自然哲學的數學原理 · 第IV部分 論由給定的焦點，求橢圓形、拋物線形和雙曲線形軌道

引理 XV 如果由橢圓或雙曲線的兩個焦點S，H，兩直線SV，HV向任意第三個點V傾斜，它們中的一條直線HV等於圖形的主軸，亦即焦點所位於的軸；另一條［直線］SV被垂直落在它上面的TR平分於T；那條垂線TR 與圓錐截線在某處相切；並且反之亦然，如果相切，則HV 等於圖形的主軸。 因垂線TR截HV，若需要就延長之，於R；並連結SR。由於TS，TV相等，直線SR，VR且角TRS，TRV也相等。因此點R在圓錐截線上，而垂線TR與此圓錐截線相切；且反之亦然。此即所證 。 命題XVIII 問題X 給定一個焦點和主軸，畫出橢圓形或雙曲線形軌道，它通過給定的點並與位置給定的直線相切。 設S為圖形的公共焦點，AB為任意軌道的主軸的長度；P為一點，軌道應經過它；且TR為一直線，軌道應與它相切。以P為中心，若軌道為橢圓時，以AB－SP為間隔；若軌道為雙曲線時，以AB+SP為間隔，畫圓HG。往切線TR上落下垂線ST，且它被延長至V，使得TV等於ST；又以V為中心，AB為間隔畫圓FH。由這一方法，或者兩個點P，p，或者兩條切線TR，tr，或者點P和切線TR被給定，兩個圓可畫出。設它們的公共部分是H，且由焦點S，H，那個給定的軸，軌道被畫出。我說圖已做出。因所畫軌道（由在橢圓時PH+SP，且在雙曲線時PH－SP，等於軸）經過點P，且（由上面的引理）與直線TR相切。由同樣的論證，此軌道或者經過兩點P，p，或者與兩直線TR，tr相切。此即所作 。 命題XIX 問題XI 對於給定的一個焦點，畫出拋物線形軌道，它經過給定的點並與位置給定的直線相切。 設S為焦點，P為一個點，且TR為所畫軌道的切線。以中心P，間隔PS畫圓FG。由焦點往切線上落下垂線ST，並延長它至V，使得TV等於ST。按同樣的方式畫另一圓fg，如果另一個點p被給定；或者求得另一個點v，如果另一切線tr被給定；然後引直線IF，它與兩圓FG，fg相切，如果兩個點P，p被給定；它經過兩點V，v，如果兩條切線TR，tr被給定；它與圓FG相切並經過點V，如果P和切線TR被給定。往FI上落下垂線SI，且它平分於K；則由軸SK，主頂點K，拋物線被畫出。我說圖已做出。因為拋物線，由於SK和IK，SP和FP相等，它經過點P；且（由引理XIV的系理3）因ST和TV相等及STR為直角，它與直線TR相切。此即所作 。 命題XX 問題XII 對於給定的一個焦點，畫出類型給定的任意軌道，它通過給定的點，且與位置給定的直線相切。 情形1 給定焦點S，設要畫的軌道ABC經過兩點B，C。因為軌道的種類已給定，則主軸比焦點之間距離的比亦被給定。按照那個比取KB比BS，以及LC比CS。以中心B，C，間隔BK，CL畫兩個圓，且在直線LK上，它切這些圓於K和L，落下垂線SG，同一垂線在A和a被截，使得GA比AS和Ga比aS如同KB比BS，並由軸Aa，頂點A，a，軌道被畫出。我說圖已做出。因為若H為所畫圖形的另一個焦點，又由於GA比AS如同Ga比aS，由分比Ga－GA或Aa比aS－AS或SH按照相同的比，且因此按照要畫的圖形的主軸比其焦點之間的距離所具有的比；所以畫出的圖形與要畫的圖形的種類相同。又因KB比BS和LC比CS按照相同的比，這個圖形經過點B，C，由《圓錐截線 》這是顯然的。 情形2 給定焦點S，要畫出一條軌道，它與兩直線TR，tr在某處相切。由焦點向切線上落下垂線ST，St，並延長它們至V，v，使得TV，tv［分別］等於TS，tS，Vv平分於O，並豎立無限的垂線OH，無限延長的直線VS在K和k被截，使得VK比KS和Vk比kS如同所要畫的軌道的主軸比其焦點之間的距離。在直徑Kk上畫圓截OH於H；並由焦點S，H，等於VH的主軸，軌道被畫出。我說圖已做出。因為平分Kk於X，並連結HX，HS，HV，Hv。因為VK比KS如同Vk比kS；並由合比，如同VK+Vk比KS+kS；再由分比，如同Vk－VK比kS－KS，亦即，如同2VX比2KX和2KX比2SX，因此，如同VX比HX和HX比SX，於是三角形VXH和HXS相似，且所以VH比SH如同VX比XH，因此，如同VK比KS。所以畫出的軌道的主軸VH比其焦點之間的距離SH的比，與所要畫的軌道的主軸比其焦點之間的距離所具有的比是相同的，因此是相同的種類。此外，由於VH，vH等於主軸，且VS，vS被直線TR，tr垂直平分，顯然（由引理XV）那些直線與所畫出的軌道相切。此即所作 。 情形3 給定焦點S，要畫出一條軌道，它與直線TR在給定的點R相切。在直線TR上落下垂線ST，延長它至V，使得TV等於ST。連接VR，無限延長的直線VS在K和k被截，使得VK比SK和Vk比Sk如同所要畫的軌道的主軸比其焦點之間的距離；且在直徑Kk上畫圓截延長的直線VR於H，並由焦點S，H，等於直線VH的主軸，軌道被畫出。我說圖已做出。因VH比SH如同VK比SK，因此如同所要畫的軌道的主軸比其焦點之間的距離，由第二種情形的證明，這是顯然的，所以所畫出的軌道與所要畫的軌道的種類是相同的，由於角VRS被直線TR平分，它與軌道在點R相切，由《圓錐截線 》這是顯然的。此即所作 。 情形4 對於焦點S，現在要畫出軌道APB，它與直線TR相切，且經過切線外任意給定的點P，相似於以主軸ab和焦點s，h所畫的圖形apb。在切線TR上落下垂線ST，並延長它至V，使得TV等於ST。再作角hsq，shq等於角VSP，SVP；且以q為中心，以比ab如同SP比VS的間隔畫圓，截圖形apb於p。連結sp並引SH，它比sh如同SP比sp，構作角PSH等於角psh以及角VSH等於角psq。此後，由焦點S，H，和等於距離VH的主軸AB，圓錐截線被畫出。我說圖已做出。因為，如果引sv，它比sp如同sh比sq，構作角vsp等於角hsq以及角vsh等於角psq，三角形svh，spq是相似的，且所以vh比pq如同sh比sq，亦即（因三角形VSP與bsq相似）如同VS比SP或ab比pq。所以vh和ab相等。此外，由於三角形VSH與vsh相似，VH比SH如同vh比sh，亦即，現在所畫出的圓錐截線的軸比其焦點之間的間隔，如同軸ab比焦點之間的間隔sh；所以現在畫出的圖形與圖形apb相似。然而，這一圖形經過點P，因為三角形PSH相似於三角形psh；且因VH等於圖形的軸，又VS被直線TR垂直平分，此圖形與直線TR相切。此即所作 。 引理 XVI 從三個給定的點向第四個未被給定的點引三條斜直線，它們的差或者被給定或者為零。 情形1 令那些給定的點為A，B，C，且第四點為Z，它是應當求的；因為直線AZ，BZ的差給定，點Z位於一雙曲線上，其焦點為A和B，且其主軸是那個給定的差。設那個軸為MN。取PM比MA如同MN比AB，並豎立PR垂直於AB，又落下ZR垂直於PR；由這條雙曲線的性質，ZR比AZ如同MN比AB。由類似的討論，點Z位於另一雙曲線上，其焦點為A，C，且其主軸為AZ和CZ之間的差，可以引QS，它自身與AC垂直，如果由這條雙曲線上的任意點Z往QS上落下成直角的線ZS，這一垂線ZS比AZ如同AZ和CZ之間的差比AC。所以ZR和ZS比AZ的比被給定，並且由此ZR和ZS的相互之比被給定；且因此，如果直線RP，SQ交於T，再引TZ和TA，則圖形TRZS的種類被給定，又直線TZ的位置被給定，點Z位於其上某處。直線TA，以及角ATZ亦被給定；又因為AZ和TZ比ZS的比被給定，它們的相互之比亦被給定；因此三角形ATZ被給定，它的一個頂點是點Z。此即所求 。 情形2 如果三條線中的兩條，設為AZ和BZ，是相等的，因此引直線TZ，使得它平分直線AB；此後如上尋求三角形ATZ。此即所求 。 情形3 如果所有三條線相等，點Z位於過點A，B，C的圓的中心。此即所求。 這個引理中的問題亦在由維埃特編訂的阿波羅尼奧斯的書《論切觸 》中被解決。 命題XXI 問題XIII 對於給定的一個焦點畫一條軌道，它通過給定的點並與位置給定的直線相切。 設焦點S，點P和切線TR被給定，需求另一焦點H。往切線上落下垂線ST，並延長它至Y，使得TY等於ST，則YH等於主軸。連結SP，HP，且SP是HP和主軸之間的差。按照這種方式，如果給定更多的切線TR，或更多的點P，總能找到由所說的點Y或P到焦點所引的同樣數目的線YH或PH，它們或者等於軸，或者它們以給定的長度SP不同於軸；於是它們或者相等，或者有給定的差，且由此，由上面的引理，另外一個焦點H被給定。同時擁有了兩個焦點和軸的長度（它或者為YH，或者，如果軌道為橢圓，為PH+SP；若不然，軌道為雙曲線，為PH－SP）也就有了軌道。此即所求 。 解釋 當軌道為雙曲線時，在這個軌道的名下我沒有包括相對的雙曲線［分支］。因為物體在自己的持續運動時不可能遷移到相對的雙曲線［分支］上。 在給定三個點的情形可如此便捷地求解。設B，C，D為給定的點。連結BC，CD，並延長至E，F，使得EB比EC如同SB比SC，且FC比FD如同SC比SD。在畫出的EF及其延長上落下成直角的直線SG，BH，又在無限延長的GS上取GA比AS和Ga比aS如同HB比BS；則A為軌道的頂點，且Aa為其主軸：軌道，依照GA大於、等於、或者小於AS，而為橢圓，拋物線或者雙曲線；點a在第一種情形與點A落在線GF的同一側；在第二種情形它遠離以至無窮；在第三種情形它落在線GF的另一側。因為如果向GF上落下垂線CI，DK；則IC比HB如同EC比EB，這就是，如同SC比SB；又由更比，IC比SC如同HB比SB或者如同GA比SA。且由類似的論證可證KD比SD是按照相同的比。所以點B，C，D在關於焦點S如此畫出的圓錐截線上，使得由焦點S到截線上每個點所引的直線比由相同的點落到直線GF上的垂線按照那個給定的比。 最傑出的幾何學家拉伊爾 ，在他的《圓錐截線 》卷VIII，命題XXV中給出此問題的解法，方法上與此沒有大的差異。