数度衍 · 卷五
钦定四库全书
数度衍卷五
桐城 方中通 撰
尺算
法尺
通曰法尺之式上连下分下则可开可合上则相对不
移如此乃可为法
实尺
两尺分寸湏等不可稍
异作一法尺二实尺
通曰两端变为三角因参知两勾股矩度直景倒景盖同一源加实尺于法尺之上谓之三角可也谓之勾股可也
乘法
术曰先定实数法数与他算不同既定乃以法数作法尺何数实数作实尺何数或寸或分又湏预定然后将实尺比照实数横安于法尺之一分或一寸上令法尺开而就之随量法尺之法数空处得何数即为所求数也
通曰变通升降其用始广如实尺数大不便安放者湏降实数寸降为分分降为厘或将实数折半法实俱大必湏俱折先降后升先半后倍得数原无异也或用升法以代降实
式有五人每人四两问共若干曰二十两术以四两为
四分作实数以五
人为五寸作法数
将实尺比定四分
横安于法尺一寸
空处乃量法尺五寸空处得何数今得二寸因以分为两则寸即为十故知所得二寸为二十两也
降数式有五十九人每人八两问共若干曰四百七十二两术以八两为八分作实数以五十九人作五寸九分为法数用实尺比定八分安于法尺一分上八大一
小不可安放乃降
十倍安于法尺一
寸空处量法尺五
寸九分空处得四
寸七分二厘先降后升应升为四尺七寸二分原以分为两故知所得为四百七十二两也【此系升法以代降实】
实数折半式有八人每人一十二两问共若干曰九十六两术以八人作八寸为法以一十二两折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量
法尺八寸空处得
四寸八分原以分
为两是为四十八
两先半后倍倍得
九十六两也
法实俱折半式有一十六人每人一十二两问共若干曰一百九十二两术以一十六人折半得八人作八寸为法以一十二两折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸
八分以分为两是
为四十八两倍之
得九十六两再倍
之得一百九十二
两合问
通曰因法实俱折半故加倍以还实再加一倍以还法也
实数再折式有八人每人二十四两问共若干曰一百九十二两术以八人作八寸为法以二十四两折半得
一十二两又折半
为六两作六分为
实用实尺比定六
分安于法尺一寸
空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六两再倍之得一百九十二两合问
通曰再折故再倍或将实三分之得数三乘之亦合法实俱再折式有三十二人每人二十四两问共若干曰七百六十八两术以三十二人折半得一十六人又
折半得八人作八
寸为法以二十四
两折半得一十二
两又折半得六两
作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六两再倍之得一百九十二两再倍之得三百八十四两再倍之得七百六十八两合问
通曰四其折半故四其加倍如以四自乘得十六又乗四十八亦合
整零截量式有二十四人每人五钱三分问共若干曰一十二两七钱二分术以二十四人作法尺二寸四分以五钱三分作实尺五分三厘先截整数二十人求之
将实尺比定五分
三厘安于法尺一
分空处实大不便
安顿降之安于法
尺一寸空处将五分三厘升作五寸三分此为十人所得数倍之得十寸六分便是二十人所得数也后截零数四人求之量法尺四分空处得二分一厘二毫亦升作二寸一分二厘便是四人所得数并两得数得十二寸七分二厘为二十四人所得总数也因以尺之厘为
银之分故知爲十
二两七钱二分又术
以二十四人作法尺
二尺四寸以五钱三
分作实尺五分三厘将实尺比定五分三厘安于法尺一寸空处量法尺十寸空处得五寸三分倍之得一尺○六分爲二十人所得数又于法尺四寸空处量得二寸一分二厘并得一尺二寸七分二厘亦合
通曰所截爲二十人故加倍若三十人则用三乗四十人则用四乗也
除法
术曰法实数定之后将实尺比定实数定于法尺之法数空处乃量法尺之一分或一寸空处得几何卽爲所求除出数也亦用降数折数二法或有实无法任意作几分者不论实数多寡将实尺比数安于法尺之百分空处用随分法量之
式有银二十二两四十四人分之问各若干曰五钱术以二十二两作二寸二分为实以四十四人作四寸四
分为法将实尺比
定二寸二分安于
法尺四寸四分空
处乃量法尺之一
分空处得几何今得五厘因以尺之分为银之两则厘当为钱又因以分为人则五钱为一人所得数也通曰量一寸空处得五分降为五厘亦合一分为一人一寸则为十人量四寸空处得四十人银数四分空处得四人银数此用乘以知除也
降数式有银四十四两二十二人分之问各若干曰二两术以四十四两作四寸四分为实以二十二人作二寸二分为法将实尺比定四寸四分安于法尺二寸二分上实大不可安顿降为四分四厘安于法尺二寸二
分空处乃量法尺
一分空处得二厘
因先降数此当升
为二分分为银之
两则知所得为二两也
折实式有一十八两六人分之问各若干曰三两术以一十八两折半得九两作九寸为实以六人作六寸为法将实尺比定九寸安于法尺六寸上实大降作九分安于法尺六寸空处乃量法尺一寸空处得一分五厘
因降实此当升为
一寸五分又因折
实此当倍为三寸
以寸为两故知一
人所得为三两也
法实俱折式有一十八两一十二人分之问各若干曰一两五钱术以一十八两折半得九两作九寸为实以一十二人折半得六人作六寸为法将实尺比定九寸安于法尺六寸上实大降作九分安于法尺六寸空处
乃量法尺一寸空
处得一分五厘因
降实当升为一寸
五分寸为两故知
一人所得为一两五钱也
通曰法实俱折者除与乘不同乘折则所得止半数故湏倍之除折则所得即所求数不必又倍矣葢折亦除故也
随分式有银八十两或四平分或五平分问各若干曰四分之一得二十两五分之一得一十六两术以八十
两作八十分为实
将实尺比定八十
分安于法尺百分
空处如欲作四平
分者则量法尺二寸五分空处得二十分每人即得二十两也如欲作五平分者则量法尺二寸空处得一十六分每人即得一十六两也
通曰四平分者先将四除十寸得二寸五分五平分者先将五除十寸得二寸
整零截量式有三十二两五人分之问各若干曰六两
四钱术以三十二
两作三尺二寸为
实以五人作五寸
为法先截实末二
寸求之将实尺比定二寸安于法尺五寸空处量法尺一寸空处得四分后截实首三尺求之将实尺比定三尺降作三寸安于法尺五寸空处量法尺一寸空处得六分应升为六寸并前四分得六寸四分以两为寸故知每人得六两四钱也
通曰后量法尺之十寸空处得六寸亦合此不升数而升度也
比例法
术曰有实数于此以某法数分之得某数今又有实于此照前分例求法几何将实尺比前实数安法尺之前法数上又将实尺比后实数于法尺空处上下推移求至脗合处视法尺之分寸几何即所求数也
通曰比例无穷不可尽举引而推之存乎其人
式有银四百四十两二百二十人分之人得二两今又有银八百八十两照前二两分数该人几何曰四百四十人术将二百二十人作二寸二分为法将四百四十
两作四寸四分为
实以实尺比定四
寸四分安于法尺
二寸二分上实大
降作四分四厘安于法尺二寸二分空处又将八百八十两作八寸八分亦降作八分八厘以实尺比定八分八厘于法尺空处上下推移至四寸四分空处适合以寸为百数即知为四百四十人矣
通曰前后俱降实故不升且前以人为法银为实后亦以银为实求出法数人降实则不升法也
又式有银三两给六人今又有银七两照前例应给几人曰一十四人术以三两作三寸爲法以六人作六分爲实将实尺比定六分安于法尺三寸空处乃量法尺七寸空处视得几何今得一寸四分以分爲人卽知所
得爲一十四人也
又术以三两作三
分爲实以六人作
六分爲法将实尺
比定三分安于法尺六分空处又将实尺比定七分在于法尺空处上下推移至法尺一寸四分空处适得脗合一寸四分卽一十四人也
通曰法实可互更乗除可互用此尺算之异于他算也凡求得数皆以比例卽乗除亦无非比例故比例以尺爲便
数度衍卷五