數度衍 · 卷五
欽定四庫全書
數度衍卷五
桐城 方中通 撰
尺算
法尺
通曰法尺之式上連下分下則可開可合上則相對不
移如此乃可為法
實尺
兩尺分寸湏等不可稍
異作一法尺二實尺
通曰兩端變為三角因參知兩勾股矩度直景倒景蓋同一源加實尺於法尺之上謂之三角可也謂之勾股可也
乘法
術曰先定實數法數與他算不同既定乃以法數作法尺何數實數作實尺何數或寸或分又湏預定然後將實尺比照實數橫安於法尺之一分或一寸上令法尺開而就之隨量法尺之法數空處得何數即為所求數也
通曰變通升降其用始廣如實尺數大不便安放者湏降實數寸降為分分降為厘或將實數折半法實俱大必湏俱折先降後升先半後倍得數原無異也或用升法以代降實
式有五人每人四兩問共若干曰二十兩術以四兩為
四分作實數以五
人為五寸作法數
將實尺比定四分
橫安於法尺一寸
空處乃量法尺五寸空處得何數今得二寸因以分為兩則寸即為十故知所得二寸為二十兩也
降數式有五十九人每人八兩問共若干曰四百七十二兩術以八兩為八分作實數以五十九人作五寸九分為法數用實尺比定八分安於法尺一分上八大一
小不可安放乃降
十倍安於法尺一
寸空處量法尺五
寸九分空處得四
寸七分二厘先降後升應升為四尺七寸二分原以分為兩故知所得為四百七十二兩也【此系升法以代降實】
實數折半式有八人每人一十二兩問共若干曰九十六兩術以八人作八寸為法以一十二兩折半得六兩作六分為實用實尺比定六分安於法尺一寸空處量
法尺八寸空處得
四寸八分原以分
為兩是為四十八
兩先半後倍倍得
九十六兩也
法實俱折半式有一十六人每人一十二兩問共若干曰一百九十二兩術以一十六人折半得八人作八寸為法以一十二兩折半得六兩作六分為實用實尺比定六分安於法尺一寸空處量法尺八寸空處得四寸
八分以分為兩是
為四十八兩倍之
得九十六兩再倍
之得一百九十二
兩合問
通曰因法實俱折半故加倍以還實再加一倍以還法也
實數再折式有八人每人二十四兩問共若干曰一百九十二兩術以八人作八寸為法以二十四兩折半得
一十二兩又折半
為六兩作六分為
實用實尺比定六
分安於法尺一寸
空處量法尺八寸空處得四寸八分以分為兩是為四十八兩倍之得九十六兩再倍之得一百九十二兩合問
通曰再折故再倍或將實三分之得數三乘之亦合法實俱再折式有三十二人每人二十四兩問共若干曰七百六十八兩術以三十二人折半得一十六人又
折半得八人作八
寸為法以二十四
兩折半得一十二
兩又折半得六兩
作六分為實用實尺比定六分安於法尺一寸空處量法尺八寸空處得四寸八分以分為兩是為四十八兩倍之得九十六兩再倍之得一百九十二兩再倍之得三百八十四兩再倍之得七百六十八兩合問
通曰四其折半故四其加倍如以四自乘得十六又乗四十八亦合
整零截量式有二十四人每人五錢三分問共若干曰一十二兩七錢二分術以二十四人作法尺二寸四分以五錢三分作實尺五分三厘先截整數二十人求之
將實尺比定五分
三厘安於法尺一
分空處實大不便
安頓降之安於法
尺一寸空處將五分三厘升作五寸三分此為十人所得數倍之得十寸六分便是二十人所得數也後截零數四人求之量法尺四分空處得二分一厘二毫亦升作二寸一分二厘便是四人所得數並兩得數得十二寸七分二厘為二十四人所得總數也因以尺之厘為
銀之分故知爲十
二兩七錢二分又術
以二十四人作法尺
二尺四寸以五錢三
分作實尺五分三厘將實尺比定五分三厘安於法尺一寸空處量法尺十寸空處得五寸三分倍之得一尺○六分爲二十人所得數又於法尺四寸空處量得二寸一分二厘並得一尺二寸七分二厘亦合
通曰所截爲二十人故加倍若三十人則用三乗四十人則用四乗也
除法
術曰法實數定之後將實尺比定實數定於法尺之法數空處乃量法尺之一分或一寸空處得幾何卽爲所求除出數也亦用降數折數二法或有實無法任意作幾分者不論實數多寡將實尺比數安於法尺之百分空處用隨分法量之
式有銀二十二兩四十四人分之問各若干曰五錢術以二十二兩作二寸二分為實以四十四人作四寸四
分為法將實尺比
定二寸二分安於
法尺四寸四分空
處乃量法尺之一
分空處得幾何今得五厘因以尺之分為銀之兩則厘當為錢又因以分為人則五錢為一人所得數也通曰量一寸空處得五分降為五厘亦合一分為一人一寸則為十人量四寸空處得四十人銀數四分空處得四人銀數此用乘以知除也
降數式有銀四十四兩二十二人分之問各若干曰二兩術以四十四兩作四寸四分為實以二十二人作二寸二分為法將實尺比定四寸四分安於法尺二寸二分上實大不可安頓降為四分四厘安於法尺二寸二
分空處乃量法尺
一分空處得二厘
因先降數此當升
為二分分為銀之
兩則知所得為二兩也
折實式有一十八兩六人分之問各若干曰三兩術以一十八兩折半得九兩作九寸為實以六人作六寸為法將實尺比定九寸安於法尺六寸上實大降作九分安於法尺六寸空處乃量法尺一寸空處得一分五厘
因降實此當升為
一寸五分又因折
實此當倍為三寸
以寸為兩故知一
人所得為三兩也
法實俱折式有一十八兩一十二人分之問各若干曰一兩五錢術以一十八兩折半得九兩作九寸為實以一十二人折半得六人作六寸為法將實尺比定九寸安於法尺六寸上實大降作九分安於法尺六寸空處
乃量法尺一寸空
處得一分五厘因
降實當升為一寸
五分寸為兩故知
一人所得為一兩五錢也
通曰法實俱折者除與乘不同乘折則所得止半數故湏倍之除折則所得即所求數不必又倍矣葢折亦除故也
隨分式有銀八十兩或四平分或五平分問各若干曰四分之一得二十兩五分之一得一十六兩術以八十
兩作八十分為實
將實尺比定八十
分安於法尺百分
空處如欲作四平
分者則量法尺二寸五分空處得二十分每人即得二十兩也如欲作五平分者則量法尺二寸空處得一十六分每人即得一十六兩也
通曰四平分者先將四除十寸得二寸五分五平分者先將五除十寸得二寸
整零截量式有三十二兩五人分之問各若干曰六兩
四錢術以三十二
兩作三尺二寸為
實以五人作五寸
為法先截實末二
寸求之將實尺比定二寸安於法尺五寸空處量法尺一寸空處得四分後截實首三尺求之將實尺比定三尺降作三寸安於法尺五寸空處量法尺一寸空處得六分應升為六寸並前四分得六寸四分以兩為寸故知每人得六兩四錢也
通曰後量法尺之十寸空處得六寸亦合此不升數而升度也
比例法
術曰有實數於此以某法數分之得某數今又有實於此照前分例求法幾何將實尺比前實數安法尺之前法數上又將實尺比後實數於法尺空處上下推移求至脗合處視法尺之分寸幾何即所求數也
通曰比例無窮不可盡舉引而推之存乎其人
式有銀四百四十兩二百二十人分之人得二兩今又有銀八百八十兩照前二兩分數該人幾何曰四百四十人術將二百二十人作二寸二分為法將四百四十
兩作四寸四分為
實以實尺比定四
寸四分安於法尺
二寸二分上實大
降作四分四厘安於法尺二寸二分空處又將八百八十兩作八寸八分亦降作八分八厘以實尺比定八分八厘於法尺空處上下推移至四寸四分空處適合以寸為百數即知為四百四十人矣
通曰前後俱降實故不升且前以人為法銀為實後亦以銀為實求出法數人降實則不升法也
又式有銀三兩給六人今又有銀七兩照前例應給幾人曰一十四人術以三兩作三寸爲法以六人作六分爲實將實尺比定六分安於法尺三寸空處乃量法尺七寸空處視得幾何今得一寸四分以分爲人卽知所
得爲一十四人也
又術以三兩作三
分爲實以六人作
六分爲法將實尺
比定三分安於法尺六分空處又將實尺比定七分在於法尺空處上下推移至法尺一寸四分空處適得脗合一寸四分卽一十四人也
通曰法實可互更乗除可互用此尺算之異於他算也凡求得數皆以比例卽乗除亦無非比例故比例以尺爲便
數度衍卷五