數度衍 · 卷四

欽定四庫全書 數度衍卷四 桐城　方中通　撰 籌算 九籌 通曰珠算筆算皆有數而後乘籌算無數而先乘也故乘以籌為防數盡九九除亦因乘故隨時施用所遇數更而先乘之數亦變多寡前後相合自成至若零籌無又無用之用也 開方籌 通曰籌有二曰平方自乘之還原也故用自乘之數曰 立方自乘再乘之還原也故用自乘再乘之數 乘法 術曰有實有法先將實數查籌從左向右齊列其兩籌每格平行線斜方形合成一位並為一數矣次以籌之格為法數如法數是五即查第五格也若法有二位先查法尾所得數橫列之次查法首所得數進一位橫列之再用筆算加法得所求數 一位法式有五十九人每人八兩問共若干曰四百七 十二兩　以五十九人為實八 兩為法先依實數查第五籌第 九籌五左九右並列次依法八查第八格內橫數曰二曰七○曰四去○不用自左向右橫視之得四百七十二兩也得數尾與法尾數同故知為兩 二位法式有五十四人每人六十四兩問共若干曰三千四百五十六兩　以五十四人為實六十四兩為法 依實查五四兩籌齊列先依法 尾四查第四格曰六曰一○曰 二自右向左橫列之次依法首六查第六格曰四曰二○曰三進一位橫列之用筆算加法得三千四百五十六兩也多位法者視此每查格一回進一位列數 通曰九格內凡遇右尾有○者必湏列之以存位其○在數中者説詳後式 籌內斜方有○無數式有五十四人每人二十八兩問 共若干曰一千五 百一十二兩　以 五十四人為實查籌並列二十八兩為法先查八格曰二曰三○曰四橫列之次查二格 曰八曰○曰一進一位列之加得合問 通曰斜方之中有數有○則去○不用若無數有○則湏存之以定位如八格去○列三二格列○存位是也籌內斜方倂數進十式有八十七人每人六兩問共若 干曰五百二十二兩 以八十七人為實查籌 並列六兩為法查六格曰二曰四八曰四其曰四 八者並為十二本位存二以十進位作一其曰四者並所進之一為五當自右向左列曰二二五矣 用零籌式有六百零八人每人三十四兩問共若干曰 二萬零六百七十 二兩　以六百零 八人為實查六籌 零籌八籌並列三十四兩為法先查四格曰二曰三○曰四曰二橫列之次查三格曰四 曰二○曰八曰一進一位列之加得合問 通曰實數整幾十者列一零籌於右整幾百者列二零籌於右以定位也 除法 術曰有實有法有商別列實數以法數依號查籌從左向右齊列於諸籌九格內查橫行數之等於實數或略少於實數者在第幾格即是初商數如在第一格即一為初商也次以查得之數減其實數已盡則止一商如未盡則有再商即再查橫行內數之等於存實或略少於存實者在第幾格即是再商數又以查得之數減其存實如前又未盡則更有三商倘初商已除實雖未盡而次位無實則商有○位即作○以當次商再以存實于格內查之若至余實數少於法數是為不盡法當命分之 一位商式有三百二十五兩六十五人分之問各若干曰五兩術別列三百二十五兩為實以六十五人為法 查六五兩籌左右齊列 查九格內何格數與實 相等一格至四格皆少五格內自左向右曰三二 五適等即五為商數矣 二位商式有三千三百二十五兩九十五人分之問各 若干曰三十五兩術 列三千三百二十五 兩為實九十五人為法列籌二籌橫數止三位湏截實左三位曰三三二作三 百三十二于格內查之至三格自左向右曰二八五【中位一七並八】作二百八十五略少於實數四格則多矣用三爲初商相減餘四十七再以余實四七及截外之五作四百七十五查至五格四七【二五並七】五適等用五爲次商 商當有○式有三十二萬三千八百七十六兩五百三十八人分之問各若干曰六百零二兩術列實查籌三籌橫數止四位截實左四位曰三二三八作三千一一百三十八查一至六格自左向右曰三二二八作 三千二百二十八略 少於實數七格則多 矣用六爲初商相減 餘一十以余實一○及截七六作 一千零七十六此乃次位無實也 次商當作○竟不除實余實仍是一千零 七十六查至二格一○七六?等用二爲三商 通曰次位三位俱無實者卽一連兩商皆當作○也實不盡式有三千三百三十六兩九十五人分之問各 若干曰三十五兩 余實一十一兩 列實查籌二籌橫數止三位截實左 三位曰三三三查至三格自左向右 曰二八五略少於實數用三為初商相減餘四八以余實四八及截外六作四八六查至五格四七五略少於余實用五為次商相減尚餘一十一為不盡數也 開平方法 術曰有積數【即實數】有商數商有方法有亷法隅法置積數從末位下作防向左隔一位作一防有一防知有一商也視平方籌內自乘之數與實相等或略少者取以除實但自左一防為始防前無位則自乘止於零數防前有位則自乘應有十數而此乘數在籌內第幾格即用其格數為初商也有二防者以初商倍之乃以倍數查籌列於平方籌之左再視諸籌橫行內數與存實相等者用以除實而此數在幾格即用為次商也實不盡者以法命之或實右加○再開之詳少廣章 通曰開方有實無法故用方廉隅以代之初商積與次商隅積皆自乘數也次商亷積之數處初商與隅積之問也 第一?求初商之根為方法乙為 方積也不盡求二防之商倍初商 根為廉法甲丙兩長邉也隅法丁 方一角也此甲乙丙丁為平方二 商之形如三商則加戊巳亷及庚 隅也 式有積三萬二千○四十一平方開之問邉得若干曰 一百七十九 別列積為實從 末位一下作防 向左隔一位○ 下作?三下作 防共得三防知商有三位 也防左無實三作零數視 方籌內自乘無三近少為 一平行取一為方法為初 商乃於實三內減去一格 自乘之一存二以共次防 實曰二二○為余實次倍初商根得二為亷法【倍一為二】取二號籌列方籌之左於兩籌橫行內求二二○無則用近少者一八九在第七格即七為次商為隅法乃以一 八九減余實二二○餘三 一以共三防之實曰三一 四一為次余實再倍初次 兩商之一七得三四【初商一作】 【一十次商七共為十七倍為三十四】為次廉法乃去次商所列之第二籌又取三號四號兩籌自左向右俱列方籌之左於橫行內求三一四一在第九格即九為三商為次隅法減實無餘即三次所商為平方邉一百七十九也 開立方法 術曰有積數有商數商有方法有平廉法長亷法隅法置積為實從末位作防向左隔二位作防每一防有一商視立方籌內再乘之數有與實相等或近少者用以除實也但自左一防為始防前無位則再乘止於零數防前有一位則再乘應有十數防前有二位則再乘應有百數而此乘數在第幾格即用作初商也有二防者以初商自乘而三倍之為平亷法以初商三倍之為長亷法卻以平亷法數查籌列立方籌左以長亷法數查籌列立方籌右乃視左籌與方籌之橫行內數查其或等或少於余實者取格數為約數即以此為次商以次商自乘之數與長亷法數相乘進一位書於約數之下以此二數並之除其餘實即得立方邉也不盡者依法命之詳少廣章 其一作六面方體諸面線角皆相等 此名方法體成甲乙丙丁形 通曰此初商形也凡邊皆初商之 數 其二作六面扁方體其上下面各與 方法等旁四面之高少於方法之高 而四稜線皆等此名平亷法體成戊 己庚辛形 其三作六面長方體其上下左右四 面與平廉之旁面等兩端之四界線 皆與平廉之高等此名長廉法體成 壬癸形 其四作六面小立方體六面之廣袤皆與長廉之兩端等此名隅法體成子丑形 通曰右三形皆次商形也三四商者亦如此三形増之通曰初商方根次商上加一平廉左加一平廉後加一平廉故三倍初商之自乘為平廉法也上與後之邊齊右加一長廉上與左之邊齊前加一長廉左與後之邊 齊下加一長廉故三倍初商為長廉法也上與左與後三角加隅法而立方形成矣 式有積九百一十二萬九千三百二十九立方開之問邊得若干曰二百零九術別列積數為實從末位九下 作防向左隔二位 作?凡三防知商 有三位也防前無 實則實首九為零 數視立方籌內再 乘之數無九三格 二七過實用二格 八實之近少數也 即取二為方法為 初商九內減八存一以 共次?之實曰一一二 九為余實將初商二自 乘得四又三倍得十二 為平廉法取一號二號 兩籌列方籌左又將初 商二三倍得六為長廉 法取六號籌列方籌右 乃於立方與平廉共三籌 內之橫行數取其少於余實者為約數視籌內無近少數即第一格之一二○一亦多於余實之一一二九遇此則知商有○位矣竟於初商下作○以當次商而實數不動復開第三防之實一一二九三二九將初次兩商之二○【此作二十】自乘之得四○○【此作四百】又三倍之得一二○○【此作一千二百】為次平廉法乃取一號二號○號○號之四籌列方籌左而去次商所列之平廉兩籌又將初次兩商之二○【此作二十】三倍之得六○【此作六十】為次長廉法取六號○號兩籌列方籌右而去次商所列之長廉籌 乃於立方與次平廉共 五籌內之橫行數取其 少於余實者為約數至 第九格曰一○八○七 二九另列之向立方籌 右平行取九格之自乗 數八十一以乗次長廉 六○【此作六十】得四八六○ 【此八十一回六十也】進一位列約 余實之一　一二九三二九恰盡乃以約數之格數九爲二商也三次所商曰二曰○曰九是爲立方根二百零九也 通曰長亷籌止用其號數格內諸數皆無用卽不列籌而止列數亦可開方宜入少廣章因有此二籌故立式於此 數度衍卷四