算術基礎 · III.關於單位和一的看法

「一」這個數詞表達對象的一種性質嗎？ §29.歐幾里得在《幾何基礎》第七卷一開始給出的定義中，似乎用「μον＇αs」這個詞有時表示一個可數的對象，有時表示這樣一個對象的一種性質，有時表示一這個數。人們可以把它們都翻譯為「單位」，但這僅僅是因為這個詞本身表現出這些不同的意謂。 施羅德 [1] 說：「每一個可數的東西都被稱為[一個]單位。」問題是，為什麼要先使這些東西置於單位這個概念之下，而不是簡單地解釋說數是事物的集合呢，這又會使我們回到前面的觀點。當人們根據語言形式把「一」看作形容詞，並像理解「聰明人」那樣理解「一個城市」時，人們可能是想首先把事物稱為單位，從中找到更進一步的確定。在這種情況下，一個單位就會是一個對象，這個對象會帶有「一」這種性質，而且它與「一」的關係就類似於「一個聰明人」與「聰明的」這個形容詞的關係。上面已經提出一些理由反對數是事物的一種性質，對此這裡還要特別補充幾點。首先引人注意的是，每個事物都會有這種性質。這樣就會令人無法理解，究竟為什麼還要給一個事物明確地附加這種性質。僅僅由於這種可能性，即某種東西不是聰明的，梭倫是聰明的這個斷定才獲得一種意義。當一個概念的外延增加時，它的內涵就減少；如果它的外延包羅萬象，那麼它的內涵必然會完全消失。很難想像，語言如何能夠創造出一個對於進一步確定一個對象根本就不會有用的形容詞來。 如果可以像理解「聰明人」那樣理解「一個人」，那麼就應該想到「一」也可以作為謂詞使用，因而正如人們說「梭倫是聰明的」那樣，人們也可以說「梭倫是一」或「梭倫是一個」。即使最後這個表達式也可以出現，孤零零的這個表達式本身也是無法理解的。例如，如果在其語境中可以補充「聰明人」，它可以意謂：梭倫是一個聰明人。但是孤立的「一」似乎不能作謂詞。 [2] 在複數情況下這表現得還要清楚一些。人們可以把「梭倫是聰明的」和「泰勒斯是聰明的」合併為「梭倫和泰勒斯是聰明的」，但是卻不能說「梭倫和泰勒斯是一」。這裡，如果「一」就像「聰明的」一樣既是梭倫的性質又是泰勒斯的性質，那麼看不出來為什麼不能說「梭倫和泰勒斯是一」。 §30.與此相關的是人們從未能給「一」這種性質下定義。當萊布尼茲 [3] 說「一是我們通過一種理解行為把握的東西」時，他是通過一本身來解釋「一」的。但是難道我們不能通過一種理解行為把握多嗎？萊布尼茲在同一個地方承認了這一點。鮑曼 [4] 以類似的方式說：「一是我們理解為一的東西」，他還說：「我們把我們規定為點或不再規定為分開的東西看作一；但是我們也可以把外界直覺的每個一，無論經驗的還是純粹的，都看作多。每個表象若與另一個表象界限分明，就是一；但是每個表象自身又可以被區分為多。」因此概念的所有客觀界限變得模糊不清，一切依賴於我們的理解。我們再一次問：如果根據理解每個對象都能夠是一，也能夠不是一，那麼為任何一個對象賦予「一」這種性質能有什麼意義呢？一門恰恰是致力於最大的明確性和精確性的科學，怎麼能夠依據一個如此含糊的概念呢？ §31.儘管鮑曼 [5] 允許一這個概念依據內心直覺，但在上述引文處他卻把不可分性和分界性稱為標誌。如果這合乎實際，那麼可以期待甚至動物也能有某種關於單位的表象。一條狗在看見月亮時是不是確實也有一個關於我們用「一」這個詞所標誌的東西的、即便還是極不確定的表象呢？很難！然而它肯定區別了某些個別對象：另一條狗，它的主人，它玩耍的一塊石頭，這些東西在它看來肯定是界限分明的，自身存在的，不可分的，正如在我們看來一樣。儘管它會察覺一種區別：必須防禦許多條狗的攻擊還是僅防禦一條狗的攻擊，但是這被密爾稱為物理的區別。特別重要的是，關於我們以「一」這個詞表達的那種共性，譬如在它遭到一條更大的狗咬和它追蹤一隻貓這兩種情況的共性，它是不是有一種意識，即使是極其模糊的意識，我認為這是難以想像的。我由此推論，正像洛克 [6] 認為的那樣，單位這個觀念不是通過外在的每個客體和內在的每個觀念提供給理智，而是由於使我們與動物區別開來的這種更高的精神力量才被我們認識的。這樣，動物和我們一樣可以感到的不可分性和分界性這樣的事物屬性，就不可能是我們概念中本質的東西。 §32.然而人們仍然可以猜到某種聯繫。語言從「一」引申出「一體的」，這時語言就表明這種聯繫。某種東西本身的區別比起它周圍環境的區別變得越不重要，它的內在聯繫越是超過它與周圍環境的聯繫，就越適合於把這種東西理解為特殊的對象。因此「一體的」指一種性質，這種性質使人們在理解中把某種東西與周圍環境分開，並且考慮這種東西本身。如果「uni」這個法文詞意謂「平的」、「平坦的」，那麼對這個詞也應這樣解釋。在談論一個國家的政治統一（單位），一件藝術作品的整體（單位）時，人們也以類似的方式使用「Einheit」（單位）這個詞。 [7] 但是在這種意義上，「Ein-heit」與其說屬於「一」，不如說屬於「一體的」或「統一的」。因為，如果人們說地球有一個衛星，那麼人們並不是要以此把這個衛星解釋為一個界限分明的、自身存在的、不可分割的衛星；實際上，人們這樣說是要表達出有別於與金星、火星或木星一起出現的那個東西。就分界性和不可分性來說，木星的衛星也許可以與我們的衛星相比，在這種意義上，它們也是統一的。 §33.不可分性被一些著作家提高成為不可分性。科普（G.Köpp） [8] 把每個被認為是不可分解的和自身存在的，感官可感覺或不是感官可感覺的東西稱為個別的東西，把可數的個別的東西稱為一，這裡「一」顯然是在「單位」的意義上使用的。鮑曼以我們可以把外在事物任意看作多為依據論證他的觀點：外在事物不表現為嚴格的單位，這時，他也把不可分解性冒充為嚴格單位的一種標誌。通過把內在聯繫提高成為絕對的，人們顯然想獲得一種不依賴於任意理解的單位的標誌。這種努力失敗了，因為在這樣的情況下幾乎留不下任何可稱之為單位的可數的東西。因此，隨著人們不是提出不可分解性作標誌，而是提出被認為不可分解的東西作標誌，人們立即又開始後退。結果人們又回到動搖不定的理解。那麼把事物看作與實際上不同究竟會得到什麼好處嗎？恰恰相反！從錯誤的假定能夠產生錯誤的推論。但是如果人們不想從不可分解性推出任何東西，它還有什麼用處呢？如果人們能夠放棄概念的嚴格性而無損於任何東西，甚至必須要放棄它，那麼這種嚴格性還有什麼用處呢？但是也許人們只是不應該考慮可分解性。好像由於沒有思維，竟能夠達到某種東西！但是有一些情況，在這些情況下，人們根本不可能避免思考可分解性，在這些情況下，一個推理甚至基於單位的複合構成，譬如在下面這個習題：一天有24小時，3天有多少小時？ * * * [1] 《算術和代數課本》，第5頁。 [2] 出現一些似乎與此矛盾的用法；但是如果更仔細地考慮，人們就會發現，應該補充一個概念詞，或者不把「一」用作數詞，應該斷定的是單位性而不是單一性。 [3] 鮑曼：《論時間、空間和數學》，第2卷，第2頁。 [4] 同上書，第2卷，第669頁。 [5] 鮑曼：《論時間、空間和數學》，第2卷，第669頁。 [6] 同上書，第1卷，第409頁。 [7] 關於「單位」這個詞的歷史，參見歐克恩的《哲學術語歷史》（Eucken,Geschichte der philosophischen Terminologie.S.122-123,S.136，S.220）。 [8] 科普：《小學算術》（Schularithmetik,Eisenbach,1867,S.5,u.6）。 單位是否彼此相等？ §34.因此各種解釋「一」這種性質的企圖都沒有成功，而且我們大概必須放棄這樣的觀點：在把事物表示為單位時，必須有進一步的規定。我們又回到我們的問題：如果「單位」只是事物的另一個名字，如果所有事物都是單位或者可以被理解為單位，那麼為什麼稱事物為單位呢？施羅德 [9] 提出歸於計數物體的相等作為理由。首先看不出為什麼「事物」和「對象」不能同樣清楚地表示這一點。然後還有這樣的問題，為什麼把相等歸於計數對象？是只把相等歸於計數對象，還是對象真是相等的？無論如何絕沒有兩個對象是完全相等的。另一方面，人們也許幾乎總能找出兩個對象一致的方面。因此，如果我們不願違背真而把超出適合事物的相等歸於事物，我們就又回到任意的理解。實際上，許多著作家毫無保留地把單位稱為相等的。霍布斯 [10] 說：「絕對地說，在數學中，數自身假設了那些它們藉以形成的相等的單位。」休謨 [11] 認為量和數的組成部分是完全類似的。托邁 [12] 稱一個集合的個體為單位，他說：「單位彼此是相等的。」人們可以同樣有理由或者更正確地說：「集合的個體彼此是不同的。」那麼這種所謂的相等對於數來說應該意謂什麼呢？藉以區別事物的性質，對於事物的數來說是某種無關緊要和陌生的東西。因此人們要避開它們。但是以這種方式無法做到這一點。如果人們像托邁要求的那樣，「從一個實物集的個體的獨特性進行抽象」，或者「在考慮分離的事物時不看藉以區別事物的標誌」，那么正像利普希茲認為的那樣，沒有留下「被考慮事物的數這個概念」，相反，人們得到一個普遍概念，考慮的那些事物就處於這個概念之下。這些事物並不因此喪失任何具有特殊性的東西。例如，如果我在考慮一隻白貓和一隻黑貓時不看它們藉以相互區別的性質，那麼我就可能得到「貓」這個概念。即使我現在把這兩隻貓置於這個概念之下，譬如把它們稱為單位，這隻白貓依然還是白的，這隻黑貓依然還是黑的。即便是我不考慮顏色或決心不從顏色差異進行任何推論，這兩隻貓也不會變得沒有顏色，它們依然像以前那樣是不同的。通過抽象得到的「貓」這個概念，儘管不再含有那些特殊性，但是正因為如此它才僅僅是一。 §35.以純概念的處理方式不能使不同的事物相等；但是如果能夠做到這一點，人們就不會再有一些事物，而是只有一個事物；因為正像笛卡爾 [13] 所說，事物的數——或更恰當地說，複數——是由事物的區別產生的。E.施羅德 [14] 正確地斷言：「只有在存在著相互間可以得到清晰的區別（譬如在空間和時間上分離開並且相互間界限分明）的對象的地方，才能以理性的方式提出計數事物的要求。」實際上，過於相似，譬如一個柵欄的欄杆的過於相似，有時使計數變得很難。在這種意義上，W. S.傑芬斯 [15] 特別尖銳地指出：「數只是表示差異的另一個名字。嚴格的同一就是單位，隨著差異產生多。」他還說（S.157）：「人們常說，單位就是單位，只要它們彼此是完全相等的；但是，儘管它們在一些方面可能是完全相等的，它們至少在一點上必然是不同的；否則多這個概念就不能應用於它們。如果三枚硬幣完全相等，以致它們在相同的時間占據相同的空間，那麼它們就不會是三枚硬幣，而是一枚硬幣。」 §36.但是不久就表明，關於單位是不同的這樣一種觀點遇到了新的困難。傑芬斯解釋說：「一個單位（unit）是思維的任何一個對象，這個對象能夠與在同一個問題中被看作是單位的其他每一個對象區別開。」這裡，單位通過自身被解釋，「能夠與……其他每一個對象區別開」這個補充說明不含有任何進一步的規定，因為它是自明的。我們稱這個對象為另一個對象，恰恰只是因為我們從一開始就能夠區別它。傑芬斯繼續說 [16] ：「當我寫下5這個符號時，我實際是意謂 1+1+1+1+1， 而且完全清楚，這些單位各個相互不同。如果需要，我可以如下標誌它們： 。」 如果它們是不同的，那麼肯定需要以不同的方式表示它們；否則就會產生最嚴重的混淆。如果出現一的這個不同的位置其實應該意謂一種差異，那麼一定會把這當作沒有例外的規則，因為否則人們就會無法知道，1+1應該意謂2還是意謂1。在這種情況下，人們一定會拋棄1+1這個等式並且會陷入絕不能第二次表示相同事物的窘境。這顯然不行。但是如果人們想給予不同事物以不同的符號，那麼就看不出人們為什麼在這些符號中還留有一種共同的成分，人們為什麼不願意拋棄 ， 而寫 a+b+c+d+e。 現在確實已經失去相等，而且對一定的相似性的說明也毫無用處。就這樣，一在我們手中化為烏有；我們得到帶有其一切特殊性的對象。 1′,1″,1…… 這些符號生動地表達了下面這種窘境：我們必須有相等；因此必須有1；我們必須有差異；因此必須有小撇，不過遺憾的是，這些小撇又揚棄了相等。 §37.在其他著作家那裡，我們遇到相同的困難。洛克 [17] 說：「通過重複一個單位這個觀念並且把這個觀念加到另一個單位上，這樣我們就構成一個以『二 』這個詞表示的集合觀念。而且，誰能這樣做並能繼續做下去，在他關於一個數的最後一個集合觀念上總是再加一，並且能給它一個名字，誰就能夠計數。」萊布尼茲 [18] 把數定義為1加1加1，或定義為單位。黑塞（Hesse） [19] 說：「如果人們關於代數中以符號1表達的這個單位能夠形成一個表象，……那麼人們也能考慮第二個有同等權利的單位以及其他這一類單位。第二個單位與第一個單位結合成為一個整體，產生了2這個數。」 這裡應該注意「單位」和「一」這兩個詞的意謂的相互關係。萊布尼茲把單位理解為一個概念，一加一加一加一處於這個概念之下，正像他還說的那樣：「一的抽象是單位。」洛克和黑塞似乎用單位和一意謂相同的東西。其實萊布尼茲也正是這樣做的；因為當他把處於單位這個概念之下的個別對象都稱為一時，他用這個詞表示的不是個別對象，而是個別對象處其之下的概念。 §38.然而為了不使混亂蔓延，最好在單位和一之間保持嚴格的區別。人們說「一這個數」（「die Zahl Eins」）並且以這裡的定冠詞意謂科學研究的一個確定的唯一的對象。沒有不同的數一，而是只有一個。我們以1得到一個專名，作為一個專名，它不能有複數，就像「腓特烈大帝」或「金這個化學元素」一樣。人們寫1沒有筆畫區別，這不是偶然的，也不是一種不精確的標記方式。對於 3-2＝1 這個等式,St.傑芬斯會重寫為譬如： 。 但是， 的結果會是什麼呢？無論如何不是1′。由此可見，根據他的觀點，不僅會有不同的一，而且會有不同的二，如此等等；因為1″+1不能由 替代。人們由此清晰地看出，數不是事物的累積。如果想用不同的事物取代總是相同的一，那麼即使是用十分相似的符號，也會取消算術；這些符號甚至不可能是毫無錯誤地相同的。然而人們不能假定，算術最根本需要的是一種有錯誤的書寫。因此不可能把1看作是表示不同對象譬如冰島、畢宿五、梭倫等等的符號。當人們考慮一個方程式有三個根，即2、5和4這種情況時，這種荒謬就變得最為明顯。如果現在按照傑芬斯寫出 表示3，在這種情況下，如果把1′、1″、 理解為單位，因而按照傑芬斯把它們理解為這裡出現的思維的對象，那麼在這裡就會是1′意謂2，1″意謂5， 意謂4。那麼寫下 2+5+4 表示1′+1″+ ，難道不是更明白嗎？ 複數僅對於概念詞才是可能的。因此，如果人們談到「（一些）單位（Einheiten ）」，那麼使用這個詞就不能與「一」這個專名有相同的意謂，而是用它作為概念詞。如果「單位」意謂「被計數的對象」，那麼就不能把數定義為（一些）單位。如果人們把「單位」理解為包含一併且只包含一的概念，那麼複數就沒有意義，而且也不可能隨萊布尼茲把數定義為單位或定義為1加1加1。如果像在《本生和教堂墓地》中那樣使用「加」 [20] ，那麼1加1加1就不是3，而是1，就像金子加金子加金子絕不是不同於金子的東西。因此，必須把 1+1+1＝3 中的加法符號理解為與「加」不同的東西，「加」幫助人們表達一種匯集，一種「集合的觀念」。 §39.因此我們面臨著下面的困難： 如果我們想通過不同對象的結合而形成數，我們就得到一種包含著這樣一些對象的聚集，這些對象恰恰帶有使它們相互區別的性質；而且這並不是數。另一方面，如果我們想通過把相同的東西結合在一起而建立數，那麼這總是匯合成為一，我們絕達不到多。 如果我們用1表示每個被計數對象，這就是錯誤的，因為不同的東西得到了相同的符號。如果我們為1加上區別的筆畫，它對於算術就成了無法應用的。 「單位」這個詞非常適合於掩蓋這個困難；而且這是人們不喜歡「對象」和「事物」這些詞而更喜歡它的——甚至還是無意識的——原因。人們首先把被計數事物稱為單位，這裡差異保持其合法地位；然後，聯結、匯集、結合、添加或像人們願意使用的其他說法，轉變為算術加法這個概念，而「單位」這個概念詞不知不覺地變成「一」這個專名。這樣人們就有了相等。如果我在u這個字母後面添加一個n，並在n後面添加一個d，那麼誰都很容易看出，這不是3這個數。但是如果我把u、n和d置於「單位」這個概念之下，然後不說「u和n和d」，而說「一個單位和一個單位再和一個單位」或「1和1和1」，那麼人們以此很容易相信得到了3。困難通過「單位」這個詞十分巧妙地隱蔽起來，以致知道這困難存在的人確實寥寥無幾。 這裡，密爾其實有權批評對語言的一種高超運用；因為這裡的語言運用不是一種思維過程的外在現象，而只是這樣一種過程的假象。這裡人們實際上有一種印象，好像如果不同的東西僅僅由於被稱為單位就變成相等的，那麼毫無思想的詞就被賦予了某種神秘的力量。 * * * [1] 《算術和代數課本》，第5頁。 [2] 鮑曼：《論時間、空間和數學》，第1卷，第242頁。 [3] 艾本達，第2卷，第568頁。 [4] 《分析函數基礎理論》，第1頁。 [5] 鮑曼：《論時間、空間和數學》，第1卷，第103頁。 [6] 《算術和代數課本》，第3頁。 [7] 《科學原理》（The Principles of Science,3d.Ed.S.156）。 [8] 《科學原理》，第162頁。 [9] 鮑曼：《論時間、空間和數學》，第1卷，410-411頁。 [10] 同上書，第1卷，第3頁。 [11] 《四個種》（Vier Species，S.2）。 [12] 德文「und」有「和」和「加」的意思。《本生和教堂墓地》中的「和」與「1加1加1」中的「加」 都是「und」，德文無區別，而中文要有不同的譯法。——譯者 克服這個困難的嘗試 §40.現在我們考察幾種解釋，這些解釋表現出人們試圖克服這個困難，儘管人們在進行這些解釋時並沒有始終清楚地意識到這一目的。 人們可以首先藉助時間和空間的性質。就其自身考慮，一個空間點與另一個空間點，一條直線與另一條直線，或者一個平面與另一個平面，是根本不能區別的，全等的立體、面積或線段相互之間是根本不能區別的。它們只有作為一種總體直覺的組成部分共同存在時，才能得到區別。因此在這裡，似乎相等與可區別性結合起來，類似的情況也適合於時間。霍布斯 [21] 大概是由此認為，幾乎不能想像，單位的相等竟不是通過連續統的劃分而形成的。托邁 [22] 說：「如果人們想像空間中個體或單位的一個集合，並且連續數這些個體或單位，對此時間又是必要的，那麼在抽象過程中，依然要留下這些單位在空間中的不同位置及在時間中不同的相繼次序作為單位的區別標誌。」 對於這樣一種理解方式首先產生了以下異議：如果這樣，可計數的東西就會僅限於空間的東西和時間的東西。萊布尼茲 [23] 就已經批駁了經院學家下面這種現點：數是由僅僅對連續統的劃分而形成的，不能用於非物體的東西。鮑曼 [24] 強調不依賴於數和時間的性質。即使沒有時間，單位這個概念也是可以想像的。傑芬斯 [25] 說：「三枚硬幣就是三枚硬幣，無論我們是一個接一個地數它們，還是同時考慮它們。在許多情況下，時間和空間都不是差異的理由，而只有質是差異的理由。我們可以把金子的重量、慣性和硬度理解為三種性質，儘管它們在時間和空間中任何一個也不在另一個之前，任何一個也不在另一個之後。進行區別的各種方法都能成為多的來源。」我要補充說：如果被計數的對象不是實際上一個跟著一個，而僅僅是一個跟著一個被計數，那麼時間就不能是進行區別的理由。因為，為了能夠一個接一個地計數它們，我們必須已經有用以區別的記號。時間只是計數的一種心理要求，與數這個概念卻沒有任何關係。如果人們允許以空間或時間點來表現非空間和非時間的對象，那麼這對計數的解釋也許能夠有好處；但是從根本上說，這裡預先假設了數概念可以應用於非空間和非時間的東西。 §41.但是，如果除了空間和時間記號以外，我們不考慮任何用以區別的記號，那麼確實將達到把可區別性和相等結合起來的目的嗎？不！我們一步也沒有接近這個問題的解決。如果對象最終必須保持相互分離，那麼對象之間或多或少的相似與問題就毫無關係。正像我在考慮幾何學問題時不能把個別的點、線等等都稱為A，我在這裡同樣不能都用1來表示它們；因為同在那裡一樣，這裡也必須區別它們。只有就空間點自身而言，不考慮它們的空間關係，空間點彼此才是相等的。但是如果我把它們結合起來，我就必須依據它們在空間中的共同存在考慮它們，否則它們就會無可挽回地融合為一。點在整體上也許表現為任何一個星座式的形象或者以任何一種方式排列為一條直線，一些相等的線段也許以端點相接構成一個單一的線段，或者它們保持相互分離。以這種方式形成的圖像對於同一個數可能是完全不同的。因此我們在這裡可能也會有不同的五、六等等。時間點由或長或短、或同或異的間隔分離開。所有這些都是一些與數本身根本無關的關係。到處都混入了某種特殊的東西，數則因其普遍性而遠遠超越這些特殊的東西。甚至一個單一的時刻也有某種獨特的東西，這個時刻以這種獨特性譬如與另一個空間點區別開來，而在數概念中卻不出現任何與此有關的東西。 §42.以一個普遍的序列概念替代空間和時間次序來尋求出路，也不能實現目的；因為序列中的位置不成為區別對象的根據，這是由於這些對象必然已經根據某些標準得到區別，才能在一個序列中依次排列。這樣一種次序總是以對象之間的關係為前提，無論是空間關係、時間關係、邏輯關係或音程關係，還是其他這樣一些關係，它們可以引導人們從一個對象到另一個對象，並必然與這些對象的區別聯繫在一起。 當漢克爾 [26] 要求1次、2次、3次考慮或提出一個物體時，似乎也是企圖在被計數對象上將可區別性與相等結合起來。但是人們也立即看出，這並不是成功的嘗試。因為同一個對象的這些表象或直覺若是不融合為一，必然有這樣或那樣的不同。我也認為，人們有理由談論4500萬德國人，而不用先4500萬次考慮或提出普通的德國人；這可能是很麻煩的事情。 §43.也許是為了避免當人們隨傑芬斯一起使每個符號1都意謂被計數對象中的一個時產生的這些困難，E.施羅德要以1僅描述一個對象。結果，他只解釋了數符號，而沒有解釋數。他是這樣說的 [27] ：「現在為了得到一個能夠表達存在多少那樣的單位 [28] 的符號，人們按順序一次注意它們之中的一個，並且用一划『1』（一個一）來描述它；人們把這個一一個接一個地排一行，通過+（加）這個符號把它們相互聯結起來，因為若不這樣，根據數的習慣標記方式會把譬如111讀作一百一十一。人們以這種方式得到 1+1+1+1+1 這樣的符號，人們可以通過以下說法描述這個複合構成： 『一個自然數是諸一之和』。」 由此看出，對於施羅德來說，數是一個符號。他以「存在多少那樣的單位」這幾個字把符號表達的東西、即我至此一直稱為數的東西，假設為已知的。他甚至把「一」這個詞理解為1這個符號，而不是它的意謂。「+」這個符號對他來說首先只起沒有自己的內涵的外在聯結手段的作用；直到後來加法才得到解釋。他本來也許可以更簡要地說：人們有多少被計數的對象，就並列地寫多少符號1，並且用「+」這個符號把它們結合起來。不寫下任何東西，將會表示零。 §44.為了不把事物的區別記號一併收入到數中來，傑芬斯 [29] 說： 「關於數的抽象，現在將不難形成一種清晰的表象。它就在於抽象掉產生多的差異特徵，同時只保留差異的存在。當我談論三個男人時，我不必立即逐個說明能夠使其中每個人與其他兩個人區別開來的標記。如果他們真是三個男人而不是同一個男人，這些特徵就必然存在，而且當我把它們作為多個人談論時，我以此也陳述了必要差異的存在。因此，無名數是差異的空的形式。」 應該如何理解這一點？要麼可以在把區別事物的性質結合成為一個整體之前抽象掉它們；要麼可以先構造一個整體，然後抽象掉這種差異。以第一種方式我們根本不會達到對事物的區別，因而也不能確定差異的存在；傑芬斯想的似乎是第二種方式。但是我不相信，我們以這種方式會獲得10000這個數，因為我們沒有能力同時把握這麼多差異並且確定它們的存在；因為，如果它們會相繼出現，那麼數就會變得沒完沒了。儘管我們在時間中計數；但是通過時間我們卻得不到數，我們只能確定它。此外，對抽象方式進行說明並不是定義。 應該把「差異的空的形式」理解為什麼呢？譬如是理解為 「a是與b不同的」 （這裡a和b依然是不確定的）這樣一個句子嗎？這個句子會是譬如2這個數嗎？ 「地球有兩極」 這個句子與 「北極與南極是不同的」 這個句子具有相同的意謂嗎？顯然不是。第二個句子可以沒有第一個句子而存在，第一個句子也可以沒有第二個句子而存在。因此對於1000這個數，我們就會有 這樣的表達差異的句子。 傑芬斯的論述尤其不適合0和1。例如，為了從月亮達到1這個數，人們實際上應該抽象掉什麼呢？通過抽象人們也許會得到下面這些概念：地球的伴星、一顆行星的伴星、自己不發光的天體、天體、物體、對象；但是在這個序列中不能出現1；因為它不是月亮可以處其之下的概念。在0的情況，人們根本就不能有抽象過程可由之出發的對象。0和1不是在2和3那種意義上的數，對此人們並不反對！數回答「多少？」這個問題。例如當人們問這顆行星有多少顆衛星時，人們可能回答說2或3，同樣也可能回答說0或1，而這個問題的意義卻不會變成其他樣子。儘管0這個數有某種特殊的東西，1這個數也有某種特殊的東西，但是每個整數基本上都是如此；只不過數越大，越注意不到罷了。這裡作出種類的區別，完全是任意的。不適合0或1的，對於數這個概念就不能是本質的。 最後，通過假定數的這種形成方式根本沒有消除我們在考慮以 表示5時所遇到的困難。這種寫法與傑芬斯關於構造數的抽象所說的完全一致；即上方的小撇表示存在一種差異，卻沒有說明它們的種類。但是正像我們看到的那樣，依據傑芬斯的觀點，僅這種差異的存在就足以產生不同的一、二、三，而這與算術的存在是完全不相容的。 * * * [1] 鮑曼：《論時間、空間和數學》，第1卷，第242頁。 [2] 《分析函數的基礎理論》（Elementare Theorie der Analyt.Functionen,S.1）。 [3] 鮑曼：《論時間、空間和數學》，第2卷，第2頁。 [4] 同上書，第668頁。 [5] 《科學原理》（The Principles of Science,S.157）。 [6] 《複數系統理論》（Theorie der complexen Zahlensysteme,S.1）。 [7] 《算術和代數課本》（Lehrbuch der Arithmetik und Algebra,S.5ff.）。 [8] 被計數的對象。 [9] 《科學原理》，第158頁。 困難的解決 §45.現在讓我們全面地看一下我們至此已經確定的東西和尚未得到回答的問題。 數不是以從事物抽象出顏色、重量、硬度的方式抽象出來的，它不是事物的這種性質意義上的性質。但是依然有一個問題：通過給出一個數，人們對什麼作出一些陳述呢？ 數不是物理的東西，但也不是主觀的東西，不是表象。 數不是通過把一事物添加到另一事物上而形成的。即使在每次添加之後給予命名，也不會改變任何東西。 「多」、「集合」和「眾多」這些表達由於不確定，因而不適合用來解釋數。 關於一和單位，存在著這樣一個問題：對於那種似乎混淆了一和多之間各種區別的任意理解，應該如何加以限制。 分界性、不可分性和不可分解性都不能用來作為我們以「一」這個詞所表達的東西的標誌。 如果把被計數的事物稱作單位，那麼「單位是相等的」這個無限制的斷定就是錯誤的。單位在某些方面是相等的，這儘管正確，卻沒有價值。數若是變得大於1，被計數事物的差異甚至就是必然的。 因此看上去，我們必須賦予單位以兩種矛盾的性質：相等和可區別性。 應該對一和單位作出區別。「一」這個詞作為數學研究的一個對象的專名不能是複數。因此通過把許多一結合在一起而形成數是沒有意義的。1+1=2中的加號不能意謂這樣一種「結合」。 §46.為了說明這個問題，在一個表現出數的原初應用方式的判斷的上下文中考慮數，將是十分有益的。在我看到同一個外界現象時，如果我能夠同樣真地說：「這是一片樹」和「這是五棵樹」，或者「這裡有四個連」和「這裡有500人」，那麼這裡發生變化的既不是個別的東西，也不是整體，即集合，而是我用的稱謂。然而這僅僅表明是以一個概念替代了另一個概念。由此使我們想到下面這個事實作為對上一段第一個問題的回答：即數的給出包含著對一個概念的表達，這一點也許在0這個數的情況最清楚。如果我說「金星有0個衛星」，那麼根本就不存在對之可作出某種陳述的衛星或衛星的集合；但是由此卻賦予「金星的衛星」這個概念某種性質，即它不包含任何東西。如果我說：「皇帝的御車由四匹馬拉」，我就把四這個數賦予「拉皇帝御車的馬」這個概念。 人們可能會反對說，譬如像「德國臣民」這樣的一個概念，儘管它的特徵保持不變，但是如果在一個給出數的表達中說出了它的一種每年都要發生變化的性質，它就會得到這樣一種性質。針對這一點，人們可以說，對象也可以改變它們的性質，這並不阻礙人們承認它們是同一的。但是這裡對原因還可以進行更確切的說明。實際上，「德國臣民」這個概念含有時間這個變化因素，或者用數學方式表達，它是一個時間函數。對於「a是一個德國臣民」，人們可以說：「a屬於德國」，而且這恰恰涉及現在時刻。因此這個概念本身已經有某種流動的東西。與此相反，適合「柏林時間1883年初的德國臣民」這個概念的永遠是相同的數。 §47.數的給出表達了一些獨立於我們理解的真實的東西，這種說法只能使那些認為概念是某種與表象相等的主觀的東西的人感到奇怪。但是這種觀點是錯誤的。例如，如果我們使物體這個概念下屬於重物的概念，或者使鯨魚這個概念下屬於哺乳動物的概念，那麼我們就以此判定了某種客觀的東西。如果這些概念是主觀的，那麼一個概念下屬於另一個概念這種概念之間的關係也就像表象之間的關係那樣是主觀的東西。乍一看， 「所有鯨魚都是哺乳動物」 這個句子當然好像是關於動物的，而不是關於概念的；但是，如果人們問，所說的究竟是哪個動物，人們就不能指出任何唯一的動物。假定眼前有一條鯨魚，那麼這個句子對它依然沒有斷定任何東西。若是不加上「它是一條鯨魚」這個句子，就不能從上面那個句子推論出，眼前這個動物是一個哺乳動物。因為這個句子不包含任何與此有關的東西。實際上，若是不以任何方式表示或稱謂一個對象，就不可能談論它。但是「鯨魚」這個詞並不稱謂任何個別動物。如果人們回答說，這裡說的絕不是一個個別的確定的對象，而可能是一個不確定的對象，那麼我就認為，「不確定的對象」不過是「概念」的另一個表達，而且是一個很差的、充滿矛盾的表達。儘管只有通過觀察個別的動物才能證實我們這個句子，但是這對於它的內容不證明任何東西。它論及什麼，這個問題是不是真的，或者說，我們出於什麼理由把它看作真的，都是無所謂的。這裡如果概念是某種客觀的東西，那麼關於它的表達也就可以包含某種事實的東西。 §48.前面在幾個例子中形成一種假象：不同的數屬於同一個事物。應該這樣解釋這種假象；那裡是把一些對象當作數的承載者。只要我們指定真正的承載者，即概念的合法地位，就會表明數是相互排斥的，如同顏色在其範圍相互排斥一樣。 現在我們還看到，人們是如何想通過事物的抽象來獲得數的。由此得到的是概念，然後在這概念上發現了數。因此實際上抽象常常出現在構造一個有關數的判斷之前。這是一種混淆，就好像人們想說：用桁架加木板牆和穀草頂建造一座住宅，而且煙囪不密封，這樣就得到易燃危險性這個概念。 概念的聚集力遠遠勝過綜合統覺的結合力。以這種結合力不可能把德國的臣民結合成為一個整體；但是人們肯定可以使德國的臣民處於「德國臣民」這個概念之下並且計數他們。 現在，數的廣泛可應用性也變得可以解釋了。無論是對於外在現象還是對於內在現象，無論是對於時空的東西還是對於非時空的東西，如何能夠作出相同的判定，實際上是莫明其妙的。這種情況在給出數時也絕不出現。數被賦予的僅僅是那些把外在和內在的東西、時空和非時空的東西置於其下的概念。 §49.我們在斯賓諾莎的著作中發現了對我們這個觀點的一個證明。他說 [30] ：「我回答說：僅考慮到一事物的存在，而不考慮它的本質，就把它稱為一或單一的；因為只有把事物歸於共同的尺度下之後我們才能藉助於數想到事物。例如，一個人手裡拿著一枚古羅馬時代的銀幣和一枚帝俄時代的金幣，如果他不能給予這枚古羅馬時代的銀幣和這枚帝俄時代的金幣相同的名字，即硬幣或錢幣，他就不會想到二這個數。如果他能給它們以相同的名字，即硬幣或錢幣，他就可以肯定他有兩枚硬幣或錢幣；因為他用錢幣這個名字不僅表示這枚古羅馬時代的銀幣，也表示這枚帝俄時代的金幣。」當他繼續說「由此可以看出，把一個事物稱為一或單一的，必須首先要想到另一個與它（正像所說的那樣）一致的事物」時，當他認為人們不能在真正的意義上把上帝叫作一或單一的（因為我們對於它的本質不能建立任何抽象的概念）時，他錯誤地以為，只有通過直接對許多事物進行抽象才能獲得概念。正相反，人們從一些標記出發也可以達到概念；而在這種情況，就可能沒有任何東西在概念下。如果不出現這種情況，就絕不能否定存在，因而對存在的肯定也會失去其內容。 §50.施羅德 [31] 強調說，如果能夠談論一事物的頻繁性，那麼這事物的名字必然總是一個屬名，一個普遍的概念詞（notio communis）；「只要人們完整地考慮一個對象——包括所有它的性質和關係，那麼這個對象就會是世界上唯一的，再不會有與它相同的東西。這個對象的名字後來將帶有一個專名（nomen proprium）的特徵，而且這個對象不能被看作是重複出現的。但這不是僅適合於具體的對象，而是普遍地適合每個事物，儘管其表象也是通過抽象而形成的，假如只有這種表象包含著足以使有關事物成為一個完全確定事物的因素……。後者」（成為被計數的對象）「對於一事物只有在以下範圍才是可能的：人們不考慮或者抽象掉它的一些使自身與所有其他事物相區別的特有特徵和關係，通過這樣一種方法，這個事物的名字才成為一個可應用於許多事物的概念。」 §51.在這段說明中，正確的東西被似是而非和使人誤入歧途的表達掩蓋起來，因此需要進行清理和篩選。首先，把一個普遍的概念詞叫作一事物的名字是不合適的。由此形成一種假象，好像數是一事物的性質。一個普遍的概念詞恰恰表達一個概念。只有帶定冠詞或指示代詞，它才能被看作是一事物的專名，但是因而它再不能被看作概念詞。一事物的名字是一個專名。一個對象不會重複出現，而是許多對象處於一個概念之下。一個概念不是僅通過對處於它之下的事物的抽象而獲得的，在批評斯賓諾莎時就已經說明了這一點。這裡我要補充說，一個概念不會由於以下原因而不再是概念：處於它之下的只有唯一一個事物，因而這個事物完全是由它確定的。1這個數恰恰屬於一個這樣的概念（譬如地球的伴星），它與2和3是同樣意義上的數。對於一個概念人們總是要問，是否有某種東西處於它之下，可能是什麼東西處於它之下。對於專名，這樣的問題是毫無意義的。人們不應該受到這樣的欺騙：語言把一個專名，譬如Mond，作為一個概念詞使用，以及反過來，將一個概念詞作為專名使用 [32] ；儘管如此，區別依然存在。只要一個詞在使用時帶不定冠詞或以複數形式不帶冠詞，它就是概念詞。 §52.在德語語言使用中可以發現對把數賦予概念這種看法的進一步證明，人們說十人（zehn Mann），四馬克（vier Mark），三桶（酒）（drei Fass）。這裡，單數的用法可能是表明，考慮的是概念，不是事物。這種表達方式的優越性，尤其在0這個數表現出來。可是在其他地方，語言把數賦予對象，而不賦予概念：人們說「包數」，就像人們說「包重」一樣。因此人們表面上在談論對象，而實際上是想斷定一個概念的某種東西。這種語言用法令人產生誤解。「四（匹）純種馬」這個表達給人一種假象，好像正如「純種」進一步確定了「馬」這個概念一樣，「四（匹）」進一步確定了「純種馬」這個概念。然而只有「純種」是一個這樣的標誌；我們通過「四（匹）」這個詞斷定了一個概念的某種東西。 §53.我當然不是把由一個概念斷定的性質理解為構成概念的標誌。這些標誌是處於概念之下的事物的性質，而不是概念的性質。因此「直角的」不是「直角三角形」這個概念的性質；但是，「不存在直角的、直線的、等邊的三角形」這個句子表達了「直角的、直線的、等邊的三角形」這個概念的一種性質；零這個數被賦予這個概念。 在這一方面，存在與數有相似性。確實對存在的肯定不過是對零這個數的否定。因為存在是概念的性質，所以對上帝存在的本體論證明沒有達到它的目的。但是，存在不是「上帝」這個概念的特徵，唯一性也同樣不是「上帝」這個概念的特徵。唯一性不能用來定義這個概念，正像人們在蓋房子時也不能把房子的堅固性、寬敞性、居住性和石頭、灰漿、方木料一起使用。然而，人們不能從某種東西是一個概念的性質普遍地推論出：從這個概念，即從它的標記無法得出這種東西。在有些情況下這是可能的，正像有時可以從建築石料的種類推論一座建築物的耐用性一樣。因此，若是聲稱絕不能從一個概念的標記推論出唯一性或存在，則會有些過分；只是這絕不能像人們把一個概念的標記作為一種性質賦予一個處於其下的對象那樣直接完成。 否認存在和唯一性曾經可以是概念的標記，這也是錯誤的。只不過它們不是人們想依照語言賦予這些性質的那些概念的標記。例如，如果把所有其下只有一個對象的概念匯集在一個概念之下，那麼唯一性就是這個概念的標記。例如，「地球衛星」這個概念將處於它之下，而不是所謂的天體將會處於它之下。因此人們能夠使一個概念處於一個更高的概念，也可以說是一個二階概念之下。但是不能把這種關係與下屬關係混淆起來。 §54.現在可以對單位做出令人滿意的解釋。施羅德在上面提到的他那本教科書第7頁上說：「每個屬名或概念都被稱為是以給定方式構造起來的數的名稱，並且構成其單位的本質。」 實際上，把一個概念稱為與屬於它的數有關的單位，難道不是最適宜的嗎？這樣我們就能夠為關於單位的這個斷定——它脫離周圍環境並且是不可分的——贏得一種意義。因為被賦予數的概念一般以明確的方式劃清處於其下的東西。「數（Zahl）這個詞的字母」這個概念劃清了Z和a，劃清了a和h，等等。「數這個詞的音節」這個概念把這個詞當作一個整體並且在下面的意義上當作不可分的東西加以強調：部分不再處於「數這個詞的音節」這個概念之下。並非所有概念都具有這種性質。例如，我們可以用各種各樣的方法把處於「紅」這個概念之下的東西分開，而不使這些部分不再處於它之下。任何有窮數都不屬於這樣的概念。因此關於單位的分界性和不可分性的句子可以如下表述： 與一個有窮數有關的單位只能是這樣一個概念，它把處於它之下的東西明確地分離開，而且不允許任何任意的劃分。 但是人們看到，不可分性在這裡有一種特殊的意謂。 現在我們很容易回答應該如何化解單位的相等和不可區分性這個問題。這裡「單位」這個詞是在雙重意義上使用的。在上面解釋的這個詞的意義上，單位是相等的，在「木星有四顆衛星」這個句子中，單位是「木星的衛星」。處於這個概念之下的，不僅有I，也有II，也有III，還有IV。因而人們可以說：I與之相關的單位和II與之相關的單位是相等的，如此等等。這裡我們得到相等。但是如果人們斷定單位的不可區分性，那麼人們以此是意謂被計數事物的不可區分性。 * * * [1] 鮑曼：《論時間、空間和數學》，第1卷，第169頁。 [2] 《算術和代數課本》，第6頁。 [3] 德文「Mond」不加定冠詞，意為「衛星」，加上定冠詞「der Mond」，意為「月亮」。——譯者