自然哲學的數學原理 · 第IX部分 論物體在運動著的軌道上的運動及拱點的運動

命題XLIII 問題XXX 使得一個物體能在圍繞力的中心轉動的任意軌道上運動，一如另一物體在相同的靜止的軌道上的運動。 在位置給定的軌道VPK上，設運行的物體P由V向K前進。自中心C總引Cp，它等於CP，作角VCp與角VCP成比例；且面積，它由線Cp畫出，比面積VCP，它由線CP同時畫出，如同畫出線Cp的速度比畫出線CP的速度；這就是，如同角VCp比角VCP，且因此按照給定的比，所以與時間成比例。因為面積，它由線Cp在不動平面上畫出，與時間成比例，顯然一個物體，在適量向心力的作用下，能與點p一起在那條曲線上運行，曲線由同一點p以剛才說明的方式在不動平面上畫出。使角VCu與角PCp，直線Cu與直線CV，且圖形uCp與圖形VCP相等，則總在p的物體在轉動的圖形uCp的邊緣上運動，在它畫於弧up的相同時間，另一個在靜止的圖形VPK上的物體P能畫出相似且相等的弧VP。所以，由命題VI的系理五，向心力被找到，由它物體能在那條曲線上運行，曲線由點p在不動的平面上畫出，問題得解。此即所作 。 命題XLIIV 定理XIV 力之差，由它們一個物體能在靜止的軌道上，且另一物體能在相同的轉動著的軌道上做相等的運動，按照它們的公共的高度的三次反比。 令靜止的軌道的部分VP，PK與轉動著的軌道的部分up，pk相似且相等；且點P，K［之間］的距離被假設為極小。自點k在直線pC上落下垂線kr，且延長它至m，使得mr比kr如同角VCp比角VCP。因為物體的高度PC和pC，KC和kC總相等，顯然，直線PC和pC的增量或者減量總相等，且因此，如果在位置P和p的物體中的每個運動被分解為（由諸定律的系理II）兩個運動，其中之一朝向［力的］中心，或者沿直線PC，pC確定，且另一橫過前者，並沿與直線PC，pC垂直的方向；向著中心的運動總相等，又物體p的橫向運動（motus transversus）比物體P的橫向運動，如同直線pC的角運動比直線PC的角運動，亦即，如同角VCp比角VCP。所以在相同的時間，在此期間物體P由它自己的兩個運動到達點K，物體p由向著中心的相等的運動同等地由p向C運動，且因此在那段時間結束時它在直線mkr上的某處被發現，它經過點k與直線pC垂直；［物體p］由橫向運動獲得的一段離開直線pC的距離，比另一個物體P獲得的離開直線PC的距離，如同物體p的橫向運動比另一個物體P的橫向運動。由是，因kr等於物體P獲得的離開直線PC的距離，mr比kr如同角VCp比角VCP，這就是，如同物體p的橫向運動比物體P的橫向運動，當那段時間結束時物體p在位置m被發現是顯然的。這些事情會是如此，當物體p和P沿直線pC和PC做相等的運動，因此沿那些線推動它們的力相等。再取角pCn比角pCk如同角VCp比角VCP，又設nC等於kC，當那段時間結束時，物體p在n被發現；且因此它被推動的力大於物體P被推動的力，只要角nCp大於角kCp，亦即，如果軌道upk或者前行，或者以大於二倍直線CP被攜帶著前行的速度退行；如果軌道較慢地退行，則此力較小。且力之差如同位置的間隔mn，在給定的那段時間，那個物體p由力之差的作用移動應經過它。假設以C為中心，間隔Cn或者Ck畫圓截直線mr，mn的延長於s和t，則矩形mn×mt等於矩形mk×ms，且因此mn等於（mk×ms）/（mt）。但是，因時間給定，三角形pCk，pCn的大小被給定，kr和mr，同樣它們的差mk及和ms與高度pC成反比，且因此矩形mk×ms與高度pC的平方成反比。又mt與 mt成正比，亦即，如同高pC。這些是初生成的線的初始比；且因此（mk×ms）/（mt），亦即初生成的短線mn，以及與它成比例的力之差與高度pC的立方成反比。此即所證 。 系理1 因此，在位置P和p，或者K和k的力的差，比一個力，由它在物體P在不動的軌道上畫出弧PK的相同時間能使一個物體以圓周運動從R運行到K，如同初生成的短線mn比初生成的弧RK的正矢，亦即如同（mk×ms）/（mt）比（rkq ）/（2kC），或者如同mk×ms比rk的平方；這就是，如果按照角VCP比角VCp所具有的比取給定的量F，G，如同GG－FF比FF （26） 。且所以，如果以C為中心，任意的間隔CP或者Cp畫出的圓扇形等於總面積VPC，它由在不動的軌道上運行的物體P向中心引的半徑在任意時間畫出：力之差，由於它們物體P在一不動的軌道上運行且物體p在一運動的軌道上運行，比向心力，由它另一物體向中心引的半徑在面積VPC被畫出的相同時間，能均勻地畫出那個扇形，如同GG－FF比FF。因為那個扇形和面積pCk的彼此之比如同它們被畫出的時間。 系理2 如果軌道VPK是一個橢圓，它有焦點C和最高的拱點V；並且設橢圓upk與它相似且相等，於是pC總等於PC，且角VCp比角VCP按照G比F的給定之比；把高度PC或者pC寫作A，又設橢圓的通徑為2R：則力，由它一個物體能在運動的橢圓上運行，如同（FF/AA）+（RGG-RFF）/（Acub. ），且反之亦然。因為力，由它一個物體在不動的橢圓上運行，用量（FF）/（AA）表示，則在V的力是（FF）/（CVquad.） 。但是力，由它能使一個物體以在橢圓上運行的物體在V點的速度在距離為CV的圓上運行，比一個力，由它在橢圓上運行的物體在拱點V被推動，如同橢圓的通徑之半比圓的半直徑CV，且因此值為（RFF）/（CVcub. ）；則力，它比這個值如同GG－FF比FF，其值為（RGG-RFF）/（CVcub. ）：這個力（由本命題的系理1）是在V的力之差，由它們物體P在不動的橢圓VPK上運行，且物體p在運動的橢圓upk上運行。因為（由本命題）那個差在其他任一高度A比它自身在高度CV如同1/（Acub. ）比1/（CVcub. ），同樣的差在每一高度A的值為（RGG-RFF）/（Acub. ）。所以對力（FF）/（AA），由它物體能在不動的橢圓VPK上運行，加上超出的（RGG-RFF）/（Acub. ）；則合成的總力是FF/AA+（RGG-RFF）/（Acub. ），由它物體能在相同的時間在運動的橢圓upk上運行。 系理3 由同樣的方式得出，如果不動的軌道VPK是中心在力的中心C的橢圓；假設運動的橢圓upk與它相似，相等且同中心；又設2R為這個橢圓的主通徑，且2T為橫截徑或者長軸，角VCp比角VCP總如同G比F；力，由它們物體能在相等的時間在不動的和運動的橢圓上運行，分別如同（FFA）/（Tcub. ）和（FFA）/（Tcub. ）+（RGG-RFF）/（Acub. ）。 系理4 並且一般地，如果物體的最大高度CV被稱為T，且軌道VPK在V所具有的曲率半徑，亦即同等彎曲的圓的半徑，被稱為R，且向心力，由它一個物體能在任意不動的軌道VPK上運行，在位置V被說成是（VFF）/（TT），在另一位置P被說成是不定的X，高度CP被稱為A，並按照角VCp比角VCP的給定之比取G比F：則向心力，由它同一個物體能在相同的時間在有旋轉運動的相同的軌道upk上完成相同的運動，如同力的和X+（VRGG-VRFF）/（Acub. ）。 系理5 所以，給定在任意不動的軌道上物體的運動，它的圍繞力的中心的角運動（motus angularis）能按照給定的比增大或者減小，且因此可以找到新的不動的軌道，物體以新的向心力在其上運行。 系理6 所以，如果向位置給定的直線CV豎立長度不確定的垂線VP，且連結CP，又引Cp等於它，作角VCp，它比角VCP按照給定的比；力，由它物體能在那條曲線Vpk上運行，點p持續與曲線接觸，與高度Cp的立方成反比。因為物體P，由惰性力，在沒有其他力推動時，能在直線VP上均勻地前進。被加上的力趨向中心C，與高度CP或者Cp的立方成反比，且（由剛才證明過的）物體從那個直線運動被偏離為在曲線Vpk上的運動。但是這條曲線Vpk與在命題XLI系理3中所發現的那條曲線VPQ是一樣的，在那裡我們說物體在這種類型的力的吸引下傾斜上升。 命題XLV 問題XXXI 軌道與圓相差甚小，需求拱點的運動。 這一問題被算術地解決，作軌道，它由在運動著的橢圓（如同在上面命題中的系理2或者系理3）上運行的物體在不動的平面上畫出，接近要求的拱點的軌道的形狀，並尋找那個物體在不動的平面上所畫軌道的拱點。但軌道獲得同樣的形狀，如果它們被畫出的向心力相互比較，在相同的高度成比例。設點V為最高的拱點，且把最大高度CV寫為T，其他任意高度CP或者Cp寫為A，高度差CV－CP寫為X；而且力，由它一個物體在圍繞自己的焦點轉動的橢圓上運動（正如在系理2中），在系理2中所求的如同（FF/AA）+（RGG-RFF）/（Acub. ），亦即如同（FFA+RGG-RFF）/（Acub. ），用T－X代替A，則如同（RGG-RFF+TFF-FFX）/（Acub. ）。其他任意的向心力類似地約化為一個分數，其分母為Acub .，且其分子通過歸併同類項做成類似。此事由例子說明。 例1.我們假設向心力是均勻的，因此如同（Acub. ）/（Acub. ），或者（在分子中A寫作T－X）如同（Tcub. -3TTX+3TXX-Xcub. ）/（Acub. ）；再歸併分子中對應的項，即已給定的與已給定的一起且未給定的與未給定的一起，成為RGG－RFF+TFF比Tcub .如同－FFX比－3TTX+3TXX－Xcub. ，或者如同－FF比－3TT+3TX－XX。現在由於軌道被假設與圓極為近似；讓軌道與圓重合，則由於R，T成為相等，因此X無限減小，最終比為RGG比Tcub. 如同－FF比－3TT，或者GG比TT如同FF比3TT，又由更比GG比FF如同TT比3TT，亦即，如同1比3；因此，G比F，這就是角VCp比角VCP，如同1比√3。所以，因為在不動的橢圓上的物體，自上拱點下降到下拱點走完180度的角（據我如此說）VCP；在運動的橢圓上的另一個物體，在我們所處理的不動的軌道［面］上，自上拱點下降到下拱點走完180/（√3）度的角VCp：它如此是由於這個軌道，它由物體在均勻向心力的推動下畫出，與那個軌道的接近，它由另一物體在轉動的橢圓上運行時在靜止的平面上畫出。由上面項的歸併導出這些軌道的相似性，不是普遍的，而僅在它們與圓的形狀極為接近的時候。所以物體由均勻的向心力在很接近圓形的軌道上運行，在上拱點和下拱點之間總走完180/（√3）度，或者103度55分23秒的中心角；當它一次走完這個角時，它從上拱點到達下拱點，且當它再一次走完相同的角時，它由此地返回到上拱點；並如此繼續以至無窮。 例2.我們假設向心力如同高度A的任意次冪An－3 或者（An ）/（A3 ）；這裡n－3和n表示任意的冪指數：整數或者分數，有理數或者無理數，正數或者負數。那個分子An 或者 由我們的收斂級數方法化為不定級數，成為Tn －nXTn-1 +[（nn-n）/2]（XXTn-2 &c）。並用它的項與另一個分子的項RGG－RFF+TFF－FFX比較，成為RGG－RFF+TFF比Tn 如同－FF比－nTn-1 +[（nn-n）/2]（XTn-2 &c）。並取當軌道接近圓的形狀時的最後比，得RGG比Tn 如同－FF比－nTn-1 ，或者GG比Tn-1 如同FF比nTn-1 ，又由更比，GG比FF如同Tn-1 比nTn-1 ，亦即1比n；且因此G比F，亦即角VCp比角VCP，如同1比√n。因為角VCP，在橢圓上的物體從上拱點下降到下拱點走完它，為180度；被走完的角VCp，當物體在由任意與An－3 成比例的向心力畫出的很接近圓形的軌道上，由上拱點下降到下拱點時，等於180/（√n）度的角；且這個角重複時，物體由下拱點返回到上拱點，並如此繼續以至無窮。如是，如果向心力如同物體離中心的距離，亦即，如同A或者A4 /A3 ，n等於4且√n等於2；且因此上拱點和下拱點之間的角等於 度或者90度。所以，物體走完一次環繞的四分之一部分，它到達下拱點，再走完另一個四分之一部分，到達上拱點，且如此交替以至無窮。它亦由命題X所證明。因為這一向心力推動物體在不動的橢圓上運行，它的中心在力的中心上。但如果向心力與距離成反比，亦即與1/A或者A2 /A3 成正比，n等於2，且因此上拱點和下拱點之間的角為180/（√2）度或者127度16分45秒，所以物體以如此的力運行，這個角持續重複，它從上拱點到達下拱點再由下拱點到達上拱點，輪流交替永無窮期。再者，如果向心力與高度的十一次冪的平方根的平方根成反比，亦即與 成反比，且因此與 成正比，或者與 成正比，n等於14且 度等於360度，所以物體自上拱點離去，並由此持續下降，當它完成整個環繞時到達下拱點，然後持續下降完成另一個完整的環繞，又返回到上拱點：且如此交替永無窮期。 至此我們論及物體在軌道上的運動，它的平面從力的中心穿過。其餘的我們亦需確定物體在偏心的平面上的運動。因為從事重物運動著述的作者們，慣常考慮重物的上升與下降，既在任意給定的傾斜平面上，又在垂直方向上；且由同樣的理由，在這裡我們考慮在任意力的作用下，在偏心的平面上物體趨向中心的運動。但我們假設平面極為平順且完全潤滑，不遲滯物體。此外，在這些證明中，代替物體位於其上並與之相切的平面，我們利用平行於它們的平面，物體的中心在平面上運動並由運動畫出軌道。且由同樣的定律，我們隨後確定物體在曲面上完成的運動。