算術基礎 · II.一些著作家關於數概念的看法

§18.當我們現在轉而考慮算術的原初對象時，我們把3、4等等這些個別的數與數這個普遍概念區別開。現在我們已經決定同意這樣的觀點：最好以萊布尼茲、密爾、H.格拉斯曼和其他一些人的方式從一和加一得出個別的數，但是只要還沒有解釋一和加一，這些解釋就還是不完整的。我們已經看到，人們需要普遍的句子，以便從這些定義推導出數公式。這樣的規律恰恰由於其普遍性而不能從個別數的定義得出，而只能從數這個普遍概念得出。現在我們更精確地考慮這個概念。這裡大概還必須討論一和加一，因此還必須期待著補充對個別的數的定義。 §19.這裡我要立即反對這樣一種企圖，即在幾何學中把數理解為長度或平面的關係數。人們顯然相信，通過一開始就確立算術和幾何學的最密切的聯繫，有助於把算術應用於幾何學。 牛頓[1]認為，把數與其理解為一個單位集，不如理解為每一個量與另一個被看作單位的同類量之間的抽象關係。可以承認，這樣就恰當地描述了廣義的數，甚至也可以包括分數和無理數；但是在這種情況下就預先假設了量和量的關係的概念。由此看來，對狹義的數的解釋，即對數的解釋就不是多餘的；因為歐幾里得為了定義兩個長度關係的相等，需要使用等倍這個概念；而等倍又回到數的相等。但是可能有這種情況：可以獨立於數概念來定義長度關係的相等。然而在這種情況下，人們依然不清楚以這種幾何學方式定義的數與日常生活中的數會是什麼關係。後者與科學是完全脫離的。然而也許人們能夠要求算術必須為數的每次應用提供出發點，即使這種應用本身不是算術的事情。甚至在日常計算中也一定會發現算術方法的科學根據。而且，如果人們考慮一個方程式的根這個數、素數和比素數更小的數以及類似情況，那麼就會產生一個問題：算術本身以一個幾何學的數概念夠不夠用。而對「多少」這個問題作出回答的數也能夠確定一個長度包含多少單位。帶有負數、分數、無理數的計算也能化歸為帶有自然數的計算。但是在數被定義為量的關係時，牛頓也許願意把量不僅理解為幾何學的量，而且理解為集合。然而在這種情況下，這種解釋對於我們的目的是不適用的，因為在「藉以確定一個集合的數」和「一個集合和集合單位的關係」這兩個表達中，後一個並沒有提供比前一個更多的信息。 §20.因此，第一個問題將是：數是否可以定義。漢克爾[2]持反對意見，他說：「把一個實物考慮或放置1次、2次、3次……是什麼意思，這是不能定義的，因為放置這一概念原則上很簡單。」然而這裡重要的是1次、2次、3次，而放置則不太重要。如果這可以定義，放置的不可定義性就不會令我們擔心。萊布尼茲傾向於把數至少接近於看作是適當的理念，即看作是這樣一個理念；它十分清晰，因而其中出現的所有東西也是清晰的。 如果總的來說人們更傾向於認為數是不可定義的，那麼原因與其說在於從事物的存在本身得出相反的理由，不如說在於定義嘗試的失敗。 [1]鮑曼：《論時間、空間和數學》，第1卷，第475頁。 《複數系統理論》（Theorie der complexen Zahlensysteme）。 數是外在事物的性質嗎？ §21.讓我們嘗試至少在我們的概念中為數指定一個位置!在語言中，數一般總以與硬的、重的、紅的這些指外在事物性質的詞相似的形容詞形式或在相似的定語聯繫中出現。人們自然會問，是不是對個別的數也必須這樣理解，是不是因此也能夠把數這個概念與譬如顏色這個概念排列在一起。 這似乎是康托爾（M. Cantor）的看法 [1] ，他稱數學是一門經驗科學，因為數學最初是考慮外在世界的事物。只是通過從對象的抽象，才形成了數。 施羅德認為，由於可以通過一來摹寫單位，因此就可以按照現實構造數，從現實得出數。他把這稱為數的抽象。在這種摹寫過程中，描述單位只著眼於其頻繁性，而不考慮對事物所有其他性質的規定，譬如顏色、形狀。這裡頻繁性只是數的另一個表達。因此施羅德把頻繁性或數與顏色和形狀並列起來，把它看作事物的一種性質。 §22.鮑曼 [2] 拒絕數是從外在事物得出的概念這種思想，「這是因為外在事物不向我們表現出任何嚴格的單位；它們向我們表現出一些分離的群或可感覺的點，但是我們可以任意把這些群或點本身又看作許多東西。」實際上，雖然我以純粹的理解方式不能絲毫改變一事物的顏色或硬度，我卻能夠把伊利亞特理解為一首詩，理解為24章或理解為許多行詩。談論一棵樹有1000片葉子與談論一棵樹有綠葉子難道含義不是完全不同的嗎？我們賦予每片葉子綠色，而不是賦予每片葉子1000這個數。我們可以把這棵樹的所有葉子都概括到它的樹葉的名下。即使這樹葉是綠的，1000也不是綠的。那麼1000這種性質究竟屬於誰呢？看上去，這幾乎既不屬於個別的葉子，也不屬於葉子整體；也許它實際上根本就不屬於外界事物？如果我給某個人一塊石頭並說：確定它的重量，那麼我以此就把他要研究的全部對象給予他了。但是如果我把一疊牌放到他手裡並說：確定它們的數，那麼他就不知道，我想知道的是這些牌的張數，還是一副完整的牌的數，還是譬如玩斯卡特的牌點數。我把這疊牌放到他手裡，以此還沒有把他研究的對象全給他；我必須補充一個詞：張、副或牌點。人們也不能說，這裡不同的數就像不同的顏色一樣並列存在。我可以指著一個個別的有顏色的平面而不說一句話，卻不能這樣指著個別的數。如果我能夠有同樣的理由稱一個對象為綠的和紅的，這就標誌著，這個對象不是綠色的真正的承載者。只有在純綠色的平面上，我才有這個對象。因此，一個我能夠有同樣理由賦予不同數的對象也不是數的真正的承載者。 因此，顏色和數之間的一種本質區別在於，一個平面上的藍顏色不依賴於我們的任意理解。它是一種反射某種光線，或多或少吸收其他一些光線的能力，我們的理解絲毫無法改變它。相反，我不能說，1或100或其他任何一個數本身屬於這疊牌，至多只能說，它們根據我們任意的理解方式屬於這疊牌；這樣我也就不能說，我們可以簡單地將數作為謂詞賦予它。我們要稱為完整一副牌的，顯然是一種任意的規定，這疊牌與此無關。但是當我們由此出發考察這疊牌時，我們也許發現，我們可以稱它為兩副完整的牌。誰若是不知道什麼叫作一副完整的牌，誰大概就會從這疊牌發現任何一個別的數，卻恰恰不是二。 §23.對於數作為性質屬於誰這個問題，密爾是這樣回答的 [3] ： 「一個數的名字表示一種性質，這種性質屬於我們用這個名字稱謂的事物的聚集；而且這種性質是這種能夠形成聚集或分解為部分的獨特方式。」 在這段話中，首先「這種……獨特方式」（die charakteristische Weise）這個表達式中的定冠詞是錯誤的；因為分解一種聚集可以有極其不同的方式，人們不能說僅一種方式就會是獨特的。例如，一捆稻草可以這樣分解——把每一根稻草切斷，或這樣分解——分成一根根稻草，或這樣分解——分成兩捆稻草。那麼一堆一百粒的沙子是像一捆100根的稻草那樣構成的嗎？然而人們這裡仍然有相同的數。在「一捆稻草」這個表達中，數詞「一」確實沒有表達出稻草是如何由細胞或由分子構成的。0這個數還要造成更大的困難。難道必須由一根根稻草形成一捆之後才能夠數一數嗎？難道必須使全德國的盲人聚集在一起「德國盲人數」這個表達才有意義嗎？一千顆麥粒在播種下之後就不再是一千顆麥粒了嗎？確實有定理的證明的聚集或事件的聚集嗎？然而這些也是可以數的。在這裡，這些事件是同時發生的還是相隔了一千年，都是無關緊要的。 §24.這樣我們就達到另一種不把數與顏色和強度並列在一起的理由：數適用於更大的範圍。 密爾 [4] 認為，由部分構成的東西，是由這些部分的部分構成的，這個真命題對所有自然現象都是有效的，因為所有自然現象都是可數的。但是難道不能有更多可數的嗎？洛克 [5] 說：「數適用於人、天使、行為、思想——一切確實存在或能夠被想像的東西。」萊布尼茲 [6] 拒斥了經院哲學家關於數不適用於非物質東西的看法，稱數在一定程度上是一種非物質形象，這種形象是由任何一些種類東西統一形成的，這些東西總共為四，如上帝、天使、人、運動。因此他認為，數是十分普遍的東西並且屬於形上學。在另一處 [7] 他說：「沒有力量和能力的，不會得到重視；沒有部分的，也就沒有質量；但是沒有任何不容納數的東西。因此數仿佛是一種形上學形象。」 如果一種從外在的東西抽象出來的性質能夠轉變為事件、表象、概念，而不發生意義變化，這實際上是不可思議的，就好像人們想談論一個可融解的事件，一種藍色表象，一個咸概念，一個堅韌的判斷一樣。 在沒有感覺的東西身上出現按其本性是有感覺的東西，這是荒唐的事情。當我們看到一塊藍色平面時，我們有一種相應於「藍色的」這個詞的獨特印象；而當另一塊藍色平面映入我們眼帘時，我們重新認出這種印象。如果我們要假定，在看到一個三角形時，某種有感覺的東西會以同樣的方式相應於「三」這個詞，那麼我們必然會在三個概念上也重新發現這種情況；在某種沒有感覺的東西身上就會有某種有感覺的東西。也許可以承認，相應於「三角形的」這個詞有一種可感覺的印象，但是這裡必須把這個詞看作一個整體。其中的三，我們不是直接看到的；相反，我們看到某種能夠與精神活動聯繫在一起的東西，這種精神活動導致一個其中出現了這個數的判斷。那麼我們憑什麼感覺譬如亞里士多德建立的三段論的格的數呢？譬如以眼睛嗎？我們至多看到表達這些三段論的格的符號，而沒看到這些三段論的格本身。如果它們本身依然是無法看到的，那麼我們如何能夠看到它們的數呢？但是也許人們認為看到符號就足夠了；符號的數與三段論的格的數是相等的。那麼這是從哪裡知道的呢？為此人們必須已經以其他方式真正確定了三段論的格的數。或者，「三段論的格的數是四」這個句子僅僅是「三段論的格的符號數是四」的另一種表達嗎？不！假如符號的性質沒有同樣表現出符號表達之物的性質，就不會表達出任何有關符號的東西，誰也就別想知道有關符號的任何東西。由於相同的東西可以沒有邏輯錯誤地以不同的符號表示，因此符號的數與符號表達之物的數甚至不必吻合。 §25.對密爾而言，數是某種物理的東西，而對洛克和萊布尼茲來說，數卻只存在於觀念之中。實際上，正像密爾 [8] 所說，兩個蘋果與三個蘋果是物理上不同的，兩匹馬與一匹馬是物理上不同的，它們是可看見的和可觸摸的不同的現象。 [9] 但是由此能夠推論出二性、三性是物理的東西嗎？一雙靴子可以是與兩隻靴子相同的可看見和可觸摸的現象。這裡我們有一種數的區別，沒有物理的區別與它相對應；因為兩隻和一雙絕不是相同的東西，正像密爾似乎有些古怪地相信的那樣。那麼最終如何能夠對兩個概念與三個概念作出物理上的區別呢？ 貝克萊是這樣說的 [10] ：「應該看到，數絕不是在事物本身實際存在的固定和確定的東西。當心靈考慮一個觀念本身或一些觀念的組合，而心靈想要為之命名，從而使之適合一個單位時，數完全是心靈的創造。隨著心靈以不同方式組合其觀念，單位發生變化。而且正像單位發生變化一樣，僅僅是單位聚合的數也發生變化。一個窗戶=1；一間有許多窗戶的房屋=1；許多房屋構成一個城市。」 * * * [1] 康托爾：《基礎算術的基本特徵》（Grundzüge einer Elementararithmetik,S.2,§4.）。利普希茲也有類似看法，參見《數學分析教程》（Lehrbuch der Analysis,Bonn 1877.S.1）。 [2] 《算術和代數課本》（Lehrbuch der Arithmetik und Algebra,Leipz.1873,S.b,10u.11.）。 [3] 《演繹和歸納邏輯系統》，第3卷，第24章，§5。 [4] 《演繹和歸納邏輯系統》，第3卷，第24章，§5。 [5] 鮑曼：《論時間、空間和數學》，第1卷，第409頁。 [6] 艾本達，第2卷，第2頁。 [7] 同上書，第56頁。 [8] 《演繹和歸納邏輯系統》，第3卷，第24章，§5。 [9] 更嚴格地說，還必須作如下補充：只要它們確實是一種現象。但是如果某人在德國有一匹馬，在美國有一匹馬（在其他地方沒有馬），那麼他就有兩匹馬。然而這不構成現象，只有各匹馬本身才能被稱為現象。 [10] 鮑曼：《論時間、空間和數學》，第2卷，第428頁。 數是主觀的東西嗎？ §26.在這種思維過程中，人們最終很容易把數看作某種主觀的東西。數在我們心中形成的方式似乎能夠說明數的本質。因此在這樣的情況下，進行心理學研究是重要的。利普希茲 [11] 也許是在這種意義上說： 「誰想獲得對某些事物的概觀，誰就要從一個特定的事物開始，並且總是在前面的事物上添加一個新事物。」這似乎更適合於說明我們如何得到譬如對一個星座的直覺，卻不太適合說明數的構造。企望獲得概觀，不是至關重要的；因為人們幾乎不能說，如果人們得知一個畜群是由多少頭牲畜組成的，這個畜群就更為明了清楚。 對作出一個關於數的判斷之前發生的內在過程進行這樣一種描述，即使再合適，也絕不能代替對概念的真正規定。這種描述絕不能被用來證明算術句子；我們從它無法了解數的任何性質。因為正像數譬如說不是北海一樣，數也同樣不是心理學對象或心理過程的結果。我們想從地球上總水面中劃分出哪一部分並命名為「北海」，依賴於我們的任意抉擇，並不妨礙北海的客觀性。這絕不是要以心理學的方式研究這片海域的理由。同樣，數也是某種客觀的東西。如果人們說「北海有10000平方里大」，那麼用「北海」和「10000」都不是意謂自己內心的一種狀況或過程，而是斷定某種與我們的表象之類的東西無關的完全客觀的東西。如果我們譬如以後想對北海的水域作出某種不同的劃分或把「10000」理解為某種不同的東西，那麼前一次正確的那個內容也不會變成錯誤的；而是這樣的情況：一個假內容也許悄悄取代了一個真內容，但是由此卻絕不會消除真內容的真。 植物學家在說出一朵花的花瓣的數時，就像在說出它們的顏色時一樣，都要說出一些事實。二者同樣不依賴於我們的任意性。因此數和顏色之間有某種相似性；但是這種相似性並不在於可以通過感官在外界事物上感覺到它們，而在於二者都是客觀的。 我把客觀的東西與可觸摸的東西、空間的東西或現實的東西區別開。地軸、太陽系的質心是客觀的，但是我不想把它們像地球本身那樣稱為現實的。人們常常把赤道叫作一條想到的線，但是若把它叫作一條臆想的線就會是錯誤的；它不是通過思維而形成，即不是一種心靈過程的結果，而僅僅是通過思維被認識到，被把握的。如果被認識的過程是一種形成過程，那麼關於赤道，我們在這種所謂的形成過程之前的任何時候都不會說出任何確切的東西。 根據康德的觀點，空間屬於現象。有可能，空間在其他理性動物面前表現得與在我們面前完全不同。確實，我們甚至不能知道，空間在此人面前與在彼人面前表現得是否一樣；因為我們不能把此人的空間直覺與彼人的空間直覺擺放在一起加以比較。但是這裡仍然含有某種客觀的東西；所有人都承認相同的幾何公理，儘管只有自己去做，而且若想認識世界，就必須自己去做。這裡，客觀的東西是合乎規律的東西，概念的東西，可判斷的東西，能夠用詞語表達的東西。純直覺的東西不是可傳達的。為了說明這一點，讓我們假定兩個理性動物，對於他們，只有投射的性質和關係是可直觀感受的：一條直線上有三個點，一個平面上有四個點，等等；可能對一方表現為平面的東西，另一方卻直觀感受為點，並且反之亦然。在一方看來是由幾個點連成的線的東西，可能對另一方是幾個平面相交的邊，如此等等，而且總是這樣雙重對應的。在這種情況下，大概他們能很好地相互理解，卻絕不會發現他們直觀感受上的差異，因為在射影幾何學中，每個定理都有另一個雙重對立的定理；因為在審美鑑賞方面的分歧不會成為可靠的證據。關於所有幾何學定理，他們也許會完全一致；只是他們將根據自己的直覺對這些詞作出不同的翻譯。譬如一方把這種直覺與「點」這個詞聯繫起來，另一方把那種直覺與「點」這個詞聯繫起來。因此人們總還能夠說，這個詞對於他們意謂某種客觀的東西；只是不能把這種意謂理解為他們直覺的特殊的東西。而且在這種意義上地軸也是客觀的。 在「白的」這個詞，人們一般想到某種感覺，這當然是完全主觀的；但是我覺得，日常的語言用法經常表現出一種客觀的意義。當人們稱雪為白的時，人們是要表達出一種客觀性質，這種性質是人們在一般的日光下藉助某種感覺認識到的。如果雪在有顏色的照明下，那麼在判斷時就要把這種情況考慮在內。人們也許會說：「現在它看上去是紅的，但它是白的。」甚至色盲也可以談論紅的和綠的，儘管他在感覺上區別不出這些顏色。他認識到這種區別是因為別人作出這種區別，或者也許是通過一種物理實驗。因此顏色詞常常不表示我們的主觀感覺，我們無法知道這種感覺與另一個人的感覺是一致的（因為很顯然，相同的命名根本保證不了這種一致），相反，顏色詞表示一種客觀性質。因此我把客觀性理解為一種不依賴於我們的感覺、直覺和表象，不依賴於從對先前感覺的記憶勾畫內心圖像的性質，而不是理解為一種不依賴於理性的性質。因為回答不依賴於理性的東西是什麼這個問題，等於是不經判斷而下判斷，不弄濕皮大衣而洗皮大衣。 §27.因此我也不能同意施羅埃密爾西（Schloemilch）的觀點 [12] ，他把數稱為一個對象在一個系列中的位置的表象。 [13] 如果數是一種表象，算術就會是心理學。但是正像譬如天文學不是心理學一樣，算術也不是心理學。正像天文學不研究行星的表象，而研究行星本身一樣，算術的對象也不是表象。如果二是一個表象，那麼它首先只會是我的表象。另一個人的二的表象已經是另一個不同的表象了。這樣我們也許會有幾百萬個二。人們必須說：我的二，你的二，一個二，所有二。如果人們接受潛在的或無意識的表象，那麼人們也會有無意識的二，而這些二以後又會變成有意識的。隨著新人的成長，總會形成新的二，誰知道它們會不會用不了一千年就會發生變化，以致2×2=5呢？儘管如此，是否像人們通常認為的那樣會有無窮多數，仍是令人懷疑的。也許1010隻是一個空符號，在任何生物中根本就不會有可以這樣命名的表象。 我們看到，進一步發揮數是表象這樣一種想法會導致什麼奇異的後果。而且我們達到以下結論：數既不像密爾的小石子堆和薑汁糕點那樣是空間的和物理的，也不像表象那樣是主觀的，而是不可感覺的和客觀的。客觀性的基礎絕不在作為我們心靈作用的完全主觀的感覺印象之中。在我看來，客觀性的基礎只能在理性之中。 如果最嚴格的科學竟應該依據無把握的、尚在摸索中的心理學，這將是令人奇怪的。 * * * [1] 《數學分析教程》（Lehrbuch der Analysis,S.1）。我認為，利普希茲是指一種內在過程。 [2] 施羅埃密爾西：《代數分析手冊》（Handbuch der algebraischen Analysis,S.1）。 [3] 人們也可提出反對意見說，如果這樣，那麼在出現同一個數時，必然總會表現出一個位置的同一個表象，這顯然是錯誤的。如果他要把表象理解為一個客觀觀念，那麼以下論述就會是不相關的；但是如果這樣，位置表象和位置本身之間會有什麼區別呢？ 主觀意義的表象是心理學聯想規律與之有關的東西；它具有可感覺的、形象的性質。客觀意義的表象屬於邏輯，而且本質上是不可感覺的，儘管這個意謂一種客觀表象的詞也常常帶有一種不是其意謂的主觀表象。主觀表象在不同的人常常可以得到不同的證明，而客觀表象對所有人都是相同的。人們可以把客觀表象分為對象和概念。為了避免混淆，我將只在主觀意義上使用「表象」一詞。由於康德把這兩種意義與這個詞結合在一起，他賦予他的學說一層非常主觀的、唯心主義的色彩，使人們很難認識他的真正觀點。這裡作出的區別與心理學和邏輯之間的區別是同樣有理由的。如果人們總是能夠極其嚴格地把握它們之間的相互區別就好了！ 作為集合的數 §28.一些著作家把數解釋為集合，多或眾多。這種解釋方式的一種弊病在於從這個概念中排除了0和1這兩個數。上述表達是很不確定的：有時它們更接近「堆」、「群」、「聚集」的意謂（這些詞使人想到的是一種空間聚合），有時它們的用法幾乎與「數」有相同的意謂，只是更不確定。因此在這樣一種解釋中無法得到對數這個概念的分析。為了構造數，托邁（Thomae） [14] 要求對不同的實物集合給予不同的命名。這顯然意味著要更嚴格地規定那些其命名僅僅是外在符號的實物集合。現在的問題是，這種規定屬於哪一類？如果人們想引入一些無法辨認其共同成分的名字來替代「3顆星」、「3根手指」、「7顆星」，那麼顯然不會形成數這個觀念。重要的不在於終究給以命名，而在於自身表明數是什麼。為此就必須根據數的獨特性認識到數。 還應該注意下面的差異。一些人稱數為事物或對象的集合；另一些人像歐幾里得 [15] 那樣，把數解釋為一種單位集合。這種表達需要專門討論。 * * * [1] 托邁：《分析函數基礎理論》（Elementare Theorie der analytischen Funktionen,S.1）。 [2] 《幾何基礎》開篇：〔單位是這樣的東西，藉助它，各個存在的事物被稱為一。數是由一些單位構成的多。〕