算術基礎 · I.一些著作家關於算術句子的性質的意見

數公式是可證明的嗎？ §5.必須把像2+3=5這樣的涉及確定的數的數公式與對所有整數都有效的普遍定律區別開來。 這樣的數公式被一些哲學家 [1] 看作像公理一樣是不可證明的和直接顯然的。康德 [2] 宣布它們是不可證明的和綜合的，但是對把它們叫作公理則有所顧忌，因為它們不是普遍的，還因為它們的數是無窮的。漢克爾 [3] 把這種有關無窮多不可證明的原初真命題的看法稱為不合適的和怪謬的，這是有道理的。實際上，這種看法與理性對於第一根據要一目了然的要求是矛盾的。那麼， 135664+37863=173527 是直接明了的嗎？不是！而且康德正是用這一點來說這些句子的綜合性質的。但是實際上這對於其不可證明性卻是不利的；因為，由於它們不是直接明了的，若是不通過證明，怎麼才能理解它們呢？康德想藉助手指或點的直覺，這樣他就陷入一種危險：使這些句子與他的觀點相反，表現為經驗的；因為37863根手指的直覺無論如何絕不是純粹的。「直覺」這個表達似乎也是不太合適的，因為10根手指通過其相互排列就已經能夠喚起不同的直覺。那麼我們真有135664根手指或點的直覺嗎？如果我們有這樣的直覺，如果我們有37863根手指的直覺和173527根手指的直覺，那麼我們就一定立即明白這個等式的正確性，即使它是不可證明的，至少也適合於手指；但是情況並非如此。 康德顯然只考慮了比較小的數。於是，對於比較小的數通過直覺是直接明了的公式，對於大數就會是可證明的。然而難辦的是，要對較小的數和大數作出根本的區別，尤其是在不可能劃出明確界線的地方。如果譬如從10起，數公式是可證明的，那麼人們就有理由問：為什麼不是從5起，從2起，從1起呢？ §6.另一些哲學家和數學家也斷言了數公式的可證性。萊布尼茲 [4] 說： 「2加2等於4，這不是直接的真；假定4表示3加1。人們可以如下證明這一點： 定義： 1） 2是1加1 2） 3是2加1 3） 4是3加1 公理： 如果代入相等的數，等式依然保持不變。 證明：2+2=2+1+1=3+1=4 定義1. 定義2. 定義3. 所以；根據公理：2+2＝4」 這個證明似乎首先完全是由定義和引入的這條公理建立起來的。甚至這條公理也可以變為一個定義，正像萊布尼茲本人在另一個地方所做的那樣 [5] 。看上去，除了定義中包含的1、2、3、4以外，不必再知道任何東西。然而更仔細地考慮一下，人們就會發現一個缺陷，這個缺陷由於省略了括號而被掩蓋起來。就是說，應該更精確地書寫為： 2+2=2+（1+1） （2+1）+1＝3+1=4 這裡缺少 2+（1+1）＝（2+1）+1 這個句子，它是 a+（b+c）=（a+b）+c 的一種特殊情況。如果以這條定律為前提，就很容易看出，加法的每個公式都能以這種方式被證明。這樣每個數就能夠由前面的數被定義。實際上我看不出，人們如何能夠以比萊布尼茲更合適的方式把譬如437986這個數給予我們。我們甚至沒有關於這個數的表象，可確實就這樣把它據為己有。通過這樣的定義，數的無窮集合化歸為一和加一，而且無窮多的數公式均能夠由幾個普遍的句子證明。 這也是H.格拉斯曼和H.漢克爾的觀點。格拉斯曼要通過一條定義得到 a+（b+1）＝（a+b）+1 這條定律，他說 [6] ： 「如果a和b是基本序列的任意項，人們就把a+b之和理解為基本序列的一個項，對這個項來說， a+（b+e）=a+b+e 這個公式是有效的。」 這裡，e應該意謂正單位。對這種解釋可以有兩種反對意見。首先，和是通過自身被解釋的。如果人們還不知道a+b應該意謂什麼，人們也就不理解a+（b+e）這個表達式。但是，如果人們與本文相悖地說，應該解釋的不是和，而是加法，以此也許可以排除這種反對意見。而在這種情況下，依然能夠反對說，如果沒有基本序列的項或所要求的那些項，a+b就會是一個空符號。格拉斯曼只是假設不發生這種情況，而沒有予以證明，因此嚴格性只是表面的。 §7.人們可能會認為，數公式根據其證明所依據的普遍定律，或者是分析的或綜合的，或者是先驗的或後驗的。然而J. S.密爾的觀點與此相反。儘管乍看上去他像萊布尼茲一樣，想把科學建立在定義的基礎上 [7] ，因為他像萊布尼茲那樣解釋個別的數；但是，他所持的偏見，即一切知識都是經驗的，立刻又毀滅了這種正確的思想。他告訴我們說 [8] ，那些定義不是邏輯意義上的，它們不僅確定了一個表達式的意謂，而且因此也斷定了一個觀察到的事實。這個觀察到的事實，或者像密爾用另一種方式所說的，在777864這個數的定義中所斷言的物理事實，究竟會是什麼呢？對於我們面前展現出來的極其豐富的物理事實，密爾只向我們提及唯一的一個據說是在3這個數的定義中被斷言的事實。根據密爾的說法，這個事實在於：存在著一些對象的聚合，這些對象一方面在感官上造成 這種印象，另一方面又可以分為兩部分，譬如 ，然而，幸虧並非世界上所有東西都是固定的；否則，我們就不能進行這種區分，而且2+1也就不會是3!遺憾的是，密爾也沒有描述出作為0和1這兩個數的基礎的物理事實！ 密爾繼續說：「在承認這個句子之後，我們稱所有這樣的部分為3。」由此可見，當時鐘敲打三下的時候，談論三次敲打，或稱謂甜、酸、苦三種味覺，實際上都是不正確的；贊同「一個方程式的三種解法」這個表達式同樣是不正確的；因為人們由此從來也沒有得到像從 得到的感覺印象。 這時密爾說：「計算不是從定義本身，而是從觀察的事實得出來的。」但是在上述對2+2=4這個句子的證明中，萊布尼茲應該在什麼地方訴諸提到的事實呢？密爾沒有指出這一缺陷，儘管他對5+2=7這個句子給出一個與萊布尼茲完全相符的證明。 [9] 他和萊布尼茲一樣，忽略了這個由於省略了括號而確實存在的缺陷。 如果每個個別的數的定義確實斷定了一個特殊的物理事實，那麼對一個以表示九的數進行計算的人，人們就會因為他的物理知識而佩服得五體投地。這裡，密爾的觀點也許並不在於堅持必須逐個觀察所有這些事實，而是認為通過歸納法得出一條把它們全包括在內的普遍規律就夠了。但是人們試圖把這條規律說出來，而且人們將發現，這是不可能的。存在著可被分解的事物的大聚集，這樣說是不夠的；因為以此並沒有說明存在著譬如定義1000000這個數所需要的這樣大的和這一類的聚集，而且也沒有更確切地說明劃分的方式。密爾的觀點必然導致以下要求：對於每個數，要特別觀察一個事實，因為在一條普遍規律中恰好會失去1000000這個數獨特的、必然屬於它的定義的東西。根據密爾，人們實際上不能確定1000000 = 999999+1，除非人們恰恰看到了事物聚集的這種獨特的、與專屬於其他任何數的方式不同的分解方式。 §8.密爾似乎認為，在沒有觀察到他提及的那些事實之前，不允許做出2=1+1，3=2+1，4=3+1等等這些定義。實際上，如果人們不把任何意義與（2+1）聯繫起來，就不能把3定義為（2+1）。但是問題在於，因此是不是必須觀察事物的聚集和分離。在這種條件下，0這個數就會令人困惑不解；因為至今大概還沒有人看到或摸到0個小石子。密爾肯定會把0解釋為無意義的東西，解釋為一種純粹的談論方式；以0進行計算就會純粹是以空符號進行的遊戲，不過令人不可思議的是，這裡怎麼會產生某種理性的東西。但是如果這些計算當真有一個意謂，那麼0這個符號本身也不能是完全沒有意義的。而且這裡表明這樣一種可能性：即使沒有觀察到密爾提到的事實，2+1仍然可以和0類似地有一種意義。實際上誰願意斷定曾經觀察到在密爾對表示18的這個數的定義中包含的事實呢？誰又願意否認儘管如此這樣一個數字依然有一種意義呢？ 人們也許會認為，物理事實只用於譬如10以內較小的數，而其他數可以由這些數構造起來。但是如果不用看到相應的聚集，僅通過定義就能由10加1構成11，那麼就沒有理由說明為什麼人們不能也這樣由1加1構造2。如果以11這個數進行的計算不是從一個表示這個數的事實得出，為什麼以2進行的計算就必須依據對一定聚集及其獨特分離的觀察呢？ 人們也許會問，如果我們通過意義根本不能區別任何東西，或者只能區別三種東西，那麼算術如何能夠存在呢？對於我們關於算術句子及其應用的知識來說，這樣一種狀況當然有些令人尷尬，但是對於算術句子的真也是如此嗎？即使人們稱一個句子為經驗的（因為我們必須進行觀察，以便認識它的內容），人們也並不是在與「先驗的」對立的意義上使用「經驗的」這個詞。這時人們表述了一個只與句子內容有關的心理方面的斷定；這個句子是不是真的，這裡則沒有考慮。在這種意義上，所有荒誕故事也都是經驗的；因為人們必須觀察到各種各樣的東西，才能編造出這些故事來。 * * * [1] 霍布斯、洛克、牛頓。參見鮑曼：《論時間、空間和數學》（Baumann,Die Lehren von Zeit,Raum und Mathematik,[Band I]S.241u.242,S.366ff.,S.475）。 [2] 《純粹理性批判》（Kritik der reien Vernunft，Hartenstein.III.S.57）。 [3] 《複數及其函數講義》（Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen,S.53）。 [4] 《新論》（Nouveaux Essais,[Liv.]IV.[Ch.VII.],§10.Erdm,S.363）。 [5] 抽象證明的優雅範例（Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis）（Erdm.S.94）。 [6] 《中學數學課本》第一部分：算術（Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten,I.Theil:Arithmetik,Stettin 1860,S.4.）。 [7] 《演繹和歸納邏輯系統》（System der deductiven und indudiven Logik,J.Schiel譯.III.Buch，XXIV.Cap. ，§5）。 [8] 同上書，第2卷，第6章；§2。 [9] 《演繹和歸納邏輯系統》，第3卷，第24章§5。 算術規律是歸納的真命題嗎？ §9.根據到目前為止的這些考慮，很可能藉助幾條普遍規律，僅從個別數的定義就可以得出數公式，很可能這些定義既不斷定觀察到的事實，也不假設它們的合法性。因此重要的是認識那些規律的實質。 密爾 [10] 想把「由部分構成的東西，是由這些部分的部分構成的」這個定理用到前面提到的他對5+2=7這個公式的證明。他把這看作是通常以「算數之和相等」這種形式聞名的定理的一種更有特色的表達。他稱這個定理為歸納的真命題和最高等級的自然律。他的描述有不精確的地方，特別是在根據他的觀點證明是必不可少的地方，他根本沒有使用這個定理；然而他的歸納的真命題似乎確實可以代替萊布尼茲的公理：「如果代入相等的數，等式保持不變。」但是，為了能夠把算術的真命題稱為自然律，密爾加入了一種它們沒有的意義。例如，他認為 [11] 1=1這個等式可以是假的，因為一磅東西與另一磅東西的重量並非總是完全相等。但是1=1這個句子也根本不是要陳述這一事實。 密爾是這樣理解+這個符號的：通過它，表達了一個物理物體諸部分與其整體的關係，或一堆東西諸部分與其整體的關係；但這不是這個符號的意義。5+2=7並不意謂，當人們把2個單位容量的液體注入到5個單位容量的液體中，就得到7個單位容量的液體，相反這是那個句子的一種應用，只有在不是由於譬如化學作用而發生容積變化時，這種應用才是允許的。密爾總是把能夠對算術句子所做的常常是物理的並且是以觀察的事實為前提的應用與純數學句子本身混淆起來。儘管加號在許多應用中似乎相當於形成一堆東西；但這不是它的意謂；因為在其他一些應用中，不會有堆積、聚合、物理物體與其諸部分的關係的問題，例如當人們計算一些大事件時。儘管這裡也可以談論部分；但是這時就不是在物理學或幾何學的意義上，而是在邏輯的意義上使用這個詞，正如當人們稱謀殺國家元首畢竟也是謀殺的一部分時那樣。這裡有邏輯的下屬關係。因此加法一般也不相應於任何物理關係。由此可見，一般的加法規律也不能是自然律。 §10.但是它們也許可能依然是歸納的真命題。這如何料想得到呢？應該從哪些事實出發，以便提高到普遍性呢？大概只能從數公式出發。當然這樣我們又失去了我們通過對個別數的定義而得到的那種優點，在這種情況下，我們就不得不尋找另一種建立數公式的方式。即使我們現在不考慮這種並非完全無足輕重的疑慮，我們依然會發現這個基礎對歸納是不利的；因為這裡缺少那種在其他場合能夠給予歸納方法極大的可靠性的相似性。對於菲拉雷特的論斷： 「數的不同模式只能有或多或少的差異；因此它們是簡單的模式，就像空間模式一樣」， 萊布尼茲 [12] 就已經作出回答： 「可以這樣談論時間和直線，但是絕不能這樣談論圖形，更不能這樣談論數，因為數不僅在量的方面不同，而且也不相像。一個偶數可以分為兩個相等的部分，而一個奇數就不能這樣分；3和6是三角形數，4和9是平方數，8是一個立方數，等等；而且這在數中比在圖形中出現得還多；因為兩個不相等的圖形可以是彼此完全相似的，但是兩個數絕不會這樣。」 儘管我們已經習慣於在許多方面把數看作是同類的；但這僅僅是因為我們知道一系列對所有數都有效的普遍句子。然而現在在這裡我們必須基於這樣的立場，即還不知道任何這樣的句子。實際上可能很難找到一個與我們這種情況相應的歸納推理的例子。一般來說，我們常常利用下面這個句子：空間中的每一點和時間中的每一刻本身和其他每一點和每一刻一樣完好。只要條件相同，一個結果在另一點和另一刻就必然同樣完好地出現。然而這裡卻行不通，因為數是非時空性的。數序列中的位置與空間的點不是等價的。 數之間的關係也完全不同於個體東西，譬如一類動物之間的關係，因為數有一種由其本性決定的排列次序，因為每個數都以自己的方式建立起來並且有自己的性質，這些性質在0、1和2的情況下表現得特別突出。如果人們在其他情況下通過歸納建立一個與屬有關的句子，那麼通常僅通過對屬概念的定義，就已經得到一整系列共同的性質。而在這裡，即使找到一種單一的本身沒有首先被證明的性質也是很難的。 我們這種情況可能最容易與下面的情況進行比較。在一個鑽孔中人們注意到，氣溫隨著深度有規律地增長；至此人們遇到了極不相同的岩層。在這種條件下，僅從在這個鑽孔中所作的觀察，顯然推論不出任何與更深岩層的性質有關的東西，而且氣溫是不是依然會繼續這樣有規律地延伸分布，也一定無法確定。儘管至此觀察到的東西以及處於更深層的東西下屬於「繼續打鑽將遇到的東西」這個概念；但是在這裡它們不會有什麼用處。在數的情況，數全部處於「通過繼續加一而得到的東西」這個概念之下，這對我們同樣不會有什麼用處。在這兩種情況中可以發現一種差異，即岩層只能被人們遇到，而數卻恰恰是通過繼續加一被創造出來，並且根據其全部本性得到確定。這只能說明，人們以通過加1而形成一個數，比如8這個數的方式，可以推出數的所有性質。這樣就基本承認了從數的定義得出數的性質而且還顯示出這樣一種可能性：可以從所有數共同的形成方式證明數的普遍規律，而從特殊的方式可以得出個別數的特殊性質，正像通過繼續加一而建立這些數一樣。這樣，不必用歸納，人們也可以由此推出那些在地層中僅由遇到地層的深度就已經確定的東西，因而推出地層的狀況關係；但是由此沒有確定的東西，歸納也不能告訴人們。 如果不把歸納方法單純地理解為一種習慣，那麼很可能僅藉助算術的普遍句子就能證明它本身的合理性。因為習慣完全沒有確保真的能力。科學方法依據客觀的尺度有時僅在一次證明中就建立起很高的機率，有時卻把千百次證明幾乎看作毫無價值，而習慣卻通過印象的次數和深刻程度，通過絕沒有任何理由影響我們判斷的主觀狀態被確定下來。歸納必須依據機率學說，因為它至多可以使一個句子成為機率的。但是如何能夠在不假設算術規律的前提下發展機率學說，卻是無法預料的。 §11.萊布尼茲 [13] 的觀點與此相反，他認為像算術中發現的那樣的必然真的命題必須有一些原則，這些原則的證明不依賴於例子，因而不依賴於感覺證據，雖然沒有感覺誰也別想去考慮這些原則。「整個算術是我們生來就有的，而且是以潛在的方式在我們心中。」他用「生來就有的」這個表達意謂什麼，在另一個地方 [14] 得到說明：「人們習得的所有東西都不是生來就有的，這樣說是不對的；——數的真命題在我們心中，可人們仍然學習它們，無論是當人們以證明的方式學習它們時從其本源得出它們（這恰恰表明，它們是生來就有的），或是……」。 * * * [1] 《演繹和歸納邏輯系統》，第3卷，第24章，§5。 [2] 同上書，第2卷，第6章，§3。 [3] 鮑曼：《論時間、空間和數學》，第2卷，39頁（Erdm.,第243頁）。 [4] 鮑曼：《論時間、空間和數學》，第2卷，13-14頁（Erdm.195、208-209頁）。 [5] 同上書，第2卷，第38頁（Erdm.第212頁）。 算術定律是先驗綜合的還是分析的？ §12.如果人們補充說明分析和綜合的對立，就得到四種組合，然而可以取消其中的一種，即 後驗分析的。 如果人們隨著密爾贊同後驗的，那麼就沒有選擇，因而對我們來說，只還有 先驗綜合的 和 分析的 這兩種可能性需要考慮。康德贊同前者。在這種情況下，大概只能乞求一種純粹的直覺作為最終的認識基礎，儘管這裡很難說這是空間的還是時間的，或者可能還是其他什麼。鮑曼 [15] 同意康德的觀點，儘管理由不同。利普希茲 [16] 也認為，表明數不依賴於計數方法以及加數可以交換也可以結合的那些定律，是從內在直覺產生出來的。漢克爾（Hamkel） [17] 基於三條原理建立了實數理論，他認為這些原理具有notiones communes（普通概念）的特徵：「它們經過解釋成為完全顯然的，根據對量的純粹直覺對一切量的領域都是有效的，並且能夠在不喪失自身特徵的情況下變為定義，這時人們說：量的相加是一種滿足這些原理的運算。」最後這句陳述有一點不清楚的地方。也許人們可以做出這個定義；但是它絕不能替代那些原理。因為在應用定義時總會涉及這樣的問題：數是量嗎？人們通常稱為數的加法的東西是這種定義意義上的加法嗎？而且為了回答這些問題，人們必須已經知道關於數的那些原理。此外，「對量的純粹直覺」這個表達引起反感。如果人們考慮所有被稱為量的東西：數、長度、面積、容積、角度、曲率、質量、速度、力、光強度、電流強度等等，那麼大概可以理解，人們如何能夠把這置於一個量概念之下；但是絕不能承認「對量的直覺」這個表達是合適的，更不能承認「對量的純粹直覺」這個表達是合適的。我甚至不能承認對100000的直覺，更不能承認對普遍的數的直覺或甚至對普遍的量的直覺。但是這時人們不應該完全無視「直覺」這個詞的意義。 康德在《邏輯》這本著作中（Hartenstein編，VIII，S.88）定義如下： 「直覺是一種個別的表象（repraesentatio singularis），概念是一種普遍的表象（repraesentatio per notas communes）或反思的表象（repraesentatio discursiva）。」 這裡根本沒有表達與感性的關係，而在《超驗美學》中卻考慮了這種關係。沒有這種關係，直覺就不能用作先驗綜合判斷的認識原則。他在《純粹理性批判》中（Hartenstein編，III，S.55）寫道： 「因而藉助感性，對象被給予我們，而且只有感性為我們提供直覺。」 由此看來，直覺這個詞的意義在《邏輯》中比在《超驗美學》中更廣。在邏輯的意義上100000也許可以被稱為一種直覺；因為這不是一個普遍概念。但是在這種意義上理解，就不能用直覺作為算術規律的根據。 §13.一般來說，最好不要過高估計與幾何學的親緣關係。針對這一點，我已經引用了萊布尼茲的一段話。僅考察幾何學上的一個點本身，根本不能把它與其他任何一個點相區別；對於直線和平面也是如此。只有在直覺中同時把握了許多點、直線和平面時，人們才能區別它們。如果在幾何學中從直覺獲得普遍的句子，那麼由此也就說明，直接看到的點、直線、平面其實根本不是特殊的東西，因而可以被看作是它們整個屬的代表。在數的情況中則不同：每個數都有自己的獨特性。人們無法立即說出，一個確定的數在什麼程度上可以代表所有其他的數，數的特殊性在什麼地方起作用。 §14.聯繫由真命題支配的領域來比較真命題，也表明不利於算術定律的經驗的和綜合的性質。 經驗句子對於物理的或心理的現實是有效的。幾何學的真命題支配著空間直觀東西的領域，儘管現在它是想像力的實現或產物。傳說和詩歌中有一些最放縱狂熱的想像，最大膽不羈的創作，它們使動物說話，使日月星辰靜止不動，使石頭變成人，並且使人變成樹，它們還告訴人們，人如何抓住自己的頭髮把自己拽出泥沼。然而只要它們是直觀的，就依然受到幾何學公理的約束。只有概念思維能夠以某種方式擺脫這些公理，譬如在假定一種四維空間或正曲率量的空間的時候。這樣的考慮不是完全無用的；但是它們完全拋棄直覺基礎。如果在這裡也藉助直覺，那麼這依然始終是歐幾里得空間的直覺，即那唯一的、我們有某種關於它的形象的空間的直覺。然而在這種情況下，這種直覺不是被當作像它實際的那樣，而是被當作象徵其他某種東西；例如，人們把直觀上看到的彎曲的東西叫作直的或平的。對於概念思維而言，人們可以總是假定與這條或那條幾何公理相對立的東西，而在根據這些與直覺相悖的假定進行推理時又不陷入自相矛盾。這種可能性表明，幾何公理相互獨立，並且不依賴邏輯的初始規律，因而是綜合的。對於有關數的科學的原理可以這樣說嗎？如果人們要否認這些原理中的一條，一切豈不會亂套了嗎？這樣一來，還能進行思維嗎？算術基礎不是比所有經驗科學的基礎，甚至比幾何學基礎更深嗎？算術的真支配著可計數的領域。這一領域是最廣博的；因為它不僅包括現實的東西，不僅包括直觀的東西，而且還包括一切可被思考的東西。那麼，數的規律與思維規律難道不應該聯繫得最密切嗎？ §15.應該預料到，萊布尼茲的陳述只能表明有利於數規律的分析性質，因為在他看來，先驗的與分析的是重合的。比如他說 [18] ，代數的優點得自一門高級得多的藝術，即真正的邏輯。在另一個地方 [19] ，他把必然真命題和偶然真命題與可公約量和不可公約量進行比較，認為在必然真的情況，證明或化歸為同一是可能的。但是這些說法失去說服力，因為萊布尼茲喜歡把所有真命題都看作是可證明的 [20] ：「每個真命題都有其從術語概念得出的先驗的證明，即使我們並非總能夠達到這種分析」。當然，與可公約性和不可公約性的比較在偶然真命題和必然真命題之間又建立了一種至少對於我們來說是不可逾越的限制。 W. S.傑芬斯 [21] 堅定不移地表明贊同數規律的分析性：「數不過是邏輯的區別，而代數是一種高度發展的邏輯。」 §16.但是這種觀點也有自己的困難。這株高大挺拔、分枝廣遠而且仍然還在增長的數的科學之樹，難道能夠植根於純粹的同一性之中嗎？而且如何能夠最終從邏輯的空洞形式獲得這樣的內容呢？ 密爾 [22] 認為：「通過對語言的熟練駕馭，我們就能夠發現事實，揭示隱蔽的自然過程，這樣一種信條是違反常識的，也許只有在哲學方面取得很大進步才能相信它。」 當然，只有在熟練駕馭語言的過程中什麼也沒有想時才會如此。這裡密爾在反對一種幾乎沒有任何人主張的形式主義。任何使用詞或數學符號的人都要求它們意謂一些東西，誰也不會期待從空洞的符號產生某種有意義的東西。但是一位數學家卻不用把他的符號理解為感官上可感覺的、可直觀感受的東西，就能進行很長的計算。因此，這些符號還不是沒有意義的；人們仍然要把它們的內容和它們本身區別開，儘管也許只有通過符號才可以把握內容。人們認識到，可以規定不同的符號表示相同的東西。只要知道以下兩點就足夠了：應該如何以邏輯方法處理從符號感受到的內容；在打算應用於物理學時，必須如何實現向現象過渡。但是在這樣一種應用中，不應該注意句子的實際意義。在這種應用中總是失去大部分普遍性，並且加入一些特殊的東西，而在其他應用中，這些東西將被其他東西取而代之。 §17.儘管人們非常貶低演繹，但是依然不能否認，由歸納建立的規律是不夠的。從這些規律必然推導出一些新句子，而其中任何一條規律本身卻不包含這些句子。這些句子已經以某種方式隱藏在所有規律的整體之中，但這並沒有免除人們由此揭示它們和確立它們自身性質的工作。這樣就呈現出下面的可能性。人們可以不把一個推理串與一個事實直接聯繫起來，而是對事實不予考慮，把其內容作為條件加以接納。當人們以這種方式把一個思想序列中的所有事實代之以條件時，就得到這樣一種形式的結果：一種結果依賴於一系列條件。這種真就會只通過思維，或者用密爾的話說，通過對語言的熟練駕馭而建立起來。數的規律具有這種性質，這不是不可能的。在這樣的條件下，它們就會是分析判斷，儘管它們不必是僅僅被思維發現的。因為這裡考慮的不是發現的方式，而是論據的種類；或者正像萊布尼茲所說： [23] 「這裡不是探討在不同人那裡表現為不同的我們人類所發現的歷史，而是探討有關永遠相同的真命題的聯繫和自然次序。」觀察最終本應該判定，以這種方式建立的規律所包含的那些條件是不是得到滿足。這樣人們最終恰恰會達到由於把推理串與觀察的事實直接聯繫起來而實際上達到的地方。但是在許多情況下人們都更喜歡這裡提示的這種過程，因為它導致一種普遍的句子，而這句子不必只適用於眼前存在的事實。這樣，算術的真命題與邏輯的真命題的關係就類似於幾何學的定理與公理的關係。它們各自都會有一整系列未來使用的推理串，其用途將在於：人們不必再進行個別的推理，而是能夠立即說出這整個系列的結果。 [24] 由於算術學說的巨大發展及其多方面的應用，廣為流行的對分析判斷的蔑視和關於純邏輯毫無成果的無稽之談將再也沒有立足之地。 這種觀點並不是本文這裡首先提出來的。在我看來，如果人們能夠十分嚴格地、具體地堅持這種觀點，從而不留有絲毫懷疑，那麼結果就不會是完全不重要的。 * * * [1] 鮑曼：《論時間、空間和數學》，第2卷，第669頁。 [2] 《數學分析教程》（Lehrbuvh der Analysis,Bd.I.,S.1）。 [3] 漢克爾：《複數系統理論》（Theorie der complexen Zahlensysteme,S.54u.55）。 [4] 鮑曼：《論時間、空間和數學》，第2卷，第56頁（Erdm.,第424頁）。 [5] 同上書，第2卷，第57頁（Erdm.,第83頁）。 [6] 同上書，第2卷，第107頁（Rertz,II，，第55頁）。 [7] 《科學原理》（The Principles of Science,London 1879 [3.Auflage],S.156）。 [8] 《演繹和歸納邏輯系統》，第2卷，第6章，§2。 [9] 《新論》Nouveau Essais,IV,§9,（Erdm.S.362）。 [10] 引人注意的是，密爾（《演繹和歸納邏輯系統》，第2卷，第6章，§4）似乎也表達了這種觀點。他那清醒的意識正好常常打破他贊同經驗的偏見。但是這種偏見總是又把一切搞亂，因為這使他把算術的物理應用與算術本身混淆起來。他似乎不知道，即使條件不真，一個假言判斷也可以是真的。