哲學概論 · 第十三章 數學與邏輯知識之性質（上)

第一節 數學與邏輯知識及經驗事物之知識 吾人在上章已提及，實事間之因果關係，與抽象之形數之理及邏輯之理之關係之不同。而數學與邏輯之知識，在一般觀念中，亦明不同於一般之經驗事物之知識。此種不同，最顯著處有三： （一)吾人對一般經驗事物之知識，皆由擴大吾人經驗性之觀察實驗之範圍而增加。而數學邏輯之知識，則似惟待吾人之理性之推演與反省而求得。 （二)吾人對一般經驗事物之知識，皆原於吾人對經驗事物之為如何如何，預先作某種猜想或假設，此猜想或假設，乃可用後來之經驗加以證實或否證者。然此一切證實，又皆不能為絕對完全之證實。因而此一切猜想或假設，亦皆可修正，或為其他假設所代替而被放棄者。然在數學或邏輯之知識之本身中，則可無關於經驗事物之為如何如何之猜想或假設之成分。而數學邏輯之知識，亦似無待於經驗之證實，同時亦不能為經驗所否證者。 （三)由一般經驗事物之知識，待於經驗之證實而後真，故其真，非本身自明而必然的，亦非只由演繹推理可證明其為必然者。而數學邏輯之知識之若干，則似為本身自明而必然的，而其餘者，則皆可由演繹以證明其為必然者。 數學及邏輯之知識，與一般經驗事物之知識之性質固不同，然二者亦同為人之知識。且人由數學邏輯所得之知識，亦實可應用於吾人對一般經驗事物之求知歷程中。唯其如此應用，又並不能使吾人一般經驗之知識，同於數學邏輯知識之不待經驗與假設而成就者，更不能使前者同於後者之必然而確定。由是而數學邏輯之知識之根據畢竟何在，即成一嚴重之哲學問題。 第二節 數學邏輯知識之根據於客觀存在事物性質之說 第一種數學邏輯之知識根據之理論，是從數學邏輯知識與其他經驗事物之知識，皆同對客觀之存在事物有效著眼，而以數學邏輯之知識中之根本觀念，皆為客觀事物之存在的性質之反映，或代表某種客觀之存在者。而數學邏輯知識之根據，亦即在客觀存在之自身。依此理論，人之所以有數學之知識，唯因客觀事物本身有二三四等數。人之所以有幾何學，唯因客觀事物本身有方圓等形。如西方最早之數學家辟薩各拉斯對於形數之觀念，即以每一形數，皆代表一客觀存在事物之某種性質。如一代表事物之統一性，二代表事物之對偶性，四、九、方、表示正義等。而中國《易》學中對於數學之觀念，亦以奇數代表宇宙之陽性，偶數代表宇宙之陰性。後來人之以河圖洛書之數，代表宇宙之一種構造之圖像，亦為類似之主張。 至於在邏輯中，則西方邏輯上之思想三律，照亞里士多德所說，亦為代表客觀事物之普遍的共同性質者。如在亞里士多德之邏輯思想中，三律之意義如下： 同一律之意義為：對於同一之主辭，以一賓辭表之，即以一賓辭表之。 矛盾律之意義為：同一賓辭，不能同時在同一意義下，表一主辭，而又不表一主辭。 排中律之意義為：對於一主辭，或以一賓辭表之，或不以一賓辭表之，此外無其他可能 [67] 。 然亞氏論此三律之根據，則歸於任一主辭所指之任一存在事物之性質，是為如何即如何，而非非如何等。 同一律矛盾律，在西方哲學史中最早之提出者，乃巴門尼德斯。彼以有是有，不是非有，即一同一律之提出。然此同一律即為一方在思想中，亦一方為宇宙之真實存在之律者。 此外西方之講辯證邏輯者，遠溯至赫雷克利泰，近至黑格爾與馬克思恩格斯等，皆以思想之律，即存在事物之律，乃兼反映客觀事物之存在之律者。 第三節 數學之觀念知識根據於客觀存在事物性質之說之疑難 上述此種理論，為一種數學邏輯之形上學理論。如從數學思想邏輯思想，為一種存在於人之思想看，則此思想既存在，即亦應有其存在之根據，而可在形上學中加以討論。然在知識論中，則吾人之問題唯在問：吾人之如何有此數學邏輯之思想與知識。吾人似不能先設定，此思想與知識內容本身，皆為在思想知識外之存在事物之內容。而若其果兼為存在事物之內容，吾人尚須問：吾人如何知之？ 於此，吾人若說數學邏輯之思想中之內容，皆存在事物之內容，吾人當先證明吾人之數學邏輯觀念，皆由吾人對存在事物之觀念而來，或數學邏輯中之語言，皆所以指示存在事物之性質或狀態者。然事實上似明不如此。如方圓之觀念，固可說由方圓之物而來，然柏拉圖已指出：世間並無絕對方與絕對圓之物。而數學中則可有此絕對方與絕對圓之概念，可由其他之數學概念，加以規定者。又如世間之物固有數，吾人亦可將一物與一物之數，相加成一總數。如一加一成二。吾人固可說，一物有一之數，二物有二之數，此皆為屬客觀存在之外物者。吾人可說一為奇數，二為偶數，亦可說：凡能以二除盡之數，皆偶數，反之皆奇數。然吾人可否說奇數偶數之觀念，亦為由客觀存在之外物來?如有一物在此，則其中有一奇數；再一物在此，其中亦有一奇數。然將二物相加為二，則其中即有一偶數，而無奇數。然則最初之奇數何往?偶數又由何而來?如說物之自身中之奇數忽不在，則存在者如何能忽不在?如其在，則偶數豈能來於二奇數之中？是知奇偶之數之觀念，不能說直由客觀存在外物來。此亦為柏拉圖所已提出之論點 [68] 。而柏拉圖所歸至之說，則以數之自身，乃在理念世界中自己存在者，而非依於通常所謂客觀外物之存在而存在者。 此外吾人今可複試思，在幾何學中有無厚薄之面，無寬窄之線，無長短之點，此類之物又豈能實際存在? 又吾人有可任意增大之數。如由十百千萬至億兆京垓以至無限，此豈皆有實際事物之數與之相應？實際事物之數，豈必為無限?又無論事物之數為有限或無限，吾人豈不可總事物之數而思之之後再加一數，以成一數?則謂數之觀念皆由實際事物之數來，即不應理。 又吾人之數中有負數，是否負數乃負性之存在之數?世間能否有負性之存在?負性之存在豈能是存在? 此外吾人有分數，小數。此分數小數是否即與一物所能剖分成之分子原子電子之數相當者?一分數一小數，可再分以成更小之分數小數，以至無窮。豈每一小數分數，皆可同時分別各指一具定量之存在之物之量?存在之物，是否真成一由大至小至無窮小之串系?吾人又何由知其有此串系？則吾人豈能說每一小數分數，皆同時分別指一定量之存在事物? 又吾人以數指一存在事物時，恆是用以規定存在事物之量之多少。此量本身是否亦為一存在?而吾人以數規定量時，明可以不同之數，對同一之量作規定。如以十寸與一尺或十分之一丈，規定同一之量。此中之存在事物之量為一，而數為多。如數原於存在事物之量，則何以有多種數皆同可規定一量? 此外數中又有無理數。無理數之為數，乃不能實求得其數值之數。吾人如何有無理數之觀念?此豈能是先由用無理數所表存在事物之量之計算而來?然一存在事物之量，可以無理數表之者，亦可以有理數表之；反之亦然。如一直角之二等邊三角形，其二邊各為二尺，則弦之量為八尺之平方根，而為無理數。然吾人如試將此三角形之弦之二分之一，定之為一尺，另造一種尺，則此弦為二尺，勾股之量皆成二尺之平方根，遂皆成一無理數所表之量。如無理數之觀念，由存在之物之量來，則何以同一之量，可以無理數表之，又可不以無理數表之? 此外吾人尚有序數。如第一第二第三之數。對若干存在之物，吾人明可以不同之標準，以定其序數。吾人可說某甲之智慧第一，某乙之智慧第二。亦可說某乙之德性第一，某甲之德性第二。此序數豈皆由存在事物本身之性質所決定?吾人豈不亦可任意思想事物，而以先思想者為第一，次者為第二?此第一第二之分，與存在事物之性質又何關? 此外數學中尚有種種抽象複雜之數之觀念，皆難說其直接由存在事物之量與性質抽撰而成，而亦無待於數學家對存在事物之新經驗方能構成此種種之數之觀念者。則謂此種種觀念，皆由存在之事物之性質反映而來，更決難應理。 第四節 邏輯之觀念知識根據於客觀存在事物之性質之說之疑難 其次關於邏輯上之觀念，說其為存在事物之普遍性質而來，亦難應理。 譬如依亞里士多德之說，同一律及矛盾律之根據應為一物之是什麼者即是什麼，而不能不是什麼。 吾人試設此為邏輯上之同一律矛盾律之根據，則吾人當問：此中所謂「不能」與「是」「不是」，果何所指?是否存在事物中有「不能」或「是」「不是」，為一存在事物之性質?吾人說人不是犬，不是馬，不是神，是否在人之存在中，同時有此無窮之「不是什麼」亦存在於其中?吾人今可謂，人不是機器人。但在未造機器人之先，是否已有一人之「不是機器人」，已存在於人中：此豈不同於謂機器人未存在，而人之「不是機器人」已先存在。然此「機器人」既未存在，人之不是機器人如何能先已存在？則謂一物之「不是什麼」本身，直接為一吾人所知之存在事物內部之性質，終為難於成立者。而是之為是，是否即直接為存在事物之性質亦難說。如吾人說此花是紅，此紅為花之性質。但吾人是否可說此「是紅」本身亦為花之性質？若然，則花應先有「是紅」之性質，然後乃有紅之性質。然吾人如何說花有「是紅」之性質?是否吾人當先說花是「是紅」。若然，則在吾人未說花是「是紅」之先，花又應先有「是是紅」之性質。如有，則吾人又如何說其有「是是紅」之性質?豈非又須說花是「是是紅」……?如吾人之所說皆本於存在事物之性質，吾人勢必謂花在有紅之性質時，已有是紅、是是紅……等無限之性質之串系，同時客觀存在著。然若非因吾人之原有可能說其是紅、是是紅……之思想語言之串系，吾人又豈能說其有無限之性質之串系之客觀存在著?則吾人豈能說吾人之思想語言之串系，乃依於先已客觀存在的無限之性質之串系?而謂吾人之思想語言之串系中之能說「是」，其根據唯在存在事物之性質? 複次，吾人在邏輯中之說「凡」all，說「有些」some，說「如果——則」if-then，說「或」or，說「與」and等，此一一之觀念，豈皆有存在事物與之相對應?豈吾人一接觸存在事物，即必能有此諸觀念?若然，何以禽獸與人接觸同一存在事物，而彼等皆不能說，「凡」與「有些」，「如果-則」等? 至吾人之可決定的證明此諸觀念不能由所知之存在事物本身之存在狀態而來，則在：吾人對同一堆之存在事物，可自由應用此諸觀念及是或不是之觀念於其上，而說出不同之命題。如當前之事物，為風吹皺一池春水，吾人明可依吾人以不同方式思維之，而說「凡風來水上，皆有波瀾」或「有些池水，有風吹起波瀾」，或「若果風靜，則水將平靜無波」，或「任憑風來或風去，同是一池春水」，或「風來又風去，波動再波平」，或「風來非風去，波動即非平」……種種命題，及由之推演出之種種命題。而此可能推演出之命題，即依一單純之換質換位法，亦為一無窮之串系。如風來非風去，風去非風來。風來非非風來，風來是非非風來。風來非非非非風來……然在吾人當前存在之事物，實亦不過風吹皺一池春水之一事而已。此一事畢竟干卿底事，而可引出人之種種思想，在此思想中，應用種種邏輯之觀念，以形成種種邏輯命題，此要非由此一事之存在本身決定，實為彰明較著之事。則吾人如何能說邏輯中之觀念，皆直接反映存在事物之存在性，或直接代表客觀存在事物之自身與其狀態者。 第五節 數學邏輯之觀念知識根據於經驗之說 第二種數學邏輯之理論，為承認數學邏輯中種種複雜之觀念與知識，並不直接表示客觀存在事物之性質或狀態，亦可無存在事物之性質或狀態，直接與之相對應。但此說以一切知識觀念，皆始於經驗，一切具體之觀念，皆由經驗而來。至一切抽象之觀念或概念，亦必根據由經驗而來之具體觀念，經層層之抽象而成。及其既成，雖若與原初之經驗，渺不相涉，然探其最初之本源，仍在於經驗，然後方可再應用於經驗。此亦如萬丈高樓，最初之必由地起，其最底層，乃直接於地上者。由是而此派論邏輯數學，遂從其最原始之觀念與經驗之關係處著眼。此即洛克、巴克萊、休謨、穆勒之經驗主義之數學理論。 此理論並不以數學邏輯中之觀念，皆反映客觀存在事物。因吾人由對所謂客觀存在事物之接觸而得者，唯是種種具體之印象或觀念。此中可並無數學與邏輯之觀念。然則此類之觀念何自來?答，由於對具體事物之印象觀念之反省與抽象而來。 依洛克說，人初由反省所成之觀念有「統一」與「繼續」。如吾人直對某觀念自身，加以反省，覺其為統一的，則產生「統一」之觀念。如對若干觀念之相續生起，加以反省，則有「繼續」之觀念。如吾人直對紅之觀念，加以反省，可有一統一之觀念。對黃亦然；對任一聲亦然。以及對複合之觀念，如紅而美麗之花，亦然。換言之，即吾人對任何觀念加以反省，皆可生「統一」之觀念。而此「統一」之觀念，遂可自任何觀念之內容中抽象而出，而為具普遍性之統一之觀念，此統一之觀念，即數之始之「一」之觀念。吾人於是可以「一」之觀念，指任何觀念與任何引生觀念之事物，或觀念所指之事物。而一飲一啄，一顰一笑，一花一草，一家一國，皆是一。吾人對世界隨意任劃出一範圍，皆是一。然此一之觀念，則實唯在吾人之反省中，而初不在所反省之觀念之自身，更不必在其所指之客觀對象中也。 吾人有「一」之觀念，再依於吾人之知何謂繼續，便能將此一之觀念，繼續的加以重複。則由一，又一，對此「一又一」再加以反省，而視之若一，則成二。由此遞展則成三，成四，成五。然無論由此以成何數後，吾人皆若可再加一，以再成一更大之數。而吾人於此「數皆有其更大數」再加反省，則知一切數之數為無限，而任一數亦可由不斷加一，以大至無窮。於是有無限數無窮數之觀念 [69] 。 順上文之思路，吾人可引申洛克之意謂甲數大於乙數，則乙數小於甲數。其所小之數，則為負數。吾人又可由反省而知，任一物之形，皆有其部分，而各部分又皆可分。由此而吾人知任一物之為一，皆可分為多。可以一表之者，亦可分為二，而以二個二分之一表之。分者可再分，而有可無窮分下去之分數。由分數亦可以解釋小數之所以成。如「○、一」即一之十分之一之數，「○、○一」即百分之一之數。又設一物之量可分為三部分，每部分又可分為三；則一物之量，可分為九部分。即三乘三，或三之三倍，而一物之量，可以倍數表之。 對於一量，我們可視為他量之幾分之幾，而以他量之分數，為此量之數，亦可以他量之倍數，為此量之數。故吾人可稱一量為十倍一寸之十寸，或十分之一丈，或只稱之為一尺。而此事之所以可能，唯因每一量皆為一定量。此定量可視為他量之一部分，亦可視為他量之諸部分所合成。至於一物之全體之量之可分成各部分，及所分成之各部分之和之等於全體之量，則為吾人可由反省「全體之量」與「分成之各部分」二者之契合而可知者。 依此對經驗之反省，吾人知經驗事物之有數量，而亦有形。吾人將物之形體，自其色抽離，便成一幾何形體。將體上之面，自體抽離，則成幾何之面。將面上之線，自面抽離則成線。將線上之點，自線抽離，則成點。而幾何學之基本觀念以成。 至於幾何學上之公理，如等量加等量其和相等，等量減等量其差相等……，則皆可訴諸對於形量之部分全體之關係之經驗之直覺。 由是而數學幾何學之觀念，即皆可依經驗之反省與抽象而說明。 至於邏輯上之思想律，則依此派所說，其根據乃在觀念與觀念間之同異關係之直覺。如同一律A是A，即謂一觀念與其自身之同一，及與其相同者之同一。矛盾律即謂一觀念與其相異者之不同一。排中律即謂一觀念與另一觀念非同即異，另無第三可能。而此諸律之所以為真，唯因吾人確可由經驗直覺，以知紅之同於紅，而異於非紅之黃綠。亦可由經驗以知，一物之色，如不異於紅，即同於紅，不同於紅即異於紅。此中無一例外。又對一切經驗事物，吾人亦皆可發現其相互之同異關係，而思想律即成一普遍必然之律則。而穆勒之論數學、幾何學真理之為普遍必然，亦從其對一切經驗而皆真上立論。此亦前所提及 [70] 。 第六節 經驗主義之數學邏輯理論之批評及康德之數學邏輯理論 對於上述一派之數學邏輯之理論，如純自數學邏輯之心理之起源上看，亦大體上，未始不可說，並有親切易解之長。但此中有數大問題。一者吾人縱承認數學之觀念，皆由反省抽象而成，吾人仍可問：如人最初之感覺經驗中，原無數學之觀念存在，又人之反省抽象之能力之本身，亦原為一空無所有之一反省抽象之能力；何以一接觸經驗事物，則有數學觀念之生出？人之反省抽象能力，要必有其運用之方式，此方式，豈能不存在於此反省抽象之能力之內部?如吾人說，由反省吾人之觀念，而生出統一與繼續之觀念，則吾人可問：此統一與繼續之觀念，畢竟是由反省而出，或為吾人反省進行之方式?假若吾人之反省活動本身非統一的，吾人是否能反省出統一之觀念?如吾人不繼續反省，吾人是否能反省出繼續之觀念?則此統一繼續之觀念，初應為吾人反省之方式，而非反省一般由感覺經驗來之觀念所產生。而如其為反省之方式，則應為隨反省而俱現，初亦內在於吾人之反省之「能」之中者。 此外，吾人即假定由此統一之觀念，所成之「一」之遞加，即可構成數之串系之說為真；吾人之如是如是以由一再至一，而綜合之以成二等，之思想活動中，又豈能不依一定之思想方式進行?由此以推，則吾人之每一數學觀念之出現，數學知識之形成，皆應由吾人之依一定思想方式，以思想以前所成之觀念，而後可能。而此諸思想方式，方為諸數學觀念，得以出現之真正根據，真正起源，而不必以一初無內容之反省抽象之活動與感覺經驗來之觀念接觸，為各種數學觀念之起源也。 其次，吾人如以一切數學幾何學之觀念，皆由經驗之反省抽象而來，則其所以還可應用於經驗之理由，似易得一說明。因吾人所謂經驗，可只指已成經驗。吾人所謂反省抽象，乃對已成經驗而反省抽象。由對已成經驗之反省抽象而來者，對已成經驗必真，即不成問題。而在已成之一切經驗中，已證其為普遍之真者，對已成之一切經驗必然為真，亦不成問題。則穆勒之謂數學知識，因其從未為經驗所否定，故為對已成經驗已證為普遍的真，必然的真者，亦不成問題。然吾人於此可問：由已成經驗所反省抽象而出者，如何能應用至一切尚未有之經驗，或一切可能經驗，而對之亦普遍必然的真？此便仍成為一問題。然吾人卻似明可先絕對的確定：數學邏輯之知識，對一切未來之可能經驗皆為普遍必然的真，而與一般由經驗而得之知識，吾人之不能絕對的確定其對未來可能經驗為真者不同。 吾人之此二種批評，即導出康德哲學中之數學邏輯理論者。 依康德之哲學，吾人論任何種抽象之觀念知識之產生，吾人皆須溯源於吾人之思想活動，認識活動之方式。而一切知識論之最大問題，則在說明可應用於一切可能經驗之先驗知識如何可能。而數學幾何學知識，實即各為先驗知識之一種。 依康德說，吾人之知識命題 [71] 有三種。一為先驗之分析命題，如物體是有廣延的。此種命題中之賓辭之意義，可直接由主辭中分析而出。而吾人肯定主辭，即不能否定賓辭。如否定之，則陷於自相矛盾。故此命題為必真，亦非待經驗而真，並非經驗可加以否證以使之成不真者。此之謂先驗之分析命題。二為經驗之綜合命題，如物體有重量。此種命題之賓辭之意義，不能直接自主辭中分析而出。而吾人如肯定主辭而否定賓辭，並不陷於自相矛盾。如一夢中之物體，即可無重量。經驗的綜合命題之所以為真，唯因吾人所經驗者之如是如是。如經驗中之所見之物體，在被提舉時，吾人確感一重量。故此命題、待經驗而真。而一朝經驗中之物體變為無重量，此命題亦即成為不真者。而此成為不真之可能，乃吾人所可在事先，加以承認者。第三者為先驗的綜合命題。此種命題之真，非可只由分析此命題中之主辭之意義而得者。在此種命題中，賓辭之加於主辭，乃對主辭之意義，有所增益。但其真又不待經驗而真，而為一切經驗所不能加以否證，並對一切已成經驗可能經驗皆真者。此如各種數學幾何學之命題，及其他之先驗綜合命題。 數學中之命題如「『七加五』等於十二」，「『三角形三角之和』等於二直角」之二命題中之賓辭，皆不能自主辭中分析而出。吾人之說七加五等於十二時，此「等於十二」之賓辭，對「七加五」之主辭之意義，有一增益，使吾人對「七加五」有一新了解，故為一綜合命題。然此命題之真，非只對已成已有之經驗為真，而是對一切可能經驗皆真，故為先驗命題。三角形三角之和等於二直角亦然。 康德知識論之中心問題，則為問：此種先驗的綜合命題，如何可能?即其成立依於何處?至其對數學與幾何學之先驗綜合命題之所以可能之討論，則在其時空與數學幾何學之關係之理論。 依康德說，一切可能經驗事物，皆在時空之格局（即範疇)下被經驗。而時空即為感覺認識之方式，乃內在而非外在，為感覺經驗可能之先驗條件，而非感覺之所對。幾何學之知識，乃關於依空間而起之形相之知識。數學中之知識，乃關於依時間而起之數之知識。數學幾何學之知識，所以能普遍有效於一切經驗事物，即因一切經驗事物，皆在先驗之時空之格局下，而數學幾何學知識，則正為依此格局而成立之知識。 康德何以說時間空間為經驗事物之先驗條件，而不說時空之觀念，由經驗而來?此簡單言之，即為吾人對事物之經驗，皆必須被安排於一整個之時空之格局中，而在時空有一地位；然時空之本身，則非被經驗之事物，而只為吾人之超越之統覺之所攝。吾人之統覺，能統攝一切無定限之向東西南北上下伸展之空間，亦能統攝無定限的由過去伸展至現在，以達未來之時間，以形成一囊括經驗世界事物之時空大格局。然吾人不能視此格局為一已成之所對，或外在之對象。亦不能離此格局，而對事物有經驗。吾人乃必須憑此大格局中之不同時間不同空間，以分別安排所經驗之事物，故此格局，為經驗之先驗條件，而只為吾人之超越之統覺所攝。 依康德此說，則所謂幾何學所研究之形相與關係無他，即此整個之空間中各種界劃所成之圖形與其關係。而吾人亦不難依吾人之想像，以想像此面前之虛空中，此處有一三角形，彼處有一圓形，並或想像一方形在圓形中，而對之求有種種之知識。吾人此圓形三角形之知識，亦即對表現圓與方形之事物之幾何學的知識。在表現圓與方形之事未出現之先，吾人對此圓與方之知識，明可先有。此先有之知識，亦必將對一切表現圓或方之事物皆有效。因此知識，乃只涉及事物所表現之圓或方，而不涉及事物之其他方面者，則事物之其他方面，無論為何，皆與此知識為不相干，對之亦無加以證實或否證之效。而此事物所表現之圓與方，亦只是此知識中之圓與方。故此知識，可成為對方圓之物之方圓之先驗知識也。 至於對數學之知識，則康德以為吾人之所以有數之觀念，不能只源於經驗事物。因經驗事物之現象，乃各各差異者。而數之為數，乃由同質之單位構成者。而吾人在用數以規定一事物之量時，吾人所著重者即不在事物之性質。如三尺布，三尺草，三尺木中之布、草、木之經驗性質之不同，吾人對之之印象觀念之不同，皆與此中之三尺之三之觀念，所由產生不相干。依此，洛克之由對印象觀念自身之反省，以成就數之單位之「一」之說，遂可不用。而數之觀念所由生，則要在相繼之計數之活動。此相繼之計數活動，不只是將一與一加以堆積，以成一本身為客觀對象之二三之數，如洛克之說；而要在依於次第之綜合的前進之思維歷程，以成一屬於主觀之心，而可應用於經驗事物之數。此思維歷程之所憑，既非經驗事物或其印象觀念之統一性之一，則其所憑為何?康德則謂之一般性的齊同的直覺Homogeneous Intuition。再由此思維歷程，將此齊同的直覺，次第加以綜合所成之諸統一，即為一一之數。 康德之此種理論之重要點，在將人之一一印象觀念，納之於時間之系列中。吾人在每一時間，直覺一印象觀念，（康德名表象)實即通過對時間之直覺，以直覺一印象觀念。然今吾人試將一時間中所直覺之印象之內容，置之不顧，則唯留下時間之直覺。吾人在不同時間，固有不同之印象。然吾人皆可將其內容，一一棄置。則吾人此時便只有諸齊同的時間之直覺，每一直覺可為一單位。而吾將此諸單位，次第加以綜合，而再統一之，則成數矣。 康德依時間之直覺以言數之理論，其特殊價值，一方在時間之直覺本為可分為齊同之單位者，一方在時間具前進不回之性質。吾人依時間以計數，亦即一方求為將其所分成之單位，皆加以把握，一方亦自具前進不回之性質。吾人之計數之思維，若非前進不回，並將其所計過之各單位，皆加以把握；則吾人可旋計旋忘，永止於一；亦盡可前進後又折回，重複計已計之數，而永不能止於一定之數。然吾人依於時間之可分為單位，及其具前進不回之性質，以次第計數，則可無此問題。而依洛克之理論，只就各單位之綜合以言數，則蓋難保證其綜合之事，不來往重複，而物之數，如何能加以確定，即可成一問題。 康德依時間之直覺言數，而吾人對事物之一切可能之經驗，又皆在時間歷程中，在時間之直覺中，同時被直覺；故依時間之直覺而生之數，與對此數之知識，亦皆可應用於可能經驗之事物。由此而可說明數學之所以能對一切可能經驗事物皆為真之故。而吾人所以於未來之可能經驗之事物，皆知其必有數，且知吾人今之數學，亦必對之應用而有效者；亦唯以吾人今已知：任何可能經驗之事物，當其在次第之時間單位中被經驗時，此一一時間單位之直覺，乃吾人所必能加以綜合以成數者。而此數，亦即此可能經驗事物必能有之數也。 第七節 康德理論之批評 康德之數學理論，其中心問題，在數學之何以能應用於可能經驗之感覺事物，其說自有一匠心。但以時間之直覺釋數之起源，至多只能及於常識中用以計事物之數。因在常識中，吾人對事物是在時間單位中加以直覺，故可以此時間單位之直覺之綜合，以說明數之產生。然此能綜合時間之單位，而計之之活動，其本身必不只為直覺；亦必為在諸時間單位之上，施行其綜合之事者。於此吾人即可問：此計數之活動，即此在時間單位之上，逐步施行綜合之事之活動，是否亦在時間中?如亦在時間中，則對其所經時間之單位，應再可計其數。而此計其數之綜合的活動，仍應又在此諸時間之單位之上。然無論如何，在計數時，吾人自身之綜合活動之步驟之數，要不能在此綜合活動之一一步驟未存在之先，已先存在，而當是依此綜合活動之一一步驟已存在之後而有者。則此數，便應為由此綜合之活動自己所誕生，而初不依於對經驗事物之直覺以起者。此為純依康德之思路設想所應有之一問題。 複次，康德所謂由次第綜合所成之數，實唯由加一所成之加數。加數既成，再去其所加，則成減數，此皆可說。然依此說，如何講乘除之數?如今有二數相乘，吾人若欲對其乘積之數，依直覺一一加以印證，並與一系列之時間單位相配合，便只能在乘積之數既得之後。今吾人可問：在乘積未得之前，二數相乘畢竟是數非數?如說非數，則與一般之數學觀念相違；如說是數，則此時並無直覺加以印證，亦未與時間單位相配合，則依康德義，如何可說是數?此中勢須於數之定義，另換說法。於乘數之反面之除數亦然。此外對於可無定限的分解整數所成之分數小數，及無定限的以數相乘所成之倍數積數，平方數，及其他，如無理數、無限數、級數等，皆同難一一以康德所謂直覺，加以印證，並難與時間之系列中之單位相對應配合而論者。 其次，康德之幾何學理論，乃以歐克里得之幾何為唯一之幾何；然康德以後，事實上已有二類非歐克里得之幾何學。此三種幾何學，對於直線平行線之基本假設，彼此相異，如三者皆同為對實際空間中之形相關係之理論，勢必其中只有一為真。然依純幾何學觀點，吾人並不以其任一之本身為假，而可各為一種幾何學。則其所以皆可成為幾何學之故，即不可說在其為研究實際空間中之形相之關係，而當別有所在。 再其次，康德說數學與幾何學之命題，是先驗必然的綜合命題。所謂數學幾何學知識為必然，可有二種意義。一是數學幾何學知識之本身之必真而不能為假，有如對一主辭以一賓辭表之者，則不能不以一賓辭表之。例如對七加五隻能說是十二，不能說是非十二，此是一義。二數學幾何學之知識，必能應用於一切可能經驗。例如七加五等於十二，不僅可應用於當前之事物，且必可應用於未經驗而可能經驗之事物。康德心中之主要問題，乃後者，故以時間空間為數學幾何學知識之應用於可能經驗之事物之媒介。而對此問題之解答，亦在其關於時空之理論。然吾人將應用於經驗之問題撇開，而惟著眼於一一數學幾何學知識本身之必然性由何而來，則其時空之理論，即可對數學幾何學為多餘。而彼縱能以此理論，保證數學幾何學知識，必可應用於一切經驗事物，數學幾何學知識本身之必然性，仍有待說明。如七加五何以必等於十二，而不等於十一，此畢竟如何說明?仍為一未決之問題。 至於對邏輯之理論，則康德之說是於一般形式邏輯之外，另立超越邏輯之名，以為形式邏輯之概念之知識論基礎，並說明人之先驗範疇所以可應用於經驗事物之認識之故。依其超越邏輯論，形式邏輯中之概念與命題，皆依於吾人之認識理解經驗事物之有不同的先驗方式或先驗範疇而有。如依「統一」之範疇，以看事物，則構成「凡」之概念，全稱之命題。依「雜多」之範疇，以看事物，則將事物分為各部，而構成「有些」之概念，特稱之命題。依「實有性」之範疇以看事物，則有說事物「是」什麼之肯定命題……。依「虛無性」之範疇，以看事物，則有說事物「非」什麼之否定命題等。緣此而成其十二範疇之論，以為十二種形式邏輯命題之知識論上的超越根據。而此十二範疇，則一方與時間之圖型Schema可相應，以便吾人之透過時間以看經驗事物，形成經驗知識之原則者，一方又統於人之超越統覺者。故康德此說，與洛克之以邏輯之基本規律，依於觀念間之同異關係，及亞氏之以邏輯規律兼為普遍的存在事物之規律之說，皆截然不同。而為將邏輯之基礎，純建立於吾人之認識事物之主體之說。 然吾人如只遵循康德之將形式邏輯之概念，由超越邏輯加以說明，以形式邏輯之概念命題，皆由吾人之理解經驗事物之先驗的方式中，導引而出之說；吾人卻不易說明，無知識論意義之純粹邏輯命題，如當代邏輯家所論者，所以產生。又吾人在討論超越邏輯時，吾人思維此超越邏輯之思維之本身，亦明須運用到或展示出種種形式邏輯之概念，如吾人說「統一之範疇『非』雜多之範疇」，「先驗範疇皆『是』可應用於經驗世界」等語句之本身，即直接連用到或展示出種種邏輯概念，如肯定之「是」否定之「非」等。然吾人於此卻可不說此諸概念，亦只是由吾人認識經驗世界時之實有性虛無性之先驗範疇等導引而出。因此處之邏輯概念，乃可用以論謂所謂先驗範疇之本身者，亦即可超越於康德所謂知識論意義之先驗範疇之本身之上者。由是而康德之以超越邏輯為形式邏輯之根據之說，亦不必能成立。