自然哲學的數學原理 · 第II部分 論求向心力

命題I 定理I 面積，它由在軌道上運動的物體往不動的力的中心所引的半徑畫出，停留在不動的平面上，且與時間成比例。 時間被分為相等的段，且在第一個時間段物體由於其固有的力畫出直線AB。在第二個時間段，同一物體如果沒有阻礙，它將一直前進到c，（由定律I）畫出等於AB的線Bc；因此往中心引半徑AS，BS，cS，畫出的面積ASB，BSc相等。然而當物體到達B時，假設向心力以一次但有力的衝擊，致使物體由直線Bc傾斜並在直線BC上前進。引cC與BS平行，交BC於C；則第二個時間段完成時，物體（由諸定律的系理I）在C被發現；它在與三角形ASB相同的平面。連結SC，因SB，Cc平行，三角形SBC等於三角形SBc，因此也等於三角形SAB。由類似的論證，如果向心力相繼作用在C，D，E，等等，使物體在各自的時間片段各自畫出直線CD，DE，EF，等等，它們全都位於同一個平面；且三角形SCD等於三角形SBC，［三角形］SDE等於［三角形］SCD，［三角形］SEF等於［三角形］SDE。所以在相等的時間，相等的面積在不動的平面上被畫出：且通過複合，任意的面積和SADS，SAFS彼此之間，如同畫出它們的時間。現在三角形的數目無限增加且其寬度減小以至無窮，且最終它們的周線ADF（由引理三的系理四）為曲線：因此向心力，由它物體持續從這條曲線的切線上被拉回，此作用從不間斷；且畫出任意的面積SADS，SAFS總與所畫的時間成比例，面積在此情形與那些時間成比例。此即所證 。 系理1 在沒有阻力的空間，被一個不動中心吸引的物體的速度與從那個中心到軌道的切線所落下的垂線成反比。因為在那些位置A，B，C，D，E的速度如同相等的三角形的底AB，BC，CD，DE，EF；且這些底與落在它們之上的垂線成反比。 系理2 如果AB和BC是由同一個物體在無阻力的空間中在相等的時間所畫出的兩段相繼的弧的弦，補足平行四邊形ABCV，則這條對角線BV當那些弧減小以至無窮時所處的位置，沿兩個方向延伸，通過力的中心。 系理3 如果弦AB，BC和DE，EF是［物體在］無阻力的空間中在相等的時間所畫出的弧的弦，並補足平行四邊形ABCV和DEFZ；在B和E的力彼此之比，當那些弧減小以至無窮時，按照對角線BV和EZ的最終比。因為物體的運動BC和EF（由諸定律的系理I）由運動Bc，BV和Ef，EZ合成，然而BV和EZ［分別與］Cc和Ff相等。在此命題的證明中它們由向心力在B和E的衝擊產生，且因此與這些衝擊成比例。 系理4 任意物體在沒有阻力的空間中被拉離直線運動並被彎折到曲線軌道的諸力的相互之比，如同在相等的時間內所畫出的弧的矢的比。當那些弧減小以至無窮時，弧的矢匯聚於力的中心，並平分弦。由於這些矢是我們在系理三中所提到的對角線的一半。 系理5 所以這些力比重力，如同這些矢比那些垂直於地平線的拋物線的弧的矢，它們［拋物線］由拋射體在相同的時間畫出。 系理6 由諸定律的系理V，當平面，物體在其上運動，連同力的中心，它們位於這些平面上，不是靜止的而是均勻地一直運動，所有結論同樣成立。 命題II 定理II 每一個物體，它在一個平面上畫出的某一曲線上運動，且向或者不動的或者均勻地一直向前運動的點引半徑，［半徑］圍繞那個點畫出的面積與時間成比例，則物體被趨向同一個點的向心力所推動。 情形1 因每個在曲線上運動的物體，由作用在自身上的某個力使物體從直線路徑彎折（由定律I）。且那個力，它使物體從直線路徑彎折，圍繞不動的中心S在相等的時間畫出極小的相等的三角形SAB，SBC，SCD，等等，在位置B［力的］作用沿與cC平行的直線（由《幾何原本 》第I卷命題XL，以及定律II），這就是，沿直線BS；在位置C沿與dD平行的直線，這就是，沿直線SC，等等。所以，作用總沿著趨向那個不動的點S的直線。此即所證 。 情形2 且由諸定律的系理5，無論物體在其上畫出曲線圖形的表面靜止，或者它與物體，畫出的圖形及點S一起均勻地向前運動，並無差別。 系理1 在沒有阻力的空間或介質中，如果面積不與時間成比例，則力不趨向半徑的交點；而從那裡向前（in consequentia）偏離，或者朝向運動發生的方向，只要畫出的面積被加速；但如果它被遲滯，則從那裡向後（in antecedentia）偏離。 系理2 在有阻力的介質中，如果所畫出的面積被加速，力的方向從半徑的交點朝向運動發生的方向偏離。 解釋 物體可能由多個力合成的向心力推動。在這種情形命題的意義是那個由所有力合成的力趨向點S。而且如果其他力沿垂直於所畫出的表面的直線持續作用，這引起物體離開它運動的平面，但畫出的表面既不增加亦不減小，且所以［此力］在合力中被忽略。 命題III 定理III 每一個物體，向另一無論怎樣運動的物體的中心引半徑，圍繞那個中心畫出的面積與時間成比例，它被由來自趨向另一個物體的向心力及來自另一個物體被推動的總的加速力的合力所推動。 設第一個物體為L，另一個物體為T：且（由諸定律的系理6）如果兩個物體沿平行線被一個新力推動，它等於且與那個力相反，由那個力另一個物體T被推動；第一個物體L繼續圍繞另一個物體T畫出與以前相同的面積，但力，由它另一個物體T被推動，現在被等於且與此力相反的力所抵消；且所以（由定律I）現在留給另一個物體T自身或者靜止，或者均勻向前的運動：且第一個物體L由力的差推動，亦即，剩餘力推動它圍繞另一個物體T繼續畫出與時間成比例的面積。所以（由定理II）力的差趨向作為中心的另一個物體T。此即所證 。 系理1 因此，如果一個物體L向另一個物體T所引半徑畫出的面積與時間成比例；則從整個力（無論是簡單的力，或者根據諸定律的系理2由幾個力合成的力），由它前一個物體L被推動，減去（由諸定律的同一個系理）整個加速力，由它後一個物體被推動的：剩餘的整個力，由它前一個物體被推動，趨向作為中心的後一個物體T。 系理2 且如果那個面積與時間非常接近地成比例，則剩餘力非常接近地趨向另一個物體T。 系理3 且反之亦然，如果剩餘力非常接近地趨向另一個物體T，則那個面積與時間非常接近地成比例。 系理4 如果物體L向另一個物體T所引半徑畫出的面積，與時間相比非常不相稱；且另一個物體T或者靜止，或者均勻地向前運動：趨向那另一個物體T的向心力的作用或者沒有，或者它混合併複合了其他很強的力的作用；如果有多個力，由所有的力合成的總力，指向另外一個（無論不動的或者運動的）中心。當另一個物體無論怎樣運動時，得到同樣的事情，只要向心力被取為減去作用於另一個物體T的整個力之後所余的力。 解釋 既然畫出相等的面積表示存在一個中心，那個使物體受到最大影響，由直線運動被拉回並被保持在自己的軌道上的力轉向它；以後我們為何不用畫出相等的面積作為一個中心的標誌，在自由空間中圍繞這一中心的所有環繞運動得以發生呢？ 命題IV 定理IV 諸物體以相等的運動畫出不同的圓，向心力趨向那些圓的中心；且相互之間如同在同一時間所畫出的弧的平方除以圓的半徑。 由命題II和命題I的系理2這些力趨向圓的中心，且由命題I的系理4它們彼此之間如同在極短的相等的時間內所畫出的弧的正矢 （11） （sinus versus），亦即，由引理VII如同那些弧的平方除以圓的直徑；且所以，由於這些弧如同在任意的相等時間所畫出的弧，且直徑如同它們的半徑，力如同在同一時間畫出的任意弧的平方除以圓的半徑。此即所證 。 系理1 因為那些弧如同物體的速度，向心力按照來自速度的二次正比和半徑的簡單反比的複合比。 系理2 又，因為循環時間按照來自半徑的正比和速度的反比的複合比；向心力按照來自半徑的正比和循環時間的二次反比的複合比。 系理3 因此，如果循環時間相等，則速度如同半徑；向心力亦如同半徑：且反之亦然。 系理4 且如果循環時間和速度都按照半徑的二分之一次比；則向心力彼此相等：且反之亦然。 系理5 如果循環時間如同與半徑，且所以速度相等；向心力與半徑成反比：且反之亦然。 系理6 如果循環時間按照半徑的二分之三次比，且所以速度按照半徑的二分之一次反比；向心力與半徑的平方成反比：且反之亦然。 系理7 一般地，如果循環時間如同半徑R的任意次冪Rn ，且所以速度與半徑的冪Rn-1 成反比；向心力與半徑的冪R2n-1 成反比：且反之亦然。 系理8 當物體畫出任意相似圖形的相似部分，且［力的］中心在那些圖形有相似的排列時，所有關於時間、速度和力的結論是同樣的。這由前面的證明用於目前的情形得出。應用時由相等的面積代替相等的運動，物體離中心的距離代替所說的半徑。 系理9 由同樣的證明亦得出：弧，它由一個物體以給定的向心力均勻地在一圓上運行時在任意的時間畫出，是圓的直徑和同一個物體由同一給定的力，在相同的時間所完成的下落之間的比例中項。 解釋 系理6的情形對於天體成立（正如我國的雷恩 、胡克 和哈雷 分別發現的）。所以針對按照離中心的距離的二次比減小的向心力，我準備在下面詳細討論。 而且得益於目前的命題及其系理，向心力比其他任意已知力，如重力的比例，可被斷定。因為如果一個物體由自身的重力沿與地球同心的圓運行，此重力就是向心力。由這個命題的系理9，從重物的下落，物體運行一周的時間被給定，且它畫出任意弧的時間亦被給定。又，按這種類型的命題，惠更斯 在他卓越的專著《論擺鐘 》（de Horologio Oscillatorio）中把重力與環繞物體的離心力（vis contrifuga）一同做了比較。 當前這個命題亦能按如下方式證明。在任意圓內，想像任意邊數的多邊形被畫出。且如果［物體］以給定速度沿多邊形的邊運動，並在每個角被圓反射，每次反射時撞擊圓的力，如同其速度，因此在給定時間內的力之和如同那個速度和反射次數的聯合；此即（如果多邊形的種類被給定）如同在那段給定的時間所畫出的長度，且按照同一長度比前面所說的圓的半徑之比增大或減小；亦即，如同那個長度的平方除以半徑。由是，如果多邊形的邊無限減小並與圓重合，如同在給定的時間所畫出的弧的平方除以半徑。這是離心力，由它物體推動圓；且相反的力等於這個力，由它圓持續把物體推向中心。 命題V 問題I 給定在任意位置的速度，由它一個物體以趨向某個公共的中心的力畫出一個給定的圖形，求那個中心。 設三條直線PT，TQV，VR與所畫出的圖形在同樣數目的點P，Q，R相切並交於T和V。在切線上豎直垂線PA，QB，RC，它們與在切線豎立起的那些點P，Q，R［處物體］的速度成反比；亦即，PA比QB如同在Q的速度比在P的速度，且QB比RC如同在R的速度比在Q的速度。經垂線的端點A，B，C［與這些垂線］成直角地引AD，DBE，EC交於D和E：則作成的TD，VE交於要求的中心S。 因為由中心S落到切線PT，QT上的垂線（由命題I系理1）與物體在點P和Q的速度成反比；因此由作圖與垂線AP，BQ成正比，亦即如同由D點落到切線［PT］上的垂線。因此易於推斷出點S，D，T在一條直線上。又由類似的論證，點S，E，V亦在一條直線上；且所以中心S位於直線TD，VE的相交之處。此即所證 。 命題VI 定理V 如果一個物體在一無阻力的空間圍繞一個不動的中心在任意的軌道上運行，並在極短的時間畫出任意一條剛要消失的弧，並且如果所引的弧的矢被理解為它平分弦且延長時穿過力的中心：在弧中間的向心力與矢成正比且與二次時間成反比。 因為在一給定時間的矢如同力（由命題I系理4），且按任意的比增大時間，由於弧按同樣的比增大，矢按照那個比的二次方被增大（由引理XI系理2和系理3），因此如同一次力和二次時間。從兩邊除去時間的二次比，力變為如同矢的正比和二次時間的反比，此即所證 。 此命題易於由引理X的系理4證明。 系理1 如果物體P圍繞中心S運行畫出曲線APQ；直線ZPR切那條曲線於任意點P，從曲線上另一任意點Q引QR平行於距離SP，並向那個距離SP落下垂線QT：向心力與立體 成反比；只要那個立體總取作當點P與Q重合時的最終的度量。因為QR等於中點在P二倍於弧QP的［一段弧的］矢，且三角形SQP的二倍或者SP×QT與一段時間成比例，在此期間二倍的那個弧被畫出，且因此能代替時間。 系理2 由同樣的論證，向心力與立體 成反比，只要SY是從力的中心落到軌道的切線PR上的垂線。因為矩形SY×QP與SP×QT相等。 系理3 如果軌道或者為圓形，或者與一圓同心相切，或者同心相截，亦即，［軌道］與圓所含的切角或者交角為最小，在點P有同樣的曲率及同樣的曲率半徑；且如果PV為由物體過力的中心所作成的這個圓的弦：向心力與立體SYq ×PV成反比。因為PV即是 。 系理4 對同樣的題設，向心力與二次速度成正比，且與那條弦成反比。因為由命題I系理1，速度與垂線SY成反比。 系理5 因此，如果任意曲線圖形APQ被給定，且在其上也給 定一點S，向心力持續指向它，能發現向心力的定律，由它任意物體P不斷地被拉離直線路徑，並被保持在那個圖形的周線上，且在運行時也畫出它［作為軌道］。於是需計算與這個力成反比的立體 或者立體SYq ×PV。在下面的問題中，我們給出這類例子。 命題VII 問題II 使一個物體在一圓的圓周上運行，需求趨向任意給定點的向心力的定律。 令圓周為VQPA，S為給定的點，它作為力趨向的中心；物體P在圓周上轉動，Q為相鄰的，它要運動到的位置；且圓在前一位置P的切線為PRZ。經點S引弦PV，並作圓的直徑VA，連結AP；且往SP上落下垂線QT，延長它交切線PR於Z；然後又過點Q引LR，它與SP平行，又交圓於L，切線PZ於R。因三角形ZQR，ZTP，VPA相似，RPquad. ，這就是QRL比QTquad. 如同AVquad. 比PVquad. 。因此 等於QTquad. 。這些相等的量乘以 ，且當點P和Q重合時用PV代替RL。如上所言， 變為與 相等。所以（由命題VI系理1和系理5）向心力與 成反比；亦即（由於AVquad. 給定）與距離或高度SP的平方及弦PV的立方（cubus）的聯合成反比。此即所求 。 另解 往延長了的切線PR上落下垂線SY；又由相似三角形SYP，VPA；AV比PV如同SP比SY：因此 等於SY，且 等於SYquad. ×PV。所以（由命題VI系理3和系理5）向心力與 成反比，這就是，因AV給定，與SYq ×PVcub. 成反比。此即所求 。 系理1 因此，如果給定點S，向心力總趨向它，它位於這個圓的圓周上，比如說在V，則向心力與高度SP的五次方成反比。 系理2 力，由它物體P在圓周APTV上圍繞力的中心S運行，比一個力，由它同一個物體P能在同一個圓上以相同的循環時間圍繞另外一個任意力的中心R運行，如同RPquad. ×SP比直線SG的立方，SG為從第一個力的中心S向軌道的切線PG所引的，並與物體離第二個力的中心的距離平行的直線。因為由這個命題的作圖，前一個力比後一個力如同RPq ×PTcub. 比SPq ×PVcub. ，亦即，如同SP×RPq 比 ，或者（由於相似三角形PSG，TPV）比SGcub. 。 系理3 力，由它物體P在任意軌道上圍繞力的中心S運行，比一個力，由它同一個物體P能在同一軌道上以相同的循環時間圍繞另外一個任意的力的中心R運行，如同物體離第一個力的中心S的距離和它離第二個力的中心P的距離的平方所包含的［立體］ SP×RPq 比直線SG的立方，它［SG］從第一個力的中心S向軌道的切線PG所引，且平行於物體離力的第二個力的中心的距離RP。因為在這個軌道上任意點P的力與在同曲率的圓上的力是相同的。 命題VIII 問題III 使一個物體在半圓PQA上運動；需求有如此效果的向心力的定律，力趨向的點S是如此之遠，以至所有向它引的直線PS和RS可以認為是平行的。 自半圓的中心C引半直徑CA與那些平行線垂直截於M和N，並連結CP。因為三角形CPM，PTZ和RZQ相似，CPq 比PMq 如同RPq 比QTq ，又由圓的性質，RPq 等於矩形 ，或者當點P和Q會合時，等於矩形QR×2PM。所以CPq 比PMquad. 如同QR×2PM比QTquad. ，且因此 等於 ，又 等於 。所以（由命題VI系理1和系理5）向心力與 成反比，此即（忽略定比 ）與PMcub. 成反比。此即所求 。 由前一命題容易導出同樣的結論。 解釋 且由［與此］沒有多大差異的論證，一個物體被發現在橢圓，或者雙曲線，或者拋物線上運動，向心力，它與趨向極為遙遠的力的中心的縱標線的立方成反比。 命題IX 問題IV 使一個物體在與所有半徑SP，SQ，等等，以一定角相截的螺線PQS上運行：需求趨向螺線中心的向心力的定律。 設不確定的小角PSQ被給定，又由於所有的角已給定，圖形SPRQT的種類亦被給定。所以比 被給定，又 如同QT，這就是（由於那個圖形的種類給定）如同SP。現在任意改變角PSQ，切角QPR所對的直線QR（由引理XI）按照PR或QT的二次比變化。所以 與前面保持一樣，這就是，如同SP。於是 如同SPcub. ，因此（由命題VI系理1和系理5）向心力與距離SP的立方成反比。此即所求 。 另解 在切線上落下垂線SY，又共心截螺線的圓的弦PV比高度SP按照給定的比；且因此SPcub. 如同SYq ×PV，這就是（由命題VI系理3和系理5）與向心力成反比。 引理XII 所有圍繞一個給定的橢圓或雙曲線的任意共軛直徑所畫出的平行四邊形彼此相等。 這由《圓錐截線 》是顯然的。 命題X 問題V 使一個物體在一橢圓上運行：需求趨向橢圓的中心的向心力的定律。 令CA，CB為橢圓的半軸；GP，DK為另外的共軛直徑；PF，QT垂直於直徑；Qv為附屬於直徑Gp的縱標線，且如果補足平行四邊形QvPR，則（由《圓錐截線 》）矩形PvG比Qvquad. 如同PCquad. 比CDquad. ，又（由於相似三角形QvT，PCF）Qvquad. 比QTquad. 如同PCquad. 比PFquad. 。這些比相結合，矩形PvG比QTquad. 如同PCquad. 比CDquad. ，及PCquad. 比PFquad. ，亦即vG比（QTquad. ）/（Pv）如同PCquad. 比（CDq ×PFq ）/（PCq ）。把Pv寫成QR，且（由引理XII）CD×PF寫成BC×CA，以及（當點P和Q重合時）把vG寫作2PC，又未項和中項彼此相乘，（QTqund ×PCq ）/（QR）等於（2BCq ×CQq ）/（PC）。所以（由命題VI系理5）向心力與（2BCq ×CAq ）/（PC）成反比；亦即（由於2BCq ×CAq 給定）與1/（PC）成反比；這就是，與距離PC成正比。此即所求 。 另解 在直線PG上點T的另一側按照Tu等於Tv取點u；然後取uV，它比vG如同DCquad. 比PCquad. 。又因為由《圓錐截線 》，Qvquad. 比PvG如同DCquad. 比PCquad. ，Qvquad. 等於Pv×uV。兩邊加上矩形uPv，出現弧PQ的弦的平方等於矩形VPv；且因此圓，它與圓錐截線在P點相切，穿過點Q，亦穿過點V。點P與Q重合時，uV比vG之比，它與DCq 比PCq 之比相同，變成PV比PG或PV比2PC之比；因此PV等於（2DCq ）/（PC）。是以力，由它物體P在橢圓上運行，與（2DCq ）/（PC）乘以PFq 成反比（由命題VI系理3），這就是（由於2DCq 乘以PFq 給定）與PC成正比。此即所求 。 系理1 所以，力如同物體離橢圓的中心的距離；且反之，如果力如同距離，物體在其中心在力的中心的一個橢圓上運動，或者也許在圓上，橢圓能變化為圓。 系理2 且在圍繞同一中心的所有橢圓上所做的運行的循環時間相等。因為那些時間在相似的橢圓上相等（由命題IV系理3和系理8），但是在具有公共長軸的橢圓上，它們的相互之比如同整個橢圓面積的正比和同時畫出的小部分面積的反比；亦即，與短軸成正比，且與物體在主頂點 （12） （vertex principalis）的速度成反比；這就是，與那些短軸成正比，且與公共軸的同一點所屬的縱標線成反比；且所以（由於正比和反比的相等性）按照等量之比。 解釋 如果橢圓的中心跑至無窮遠，橢圓變為拋物線，物體在此拋物線上運行；現在趨向在無窮遠距離的中心的力最終相等。這是伽利略的定理。且如果圓錐的拋物線形截面（通過改變圓錐截面的傾斜）變為雙曲線，在這個［截面］邊緣運動的物體的向心力變為離心力。且正如在圓或橢圓中，如果力趨向的圖形的中心位於橫標線上，按照任意給定的比增加或減小縱橫線，或者改變縱標線對橫標線的傾斜角，這些力總按照到中心的距離的比增大或減小，只要循環時間保持相等；因此在一般的圖形中，如果縱標線按任意給定的比增大或減小，或者縱標線的傾角任意變化，保持循環時間［不變］，趨向位於任意橫標線上的中心的力，對每一條縱標線，按照離中心的距離之比增大或減小。