算術基礎 · V.結論

§87.我希望在本書中大致已經說明，算術定律是分析判斷，因而是先驗的。這樣，算術就會僅僅是一種擴展形成的邏輯，每個算術句子就會是一條邏輯定律，然而是一條導出的定律。把算術用於對自然的解釋，相當於對觀察的事實[1]進行邏輯加工；計算就會成為推理。數規律不會像鮑曼[2]認為的那樣，必須得到實際證明才能應用於外在世界，因為在外界中，即在空間事物的整體中，沒有概念，沒有概念性質，沒有數。因此數規律實際上是不能用於外在事物的：它們不是自然規律。但是它們一定可以應用於對外界事物有效的判斷：它們是自然規律的規律。它們斷定的不是自然現象之間的聯繫，而是判斷之間的聯繫；而且這些判斷也包括自然規律。 §88.康德[3]顯然低估了分析判斷的價值——大概是由於過窄地確定這個概念——儘管他似乎想到了這裡使用的這種較寬的概念。[4]如果以他的定義為基礎，那麼分析判斷和綜合判斷的劃分就不是窮盡的。他考慮到全稱肯定判斷的情況。在這種情況下，人們可以談論一個主詞概念，並且問——根據他的定義——它是否包含謂詞概念。但是，如果主詞是一個個別對象，又怎麼辦呢？如果涉及存在判斷，又怎麼辦呢？在這種情況下，根本就不能在這種意義上談論主詞概念。康德似乎認為概念是通過指定的標誌確定的；但是這屬於最不富有成果的概念構造。看一看上面給出的所有定義，幾乎找不到這樣一種定義。對於數學中真正富有成果的定義也是如此，例如函數的連續性定義。那裡沒有一系列指定的標誌，相反那些規定有一種緊密的，我想說是有機的聯繫。人們可以通過一個幾何圖形作出直觀上的區別。如果人們通過一個平面的範圍來表現這些概念（或它們的外延），那麼與通過指定的標誌而定義的概念相應的就是所有這些標誌範圍共同的那個範圍；這個範圍被那些範圍的邊界部分包圍。因此在這樣下定義時，就涉及——形象地說——以新的方式應用已經給出的線來劃出一個範圍。[5]但是這裡本質上沒有出現任何新東西。富有成果的概念規定劃出以前還根本沒有給定的界線。從它們可以推出什麼，無法從一開始就認識到；這裡，人們不是簡單地從箱中把剛剛放入的東西又取出來。這些結論擴展了我們的認識，因此人們應該遵循康德把它們看作是綜合的；然而，它們可以被純邏輯地證明，因而它們是分析的。實際上它們包含在定義之中，但是恰如植物包含在種子之中，而不是像房梁包含在房屋之中。人們常常需要許多定義來證明一個句子，因此這個句子不包含在任何個別的定義中，然而卻是從所有定義中純邏輯地得出的。 §89.我必須也反駁康德[6]下述斷言的普遍性：沒有感覺，我們就不會得到任何對象。零、一是我們不能通過感覺而得到的對象。甚至將較小的數看作是直觀的那些人也必須承認，他們無法直觀地得到大於 的數，並且必須承認我們仍然知道許多這樣的數。也許康德在某種不同的意義上使用「對象」一詞；但是在這種情況下，零、一、我們的∞1就完全被排除在他的考慮之外；因為它們也不是概念，而且康德還要求人們把直觀對象附加到概念上。 為了不使人們責怪我對一位我們只能滿懷欽佩衷心景仰的思想巨匠有些吹毛求疵，我認為必須也強調我和他相一致的地方，而且這遠遠超過不一致的地方。如果僅僅提及首要的東西，我認為康德的偉大功績在於他區別出綜合判斷和分析判斷。他稱幾何學真命題為綜合的和先驗的，以此他揭示了它們的真正本質。而且現在仍然值得重複這一點，因為人們還常常認識不到它。如果說康德在算術方面搞錯了，那麼我認為，從根本上說這無損於他的功績。在他看來，重要的是存在著先驗綜合判斷；至於它們是只在幾何中還是也在算術中出現，則不太重要。 §90.我並不要求使算術句子的分析性比可能的更多，因為人們總是能夠懷疑，是否可以完全從純邏輯規律進行算術句子的證明，是否在任何地方都沒有悄悄地插入另一種論據。甚至通過我為證明一些句子而提出的提示，也沒有完全打消這種疑慮；只有通過完善的推理串，其中不出現任何不符合少數幾類公認的純邏輯推理的步驟，才能消除這種疑慮。至今幾乎還沒有一個證明是以這種方式進行的，因為如果向一個新判斷的每次過渡顯然是正確的，數學家就會表示滿意，而不問這種顯然性是邏輯的還是直覺的。這樣前進的一步常常是由許多步複合構成的，等價於許多簡單的推論，而且除了這些推論，還可能帶有一些來自直覺的東西。人們跳躍式地進行推論，由此在數學中形成了看上去極其多種多樣的推理方式；因為，跳躍越大，它們所能體現的由簡單推理和直覺公理的組合就越多樣。然而在我們看來，這樣一種過渡常常顯然是直接的，我們意識不到其中間階段，而且，由於它不呈現為任何一類公認的邏輯推理方式，我們隨時準備把這種顯然性看作一種直觀的東西，把這種推論的真看作一種綜合的真，即使在有效性範圍顯然超出直觀範圍的情況下，也是如此。 以這種方式不可能把基於直覺的綜合和分析清晰地區別開。人們也不能成功地把直覺公理確切無疑地完全排列在一起，以致根據邏輯規律僅從這些公理就能夠進行所有數學證明。 §91.因此，絕不能拒絕下面的要求：在推理過程中要避免一切跳躍。這一要求很難滿足，因為一步一步地進行推理是很冗長乏味的。每個稍微有些複雜的證明恐怕都會長得嚇人。此外，由於語言中明確形成的邏輯形式過於多樣，這就使人很難劃分出一類推理方式的界線，這類推理方式滿足所有情況並且很容易被忽略。 為了克服這種弊病，我設計出我的概念文字。它應該使表達式更加簡明清楚，並且能夠像運算那樣以少數幾個固定的公式來進行，因而不出現與那些一勞永逸地建立起來的規則相悖的過渡。[7]這樣，任何論據都不能悄悄地潛入進來。以這種方式，不必從直覺借用任何公理，我就證明了一個句子，[8]而這個句子，人們一眼看上去就想把它看作一個綜合句，這裡我要把它表述如下： 如果一個序列中每個項與其後繼的關係是一一對應的，而且如果在這個序列中m和y跟著x,那麼y在這個序列中就在m前面或與m重合或跟著m。 從這個證明可以看出，擴展了我們認識的句子可以包含分析判斷[9]。 [1]觀察活動本身已經包括一種邏輯活動。 [2]《論時間、空間和數學》，第2卷，第670頁。 [3]同上書，第3卷，第39—40頁。 [4]他在第43頁上說，僅當假定另一個綜合句子時，才能根據矛盾律看出一個綜合句子。 [5]如果標誌是由「或者」聯結的，則也是這樣。 [6]《論時間、空間和數學》，第3卷，第82頁。 [7]然而它應該不僅能夠表達像布爾表達方式那樣的邏輯形式，而且應該表達一種內容。 [8]《概念文字》（Begriffsschrift，Halle a/S.1879）第86頁，公式133。 [9]人們將發現這個證明還是過於冗長。這是一個缺點，它似乎抵消其幾乎絕對避免錯誤或紕漏的可靠性。那時我的目的在於把一切化歸為儘可能少的幾條儘可能簡單的邏輯規律。因此我只應用了唯一一種推理方式。但那時我在序（第Ⅶ頁）中就已經指出，為了更廣泛的應用，可以允許更多的推理方式。這可以在不損害推理串的聯繫的情況下進行，而且以此可以達到顯著的簡化。 其他的數 §92.到目前為止，我們的考慮限於數。現在讓我們看看其他種類的數，並且嘗試著把我們在狹窄範圍所認識的東西應用於這更廣泛的範圍。 為了澄清問一個特定的數的可能性是什麼意思，漢克爾說： [1] 「今天，數再也不是一個事物，一個在思維主體之外和推動主體的對象之外獨立存在的實體，一條獨立的原則，譬如畢達哥拉斯定理中的原則。因而有關數是否存在的詢問，僅僅與思維主體或被思考的對象有關，數不過是體現了它們之間的關係。嚴格地說，在數學家看來，不可能的東西僅僅是邏輯上不可能的東西，即自相矛盾的東西。無需證明，絕不允許有這種意義上的不可能的數，但是，如果有關的數是邏輯上可能的，它們的概念得到清晰明確的定義，因而是無矛盾的，那麼問數是否存在，可能僅僅是問：在現實領域或直觀現實世界領域，即實際事物領域中，是否存在數的基礎，是否有一些對象，在它們身上表現出數，因而表現出某種理性關係。」 §93.第一個句子可以令人們產生懷疑，根據漢克爾的思想，數究竟是存在於思維主體之中，還是存在於推動主體的對象之中，還是存在於二者之中。在空間的意義上，數無論如何既不在主體之內，也不在主體之外，既不在一個對象之內，也不在一個對象之外。但是數不是主觀的，也許在這種意義上它在主體之外。每個人只能感到自己的痛苦，自己的欲望，自己的飢餓，只能有自己對聲音和顏色的感覺，而數卻可以是許多人的共同對象，而且數恰恰是所有人相同的對象，而不是不同人的僅僅或多或少相似的內心狀態。當漢克爾想把數是否存在這個問題與思維主體聯繫起來時，他似乎以此把它變成一個心理學問題，但它絕不是心理學問題。數學不探討我們的心靈本性，而且對數學來說，如何回答任何心理學的問題，肯定是完全無關緊要的。 §94.甚至，只有在數學家看來自相矛盾的東西才是不可能的這一說法也必須受到指摘。即使一個概念的標誌包含著矛盾，這個概念也是容許的；只是人們絕不能預先假定某種東西處於它之下。但是從概念不包含矛盾這一點還不能推論某種東西處於它之下。順便問一下，人們應該如何證明一個概念不包含矛盾呢？這絕非總是直接顯然的；從人們看不到矛盾得不出不存在矛盾，而且定義的明確性絕不為此提供保證。漢克爾證明， [2] 比普通的數系統更高階的限定的複數系統，若是服從所有加法和乘法規律，就包含矛盾。這一點恰恰必須被證明；人們直接看不出它。在證明這一點之前，總有人可以利用這樣一個數的系統達到一些奇妙的結果，它們的論證不會比漢克爾 [3] 藉助變化的數給出的關於行列式句子的論證差；因為誰能擔保在這些變化的數的概念中不包含著隱藏的矛盾呢？而且，即使可以排除任意多變化的單位這樣一個普遍矛盾，也不會總是先得出，存在這樣的單位。而且這恰恰是我們所需要的。讓我們以歐幾里得的《幾何基礎》第一卷的第18條定理為例： 在每個三角形中，較大的角與較大的邊相對。 為了證明這一點，歐幾里得從較大的邊AC截掉與較小的邊AB相等的線段AD，並且在這裡引用了前面的一個構圖。如果沒有諸如D這樣的點，這個證明就會垮掉，而且，在「在AC上的一個點，它與A的距離等於AB」這個概念中沒發現任何矛盾，這是不夠的。現在B與D連結起來，甚至存在這樣一條直線，也是這個證明所依據的一個句子。 §95.大概只有證明了某物處於一個概念之下，才能嚴格地確立這個概念的無矛盾性，反過來則會是錯誤的。當漢克爾談及x+b=c這個方程式時， [4] 他就陷於這種錯誤。他說： 「顯然，如果b>c，那麼在1、2、3……這個序列中就沒有解決該問題的數x：在這種情況下，減法是不可能的。然而沒有任何東西阻礙我們在這種情況下把（c-b）這個差看作解決該問題的符號，並且用它進行運算，好像它恰怡是1、2、3……這個序列中用數表明的數一樣。」 儘管如此，卻有某種東西阻礙我們立刻把（2-3）看作表示該問題的解的符號；因為一個空符號恰恰解決不了這個問題；如果沒有內容，它只是紙上的墨跡或印跡，作為這樣的印跡，它有物理性質，但是沒有加2得3的性質。這實際上根本不會是符號，把它們當作符號使用在邏輯上會是錯誤的。甚至在c>b這種情況下，這個問題的解也不是（「c-b」）這個符號，而是它的內容。 §96.人們同樣可以說：在迄今已知的數中，沒有同時滿足 x+1=2和x+2=1 這兩個方程式的數；但是沒有什麼東西阻礙我們引入一個解決這個問題的符號。人們會說：這個問題確實有矛盾。如果人們要求以一個實數或普遍的複數作為它的解，當然會這樣；但是我們確實擴展了我們的數系統，我們確實創造出滿足這些要求的數。讓我們拭目以待，看誰為我們指出一個矛盾！誰能知道，在這些新數中什麼是可能的呢？在這種情況下，我們當然不能保持減法的單值性；但是如果我們想引入負數，我們甚至必須也放棄根號的單值性；由於複數，對數也變為多值的。 讓我們再創造一些允許把離散的序列聚合起來的數！不！即使是數學家，也不能任意創造某種東西，就像地理學家不能任意創造某種東西一樣；他只能發現存在什麼，並且為它命名。 這種錯誤損害了分數、負數、複數的形式理論。 [5] 人們要求，為新引入的數儘可能保留已知的運算規則，並且由此推導出普遍的性質和關係。如果在任何地方都不遇到矛盾，那麼，新數的引入就被看作是合理的，就好像矛盾依然無處藏身，就好像無矛盾性已經存在。 §97.很容易犯這種錯誤，原因大概在於沒有把概念與對象明確地區別開來。沒有任何東西阻礙我們使用「-1的平方根」這個概念；但是我們沒有理由為它直接加上定冠詞，並把「-1的這個平方根」這個表達式看作是一個有意義的表達式。假定了i2＝-1，我們就可以證明這樣的公式，它以α角的正弦和餘弦表達出角α的某個倍數的正弦；但是我們不能忘記，在這種情況下，這個句子就帶有i2＝-1這種我們不能直接消除的條件。如果根本沒有任何東西，它的平方為-1，那麼這個方程式就不必根據我們的證明而是正確的， [6] 因為i2=-1這種條件從未被滿足，而這個方程式的有效性似乎依賴於這種條件。結果就好像我們在一個幾何證明中利用了一條根本就不能劃出來的輔助線一樣。 §98.漢克爾 [7] 引入了兩種運算。他把它們叫作lytische運算和thetische運算，而且他通過這些運算應該具有的一些性質確定了它們。對此，只要人們不假定存在這樣的運算和可以是其結果的對象，就無可非議。 [8] 後來， [9] 他通過（a+b）表達了一種thetische、完全單值的、結合的運算，並通過（a-b）表達了相應的同樣單值的lytische運算。一種這樣的運算嗎？哪一種？一種任意的嗎？在這種情況下，這就不是（a+b）的定義；而且，如果現在不存在任何定義呢？如果「加法」這個詞還沒有任何意謂，那麼在邏輯上就允許說：我們願意稱這樣一種運算為一種加法；但是在確定了有一種並且只有唯一一種加法之前，不能說這樣一種運算應該叫作這種加法並由（a+b）表示。人們不能在一個定義等式的一邊使用不定冠詞，而在另一邊使用定冠詞。然後漢克爾接著說到「運算模型」，而沒有證明存在一種並且只存在一種模型。 §99.簡言之，這種純形式的理論是不充分的。它有價值的東西僅僅在於：人們證明，如果一些運算有一定的性質，譬如結合性和交換性，那麼關於這些運算的某個句子就是有效的。現在人們表明，人們已經知道的加法和乘法有這些性質，而且人們能夠立即說出那些關於加法和乘法的句子，而不必詳盡地重複每個個別情況下的證明。只有通過把這種純形式理論應用到以其他方式給定的運算，才能達到已知的算術句子。但是絕不允許以為能夠以這種方式引入加法和乘法。人們給出的僅僅是對定義的說明，而不是定義本身。人們說：「加法」這個名字應該只給予一個thetische、完全單值的、結合的運算。但是這樣還根本沒有說明那些現在應該叫作加法的運算。因此沒有任何東西阻礙人們把乘法叫作加法並用（a +b）來表示，而且沒有任何人能夠明確地說，2+3是5還是6。 §100.如果我們放棄這種純形式的思考方法，下面的情況似乎就可以提供一種辦法：隨著新數的引入，擴展了「和」和「積」這些詞的意謂。人們選用一個對象，譬如月亮，人們解釋說：月亮以自身相乘得-1。這樣我們就以月亮得到一個-1的平方根。這個解釋似乎是允許的，因為迄今為止從乘法的意謂還根本沒有出現過這樣一種乘積的意義，因而在擴展這個意謂時可以進行任意規定。但是我們也需要帶有-1的平方根的實數積。因此最好讓我們選擇一秒鐘的時間間歇作-1的平方根並用i表示它！這樣，我們將把3i理解為3秒鐘的時間間歇，等等。 [10] 在這種條件下，譬如我們以2+3i將表示什麼對象呢？在這種情況下加號會得到什麼意謂呢？對此，現在必須作出具有普遍性的規定，當然這不是件容易的事情。然而讓我們假定：我們保證所有a+bi這種形式的符號都有一種意義，而且是這樣一種意義，即已知的加法規律對它們都是有效的。這樣，我們就必須進一步規定， （a+bi）（c+di）=ac-bd+i（ab+bc） 應該是普遍的，由此我們將會進一步規定乘法。 §101.現在，如果我們知道由複數的相等得出實在部分的相等，我們就能夠證明表示cos（n a）的公式。這必然得自a+bi的意義，而我們在這裡已經假定了這種意義是現有的。這個證明只會對我們已經規定的複數的意義、複數的和與積的意義有效。現在由於對於整實數n和實數a來說，i根本不再在這個等式中出現，因而人們想推論：因此，只要我們的加法和乘法規律是有效的，那麼i是意謂一秒鐘，還是意謂一毫米，還是意謂其他什麼東西，則是完全無關緊要的；只有這些規律是重要的；我們不必費心去考慮其他東西。也許人們能夠以不同的方式規定a+bi的意謂、和與積的意謂，使那些規律繼續有效；但是，人們在這些表達式中是不是確實能夠發現這樣一種意義，卻不是至關重要的。 §102.人們常常是這樣做的，好像僅提出要求就是滿足了要求。人們要求，減法、 [11] 除法、開方總是可行的，並且相信以此能夠進行足夠的運算。為什麼人們不要求通過任意三點劃出一條直線呢？為什麼人們不要求所有加法和乘法規律對一個三維的複數系統就像對一個實數系統那樣是有效的呢？因為這種要求有矛盾。啊，這樣一來，人們就必須先證明其他那些要求沒有矛盾！在人們證明這一點之前，所有全力以赴為之努力的嚴格性不過是虛無縹緲的東西。 在幾何學定理中，並不出現為了證明而劃出的那條輔助線。也許可能有許多條這樣的線，例如，當人們能夠任意選擇一個點時。但是無論每條個別的輔助線可能會多麼多餘，證明的力量總是依賴於人們能夠劃出具有所要求性質的線。僅這樣要求是不夠的。在我們的情況中也是如此，「a+bi」是有一種意義還是僅僅是一片印刷油墨，這對於證明的力量不是無關緊要的。如果人們不先解釋這裡的「和」意謂什麼，如果人們沒有證明使用定冠詞的合理性，那麼要求它應該有一種意義，或者說其意義是a與bi的這個和，就是不夠的。 §103.針對我們想對「i」的意義作出的規定，當然可能有許多反對意見。我們通過這一規定把某種完全陌生的東西，即時間引入了算術。秒與實數根本沒有任何內在聯繫。如果沒有其他種類的證明，或者，如果無法為i找到其他意義，那麼藉助複數而證明的句子就是後驗判斷，或者說，仍然是綜合判斷。無論如何，必須首先努力說明所有算術句子都是分析的。 科薩克（Kossak） [12] 在談及複數時說：「複數是由具有彼此相等因素的各種不同種類的群所複合構成的表象」， [13] 這裡他似乎避免了插入陌生的東西；但是這一表面現象也僅僅是因為這個表達是不明確的。1+i實際上意謂什麼，這是一個蘋果和一個梨的表象或牙痛和足痛風的表象嗎？對此人們根本沒有得到回答。它確實不能同時意謂這二者，因為若是那樣，1+i與1+i就不會總相等。人們會說：這取決於特殊的規定。即使在這種情況下，我們從科薩克的句子中也還是沒有得到複數的定義，而是只得到如何進行這種定義的一般說明。但是我們還需要更多的東西；我們必須明確地知道「i」意謂什麼，而且，如果我們現在想按照那種說明說：「i」意謂一個梨的表象，那麼我們又會把某種陌生的東西引入算術。 人們通常稱之為複數的幾何體現的東西，至少比迄今為止考慮的嘗試有以下優點：在這種體現中，1和i看上去不是完全沒有聯繫的和不同種類的，而是這樣的：被看作是體現出i的線段和體現出1的線段有某種合乎規律的聯繫。此外，嚴格地說，認為在這裡1意謂某一線段，i意謂與它垂直的等長線段，這是不正確的，相反，「1」在任何地方都意謂相同的東西。這裡，一個複數說明，被看作複數的體現的線段是如何從一個給定的線段（單位線段）通過複製、分割和旋轉 [14] 而形成的。但是即使根據這種解釋，每條必須依據一個複數的存在而證明的定理似乎仍然依賴於幾何學的直覺，因而是綜合的。 §104.那麼，我們應該如何得到分數、無理數和複數呢？如果我們求助直覺，我們就在算術中引入某種陌生的東西；但是如果我們僅僅通過標誌規定這樣一個數的概念，如果我們僅僅要求這個數有一定的性質，那麼就無法保證也有某種東西處於這個概念之下並且符合我們的要求，而證明恰恰是必然依據於這種情況。 那麼在數的情況中又怎樣呢？我們在直覺上沒有得到 這麼多對象以前真不能談論 ）嗎？它這麼長時間一直是一個空符號嗎？不！它有完全明確的意義，儘管鑒於我們生命的短暫，從心理學角度來說我們不能意識到這麼多對象； [15] 但是儘管如此， 仍是一個對象，我們可以認識它的性質，即使它不是直觀的。人們確信，引入an這個符號來表示冪，就表明如果a和n是正整數，那麼以此總是表達出一個並且是唯一的一個正整數。若是詳細證明如何能夠形成這種情況，則會離題太遠。在上文中，我們在§74解釋零、在§77解釋一、在§84解釋無窮數∞1的方法，以及（§82-83）對在自然數系列中每個有窮數都有一個數緊跟的證明的說明中，都能夠普遍看出這樣一種情況。 在對分數、複數等等的定義過程中，一切最終也將取決於尋找一個可判斷的內容，這個內容可轉變為一個等式，它的兩邊恰恰是新數。換言之，我們必須為這樣的數規定一個重認判斷的意義。這裡必須注意我們討論過的（§63-68）關於這樣一種轉化的疑慮。如果我們的做法與那裡一樣，那麼新數就將作為概念的外延給予我們。 §105.在我看來，根據這種關於數的觀點， [16] 很容易說明研究算術和數學分析所產生的魅力。也許人們可以把一個著名的句子加以修改說：理性的真正對象就是理性。我們在算術中探討一些對象，它們不是我們通過感官媒介從外界認識的某種陌生的東西，而是直接給予理性的東西，它們作為理性最獨特的東西是理性完全可以洞察的。 [17] 而且，或者說正因為如此，這些對象不是主觀幻覺。不存在任何比算術規律更客觀的東西。 §106.讓我們再簡要地回顧一下我們的研究過程！我們確定了數既不是事物的堆集，也不是這樣的性質，但是數也不是心靈過程的主觀產物；而數的給出表達概念的某種客觀的東西。然後，我們試圖首先定義0、1等等這些個別的數和數序列中的進展。第一種嘗試是不成功的，因為我們只定義了那些關於概念的陳述，而沒有分別定義僅僅是這陳述一部分的0和1。結果，我們沒能證明數的相等。這表明，不能把算術探討的數看作一種不獨立的性質，而必須把它看作是實體性的。 [18] 因此數作為可重認的對象出現，即使不作為物理的或僅僅空間的對象出現，也不作為我們通過想像力能夠勾畫出來的對象出現。接著我們提出一條基本原則：不能孤立地解釋一個詞的意謂，而必須在一個句子的聯繫中解釋它，正像我相信的那樣，只有遵循這一原則；才能避免關於數的物理觀點，同時又不陷入心理學的觀點。現在有一種句子，它們對每個對象必然都有意義，這就是重認句，在數的情況中叫作等式。我們看到，甚至數的給出也被看作等式。因此重要的是確定數的等式的意義，表達這種意義，而不使用數詞或「數」這個詞。我們把處於一個概念F之下的對象與處於一個概念G之下的對象一一對應起來的可能性，看作是關於數的一個重認判斷的內容。因此，我們的定義必須規定，那種可能性與數的算式具有相同的意謂。我們想到類似的情況：由平行線得出的方向的定義；由類似性得出的形態的定義，等等。 §107.接著產生一個問題：人們什麼時候有理由把一種內容看作一個重認判斷的內容？為此必須滿足以下條件：在每個判斷中，能夠以嘗試性假定的這個等式的右邊替代左邊，而不損害它的真。這時，若是不進一步增加其他定義，暫時從這樣一個等式的左邊或右邊出發，那麼我們知道的就只能恰恰是對相等的陳述。因此需要說明的只是等式中的可替代性。 但是依然存在一種疑慮，即一個重認句必須總有一種意義。如果我們現在把使處於F這個概念之下的對象與處於G這個概念之下的對象一一對應起來的可能性看作一個等式，我們把這表達為：「屬於F這個概念的這個數與屬於G這個概念的這個數相等」並以此引入「屬於F這個概念的這個數」這一表達式，那麼，這個等式的兩邊若是都有上述形式，則這個等式只有一種意義。根據這樣一種定義，如果一個等式只有一邊有這種形式，我們就不能判斷這個等式是真的還是假的。這促使我們定義： 屬於F這個概念的這個數是「與F這個概念等數的概念」這個概念的外延。這裡，如果存在那種相互一一對應的可能性，我們就稱一個概念F與一個概念G是等數的。 在這個定義中，我們假定「概念的外延」這個表達式的意義為已知的。這種克服困難的方式大概不會得到普遍贊同，許多人將更願意以其他方式消除上述疑慮。我也不認為訴諸概念的外延具有決定性的重要意義。 §108.現在一一對應依然還有待於解釋；我們把它化歸為純邏輯關係。這裡我們先說明了下面這個句子的證明：如果F這個概念與G這個概念是等數的，那麼屬於F這個概念的這個數與屬於G這個概念的這個數相等；然後我們定義了0這個數、「n在自然數序列中緊跟m」這個表達式和1這個數，並且表明：1在自然數序列中緊跟0。我們引用了幾個在這一點上容易證明的句子，然後更詳細地探討了下面這個命題： 在自然數序列中每一個數後面都跟著一個數。 這個命題使人們認識到，數序列是無窮的。 由此我們達到「隸屬以n結束的自然數序列」這個概念，我們想以此表明，屬於這個概念的數在自然數序列中緊跟n。我們首先藉助在一個普遍的φ序列中對象y緊跟對象x來定義它。這個表達的意義也化歸為純邏輯關係。而且，由此成功地說明，從n到（n+1）這種通常被看作是數學特有的推理方式，是以普遍的邏輯推理方式為基礎的。 這時，為了證明數序列是無窮的，我們需要下面這個句子：在自然數序列中，任何有窮數都不跟著自身。因此我們達到有窮數和無窮數的概念。我們表明，後者的邏輯合理性基本上不小於前者。為了進行比較，談到了康托爾的無窮數及其「連續中的後繼」，這裡指出了表達上的差異。 §109.現在，由以上所有論述極其可能得出算術真命題的分析性和先驗性；而且我們成功地改進了康德的觀點。此外我們看到，把這種可能性上升為確實性還缺少什麼，並且指出必然走向這一目的的道路。 最後，我們利用我們的這些結果批評了一種關於負數、分數、無理數和複數的形式理論，我們的批評表明，這一理論顯然是不充分的。我們認識到，這個理論的錯誤在於它認為，如果不表現出矛盾，就證明了概念的無矛盾性，而且概念的無矛盾性被看作是滿足概念的充分保證。這個理論自以為它只需要提出要求；然後，滿足這些要求就是不言而喻的。它的表現方式像一個天神，通過自己簡單的言語就能創造出自己需要的東西。如果把如何進行定義的說明當作定義本身，那麼也必須受到指責，因為根據這樣一種說明，在算術中會引入陌生的東西，儘管它本身在表達上可能與定義無關，但這不過是因為它僅僅是一種說明。 因此這種形式理論有倒退到後驗的或依然是綜合的理論的危險，無論它表面上怎麼飄浮在抽象的頂峰上。 前面我們關於正整數的考慮現在為我們表明，有可能避免把外在事物和幾何直覺混淆起來，同時又不陷入那種形式理論的錯誤。正像在那裡一樣，重要的是規定一個重認判斷的內容。如果我們處處考慮這一點，那麼負數、分數、無理數和複數看上去就不比正整數更神秘，而正整數也不比負數、分數、無理數和複數更實在、更現實。 * * * [1] 《複數系統理論》，第6、7頁。 [2] 《複數系統理論》，第106頁，107頁。 [3] 同上書，§35。 [4] 《複數系統理論》，第5頁，科薩克也是同樣，《算術基礎》，第17頁。 [5] 康托爾的無窮數就屬於類似情況。 [6] 它總還可以得到其他方式的嚴格的證明。 [7] 《複數系統理論》，第18頁。 [8] 實際上，漢克爾通過應用Θ（c,b）=a這個方程式就已經做這樣的假定了。 [9] 《複數系統理論》，第29頁。 [10] 我們可以同樣有權選擇一定的電子量、一定的平面面積等等作-1的平方根，但是這樣我們就必須使用顯然不同的符號來表示這些不同的根。如果想到，平方根的意謂並非在這些規定之前就已經被沒有變化地確定下來，而是通過這些規定才一起被確定的，那麼人們表面上能夠創造出如此任意多-1的平方根，就不太令人驚訝了。 [11] 參見科薩克：《算術基礎》，第17頁。 [12] 科薩克：《算術基礎》，第17頁。 [13] 關於「表象」這個表達，參見§27；關於涉及「聚合」的「群」，參見§23u.、§25的論述；關於因素的相等，參見§34-§39。 [14] 為了簡便，我在這裡不考慮不可通約的情況。 [15] 簡單地大致計算一下就表明，幾百萬年的時間也不會夠用。 [16] 人們也可以把它說成是形式的，然而它與前面在這個名義下評價的觀點完全不同。 [17] 我這樣說絕不是想否認，我們沒有感覺印象就會木木呆呆，就會既不知道數也不知道其他一些東西；但是這個心理學句子在這裡與我們根本沒有關係。由於經常存在著混淆兩種根本不同的問題的危險，我再次提出這一點。 [18] 這種差別相應於「藍的」和「天空的顏色」之間的差別。