間，在此期間物體畫出短線Tt，如同這條短線的長度，亦即，與角tTC的正割成正比，且與速度成反比。設與這段時間成比例的縱標線DN過點D垂直於直線CS，又由於Dd給定，矩形Dd×DN，這就是面積DNnd，與同一時間成比例。所以，如果PNn是點N持續接觸的那條曲線，且它的漸近線是垂直立於直線CS上的直線SQ：面積SQPND與物體下落畫出［曲］線ST的時間成比例；且所以由那個面積的求得，時間被給定。此即所求。 命題LV 定理XIX 如果物體在任意的曲面上運動，它的軸穿過力的中心，並從物體向軸上落下垂線，再從軸上任意給定的點引等於垂線的平行線：我說那條平行線畫出的面積與時間成比例。 設BKL為一曲面，物體T在它上面運行，STR為一條軌道，它由物體在同一曲面上畫出，軌道始於S，OMK為曲面的軸，直線NT自物體垂直於軸，自點O所引的［直線］OP平行且等於它，點O在軸上被給定；軌道的射影（vestigium）AP由旋轉的線OP上的點P在平面AOP上畫出；射影的開端A對應於點S；TC是自物體向中心引的直線；它的部分TG與向心力成比例，由這一向心力物體被推向中心C；直線TM垂直於曲面；它的部分TI與壓力成比例，物體以它推這曲面，物體亦被曲面推向M；直線PTF平行於軸且穿過物體，再自點G和I落下垂直於那條平行線PHTF的直線GF，IH。現在，我說，面積AOP，它由半徑OP自運動開始起畫出，與時間成比例。因為力TG（由諸定律的系理Ⅱ）被分解為力TF，FG；且力TI分解為力TH，HI；但是力TF，TH沿垂直於平面AOP的直線PF作用於物體，對物體運動的改變僅在與這個平面垂直的方向上。因此，它的運動只限於沿平面的位置發生時；這就是，點P的運動，由它軌道在這個平面上的射影被畫出，與如同力TF，TH被除去一樣，且物體只受力FG，HI的推動，這就是，與如同物體在平面AOP上，向心力趨向中心O且等於力FG和HI的合力，畫出曲線AP一樣。但被這樣的力畫出的面積AOP（由命題I）與時間成比例。此即所證 。 系理 由同樣的論證，如果一個物體，由趨向在任意給定的同一直線CO上的兩個或者多個中心的力推動，在自由空間畫出任意的曲線ST；面積AOP總與時間成比例。 命題LVI 問題XXXVII 許可曲線圖形的求積，且既給定趨向給定中心的向心力的定律，又給定它的軸穿過那個中心的曲面；需求軌道，當物體在那個曲面上從給定的位置，以給定的速度沿給定的方向離去時，在同一曲面上畫出。 保持上一命題的作圖，設物體T從給定的位置S沿在需求的軌道STR上位置給定的直線離去，在平面BLO上它的射影是AP。且由物體在高度SC上的給定的速度，在任意其他高度TC上它的速度被給定。以此速度物體在給定的極短時間畫出軌道自身的一個小部分Tt，設它的射影Pp在平面AOP上被畫出。連結Op，且以T為中心，Tt為間隔在曲面上所畫的小圓在平面AOP上的射影為橢圓pQ。又由於小圓的大小Tt給定，它離軸CO的距離TN或者PO亦給定，那個橢圓的種類和大小亦被給定，正如它相對於直線PO的位置。又因為面積Pop與時間成比例，因此由給定的時間而被給定，角POp亦被給定。且因此橢圓和直線Op的公共的相交部分p被給定，同時軌道的射影APp截直線OP的角OPp被給定。由此（比較命題XLI與它的系理2）確定曲線APp的方式顯然可見。然後由每個射影點P，往平面AOP豎立垂線PT交曲面於T，軌道上的每個點T被給定。此即所求 。