算術基礎 · 序

一這個數是什麼，或者，1這個符號意謂什麼，對這個問題，人們通常得到的答案是：一個事物。此外，如果人們注意到， 「一這個數是一個事物」（「die Zahl Eins ist ein Ding」） 這個句子不是定義，因為它一邊是定冠詞，另一邊是不定冠詞，如果人們還注意到，這個句子只是說一這個數屬於事物，而沒有說是哪個事物，那麼也許人們就不得不自己選擇人們願意稱之為一的任何一個事物。但是，如果每個人都可以有權任意理解這個名稱，那麼關於一的同一個句子對於不同的人就會意謂不同的東西；這樣的句子就不會有共同的內容。一些人也許會拒絕回答這個問題，他們暗示說，甚至算術中a這個字母的意謂也是不能說明的；而且，如果人們說a意謂一個數，那麼這裡就可能發現與「一是一個事物」這個定義中相同的錯誤。拒絕回答與a有關的問題是完全有理由的，因為它不是意謂確定的可指明的數，而是用來表示句子的普遍性。如果用任何一個數代入a+a-a=a中的a，並且處處都代入相同的數，那麼總是得到一個正確的等式。a這個字母是在這種意義上使用的。但是關於一的問題，情況就根本不同。在1+1=2這個等式中，我們能用相同的對象，譬如月亮，兩次代入1嗎？與此相反，似乎我們代入第一個1的東西和代入第二個1的東西必須是不同的。在前一種情況會是錯誤的東西，在這裡卻恰好是必然出現的，這是為什麼呢？為了普遍地表達不同的數之間的關係，算術只有a這個字母是不夠的，還必須使用b、c等等其他字母。因此應該想到，如果用1這個符號以類似的方式賦予句子以一種普遍性，它也是不夠的。但是，一這個數難道不是作為具有可說明性質（譬如與自身相乘保持不變）的確定對象而出現的嗎？在這種意義上，人們不能說明a的任何性質；因為a所表達的是數的一種共同性質，而11=1既不表達月亮的任何東西，也不表達太陽的任何東西，也不表達撒哈拉沙漠的任何東西，也不表達特納里費山峰的任何東西；那麼這樣一個表達式的意義能是什麼呢？ 對於這樣的問題，甚至連大多數數學家大概也不會作出令人滿意的回答。然而對於科學最切近的而且看上去是如此簡單的對象竟如此不清楚，難道不令人羞愧嗎？關於數是什麼，人們能夠說出的就更少了。如果為一門重要科學奠定基礎的概念有了困難，那麼更精確地研究這個概念和克服這些困難，確實就是不可推卸的任務。尤其是因為，只要對算術的整個大廈的基礎的認識還有缺陷，也許就很難能夠完全弄清楚負數、分數和複數。 許多人肯定會認為不值得為此花費氣力。正像他們認為的那樣，這個概念甚至在初級讀本中就得到充分的講述，因此一勞永逸地解決了。究竟誰還相信從這樣簡單的東西依然能夠學到一些東西呢？人們認為正整數這個概念沒有任何困難，以致對兒童也能夠科學地詳盡地講述它，而且每個孩子不用進一步思考，也不用知道別人考慮過什麼，就確切地知道它是怎麼回事。這樣就常常缺少學習的首要前提：對無知的認識。結果，人們仍舊滿足於粗略的理解，儘管赫巴特（Herbart）就已經說過一種更準確的理解 [1] 。令人痛心和沮喪的是，已經獲得的認識總是面臨著這樣得而復失的危險，從而許許多多工作似乎變成徒勞的，因為人們誤認為自己占有不少財富，因而不必再加上這些工作的成果。我清楚地看到，我的工作也蒙受這樣的危險。當把計算稱為聚合的機械的思維時，我就遇到了那種粗略的理解 [2] 。我懷疑竟然有這樣的思維。也許，人們可能更願意承認聚合的表象；但是它對於計算沒有意義。從本質上說，思維在哪裡都是一樣的：絕不能根據對象而考慮不同種類的思維規律。差別僅僅在於或多或少的純粹性，以及對心理影響和思維外在的輔助手段，譬如語言、數字等等的或多或少的獨立性，此外，大概還在於概念構造的精緻性；但是，恰恰在這一點上，任何一門科學，即使是哲學，都不要企望會超過數學。 人們從本書將能夠看出，甚至像從n到n+1這樣一條表面上專屬於數學的推理，也基於普遍的邏輯規律，而且不需要特殊的聚合思維的規律。當然，人們可以機械地使用數字，一如人們可以鸚鵡學舌式地說話；但是這幾乎不能叫作思維。只有通過實際思維活動形成數學的符號語言，因而正像人們所說，這種語言為人們起思維作用時，才可能有思維。這並不證明，數是以一種特殊機械的方式形成的，比方說，就像沙堆是由細小的石英顆粒堆積的一樣。我認為，駁斥這樣的觀點關係到數學家的利益，因為這種觀點總是貶低數學這門科學的主要對象，從而貶低數學這門學科本身。但是即使在數學家的著作中，人們也發現十分類似的說法。與此相反，我們必須賦予數概念一種比其他學科中大多數概念更精緻的構造，儘管它們是最簡單的算術概念之一。 因此，為了駁斥那種空想：即關於正整數實際上根本不存在什麼困難，而是有著普遍一致的看法，我認為評述一些哲學家和數學家對這裡所考慮的問題的一些意見是有益的。人們將會看到，意見一致的情況極為罕見，出現的簡直是相互對立的表達。例如，一些人說：「這些單位是彼此相等的」，另一些人則認為它們是不同的，而且雙方這樣說都有一些不容輕易反駁的理由。通過這些考察，我試圖激發人們進行更嚴格的研究的欲望。同時，我將預先說明別人表達的看法，以此為我自己的觀點鋪平道路，從而使人們預先相信，沿著其他那些道路達不到目標，而我的意見與這裡眾多同樣有理由的意見是不同的；而且我希望以此至少基本上最終解決了這個問題。 然而，我的論述也許因此變得更有哲學味道，似乎超出了許多數學家能夠理解的範圍；但是對數概念進行徹底的研究必然總是導致某種哲學的結果。這個任務是數學家和哲學家共同的任務。 如果說儘管這兩門科學各自都做了不少努力，但是它們的合作並不像人們希望的那樣、甚至也不像可能的那樣卓有成效，那麼我認為這是由於心理學的思考方式在哲學中占據主導地位，它甚至侵入了邏輯領域。數學與這種方向根本沒有共同點，由此很容易說明為什麼許多數學家對哲學思考表示反感。例如，當施特里克（Stricker ） [3] 把數的表象稱為運動機能的、依賴於肌肉感覺的時，數學家們在這裡就不能重新認出他的數，就不知道該如何對待這樣一句話。一種基於肌肉感覺建立起來的算術肯定會富有情感，但是也會變得像這種基礎一樣模糊。不，算術與感覺根本沒有關係。同樣，算術與從早先感覺印象痕跡匯集起來的內在圖像也沒有關係。所有這些形態所具有的這種不穩定性和不確定性，與數學概念和對象的確定性和明確性形成強烈對照。考察數學思維中出現的表象及其變化，可能確實有些用處；但是不要以為心理學能對建立算術有任何幫助。這些內在圖像、它們的形成和變化對數學家本身是無關緊要的。施特里克自己就說，在「一百」這個詞，他只能想到100這個符號。其他人可能會想到字母c或別的什麼東西；難道由此得不出以下結論嗎？即我們所說的這種內在圖像對於事物本質是完全無關緊要的和偶然的，就像一塊黑板和一支粉筆那樣偶然的一樣，根本不能把它們稱為一百這個數的表象。人們確實不把這些表象看作事物的本質！人們不把如何形成一個表象的描述看作一條定義，不把對有關我們認識到一個句子的心靈和肉體條件的陳述當作一個證明，也不把對一個句子的思考與這個句子的真混淆起來！看來，人們必須記住，正像當我閉上眼睛太陽不會消失一樣，當我不再思考一個句子時，它也不會不再是真的。否則我們還會得出這樣的結論：人們在證明畢達哥拉斯定理時，發現必須考慮我們大腦的磷含量；而且天文學家不敢把自己的推論延伸至遠古，這樣人們就不會反對他說：「你在那裡計算2·2=4；可是數的表象確實經歷了發展，有它的歷史！人們可能懷疑，當時它是不是就已經發展到了這種程度。你是從哪裡知道這個句子在那古遠的時代就已經存在的呢？生活在那個時代的人難道不能有2·2=5這個句子；由此出發在生存鬥爭中通過自然的選擇才發展起2·2=4這個句子嗎？而2·2=4這個句子難道不會註定要以相同的方式進一步發展成為2·2=3嗎？」Est modus in rebus，sunt certi denique fines！試圖研究事物的形成並且從它的形成認識它的本質這樣一種歷史考察方式確實有很大的合理性；但是它也有局限性。如果在萬物長河中，沒有任何東西是不變的，永恆的，那麼世界就不再是可以認識的，一切就會陷於混亂。看上去，好像人們以為，概念在個別的心靈中形成就像樹葉長在樹上一樣。而且人們認為，了解概念的形成，力圖從人的心靈本性對概念進行心理學的解釋，以此就能夠認識概念的本質。但是這種觀點使一切都成為主觀的，如果跟著它走到底，就取消了真。人們稱為概念史的東西，肯定要麼是我們關於概念認識的歷史，要麼是關於語詞解釋的歷史。人們常常是只有經過可能要持續幾百年的大量的理性工作，才能夠認識到概念的純粹性質，才能剝下概念的那層陌生的、蒙蔽理性眼睛的外殼。現在，如果有人不是繼續進行這項顯然尚未完成的工作，而是認為它毫無價值，轉而走進託兒所或者去追憶可以想像到的人類最古老的發展階段，以便在那裡像J. S.密爾那樣發現一種譬如姜味烘餅的算術或小石子的算術，那麼我們對此應該說些什麼呢！缺乏的只是還要為這烘餅的香味加上一種特殊的數概念的意謂。但這與理性方法恰恰是相反的，而且無論可能怎樣，都是非數學的。數學家們對此不感興趣是毫不奇怪的！在人們相信接近概念根源的地方，人們並沒有發現概念特殊的純粹性質，而是像隔著一層霧，看到的一切都是模模糊糊，沒有區別的。這就好比有一個人，他為了了解美洲，在他第一眼隱隱約約看到他猜測的印度時，就願意設想自己像哥倫布一樣。當然這樣的比較不證明任何東西；但是希望它能說明我的觀點。在許多情況下，發現的歷史作為進一步研究的準備工作確實可能是有用的；但是它不能代替進一步的研究。 在數學家面前，反對這樣一種觀點大概是沒有什麼必要的；但是，由於我還想為哲學家們儘可能解決上述這些有爭議的問題，我就不得不稍微涉足心理學的討論，即使僅僅是為了阻止它進入數學。 此外，數學教科書中也出現心理學的措辭。當人們感到有義務給出一條定義卻又做不到這一點時，人們就要至少對達到有關對象或概念的方式加以描述。人們很容易認識到這種情況，因為在以後的論述中再也不會追溯這樣一種解釋。為了教學的目的，入門性的說明也是完全適宜的；但是應該始終把它與定義清楚地區別開。施羅德 [4] 提供了一個有趣的例子，說明甚至數學家也可能把證明的根據與進行證明的內在或外在條件混淆起來。他在「唯一的公理」的標題下作出如下表達：「這條考慮的原則大概可以叫作符號的固有性公理。它使我們確信，在我們所有的推導和證明過程中，這些符號深深地銘刻在我們的記憶中，而在紙上還要更牢固一些」，等等。 即使數學必須斷然拒絕來自心理學方面的任何幫助，它也絕不能否認自己與邏輯的密切聯繫。確實，我贊成這樣一些人的觀點，他們認為將這二者嚴格分開是不適宜的。人們同樣要承認，對於推論的說服力或定義的合理性的一切研究必須是邏輯的。但是，這樣的問題根本不能排斥在數學之外，因為只有回答它們，才可能達到必要的可靠性。 我也沿著這個方向，當然還要超出通常的做法。大多數數學家在類似的研究中，對於滿足直接的需要表示滿意。當一個定義便當地用於一個證明時，當在任何地方也遇不到矛盾時，當能夠認識到表面上不相干的事物之間的聯繫時，當由此產生一種更高的次序和規律性時，人們習慣於把這個定義看作是充分可靠的，很少詢問其邏輯理由。這種方法至少有一種好處，即人們不太容易完全錯過目標。甚至我認為：定義必然能由它的富有成效性，即可以藉助它進行證明，而表明是有價值的。但是一定要注意，如果定義僅僅在後來由於沒有遇到矛盾而被證明是有理由的，那麼進行證明的嚴格性依然是一種假象，儘管推理串可能沒有缺陷。歸根到底，人們以這種方式總是只得到一種經驗的可靠性，實際上人們必須準備最終還是會遇到矛盾，而這個矛盾將使整個大廈倒塌。為此，我認為必須追溯到普遍的邏輯基礎，這也許遠遠超出大多數數學家所認為必要的程度。 在這種研究中，我堅持以下三條基本原則： 要把心理學的東西和邏輯的東西，主觀的東西和客觀的東西明確區別開來； 必須在句子聯繫中研究語詞的意謂，而不是個別地研究語詞的意謂； 要時刻看到概念和對象的區別。 為了遵循第一條原則，我總是在心理學的意義上使用「表象」一詞，並且把表象與概念和對象區別開來。如果人們不注意第二條基本原則，那麼幾乎不得不把個別心靈的內在圖像或活動當作語詞的意謂，而由此也違反了第一條原則。至於第三點，如果以為可以使一個概念成為對象，又不使它發生變化，那麼這僅僅是一種假象。由此可見，廣為流行的關於分數、負數等等的形式理論是站不住腳的。在本書中，我只能簡單提示一下我是如何考慮改進這一理論的。正如在正整數的情況一樣，在數的所有情況，重要的是確定一個方程式的意義。 我認為，我的成果至少會得到那些肯花工夫考慮我的根據的數學家的基本贊同。在我看來，這些成果還未付諸實施，而且也許它們都已經逐個地至少得到近似的表述；但是在它們相互聯繫的這一點上，它們可能確實是新穎的。有時我感到驚奇，有一些論述在某一點上與我的觀點十分接近，而在另一點上又大相徑庭。 哲學家根據其不同觀點，對這些意見的反映也是不同的，最壞的大概是那些經驗主義者，他們只願意承認歸納是原初的推理方式，甚至都不把歸納看作推理方式，而是看作習慣。也許這個人或那個人要藉此機會重新檢驗其認識論的基礎。對於那些譬如可能說我的定義不合常理的人，我請他們考慮，這裡的問題不在於是不是合常理，而在於是不是涉及問題實質，而且是不是邏輯上沒有疑義的。 我希望，哲學家們通過沒有偏見的檢驗，在本書中也會發現一些有用的東西。 §1.數學在長時間背離了歐幾里得的嚴格性之後，現在又回到這種嚴格性，並且甚至努力超越它。在算術中，也許由於許多處理方式和概念發源於印度，因而產生一種不如主要由希臘人發展形成的幾何學中那樣嚴謹的思維方式。更高的數學分析的發現僅僅促進了這種思維方式；因為一方面，嚴格地探討這些學說遇到了極大的幾乎不可克服的困難，另一方面，為克服這些困難付出的努力似乎沒有什麼價值。然而，後來的發展總是越來越清楚地說明，在數學中一種以多次成功的運用為依據的純粹的道德信念是不夠的。許多過去被看作是自明的東西，現在都需要證明。通過證明，在一些情況下才確定了有效性的限度。函數、連續性、極限、無窮這些概念表明需要更明確的規定。負數和無理數長期以來已為科學所接受，它們的合理性卻必須得到更嚴格的證明。 因此到處可以看到人們努力進行嚴格的證明，準確地劃定有效性的限度，並且為了能夠做到這些，努力準確地把握概念。 §2.沿著這條道路，必然達到構成整個算術基礎的數這個概念和適合於正整數的最簡單的句子。當然，像5+7=12這樣的數公式和像加法結合律這樣的定律，通過每天對它們的無數次運用而得到許多次確認，因此由於想要進行證明而對它們表示懷疑，看上去簡直是可笑的。但是數學的本質就在於，凡是可以進行證明的地方，就要使用證明而不用歸納來確證。歐幾里得證明了許多在他看來大家本來就承認的東西。而當人們自己不滿足於歐幾里得的嚴格性時，人們就要進行與平行公理有關的探究。 因此，那種向著極大嚴格性的運動已經大大超出最初感到的需要，而這種需要變得越來越廣，越來越強。 證明的目的並非僅僅在於使一個句子的真擺脫各種懷疑，而且在於提供關於句子的真之間相互依賴性的認識。人們試圖推動一塊岩石，如果沒有推動它，人們就相信這塊岩石是不可動搖的。這時人們可能會進一步問，是什麼東西這麼穩定地支撐著它。越是深入地進行這些探究，就越不能追溯到所有事物的初真；而且這種簡化本身就是一種值得追求的目標。也許這也證明一種希望：人們通過認識到人在最簡單的情況憑本能所做的事情，並從中把普通有效性提取出來，就能夠獲得概念構造或論證的普遍方法，這些方法即使在錯綜複雜的情況中也可以應用。 §3.促使我進行這樣的探究，也有哲學動機。關於算術真的先驗性或後驗性，綜合性或分析性的問題，在這裡有待回答。因為，即使這些概念本身屬於哲學，我也依然相信，沒有數學的幫助，對它們的判定是不能成功的。當然這取決於人們賦予那些問題的意義。 常常有這樣的情況，人們先獲得一個句子的內容，然後沿著另一條更麻煩的途徑進行嚴格的證明，通過這種證明，人們常常還更確切地認識到有效性的條件。因此人們一般必須把兩個問題區別開，即我們如何達到一個判斷的內容與我們從哪裡得到我們斷言的根據。 根據我的觀點 [5] ，先驗和後驗、綜合和分析的那些區別與判斷的內容無關，而與作出判斷的根據有關。在沒有根據的地方，那些劃分的可能性也就消失了。這樣，一個先驗錯誤就像譬如一個藍概念一樣甚為荒唐。如果在我的意義上稱一個句子是後驗的或分析的，那麼這並不是在判斷那些使人們得以有意識地構造句子內容的心理的、生理的和物理的情況，也不是在判斷別人如何也許是錯誤地把句子內容看作真的；而是在判斷這種被看作真的根據究竟是什麼。 這樣一來，在涉及數學真的時候，問題就會擺脫心理學領域，而轉向數學領域。現在重要的是找到證明並且把它一直追溯到初真。如果以這種方式只達到普遍的邏輯定律和一些定義，那麼就有分析的真，這裡的前提是：必須也一起考慮定義的可接受性以之為基礎的那些句子。但是如果不利用那些不具有普遍邏輯性質、而涉及特殊知識領域的真就不可能進行證明的話，句子就是綜合的。為了使真成為後驗的，肯定要依據事實得出對它的證明；就是說，要依據含有對確定對象有所陳述的沒有普遍性的不可證明的真句子。相反，如果可以完全從本身既不能夠也不需要證明的普遍定律得到證明，真就是先驗的。 [6] §4.從這些哲學問題出發，我們達到在數學領域本身產生出來的與這些哲學問題無關的相同的要求：只要有可能，就要最嚴格地證明算術定理；因為只有小心翼翼地避免推理串中的每個缺陷，人們才能有把握地說，這個證明依據什麼原初的真命題；而且只有在人們認識到這一點時，人們才能回答那些問題。 如果人們現在試圖滿足這個要求，人們很快就會達到一些句子，只要這些句子中出現的概念不能被分析為更簡單的或者化歸為更普遍的概念，這些句子就不能被證明。現在這裡首先必須被定義或者被認為是不可定義的東西是數。這將是本書的任務。 [7] 判定算術規律的實質，將依賴於這個任務的完成。 在我開始探討這些問題本身之前，我要先說幾句對於回答這些問題可能有指導意義的話。如果從其他一些觀點出發得出一些理由，說明算術的定理是分析的，那麼這些理由也適合於它們的可證明性和數這個概念的可定義性。與此相反的結果將有這樣的理由，即這些句子的真是後驗的。因此首先要對這些爭議點做一些說明。 * * * [1] 《赫巴特全集》，哈特恩施坦恩編輯。第10卷第一部分：《教育講座概論》（Umriss Pädagogischer Vorlesung）§252，注釋2：「二不意謂二事物，而意謂加倍」，等等。 [2] K.菲舍爾：《邏輯系統和形上學或科學論》（System der Logik und Metaphysik oder Wissenschaftslehre），第二版，§94。 [3] 施特里克：《表象聯想的研究》（Studien über Association der Vorstellungen,Wien,1883）。 [4] 《算術和代數課本》（Lehrbuch der Arithmetik und Algebra）。 [5] 我這當然不是要提出一種新意義，而僅僅是切中以前一些著作家，尤其是康德所考慮的東西。 [6] 如果人們實際上認識到普遍的真，人們也就必須承認，有這樣的初始定律，因為從純個別事實得不出任何東西，除非基於定律。甚至歸納也依據下面這個普遍原理，即歸納方法可以確立一條定律的真，或者說，可以論證它的機率。對於否認這一點的人來說，歸納不過是一種心理現象，一種方式：人們達到相信一個句子的真，而又無需為這種信念提出任何根據。 [7] 因此，在下文中凡不做進一步說明的地方，所談的數將只是正整數，它們回答「多少」這個問題。