自然哲學的數學原理 · 第VIII部分 論求軌道，物體在任意種類的向心力推動下在其上運行

命題XL 問題XIII 如果一個物體，它在任意向心力的作用下，無論怎樣運動，且另一物體直線上升或者下降，又若在某一高度相等的情形它們的速度相等，則在所有相等的高度它們的速度相等。 設某一物體自A經D，E向中心C下落，且另一物體自V沿曲線VIKk運動。以C為中心，任意間隔畫同心圓DI，EK，交直線AC於D和E，且交曲線VIK於I和K。連結IC交KE於N，又在IK上落下垂線NT；再設圓周的間隔DE或者IN極小，且物體在D和I有相等的速度。因為距離CD，CI相等，在D和I的向心力相等。這些力用相等的短線DE，IN表示；且如果單個力IN（由諸定律的系理II）被分解為兩個力NT和IT，力NT沿與物體的路徑ITK垂直的直線NT作用，絕不改變物體在那個路徑上的速度，但是只把物體拉離直線路徑，使物體持續從軌道的切線偏轉，並沿曲線路徑ITKk前進。那個力完全用於產生這種作用；另一個力IT沿物體的路徑作用，完全用於加速，在給定的極短時間內產生的加速度與自身成比例。因此在相等的時間物體在D和I所引起的加速度（如果取初生成的直線DE，IN，IK，IT，NT的最初比）如同DE，IT；但在不相等的時間它們如同那些線和時間的聯合。但是時間，在此期間DE和IK被畫出，由於速度相等，如同畫出的路徑DE和IK，且因此加速度，當物體經過線DE和IK時，如同DE和IT，DE和IK的聯合，亦即如同DEquad. 和矩形IT×TK。但矩形IT×TK等於IN的正方形，這就是，等於DEquad. ，所以物體在由D和I到E和K的路徑上產生的加速度相等。因此物體在E和K的速度相等。又由同樣的論證，在其後相等的距離總遇到相等的［速度］。此即所證 。 但是又由同樣的論證，物體離中心的距離相等且等速，在升高到相同的距離時受到相等的遲滯。此即所證 。 系理1 因此，如果一個物體無論是懸在線上做振動或者被極為平順和完美潤滑的阻礙保持在曲線上運動，另一個物體直線上升或者下降，且如果它們的速度在某相同的高度相等：則它們的速度在其他任意相等的高度相等。因為懸掛物體的線或者極潤滑的容器的阻礙產生與橫向力NT相同的作用。物體既不被它們遲滯也不被它們加速，而只是被迫離開直線路徑。 系理2 因此，如果量P為離中心的最大距離，對於它無論振動或者在任意軌道上運行的物體，在軌道上的任意一點以它所具有的速度向上拋射時能上升到［這個距離］；且量A為軌道上另外任意一點離中心的距離，向心力總如同A的任意次冪An－1 ，其指數n－1是任意數n減小1；則物體在每一高度A的速度如同 ，因此被給定。因為（由命題XXXIX）［物體］直線上升和下降的速度按照這個比。 命題XLI 問題XXVIII 假設一種任意類型的向心力並且許可曲線圖形的求積，既要求物體在其上運動的軌道，又要求在找到的軌道上的運動時間。 設任意的向心力趨向中心C，且要求的軌道為VIKk。以中心C，任意間隔CA所畫的圓VR被給定，以相同的中心畫另外的任意圓ID，KE截軌道於I和K，直線CV於D和E。作直線CINX截圓KE，VR於N和X，又引直線CKY交圓VR於Y。設點I和K彼此非常靠近，且物體自V經I和K向k前進；又設點A為那個位置，另一物體應從那裡下落，使得它在位置D獲得前一物體在位置I的速度。保持在命題XXXIX中的內容，短線IK，它在給定的極短的時間被畫出，如同速度，因此如同能作成面積ABFD的直線，再者與時間成比例的三角形ICK被給定，由是KN與高度IC成反比，亦即，如果另一個量Q被給定，高度IC被稱為A，如同Q/A。我們稱這個量Q/A為Z，且假設Q的大小使得在某一情形√ ABFD比Z如同IK比KN，則在所有情形√ ABFD比Z如同IK比KN，而ABFD比ZZ如同IKq 比KNq ，由分比ABFD－ZZ比ZZ如同INquad. 比KNquad. ，且因此 -ZZ比Z或者Q/A如同IN比KN，且所以A×KN等於 。因此，由於YX×XC比A×KN如同CXq 比AA，矩形XY×XC等於 。所以，如果 在垂線DF上總取Db，Dc分別等於 ， ，並畫出曲線ac，ac，點b，c持續觸及曲線；自點V向直線AC豎立垂線Va割下曲線形的面積VDba，VDca，又豎立縱標線Ez，Ex；因為矩形Db×IN或者DbzE等於矩形A×KN的一半或者三角形ICK；又矩形Dc×IN或者DcxE等於矩形YX×XC的一半或者三角形XCY；這就是，因為面積VDba，VIC的初生成的小部分DbzE，ICK總相等；面積VDca，VCX的初生成的小部分DcxE，XCY總相等，生成的面積VDba等於生成的面積VIC，且因此與時間成比例，又，生成的面積VDca等於生成的扇形VCX。所以給定物體自離開位置V的任意時間，與它成比例的面積VDba被給定，且因此物體的高度CD或者CI被給定；再者，面積VDca，以及等於它的扇形VCX連同它的角VCI被給定。但是給定角VCI和高度CI，位置I被給定，在那段時間結束時物體在那裡被發現。此即所求 。 系理1 因此，物體的最大及最小高度，亦即軌道的拱點可便捷地找到。因為拱點是那些落在過中心所引的垂直於軌道VIK的直線IC上的點；這發生在直線IK和NK相等時，因此發生在當面積ABFD等於ZZ時。 系理2 且角KIN，軌道在任意地方以它與直線IC相截，由物體的給定高度IC可便捷地找到；即是取它的正弦比半徑如同KN比IK，亦即，如同Z比面積ABFD的平方根。 系理3 如果以中心C和主頂點V畫出任意的圓錐截線VRS，且由它的任意一點R引切線RT交無限延長的軸CV於點T；然後連結CR，引直線CP，它等於橫標線CT，作與扇形VCR成比例的角VCP；如果趨向中心C的向心力與位置離中心的距離的立方成反比，物體以適當的速度沿垂直於CV的直線離開位置V，那個物體將在軌道VPQ上前進，點P持續觸及軌道；且因此如果圓錐截線VRS是雙曲線，物體向中心下降；若不然，它為橢圓，那個物體持續不斷上升並遠離以至無窮。且反之，如果物體以任意速度離開位置V，一如它開始時或者傾斜地落向中心或者離開中心傾斜上升，圖形VRS或者為雙曲線，或者為橢圓，軌道可通過按照某一給定的比增大或者減小角VCP得到。但是，當向心力變為離心力，物體將在軌道VPQ上傾斜地上升，它可由取角VCP與橢圓扇形VRC成比例，以及長度CP等於長度CT得到，如同上面。所有這些，由前述命題，可通過特定曲線的求積得到，其求甚易，為簡明計，我省略了。 命題XLII 問題XXIX 給定向心力的定律，需求物體從給定的位置，以給定的速度，沿給定的直線離去時的運動。 保持前三個命題的內容，設物體從位置I沿短線IK，以一個速度離去，它能由另一個物體在某一均勻的向心力之下，從位置P下落在D獲得。設這個均勻的力比一個力，由它第一個物體在I被推動，如同中DR比DF。且物體前往k；又以C為中心，Ck為間隔畫圓ke交直線PD於e，並豎立曲線BFg，abv，acw的縱標線eg，ev，ew。由給定的矩形PDRQ，及給定的向心力的定律，由它第一個物體被推動，由問題XXVII的作圖及其系理1，曲線BFg被給定。然後，由給定的角CIK，初生成的IK，KN的比被給定，從此，由問題XXXVIII的作圖，量Q與曲線abv，acw一起被給定：且因此，在任意時間Dbve結束時，物體的高度Ce或者Ck，以及面積Dcwe，與它相等的扇形XCy，角ICk被給定，又有位置k，在那裡物體在那時被發現。此即所求 。 在這些命題中我們假設自中心退離時向心力按照任何能想像到的規律變化，但在離中心相等的距離的各個地方是一樣的。且至此，我們已考慮了物體在不動的軌道上的運動。剩下論及物體在軌道上的運動，軌道圍繞力的中心轉動，我們增加少許。