自然哲學的數學原理 · 第I部分 論用於此後證明的最初比和最終比方法

引理 I 諸量，以及量的比，它們在任何有限的時間總趨於相等，在時間結束之前它們彼此之間比任意給定的差更接近，最終它們成為相等。 如果你否認，則它們最終成為不相等，且它們最終的差變成D。那麼，對於相等性它們就不能比給定的差D更為接近：與假設相反。 引理 II 如果在直線Aa，AE和曲線acE圍成的任意圖形AacE中，內接相等的底邊AB，BC，CD，等等，與圖形的邊Aa平行的邊Bb，Cc，Dd，等等包含的任意數目的平行四邊形Ab，Bc，Cd，等等；並補足平行四邊形aKbl，bLcm，cMdn，等等。此後如果平行四邊形的寬度減小且其數目增加以至無窮：我說，內接圖形AKbLcMdD，外接圖形AalbmcndoE，以及曲線形AabcdE彼此之間的比，是等量之比。 因為內接圖形和外接圖形之差是平行四邊形Kl，Lm，Mn，Do的和，這就是（由於所有的底相等）一個底Kb和高的和Aa之下的矩形，亦即，矩形ABla。但這個矩形，其寬度AB無限減小，變得小於任何給定的矩形。所以（由引理I）內接圖形和外接圖形，並且居於它們中間的曲線形最終相等。此即所證 （8） （Q.E.D.）。 引理 III 當平行四邊形的寬度AB，BC，CD，等等不相等，但都減小以至無窮時，同樣的最終比也是等量之比。 因為設AF等於最大寬度，並補足平行四邊形FAaf。這個平行四邊形大於內接圖形和外接圖形之差；但它的寬度AF被減小以至無窮，它將變得小於任意給定的矩形。此即所證 。 系理1 因此，那些正消失的平行四邊形的最終和與曲線形的所有部分重合。 系理2 並且直線形，它被將要消失的弧ab，bc，cd，等等的弦包圍，最終與曲線形重合。 系理3 內接直線形，當被相同的弧的切線包圍時是一樣的。 系理4 因此，這些最終的圖形（相對於周線acE）不再是直線形，而是直線形的曲線形極限。 引理 IV 如果在兩個圖形AacE，PprT中，內接（如同上面）兩組平行四邊形，二者數目一樣，且當寬度減小以至無窮時，一個圖形中的平行四邊形比另一個圖形中的平行四邊形的最終比，一個對一個，是相同的；我說，這兩個圖形AacE，PprT彼此按照那個相同的比。 因為［在一個圖形中的］一個平行四邊形比［在另一個圖形中對應的］一個平行四邊形，如同（由複合）［在一個圖形中平行四邊形的］總和比［在另一個圖形中平行四邊形的］總和，並且如同一個圖形比另一個圖形［按照等量之比］；因為前一圖形（由引理III）比前一和，以及後一圖形比後一和，按照等量之比。此即所證 。 系理 因此，如果兩種任意類型的量按同樣的份數被任意劃分，那些部分在數目增加且它們的大小減小以至無窮時，彼此之間保持給定的比，第一個對第一個，第二個對第二個，其餘的按順序對其餘的：則整個部分彼此之間按照那個相同的給定的比。因為，如果在這個引理的圖形中，平行四邊形被取得彼此如同［量的］部分，則部分之和總如同矩形之和；因此，當部分及平行四邊形的數目增加且大小減小以至無窮時，部分和將按照［一個圖形中的］平行四邊形比［另一個圖形中的］平行四邊形的最終比，亦即（由假設）將按照［一個量中的］部分比［另一個量中的］部分的最終比。 引理 V 諸相似形的所有的邊，無論是直線或是曲線，它們相互對應成比例：則面積按照邊的二次比。 引理 VI 如果位置給定的任意弧ACB所對的弦為AB，且在某點A，它在連續的曲率中間，被沿兩個方向延伸的一條直線 （9） AD相切；此後點A，B彼此靠近並重合；我說，角BAD，它被包含在弦和切線之間，被減小以至無窮並最終消失。 因為如果那個角不消失，弧ACB和切線AD所含的角等於一個直線角，且所以曲率在點A不連續，與假設矛盾。 引理 VII 在同樣的假設下，我說弧、弦和切線彼此的最終比是等量之比。 因為當點B靠近點A時，總認為AB和AD延長到在遠處的點b和d，引bd平行於截段BD。又，弧Acb總相似於弧ACB。當點A，B重合時，由上一引理，角dAb消失；且因此有限的直線Ab，Ad和居於它們中間的弧Acb重合，所以相等。因此總與［Ab，Ad和Acb］成比例的直線AB，AD，和居於它們中間的弧ACB消失，且它們最終具有等量之比。此即所證 。 系理1 因此，如果通過B引平行於切線的［直線］BF與過A的任意直線交於F，這個BF與消失的弧ACB的最終比為等量之比，因為如果補足平行四邊形AFBD，BF比AD總是等量之比。 系理2 如果通過B和A引另外的直線BE，BD，AF和AG與切線AD及其平行線BF相截，則所有線段AD，AE，BF和BG以及弦AB與弧AB彼此的最終比為等量之比。 系理3 因此，這些線段在任何關於最終比的論證中可以相互替換。 引理 VIII 如果直線AR和BR以及弧ACB給定，它們與弦AB和切線AD構成三角形RAB，RACB和RAD，如果A和B互相靠近，我說這些三角形它們消失時的最終形狀相似，並且它們的最終比為等量之比。 因為當點B靠近點A時，總認為AB，AD，AR延長到在遠處的點b，d和r，並引rbd平行於RD，且設弧Acb總與弧ACB相似。當點A，B重合時，角bAd消失，所以三個總是有限的三角形rAb，rAcb，rAd重合，因此之故相似且相等。所以，總與［rAb，rAcb，rAd］相似且成比例的RAB，RACB，RAD最終彼此相似且相等。此即所證 。 系理 且因此那些三角形，在所有關於最終比的論證中能互相代替。 引理 IX 如果直線AE和曲線ABC的位置給定，它們相互截於一給定的角A，且以另一給定角向那條直線引作為縱標線的BD，CE，它們交曲線於B，C，然後點B和C同時向點A靠近：我說三角形ABD，ACE的面積最終彼此按照邊的二次比。 確實當點B，C靠近點A時，總認為AD延長到在遠處的點d和e，使得Ad，Ae與AD，AE成比例，並豎立與縱標線DB，EC平行的縱標線db，ec交延長的AB，AC於b和c。引認為與ABC相似的曲線Abc，並引直線Ag，它與兩曲線在A相切，並截縱標線DB，EC，db，ec於F，G，f，g。一方面保持Ae的長度，另外點B，C與點A會合，且角cAg消失，曲線形Abd，Ace與直線形Afd，Age的面積重合；因此（由引理V）將按照邊Ad，Ae的二次比。但是面積ABD，ACE總與這些面積成比例，且邊AD，AE總與這些邊成比例。所以面積ABD，ACE最終按照邊AD，AE的二次比。此即所證 。 引理 X 空間，它由受到一任意有限力推動的一個物體畫出，無論那個力是確定的和不變的，或者持續增加或者持續減小，在運動剛開始時按照時間的二次比。 時間由線AD，AE表示，且所產生的速度由縱標線DB，EC表示；這些速度畫出的空間，如同這些縱標線所畫出的面積ABD，ACE，這就是，運動剛開始時空間自身（由引理IX）按照時間AD，AE的二次比。此即所證 。 系理1 因此容易推知，當物體在成比例的時間畫出相似圖形的相似部分時的誤差，它由任意相等的力類似地用於這些物體上產生，由物體離開相似圖形的那些位置度量，同樣的物體在沒有這些力作用時在成比例的時間到達那些位置，很近似地如同產生它們的時間的平方。 系理2 但是誤差，它由成比例的力類似地用於相似圖形的相似部分上產生，如同力與時間的平方的聯合。 系理3 同樣可以知道物體在不同的力推動下所畫出的任意的空間。它們當運動剛開始時，如同力與時間的平方的聯合。 系理4 因此，當運動剛開始時，力與［物體］所畫出的空間成正比且與時間的平方成反比。 系理5 又，時間的平方與［物體］所畫出的空間成正比且與力成反比。 解釋 如果不同種類的不定量彼此比較，並且說其中的某一個與任意另一個成正比或反比，意思是，或者前者與後者按相同的比增加或減小，或與後者的倒數按相同的比增加或減小。且如果說其中的一個與另外兩個或多個成正比或反比；意思是，第一個按照一個比增加或減小，它由後者中某個的或者另一個的倒數的增大或減小的比複合而成。且如果說A與B成正比又與C成正比又與D成反比；意思是，A按照與B×C×（1/D）同樣的比增加或減小，這也就是，A與（BC/D）的相互之比為給定的比。 引理 XI 在切點具有有限曲率的所有曲線中，切角消失時的對邊，最終按照弧毗連的對邊的二次比。 情形1 設AB為那條弧，其切線為AD，切角的對邊BD垂直於切線，弧的對邊為AB。豎立垂直於這個對邊AB和切線AD的直線AG，BG，它們交於G；然後點D，B，G靠近點d，b，g，再設J為當點D，B最終到達A時直線BG，AG的交點。顯然距離GJ能小於任意指派的距離。又（由穿過點ABG，Abg的圓的性質）ABquad. 等於AG×BD，且Abquad. 等於Ag×bd；由此ABquad. 比Abquad. 之比由來自AG比Ag與比BD比bd的比複合而成。但因GJ能取得小於任意指派的長度，使得AG比Ag之比能成為與等量之比的差異小於任意給定的差的比，因此，ABquad. 比Abquad. 之比與BD比bd之比的差異小於任意給定的差。所以，由引理I，ABquad. 比Abquad. 的最終比與BD比bd的最終比相同。此即所證 。 情形2 現在BD以任意給定的角向AD傾斜，則BD比bd的最終比總與前者相同，且因此與ABquad. 比Abquad. 相同。此即所證 。 情形3 任意角D沒有被給定，但直線BD往給定的一個點匯聚，或按任意其他的規則確定；畢竟角D，d按相同的規則確定，總傾向於相等且比任意給定的差更加靠近，由此由引理I它們最終相等，所以直線BD，bd的彼此之比與前面一樣。此即所證 。 系理1 由於切線AD，Ad，弧AB，Ab以及它們的正弦BC，bc最終等於弦AB，Ab；同樣它們的平方最終如同［切角的］對邊BD，bd。 系理2 它們的平方最終也如同弧的矢 （10） （arcus sagitta），它們平分弦並匯聚於一給定的點。因為那些矢如同［切角的］對邊BD，bd。 系理3 且因此，矢按照時間的二次比，在此期間物體以一個給定的速度畫出弧。 系理4 直線三角形ADB，Adb最終按照邊AD，Ad的三次比，且按照邊DB，db的二分之三次比；由於［這些三角形］按照邊AD和DB，Ad和db的複合比。所以三角形ABC和Abc最終按照邊BC，bc的三次比。我說的二分之三次比是三次比的平方根，即是來自簡單比和［它的］二分之一次比的複合。 系理5 因為DB，db最終平行並按照AD，Ad的二次比：最終曲線形ADB，Adb的面積（由拋物線的性質）是直線三角形ADB，ADb面積的三分之二；且弓形AB，Ab是同樣的三角形的三分之一。並且這些［曲邊形的］面積及這些弓形既按照切線AD，Ad的三次比；又按照弦和弧AB，Ab的三次比。 解釋 然而，我們一直假設切角既不無限地大於也不無限地小於包含於圓和它們的切線的切角；這就是，在點A的曲率既不是無窮小又不是無窮大，或者間隔AJ的長短是有限的。因DB可取為如同AD3 ：在此情形過點A不能畫出在切線AD和曲線AB之間的圓，因此切角無限地小於圓的切角。由類似的論證，如果DB相繼取得如同AD4 ，AD5 ，AD6 ，AD7 ，等等，得到一個無窮延續的切角序列，其中任意後面的切角無限地小於前面的切角，且如果DB相繼取得如同AD2 ， ， ， ， ，等等，得到另一切角序，其中第一個與圓的切角是同類，第二個較圓的切角無限地大，且任意後面的切角較前面的切角無限地大。而且，在這些角中的任意兩個之間能插入位於兩者之間的，向兩個方向延續以至無窮的切角序列。其中任意後面的切角較前面的切角無限地大或者無限地小。如在AD2 和AD3 項之間插入序列 ， ， ， ， ， ， ， ， ，等等。又，在此序列的任意兩個角之間可插入一個新的位於兩者之間的角序列，彼此由無窮多的間隔區分。自然可知這沒有限度。 那些關於曲線及關於它們所包圍的面的證明，易用於立體曲面及立體的容積。我先期給出這些引理，是為了避免按古代幾何學家的方式，用歸謬法導出冗長的證明。確實，由不可分方法證明可得以縮短。但因不可分假設過於粗糙，所以那種方法被認為更少幾何味；我寧願此後命題的證明由正消失的量（quantitantum evanescentium）的最終和及最終比以及初生成的量（quantitantum nascentium）的最初和及最初比導出，亦即，由和及比的極限導出；我給出那些極限儘可能簡潔的證明，如預先說的。因為由此得到的結果，同樣也由不可分法得到，現在那些原理已經得到證明，我們利用它們更為穩妥。因此，在此後每當我考慮由小部分構成的量時，或當我用短曲線代替直線時，我不願它們被理解為不可分量，而願它們總被理解為正消失的可分量；不要理解為確定的部分的比以及和，而總理解為和以及比的極限，且此類證明的力量總從屬於前面引理的方法。 反對意見是，正消失的量不存在最終比，因為在量消失之前，比不是總終的，在已消失之時，比不再存在。但同樣的論證適用於［說明］一個物體到達其運動停止時的特定位置時沒有最終速度，因為在物體到達這個位置之前，其速度不是最終速度，當物體到達那裡時，不再有速度。但［對此的］回答是容易的：物體的最終速度被理解為，它既不是在物體到達運動最終到達並停止的位置之前的，也不是在它到達那個位置之後的，而是正當它到達時的速度；亦即，物體到達最終位置並停止的那個速度。並且類似地，正消失的量的最終比被理解為不是它們消失之前或消失之後的比，而是它們正消失時的比。同樣，初生成的量的最初比是它們被生成時的比。且最初和最終的和是它們正當開始和終止（或者增加或者減小）的和。存在一個極限，在運動之終可以達到，但不能超過。這就是最終速度。這對所有剛出現和將要終止的量和比的極限是一樣的。又因為這個極限是一定的且有界限，確定它是真正的幾何學問題。在確定和證明其他幾何學問題時，可以合法地應用［古典］幾何學中的一切。 也可能［這樣提出］反對，如果正消失的量的最終比給定，它們最終的大小亦被給定，因此所有量由不可分量構成，這與歐幾里得在《幾何原本 》第十卷論不可通約量中證明的真理相反。但這種反對依賴一個錯誤的假設。那些最終比，隨著它們量的消失，實際上不是最終量的比，而是無限減小的量的比持續靠近的極限，它們能比任意給定的差更加接近，但在量被減小以至無窮之前它們既不能超過，也不能達到［此極限］。這種事件用無窮大能被更清楚地理解。如果兩個量，它們的差給定並被增加以至無窮，它們的最終比被給定，即為等量之比，但給出此比的最終的量或最大的量並沒有被給定。為了使後面的內容易於理解，我所說的極小的量或正消失的量或最終的量，提防被理解為大小確定的量，而總要意識到無限減小的量。