算術基礎 · IV.數這個概念

每個個別的數都是一個獨立的對象 §55.在我們認識到數的給出包含著對一個概念的陳述之後，我們可以嘗試以0的定義和1的定義來補充萊布尼茲對個別數的定義。 人們很容易解釋說：如果沒有對象處於一個概念之下，那麼0這個數就屬於這個概念。但是這裡似乎是具有相同意謂的「沒有」替代了0；因此下面的說法更好一些：無論a是什麼，如果a不處於一個概念之下這個句子是普遍有效的，那麼0這個數就屬於這個概念。 人們能夠以類似的方式說：無論a是什麼，如果a不處於一個概念之下這個句子不是普遍有效的，並且如果從 「a處於F之下」和「b處於F之下」 這兩個句子普遍地得出a和b相同，那麼1這個數就屬於F這個概念。 現在還需要普遍地解釋從一個數到後繼數的過渡。我們試圖作如下表述：如果存在一個對象a，它處於概念F之下並且具有這樣的性質，使得n這個數屬於「處於F之下，但不是a」這個概念，那麼（n+1）這個數就屬於F這個概念。 §56.根據我們至此得出的結果，這些解釋顯得極其隨意，因而需要說明為什麼它們不能令我們滿意。 最後一個定義最容易引起懷疑，因為嚴格地說，在我們看來，「n這個數屬於G這個概念」這個表達式的意義就像「（n+1）這個數屬於F這個概念」這個表達式的意義一樣是未知的。儘管我們能夠藉助這兩個解釋說明 「1+1這個數屬於F這個概念」 意謂什麼，然後我們利用這一點說明 「1+1+1這個數屬於F這個概念」 這個表達式的意義，等等；但是我們絕不能——為了給出一個極端的例子——通過我們的定義來判定，凱撒大帝這個數是否屬於一個概念，這位著名的高盧征服者是不是一個數。此外，藉助我們嘗試的解釋我們不能證明，如果a這個數屬於F這個概念，而且如果b這個數也屬於這個概念，那麼必然a=b。因此，「屬於F這個概念的這個數」這個表達式不會被證明是正確的，由此也根本不能證明數的相等，因為我們根本不能把握一個確定的數。我們已經解釋了0、1，這只是假象；實際上我們只確定了 「0這個數屬於」 「1這個數屬於」 這些談論方式的意義；但是不允許在這裡把0、1作為獨立的、可重認的對象進行區別。 §57.現在應該更清楚地考慮「數的給出包含著對一個概念的表述」這個表達式的涵義。在「0這個數屬於F這個概念」這個句子中，如果我們把F這個概念看作實實在在的主詞，那麼0隻是謂詞的一部分。因此我避免把像0、1、2這樣的數叫作概念的性質。恰恰由於個別的數隻構成表述的一部分，因而它們表現為獨立的對象。我在上文已提請人們注意，人們說「1這個數」並由定冠詞把1表達成對象。這種獨立性在算術中比比皆是，例如在1+1=2這個算式中。在我們看來，這裡重要的是應該像在科學中可以應用的那樣把握數概念，因此，我們不應受到數在日常語言使用中也表現為定語這一現象的妨礙。這總是可以避免的。例如，人們可以把「木星有四顆衛星」這個句子轉化為「木星的衛星數是四」。這裡不能把「是」看作像「天是藍的」這個句子中那樣的純粹連詞。這是因為人們可以說：「木星的衛星數是四」或「是4這個數」。這裡，「是」具有「是與……相等的」、「是與……同一的」的意義。因此我們有一個算式，它斷定「木星的衛星數」這一表達式與「四」這個詞表示相同的對象。而且這種等式形式是算術中的主要形式。「四」這個詞不包含任何關於木星或衛星的東西，這一點與上面的觀點並不相悖。甚至「哥倫布」這個名字中也沒有任何關於發現或美洲的東西，儘管如此，這同一個人仍被叫作哥倫布和美洲的發現者。 §58.人們可能會反對說，我們根本不能像形成某種獨立事物的表象一樣形成關於我們稱之為四或木星的衛星數這樣的對象的表象。 [1] 但是這不應歸咎於我們給予數的這種獨立性。儘管人們很容易相信，在一個骰子的四點這一表象中出現某種與「四」這個詞相應的東西；但這是一種假象。人們考慮一片綠色的草坪（eine grüne Wiese），並嘗試用「一」（Ein）這個數詞替代這個不定冠詞，看錶象是否發生變化。這並不增加任何東西，而表象中確實有某種與「綠色的」這個詞相應的東西。當人們想像「Gold」（「金子」）這個印刷出來的詞時，人們首先想到的並不是數。如果人們現在考慮這個詞由幾個字母組成，那麼就產生4這個數；但是這個表象由此並沒有變得更明確，而是可以完全沒有變化。「『Gold』（金子）這個詞的字母」這個附加概念正是我們發現數的地方。在一個骰子的四點這種情況，問題有些隱蔽，因為這個概念通過點的相似性直接強加給我們，以致我們幾乎注意不到它在這中間出現。數既不能被想像為獨立的對象，也不能被想像為外在事物的性質，因為數既不是某種可感覺的東西，也不是外在事物的性質。也許在0這個數上問題最清楚。企圖想像0個可見的星星，將是徒勞的。儘管人們可以考慮布滿雲層的天空，但是這裡沒有任何與「星星」這個詞或0相應的東西。人們僅僅想像了一種事態，它能夠引起下面這個判斷：現在任何星星也看不見。 §59.也許每個詞都能喚起我們的某一種表象，甚至像「僅僅」這樣一個詞也能喚起我們的某種表象；但是這種表象不必相應於這個詞的內涵；它在別人那裡可以是完全不同的。因此人們大概會想像這樣一種事態，它要求一個含有這個詞的句子；或者可能出現這樣的情況，說出的詞使人們記憶起寫下的詞。 這不僅發生在冠詞的情況。我們沒有關於我們與太陽距離的表象，大概是毫無疑問的。因為，即使我們知道必須把一把量尺複製多少次的規則，依據這一規則為我們勾畫一副藍圖的任何努力依然是徒勞的，哪怕這藍圖只是有些接近我們企望的東西。但是，這並沒有理由令人懷疑發現這一距離所依據的計算的正確性，也絕不會阻礙我們基於這一距離的存在作出進一步推論。 §60.甚至像地球這樣一個十分具體的東西，我們也不能形成一種如同我們已經知道的實際那樣的表象；相反，我們滿足於一個大小適中的球體，我們把它看作是地球的標誌；但是我們知道，這個球體與地球極不相同。這樣，儘管常常根本不出現我們關於我們企望的東西的表象，可是我們仍然極其肯定地對一個像地球這樣的對象作出判斷，即使所考慮的是地球體積。 通過思維我們甚至常常超出可以形成表象的東西之外，而不因此失去我們推論的基礎。對於我們人類來說，沒有表象，思維似乎就是不可能的，即使如此，表象和被思考的東西的聯繫可以是完全表面的，任意的和習慣的。 因此，對一個詞的內涵無法形成表象，並不是否定一個詞的意謂或排除這個詞的使用的理由。這種對立的現象大概是這樣形成的：我們個別地考慮語詞，詢問它們的意謂，然後我們把一個表象看作它們的意謂。因此對於一個詞我們內心若是沒有一個相應的圖像，這個詞似乎就沒有內涵。但是人們必須總是考慮完整的句子。實際上只有在完整的句子中詞才有意謂。這時我們的頭腦中可能出現的一些內在圖像不必相應於判斷中的邏輯成分。如果句子作為整體有一個意義，就足夠了；這樣句子的諸部分也就得到它們的內涵。 我覺得，這一認識有益於揭示許多困難的概念，譬如無窮小這個概念， [2] 它的影響可能不限於數學領域。 我要求的數的那種獨立性不應該意謂數詞脫離句子聯繫而表示某種東西。相反，我僅僅是要以此排除把數詞用作謂詞或定語，因為這樣的用法會多少改變它的意謂。 §61.但是，人們也許會反對說，即使地球實際上是不可想像的，它依然是一個外在事物，有一個確定的位置；但是4這個數在哪裡呢？它既不在我們之外，也不在我們之內。這在空間的意義上理解是正確的。確定4這個數的空間規定是沒有意義的；但是由此只得出它不是一個空間對象，卻得不出它根本就不是一個對象。並非每個對象都存在於某個地方。即使我們的表象 [3] 在這種意義上也不在我們的內在部分（皮下）。我們的內在部分是神經節細胞、血細胞等諸如此類之物，而不是表象。空間謂詞不能應用於表象：一個表象既不在另一個表象的左邊，也不在它的右邊；表象相互之間沒有可以用毫米標出的距離。如果儘管如此我們仍然要說表象在我們的內在部分，那麼我們是想以此把它們表示成主觀的東西。 但是即使主觀的東西沒有位置，可4這個客觀的數怎麼會不在任何地方呢？現在我要說，這裡根本沒有矛盾。對於每個和4這個數打交道的人來說，4實際都是完全一樣的；但是這與空間性沒有任何關係。並非每個客觀的對象都有一個空間位置。 * * * [1] 這是在某種形象的東西的意義上的表象。 [2] 這裡的問題主要在於定義一個像 df（x）=g（x）dx 這樣的方程式的意義，而不在於指明一個由兩個不同點界定的長度為dx的線段。 [3] 這個詞的理解純粹是心理學的，而不是生理學的。 為了獲得數這個概念，必須確定數相等的意義 §62.如果我們不能有關於數的表象或直覺，我們怎麼才能得到一個數呢？語詞只有在句子聯繫中才意謂某種東西。因此重要的是說明含有一個數詞的句子的意義。暫時這仍然有很大的任意性。但是我們已經確定，應該把數詞理解為獨立的對象。以此我們得到一類必然有意義的句子，即表達出重認的句子。如果我們認為a這個符號應該表示一個對象，那麼我們必須有一個記號；它使我們到處都可以判定，b是不是與a相同，即使我們並非總能應用這個記號。在目前的情況下，我們必須解釋 「屬於F這個概念的這個數，與屬於G這個概念 的那個數相同」 這個句子的意義；就是說，我們必須以另一種方式複述這個句子的內容，同時不使用 「屬於F這個概念的這個數」 這個表達式。以此我們給出一種表示數相等的普遍記號。在我們這樣獲得一種把握一個確定的數和重新認出它是相同的數的手段之後，我們就能夠把一個數詞給予這個數作為它的專名。 §63.休謨就已經提到這樣一種手段： [4] 「如果兩個數以某種方式結合起來，使得一個數總有一個單位，這個單位相應於另一個數的每個單位，我們就說它們是相等的。」數的相等必須藉助一一對應來定義，這種觀點近年來似乎普遍為數學家們所接受。 [5] 但是這首先產生一些邏輯方面的疑問和困難，我們不能不加檢驗地放過這些疑問和困難。 相等關係不僅僅在數中出現。由此似乎得出，不應該把它解釋為專屬於數的情況。人們可能認為，相等這個概念先已確定，這樣不需要再加上一個專門的定義，就能從相等和數概念必然得出：什麼時候數是彼此相等的。 針對這一點應該注意，對我們來說，數這個概念尚不確定，只有經過我們的解釋才能成為確定的。我們的目的是構造一種判斷的內容，這種判斷可以被看作這樣一個等式，它的每一邊都是一個數。因此我們不想專為這種情況解釋相等，而想用已知的這個相等概念獲得被看作是相等的東西。當然，看上去這是一種非常奇特的定義，大概還沒有得到邏輯學家足夠的重視；但是一些例子可以說明，這不是前所未聞的。 § 64.「線a與線b平行」這個判斷用符號表示： a∥b， 可以被看作等式。如果我們這樣做，我們就得到方向的概念，我們說：「線a的方向與線b的方向相等。」因此，我們把第一個判斷的特殊的內容分派到a和b上，由此用「=」這個更普遍的符號取代了「∥」這個符號。我們以與原初方式不同的方式分解了內容，並且由此得到一個新概念。當然，人們對這個問題的看法常常與此相反，許多教師定義說：平行線是具有相同方向的線。在這種情況下，「如果兩條直線與第三條直線平行，它們就相互平行」這個句子就能夠訴諸類似表達的相等句子輕易得到證明。只可惜，這樣做歪曲了事實真相！因為所有幾何的東西最初必然是直觀的。現在我問，某人是否有關於一條直線的方向的直覺。一定是關於直線的！但是在關於這條直線的直覺中還要區別出直線的方向嗎？很難！只有通過一種緊接著直覺發生的心靈活動才會發現這個概念。另一方面，人們有關於平行線的表象。只有以一種不正當的方式，即通過使用「方向」這個詞來假設欲證的東西，才能形成上述那種證明；因為如果「如果兩條直線與第三條直線平行，它們就相互平行」這個句子是不正確的，就不能把a∥b轉變為一個等式。 以這種方式從平面的平行可以得到一個與直線情況中方向的概念相應的概念。我見過用「位置」這個名字表示它。形狀這個概念來自幾何相似性，譬如，人們不說「這兩個三角形是相似的」，而說：「這兩個三角形具有相同形狀」或「其中一個三角形的形狀與另一個三角形的形狀是相等的。」以這種方式人們也可以從幾何圖形的共線關係得到一個大概還沒有名字的概念。 §65.現在，為了譬如從平行 [6] 達到方向這一概念，我們嘗試下面的定義： 「線a與線b平行」 這個句子與 「線a的方向與線b的方向相等」的意謂相同。 這一解釋偏離了人們習慣的情況，因為它表面上是確定了這種已知的相等關係，而實際上卻是要引入「線a的方向」這個只是附帶出現的表達。由此產生了第二種疑問，我們由於這樣一條規定會不會與著名的同一律發生矛盾。哪些是同一律呢？作為分析的真命題，它們能夠從概念本身產生出來。而萊布尼茲 [7] 是這樣定義的： 「Eedem sunt，quorum unum potest substitui alteri salva veritate」.（「能夠用一個事物替代另一個事物而不改變真，這樣的事物就是相同的」。） 我借用這一解釋表示相等。人們是否像萊布尼茲那樣說「相同的」或說「相等的」，這無關緊要。儘管「相同的」似乎表達一種完全的一致，而「相等的」只表達在這方面或那方面的一致；但是人們可以採取一種消除這種區別的談論方式，例如，人們不說「這些線段在長度上相等」，而說「這些線段的長度是相等的」或「相同的」，不說「這些平面在顏色上相等」，而說「這些平面的顏色是相等的」。而且我們在上面那些例子中就是這樣使用這個詞的。現在，在普遍可替代性中實際上包含著所有同一律。 為了證明我們嘗試的直線方向的定義是正確的，我們就必須表明，如果直線a與直線b是平行的，就能夠處處以 b的方向 替代 a的方向。 這可以簡化，因為關於一條直線的方向，人們最初只知道這樣一個命題：它與另一條直線的方向一致。因此我們只需要在這樣一種相等的情況下，或在將會含有這樣的相等作為構成因素 [8] 的內容的情況下證明可替代性。關於方向的所有其他命題都必須首先得到解釋，而且對於這些定義我們可以規定：必須保證可以用一條直線的平行線的方向替代這條直線的方向。 §66.但是，針對我們嘗試的定義還產生第三種疑問。在 「a的這個方向與b的這個方向相同」 這個句子中，a的方向作為對象 [9] 出現：而且我們以我們的定義獲得重認這一對象的一種手段，譬如當它可能以另一種面貌作為b的方向出現的時候。但是對於所有情況來說，這種手段還不夠用。例如，人們根據它不能判定英國與地軸的方向是不是相同的。請原諒用這個看上去荒唐的例子！當然不會有人把英國與地軸的方向混淆起來；但這不是我們解釋的功勞。這絲毫也不說明，如果沒有以「b的這個方向」這種形式給定q本身，那麼應該肯定還是否定 「a的這個方向與q相等」 這個句子。我們缺少方向這個概念；因為如果我們有這個概念，我們就能夠規定：如果q不是方向，就應該否定這個句子；如果q是一個方向，那麼前面的解釋就要作出判定。這使人們很容易解釋說： 如果存在一條直線b，它的方向是q，那麼q就是一個方向。 但是現在很清楚，我們在兜圈子。為了能夠應用這種解釋，我們必須在任何情況下已經知道，應該肯定還是應該否定 「q與b的這個方向相等」 這個句子。 §67.如果人們要說：如果q是通過上述定義引入的，q就是一個方向，那麼人們就會把引入q這個對象的方式作為它的性質來看待，而這種方式卻不是它的性質。一個對象的這樣一個定義實際上沒有對這個對象作出任何說明，而是規定了一個符號的意謂，在做到這一點之後，定義轉變為一個關於這個對象的判斷，但是現在判斷再也不引入這個對象，而且與關於它的其他命題處於相等的位置。如果人們選擇這種出路，人們就會假定，只能以一種唯一的方式給定一個對象；因為若不這樣，從q不是通過我們的定義引入的就得不出：不能以這種方式引入它。這樣，所有算式就會產生這樣的結果：以同一種方式給予我們的東西會被看作相同的。但這是十分自明的和毫無結果的，因而是不足道的。實際上人們由此得不出任何有別於各個前提的結論。算式可以有多方面的十分重要的應用，這主要是因為人們能夠重認某種東西，儘管它們是以不同方式給出的。 §68.由於我們以這樣的方式無法得到明確限定的方向概念，並且由於相同的原因無法得到這樣的數概念，因而我們嘗試另一種方法。如果a這條線與b這條線相等，那麼「與a這條線平行的線」這個概念的外延就與「與b這條線平行的線」這個概念的外延相等；反之，如果所述這兩個概念的外延相等，那麼a與b平行。因而讓我們嘗試著解釋如下： a這條線的這個方向是「與a這條線平行」這個概念的外延； d這個三角形的這種形狀是「與d這個三角形相似」這個概念的外延！ 如果我們想把這應用到我們說的情況，我們就必須以概念替代線或三角形，並且以處於一個概念之下的對象與處於另一個概念之下的對象之間一一對應的可能性替代平行或相似性。如果存在這種可能性，那麼為了簡便，我將稱F這個概念與G這個概念是等數的（gleichzahlig），但是我必須要求人們把這個詞看作一個任意選擇的標記方式，不應該從語言構成、而應從這種規定中得出它的意謂。 因此我定義如下： 適合F這個概念的數是「與F這個概念等數的」這個概念的外延。 [10] §69.這種解釋是合適的，最初也許不太明顯。難道人們在一個概念的外延下不會想到某種不同的東西嗎？從最初關於概念外延可以形成的命題可以說明人們在這裡想到的是什麼。這些命題如下： 1.相等， 2.一個比另一個更寬泛。 現在， 「與F這個概念等數的」這個概念的外延與「與G這個概念等數的」這個概念的外延相等 這個句子是真的，當且僅當： 「同一個數既屬於F這個概念，又屬於G這個概念」 這個句子也是真的。因而這裡是完全一致的。 儘管人們不在一個概念的外延比另一個概念的外延更寬的意義上說一個數比另一個數更寬，但是也絕不會出現 「與F這個概念等數的」這個概念的外延 比 「與G這個概念等數的」這個概念的外延 更寬的情況；相反，如果所有與G這個概念等數的概念也是與F這個概念等數的，那麼反之，所有與F這個概念等數的概念也是與G這個概念等數的。這種「更寬的」，自然不能與在數的情況出現的「大於」混淆起來。 當然以下這種情況也是可以想像的：「與F這個概念等數的」這個概念的外延比另一個概念的外延更寬或更窄，這樣，根據我們的解釋，後一個概念的外延就不能是數；而且人們很少說一個數比一個概念的外延更寬或更窄；但是如果真出現這樣的情況，對採納這樣一種談論方式也不會有任何妨礙。 * * * [1] 鮑曼：《論時間、空間和數學》，第2卷，第565頁。 [2] 參見施羅德，《算術和代數課本》，第7、8頁。科薩克：《算術基礎》（Die Elemente der Arithmetik,Programm des Friedrichs-Werder'schen Gymnasiums,Berlin,1872,S.16）。康托爾：《一種普遍多樣性學說的基礎》（Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre,Leipzig,1883,S.3）。 [3] 為了使我的表達能夠更方便，更容易得到理解，我在這裡談論平行。這一討論中至關重要的東西將可以很容易地回到數相等的情況。 [4] Nou inelegans specimen demonstrandi in abstractis（Erdm.S.94）。 [5] 例如，在一個假言判斷中，方向的相等可以作為條件或結果出現。 [6] 定冠詞表明這一點。在我看來，概念是一個單稱可判斷內容的可能的謂詞，對象是這種內容的可能的主詞。如果我們把 「望遠鏡軸的方向與地軸的方向相等」 這個句子中望遠鏡軸的方向看作主詞，那麼謂詞就是「與地軸的方向相等」。這是一個概念。但是地軸的方向只是這個謂詞的一部分；它是一個對象，因為它也可以成為主詞。 [7] 我相信，可以簡單地用「概念」來表示「概念的外延」。但是人們會提出兩點反對意見： 1.這與我前面的斷定——個別的數是對象——相矛盾，因為像「二這個數」這樣的表達式中有定冠詞；不可能以複數的形式談論一、二等等，還有數隻構成給出數時謂詞的一部分。 2.概念可以有相同的外延，而不重合。 儘管我現在認為，可以提出這兩種反對意見，但是這可能引導我們遠離主題，我假定，人們知道一個概念的外延是什麼。 對我們這個定義的補充和證明 §70.定義由於富有成果而被證明是有效的。一些定義可以被完全省略，同時不給證明過程造成任何缺陷，應該把這樣的定義作為完全無價值的予以拋棄。 因此讓我們嘗試一下，從我們對屬於F這個概念的數的解釋是不是能夠推出數的已知性質。這裡我們將滿足於最簡單的性質。 為此還必須更確切地把握等數性。前面我們藉助相互一一對應解釋它，現在應該說明我想如何理解這個表達，因為人們從中可能很容易猜測某種直觀的東西。 讓我們考慮下面的例子。如果一個飯店服務員想確信他在桌子上擺放的餐刀恰好與盤子一樣多，那麼他既不必數餐刀，也不必數盤子，他只要在每一個盤子的右邊擺放一把餐刀，使得桌子上每一把餐刀都在一個盤子的右邊。這樣，盤子和餐刀就是相互一一對應的，而且這是通過相同的位置關係。如果我們在 「a放在A的右邊」 這個句子中，考慮用不同的對象代入a和A，那麼這裡保持不變的內容部分就構成這種關係的本質。讓我們概括和推廣這一點。 當我們從涉及一個對象a和一個對象b的可判斷內容把a和b分離出來時，我們就剩下一個關係概念，因而它需要以雙重方式補充。如果我們在 「地球比月亮大」 這個句子中分離出「地球」，我們就得到「比月亮大」這個概念。反之，如果我們分離出「月亮」這個概念，我們就獲得「小於地球的」這個概念。如果我們同時把「地球」和「月亮」都分離出去，則還剩下關係概念，這個概念本身就像一個簡單概念那樣沒有意義：它總是需要得到補充才能成為可判斷的內容。但是可以用不同的方式進行補充：例如，我可以不代入地球和月亮，而代入太陽和地球，而且由此同樣產生出這種分離。 每對個別對應的對象——人們可以說成是主詞——與關係概念之間的關係，類似於個別對象與它處於其下的那個概念之間的關係。這裡主詞是複合構成的。有時候，當關係是可逆的，這在語言上也表達出來，譬如在下面這個句子：「帕魯斯和泰蒂絲是阿齊利斯的父母。」 [11] 有些情況與此相反。例如，不大可能以這樣的方式重新表述「地球比月亮大」這個句子的內容，使「地球和月亮」表現為複合構成的主詞，因為「和」這個詞總是指示某種相等位置。但是這不影響實質問題。 因此，關係概念同簡單概念一樣，屬於純邏輯。這裡考慮的不是關係的特殊內容，而僅談邏輯形式。而且關於這種邏輯形式可以談論的是：它的真是分析的，並被看作先驗的。這適合於其他概念，同樣適合於關係概念。 正像 「a處於F這個概念之下」 是一個涉及一個對象a的可判斷內容的普遍形式一樣，也可以把 「a與b有φ關係」 看作一個涉及對象a和涉及對象b的可判斷內容的普遍形式。 §71.如果現在每個處於F這個概念之下的對象都與一個處於G這個概念之下的對象有φ這種關係，而且如果一個處於F之下的對象與處於G這個概念之下的每個對象有φ關係，那麼處於F和G下的對象就通過φ關係相互對應起來。 人們還可以問，如果F這個概念之下根本沒有對象，那麼 「每個處於F之下的對象都與一個處於G之下的對象有φ這種關係」 這個表達意謂什麼。我把它理解為：無論a表示什麼， 「a處於F之下」 和 「a與處於G之下的任何對象都沒有φ這種關係」 這兩個句子不能並存，因而要麼前一個句子是假的，要麼後一個句子是假的，要麼兩個句子都是假的。由此可知，如果不存在處於F之下的對象，那麼「每個處於F之下的對象與一個處於G之下的對象都有φ這種關係」，因為在這種條件下，無論a可能是什麼，總能夠否定第一個句子 「a處於F之下」。 同樣， 「一個處於F之下的對象與每個處於G之下的對象有φ這種關係」 這個句子意謂：無論a可能是什麼， 「a處於G之下」 和 「任何處於F之下的對象都與a沒有φ這種關係」 不能並存。 §72.現在我們已經看到，處於F和G這兩個概念之下的對象什麼時候通過φ這種關係相互對應。但是在我們這裡，這種對應應該是相互一一對應。我的理解是，這說明下面兩個句子郁是有效的： 1.如果d與a有φ這種關係，並且如果d與e有φ這種關係，那麼一般來說，無論d、a和e可能是什麼，a與e相同。 2.如果d與a有φ這種關係，並且如果b與a有φ這種關係，那麼一般來說，無論d、b和a可能是什麼，d與b相同。 以此我們把相互一一對應的關係化歸為純邏輯關係。現在我們可以如下定義： 「F這個概念與G這個概念是等數的」 這個表達與 「存在一種關係φ，它使處於F這個概念之下的對象與處於G之下的對象相互一一對應」 這個表達具有相同的意謂。 我重複說一遍： 屬於F這個概念的數是「與F這個概念等數的」這個概念的外延， 我還要補充說： 「n是一個數」 這個表達與 「存在一個這樣的概念，n是屬於它的這個數」 這個表達具有相同的意謂。 以這種方式數這個概念得到解釋，當然表面上是通過它自身得到解釋的，但是實際上卻沒有錯誤，因為「屬於F這個概念的這個數」已經得到解釋。 §73.現在我們想首先說明，如果F這個概念是與G這個概念等數的，那麼屬於F這個概念的數就與屬於G這個概念的數相等。當然，聽上去這像是同語反覆，但實際上不是，因為「等數的」這個詞的意謂不是從這種複合構成得出的，而是從上面給定的解釋得出的。 根據我們的定義應該表明，如果F這個概念與G這個概念是等數的，那麼「與F這個概念等數的」這個概念的外延與「與G這個概念等數的」這個概念的外延相同。換句話說，必須證明，在這一前提下， 如果H這個概念是與F這個概念等數的，那麼它與G這個概念也是等數的 和 如果H這個概念是與G這個概念等數的，那麼它與F這個概念也是等數的 這兩個句子是普遍有效的。第一個句子的結果是：如果存在一個關係φ，它使處於F這個概念之下的對象與處於G這個概念之下的對象相互一一對應，而且如果存在一個關係ψ，它使處於H這個概念之下的對象與處於F這個概念之下的對象相互一一對應，那麼就存在一種關係，它使處於H這個概念之下的對象與處於G這個概念之下的對象相互一一對應。下面的字母排列將更清楚地表明這一點： HψFψG。 實際上可以給出這樣一種關係：它在下面這個句子的內容中 「存在一個對象，c與它有ψ這種關係，而它與b有φ這種關係」， 如果我們從中把c和b分離出來（看作關係點）。人們可以表明，這種關係是一種相互一一對應的關係，而且它使處於H這個概念之下的對象與處於G這個概念之下的對象相對應。 以類似的方式也可以證明另一個句子。 [12] 但願這些說明能夠足以使人們認識到，這裡我們不必以直覺作任何證明的依據，而且，我們的定義可以有一些用處。 §74.現在我們可以過渡到對個別的數的解釋。 由於在「與自身不相等」這個概念之下沒有任何東西，因此我解釋說： 0是適合「與自身不相等」這個概念的這個數。 也許人們會提出異議，認為我在這裡是談論一個概念。也許人們會提出反對意見，認為這裡包含一個矛盾，而且人們還會想起木質的鐵和方形的圓這些老生常談。我卻認為，這些老生常談根本沒有人們說的那麼糟糕。儘管它們不會直接有用處，但是它們也不會造成任何危害，只是不要假設一些東西處於它們之下；而且人們還沒有由於僅僅使用這些概念就作出這樣的假定。一個概念含有矛盾，這並非總是顯而易見得不需要進行任何研究；為了進行研究，人們必須首先有這個概念，並且像對其他概念那樣對它進行邏輯探討。從邏輯的觀點出發，而且為了證明過程的嚴格性，人們能夠對一個概念提出的全部要求就是它要有鮮明的界限，使得對每個對象來說，它是否處於這個概念之下，都是確定的。而像「與自身不相等」這樣包含矛盾的概念卻完全滿足這種要求。因為人們知道，任何對象都不處於這樣一個概念之下。 [13] 我是這樣使用「概念」一詞的： 「a處於F這個概念之下」 是一種可判斷的內容的普遍形式，這個內容涉及一個對象a，並且無論用什麼替代a，這個內容依然是可判斷的。而在這種意義下， 「a處於『與自身不相等』這個概念之下」 與 「a與自身不相等」 或 「a不等於a」 是有相同意謂的。 我本可以用沒有東西處於其下的別的任何概念來定義0，但是對我來說，重要的是選擇這樣一個概念，關於它能夠用純邏輯方法證明這一點；而「與自身不相等」這個概念最適合這一目的，這裡，我贊同前面引用的萊布尼茲對「相等的」的純邏輯的解釋。 §75.現在，必須能夠藉助前面的規定證明，每一個沒有東西處於其下的概念與其他每一個沒有東西處於其下的概念是等數的，並且僅與這樣一個概念是等數的，由此得出，0是屬於這樣一個概念的數，而且如果屬於一個概念的數是0，那麼就沒有對象處於這個概念之下。 如果我們假定，一個對象既不處於F這個概念之下，也不處於G這個概念之下，那麼為了證明等數性，我們必須有一種關係φ，對這種關係φ來說，下面的句子是有效的： 每個處於F之下的對象與一個處於G之下的對象有φ這種關係；一個處於F之下的對象與每個處於G之下的對象有φ這種關係。 根據前面關於這些表達式的意謂的論述可以看出，根據我們這些假定，每個關係都滿足這些條件，因而相等也滿足這些條件，此外相等還是相互一一對應的；因為它對於上面為此提出的兩個要求都是有效的。 相反，如果一個對象，譬如a，處於G之下，而沒有任何對象處於F之下，那麼 「a處於G之下」 和 「任何處於F之下的對象與a都沒有φ這種關係」 這兩個句子對各個φ關係共同成立；因為第一個句子依據第一個假定是正確的，第二個句子根據第二個假定是正確的。就是說，如果不存在任何處於F之下的對象，那麼也就沒有任何與a有任何關係的對象。因而就沒有下面的關係，根據我們的解釋，這種關係使處於F之下的對象與處於G之下的對象相對應，因此F這個概念和G這個概念不是等數的。 §76.現在我要解釋自然數序列中每兩個相鄰項的相互關係。假定 「存在一個概念F和處於它之下的這樣一個對象x，使得屬於F這個概念的數是n，而屬於『處於F之下但不等於x』這個概念的數是m」 這個句子與 「n在自然數序列中緊跟m」 這個句子具有相同的意謂。 我避免用「n是跟在m後面的這個數」這個表達，因為為了證明這個定冠詞的合理性，必須先證明兩個句子。 [14] 出於同樣的原因，我在這裡尚不說「n=m+1」；因為通過等號，（m+1）也被表示成為對象。 §77.現在，為了達到1這個數，我們必須首先表明，存在某種東西，它在自然數序列中緊跟著0。 讓我們考慮下面這個概念——或者，如果人們願意的話，讓我們考慮下面這個謂詞——「與0相等」。0處於這個概念之下。卻沒有對象處於「與0相等但不與0相等」這個概念之下，因而0是屬於這個概念的數。據此我們就有一個概念「與0相等」和一個處於它之下的對象0，對於它們來說，下面的句子是有效的： 屬於「與0相等」這個概念的這個數與屬於「與0相等」這個概念的這個數相等； 屬於「與0相等但不與0相等」這個概念的這個數是0。 因此根據我們的解釋，屬於「與0相等」這個概念的這個數在自然數序列中緊跟0。 如果我們現在定義： 1是屬於「與0相等」這個概念的這個數， 那麼我們可以把上一句話表達為： 1在自然數序列中緊跟0。 為了1的客觀合理性，對1的定義不假定任何觀察的事實， [15] 說明這一點也許不是多餘的；因為人們很容易混淆下面的情況：為了使我們可以做出這個定義，必須滿足一定的主觀條件；一些感覺經驗促使我們作出這個定義。 [16] 感覺經驗畢竟可以是合乎實際的，同時推出的句子又不會不再是先驗的。例如，這些條件也包含以下的情況：大量優質血液流經大腦——至少據我們所知是這樣；但是我們上一個句子的真卻不依賴於這種情況；即使不再發生這樣的情況，它依然存在；而且即使有一天所有理性動物會同時進入冬眠，這個句子的真也不會隨之中斷，而是完全不受影響。一個句子的真恰恰不是這個句子的被思考的東西。 §78.這裡我可以得出幾個能夠藉助我們的定義證明的句子。讀者將很容易看到如何進行證明。 1.如果a在自然數序列中緊跟0，那麼a=1。 2.如果1是屬於一個概念的這個數，那麼存在一個對象，它處於這個概念之下。 3.如果1是屬於一個概念F的這個數；如果x這個對象處於F這個概念之下，並且如果y處於F這個概念之下，那麼x=y；即x是與y相同的。 4.如果一個對象處於一個概念F之下，並且，如果從x處於F這個概念之下並且y處於F這個概念之下可以普遍地推出x=y,那麼1就是屬於F這個概念的這個數。 5.通過 「n在自然數序列中緊跟m」 這個句子確定的m與n的這種關係，是一種相互一一對應的關係。 在此還沒有說，對每個數都存在另一個數，它在數序列中緊跟前者或者前者在數序列中緊跟它。 6.除0以外，每個數在自然數序列中都緊跟一個數。 §79.為了能夠證明，對自然數系列的每一個數（n）都有一個數緊跟，人們必須指出一個這後一個數所屬於的概念。我們選擇 「屬於以n結束的自然數序列的項」 作為這個概念，首先必須對此進行解釋。 首先，我以一種稍有不同的方式重複我在《概念文字》中所綜合的關於一系列推論的定義。 「如果x與之有φ關係的每個對象處於F這個概念之下，而且如果由d處於F這個概念之下普遍地得出，無論d是什麼，d與之有φ關係的每個對象都處於F這個概念之下，那麼y就處於F這個概念之下，無論F可能表示什麼概念」 這個句子與 「y在這個φ序列中跟著x」 和 「x在這個φ序列中在y之前」 是意謂相同的。 §80.對此做幾點評述將不是多餘的。由於φ這種關係可以是不確定的，因此不能以空間和時間對應的形式來考慮這種序列，儘管不排除這些情況。 人們也許會以為另一種解釋更自然一些，例如：如果從x出發，把注意力總是從一個對象轉移到它與之有φ關係的另一個對象上，而且如果以這種方式最終能夠達到y，那就可以說，y在這個φ序列中跟著x。 這是研究這個問題的一種方式，而不是定義。我們在注意力游移時是否達到y，可能取決於主觀上各種各樣的附加情況，例如取決於供我們支配的時間，或取決於我們對事物的認識。y是否在這個φ序列中跟著x，一般來說與我們的注意力和轉移注意力的條件沒有任何關係，這是某種事實的東西，就像一片綠葉反映出某種光線，無論它現在是不是被我看見並喚起我的感覺，就像一粒鹽在水裡是可溶的一樣，無論我是不是把它扔到水裡並觀察這個溶解過程，即使我根本不可能進行這樣的嘗試，它仍然是可溶的。 通過我的解釋，這個問題從主觀可能性的領域提高到客觀確定性的領域。實際上，從一定的句子得出另一個句子，這是客觀的東西，是不依賴於我們的注意力的活動規律的東西，我們得不得出這個結論都無所謂。這裡我們有一個標誌，凡是在可以提出這個問題的地方，都可以普遍地判定它，即使在個別的情況下，外在的困難阻礙我們不能判定這情況是否合適時，也是如此。對於問題本身，這是無關緊要的。 我們不必總是從頭到尾審查從開始項到一個對象之間的所有中間項，以便確定這個對象跟著那個項。例如，如果看到在這個φ序列中b跟著a，c跟著b，就可以根據我們的解釋推論，c跟著a，甚至不必知道其中間項。 僅通過對一個序列中後繼的這種定義，就可以把n到（n+1 ）這種表面上是數學固有的推理方式化歸為普遍的邏輯規律。 §81.如果我們現在有這樣一種關係作關係φ，即通過 「n在自然數序列中緊跟m」 這個句子建立起m到n的關係，我們就不說「φ序列」，而說「自然數序列」。 我進一步定義： 「y在這個φ序列中跟著x或者y與x相同」 這個句子與 「y隸屬以x開始的這個φ序列」 這個句子和 「x隸屬以y結束的這個φ序列」 這個句子是意謂相同的。 因此，a隸屬以n結束的自然數序列，如果n要麼在這個自然數序列中跟著a，要麼n與a相等。 [17] §82.現在應該表明，（在尚需要得到說明的條件下）屬於 「隸屬以n結束的自然數序列」 這個概念的這個數，在這個自然數序列中緊跟n。因此在這種情況下就證明，存在一個在自然數序列中緊跟著n的數；這個序列沒有最後一個項。這個句子顯然是無法用經驗方法或歸納法建立起來的。 在這裡若是給出這個證明本身，就會離題太遠。可以僅僅簡要提示一下證明過程。應該證明 1.如果a在自然數序列中緊跟d，而且如果對於d而言，屬於 「隸屬以d結束的這個自然數序列」 這個概念的這個數在這個自然數序列中緊跟d，這是有效的，那麼對於a而言，屬於 「隸屬以a結束的這個自然數序列」 這個概念的這個數，在這個自然數序列中緊跟a，這也是有效的。 其次，應該證明，在剛才論述d和a的句子中所陳述的東西，對於0是有效的，然後應該得出，這對於n也是有效的。如果n屬於以0開始的這個自然數序列。當必須把關於d和關於a，關於0和關於n的那個共同陳述當作概念F時，這種推論方式就是我關於 「y在這個自然數序列中跟著x」 這個表達式所給出的定義的應用。 §83.為了證明上一節1這個句子，我們必須表明，a是屬於「隸屬以a結束的這個自然數序列但不等於a」這個概念的數。而為了表明這一點，又必須證明，這個概念與「隸屬以d結束的這個自然數序列」這個概念的外延相等。為此，人們需要下面這個句子：任何隸屬以0開始的這個自然數序列的對象在這個自然數序列中都不能跟著自己。這一點也必須藉助我們關於一個序列的後繼的定義證明。 [18] 由此我們不得不為屬於 「隸屬以n結束的自然數序列」 這個概念的這個數在這個自然數序列中也緊跟著n的這個句子補充一個條件，即n隸屬以0開始的自然數序列。為此通常用一種更簡略的表達方式，我把這種方式解釋為： 「n屬於以0開始的自然數序列」 這個句子與 「n是一個有窮數」 這個句子是意謂相同的。 於是我們可以把最後這個句子表達如下：在自然數序列中任何有窮數都不跟著自己。 * * * [1] 這裡不應該與下面的情況相混淆，即「和」只是表面上聯結主詞，實際上卻聯結兩個句子。 [2] 反過來也是如此：如果屬於F這個概念的這個數與屬於G這個概念的這個數相同，那麼F這個概念與G這個概念就是等數的。 [3] 由一個概念對處於其下的對象進行定義，則與上述情況完全不同。例如，「這個最大的真分數」這個表達沒有內容，因為定冠詞要求指向一個確定的對象。而「小於1並且任何小於1的分數在數量上都不超過它的分數」這個概念卻是毫無問題的，而且為了能夠證明沒有這樣的分數，人們甚至需要這個概念，儘管它含有一個矛盾。但是如果人們想通過這個概念確定一個處於它之下的對象，那麼無論如何都必須先說明兩點： 1.一個對象處於這個概念之下； 2.只有一個唯一的對象處於這個概念之下。 由於這其中的第一個句子已經是假的，因而「這個最大的真分數」這個概念是無意義的。 [4] 參看注釋。 [5] 沒有普遍性的句子。 [6] 參見埃德曼：《幾何學公理》（Die Axiome der Geometrie,S.164）。 [7] 如果n不是數，那麼只有n本身隸屬以n結束的自然數序列。但願人們不會對這種表達不滿。 [8] 施羅德（《算術和代數課本》，第63頁）似乎把這個句子看作是另一種可想像的標記方式的結果。這裡人們也可以注意到那種影響到他對該問題的整個描述的弊病，即人們不大知道，數是不是一個符號，而且如果它是一個符號，那麼什麼是這個符號的意謂，或者這個數是否正是這個符號的意謂。人們規定不同的符號，因而同一個符號絕不反覆出現。由此尚得不出，這些符號也意謂不同的東西。 無窮數 §84.與有窮數相對的是無窮數。屬於「有窮數」這個概念的那個數是一個無窮數。譬如，讓我們用∞1來表示它。如果它是一個有窮數，在自然數序列中它就不能跟著自己。但是我們可能表明，∞1跟著自己。 在以這種方式解釋的無窮數∞1中，不存在任何神秘或奇異的東西。「屬於F這個概念的這個數是∞1」不多不少恰恰是說：有一種關係，它使處於F這個概念之下的對象與有窮數相互一一對應。根據我們的解釋，這是一種完全清楚的和沒有歧義的意義；而且這足以證明使用∞1這個符號的合理性並且保證它有一個意謂。我們無法形成一個關於無窮數的表象，這是完全不重要的，對於有窮數同樣是這樣。因此∞1這個數有某種與任何一個有窮數同樣確定的東西：毫無疑問可以把它作為相同的東西予以重認，並且可以把它與其他東西區別開來。 §85.不久以前，康托爾在一篇出色的論文 [19] 中引入了無窮數。我完全同意他對只能把有窮數看作是現實的這種觀點的評價。有窮數不是感官可感覺的和空間的，分數、負數、無理數和複數也不是；而且，如果人們把對感官起作用的東西或者至少對感官知覺有影響從而產生或遠或近結果的東西叫作現實的，那麼這些數當然都不是現實的。但是，我們甚至根本不需要這些感覺作為我們定理的證明根據。我們在研究中可以大膽地使用邏輯上沒有任何異議地引入的名稱或符號，因而我們的∞1這個數就像二或三一樣是合理的。 我在這裡（正像我相信的那樣）與康托爾是一致的，但是我使用術語與他有所不同。他把我的數叫做「冪」（Mächtigkeit），而他關於數的概念 [20] 卻涉及對應。對於有窮數來說，當然有一種不依賴於序列的性質，而對於無窮大的數來說就不是如此。現在，「數」這個詞和「多少？」這個問題的語言用法不包含對確定對應的提示。康托爾的數其實是回答這樣一個問題：「在一個順序中第多少個項是最後一個項？」因此我覺得我的術語更符合語言用法。如果人們擴展一個語詞的意謂，人們就必須要注意，儘可能多的普遍句子獲得其有效性，而且有時是非常基礎性的作用，就像數的那種獨立於序列的性質一樣。我們根本不必進行任何擴展，因為我們關於數概念也直接包括無窮數。 §86.康托爾為了得到無窮數，引入了「一個順序中的後繼」這個關係概念，這個概念與我的「一個序列中的後繼」這個概念不同。例如，根據他的觀點，如果把有窮的正整數進行排列，使得奇數在其自然數序列中一個跟著另一個，而且偶數也是一個跟著另一個，並且還要規定，每一個偶數要跟著每個奇數，那麼就會形成一個順序。在這個順序中，例如，0會跟在13後面。但是任何數都不會直接出現在0前面。這正是一種在我定義的序列的後繼中不能出現的情況。人們可以不利用直覺公理而嚴格證明，如果y在φ序列中跟著x，那麼就存在一個對象，它在這個序列中直接出現在y前面。我覺得現在依然缺少對順序中的後繼和康托爾的數的精確定義。這樣康托爾求助某種神秘的「內在直覺」，而這裡本來應該努力並且也許可以從定義出發進行證明。因為我相信可以預見那些概念是如何能夠得到確定的。無論如何，我並不想通過這些評述對它們的合理性和富有成果性提出任何批評。相反，我贊同在這種研究中對於科學的擴展，尤其是因為通過這種擴展，開闢了一條通往更高的無窮大數（冪）的純算術的道路。 * * * [1] 《一種普遍多樣性學說的基礎》（Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkaitslehre,Leipzig,1883）。 [2] 看上去，這個表達可能與前面提出的概念的客觀性相矛盾；但是在這裡只有稱謂是主觀的。