自然哲學的數學原理 · 第V部分 論當焦點未被給定時求軌道

引理 XVII 如果由給定的圓錐截線上的任意點P，以給定的角向內接於那條圓錐截線的任意不規則四邊形ABCD的無限延長的四邊AB，CD，AC和DB引相同數目的直線PQ，PR，PS和PT，一條直線對一邊：則向兩對邊所引［的直線］的矩形PQ×PR，比向另兩對邊所引［的直線］的矩形PS×PT按照給定的比。 情形1 首先我們假設向對邊所引的線與其餘邊中的某一邊平行，設為PQ和PR平行於邊AC，且PS和PT平行於邊AB。再設上面對邊中的兩邊，設為AC和BD，彼此平行。則直線，它平分那些平行的邊，是圓錐截線的一條直徑，它也平分RQ。設O為一點，在此處RQ被平分，PO是屬於那條直徑的縱標線。延長PO至K，使得OK等於PO，則OK是屬於那條直徑異側的縱標線。由於點A，B，P和K在圓錐截線上，且PK以給定的角截AB，所以（由阿波羅尼奧斯的《圓錐截線 》卷III，命題17，19，21和23）矩形PQK比AQB按照給定的比。但QK和PR相等，由於相等的線OK，OP以及OQ，OR的差相等，由此矩形PQK和PQ×PR也相等；所以矩形PQ×PR比矩形AQB，這就是比矩形PS×PT按照給定的比。此即所證 。 情形2 現在我們假設不規則四邊形的對邊AC和BD不平行。作Bd平行於AC，既交直線ST於t，又交圓錐截線於d。連結Cd截PQ於r，並作DM平行於PQ，截Cd於M且截AB於N。現在，由於三角形BTt，DBN相似，Bt或者PQ比Tt如同DN比NB。這樣Rr比AQ或者PS如同DM比AN。所以，前項乘以前項且後項乘以後項，矩形PQ乘以Rr比矩形PS乘以Tt，如同矩形NDM比矩形ANB，且（由情形1）如同矩形PQ乘以Pr比矩形PS乘以Pt，又由分比，如同矩形PQ×PR比矩形PS×PT。此即所證 。 情形3 最後我們假設四條直線PQ，PR，PS，PT不與邊AC，AB平行，而對它們有任意的傾角。代替它們，引Pq，Pr平行於AC；且Ps，Pt平行於AB；因為三角形PQq，PRr，PSs，PTt的角給定，PQ比Pq，PR比Pr，PS比Ps，和PT比Pt為給定的比；因此複合比PQ×PR比Pq×Pr，PS×PT比Ps×Pt ［為給定的比］。但是，由前面的證明，Pq×Pr比Ps×Pt為給定的比；所以比PQ×PR比PS×PT ［為給定的比］。此即所證 。 引理 XVIII 對同樣的假設，如果向不規則四邊形兩對邊所引［的直線］的矩形PQ×PR比向另兩對邊所引［的直線］的矩形PS×PT按照給定的比；點P，直線從它而引，位於圍繞不規則四邊形所畫出的圓錐截線上。 設想經過點A，B，C，D和無窮多點P中的某一個，設為點p，畫一圓錐截線：我說點P總位於這一截線上。如果你否認，連結AP截這條圓錐截線於另一點，如果可能的話，設為點b。所以，如果由這些點p和b以給定的角向不規則四邊形的邊引直線pq，pr，ps，pt和bk，bn，bf，bd；則bk×bn比bf×bd（由引理XVII）如同pq×pr比ps×pt，且如同（由假設）PQ×PR比PS×PT。且由於不規則四邊形bkAf，PQAS相似，bk比bf如同PQ比PS。因此，前面比例的項除以這一比例的對應項，得bn比bd如同PR比PT。所以，等角不規則四邊形Dnbd，DRPT相似，因此它們的對角線Db，DP重合。於是b落在直線AP，DP的相交部分，因而與P重合。所以，點P，無論怎樣取，總落在指定的圓錐截線上。此即所證 。 系理 因此，如果三條直線PQ，PR，PS由一個公共的點P以給定的角引向相同數目的位置給定的直線AB，CD，AC，一條直線對一條直線，且如果所引的兩條直線之下的矩形PQ×PR比第三條直線PS的正方形 （18） （quadratum）按照給定的比：點P，直線從它而引，位於一條圓錐截線上，它與直線AB，CD在A和C相切；且反之亦然。因為直線BD與直線AC重合時，三條直線AB，CD，AC保持位置；然後直線PT與直線PS也重合：矩形PS×PT變成PSquad. ；又，直線AB，CD，它們先前與曲線截於A和B，C和D，現在由於那些點重合曲線不能再與它們相截，而只是相切。 解釋 在這一引理中，圓錐截線的名稱在更廣的意義上被使用，在此情況下不但包括經過圓錐頂點的直線形截線，而且包括平行於底的圓形截線。因為，如果點p落在一條直線上，由它點A和D或者C和B被連結，圓錐截線變為一對直線，其中之一是那條直線，點p落在其上，另一是一條直線，四點中另外兩點被它連結。如果不規則四邊形的兩對角合在一起等於兩個直角，且引向其邊的四條直線PQ，PR，PS，PT或者與邊垂直，或者與邊成任意相等的角，且所引的兩直線［PQ，PR］之下的矩形PQ×PR等於所引的另兩直線［PS，PT］之下的矩形PS×PT，圓錐截線變成圓。同樣的事情會發生，如果以任意角引四條直線，且所引的兩直線［PQ，PR］之下的矩形PQ×PR比另兩直線［PS，PT］之下的矩形PS×PT，如同引後面的兩直線PS，PT的角S，T的正弦之下的矩形，比引前面的兩直線PQ，PR的角Q，R的正弦之下的矩形。在其餘的情形點P的軌跡是其他三種圖形，它們通常被稱為圓錐截線。但可用其兩對邊如對角線那樣相互交叉的四邊形代替不規則四邊形ABCD。然而四個點A，B，C，D中的一個或兩個點可跑到無窮遠處，圖形的匯聚到這些點的邊變為平行：在這種情形圓錐截線經過其他的點，並如平行線那樣遠離以至無窮。 引理 XIX 求點P，如果由它向數目相同的，位置給定的直線AB，CD，AC，BD以給定的角引四條直線PQ，PR，PS，PT，一條直線對一條直線，所引的二條直線［PQ，PR］之下的矩形PQ×PR比所引的另外兩條直線［PS，PT］之下的矩形PS×PT，按照給定的比。 設直線AB，CD，往它們所引的兩直線PQ，PR包含矩形中的一個，與其他位置給定的兩條直線交於A，B，C，D。從它們之中的A作任意直線AH，你期望在其上找到點P。它截相對的直線BD，CD，即截BD於H且截CD於I，又因圖形的所有角被給定，PQ比PA和PA比PS之比被給定，因此PQ比PS之比亦被給定。從給定的比PQ×PR比PS×PT中移去這個比，PR比PT之比被給定，又添加上給定的比PI比PR和PT比PH，PI比PH之比被給定，因此點P亦被給定。此即所求 。 系理1 因此向無窮多個P點的軌跡上的任意點D可引切線。因為弦PD，當點P和D相遇時，這就是，當所引的AH經過D時，成為切線。在這種情形，正消失的線IP和PH的最終比如上被發現。所以引平行於AD的CF交BD於F，它以最終比截於E，則DE為切線，因為CF和正消失的IH平行，且相似地截於E和P。 系理2 因此，也能確定所有點P的軌跡。經任意點A，B，C，D，設為A，引軌跡的切線AE，又過另外任意一點B引平行於切線的BF交軌跡於F。由引理XIX發現點F。BF平分於G，所作的不定直線AG在直徑的位置上，BG和GF為附屬於它的縱標線。這個AG交軌跡於H，則AH是直徑或者橫截徑 （19） （latus transversum），通徑比它如同BGq 比AG×GH。若AG不與軌跡相交，直線AH無限延伸，軌跡為拋物線，其對應於直徑AG的通徑為（BGq ）/（AG）。如果它與軌跡交於某處，當點A和H在G的同側時，軌跡為雙曲線；當G在中間時，為橢圓，除非角AGB為直角，並且BGquad. 等於矩形AGH，在這種情況下軌跡為圓。 如是關於四線的古老問題，由歐幾里得開始，並經過阿波羅尼奧斯繼續，不用計算，而用幾何作圖，在本系理中所顯示的，正如古人的要求。 引理 XX 如果任意的平行四邊形ASPQ的兩個對角A和P與任意的圓錐截線在點A和P接觸；並且那些角中的一個的無限延伸的邊AQ，AS與同一圓錐截線在B和C相交；再由交點B和C向圓錐截線上任意的第五個點D引兩條直線BD，CD，它們與平行四邊形的無限延伸的邊PS，PQ交於T和R：邊被截下的部分PR與PT彼此之比總按照給定的比。且反之，如果那些截下的部分彼此之比按照給定的比，點D接觸過四點A，B，C，D的圓錐截線。 情形1 連結BP，CP並由點D引兩直線DG，DE，它們中的前者DG平行於AB且交PB，PQ，CA於H，I，G；另外一條直線DE平行於AC且交PC，PS，AB於F，K，E：則（由引理XVII）矩形DE×DF比矩形DG×DH按照給定的比。但是PQ比DE（或者IQ）如同PB比HB，且由此如同PT比DH；並由更比，PQ比PT如同DE比DH。又PR比DF如同RC比DC，且因此如同（IG或者）PS比DG，再由更比，PR比PS如同DF比DG；由比的結合，矩形PQ×PR比矩形PS×PT如同矩形DE×DF比矩形DG×DH，因此按照給定的比。但是PQ和PS被給定，所以PR比PT之比被給定。此即所證 。 情形2 但是，如果PR和PT彼此之比被假定為按照給定的比，由類似的理由回推，得到矩形DE×DF比矩形DG×DH按照給定的比，且因此點D（由引理XVIII）位於經過點A，B，C，P的圓錐截線上。此即所證 。 系理1 因此，如果引BC截PQ於r，且在PT上，按照Pt比Pr之比與PT比PR所具有的比相同，取Pt：則Bt是圓錐截線在點B的切線。因為當點D與點B會合時，使得弦BD消失，BT成為切線；且CD和BT與CB和Bt重合。 系理2 且反之亦然，如果Bt為切線，且BD，CD相遇於圓錐截線上任意的點D；PR比PT如同Pr比Pt。反之，如果PR比PT如同Pr比Pt：BD，CD相遇於圓錐截線上的某點D。 系理3 一條圓錐截線不能與另一條圓錐截線在多於四個點相截。因為，如果這是可能的，兩條圓錐截線通過五點A，B，C，P，O；直線BD截它們於D和d，且PQ截直線Cd於q。所以PR比PT如同Pq比PT；因此PR和Pq彼此相等，這與假設相悖。 引理 XXI 如果兩條活動且無限的直線BM，CM經由作為極的給定的點B，C引出，由它們的交點M畫出位置給定的第三條直線MN；引另外兩條無限的直線BD，CD，它們與先引的兩條直線在所給定的點B，C構成給定的角MBD和MCD：我說這兩條直線BD，CD由它們的交點D畫出經過點B，C的圓錐截線。且反之亦然，如果直線BD和CD的交點D畫出一條經過給定的點B，C，A的圓錐截線，則角DBM總等於給定的角ABC，角DCM總等於給定的角ACB；點M位於位置給定的直線上。 因為在直線MN上設點N被給定，且當動點M落在不動的N時，動點D落在不動的P。連結CN，BN，CP，BP，且由點P作直線PT，PR交BD，CD於T和R，並使得角BPT等於給定的角BNM，且角CPR等於給定的角CNM。然而（由假設）角MBD，NBP相等，正如角MCD，NCP；去掉公共的［角］NBD和NCD，剩下的［角］NBM和PBT，NCM與PCR相等，且因此三角形NBM，PBT相似，正如三角形NCM，PCR。故PT比NM如同PB比NB，且PR比NM如同PC比NC。但是點B，C，N，P是不動的。所以PT和PR比NM有給定的比；因此［PT和PR］相互之比為給定的比；於是（由引理XX）點D，在那裡動直線BT和CR的持續相交，在經過點B，C，P的圓錐截線上。此即所證 。 且反之，如果動點D落在經過給定的點B，C，A的圓錐截線上，且角DBM總等於給定的角ABC，角DCM總等於給定的角ACB，又當點D相繼落在截線上任意兩個不動的點p，P時，動點M相繼落在兩個不動的點n，N：過同樣的n，N引直線nN，這是那個動點M的持續不斷的軌跡。因為，如果可能，假使點M位於某一曲線上。所以當點M持續位於曲線上時，點D位於經過五點B，C，A，p，P的圓錐截線上。但是，由已證明的，當點M持續在直線上時，點D也位於經過同樣五點B，C，A，p，P的圓錐截線上。所以兩條圓錐截線經過相同的五點，與引理XX的系理3相悖。因而點M位於曲線上是荒謬的。此即所證 。 命題XXII 問題XIV 經過五個給定的點畫出一條軌道。 設五個點A，B，C，P，D被給定。由它們中的某一點A往另外兩個任意點B，C，它們被稱為極，作直線AB，AC，又過第四點P引與這些直線平行的線TPS，PRQ。然後由兩極B，C引過第五點D的兩條無窮直線BDT，CRD，與最新引的TPS，PRQ（前者交前者且後者交後者）交於T和R。最後，對於直線PT，PR，作直線tr平行於TR，所截下的任意的Pt，Pr與PT，PR成比例；且如果過它們的端點t，r和極B，C作［直線］Bt，Cr交於d，那個點d位於所求的軌道上。因為那個點d（由引理XX）位於經過四點A，B，C，P的圓錐截線上；且直線Rr，Tt消失時，點d與點D重合。所以圓錐截線穿過五個點A，B，C，P，D。此即所證 。 另解 在給定的點中連結任意的三點A，B，C；且圍繞它們中作為極的兩點B，C，轉動大小給定的角ABC，ACB，先應用股BC，CA於點D，然後用於點P，並標記點M，N，另兩股BL，CL在每一情形在那裡交叉。引無窮直線MN，並圍繞它們的極B，C轉動那些動角，使得股BL，CL或者BM，CM的交叉，它現在是m，總落在那條無窮直線MN上；且股BA，CA，或者BD，CD的交叉，它現在是d，畫出所求的軌道PADdB。因為點d（由引理XXI）位於過點B，C的圓錐截線上；且當點m靠近點L，M，N時，點d（由作法）靠近點ADP。因此經過五個點A，B，C，P，D的圓錐截線被畫出。此即所作 。 系理1 因此，能便捷地引一直線，它與所得到的軌道在任何給定的點B相切。點d前進到點B，直線Bd將成為所求的切線。 系理2 因此軌道的中心、直徑和通徑亦可以求得，如按照引理XIX的系理2。 解釋 連結BP使前一作法變得更為簡單，且那條直線，如果需要，則延長之，在其上取Bp比BP如同PR比PT；又過p引無窮直線pe與SPT平行，並在pe之上總取pe等於Pr；再引直線Be，Cr交於d。因為，由於Pr比Pt，PR比PT，pB比PB，pe比Pt按照相同的比；pe和Pr總相等。由這個方法發現軌道的點最為便捷，除非你願意用機械的方法畫出曲線，如按照第二種作法。 命題XXIII 問題XV 畫出一條軌道，它經過四個給定的點，並與一條位置給定的直線相切。 情形1 設切線HB，切點B，且其他三點C，D，P被給定。連結BC，並引PS平行於直線BH，以及PQ平行於直線BC，補足平行四邊形BSPQ。作BD截SP於T，且CD截PQ於R。此後，引任意的tr平行於TR，從PQ，PS上所截下的Pr，Pt分別與PR，PT成比例；再作Cr，Bt交於d，（由引理XX）它總落在要畫的軌道上。 另解 既圍繞極B轉動大小給定的角CBH，又圍繞極C轉動任意向兩方延伸的半徑DC。標記點M，N，在那裡角的股BC截那條半徑，當它的另一股與同一半徑交於點P和D時。然後作無窮直線MN，設那條半徑CP或者CD與角的股BC的總交在這條直線上，且［角的］另一股BH與半徑的交點畫出所要的軌道。 因為如果在前一問題的作法中，點A靠近點B，直線CA與CB將重合，且線AB在最終位置成為切線BH；因此在那裡的作法變得與這裡描述的相同。所以股BH與半徑的交點畫出經過點C，D，P，且與直線BH在B相切的一條圓錐截線。此即所作 。 情形2 設給定的四個點B，C，D，P位於切線HI之外。兩兩連結給定的點，直線BD，CP交於G，且交切線於H和I。切線在A被截，使得HA比IA，如同CG和GP之間的比例中頂與BH和HD之間的比例中項之下的矩形比DG和GB之間的比例中頂與PI和IC之間的比例中項之下的矩形；則A為切點。因為，如果平行於直線PI的HX截軌道於任意點X和Y：則（由《圓錐截線 》）點A所在的位置，使得HAquad. 比AIquad. 按照來自矩形XHY比矩形BHD之比，或者矩形CGP比矩形DGB之比，和來自矩形BHD比矩形PIC之比的複合比。但是在找到切點A之後，軌道按照第一種情形被畫出。此即所作 。 然而點A可能既取在點H和I之間，又取在它們之外；［在這種情況］照樣畫出兩道軌道。 命題XXIV 問題XVI 畫出一條軌道，它經過三個給定的點，並與兩條位置給定的直線相切。 設切線HI，KL被給定，且點B，C，D被給定。經兩任意點B，D作無窮直線交切線於點H，K。然後亦經另外兩任意點C，D作無窮直線CD交切線於點I，L。截已作的［直線］於R和S，使得HR比KR如同BH和HD之間的比例中項比BK和KD之間的比例中項；且IS比LS如同CI和ID之間的比例中項比CL和LD之間的比例中項。隨意截在點K和H，I和L之間，或者它們之外；然後作［直線］RS截切線於A和P，則A和P為切點。因為，如果A和P被假設為切線上的某些切點；經點H，I，K，L中任意的點I，它位於一條切線HI上，作直線IY平行於另一條切線KL，它交曲線於X和Y，並在這條直線上取IZ為IX和IY之間的比例中項：由《圓錐截線 》，矩形XIY或IZquad. 比LPquad. 如同矩形CID比矩形CLD，亦即（由作圖）如同SIquad. 比SLquad. 。因此IZ比LP如同SI比SL。所以點S，P，Z位於一條直線上。因為切線交於G，則（由《圓錐截線 》）矩形XIY或IZquad. 比IAquad. 如同GPquad. 比GAquad. 。因此IZ比IA如同GP比GA。所以點P，Z和A位於一條直線上，且因此點S，P和A在一條直線上。又由同樣的論證，證得點R，P和A在一條直線上。所以切點A和P位於直線RS上。找到這些點之後，軌道按照上一問題的第一種情形被畫出。此即所作 。 在本命題和上一命題的第二種情形中，無論直線XY截軌道於X和Y，或者不相截，作圖法是一樣的；它們與截線無關。但是當已證明那條直線與此軌道相截時的作圖法，就能明了不相交時作圖法；為了簡捷我不再繼續進一步的證明。 引理 XXII 把圖形變為同一種類的其他圖形。 設要變換的是任意圖形HGI。隨意引兩條平行線AO，BL，截第三條位置給定的任意直線AB於A和B，且由圖形的任意一點G，往直線AB引任意的GD，它與OA平行。然後由另一點O，它在直線OA上被給定，往點D引直線OD，它交直線BL於d，並由交點以與直線BL包含任意給定的角豎立直線dg，且它具有與Od之比如同DG比OD具有之比；則點g為點G在新圖形hgi中對應的點。由同樣的方式，原圖形中的每個點給出新圖形中同樣數目的點。所以，設想點G持續運動走遍原圖形中的所有點，則點g以類似的持續運動走遍新圖形中的所有點並畫出同一圖形。為了便於區分，我們稱DG為原縱標線，dg為新縱標線；AD為原橫標線，ad為新橫標線；O為極，OD為交截半徑，OA為原縱半徑，且Oa（由被補足的平行四邊形OABa）為新縱半徑。 現在，我說，如果點G位於位置給定的一條直線上，點g也位於位置給定的一條直線上。如果點G位於一條圓錐截線上，點g也位於一條圓錐截線上。這裡我把圓算在圓錐截線中。而且如果點G位於一條三次分析階（ordo analyticus）的［曲］線上，則點g位於三階的［曲］線上；同樣對更高階的曲線亦是如此。點G，g位於的兩曲線的分析階總相同。因為ad比OA如同Od比OD，dg比DG，以及AB比AD；且因此AD等於（OA×AB）/（ad），且DG等於（OA×dg）/（ad）。現在如果點G位於一直線上，因此在任意的方程中，它具有橫標 線AD和縱標線DG之間的關係，那些未定元AD和DG只升至一次，在此方程中AD用（OA×AB）/（ad）代替，且DG用（OA×dg）/（ad）代替，產生一新方程，在其中新橫標線ad和新縱標線dg只升至一次。因此必定表示一條直線。否則AD和DG，或者其中之一，在第一個方程中升至二次，ad和dg在第二個方程中類似地升至二次。對三次或更高的次亦如此。在第二個方程中的未定元ad，dg與在第一個方程中的AD，DG總上升到同樣的次數，所以點G，g［分別］位於的線，有相同的分析階。 除此之外，我說如果某一直線在原圖形中與一曲線相切；這條直線按照與曲線相同的方式被變換到新圖形中，則在新圖形中直線與那條曲線相切；且反之亦然。因如果在原圖形中曲線上的任意兩點相互靠近並重合，在新圖形中被變換過的點也相互靠近並重合；因此連接這些點的直線在兩個圖形中同時成為曲線的切線。 本來我可以給出這些斷言的更切近幾何方式的證明。但是我力圖簡約。 所以，如果一個直線圖形向另一個圖形變換，只需變換構成圖形的相交部分，再在新圖形中經被變換過的相交部分引直線即可。但是如果應變換曲線，必須變換那些有能力定義曲線的點、切線和其他直線。而且，通過把目標圖形變化為更簡單的圖形，這個引理可用於困難問題的求解中。因此匯聚直線變換為平行直線，用原縱半徑代替任意過匯聚點的直線，因此那個交點由於這種約定而跑至無窮；直線無處相交而平行。在新圖形中問題被解出之後，如果由逆運算變換這個圖形為原圖形，可得所需的解。 這個引理亦可用於求解立體問題。每當遇到兩個圓錐截線，問題可由它們的交點求解，隨意變換它們中的任一個，如果它是雙曲線或者拋物線，變為橢圓，然後易於由橢圓變為圓。在平面作圖問題中，直線和圓錐截線同樣可轉變為直線和圓。 命題XXV 問題XVII 畫出一條軌道，它經過兩個給定的點，並與三條位置給定的直線相切。 由任意兩切線彼此的交點，和第三條切線與那條直線的交點，它穿過兩個給定的點，作無窮直線；用此線作為原縱半徑，由前面的引理，此圖形被變換為一個新圖形。在這個圖中那兩條切線變為彼此平行，且第三條切線與過兩個給定的點的直線平行。令hi，kl為那兩條平行的切線，ik為第三條切線，且hl為與此直線平行，過那些點a，b的直線，在這個新圖形中，圓錐截線應穿過點a，b，再補足平行四邊形hikl。設直線hi，ik，kl被截於c，d，e，使得hc比矩形ahb的平方根 （20） （latus quadratum），ic比id，以及ke比kd如同直線hi和kl的和比三條直線之和，其第一條直線為ik，其餘兩條直線為矩形ahb和alb的平方根：則c，d，e為切點。因為，由《圓錐截線 》，正方形hc比矩形ahb，正方形ic比正方形id，正方形ke比正方形kd，和正方形el比矩形alb按照相同的比；且所以hc比ahb的平方根，ic 比id，ke比kd，和el比alb的平方根按照那個比的平方根，且由複合，按照所有的前項hi和kl比所有的後項，即矩形ahb的平方根，直線ik和矩形alb的平方根，這一給定的比。所以由那個給定的比，在新圖形中得到切點c，d，e。通過上一引理中的逆運算把這些點變換到原圖形中，於是（由問題XIV）畫出軌道。此即所作 。此外，一如點a，b位於點h，l之間或之外，點c，d，e應取在點h，i，k，l之間或者之外。如果點a，b之一落在點h，l之間，且另一個在它們之外，問題是不可能的。 命題XXVI 問題XVIII 畫出一條軌道，它經過一個給定的點，並與四條位置給定的直線相切。 由切線中任意兩條的公共的相交部分到其餘兩條的公共的相交部分引一條無窮直線，且同樣用作原縱半徑，此圖形被變換為（由引理XXII）一新圖形，且兩兩交於原縱半徑的切線，現在成為平行的。令那些［切線］hi和kl，ik和hl連接成平行四邊形hikl。且p是在這個新圖形中的點，它對應於原圖形中的給定的點。過圖形的中心O引pq，且使Oq等於Op，則q為在此新圖形中圓錐截線應經過的另一點。由引理XXII，這個點經逆運算被變換到原圖中，且在那裡有兩個點，過它們畫出軌道。而且，過同樣的點，由問題XVII可畫出那條軌道。此即所作 。 引理 XXIII 如果兩條位置被給定的直線AC，BD終止於給定的點A和B，且給定彼此之比，直線CD，它連結不定點C，D，在K按照給定的比被截：我說點K位於位置被給定的直線上。 因為，設直線AC，BD交於E，在BE上取BG比AE如同BD比AC，且FD總等於給定的EG；再由作圖，EC比GD，亦即比EF，如同AC比BD，且因此按照給定的比，所以三角形EFC的種類被給定。CF被截於L，使得CL比CF按照CK比CD之比；且由於那個給定的比，三角形EFL的種類亦被給定；因此點L位於位置被給定的直線EL上。連結LK，則三角形CLK，CFD相似，又由於FD給定且LK比FD為給定的比，LK被給定。［在ED上］取與LK相等的EH，則ELKH總為平行四邊形。所以點K位於那個平行四邊形的位置給定的邊HK上。此即所證 。 系理 因圖形EFLC的種類被給定，三條直線EF，EL和EC，亦即GD，HK和EC具有給定的彼此之比。 引理 XXIV 如果三條直線與任意圓錐截線相切，其中的兩條平行且位置被給定；我說截線的平行於兩切線的半直徑，是位於切點和第三條切線之間的線段的比例中項。 令兩平行線AF，GB切圓錐截線ADB於A和B；第三條直線EF切圓錐截線於I，並交前面的切線於F和G；又，圖形的半直徑CD平行於切線：我說，AF，CD，BG成連比。 因為，如果共軛直徑AB，DM交切線FG於E和H，且相互截於C，再補足平行四邊形IKCL；由圓錐截線的性質，EC比CA如同CA比CL，在此情況下由分比，EC－CA比CA－CL，或者EA比AL，又由合比，EA比EA＋AL或者EL，如同EC比EC＋CA或者EB；且因此，由於三角形EAF，ELI，ECH，EBG相似，AF比LI如同CH比BG。同樣由圓錐截線的性質，LI或者CK比CD如同CD比CH，由並比（ex æquo perturbate）：AF比CD如同CD比BG。此即所證 。 系理1 因此，如果兩條切線FG，PQ與平行的切線AF，BG交於F和G，P和Q，且相互截於O；則由並比，AF比BQ如同AP比BG，又由分比 ［該比］如同FP比GQ，因此如同FO比OG。 系理2 因此過點P和G，F和Q引兩條直線PG，FQ，它們在穿過圖形中心和切點A，B的直線ACB上相遇。 引理 XXV 如果平行四邊形的四條無限延長的邊與任意圓錐截線相切，並被第五條任意切線所截；所取任意兩鄰邊的截段終止於平行四邊形的對角：我說任一截段比那條邊，從它截段被截下，如同其鄰邊的切點和第三邊之間的部分比另一截段。 設平行四邊形MLIK的四條邊ML，IK，KL，MI切圓錐截線於A，B，C，D，並且第五條切線截這些邊於F，Q，H和E；此外，取邊MI和KI的截段ME，KQ，或者取邊KL，ML的截段KH，MF；我說ME比MI如同BK比KQ；且KH比KL如同AM比MF。因為由上一引理的系理1，ME比EI如同AM或者BK比BQ，再由合比，ME比MI如同BK比KQ。此即所證 。同樣，KH比HL如同BK或者AM比AF，再由分比，KH比KL如同AM比MF。此即所證 。 系理1 因此，如果平行四邊形IKLM被給定，它圍繞一條給定的圓錐截線畫出，則矩形KQ×ME被給定，等於它的矩形KH×MF亦被給定。那些矩形相等是因為三角形KQH，MFE相似。 系理2 且如果引第六條切線eq交切線KI，MI於q和e；矩形KQ×ME等於矩形Kq×Me；且KQ比Me如同Kq比ME，再由分比，如同Qq比Ee。 系理3 因此，如果連結並平分Eq，eQ，並經分點引一條直線，這條直線經過圓錐截線的中心。因為，由於Qq比Ee如同KQ 比Me，同一直線經過所有直線Eq，eQ，MK的中點（由引理XXIII），且直線MK的中點是截線的中心。 命題XXVII 問題XIX 畫出一條軌道，它與五條位置給定的直線相切。 設ABG，BCF，GCD，FDE，EA為五條位置被給定的切線。由任意四條切線所含的四邊形ABFE的對角線AF，BE平分於M和N，則（由引理XXV系理3）經過平分點所作的直線MN經過軌道的中心。再者，其他任意四條切線所含的四邊形BGDF的對角線（據我如此說）BD，GF平分於P和Q：則過平分點所引的直線PQ經過軌道的中心。所以中心在平分線的交點被給定。設那個點為O。平行於任意切線BC在這樣的距離引［直線］KL，使得O位於平行線的中間，則所作的KL與要畫的軌道相切。這條切線截其他任意兩［切線］GCD，FDE於L和K。過這些不平行的切線CL，FK與平行的切線CF，KL的交點C和K，F和L引CK，FL交於R，並引直線OR，再延長它與平行的切線CF，KL在切點處相截。這由引理XXIV的系理2是顯然的。由同樣的方法容易找到其他切點，且在此時由問題XIV的作法畫出軌道。此即所作。 解釋 無論軌道的中心或者其漸近線已給定的問題，已包括在以上的命題中。因為與中心一同給定的點和切線，其他同樣數目的點及同樣數目的切線在離開中心等距的另一側被給定。但是漸近線被視為切線，且其無窮遠距離的終點（如果可以這樣說的話）為切點。想像任意切線的切點遠去至無窮，則切線轉變為漸近線，由此以上問題的作圖法轉變為當漸近線給定時問題的作圖法。畫出軌道之後，由這裡的方法容易找到其軸和焦點。在引理XXI的作圖和圖形中，使動角PBN，PCN的股BP，CP，它們的交點畫出軌道，彼此平行，並在那個圖形中圍繞它們的極B和C轉動而保持［平行的］位置。其間那些角的其他的股CN，BN的交點K或者k，畫出圓BGKC。設這個圓的中心為O。由這個中心往尺子MN，在畫出軌道期間，它由那些其他的股CN，BN所交出，落下垂線OH交圓於K和L。且當其他的股CK，BK交於那個點K時，它距尺子較近，初始的股CP，BP平行於長軸，並且垂直於短軸；且如果同樣的股交於較遠的點L時，得到相反的結果。因此，如果軌道的中心被給定，其軸將被給定。這些被給定之後，立得焦點。 但是軸的平方的彼此之比如同KH比LH，且由此，經過給定的四個點，易於畫出種類被給定的軌道。因為，如果給定的點中的兩個點構成極C，B，第三點給定動角PCK，PBK［的大小］；由這些給定的能畫出圓BGKC。然後，由於軌道的種類給定，OH比OK，且因此OH自身被給定。以O為中心且OH為間隔畫另一個圓，直線，它與這個圓相切，且當初始的股CP，BP交於給定的第四點時，經過股CK，BK的交點，是軌道能被畫出的那條尺子MN。因此，種類給定的不規則四邊形（如果排除某些不可能的情形）可內接於任意給定的圓錐截線。 也有其他一些引理，給定點和切線，能用於畫出種類給定的軌道。其類型如，如果過位置給定的任意點引直線，與給定的圓錐截線交截於兩點，且兩個交點間被平分，平分點位於另一條圓錐截線，其種類與前者相同，且具有與前者的軸平行的軸。然而我急於［轉到］更有用的內容。 引理 XXVI 一個三角形的種類和大小已給定，使它的三個角放置在數目相同的位置給定的直線上，它們不全平行，一個角對一條直線。 三條無窮直線AB，AC，BC的位置被給定，且三角形DEF需如此放置，它的角D與線AB，角E與線AC，且角F與線BC接觸。在DE，DF和EF之上畫三個圓弓形DRE，DGF，EMF，能做出分別與角BAC，ABC，ACB相等的角。但是這些弓形畫在直線DE，DF，EF的那些方向，使字母DRED與字母BACB，字母DGFD與字母ABCA字母，字母EMFE與字母ACBA轉回的順序相同；然後補足這些弓形為完整的圓。設前兩個圓相互截於G，且它們的中心為P和Q。連結GP，PQ，取Ga比AB如同GP比PQ，且以G為中心，間隔Ga畫圓，它截第一個圓DGE於a。既連結aD截第二個圓DFG於b，又連結aE截第三個圓EMF於c。現在可以做出與圖形abcDEF相似且相等的圖形ABCdef。這做出之後，問題被完成。 引Fc交aD於n，並連結aG，bG，QG，QD，PD。由作圖，角EaD等於角CAB，且角acF等於角ACB，因此三角形anc與三角形ABC相等。所以角anc或者角FnD等於角ABC，因此等於角FbD；且所以點n落在點b上。此外，角GPQ，它是圓心角GPD的一半，等於圓周角GaD；再者，角GQP，它是圓心角GQD的一半，等於圓周角GbD對兩個直角的補，且因此等於Gba；因此三角形GPQ，Gab相似；又Ga比ab如同GP比PQ；亦即（由作圖）如同Ga比AB。於是ab和AB相等，且所以三角形abc，ABC，我們剛剛證過它們相似，它們亦相等。因此，三角形DEF的角D，E，F分別接觸三角形abc的邊ab，ac，bc，能完成與圖形abcDEF相似且相等的圖形ABCdef，且其完成使問題得以解決。此即所作 。 系理 因此可引一條直線，它被三條位置給定的直線截出長度給定的部分。想像三角形DEF，點D靠近邊EF，且使邊DE，DF位於一直線上，［三角形］化成一直線，其給定的部分DE位於位置給定的直線AB，AC之間，且其給定部分DF位於位置給定的直線AB，BC之間；應用前面的作法於此種情況，問題得解。 命題XXVIII 問題XX 畫出一條給定種類和大小的軌道，其給定部分位於三條位置給定的直線之間。 設要畫的一條軌道，它與曲線DEF相似且相等，並被三條位置給定的直線AB，AC，BC截出與這條曲線的給定的部分DE和EF相似且相等的部分。 引直線DE，EF，DF，且這個三角形DEF的角D，E，F放置在位置給定的那些直線上（由引理XXVI），然後圍繞三角形畫出的軌道與曲線DEF相似且相等。此即所作 。 引理 XXVII 畫出一個給定種類的不規則四邊形，其四個角位於四條位置給定的直線上，它們不都平行且不都匯聚於一點，一個頂點位於一條直線上。 設四條直線ABC，AD，BD，CE的位置被給定；它們的第一條直線截第二條於A，截第三條於B，且截第三條於C；畫出不規則四邊形fghi，它與不規則四邊形FGHI相似；且它的角f等於給定的角F，與直線ABC接觸；其餘的角g，h，i，與其餘給定的角G，H，I相等，並分別與其餘的直線AD，BD，CE接觸。連結FH並在FG，FH，FI上畫相同數目的圓弓形FSG，FTH，FVI；其中第一個弓形FSG能作出等於角BAD的角，第二個FTH能作出等於角CBD的角，且第三個FVI能作出等於角ACE的角。但是這些弓形應畫在直線FG，FH，FI的那些方向，使字母FSGF的環形順序與BADB的環形順序相同，且使字母FTHF與字母CBDC，字母FVIF與字母ACEA轉回的順序相同。補足這些弓形為完整的圓，設P為第一個圓FSG的中心，且Q為第二個圓FTH的中心。連結PQ並向兩個方向延長，又在其上取比PQ具有BC比AB之比的QR。但是QR在點Q的使字母P，Q，R與字母A，B，C順序相同的方向上取得；又以R為圓心，以間隔RF畫第四個圓FNc截第三個圓FVI於c。連結Fc截第一個圓於a，第二個圓於b。引［直線］aG，bH，CI，則能作與abcFGHI圖形相似的圖形ABCfghi。在這完成時，不規則四邊形fghi就是所要求作的。 因為，前兩個圓FSG，FTH相互截於K。連結PK，QK，RK，aK，bK，cK，並延長QP至L。圓周角FaK，FbK，FcK是圓心角FPK，FQK，FRK的一半，且因此等於那些角的一半LPK，LQK，LRK。所以圖形PQRK與圖形abcK等角且相似，且所以ab比bc如同PQ比QR，亦即，如同AB比BC。此外，由作圖，角FaG，FbH，FcI等於角fAg，fBh，fCi。所以能完成與圖形abcFGHI相似的圖形ABCfghi。在這完成時，所作的不規則四邊形fghi與不規則四邊形FGHI相似，且其角f，g，h，i接觸直線ABC，AD，BD，CE。此即所作 。 系理 因此，可引一條直線，它的部分按順序位於四條位置給定的直線之間，相互之比為給定的比。增大角FGH和GHI，直至直線FG，GH，HI位於一條直線上，且由在這種情形問題的作法，引直線fghi，它的部分fg，gh和hi，位於給定位置的四條直線AB和AD，AD和BD，BD和CE之間，它們的相互之比如同直線FG，GH，HI，且相互之間保持相同的順序。同樣的結果如此更為便捷。 延長AB至K，且BD至L，使得BK比AB如同HI比GH，又DL比BD如同GI比FG；再連結KL交直線CE於i。延長iL至M，使得LM比iL如同GH比HI，並引MQ與LB平行，交直線AD於g，又gi截AB，BD於f，h。我說圖已作出。 因Mg截AB於Q，且AD截直線KL於S，又引AP平行於BD且交iL於P，則gM比Lh（gi比hi，Mi比Li，GI比HI，AK比BK）和AP比BL依照相同的比。DL在R被截，使得DL比RL按照那個相同的比，由於gS比gM，AS比AP和DS比DL成比例；由錯比，AS比BL和DS比RL如同gS比Lh，由合分比（mixtim），BL－RL比Lh－BL如同AS－DS比gS－AS。亦即，BR比Bh如同AD比Ag，且因此如同BD比gQ。再由更比，BR比BD如同Bh比gQ，或fh比fg。但由作圖直線BL以與G和H在FI上同樣的比截於D和R：且因此BR比BD如同FH比FG。所以fh比fg如同FH比FG。由是gi比hi如同Mi比Li，亦即，如同GI比HI，顯然直線FI，fi被相似地截於g和h，G和H。此即所作 。 在這個系理的作法中，引LK截CE於i之後，延長iE至V，使得EV比Ei如同FH比HI，並引Vf平行於BD。如果以i為中心，間隔IH畫圓截BD於X，並延長iX至Y，使得iY等於IF，再引Yf平行於BD，則回到同樣的解。 先前雷恩 和沃利斯 曾想出這個問題的其他解法。 命題XXIX 問題XXI 畫出種類給定的一條軌道，它被四條位置給定的直線所截的部分的順序、種類和比例給定。 設要畫的一條軌道，它與曲線FGHI相似，且它的部分與那條曲線的部分FG，GH，HI相似並成比例，位於位置給定的直線AB和AD，AD和BD，BD和CE之間，第一部分位於第一組直線之間，第二部分位於第二組之間，第三部分位於第三組之間。作直線FG，GH，HI，FI，畫出（由引理XXVII）不規則四形fghi，它與不規則四邊形FGHI相似，且它的角f，g，h，i與那些位置給定的直線AB，AD，BD，CE接觸，每個角按所說的順序。然後圍繞這個不規則四邊形畫出與曲線FGHI相似的軌道。 解釋 這個問題亦可如下作出。連結FG，GH，HI，FI，延長GF至V，並連結FH，IG，且使角FGH，VFH等於角CAK，DAL。AK，AL與直線BD交於K和L，由此引KM，LN，由其中的KM作角AKM等於角GHI，且它比AK如同HI比GH；又由LN作角ALN等於角FHI，且它比AL如同HI比FH。向直線AD，AK，AL的那些方向引AK，KM，AL，LN，使字母CAKMC，ALKA，DALND與字母FGHIF轉回的順序相同；再作MN交直線CE於i。使角iEP等於角IGF，又設PE比Ei如同 FG比GI；再經P引PQf，它與直線ADE所含的角PQE等於角FIG，又交直線AB於f，再連結fi。在直線CE，PE的那些方向引PE和PQ，使字母PeiP和PEQP與字母FGHIF有相同的環形順序，且如果在直線fi上以相同的字母順序作與不規則四邊形FGHI相似的不規則四邊形fghi，又外接軌道的種類給定，問題得解。 論求軌道到此為止。尚餘下確定在已找到的軌道上物體的運動。