自然哲學的數學原理 · 第VII部分 論物體的直線上升和下降

命題XXXII 問題XXIV 假設向心力與位置離中心的距離的平方成反比，確定空間，它由直線下落的一個物體在給定的時間畫出。 情形1 如果物體不豎直下落，此物體（由命題XIII系理1）畫出其焦點與力的中心重合的圓錐截線。設那條圓錐截線為ARPB，其焦點為S。首先，如果圖形為一個橢圓；在它的長軸AB上畫半圓ADB，又直線DPC經過下落物體垂直於軸；再作DS，PS，面積ASD與面積ASP成比例，且因此亦與時間成比例。保持軸AB持續減小橢圓的寬度，則面積ASD總保持與時間成比例。那個寬度被減小以至無窮：現在軌道APB與軸AB，且焦點S與軸的端點B重合，物體在直線AC上下落，面積ABD變得與時間成比例。且因此空間AC被給定，物體由位置A豎直下落，在給定的時間畫出這一空間，只要面積ABD取得與時間成比例，且由點D往直線AB上落下垂線DC。此即所求 。 情形2 如果那個圖形RPB為雙曲線，對同樣的主直徑AB畫直角雙曲線 （22） （hyperbola rectangula）BED；且因為面積CSP，CBfP，SPfB比面積CSD，CBED，SDEB，一個對一個，按照高度CP，CD的給定的比；又面積SPfB與時間成比例，在此期間物體P的運動經過弧PfB；面積SDEB亦與同樣的時間成比例。減小雙曲線RPB的通徑以至無窮並保持橫截徑，則弧PB與直線CB，且焦點S與頂點B，以及直線SD與直線BD重合。因此，面積BDEB與時間成比例，在此期間物體C豎直下落畫出直線CB。此即所求 。 情形3 由類似的論證，如果圖形RPB為一條拋物線，且由同樣的主頂點B畫出另一條拋物線BED，它在前一拋物線，即物體P在其周線上運動的拋物線的通徑減小並縮為零，曲線變為直線CB期間，總它保持給定；拋物弓形BDEB與時間成比例，在此期間那個物體P或者C落向中心S或者B。此即所求 。 命題XXXIII 定理IX 假設［以上的結果］今已求得，我說下落物體在任意位置C的速度比物體畫出中心為B，間隔為BC的圓的速度，按照AC，物體離圓或者直角雙曲線的那邊的頂點A的距離，比圖形的主半直徑12AB的二分之一次比。 設兩個圖形RPB，DEB的公共直徑AB被平分於O；並引直線PT，它切圖形RPB於P，又截那條公共直徑AB（必要時延長之）於T，SY與這條切線，又BQ與這條直徑垂直，圖形RPB的通徑假設為L。由命題XVI的系理9，顯然，物體在圍繞中心S的曲線RPB上任意位置P的運動速度比物體圍繞同一中心，畫出間隔為SP的圓的速度按照矩形 L×SP比SY的正方形的二分之一次比。但由《圓錐截線 》，ACB比CPq 如同2AO比L，且因此（2CPq ×AO）/（ACB）等於L。所以那些速度彼此之比按照（CPq ×AO×SP）/（ACB）比SYquad. 的二分之一次比。再者，由《圓錐截線 》，CO比BO如同BO比TO，由合比或者分比，如同CB比BT。或者由分比，或者由合比，BO－或者+CO比BO如同CT比BT，亦即，AC比AO如同CP比BQ；且因此（CPq ×AO×SP）/（ACB）等於（BQq ×AC×SP）/（AO×BC）。現在圖形RPB的寬度CP被減小以至無窮，使點P與點C，點S與點B，且直線SP與直線BC，直線SY與直線BQ重合；現在物體在直線CB上豎直下落的速度比物體畫出中心為B，間隔為BC的圓的速度，按照（BQq ×AC×SP）/（AO×BC）比SYq 的二分之一次比，這就是（忽略等量之比SP比BC和BQq 比SYq ）按照AC比AO或者 AB的二分之一次比。此即所證 。 系理1 點B與S重合時，TC比TS變成如同AC比AO。 系理2 一個物體在離中心的距離給定的任意圓上運行，當它自身的運動轉化為向上的運動時，將上升到兩倍於它自己離中心的距離。 命題XXXIV 定理X 如果圖形BED為拋物線，我說下落物體在任意位置C的速度等於一個速度，由它一個物體能均勻地畫出中心為B，間隔為BC之半的圓。 因為圍繞中心S畫出一條拋物線RPB的一個物體在任意位置P的速度（由命題XVI系理7）等於物體圍繞同一中心以間隔SP之半均勻地畫出圓的速度。拋物線的寬度CP被減小以至無窮，使得拋物線弧PfB與直線CB，中心S與頂點B，以及隔SP與間隔BC重合，則命題是顯然的。此即所證 。 命題XXXV 定理XI 對同樣的假設，我說圖形DES的面積，它由不定的半徑SD畫出，等於一個面積，它能由一個物體圍繞中心S，在半徑等於圖形DES的通徑之半的軌道上均勻地運行，在相同的時間畫出。 因為設想一個物體C在下落中在極短的時間段畫出短線Cc，且在此期間另一個物體K圍繞中心S運行，在圓OKk上均勻地畫出弧Kk。豎立垂線CD，cd交圖形DES於D，d。連結SD，Sd，SK，Sk，並引Dd交軸AS於T，又向它［Dd］落下垂線SY。 情形1 現在如果圖形DES為圓或直角雙曲線，它的橫截直徑 （23） （transversa diameter）AS被平分於O，則SO為通徑之半，又因為TC比TD如同Cc比Dd，且TD比TS如同CD比SY，由錯比，TC比TS如同CD×Cc比SY×Dd。但是（由命題XXXIII系理1）TC比TS如同AC比AO，如果依點D，d會合時線段所取的最終比計算。所以AC比AO或者SK如同CD×Cc比SY×Dd。再者，下落物體在C的速度比物體以間隔SC圍繞中心S畫出一個圓的速度，按照AC比AO或者SK的二分之一次比（由命題XXXIII）。且這個速度比物體畫出圓OKk的速度按照SK比SC的二分之一次比（由命題IV系理6），再由錯比，第一個速度比最後一個速度，這就是，短線Cs比弧Kk，按照AC比SC的二分之一次比，亦即按照AC比CD之比。所以CD×Cc等於AC×Kk，且因此AC比SK如同AC×Kk比SY×Dd，由是SK×Kk等於SY×Dd，則 SK×Kk等於 SY×Dd，亦即，面積KSk等於面積SDd。所以在生成兩小塊面積的小部分KSk和SDd的每一時間的小部分，如果它們的大小減小且數目增加以至無窮，得到等量之比，且所以（由引理IV系理）同時生成的總面積總相等。此即所證 。 情形2 但是，如果圖形DES為拋物線，如同上面發現CD×Cc比SY×Dd如同TC比TS，這就是，如同2比1，且因此 CD×Cc等於 SY×Dd。但下落物體在C的速度等於一個速度，（由命題XXXIV）以它［物體］能均勻地畫出間隔為 SC的一個圓。且這個速度比一個速度，以它［物體］能畫出半徑為SK的一個圓，這就是，線段Cc比弧Kk（由命題IV系理6）按照SK比 SC的，亦即，按照SK比 CD的二分之一次比。所以 Sk×Kk等於 CD×Cc，且因此等於 SY×Dd，這就是，面積KSk等於面積SDd，如同上面。此即所證 。 命題XXXVI 問題XXV 一個物體從一給定的位置A下落，確定它下降的時間。 在直徑AS上畫半圓ADS，［AS是］物體開始時離中心的距離，圍繞中心S畫與這個半圓相等的半圓OKH。從物體的任意位置C豎立縱標線CD。連結SD，且作扇形OSK等於面積ASD。顯然由命題XXXV，在物體下落畫出空間AC的相同時間裡，另一個物體圍繞中心S均勻地運轉，能畫出弧OK。此即所作 。 命題XXXVII 問題XXVI 一個物體從一給定的位置向上或者向下拋擲，確定它上升或者下降的時間。 設物體沿直線GS以任意速度從給定位置G離去。按照這個速度比物體能圍繞中心S，以給定的間隔SG在一個圓上均勻運行的速度的二次比，取GA比 AS。如果那個比是數2比1，點A無限遙遠，在這種情況應畫出頂點為S，軸為SG，通徑任意的拋物線。由命題XXXIV這是顯然的。若不然那個比小於或者大於2比1，前一種情況應為畫在直徑SA之上的一個圓，後一種情況為畫在直徑SA之上的直角雙曲線。這由命題XXXIII是顯然的。然後以S為中心，以等於通徑之半的間隔畫圓HkK，並在物體下落或者上升的位置G，及另一個任意位置C，豎立垂線GI，CD交圓錐截線或者圓於I及D。再連結SI，SD，使扇形HSK，HSk ［分別］等於弓形SEIS，SEDS，則由命題XXXV，在物體G畫出空間GC的相同時間內，物體K能畫出弧Kk。此即所作 。 命題XXXVIII 定理XII 假設向心力與位置離中心的高度或者距離成比例，我說［物體］下落的時間，速度，以及畫出的空間分別與弧，及弧的正弦和正矢成比例。 設物體由任意位置A沿直線AS下落；且以力的中心S，間隔AS畫四分之一圓AE，且CD為任意弧AD的正弦；則物體A下落，在時間AD畫出空間AC，又在位置C獲得速度CD。 這由命題X所證明，模式正如命題XXXII由命題XI所證明。 系理1 因此時間是相等的，在此期間一個物體從位置A下落前進到中心S，且另一環繞物體畫出四分之一圓周的弧ADE。 系理2 因此所有的時間是相等的，在此期間物體無論從任何位置下落直達中心S。因為所有環繞物體的循環時間（由命題IV系理3）相等。 命題XXXIX 問題XXVII 假設任意種類的向心力，並且許可曲線圖形的求積 （24） （quadratura）；需求直線上升或者下降的物體在每個位置的速度，以及時間，在此期間物體到達任意一個位置；並求逆問題。 設物體E由任意位置A在直線ADEC上下落，又由它的位置E總豎立垂線EG，與在那個位置與趨向中心C的向心力成比例：BFG為一條曲線，點G持續觸及它。且在運動開始時EG與垂線AB重合，則物體在任意位置E的速度如同一條直線，它能作成曲線形的面積 （25） （quæ potest aream curvilineam）ABGE。此即所求 。 在EG上取直線EM，它能作成與面積ABGE成反比的面積，VLM為一條曲線，點M持續觸及它，且它的漸近線為AB的延長；則時間，在此期間下落物體畫出直線AE，如同曲線形的面積ABTVME。此即所求 。 因為在直線AE上取給定長度的極短的線DE，且當物體曾經在D時，設DLF是直線EMG的位置；然後，如果向心力，使能作成面積ABGE的直線如同下落速度：則面積自身按照速度的二次比，亦即，如果在D和E的速度被寫作V和V+I，則面積ABFD如同VV，且面積ABGE如同VV+2VI+II，由分比（divisim），面積DFGE如同2VI+II，且因此（DFGE）/（DE）如同[（2VI）+（II）]/（DE），亦即，如果取初生成的量的最初比，則長度DF如同量（2VI）/（DE），因此亦如同此量之半（I×V）/（DE）。但是時間，在此期間下落物體畫出短線DE，與那條短線成正比，且與速度V成反比，又，力與速度的增量I成正比且與時間成反比，且因此如果取初生成的量的最初比，如同I×VDE，這就是，如同長度DF。所以，與DF或者EG成比例的一個力使物體的以一個速度下落，它如同能作成面積ABGE的直線。此即所證 。 此外，由於時間，在此期間任意給定長度的短線DE被畫出，與速度成反比，且因此反比於能作成面積ABFD的直線；又DL，且因此初生成的面積DLME，與同一直線成反比：時間如同面積DLME，且所有時間的和如同所有面積的和，這就是，（由引理IV的系理）整個時間，在此期間直線AE被畫出，如同整個面積ATVME。此即所證 。 系理1 如果設P為一個位置，物體應由此下落，在某一均勻的已知的向心力（如通常假設的重力）推動下它在位置D獲得的速度等於一個速度，它能由另一物體在同一位置D獲得，無論它由何種力下落，且在垂線DF上取DR，它比DF如同那個均勻的力比在位置D的另一個力，再補足矩形PDRQ，並割下面積ABFD等於它；則A為另一物體下落的位置。因為補足矩形DRSE，由於面積ABFD比面積DFGE如同VV比2VI，且因此如同 V比I，亦即，如同整個速度的一半比物體由不等的力下落時速度的增量；並且類似地，面積PQRD比面積DRSE如同整個速度的一半比物體由均勻的力下落時速度的增量；且那些增量（由於在相等的時間生成）如同產生它們的力，亦即，如同縱標線DF，DR，且因此如同初生成的面積DFGE，DRSE；由錯比，總面積ABFD，PQRD彼此如同整個速度的一半，由於速度相等，所以面積相等。 系理2 因此，如果任意一個物體由任意的位置D以給定的速度向上或者向下被拋射，且向心力的定律被給定，在其他任意一個位置e它的速度被發現：豎立縱標線eg，並取那個速度比在位置D的速度，如同直線，或者由它能作成矩形PQRD增加了曲線形的面積DFge，如果位置e低於位置D；或者矩形PQRD減少了曲線形的面積DFge，如果位置e高於位置D；比一條直線，由它只能作成矩形PQRD。 系理3 時間亦可由豎立與PQRD+或者－Dfge的平方根成反比的縱標線em得知，且取時間，在此期間物體畫出直線De，比一段時間，在此期間另一物體由一均勻的力從P下落到達D，如同曲線形的面積DLme比矩形2PD×DL。因為時間，在此期間物體由均勻的力畫出直線PD，比一段時間，在此期間同一物體畫出直線PE，按照PD比PE的二分之一次比，亦即（短線DE剛剛生成）按照PD比PD+ DE或者2PD比2PD +DE，則由分比，［物體畫出直線PD的時間］比一段時間，在此期間同一物體畫出短線DE，如同2PD比DE，且因此如同矩形2PD×DL比面積DLME；且時間，在此期間兩物體畫出短線DE，比一段時間，在此期間其中一個物體以不等的運動畫出直線De，如同面積DLME比面積DLme，又由錯比，最初的時間比最後的時間如同矩形2PD×DL比面積DLme。