哲學概論 · 第十四章 數學與邏輯知識之性質（下)

第八節 數學與邏輯合一之理論 以上各種數學邏輯之理論，皆為欲於數學與邏輯之知識本身外，求其中觀念之來源；並說明其所以能對經驗世界有效應用之故。但今吾人試問：若數學邏輯之知識本身全不應用，或將其與一切客觀存在、主觀心理、及時空等之關聯，完全截斷，是否其本身即不能為真，或不能成立?我們又試假定，我們所經驗之世界，表面全變為不合邏輯數學者，是否邏輯數學中之規律，即可被否定? 譬如吾人今試假想：我們將二蘋果加二蘋果，由經驗得者乃為五蘋果或三蘋果，又試假想一蘋果方是綠，又忽是紅，或方是蘋果，再看即成一條金蛇，又看則成一美女。吾人於此是否即必懷疑數學邏輯之知識之真，而謂二加二不等於四，或A不是A? 但我們一細想，便知吾人即在此情形下，仍不能懷疑數學邏輯知識之真。因如吾人將二蘋果加二蘋果而得五蘋果或三蘋果時，我們通常可不懷疑二加二等於四，而可想此由於另一蘋果自他處出來，或一蘋果被人偷去，亦可想此乃我們之視覺看錯，亦可想我們計數時，少計了一個，或多計了一個 [72] 。此外，我們還可以想，蘋果是如人之能生殖，由二人可生出第三人者；或蘋果是能合併的，如一體積水之透入另一體積之物，仍成一體積。總之我們不願懷疑二加二之等於四。而此數學中之二加二等於四之意義，亦實並不全等於我們通常所謂把二個物與另二個物置於一處之意義。因將二個物與另二個物置於一處，依其相互之因果關係，其最後之結果，可等於任何數。如二狼與二羊，置於一處，則最後只有二狼。一國之二戰士與敵國之二戰士，置於一處，可互相鬥殺，最後無一戰士。二阿米巴與二阿米巴置於一處，最後之結果為無數之阿米巴。吾人如知「二加二等於四」之意義，並不等於「二物與二物置於一處必有四物」之意義，則任何經驗界之二物與二物置於一處所生之結果，其數如何，即無一能否證二加二等於四者。而無論此結果是什麼，我們都可以經驗界之物與物之因果關係等，加以解釋；並在此解釋中應用到數學。如二狼與二羊置於一處成二狼。則吾人說二加二再減二等於二。如二戰士與二戰士相鬥而皆死，則我們說：二減二等於零。如二阿米巴與二阿米巴自己分裂成無限，則我們說二乘二乘二……成無限。由是而無論二事物與二事物置於一處其所生之結果變如何數，永有其他數學知識可應用。 其次，在幾何學中，其知識之不能由經驗世界事物之存在狀態之變化加以否證，其情形亦相同。如在歐克里得幾何學中，吾人說三角形之三角，等於百八十度。今試設有三角板，才量是百八十度，再量似只有百七十九度。吾人亦必不說三角形之三角之和，可少於百八十度，而只說此三角板上之三角形，非幾何學上之三角形；或說因其他物理原因，使原為三角板之三邊之直線，由直成曲，成非三角形。因而不再將此三角板之形，當作三角形看，而當作非三角形看。於是對之不應用三角形之幾何知識，而應用其他形之幾何學知識。由是而幾何學之知識，亦永不能為所經驗事物之幾何形狀之變化所否定，而吾人亦永可有其他幾何知識，可應用於變化後經驗事物之上。 此外在邏輯上，吾人說A是A，A非非A，亦不能為經驗事物所否定。即如一物才紅又綠，才是蘋果，又成一條金蛇，再成美人，此固可能。但只要變化後之物有其所是者可說，吾人仍可說紅是紅，而非非紅。蘋果是蘋果，而非非蘋果。說A是A，只是說是A者是A，或如是A則是A，並非說，是A者必須永遠是A。則是A者之由是A而不是A，並不能否證是A者之是A。而若一是A者，由是A而是非A之B，則我們可轉而對於B說「是B者是B」。而此即同於「是A者是A」，之為表示邏輯上之同一律者。由是而此邏輯上之同一律，亦永不能為經驗事物之所否證。而無論事物之由是什麼之變為什麼，此同一律皆為對之可應用者。對矛盾律，排中律者，皆同可如此加以解釋。 吾人如了解上述之數學與邏輯之知識應用於經驗事物，乃永不能被否證，且無論經驗事物之如何變化，皆可有可應用之數學邏輯知識；便知我們討論數學邏輯之知識，所以有必然性及其根據，可全不從其與經驗事物之關係上著想，而可純從數學邏輯之知識本身，如何形成上著想。 如自數學本身著想，我們如要問為什麼二加二等於四，則我們盡可不問一二三四是什麼，「加」是什麼。但是我們可說一加一叫做二，二加一叫做三，三加一叫做四。或說二之定義即一加一，三之定義即二加一，四之定義即三加一。則我們可以純從此定義推演，以證明二加二等於四。 2=（1+1)A 3=（2+1)B 4=（3+1)C 依B以（2+1)代3 4=（（2+1)+1))D 移動括弧 4=（2+（1+1))E 依A以2代（1+1) 4=（2+2)F 移項 （2+2=4)G 此即來布尼茲對於2+2=4之一證法。 依此種說法，我們可不問一二三四是什麼，而只須知我們對一二三四之定義，即可證明二加二等於四。此亦如我們可不知道唏唏，呵呵，哈哈是什麼，但我們如說呵呵之定義是「唏唏加唏唏」（A)，哈哈之定義是呵呵加唏唏（B)，則我們即可說：哈哈是「唏唏加唏唏」加唏唏（C)，哈哈是唏唏加「唏唏加唏唏」（D)，哈哈是唏唏加呵呵（E)，唏唏加呵呵是哈哈（F)。由此而數學之推理之原則，即可與邏輯之原則若完全相同。 我們上述之依定義而作之數學推理，其中亦實假定某種律則。如ABCD純依定義而立，可無問題。但E中之=2+（1+1)與D中之=（2+1)+1，二者之形式，仍然不同。E乃由將D之括弧拆開，而將其中之「1」與其外之「1」，聯合在一括弧中而成。此種將一數學公式中括弧拆開，而將其中之數之項，另與其他數之項聯合之規則，此稱為數學中之聯合律。聯合律之形式，可以（A+B)+C=A+（B+C)表之。又F與G之形式亦不同，而吾人之可將一數學公式之=號兩旁之數項，加以移項，則為數學中之交換律。交換律之形式可以A+B=B+A表之。 此二律則在邏輯中亦同樣有之，如上所舉之唏唏哈哈之例中由C至D，即依於聯合律，由E至F即依於交換律。 但是我們可以不知一二三四是什麼，而純依諸數之定義以推論；與我們不知唏唏哈哈等是什麼，而可依對之之定義以推論，在邏輯形式上之相同，仍只是一方面的說法。因我們在常識中，仍覺我們是知道一二三四是什麼的，至少我們知其是數。我們又知由數一二三四，可數至五六七八九十……以造一無窮盡的數之系列，我們知其中後之一數，皆可由不斷的加一於以前之數而成，又知由不斷加一，我們即不斷有一新數。然在唏唏哈哈之例中，我們並不能由唏唏加唏唏，以生出哈哈。我們必須先有「唏唏」「哈哈」等名詞，並對之先加以定義，乃能有上述之推論。但我們卻可不必先有一一之數之名，先有一一數之名之定義；而可由加一於以前之數以生一數後，再與以一名；並可即以一數之所由生，為一數之名之定義。而我們之由加一於以前之數以生數時，我們必須有一起點之數。比起點之數即為零之數，故「零為一數」。而對零加一所成之數，即可稱為，繼零之數而起之繼數，繼數亦為一數。如0+1成1。此1即0之繼數，而亦為一數。而此1之定義亦即0+1。繼數復有其繼數，如1+1成2，2即為一之繼數。此2之定義，即1+1，亦即0+1+1。此處吾人如假定：吾人之不斷加一以產生數，乃一直前進之歷程，或假定「無兩數有同一繼數」，即一數只有一繼數，一繼數亦只為一數之繼數，又「零不能成任何數之繼數」，又假定「由零而次第產生之一切繼數，有其共同之性質」；則吾人即可造成一自然數（Natural number)之系列。而此數之系列中之一切數，因皆具有共同之性質，以屬於一系列，吾人遂可以同一之方式，加以運算 [73] 。依上述之思路以說明數之產生，吾人可只須有若干之基本觀念如○、數、繼數等，若干基本命題，如上述之「零為一數」「無兩數有同一之繼數」等，即可構造出自然數之系列，而此數之系列中之一切數，又皆為具有共同之性質，並可依一定方式加以運算者。然吾人於此卻可不須先知此基本觀念之意義，及諸基本命題之其他根據，而只說有此諸基本觀念及諸基本命題，便可構成自然數之系列，其中一一之數，皆為可依一定方式加以運算者。此即為將求數學之基礎，建立於吾人所自覺的設定之基本觀念、基本命題上；而求化數學為純粹的邏輯的演繹系統之一種現代數理哲學之路向，而可由符芮格（Frege)之說以代表者。 但是在知識論上，我們總不能完全滿足於任何未加以說明觀念及基本命題。故人總想知道○是什麼，數是什麼，繼數是什麼，並由此以確知運用此諸基本觀念，所成之基本命題之根據何在。此在現代哲學中一條道路，即羅素之以類說明數之理論。此可配合以前他家之數學理論，略加介紹。 羅素這種理論，其目標在欲自符芮格（Frege)進一步，以求連繫數學與邏輯。因「類」乃是邏輯中之概念。我們要定一類，只須某一性質，具有某性質之一切個體，即合成一類。如具有人性之一切個體成人類。依羅素說，性質與類之概念，皆初可不假定數之概念。一類中有許多個體，每一個體皆可各予以單獨之名字，亦可不用到數。但一類中之各個體，與另一類之各個體，可有一與一之相當One to one correspondence。如一類中有三個體者，其三個體，即可與其他類有三個體者，有一與一之相當。而諸有三個體之類，又可合為一類。此類所合成之類，即名為類之類Class of Classes。而此處之三，即所以標別此類之類之異於其他之類之類（如有四個體之類之類)者。此三即數。此三之為數，在其為諸有三個體之各類，被視為一類之共同根據。依常識，吾人似可直就某一類中有三個體，以說其為三。但實則吾人在說其為三時，並非只在此一類中有三個體之事實上說其為三，而是從其與有一切有三個體之類，有相類似處，而可合為一類之類處，說其為三。依此，每一數可定一類之類，而數之概念乃可指一切數者，則「數」為一切「類之類」合成之類。 依以類言數之思路，每一基數皆為一類之類。一類之類中，其分子為類；而一類中之分子，則為個體。吾人以某性質規定一類，一類中可有多個體或一個體為分子。（如聖人之類可只有孔子)或無個體為其分子。無個體為分子之類，如龜毛兔角，即為空類。由此可導出零為一數之說。 以類言數，則所謂數之相乘，亦以類之觀念界定。即吾人可以一性質定一類，又可合併二性質以上以定類，或合二類以上以一成類，如人而神之類。今設有二類AB於此，吾人可設定一類中之一項，各能與另一類中一項，分別配列成對，則吾人即定一類，即「二類之各項相互配列成對」所成之類。而此類中分子之數，即為二類中之分子數之相乘所成之數。而此即可成為乘法之基礎。 此種以類言數之理論，其歸根在一類中個體之存在。如一切類中皆無個體，則類皆為空類而除零外無數。因有一個體之類，故有一，又有二個體之類，故有二，以至有千個體之類，故有千。然吾人在數學中，明可於任何數皆加一以成另一數，而異於前之數。由此而「數」之數，應為無窮而各各不同者。欲使此一切之數，皆能各定一類，則世間應有無窮之個體事物。因若世間之個體事物為有窮，如止於千，則千零一及千零二以上之數，皆為空類，而所定之類遂無分別可言。今欲使其分別成可能，使一切之數，皆能各定一類，則必待於世間之有無窮個體。然此為不可證者，吾人只能如此設定。此在羅素稱之為無窮公理之設定Axiom of Infinity。 此外一類之所涵，為其中個體之全部；類之類之所涵，為諸類之全部。類之數可多於個體之數，因一個體可屬於多類，而類與類集合成之類之數，又可多於類之數。如設色有五類，形有三類，五色與三形分別集合成之類之數，即有十五類。類本身不能視為一個體，類之類本身亦非類中之一，此中有層次之不同。然類之所指，只為其中之各個體。而類之類之所指，初為各類，最後仍為各類之各個體。依各個體而有類，依類而有類所集合成之類之類。而集合成之類之類還指類，再還指個體，即為數有意義之必須條件。而設定此事之可能之公理，為還原公理Axiom of Reducibility。 此外又有相乘公理Axiom of Multiplication，為上文所謂「二數中之分子配列成對之事為可能」之設定。如無此設定，則乘法無根據。此與前二公理，皆為所以使數學之基礎，得建立於邏輯中之類與個體之概念之上者。 第九節 依類言數之理論在知識論中之價值 羅素這種數學理論之全部系統，自非我們之所能詳論。但即上之所述，我們已可說其以類論數之說之價值，在指出一般之認識歷程中，數之觀念並非最先生起，而為後起。同時確定數為普遍的概念；而並非直接依於外在之存在事物，或主觀觀念或直覺以起者。 在常識之見，恆以為吾人一看世界，即能直覺數之存在。如一見而知這裡有二個人，那裡有三個馬。然又奇怪何以有當前一二十人以上時，吾人可一眼望盡此一二十人，而不能直下即知其數?實則吾人之認識世界，最初只有一片感覺、感相、或現象呈於目前。此感覺、感相或現象呈於目前，我們可並不覺其數。對於三個馬，我們可一次看盡，或分二次看，三次看，然亦盡可不注意其類，亦不知其數。而我們在對世界有所感覺後，我們如要對世界有知識，我們首先一步，乃以我們之所感覺之內容，而對外物作一判斷。如見馬形，則謂這是馬；見人形，則謂這是人。此判斷在日常經驗中，亦常有誤。如判斷草人為人，判斷牛為馬之類。而我們之說我們直見一人、一馬、一花、一草，乃唯因我們自信所判斷者之無誤，而在日常經驗中亦大皆不誤之故。於是忘此中之判斷與感覺之俱起。實則，凡我們有所感覺而知其是什麼，或謂之為什麼時，無不有判斷俱起。而在此判斷中，我們最少是以一普遍之性質，論謂對象，而施於對象。如謂其是人，即謂其有人之性質，謂其是馬，即謂有馬之性質。故我們在日常經驗中，實持種種性質之概念之套子，以施於對象之上。此時因對象本身是什麼，尚未決定，我們可稱凡能合此性質概念之對象為x。於是吾人可說，在我們之認識事物之歷程中，吾人乃先想種種之「x是有馬性」，「x是有人性」之套子，套於種種對象之上，而俟以後之決定。在決定時，吾人乃可說，彼物是有馬性，此物有人性，以成真正之命題。依此命題，乃知彼屬於馬類，此屬於人類，而謂彼是馬，此是人。在此命題未形成之先，「x是有馬性」，「x是有人性」之套子，則只可稱為一命題函值Propositional function。對此命題函值之x之變項，以常項加以決定後，乃有種種之命題。而吾人在日常經驗中，所謂直接經驗之這是花，這是草，對山上者是樹，在池中者是影，實則皆依吾人之判斷而有，亦即依吾人之將種種命題函值，加以初步之決定後，以成之種種命題。 依此以看，吾人之常識中所謂這裡有三個馬，便不當說之為吾人一次之直覺之認識所成。而當說吾人對這些對象，一一將「x是有馬性」之命題函值之套子套上去，而一一皆發現其真而成：甲是馬，乙是馬，丙是馬之諸命題。此即吾人對這些對象之第一步的知識。在此知識中，吾人發現有甲乙丙之個體對象，皆能滿足「是有馬性」之條件，而為「x是有馬性」之命題函值中x之值。至吾人之說這些個體對象之數為「三」，則不只是就這些個體對象本身上說。因「三」亦可指三人（亦即指能滿足「x是有人性」命題函值中之條件之個體對象之數目)三牛等，故三之數為一普遍者，而可成一類名者。即指「三個體對象之類之類」之名。 依此，便知吾人在常識中之直說三個馬，三個人，此數字排列之次序，乃並不與吾人之認識次序相應者。如要使之相應，我們可試說，馬個個個三，人個個個三，此三乃又可通於三人、三牛、三光等者。如再以圖形表之，則三在諸三馬，三人，三牛之地位，可如圖： 上述之三為一概念一類名之說，可應用於一切數，而視一切數皆為一概念、一類名。依上文所述，在認識之次序中，吾人乃先依種種之性質之概念，以判斷對象，成種種命題後，乃有數之出現。故數又為後於上述之命題之形成，乃形成而被認識者。此種將數確定為概念為類名，並確定其在認識次序中後命題之形成而形成，乃羅素之理論之根本價值之存在。 第十節 數之產生與理性活動及依類言數之理論之改造 羅素之理論，除將數視為概念類名外，又將數之成立依附於個體之存在。於是有個體非無窮則數不能無窮之無窮公理之設定；又以數之概念依附於類，以類與類之分子配列成對之可能，為相乘數之根據，而有相乘公理之設定；再以類依附於個體，而有還原公理之設定。其說遂使數學之基礎，建基於本身不能證實，亦無必然之理性基礎之設定上。此中之根本問題，則唯在：數之在日常經驗中，乃指個體之數者，是否即必然歸於「數必依個體之存在而後能說」之論。 吾人在日常經驗中，數誠大皆為指個體之數者。如三指三馬等。但吾人可試問三馬之三，畢竟是初由外面之三個體，能滿足為馬之條件而來，或由吾人之三次發現有對象，能滿足為馬之條件而來？於此吾人固可說，唯因外有三馬，故吾人有此三次發現。然吾人何以不說，唯依吾人有此三次發現，乃說有三馬?吾人如取後一說法，則三馬之三，即可不依外面之馬而成立，而唯依吾人之認識馬，判斷馬之認識判斷之三次相繼而成立。而吾人若欲說三之為類名，何不說之為：吾人對有三項之類，皆可同樣有之「三次之認識判斷之活動」之類名？若如此說，則吾人說有三馬時，所說之三，雖似在馬上與一切涵三項之物上，而其根源正在吾人之認識判斷活動之為三次之上也。 吾人若能於此轉念，求數之根源於吾人之認識判斷之本身，則吾人可說，當吾人以任一概念，判斷一對象時（即求一對象以決定「x有某性質」之命題函值中x之變項時)，因一概念為理，吾人即有「肯定對象為如何」之一理性之活動。此判斷為真，則此肯定之活動，即完成其自身，而對對象之為如何，有一置定。此吾人對對象之為如何，有一置定，即可於對象說「一」。而此「一」之根源，則唯在吾人之有此判斷，有此理性之活動。而對另一對象，如吾人又可以同一概念判斷之，則吾人又可說一。而吾人由前一至後一，乃有一判斷之更迭者。從客觀方面說，即可說此由於前對象與後對象間，有一距離。此距離可為空間之距離，亦可為二對象之性質之除相同之處外，又有不同之處，所造成之距離。然如從吾人之理性活動之本身方面說，則此更迭，乃原於理性活動之生起，而消逝後，又再生起。由是而吾人之能說有一一之對象，其根源便唯在此理性活動之繼續不斷之生起，又再生起。而吾人之依自覺心，以綜攝此生起至再生起，亦即同時綜攝前一與後一，此豈不可即為二之所自來?更綜攝此生起之一，再生起之後一，與再再生起之再後一，此豈不可即為三之所自來?此一二三等，即常言之基數。又吾人如於覺「後一」時，再回頭望「前一」；覺「再後一」時，再回頭望「後一」；則吾人即覺此諸一之相繼而起之次序。而吾人既已於「前一」生起時說一，「後一」生起時，可回頭望前一，而綜攝之以說二，再後之「一」生起時，又可回頭望前一與後一而綜攝之以說三；則吾人為實表此諸「一」之相繼而起之次序，豈不可即有第一第二第三之序數之名? 如依上文之說，則吾人仍可保留羅素之數為後起，及數為概念及類名之說。吾人不僅可承認，吾人之能說物之數，乃後於吾人之認識判斷之理性活動之相繼而起者；吾人亦可承認，在此理性活動正相繼而起時，吾人亦初無其相繼而起之自覺。此自覺，乃由吾人之心靈，升高一層，以反省吾人之認識判斷之理性活動而來。則吾人此時應有一去置定吾人之認識判斷之理性活動之存在之高一層的理性活動。吾人去置定一認識判斷之活動之存在，則吾人可說有一認識判斷之活動。再置定一認識判斷之活動之存在，又可說有一認識判斷之活動。而合此二者，則吾人亦即可說，吾人有二次之認識判斷活動。緣是而吾人在認識判斷外面某類物有三個體時，吾人亦應同時自覺吾人之有三次之認識判斷之活動之存在。唯在常人因恆缺此反省，故在說外面某類物有三個體時，不能同時自覺吾人之有三次之認識判斷活動，與之相應。因而亦即不能自覺的了解「此某類物有三個體」之「三」之根源，在吾人之三次之認識判斷之理性活動也。 吾人方才說吾人有三次認識判斷之理性活動時，吾人可不自覺其有三次。此自覺，必待於更高一層之理性活動。人如問：此高一層之理性活動本身，是否有數?則吾人之答案為：此數，仍必須待再高層之理性活動，以對之加以自覺的反省，即對此理性活動再加以置定，乃能說者。若無此再高一層之理性活動，對之加以自覺的反省，則此理性活動未被置定，其數乃仍不能說者。而即在其被反省置定而有數可說時，此反省置定之再高層之理性活動，仍無「數」而在「數」之上。如此逐漸翻上去看，則最高之理性活動，亦畢竟在數之上，而為數之根源之所在。故吾人說「一」與「一」之理性活動，與綜合「一」與「一」成「二」，綜合「一」與「一」與「一」成「三」之理性活動，同在此諸「一」及「二」「三」等之上，而亦初無所謂數者。（至吾人在形上學上之說，理性活動為一，乃自其為一切「一」之根源，或能綜合諸「一」以成他數，而倒說之之名也。此當作別論。) 吾人能循此思路以論數，則數可不必待外在對象之存在而成立。其所以在日常經驗中，似必待外在之對象而成立，亦唯由一外在之對象，可引發吾人之一理性活動，而使吾人得置定一如何如何之存在而言。然吾人之任何主觀之觀念，及任何認識判斷之活動，在被反省自覺時，吾人亦皆可置定此觀念之存在及此認識判斷之活動之存在。此乃與吾人之置定一如何如何之外物存在，同為完成吾人之一理性活動，亦同可使吾人有「一」之數之概念，及綜合諸「一」所成之其他數之概念者。故吾人在常識中，亦承認吾人於有三對象如三馬在前時，吾人如一次數之，則謂之為一堆馬。二次數之則為二堆。而再重複數之，則馬之堆數可為三四五六……以至無盡。而此事之所以可能，其理由正在吾人之可直接由吾人之「觀念及認識判斷活動之存在」之分別置定上，建立數之觀念也。 由是而吾人可改造羅素之數學理論，以謂吾人無論對外界之一如何如何之存在加以置定，或對吾人之任何觀念之存在，任何認識判斷之活動之存在，加以置定，同所以完成吾人之一理性活動，吾人皆可依之而有「一」之概念，及由其綜合而成之二三四五之基數，及第一第二第三……之序數。由此而數之可成無盡，其根源即可在吾人之理性活動之生起，可相續無盡上說。而吾人亦即無須假定無窮個體事物之存在，以說明數之數之可無窮；而又不必謂實有無窮之數，獨立於吾人之認識活動理性活動，而懸空外在的存在也。 吾人如自理性活動上言數之根源，則所謂數之可分為諸分數，及數之可相乘為乘數，皆不必如上章第五節之從量上說，亦不必如羅素之自二類之分子之配列成對上說。因吾人之理性活動原能綜合諸「一」以成數，如二、三。綜合之事畢後，吾人亦知此綜合活動之為一，如二為「一」個二，三為「一」個三，而此二又原為二個「一」，三原為三個「一」；此處即見分者之可合，與合者之可分。而此即已可作為分數乘數及其串系之根源。 譬如吾人在說有一個三，而此中之三即三個一時；則吾人認識一個三之理性活動，與認識三個一之理性活動，即有一貫通或同一之處。今吾人假定「一」個三中之「一」為大一，則三個「一」中之「一」為小一，此三個「一」中之每「一」，為三個「一」中之一，亦即所謂「一」個三中之「一」之三分之一，此即為分數。而「一」個三中之「一」為三個「一」之綜合，亦即所謂「一」之三倍，而此所謂三個「一」，其本身即為倍數乘數。又此中每「一」既為「一」之三分之一，則「一」即三個「三分之一」之綜合，亦即為「三分之一」之三倍，或三乘「三分之一」，而此「一」個三，亦為倍數乘數。此上之「一」之可分為三，三之可視為三個「一」，三個「一」之可綜合為「一」個三之關鍵，唯在認識「一」個三之理性活動，與認識三個「一」之理性活動之貫通與同一而已。 至於所謂分數乘數之串系，如由三分之一，再三分之，為九分之一，更三分之，為廿七分之一……由三乘一為三，至再乘以三為九，九再乘以三為廿七……則其根源不外由於吾人依理性以繼續其分合之事之所成。因吾人既可於「一」分之為三個「一」，則吾人自可普遍化「此分為三之事」於「一」之中，而將此「一」再分為三……以成三個更小之「小一」。又吾人既可綜合三個「一」，三倍「一」，以為「一」個三，則吾人亦可普遍化此綜合三個「一」而三倍「一」之事，而將「一」亦三倍之，綜合此三個「一」以成更大之「一」個「三」……。而吾人由此以產生之九分之一或九，廿七分之一或廿七……之串系中之項目，因其可無盡的增加，於是，總覺其前另有數，而此數之串系亦若為自行伸展而可視一如外在客觀之存在之串系。然自其本源而觀之，此串系之繼續，其根據唯在吾人之繼續依理性之運用，以普遍化此「分一為三個一」，或「合三為一個三」之活動。唯吾人有依理性之運用，以普遍化此分合之活動之趨向在後、在內，乃有此似向前伸展而似為外在之數之串系也。 吾人於此，可不將吾人之如何依理性之運用以構成一切分數乘數之串系之全部次第，以嚴格之形式，加以說出，亦不能於此窮盡「以理性之運用所產生之活動，說數」之說之涵義，以說明一切數之所以產生，與數學知識之形成。吾人之意，唯在指出數之可分為分數，與可合為乘數，及分數乘數之串系，皆不須直接依物之量之可分可合而成立，亦不須依一類之分子與他類之分子可配列成對而成立；而可直接如上述之由吾人之理性活動之相續施於其自身之成果之數，而貫徹於其成果之數之中以成立，另無待於外，至於其他之問題，則可不多及。 第十一節 邏輯中所謂思想律之問題與各可能之答案 至於對邏輯中所謂思想律之問題，則現代哲學之趨向，亦皆不自所經驗之事物觀念之同異上，或事物之有某性質或無性質上，說所謂思想律之根據。而多喜由判斷、命題、句子之真妄之值或符號意義之約定上，說所謂思想律之所由生。或則逕將所謂思想律，視作一種邏輯命題。亦有欲取消思想律中之不矛盾律、排中律；並有以吾人可對邏輯名詞之意義，另作約定，以任意造成不同邏輯系統者 [74] 。 關於以思想律之根據，在吾人對事物之觀念之同異，或存在事物之有無某性質之說，其不當之處，在不知思想律中之是非，或肯定否定之概念，與有無同異之概念，似可相對應，而涵義又不同。誠然，我們可以說因甲與乙相同，故說甲是乙。甲與乙相異，故甲非乙。亦可因甲有某性質，如白，故甲是白。甲無某性質，如無白，故說甲非白。然事物之同異，是自二事物之關係上說，性質之有無，是自一一事物與某性質之關係上說。此皆是就對象方面說。而是非或肯定否定，則唯是吾人之判斷活動之形態。一為對象之事物，與其他為對象之事物，可由同而異，由異而同。一事物可由有某性質而無某性質，亦可由無某性質而有某性質。事物自身並不能保證其同不能異，有不能無，因而亦不永自有其所有，或永同其所同。然吾人之思想事物與陳述事物，而說其是如何或肯定其如何時，吾人同時即自求確定吾人之是如何說，是如何肯定。故吾人於一定之事物對象，肯定其是如何，即確定的肯定其是如何，同時否定其不是如何，或否定否定其是如何。唯依此而後有思想律。故思想律只可說為吾人思想時所自定之是是而非非之律，不可說其直接依事物對象之同異有無之關係而建立者。 我們說或肯定：一事物是如何或是什麼，即成一命題。謂一事物是什麼，亦即表示吾人肯定什麼於一事物。吾人肯定什麼於一事物，是肯定什麼於一事物，此即同一律。吾人肯定什麼於一事物，非否定什麼於一事物，即不矛盾律。吾人「肯定甚麼於一事物，或否定什麼於一事物」，而非「既不肯定什麼於一事物，又不否定什麼於一事物」亦非「既肯定什麼於一事物，又否定什麼於一事物」，為排中律。但吾人之肯定什麼於一事物，即說所肯定之什麼，對一事物為真；亦即說，一事物成為：是什麼之「x」中之一項，或可代入「x是什麼」之命題函值中，以造成一真命題者。由是而吾人可說，肯定什麼於一事物，即同於說一命題為真。而否定什麼於一事物，即同於說一命題為假。於是所謂同一律，即等於「說一命題為真，即說一命題為真」。不矛盾律等於「說一命題為真，即說「說一命題為假」。排中律等於「說一命題為真，或說一命題為假」。故「若P則P」為同一律之表示。「若P則非～P」為不矛盾律之表示。而「P或～P」，則為排中律之表示。此可為現代邏輯家所共認。然現代邏輯中所發生之問題，則為如所謂思想律必須聯繫於命題之真假而說，則一命題如無真假，或吾人不知其真假，又當如何?如吾人肯定什麼於一事物時，吾人有時固確知吾人之能如是肯定者，有時確知吾人之不能如是肯定，然有時亦可不確知吾人之能與不能。如吾人肯定前面之一對象是人時，有時吾人確知能如是肯定，而「彼為人」之命題為真。有時確知不能如是肯定，則「彼為人」之命題為假。然如吾人在夜間遙望一物，不能決定其為人與否，即似既不能有所肯定，亦不能否定吾人試作之肯定。又吾人通常對未來之事物作一肯定時，亦恆不能決定吾人之肯定之是與否，為真或為假。於是吾人即可說於肯定或否定一命題之外，或以一命題之為真或為假之外，另有第三種態度。即既不確定的肯定，亦不確定的否定，或只抱一疑問之態度。此疑問之態度，亦為一認識態度。在此認識態度中，似無排中律之存在。而於此，肯定否定之活動，既皆不能確定，則自吾人主觀思想方面言，此中亦似根本無思想律之存在。 然就另一方面言，則無論吾人之是否能知一命題之真假，吾人總可說，對一事實言，一命題之非真即假。如吾說前面之物為人，此命題之真假，吾固可不知；然要必有真假，而不能同時皆真或皆假。此乃因前面之物是否為人，乃一客觀之事實。此事實或是如此，或不如此，應為一定者。故吾人可知此命題之非真即假。而此即現代之邏輯家之或只就對一定事實而言，一命題之真假之不相容，以論排中律同一律之根據，而忽去其與思想中之肯定否定之關係之論所由生。 然吾人如以一命題不真則假之根據，唯自其與客觀事實之關係說，則此是先假定客觀事實本身之已存在而後能說。而未來事實之為如何，則不能謂為已存在者。吾人如何能謂一涉及未來之命題，其真或假，為已確定者？涉及未來之命題，似只能說其大概為真或假，而此大概為真或假，可有各種不同之程度。此即於一命題之真假二值外，再立一不定值，或無數之不定值之三值邏輯或多值邏輯之理論之所由生 [75] 。 涉及未來之命題之真假值，以未來事實之未存在，固可說為吾人所不能確定。然吾人仍可說未來之事物，總有所是。即不是如此，即如彼，或是如此，則非不如此，而終不能又是如此又是非如此。則吾人仍可對一命題有一確定，即確定其或真或假，不能既真且假。由此以知其不真即假，不假即真，而仍保持排中律，謂一命題之只有真假二值，無第三可能。 然吾人若欲建立排中律於事物之總有一定之所是上，此本身乃立邏輯之基礎，於一本體論或形上學之上。因吾人如何能純自吾人現有之經驗與知識之立場，以斷定未來事物之必有一定之所是。仍為難決之問題。未來事物豈即不可為一團混沌，而一無所是?吾人如建邏輯之基礎，於事物之有一定之「所是」上，則於其「所是」之常在變化遷流中者，如辯證法邏輯之所重者，又將如何說？如吾人純自事物有一定之所是處立邏輯，則事物之在變化遷流中，不斷揚棄其一定之是，豈非即為邏輯之否定？ 由此而另一更為正宗之邏輯家之說法，則謂邏輯既不以思想為基礎，亦不以事物之有無其所是為基礎，而唯以吾人所用之語言必有一定之意義為基礎。 依此說則所謂同一律、不矛盾律、排中律，唯是所以規定，吾人用語言時，每一語言之有其一定之意義，而不能前後矛盾。故吾人以水是柔之語言，指某物之有某性質，而有何意義，水是柔之一語即有某意義。吾人在繼續用水是柔之一語言時，亦當使其所指之意義，前後同一而一致。於是吾人之規定一語言之意義而謂：一語言之意義如是，則此語言之意義如是，如「說P即說P」，此便是同一律。謂一語言意義如是，則非不如是，如「說P即非說～P」，則為不矛盾律。謂一語言意義如是或不如是，「說P或說～P」，則為排中律。由是而傳統之邏輯中之三律，仍可保存。 然吾人可問語言之意義，何由而定?此當只是由人而定。人何以必須規定某一語言意義為如何?此則無客觀上之必然之理由可說。人亦未嘗不可任定一語言之意義。唯吾人可說：如人已定一語言之意義，則人當自遵守其所定。然何以必當遵守?依此說，則最後歸至：如語言之意義才定即改，則人對其所繼續運用之語言之意義，永不能有一確定之了解。而人即不能達其運用語言之目標，使人了解其語言。故人若欲達其運用語言之目標，則必須確定語言之意義，並肯定邏輯上之同一律，不矛盾律及一切邏輯規律。由是而邏輯之學即成：為達吾人運用語言之目標，使語言之意義能一貫，而為語言之運用，語言之構造，語言之轉變，指出種種規則，並將此規則，以邏輯命題表之者。 依現代邏輯家之以語言之意義為約定之說，邏輯學中之邏輯語言之意義，亦或被視為由人約定者。如吾人之以～表否定，以·表「與」，以 表「如果—則」，以P表「命題」，以S表語句，即現代邏輯家共同約定者。而此諸符號之如何加以定義，則可由一邏輯家在其邏輯系統中自己規定，以符號之連結表之。如P Q=～Pvq.df.，再將若干符號，結成若干邏輯之基本命題。此基本命題與定義，恆亦為麥示吾人運用符號，或以符號代符號之規則者。依此規則，而吾人即可以基本命題為前題，而將其中所包涵之項代以其他，而施行邏輯上之演繹，以構成邏輯系統，其中可包括傳統邏輯中之若干命題，及其他。於是在現代西方有種種新邏輯系統之出現。 第十二節 邏輯之約定主義與邏輯之理性主義 然吾人不論各種新邏輯系統之如何構造，其中同有一屬於知識論上之根本問題。即：畢竟吾人之將若干邏輯上之符號，連結形成定義與若干基本命題，並定下運用符號之規則，是否其本身全為任意者?如其非任意，則其根據應求之於何處?此任意約定之是否可能，同可由同一律，不矛盾律，排中律之意，能否加以任意約定之問題，以論之。 譬如在一般邏輯系統中，皆承認同一律之表示，為如P則P，不矛盾律之表示，為若P則非非P。吾人試問：此是否只為一約定?如為一約定，則吾人可否另作約定，而謂若P則非P，以造成一邏輯系統而免於自相矛盾?吾人首當說，據若P則非P之約定，以另造之邏輯系統，而免於自相矛盾乃不可能者。因吾人若約定「若P則非P」，則吾人可以「非P」代入其中之P，而成「若『非P』則非『非P』」。而此非「非P」即同於P，則還證「若P則P」之同一律，遂與原約定相矛盾。如吾人說「若P則非P」之義，同於「若P是真則P是假」，則以「P是假」代入P即成：「若『P是假』是真，則『P是假』是假」，而「P是假」是假，同於P是真，則還證「若P是真則P是真」之同一律，仍與原約定相矛盾。 然人或以為此唯由吾人將真與假之意義，先依同一律而加以規定之故，乃有此矛盾 [76] 。若吾人自始不假定同一律，則真假之意義即無事先之一定之規定。而吾人之第一次用假字時之意義，與第二次用假字，即可為全然相反之另一意義。此假如以～表之，則吾人第一次用～之符號，與吾人第二次用此符號時，可有全然相反之義。真字亦然。吾人於是如以「P是假」代入「若P是真則P是假」之命題中之P時，固可成「若『P是假』是真，則『P是假』是假」之一新命題。然此中真假之意義，皆已改變至其反面。則新命題中之「P是假」是真，同於：「P是真」是假。「P是假」是假，同於：「P是真」是真，而新命題同於：「若『P是真』是假，則『P是真』是真」。在此中，如以「P是真」為P，則「P是真」是假，可以～P表示。「P是真」是真，仍以P表示，則整個之命題，應以～P P表示。再以～P代入此中之P，則成～～P ～P。如～～P即P，則成P ～P。是仍返證成原命題，而未嘗自相矛盾。 依此上之說，則吾人如對於一邏輯名詞之意義，如一一皆另作相反之約定，則吾人縱假定P ～P，而取消同一律不矛盾律等，仍可構成一不自相矛盾之邏輯系統。於是吾人所以以違背同一律不矛盾律之邏輯系統為不可能，其根據唯在吾人已依同一律等以規定諸邏輯名詞之意義。如吾人自始未嘗依同一律等以規定諸邏輯名詞之意義，吾人未嘗不可造成一違背同一律等之邏輯系統。由此而見吾人之造成何種邏輯系統，純可由吾人之自由決定，唯視吾人之如何規定一邏輯上之符號語言之意義而定。而在吾人未依同一律等以一一規定邏輯語言之意義之先，吾人乃可使一符號語言之意義，同於其反面之意義，亦未嘗不可使一符號語言之意義，在每次上之符號語言之運用時皆不同者。在此情形下，則吾人依同一律等而建立之邏輯系統，亦即整個無效。而其有效，乃吾人之邏輯語言已規定後之事，而非其以前之事。由此而邏輯上之同一律等，唯依符號語言意義之約定而成立之說遂立。 然吾人今日之問題，則為誰為約定或規定語言之意義者?吾人既可隨意規定一語言之意義，並規定一語言涵其相反之意義，或使一語言之意義，每次用之皆不同；則吾人何以又不願隨意規定一語言意義，且必求一語言之意義之定而有常?此除為利便於人之相互了解之外，是否即別無理由或理性根據之可說? 由是而吾人之問題，即還至語言之意義如何被規定之問題。譬如吾人規定「方」之語言，指某一種形，規定人之語言，指某一種動物，吾人在如是規定一語言之意義時，吾人心中豈能無所思之對象?此對象豈能不表示一共相？此共相豈能無普遍呈現於不同時空之同類事物之性質?則吾人之認識此共相，豈非即本於吾人之理性?豈非以吾人之理性有對此共相之認識，而後有語言意義之規定?則語言之意義之規定，又豈能不本於吾人之理性? 又吾人規定一語言之意義，豈非同時規定吾人以後亦將以此語言，指同一之意義?而此規定，豈非即一超越吾人當下之用此語言之事，而對人之將來之如何用此語言，施以一規定?豈非規定吾人任何時用此語言，皆有共同而普遍呈現於吾人之不同時思想中的意義?此中又豈能不依於一理性之活動? 然吾人如承認吾人之能規定語言之意義，乃依於吾人之理性之活動，則吾人縱謂同一律不矛盾律等，唯在語言之意義之規定上表現，同一律不矛盾律之根源，仍不在已規定之語言之意義中，而在能規定語言之意義之理性活動上。 吾人規定語言之意義，如必以白之語言指白，是吾人理性活動之一種表現，吾人之對白物而自規定：必思之為白，亦是依於吾人之理性活動之一種規定。在吾人規定語言之意義，謂此語言之意義，是如此即是如此等處，可表現同一律，則吾人對白物思之為白，豈不亦表現同一律?吾人在自思此用語言之活動，或白物為白之判斷活動時，而自謂「此用一語言之活動是用一語言之活動」，或「一判斷之活動，是一判斷之活動」，此中豈不亦表現一同一律?吾人在此諸活動中，自動規定語言之意義如此如此，即自肯定「語言意義如此如此」；自規定對白物思之為白，即自肯定「於白物思之為白」。自謂用一語言之活動是用一語言之活動，或一判斷活動是一判斷活動，即自肯定「用語言之活動，是用語言之活動」，「判斷之活動是判斷之活動」。此中皆同有同一律之表現。則吾人豈不可說：凡人有肯定其所肯定者處，皆同一律之表現？而吾人之肯定其所肯定者時，同時否定「吾人之否定其所肯定」，此豈非即不矛盾律之意義?至吾人「肯定吾人所肯定」，或「否定吾人之所肯定」，而否定「對此二者之皆加以否定」與「對此二者皆加以肯定」，則為排中律之意義。由此而吾人乃不復只是由吾人肯定或否定什麼於一對象處，求同一律不矛盾律排中律之意義與根據；而可純由吾人之理性活動之自肯定其所肯定，而否定對此肯定之否定等上，求同一律不矛盾律排中律之意義與根據。由是而傳統邏輯中之思想三律，即重由理性之保證而建立。而吾人之所以不隨意規定語言之意義，而必求語言意義定而有常，亦即有其理性上之必然理由；而不只是為利便他人之了解，以實現語言之目標者矣。 由此而吾人之論邏輯之基礎即歸於理性主義，而不止於約定主義。 至於現代哲學中之論幾何學之基礎之問題，則自非歐克里得幾何學產生後，人大皆懷疑幾何學中之基本命題，為先驗知識之說。而欲將幾何學化為一與數學及邏輯類似，而只依若干基本定義與基本命題而演繹所成之系統。然其中涉及先驗綜合命題之是否可能之基本問題，故只於下章中論先驗綜合命題中附及之。 數學與邏輯知識之性質 參考書目 牟宗三 《認識心之批判》第二部。 H. Feigl & Sellars: Readings in Philosophical Analysis. PT. III, The Nature of Logic and Mathematics.中 E.Nagel, F. Waismann, C. G. Hempel, W. V. Quine等之文。 Locke: An Essay Concerning Human Understanding. Pt ⅡChap. 16. 17. Kant: Critique of Pure Reason. First Division BK. I. Chap. I. M. Black: The Nature of Mathematics. London, 1933. B. Russell: Introduction to Mathematical Philosophy. Macmillan, 1919. R. Carnap: The Foundations of Logic and Mathematics. 見International Encyclopedia of Unlied Science. Vol. I. Uni. of Chicago press. 1938. C. G. Hempel: Geometryand Empirical Science.見Reading in Philosophy of Science. D. Gasking: Mathematics and the World. 見A. G. W. Flew所編: Logic and Language.Philoso phical Library, New York, 153. E. Nagel: Logic without Ontology,見 Fiegl & Sellars.所編Readings in Analytic Philosophy中。