自然哲學的數學原理 · 第VI部分 論在給定的軌道上求運動

命題XXX 問題XXII 一個物體在一條給定的拋物線軌道上運動，在指定的時間求位置。 系理1 因此GH比AS，如同時間，在此期間物體畫出弧AP，比一段時間，在此期間物體畫出頂點A和在軸上由焦點S豎立的垂線之間的弧。 系理2 且如果圓ASP持續通過運動的物體P，點H的速度比物體在頂點A所具有的速度如同3比8；且因此直線GH比一條直線，物體以它在頂點A的速度由自己從A到P的運動時間能畫出它，也按照同樣的比。 系理3 因此，反過來，能求時間，在此期間物體畫出任意指定的弧AP。連結AP，並在它的中點豎立一條垂線，交直線GH於H。 引理 XXVIII 不存在卵形，它的被任意直線割下的面積能一般地由項數和維數（dimensio）有限的方程加以確定 （21） 。 設在卵形內任意給定一點，圍繞此作為極的點一條直線以均勻的運動持續旋轉，且在此期間，在那條直線上一個動點離開極，它總以一個速度前進，速度如同那條直線在卵形內 ［的長度］的平方。那個點的這一運動畫出旋轉數無窮的螺線。現在，如果卵形由那條直線割下的部分能由有限方程找到，由同樣的方程點到極的距離亦被找到，距離與這個面積成比例，且因此螺線的所有點能由有限方程找到：所以任意位置給定的直線與螺線的交點亦能由有限方程找到。但任一無窮延長的直線截螺線於數目無窮的點，且方程，由它兩［曲］線的某個相交部分被發現，其同樣數目的所有根顯示了所有的相交部分，因此升至與交點一樣多的維數。因為兩個圓相互截於兩點，除非用一個二維的方程不能找到一個交點，通過它另一相交部分亦被找到。因為兩個圓錐截線可能有四個相交部分，一般地不可能找不到其中一個相交部分，除非通過四維的一個方程，由它所有的相交部分一起被找到。因為如果那些相交部分分別地被找到，因為所有的定律和條件是相同的，計算在每一種情形是相同的，且所以結論總是相同的，因此它必須同時包括且無差別地顯示所有的相交部分。由是圓錐截線和三次曲線的相交部分，它可能有六個相交部分，由一個六維方程同時得出，且兩條三次曲線的相交部分，它能可有九個相交部分，由一個九維方程同時得出。如果這不必然發生，則我們可以把所有的立體問題約化為平面問題，以及高於立體的問題約化為立體問題。但這裡我所說的曲線是在次數上是不可約的。因為，如果方程，由它曲線被定義，能約化成一個較低的次數，則曲線不是單一的，而是由兩條，或者更多條曲線的複合，它的相交部分能由不同的計算分別找到。按照同樣的方式，直線與圓錐截線的兩個相交部分總由一個二維的方程得出，直線與此不可約的三次曲線的三個相交部分由一個三維的方程得出，直線與不可約的四次曲線的四個相交部分由一個四維的方程得出，且如此以至無窮。所以直線和螺線有無數相交部分，由於這條曲線是單純的且不能約化為多條曲線，這要求方程的維的數目和根的數目無窮，由它所有的交點能同時被顯示。因為它們所有的定律和計算是相同的。因為如果自極向那條交線落下一條垂線，且那條垂線與交線同時圍繞極旋轉，螺線的相交部分相互變換，第一個或者最近的交點，經過一周旋轉後成為第二個，經過兩周旋轉後成為第三個，且如此下去；在此期間方程沒有被變化，但那些量的大小的變化除外，由它們交線的位置被確定。所以，由於那些量在每一次旋轉後返回到它們的初始的大小，方程返回到初始的形式，且因此一個且同一個方程顯示所有的相交部分，且所以它有數目無窮的根，且由方程它們能都被顯示。所以，一般地，直線和螺線的相交部分不能通過有限的方程求出，且因此不存在卵形，它被任意的直線割下的面積一般地能由這樣的方程顯示。 由同樣的論證，如果極和點的間隔，螺旋線由點畫出，被取作與割下的卵形的周線成比例，能證明周線的長度一般地不能通過一個有限的方程顯示。但這裡所論及的卵形不是被延伸至無窮的共軛圖形相切的圖形。 系理 因此，橢圓的面積，它由從焦點向運動的物體所引的半徑畫出，不能由所給定的時間通過有限的方程得出；且因此，也不能由畫出幾何上有理的曲線確定。我所說的幾何上有理的曲線是所有這樣的曲線，它們的所有點由長度的方程定義，亦即，能通過複雜的長度之比確定；且其餘的曲線（如螺線，割圓曲線，次擺線）我稱之為幾何上無理的。由於長度如同或者不如同整數之比（按照《幾何原本 》的第十卷）是算術上有理的或者無理的。所以我通過一條幾何上無理的曲線割下與時間成比例的橢圓的面積如下。 命題XXXI 問題XXIII 一個物體在一條給定的橢圓軌道上運動，對指定的時間求位置。 設橢圓APB的主頂點為A，焦點為S，且O為中心，又設P為要發現的物體的位置。延長OA至G，使得OG比OA如同OA比OS。豎立垂線GH，且以中心O和間隔OG畫一圓GEF，它在作為底的尺子GH上方，輪子GEF圍繞自身的軸滾動前進，且在此期間它的點A畫出次擺線ALI。既成之後，取GK，按照它比輪子的周長GEFG，如同一段時間，在此期間自A前進的物體畫出弧AP，比物體在橢圓上運行一周的時間之比。豎立垂線KL交次擺線於L，又引LP平行於KG交橢圓於需求的物體的位置P。 因為以中心O，間隔OA畫半圓AQB，且弧AQ交LP，如果需要則延長之，於Q，又連結SQ，OQ。設OQ交弧EFG於F，且向同一條OQ上落下垂線SR。面積APS如同面積AQS，亦即，如同扇形OQA和三角形OQS之間的差，或者如同矩形 OQ×AQ和 OQ×SR之間的差，這就是，由於 OQ被給定，如同弧AQ和直線SR之間的差，且因此（由於給定的比SR比弧AQ的正弦，OS比OA，OA比OG，AQ比GF是相同的，且由分比，AQ－SR比GF－弧AQ的正弦［亦是相同的］）如同弧GF和弧AQ的正弦之間的差GK。此即所證 。 解釋 但是，由於這一曲線難於畫出，應用逼近的方法求解較好。一方面發現某個角B，它比57.29573度的一個角，此角對著等於半徑的一條弧，如同焦點之間的距離SH比橢圓的直徑AB；另一方面亦發現某一長度L，它比半徑按照同一個比的反比。一旦這些被發現，問題可由如下的分析解決。由任意的作圖，或者由甚至是猜測，得知物體的位置P，它非常靠近物體的真實位置p。然後，向橢圓的軸上落下縱標線PR，由橢圓的直徑的比，外接的圓AQB的縱標線RQ被給定，它是以AO為半徑的角AOQ的正弦，並截橢圓於P。由質樸的數值計算近似地發現那個角就足夠了。與時間成比例的角亦被知道，亦即，它比四個直角，如同一段時間，在此期間物體畫出弧Ap，比物體在橢圓上運行一周的時間。設那個角為N。既取一個角D，它比角B如同角AOQ的正弦比半徑；又取一個角E，它比角N－AOQ+D如同長度L比同一長度L減小角AOQ的餘弦，當那個角小於直角時；但當它大於直角時，增加那個角的餘弦。其次取一個角F，它比角B，如同角AOQ+E的正弦比半徑，又取一角G比角N－AOQ－E+F如同長度L比同一長度減小角AOQ+E的餘弦，當那個角小於直角時；但當它大於直角時，增加那個角的餘弦。再次取一個角H比角B，如同角AOQ+E+G的正弦比半徑；又取角I比角N－AOQ－E－G+H，如同長度L比同一長度減小角AOQ+E+G的餘弦，當那個角小於直角時；但當它大於直角時，加上那個角的餘弦。且如此進行以至無窮。最終取角AOq等於角AOQ+E+G+I+…。再由它的餘弦Or和縱標線pr，它比其正弦qr如同橢圓的短軸比長軸，得到物體的修正過的位置p。如果角N－AOQ+D為負的，在各處的E的「+」號必須變為「－」，且「－」號變為「+」。當角N－AOQ－E+F，和N－AOQ－E－G+H得出為負時，角G和I的符號應作同樣的理解。但無窮級數AOQ+E+G+I+…收斂得如此迅速，以致很少需要進行到超過第二項E。且計算基於這一定理：面積APS如同弧AQ和自焦點S點到半徑OQ上落下的垂線之間的差。 且由沒有什麼不同的計算，雙曲線的問題被解決。設它的中心為O，頂點為A，焦點為S且漸近線為OK。設被割下的面積的量已知，它與時間成比例。設它為A，且猜測直線SP的位置，它割下的面積APS接近真實的面積。連結OP，且自A和P向漸近線［OK］引AI，PK平行於另一條漸近線，且由對數表，面積AIKP被給定，它等於面積OPA，從三角形OPS中減去它，剩下割下的面積APS。應割下的面積A和割下的面積APS的差的二倍2APS－2A或者2A－2APS除以直線SN，它自焦點S垂直於切線TP，得到弦PQ的長度。在A和P之間內接那條弦PQ，如果割下的面積APS大於應割下的面積A，否則朝向點P的相反方向：點Q為物體的更精確的位置。又由持續的重複計算，愈來愈精確的位置被發現。 且由這些計算，我們得到此問題的一個一般的分析解法。但是如下的特別的計算更適合天文學的目的。設AO，OB，OD為橢圓的半軸，且L為其通徑，又D為短半軸OD和通徑之半 L之間的差；尋找一個角Y，其正弦比半徑如同那個差D和軸的半和AO+QD之下的矩形比長軸AB的正方形，又尋找一個角Z，其正弦比半徑如同焦點間的距離SH和那個差D之下的矩形的二倍比半長軸AO的正方形的三倍。一旦這些角被發現；物體的位置也由此被確定。取一個角T與時間成比例，在那段時間弧BP被畫出，或者等於（正如它被稱為）平均的運動；和一個角V，平均運動的第一差，比一個角Y，第一最大差，如同二倍角T的正弦比半徑；又一個角X，第二差，比一個角Z，第二最大差，如同角T的正弦的立方比半徑的立方。如果角T小於一個直角，取角BHP，它等於平均的運動，等於角T，V，X的和T+X+V；如果角T大於一個直角小於兩個直角，取角BHP等於角T，V，X的差T+X－V；且如果HP交橢圓於P，作SP割下與時間近似地成比例的面積。這一實踐似乎足夠便捷，因為對非常小的角V和X，按照秒，如果令人滿意的話，求到兩，三個數字就足夠了。這一實踐對於行星的理論看起來也足夠精確。因為甚至在火星自己的軌道上，它的最大的中心差是十度，誤差很少超過一秒。但當等於平均運動的角BHP發現之後，真實運動的角BSP和距離SP易於由習知的方法求得。 到目前為止論及在曲線上物體的運動。但是，會發生運動的物體在直線上下降或者上升，且現在我轉而闡明屬於此類的運動。