宋明理學史 · 第十七章 閩學干城——蔡元定與蔡沈
朱熹學派被稱為閩學。它在南宋福建地區的流傳與影響僅是一個雛形，但反映出理學在全國及後世的影響。元、明以後，作為體系最廣、影響最大的正宗思想，它統治了思想界數百年，直至二十世紀初期。
朱熹當時的門人大都能恪遵師訓。蔡元定與蔡沈及其著作《皇極經世指要》與《書經集傳》，在學術史和社會史上都有一定的影響。全祖望在《宋元學案·九峰學案》中說：「蔡氏父子，皆為朱學干城。」現將二蔡學術思想，結合朱學的流傳，論述如下。
第一節 蔡元定的《皇極經世指要》和《律呂新書》
蔡元定（公元1135—1198年）字季通，福建建陽人，是朱熹最親密接近的朋友和學生。二人年齡相差五歲，朱熹初次與蔡見面論學時，便說「此吾老友也，不當在弟子之列」（《宋史·蔡元定傳》） 。其後數十年從學朱熹，直至寧宗慶元二年（公元1196年）因偽學黨禁，以布衣編管湖南道州，還與朱熹書信往還。慶元四年歿於道州。
蔡元定和朱熹都是所謂偽學的主要代表人物。蔡赴道州時，朱熹及從游者送別，尚與蔡元定共同討論一部道教的名著《參同契》。蔡臨行時態度不異平時，而送行者座中有流涕者。朱熹說：「友朋相愛之情，季通不挫之志，可謂兩得之矣」（同上） 。蔡死後，朱熹的祭文中說：
嗚呼季通，而至此耶。精詣之識，卓絕之才，不可屈之志，不可窮之辯，不復可得而見矣。（《朱文公文集》卷八十七《又祭蔡季通文》）
這裡反映出作為理學家的朱熹對學生的最高要求，而蔡元定是達到了。這種堅持自己的學術見解，不屈服於壓力，所謂「不降其志，不辱其身」（《論語·微子》） ，這在理學傳統中有其可取之處。當然這在大部分假道學中是辦不到的。一些宋末明末的理學家為「夷夏之防」不惜犧牲自己的生命，不能說不與這傳統有關聯。
朱熹在《與劉孟容書》中又說：
交遊四十年，於學無所不講，所賴以祛蒙蔽者為多。不謂晚年乃以無狀之跡，株連及禍，遂至於此。聞之痛怛，不知涕泗之流落也。（引自《蔡氏九儒書》卷二）
除了師徒的感情以外，這裡應注意的是，蔡元定對朱熹學術所起的輔助作用。蔡元定的學生翁易（字粹翁，福建崇安人）在宋理宗淳祐七年（公元1247年）記載：
晦菴（指朱熹）疏釋「四書」，因先生（指蔡元定）論辯有所啟發者非一。……六經、《語》《孟》《學》《庸》之書，先生與之討論講貫則並馳其功焉。《易學啟蒙》一書，先生研精覃思，屢年而後就，晦菴復刪潤之，始克成書。（同上卷首《蔡氏諸儒行實》）
可見朱熹的《四書集注》和後代《性理大全》與《性理精義》中收入的那部著名的《易學啟蒙》，是蔡元定參與草定的。
朱熹在《答蔡季通書》中曾談到，「《啟蒙》修了未？早欲得之」（《朱文公文集》卷四十四） 。便足為佐證。又說，「季通平生著述多謙讓，寄寓於熹書集中」（引自翁易《蔡氏諸儒行實》） ，也說明二人合作的親密無間。
關於蔡元定本人的學術傾向，可以從以下材料得到說明：
牧堂老人（指蔡元定之父蔡發）以程氏《語錄》、邵氏《經世》、張氏《正蒙》授先生曰：此孔孟正脈也。先生（蔡元定）深涵其義。（《宋元學案·西山蔡氏學案》）
把程、邵兩個途徑不同的著作合在一起，同時再加上張載，都稱為「孔孟正脈」。儘管這種說法不完全正確，但可反映出蔡元定的學術兼有義理和象數學兩個方面。這是和朱熹一致的。
蔡本人著作很多。著名的有《皇極經世指要》和《律呂新書》。
《皇極經世指要》一書，宋末的黃瑞節說：
西山（即蔡元定，號西山）先生始終以《易》疏其說，於是微顯闡幽，其說大著。學者由蔡氏而知《經世》，由《經世》而知《易》，默而通之可也。（引自明嘉興徐必達編《邵子全書》卷二十四附錄）
清代著名的《易》學家王植說：
《纂圖指要》（指《皇極經世指要》的第一部分）所疏最為醒暢，較邵伯子 [1] 之說更優。故各圖說一以西山為主。（《皇極經世全書解·例言》）
按《纂圖指要》是《皇極經世指要》的前半部，大部解釋邵雍的各種圖像。明初《性理大全》的編者說：
西山蔡氏著為《經世指要》一書足以盡乎五十篇之義（指邵雍《皇極經世書》六十四篇中除《觀物內外篇》共十四篇以外，為五十篇），而晦菴朱子謂其於康節之書，推究縝密矣。故今不復具載康節全書，但取蔡氏《指要》諸圖，列於內外十四篇之首。（引自《皇極經世全書解》卷首《總論》）
可見蔡元定的《皇極經世指要》是一部對邵雍學術的全面而又明晰的概括。他的學術方向是遵循朱熹的主張，不像二程那樣置象數學於不顧。
蔡元定的另一部著作《律呂新書》不但是中國音樂史上的名著，也是反映出蔡氏學術傾向的著作。
中國古代音樂中的十二律，是指十二個音調。其高低的比例是以一個音調為基數，先用三分減一的方法（即以基數乘 ），產生第二音調，然後再用三分益一的方法（即以第二音調乘 ）產生第三音調，以後迭次用 、 ……相乘，得出十二個音調的數字。這些數字便是十二個音調的音高之間的比例。這種計算方法叫三分損益法。
蔡元定的《律呂新書》也是用這方法來排定十二律的。同時他以象數學家的本色把十二天干配合上十二律，把一年中的十二個月也加以配合。
現根據蔡書中《黃鐘生十一律第三》（黃鐘本身為一律，再派生出十一律，共為十二律）及《八十四聲圖第八》綜合列表如下：
時辰 律名 月份 比例
1. 子 黃鐘 十一月 一分
2. 丑 林鐘 六月 三分二
3. 寅 太簇 正月 九分八
4. 卯 南呂 八月 二十七分十六
5. 辰 姑洗 三月 八十一分六十四
6. 巳 應鐘 十月 二百四十三分一百二十八
7. 午 蕤賓 五月 七百二十九分五百一十二
8. 未 大呂 十二月 二千一百八十七分一千二十四
9. 申 夷則 七月 六千五百六十一分四千九十六
10. 酉 夾鍾 二月 一萬九千六百八十三分八千一百九十二
11. 戌 無射 九月 五萬九千四十九分三萬二千七百六十八
12. 亥 仲呂 四月 一十七萬七千一百四十七分六萬五千五百三十六
上表1、3、5、7、9、11，也就是子、寅、辰、午、申、戌六個時辰稱為陽辰，2、4、6、8、10、12，即丑、卯、巳、未、酉、亥六個時辰為陰辰。而單數的六個律即黃鐘、太簇、姑洗……是陽律，雙數的六個律即林鐘、南呂、應鐘……是陰律。陽律又稱為律，陰律又稱為呂。六個陽律稱六律，六個陰律稱六呂（或稱六同）。陽律都是三分減一下生陰律，如黃鐘是1，林鐘便是1× 。陰律都是三分益一上生陽律，如林鐘是 ，太簇便是 。這樣一直推到第十二律仲呂是 ，便形成了各個律、呂的比例。
然而這裡產生一個問題，即第8、10、12三個陰律大呂、夾鍾、仲呂，都是清音，在審音的時候音調高了一倍，要用加長樂管一倍的方法來調協。所以第七個律陽律蕤賓生第八個律陰律大呂時，按照陽律生陰律是三分減一下生的規則，本應以蕤賓之數乘 ，現在為了加長樂管以降低音調，就要把蕤賓乘 再加倍，成為算式如下：
從而可見，作為陽律的蕤賓生陰律大呂時，由下生改為上生。
同樣情況，第九個律陽律夷則從下生改為上生產生第十個律陰律夾鍾，第十一個律陽律無射也是由下生改為上生產生第十二個律陰律仲呂。
把十二律中大呂、夾鍾、仲呂三個陰律本應由下生即三分損一而推算出來的，改為上生由三分益一而推算出，這是為了協調音調而採取的較為合適較為科學的方法。蔡元定的這種演算方法溯源於漢代，說明中國在十二世紀時儘管講論封建倫理道德的理學思想瀰漫，但理學家之中仍然有優秀人才具有科學的頭腦，採用科學的方法，這是值得提出的。
然而蔡元定的推算是在神秘的外衣的包裹下提出的。他說：
黃鐘生十一律，子、寅、辰、午、申、戌，六陽辰，皆下生。丑、卯、巳、未、酉、亥，六陰辰，皆上生。其上以三，歷十三辰者，皆黃鐘之全數。其下陰數以倍者（原註：即算法倍其實）三分本律而損其一也。陽數以四者（原註：即算法四其實）三分本律而增其一也。六陽辰當位自得。六陰辰則居其沖，其林鐘、南呂、應鐘三呂在陽則用倍數方與十二月之氣相應，蓋陰之從陽，自然之理也。（《律呂新書·黃鐘生十一律第三》）
關於十二律與一年的十二個月相比附，早見於《史記·律書》與《漢書·律曆志》。這一思想更早可溯源於《呂氏春秋》所綜合的戰國時期的音樂理論。至於蔡元定的「陰之從陽，自然之理也」之類迷信的語言在上述書中也屢見不鮮。《史記·律書》說：「律歷，天所以通五行八正之氣，天所以成熟萬物也。」《漢書·律曆志》說：「陽六為律，陰六為呂，律以統氣類物，呂以旅陽宣氣。」
所謂「統氣類物」「旅陽宣氣」這些字的具體意義是很難捉摸的。這就為後來的所謂術數家開闢了為了某種目的，隨意發揮的途徑。
蔡元定在樂律方面還有一個創造，就是在十二律之間加了六個變律，稱為變黃鐘、變林鐘、變太簇、變南呂、變姑洗、變應鐘。這六個變律的插入，可以使從每一個律開始「旋相為宮」時，在計算音程方面更加便利。用蔡元定自己的話說就是「然後洪纖高下，不相雜倫」（《律呂新書·變律第五》） 。值得注意的是，蔡元定的六個變律與漢代京房六十律中第13到18律（所謂13執始，14去滅，15時息，16結躬，17變虞，18遲內）的數值完全相同。因為它們都是從第十二個律仲呂起用三分損益法繼續推算而成的。從而可以看出象數學家不但在《易》卦上而且在律呂的範圍內也是先後繼承的痕跡。
這裡主要不是敘述音樂的歷史，而是試圖說明蔡元定的音樂理論與京房六十律的關係。而京房的六十律與《淮南子》六十音當辰又有關聯。此外，京房又說：「夫十二律之變至於六十，猶八卦之變至於六十四卦也」（《後漢書·律曆志上》） 。可謂極盡牽強附會之能事。然而這些思想也在蔡元定書中可以找出印跡來。蔡元定說：
黃鐘獨為聲氣之元。雖十二律八十四聲皆黃鐘所生。然黃鐘一均所謂純粹中之純粹者也。（《律呂新書·84聲圖第八》）
京房、《淮南子》《呂氏春秋》，這些人及著作，或是具有道家色彩，或是與道家有瓜葛，而都與蔡元定的《律呂新書》有思想理論上的溝通。這可以看出蔡元定學術上的道家傾向，而這些傾向似乎也是被那位空同道士鄒訢所同意的。
第二節 蔡沈的《書集傳》
蔡沈（公元1167—1230年）字仲默，號九峰，是蔡元定的第三子。元定的次子蔡沆出繼表兄虞氏，所以蔡沈仍以仲字排行。
元定謫道州時，長兄蔡淵在家奉母。蔡沈隨父去道州。元定死後，沈護喪以還。
真德秀是福建浦城人，不及見到朱熹及蔡元定，而是蔡沈的友人。他在《九峰先生墓表》中記載：
初偽學之興，文公以黨魁黜，聘君（指蔡元定）亦遠謫舂陵（指道州），君徒步數千里以從。九嶷之麓，最楚粵窮僻處，山川風物，悲涼慘愴，居者率不能堪。君父子相對，以禮義相怡悅。（《真文忠公文集》卷四十二）
這一段記載為後來《宋史》的蔡元定、蔡沈傳所本。
蔡沈的主要著作是《書集傳》與《洪範皇極》二書，分別反映了其師朱熹與其父蔡元定的學術思想。
《書集傳》六卷，是一部數百年來在封建文化學術界有很大影響的著作。這書是朱熹臨歿前一年委託蔡沈寫作的，朱熹死後，又十年才完成。
元仁宗皇慶時，蔡沈此書與朱熹的《周易本義》《詩集傳》，胡安國的《春秋傳》等並列為官書，為科舉所依據。此書遂成為元、明、清三代士人的必讀課本。
這書的寫作是在朱熹原有的一部分書說基礎上完成的，其特點是：
不偏重於漢、唐以來的煩瑣考據方法，以淺近簡明的文字注釋了《書經》。
糾正了不少前人的誤解，發表了不少個人的獨出新義，並且十分精確。
由於《書集傳》列為官書，因而不為精研考據的漢學家所重視。
清儒陳澧曾說：
近儒說《尚書》，考索古籍，罕有道及蔡仲默《集傳》者矣。然偽《孔傳》不通處，《蔡傳》易之，甚有精當者。（《東塾讀書記》卷五《尚書》）
例如《大誥》：「若兄考乃有友伐厥子民養其勸弗救。」偽《孔傳》云：「以子惡故」。孔疏云：「民皆養其勸伐之心不救之。」
陳澧對孔傳和孔疏的評論是：「此甚不通。」
而蔡傳說：「蘇氏（指蘇軾）云：養，廝養也，謂人之臣僕。言若父兄有友攻伐其子，為之臣僕者其可勸其攻伐而不救乎。」
儘管蘇軾在朱熹的評論中看來，其人品與能力還不及王安石，但蔡沈還是擇善而從，採用了蘇軾的意見。
《召誥》：「王敬作所不可不敬德。」偽孔云：「敬為所不可不敬之德」，很是牽強。蔡傳云：「所，處所也。猶所其無逸之所。王能以敬為所，則無往而不居敬矣。」
這種說明清晰而且有證據，容易理解，並使人信服。
所以陳澧說：「此皆蔡傳精當者。」
然而，除了解釋字句外，從思想背景來說，更應注意的是其政治目的。蔡傳的理論主要是講二帝三王，是為封建政治和封建文化服務的。朱熹在囑蔡沈整理《書經》的信中說：
年來病勢交攻，困悴日苦。……看此氣象是不久於人世者。……最是《書說》未有分付處，因思向日喻及《尚書》，文義通貫猶是第二義，直須見得二帝三王之心，而通其所可通，毋強通其所難通……千萬更撥置來此議定綱領，早與下手為佳。（引自《蔡氏九儒書》卷六）
按信的內容，蓋系朱熹生前最後一年所作。信中所談「直須見得二帝三王之心」，是朱熹傳授的宗旨。程顥說《中庸》一書是「孔門傳授之心法」，而朱熹在《中庸章句》序中把十六字心傳視為堯舜禹湯相傳的叮嚀囑咐。蔡沈是緊緊地繼承這一理學傳統的。他在其書的序言中說：
然二帝三王之治本於道，二帝三王之道本於心。得其心則道與治國可得而言矣。何者？精一執中，堯舜禹相傳之心法也，建中建極，商湯周武相傳之心法也。曰德曰仁曰敬曰誠，言雖殊而理則一，無非所以明此心之妙也。
所謂心法，文中說就是德、仁、敬、誠。質言之，就是封建社會的三綱五常。
現舉一例，它既考證了文義，而又最終返歸到倫理綱常。
《書·洛誥》的第一句「周公拜手稽首曰：朕復子明辟。」蔡沈認為此上有闕文，應把《康誥》的第一段「唯三月哉生魄，周公初基，作新大邑於東洛國」到「乃洪大誥制」等四十八字移為《洛誥》的首段。這也是根據蘇軾的見解。
關鍵在於《洛誥》中「聯復子明辟」一句的意義。傳統的講法是因武王死後成王年幼，周公代王為辟，到這時還政成王，所以說「復子明辟」。而蔡沈說：
復，如逆復之復，成王命周公往營成周，周公得卜，復命於王也。
至於為什麼「復辟」不指歸還王位？蔡沈說：
武王崩，成王立，未嘗一日不居君位，何復之有哉？（《書集傳》卷五《洛誥》）
至於為什麼說先儒復辟說是錯誤的，又引起了什麼後果，蔡沈說：
王莽居攝，幾傾漢鼎，皆儒者有以啟之，是不可以不辨。（同上）
蔡沈還沒有達到指出「儒者」就是劉歆，而劉用周公居攝稱王來為王莽篡位製造理論根據的地步。但是，不言而喻，蔡沈維護綱常、堅持正統的態度反映了理學家的本色。所以黃震對蔡沈這一段意見評論說：「此說不獨考正文義，其有功於天下後世大矣」（引自《宋元學案補遺》卷六十七《九峰學案補遺》 ）。
皇位問題是一個重要問題，牽涉到封建宗法制度的存亡繼絕問題，這就是蔡沈作為程朱正統理學的忠實繼承者為什麼在這個問題上大為考證，大做文章的原因所在。
由於蔡沈《書集傳》適應了當時社會的需要，它被政府定為科舉功令的必讀書不是偶然的。六七百年來，它與《四書集注》並列，對社會文化思想起一定的影響，也不是偶然的。它是中國封建社會後期經濟和政治條件下的產物。
蔡沈對《書經》的解釋又有一定的獨立見解，不是亦步亦趨地遵循師說。晚清的山陽丁晏曾著《蔡傳附釋》，舉了一些例說明蔡沈與朱熹的不同。如《舜典》「而難任人」一句，元代鄒季友引《朱子語類》云：「難平聲，任如字，言不可輕易任用人也」（鄒季友《書傳音釋》卷一） 。而蔡沈說：「難，拒絕也。任，古文作壬，包藏兇惡之人也」（《書集傳·舜典》「而難任人」條） 。這裡朱熹解「難」為不易，蔡沈解「難」為拒絕；朱熹解「任」為任用，蔡沈解「任」為兇惡。蔡沈是根據自己的認識來疏釋的，而且於義為長。
又如《益稷》「明庶以功」一句，鄒季友引《朱子語類》云：「此試字之誤。《左傳》趙衰引《夏書》『賦納以言，明試以功』，正作試字」（《書集傳·益稷》） 。但蔡沈沒有按照其師說，沒有把「庶」字改成「試」字，而是把這句簡單明了地解為「明其眾庶也」（《書集傳·益稷》） 。
元代陳櫟著《尚書集傳纂疏》六卷，又曾著《書說折衷》。《書說折衷》一書後已散佚，但書序還保存在他的《定宇集》中。他在《纂疏》中就曾提出蔡沈「宗師說者固多，異之者亦不少」（《四庫全書總目提要》卷十二） 。陳櫟認為這是蔡沈的一個缺點，我們看來卻是一個不詭隨盲從的長處。
但我們要注意，所謂「與師異」是僅在於某些文字的詞義上，而不在於天理、道統等理學關鍵問題上。在後者，蔡沈與其師是完全沆瀣一氣的。
關於蔡書的缺點。我們知道，朱熹的治學方法是謹嚴的。然而他的持敬、致知等工夫主要是為了個人的修養。他說：「書雖是古人書，今日讀之所以蓄自家之德，卻不是欲這邊讀得些子，便搬出做那邊用」（《朱子語類》卷一二〇） 。所以訓詁考證對朱熹來說是次要的。他又說：「《尚書》中《盤庚》、五誥之類，實是難曉。若要添減字，硬說將去，盡得。然只是穿鑿，終恐無益耳」（同上卷七十八） 。這些都是知之為知之，不知為不知的正確態度。而蔡沈注《書經》，則是每個疑點都要求加以解決。《四庫全書總目提要》的編者批評他「於殷盤周誥，一一必求其解，其不能無憾也固宜」（卷十一） 。
此外，蔡傳固然盛極一時，通行數百年，然而歷代也都有指摘其瑕疵的。如宋末王柏的《書疑》，宋末元初許謙的《讀書叢說》，張葆舒的《尚書蔡傳訂誤》，黃景昌的《尚書蔡傳正誤》，程直方的《蔡傳辨疑》，余苞舒的《讀蔡傳疑》，等等。而元仁宗延祐二年（公元1315年）議復貢舉，定《尚書》依蔡沈注釋以後，上述諸家，大都不傳了。
明代袁仁著《尚書砭蔡編》（清曹溶輯《學海類編》收入此書，改名《尚書蔡注考誤》），清代左眉有《蔡傳正訛》。袁仁所提出蔡傳的缺點如「粵若、越若，前後異訓，三百有六旬有六日乃宋歷非古歷」等多條，《四庫全書總目提要》認為「皆確有所據」。按《尚書·堯典》第一句：「粵若稽古」，蔡沈釋為：「曰、粵、越通，古文作粵。曰若發語辭。《周書》越若來三月亦此例也」（《書集傳》卷一《堯典》） 。在《周書·召誥》的「曰若來三月」，蔡沈又說：「越若來，古語辭，言召公於豐迤邐而來也」（《書集傳》卷五《召誥》） 。於是《砭蔡編》說：「曰若發語辭，引《周書》越若來為例，及訓《召誥》則曰『曰若來者迤邐而來也』，何其相悖邪。」事實上這問題在元代董鼎的《書傳輯錄纂注》以及鄒季友的《書傳音釋》中都早已發現和指出。《書傳音釋》說：「《朱子語錄》載劉諫議（指劉安世，字元城，北宋人）雲，越若發語辭，來三月猶言明三月也。」來字究竟是如蔡沈解為到來的來，還是如劉安世解來三月就是明年三月。這問題似乎還可以討論。然而蔡沈在《堯典》與《召誥》兩個地方，同一詞語「前後異訓」終是無可辯解的。
對蔡沈來說，這是枝節問題，不足為全書病。《漢書·藝文志》載秦恭字延卿，注「粵若稽古」用了二三萬言。這是漢儒的學風，為宋儒所不取。因為它不聯繫到義理和政治的原則問題。而宋代理學家是聯繫政治、聯繫社會、聯繫三綱五常的理來治學和講學的。所以他們把訓詁放在第二位而且有忽略的地方。
至於用宋代的曆法來講古歷顯然是一個疵病。關於天文、地理、名物制度方面的知識也不是理學家主要的關切所在。
理學家的著重點是聖聖相傳的心法，修齊、治平的道理。在這一點上，蔡沈繼承了他老師的衣缽，沒有辜負委託。所以說從歷史的角度，把它作為封建時代統治階級文化的結晶之一來看，蔡沈的書出色地完成了它的歷史使命。
第三節 蔡沈的《洪範皇極》
《洪範》是《書經》中的一篇。《洪範》中有「皇建其有極」一句話。《洪範皇極》書名的來源大致如是。這部分在內容、形式以至風格上與《書集傳》迥然不同。
《書集傳》像朱熹的《四書集注》一樣，用簡明的文字詮釋經典，闡發義理，而《洪範皇極》則像蔡元定的《皇極經世指要》闡述陰陽剛柔一樣，通過八十一個範疇論述天地、陰陽、理氣、體用、動靜，以至接觸到自然界動物植物等問題。總之，《書集傳》是一部理學正統派主要講義理的著作，《洪範皇極》是一部理學象數學派主要講自然現象的著作。
真德秀在《九峰先生墓表》中說：「洪範之數久失其傳。聘君（指蔡元定）獨心得之，然未及論著，曰：成吾書者沈也」（《真文忠公文集》卷四十二） 。
所謂「洪範之數」是什麼？這是象數學家一個輾轉的附會。《易·繫辭》說：「天地變化，聖人效之。天垂象見吉凶，聖人象之。河出圖，洛出書，聖人則之。」揚雄在《覈靈賦》中說：「大易之始，河序龍馬，洛貢龜書」（揚雄《覈靈賦》已佚，此從《文選》李注輯出）。這就開啟了後世認為河圖是龍馬口銜，洛書是神龜背負的傳說。與揚雄同時的劉歆說：「虙犧氏繼天而王，受河圖則而畫之，八卦是也。禹治洪水，錫洛書，法而陳之，《洪範》是也」（《漢書·五行志》） 。
這又提出了八卦來源於河圖，河圖創造自虙犧，而《洪範》來源於洛書，洛書是天授禹的傳說。
河圖、洛書兩個寶物到底是什麼形象？
宋代象數學家通過一些古典中的傳統，把河圖、洛書分別定為1到10十個數字與1到9九個數字排成的兩個數陣。
河圖的排列方法是：
洛書的排列方法是：
據劉歆說，河圖是產生八卦的，這就是邵雍的六十四卦橫圖與先天圓圖與先天方圖產生的依據。洛書產生《洪範》，應該也有一系列象數圖作為《洪範》的衍生物。蔡氏父子的洪範九疇數便應運而生了。
《洪範》中有九個綱領，稱為九疇。其內容為：「初一曰五行，次二曰敬用五事，次三曰農用八政，次四曰協用五紀，次五曰建用皇極，次六曰乂用三德，次七曰明用稽疑，次八曰念用庶征，次九曰向用五福，威用六極。」九疇中的五行、五事、八政、五紀、三德、五福、六極，又各有其具體內容。如五行是水火木金土，五事是貌言視聽思等。這些原是古代人對自然界及社會現象和規律的樸素的總概括。朱熹答學生問《洪範》諸事時說：「此是個大綱目，天下之事其大者大概備於此矣」（《朱子語類》卷七十九） 。而這些在象數學的模胚中，九疇又被冶鑄成帶有「數」的色彩的新產品——洪範九疇數。
由於有了數目字，於是，按照象數學的傳統，洪範九疇數被比附於一年四季的時令，自然界和動物植物，人類的身體和器官，社會上的衣食住行、婚姻、祭祀、宴享、田獵以及軍旅、工役、交易……各種現象，總之包括自然現象和人類精神與物質文明的各個方面。這反映出在一定時期博物與分類學的成就與水平。
然而，洪範只有九個疇，要賅括龐大的多種現象是困難的。於是根據需要，把九疇發展為九九八十一個疇數。九疇擴展為八十一疇，與八卦發展為六十四卦是同一道理。八十一疇構成了《洪範皇極》的基本體系。如果說，在宋代以前還沒有人提供出八十一個洪範九疇數，那麼蔡氏父子當是這一體系的創始者。儘管他們與前人一樣，依託的是神話傳說中的大禹。黃瑞節說：「《易》更四聖而象已著，《范》錫神禹而數不傳。九峰蔡氏撰《皇極內篇數》為一書，於是有範數圖，有八十一章六千五百六十一變。西山真氏云：蔡氏範數與三聖之易同功者是也」（引自清康熙劉世衢《洪範皇極補》蔡沈原序後附載） 。黃氏之言，合於史實。
這裡應當注意朱熹對洪範疇數原於洛書，而洛書圖形又是那九個數字的數陣的意見和態度。朱熹說：「河圖出而八卦畫，洛書呈而九疇敘，而孔子於斯文之興衰未嘗不推之於天。聖人於此其不我欺也」（《朱文公文集》卷七十八《江州重建濂溪先生書堂記》） 。朱熹的《周易本義》書首的九個圖中，以河圖、洛書為冠，這都說明他不但篤信天命，並且對蔡氏的範數是完全贊同的。這是研究朱熹及其學派的學術傾向的重要線索。他既繼承了二程正統，以天理人倫為理學的主要內容，又不像二程那樣排斥象數，而是把象數納入理學的範圍以內。這些將在下文詳細論及。
《洪範皇極》一書的具體內容如何？書首是一幅洛書的數陣，但不稱洛書而稱為《洪範皇極圖》。
把九疇衍化為八十一數，用方數圖、圓數圖、行數圖等形式來表示。現將九九方數圖轉列如下：
把一、一到一、九排為一行，一直到把九、一到九、九排為第九行，八十一個數形成一個方陣。
九九圓數圖則是把一、一到九、九的八十一個數序排成一個圓圈。（在清初劉世衢《洪範皇極補》一書中，圓圈的中心還有一個卍字符號，可理解為表示一、一到九、九，循環周流之意。《性理大全》所載此圓圖似也有卍字。）
九九行數圖則是把一、一到九、九的八十一數序排列成一長行。
很明顯，九九方數圖、九九圓數圖、九九行數圖，與邵雍的先天方圖、先天圓圖、先天橫圖在排列方法上是相同的，可以互相對照。所不同的是，邵雍用六十四個《易》卦來排列，而蔡沈是用八十一個疇數來排列，數列上多出一層而已。
還有一個九九積數圖則是以1到9九個數字分別用9來相乘三遍的積數排成的圖表，如下：
（原圖為中文數字從右至左，今改為阿拉伯數字從上至下）
把九九八十一個數字配合時令，一、一為冬至，二、二為立春，三、三為春分，四、四為立夏，五、五為夏至，六、六為立秋，七、七為秋分，八、八為立冬，九、九又為冬至。然後周而復始，二、二又是立春。
蔡沈書中是用陰陽消長來解釋一歲的氣候變化過程的。他說：「一數之周，一歲之運也。九數之重，八節之分也。一、一，陽之始也。五、五，陰之萌也。三、三，陽之中也。七、七，陰之中也。二、二者陽之長。四、四者陽之壯，五則陽極矣。六、六者陰之長，八、八者陰之壯，九則陰極矣。一九首尾為一者，一歲首尾於冬至也。蓋冬至二卦而余則一也」（《洪範皇極·內篇下》） 。
蔡沈認為「一者數之原也，九者數之究也」（同上） 。所以他把一切事物歸結為九的數字。他說：「分天為九野，別地為九州，制人為九行。九品任官，九井均田，九族睦俗，九禮辨分，九變成樂，八陣制兵，九刑禁奸，九寸為律，九分造歷，九筮稽疑，九章命算……」（同上） 。這些歸納似都是為了九這個數而拼湊起來，有些還是很牽強的。其實在中國歷史上用其他數字如3、5、7等也可羅列一系列名物出來，也是常見的。
蔡沈的九分法中，「八陣制兵」顯然是生硬不一致的例外。他沒有把九軍來代替八陣。
此外，還有兩點值得注意。仿照蔡沈的這種分法，還可以提出江分九派，宮有九門，地有九泉，天有九重，姓有九宗，官有九牧，學術有九流……不一而足。由此可見，蔡沈的「以九為究」也僅是約略舉例，難概其全的。這是一。其次，關於「九筮稽疑」，稽疑兩字取自《洪範》，是考察疑點，用卜筮來解決之意。這裡「九筮」也僅僅只適用於蔡沈所制的洪範數。因為從《易經》開始，到揚雄的《太玄》，北魏關朗的《洞極》，北周魏元嵩的《元包》和司馬光的《潛虛》，都有筮法。他們各有一套數字，都不是用九，足以說明這一點。
《洪範皇極》今存本分內、外篇，外篇都是論81數的，每數都有一個名稱，如一、一稱原，一、二稱潛，一、三稱守，一、四稱信……一直到九、八稱墮，九、九稱終。
《洪範數》中一到九的數字用 來表示，這與《潛虛》中所用符號相同。只有五這個數字《潛虛》作×，蔡沈作 ，微有不同。其餘悉與司馬光《潛虛》筮法中所用符號相同。當然也可能這些數碼都是宋代通用，而兩人都採取使用了。這種數碼，源於籌策。
《外篇》所謂釋數，就是把九九八十一個範疇（即原、潛、守、信、直、蒙、閒……一直到勝、囚、壬、固、移、墮、終八十一個疇），用模仿《易經》的筮法，進行占卜。《易經》的方法是「分二掛一，揲之以四」（《易·繫辭上》） 。《洪範數》的方法則是分二掛一，揲之以三。這樣得出的結果是：「八揲而六千五百六十一之數備矣，分合變化，如環無端，天命人事，由是較焉，吉凶禍福，由是彰焉」（《洪範皇極·內篇下》） 。由此而得出的九種徵兆稱為：吉、咎、祥、吝、平、悔、災、休、凶。
洪範八十一個疇每疇下都系有一句話，如第一疇「原」，疇下系有「原，元吉；幾，君子有慶。」從語氣及形式看，可知是模仿《易經》的卦辭。「原」疇之下還有數曰：「原，誠之原也。幾，繼之善也。君子見幾，有終慶也。」清初潘士權《洪範注補》此下又有理曰：「始終維一，原，君子以剛健純粹，與天合德。」而潘士權在書首的按語中說：「按蔡氏《范》內無理曰，自『原』疇以下數曰並缺。」如此則知「理曰」「數曰」是潘補的。與潘同時的劉世衢《洪範皇極補》則改理曰為「疇曰」，內容也是劉自撰的。
由上可見，這些理曰、疇曰都不是蔡沈原著而為後人增補。天台謝無懋（此人待考，疑是元人）在蔡書序中早就說蔡沈「享數弗遐，釋數未備，尚不能無俟於後之君子。」
《洪範皇極》這一系統的書，明代熊宗立有《洪範九疇數解》，李經綸有《洪範皇極注》，清初有劉世衢《洪範皇極補》，潘士權《洪範補註》，等等。
《四庫全書總目提要》的編者對這些《洪範皇極》的衍生物的評論是：「推演《洪範》，始自蔡沈，故凡因沈書而作者並類從編次。」又說：「然蔡沈書亦何必補也」（卷一一〇《范衍》條） 。又說：「自沈以後，又開演《范》之一派，支離 ，踵而為之者頗多。既有其末，不可不著其本。故錄而存之，而別著錄於術數類，明非說經之正軌，儒者之本務也」（同上卷一〇八《洪範皇極內篇》條） 。
《四庫全書總目提要》的評論表明了維護「正統」排斥「別傳」的態度。在他們看來，蔡沈這書與正統的《書集傳》不同，只是曆法一類術數之作而已。
我們以為，這是中國學術的一個支流，也是反映社會現象的一種意識形態。從《易經》開始，有《太玄》《洞林》《洞極》《元包》《潛虛》，直到《洪範數》以及增補《洪範數》等各種著作，其間有一系列的繼承關係。如今天有學者綜合會通，除研究其排算方法加以明確外，並分析其實質內容，這對中國中古社會思想的演變、文化的發展將從一個側面得到更多的認識。
《洪範皇極》一書，在蔡沈以後，有不少增補已如上述。但書中的《內篇》是蔡沈的手筆。對此應做一些分析。
《洪範皇極·內篇》的宇宙觀與北宋理學家是一致的。蔡沈說：
沖漠無朕，萬物具矣。動靜無端，後則先矣。器根於道，道著器矣。一實萬分，萬復一矣。（《洪範皇極·內篇上》）
「沖」是虛的意思，「漠」也有空的含義。「無朕」指沒有徵兆。在「沖漠無朕」的時候，萬物的理已經存在。這就是程頤所說的「沖漠無朕，萬象森然已具」（《遺書》卷第十五） 。「動靜無端」，也是程頤的原話。程頤在解釋《易·繫辭》的「形而上者謂之道」說：
道無有形體，道者一陰一陽也。動靜無端，陰陽無始，非知道者，孰能識之。（《伊川經說》卷一《易說·繫辭》）
這裡指一陰一陽循環往復沒有起始，也沒有終止。
「器根於道」，換句話說，就是器根於理。這也是從程頤的「有理則有氣」（同上） 來的。「一實萬分，萬復一矣」也是二程的理論。程頤說：「萬物皆是一理，至如一物一事雖小，皆有是理」（《遺書》卷第十五） 。朱熹在《中庸章句》的篇首記載程顥的話說：「其書（指《中庸》）始言一理，中散為萬事，末複合為一理」（朱熹《中庸章句》篇首按語） 。
至於「一實萬分」四個字，原見於周惇頤《易通》中的《理性命第二十二章》。周說：「二氣五行，化生萬物。五殊二實，二本則一。是萬為一，一實萬分。」
總而言之，蔡書關於宇宙觀的主要論點是：在「沖漠無朕」時已有萬物之理。理是氣或器的根本。萬事萬物都各有其理，但總的理是一個。這些都是理學家的基本原理，而通過朱熹、蔡元定的師承與家學，蔡沈全部接受了下來，上面所引《內篇》的一段話幾等於二程語言的複述。
在上引《洪範皇極·內篇》一段後，蔡沈接著說了他的宇宙起源論：「有理斯有氣，有氣斯有形，形生氣化而生生之理無窮焉。天地 縕，萬物化醇，男女構精，萬物化生。化生者塞，化醇者賾。覆土之陵，積水之澤，草木蟲魚，孰形孰色。無極之真，二五之精，妙合而凝，化化生生，莫測其神，莫知其能」（《洪範皇極·內篇上》） 。其中理→氣→形的變化過程是程朱理學本體論的精髓，也就是上文所引的「氣根於道」。「天地 縕」以下四句出於《易·繫辭下》，原意是陰陽產生萬物的意思。周惇頤《太極圖·易說》中有「二氣交感，化生萬物，萬物生生而變化無窮焉」的話，便是它的註腳。
這裡特別要注意的是，在陰陽之先，怎樣被理學家加上了一個精神的本體。
《太極圖·易說》中說：「太極動而生陽，動極而靜，靜而生陰。」朱熹在討論《太極圖說》與學生問答時說：「太極只是一個理字」（《朱子語類》卷一） ，又說：「太極只是一個實理」（同上卷九十四） 。此外，類似的表達不一而足。「二五之精」指二氣五行，那都是太極或理所派生的。
蔡沈的這一理論，承接周、程之說，然後把它們綜合在一起歸納出的一個自然發展觀。我們前面評論了周、程的分歧，而二程是從來不講太極的。這一段里蔡沈把周的太極、程的理巧妙地結合了起來，無疑是出色地繼承了朱熹的學術傾向。
朱熹的體系中不但包括了周、程，還包括了張載，這些因素在蔡沈的《內篇》中也可以找出來。蔡沈說：「變者化之漸，化者變之成，變化者陰陽之消長曲伸也。非二則不能久，非一則不能神」（《洪範皇極·內篇上》劉世衢本卷一） 。這段全本於張載的《正蒙》。張載說：「氣有陰陽，推行有漸為化，合一不測為神」（《正蒙·神化篇》） 。又說：「一故神（自註：兩在故不測），兩故化（自註：推行於一）」（《正蒙·參兩篇》） 。朱熹對此極為贊同：「神化二字雖程子說得亦不甚分明，惟是橫渠推出來」（《朱子語類》卷九十八） 。辯證法認為，事物的發展變化根源於事物內部矛盾雙方的對立與統一。而張載的理論接觸到這一點，應該說含有樸素辯證法的因素。
這觀點為朱熹所接受，而由蔡沈在其著作中進一步表述出來，使研究者可以從中探索其間的淵源線索。
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[1] 邵伯子即邵伯溫，邵雍長子，曾注釋《皇極經世書》。