自然哲學的數學原理 · 第III部分 論物體在偏心的圓錐截線上的運動

命題XI 問題VI 一個物體在一橢圓上運行；需求趨向橢圓的一個焦點的向心力的定律。 令S為橢圓的一個焦點。引SP截橢圓的直徑DK於E，又截縱標線Qv於x，再補足平行四邊形QxPR。顯然EP等於半長軸AC，如此是因為，由橢圓的另一焦點H作平行於EC自身的線HI，因CS，CH相等，ES，EI也相等，至此EP是PS，PI，亦即（因HI與PR平行，且角IPR與HPZ相等）PS，PH的和之半，它們連結起來等於整個軸2AC。向SP上落下垂線QT，稱L為橢圓的主通徑 （13） （latus rectum principale）（或 ，則L×QR比L×Pv如同QR比Pv，亦即，如同PE或AC比PC；且L×Pv比GvP如同L比Gv；又GvP比Qvquad. 如同PCquad. 比CDquad. 及（由引理VII系理2），Qvquad. 比Qxquad. 在Q和P重合時成為等量之比；再者Qxquad. 或Qvquad. 比QTquad. 如同EPquad. 比PFquad. ，亦即，如同CAquad. 比PFquad. ，或者（由引理XII），如同CDquad. 比CBquad. ，並連結所有這些比，L×QR比QTquad. 如同AC×L×PCq ×CDq ，或2CBq ×PCq ×CDq 比PC×Gv×CDq ×CBq ，或如同2PC比Gv。然而點Q和P重合時2PC和Gv相等。所以與此成比例的L×QR和QTquad. 相等。這些等量乘以 ，則L×SPq 等於 。所以（由命題VI系理1和系理6）向心力與L×SPq 成反比，亦即，按照距離SP的二次反比。此即所求 。 另解 由於趨向橢圓的中心的力，由它物體P能在那個橢圓上運行，如同（由命題X系理1）物體離橢圓的中心C的距離CP；引CE平行於橢圓的切線PR；且力，由它同一物體能環繞橢圓的另外任意點S運行，如果CE和PS交於E，如同（PEcub. ）/（SPq ）（由命題VII 系理3），這就是，如果點S為橢圓的一個焦點，且因此PE被給定，與PSq 成反比。此即所求 。 這裡可以一樣簡短地如問題五那樣推至拋物線和雙曲線。實在因為問題的重要性及在其後它們的應用，由證明證實另外的情形，當不會令人生厭。 命題XII 問題VII 一個物體在一支雙曲線上運動；需求趨向圖形的一個焦點的向心力的定律。 令CA，CB為雙曲線的半軸；PG，KD為另外的共軛直徑，PF垂直於直徑KD；Qv為附屬於直徑GP的縱標線。引SP截直徑DK於E，又截縱標線Qv於x，並補足平行四邊形QRPx。顯然EP等於橫截半軸AC，如此是因為，由雙曲線另一焦點H作平行於EC自身的線HI，因為CS，CH相等，ES，EI也相等；至此EP是PS，PI，亦即（因IH，PR平行且角IRP，HPZ相等）PS，PH的差的一半，因為差等於整個軸2AC。向SP落下垂線QT。且稱L為雙曲線的主通徑（或 ），則L×QR比L×Pv如同QR比Pv，或Px比Pv，亦即（因相似三角形Pxv，PEC）如同PE比PC，或AC比PC。L×Pv比Gv×Pv也如同L比Gv；而（由圓錐截線的性質）矩形 （14） （rectangulum）GvP比Qvquad. 如同PCquad. 比CDquad.；又（由引理VII系理2）Qvquad. 比Qxquad. 當點Q和P重合時，成為等量之比；則Qxquad. 或Qvquad. 比QTq 如同EPq 比PFq ，亦即，如同CAq 比PFq ，或（由引理XII）如同CDq 比CBq ：聯合所有這些比，L×QR比QTq 如同AC×L×PCq ×CDq ，或2CBq ×PCq ×CDq 比PC×Gv×CDq ×CBq ，或如同2PC比Gv。但當點P和Q重合時，2PC和Gv相等。所以與此成比例的L×QR和QTq 相等。這些等量乘以（SPq ）/（QR），則L×SPq 等於（SPq ×QTq ）/（QR）。所以（由命題VI系理1和系理5）向心力與L×SPq 成反比，亦即，按照距離SP的二次反比。此即所求 。 另解 所求的力，它趨向雙曲線中心。這已得出，它與距離SP成比例。由此（由命題VII系理3）趨向焦點S的向心力如同（PEcub. ）/（SPq ），因PE給定，即與SPq 成反比。此即所求 。 按同樣的方式可以證明，當這一向心力變為離心力，物體將沿相對的雙曲線［分支］運動。 引理 XIII 屬於任意頂點的拋物線的通徑是那個頂點離圖形的焦點的距離的四倍。 這由《圓錐截線 》是顯然的。 引理 XIV 垂線，它從一條拋物線的焦點落到其切線上，是焦點離切點的距離和離主頂點的距離的比例中項。 因設AP為拋物線，S為其焦點，A為主頂點，P為切點，PO為附屬於主直徑 （15） （diametros principalis）的縱標線，切線PM交主直徑於M，且SN為由焦點到切線的垂線。連結AN，又因為MS和SP，MN和NP，MA和AO相等，直線AN和OP是平行的；並由三角形SAN在A為直角且相似於相等的三角形SNM，SNP：所以PS比SN如同SN比SA。此即所證 。 系理1 PSq 比SNq 如同PS比SA。 系理2 且由於SA給定，SNq 如同PS。 系理3 且任意切線PM與直線SN的會合處，SN自焦點垂直於PM，落在直線AN上，AN與拋物線在主頂點相切。 命題XIII 問題VIII 使一個物體在一拋物線的周界上運動；需求趨向這個圖形的焦點的向心力的定律。 保留引理的作圖，且設P是在拋物線的周線上的物體，並由它移動到下一處的位置Q，引QR平行於且QT垂直於SP，又Qv平行於切線，交直徑PG於v，又交距離SP於x。現在，由於相似三角形Pxv，SPM，一個［三角形］的邊SM，SP相等，另一個的邊Px或QR和Pv相等。但由《圓錐截線 》，縱標線Qv的平方等於通徑和直徑的截段Pv之下的矩形，亦即（由引理XIII）矩形4PS×Pv，或4PS×QR；又當點P和Q重合時，Qv比Qx之比（由引理VII系理2）將成為等量之比。所以在這一情形Qxquad. 等於4PS×QR。但（由相似三角形QxT，SPN）Qxq 比QTq 如同PSq比SNq ，這就是（由引理XIV系理1）如同PS比SA，亦即，如同4PS×QR比4SA×QR，且由此（由《幾何原本 》第V卷命題IX）QTq 和4SA×QR相等。對這些等量乘以（SPq ）/（QR），則（SPq ×QTq ）/（QR）等於SPq ×4SA：所以（由命題VI系理1和系理5）向心力與SPq ×4SA成反比，亦即，由於4SA給定，按照距離SP的二次反比。此即所求 。 系理1 由以上的三個命題得出，如果任意物體P沿任意直線PR，以任意速度離開位置P，並且同時受到與位置離中心的距離的平方成反比的向心力推動，這個物體在焦點在力的中心的某一圓錐截線上運動；且反之亦然。因給定焦點，切點和切線的位置能畫出一條圓錐截線，它在那個點有給定的曲率。但由給定的向心力和物體的速度，曲率被給定：兩個彼此相切的軌道不可能由相同的向心力和相同的速度畫出。 系理2 如果速度，物體以它離開位置P，使得能在極短的時間小段畫出短線 （16） （lineola）PR；同時向心力在同一時間能使這個物體的運動通過空間QR：則這個物體在某一圓錐截線上運動，其主通徑是那個量（QTq ）/（QR）當短線PR，QR減小以至無窮時的最後結果。在這些引理中我將圓歸之於橢圓，但我排除物體一直下降到中心的情形。 命題XIV 定理VI 如果多個物體圍繞一個公共的中心運行，且向心力按照位置離中心的距離的二次反比；我說，軌道的主通徑按照面積的二次比，它們由物體向中心所引的半徑在相同的時間畫出。 因為（由命題XIII系理2）通徑L等於當點P和Q重合時量QTq QR的最終值。但極短的線QR在給定的時間如同產生的向心力，這就是（由假設）與SPq 成反比。所以（QTq ）/（QR）如同QTq ×SPq ，即是通徑L按照面積QT×SP的二次比。此即所證 。 系理 因此，橢圓的整個面積，兩軸之下的矩形與它成比例，按照來自通徑的二分之一次比和循環時間的比的複合比。因為總面積如同在給定的時間所畫出的面積QT×SP，乘以循環時間。 命題XV 定理VII 對同樣的題設，我說物體在橢圓上的循環時間按照長軸的二分之三次比。 又因短軸是長軸和通徑之間的比例中頂，且由此兩軸之下的矩形按照來自通徑的二分之一次比和長軸的二分之三次比的複合比。但此矩形（由命題XIV的系理）按照來自通徑的二分之一次比和循環時間之比的複合比。兩邊除去通徑的二分之一次比，並保留長軸的二分之三次比與循環時間之比相同。此即所證 。 系理 所以在橢圓上［運動的物體］的循環時間與在圓上的循環時間相同，圓的直徑等於橢圓的長軸。 命題XVI 定理VIII 對同樣的題設，再向物體作直線，它們與軌道相切，由公共的焦點向這些切線落下垂線，我說物體的速度按照來自垂線的反比和主通徑的二分之一次正比的複合比。 由焦點S往切線PR上落下垂線SY，且物體P的速度按照量（SYq ）/L的二分之三次反比。因為那個速度如同在給定的一小段時間它所畫出的極小的一段弧PQ，也就是（由引理VII）如同切線PR，亦即，因PR比QT 和SP比SY成比例，如同（SP×QT）/（SY），或者與SY成反比且與SP×QT成正比；又SP×QT如同在給定時間所畫出的面積，亦即（由命題XIV）按照通徑的二分之一次比。此即所證 。 系理1 主通徑按照來自垂線的二次比和速度的二次比的複合比。 系理2 物體的速度，在離公共的焦點的最大的和最小的距離上，按照來自距離的反比和主通徑的二分之一次正比的複合比。因為垂線現在即是距離。 系理3 因此，［物體］在圓錐截線上的速度，在離焦點的最大的或者最小的距離上比［物體］在離中心同樣距離的圓周上的速度，按照主通徑比二倍的那個距離的二分之一次比。 系理4 物體在橢圓軌道上運行，在離公共的焦點平均距離處的速度與物體在同樣距離的圓形軌道上運行的速度是相同的，這就是（由命題IV引理6）按照距離的二分之一次反比。因現在垂線即是短半軸，且這些［短半軸］如同距離與通徑之間的比例中項。這個反比與通徑的二分之一次正比的複合，成為距離的二分之一次反比。 系理5 在相同的圖形，或甚至不相同而主通徑相等的圖形中，物體的速度與從焦點落到切線上的垂線成反比。 系理6 在拋物線上，速度按照物體離圖形的焦點的距離的二分之一次反比；在橢圓上速度按較此比大的比，在雙曲線上按較此比小的比變化。因為（由引理XIV系理2）自焦點到拋物線的切線落下的垂線按照距離的二分之一次比。在雙曲線上垂線按較此比小的比，在橢圓上按較此比大的比變化。 系理7 在拋物線上，一個物體在離開焦點任意距離處的速度比離中心同樣距離的一個物體在圓周上運行的速度按照數值二比一的二分之一次比；在橢圓上按照小於這個比的比，在雙曲線上按照大於這個比的比。因為由本命題的系理2，在一條拋物線的頂點的速度按照這個比，又由本命題的系理6和命題IV，相同的比在所有的距離被保持。因此，在一條拋物線上任意一個地方的速度等於一個物體以一半的距離在圓周上運行的速度；在橢圓上較小，在雙曲線上較大。 系理8 ［一個物體］在任意圓錐截線軌道上運行的速度比［一個物體］在距離為該圓錐截線的主通徑之半的圓形軌道上運行的速度，如同那個距離比從焦點到圓錐截線的切線上落下的垂線。由系理5這是顯然的。 系理9 因此，由於（由命題IV 系理6）［一個物體］在這個圓形軌道上運行的速度比［一個物體］在其他任意的圓形軌道上的速度，按照距離的二分之一次反比；從錯比 （17） （ex æquo）導出，［一個物體］在圓錐截線軌道上運行的速度比［一個物體］以同樣的距離在圓形軌道上運行的速度，如同那個公共距離和圓錐截線的主通徑之半的比例中項比從公共的焦點到圓錐截線的切線上落下的垂線。 命題XVII 問題IX 假設向心力與位置離中心的距離的平方成反比，且那個力的絕對量已知；需求［曲］線，物體從給定的位置，以給定的速度，沿給定的直線離去時畫出它。 設趨向點S的向心力使物體p在任意給定的軌道pq上運行，並設這個［物體］在位置p的速度已知。設物體P從位置P沿［直］線PR以給定速度離去，此刻之後，向心力使它從那條線折入圓錐截線PQ，所以直線PR與這條圓錐截線切於P。另一條直線pr同樣與軌道pq切於p，且如果想像著由S落到這些切線上垂線，則（由命題XVI系理1）圓錐截線的主通徑比軌道的主通徑按照來自垂線的二次比和速度的二次比的複合比，由此亦被給定。設圓錐截線的通徑為L。圓錐截線的一個焦點S亦被給定。角RPS對兩個直角的補是角RPH；另一個焦點H所在的直線PH的位置給定。向PH落下垂線SK，設想豎立共軛半軸BC，又SPq －2KPH+PHq =SHq =4CHq =4BHq －4BCq = :quad －L× =SPq +2SPH+PHq －L× 。兩邊加上2KPH－SPq －PHq +L× ，則L× =2SPH+2KPH或SP+PH比PH如同2SP+2KP比L。所以PH的長度及位置給定。如果物體在P的速度使通徑L小於2SP+2KP，PH與直線PS位於切線PR的同側，因此圖形為橢圓，再由給定的焦點S，H，主軸SP+PH被給定。但如果物體的速度如此之大，使得通徑L等於2SP+2KP，PH的長度為無窮；且所以圖形為具有軸SH平行於直線PK的拋物線，因而被給定。如果物體從位置P前進的速度更大，長度PH需取在切線的另一側；因此切線在焦點之間穿過，圖形為具有主軸等於直線SP和PH之差的雙曲線，因而被給定。因為在這些情形如果物體在如此求得的圓錐截線上運行，在命題XI，XII和XIII中已經證明，向心力與物體到力的中心S的距離的平方成反比；且因此［曲］線PQ正確地顯示了物體從給定的位置P，以給定的速度沿位置給定的直線PR出發，由於這種力所畫的曲線。此即所作 。 系理1 因此在每一條給定主頂點D，通徑L，及焦點S的圓錐截線中，當DH比DS取得如同通徑比通徑和4DS之間的差時，另一個焦點H也被給定。因為在這一系理的情形，SP+PH比PH之比如同2SP+2KP比L成為DS+DH比DH如同4DS比L，且由分比，DS比DH如同4DS－L比L。 系理2 因此，如果給定一個物體在主頂點D的速度，軌道可便捷地被發現，即是，按照這個給定的速度比一個物體在距離為DS的圓形軌道上運行的速度（由命題XVI系理3）的二次比，取其通徑比二倍的距離DS，然後取DH比DS如同通徑比通徑和4DS之間的差。 系理3 因此，如果一個物體在任意的圓錐截線上運動，並被無論什麼樣的衝擊逐出它自己的軌道；能知道一條軌道，此後它在其上繼續自己的路程。因為由物體自身的運動和那個運動的複合，那個運動由衝擊單獨生成，就有了物體從所給定的受衝擊的位置沿位置給定的直線離去的運動。 系理4 並且，如果那個物體受到外部某個壓迫力的持續擾動，通過收集一些點在引入那個力時的變化，由序列的一致性估計［物體］在中間位置的連續變化，可相當接近地知道其路徑。 解釋 如果物體P由於趨向任意給定的點R的向心力在任意給定的圓錐截線的周線上運動，圓錐截線的中心為C，需求向心力的定律；引CG平行於半徑RP，並與軌道的切線PG交於G；則那個力（由命題X的系理1和解釋，以及命題VII的系理3）如同（CGcub. ）/（RPquad. ）。