生命存在與心靈境界 · 第十四章 觀照凌虛境——觀意義界（中）

五 數學中之美與數之意義與數之構造 上述人之文學藝術中之觀照境之形成，在人之能直觀一切類兼不類之性相。在音樂中人之能直感樂音之振動數之比例，即直觀其類兼不類，而最見藝術境界之連於數。然其他在建築、圖畫、雕刻中之形象之大小比例，亦莫不連於數。文學中一字之重複，與字句之長短、音節、韻律，亦莫不連於數。吾人於數之所以為數，亦即可連於文學藝術之觀照與審美中之類兼不類之義，以說之。 人所形成之數，初為次序加一於零所成之一二三四……自然數之系列。自此系列由加一而成看，則數之形成，乃在一歷時間之思想構造歷程中形成。人對已成之數，更次第加以應用之歷程，與可應用數於其上之客觀事物，次第為人所感覺，皆在一時間歷程中。故康德與今直覺派數學哲學，皆以數連於時間。然此數之形成之序，乃依一邏輯上理性上之先後，如必先一而後二。而數之應用之序，則可為主觀心理上任意之先後，如先用二，而後用一亦可。而事物被感覺之先後，更可顛倒，如可先感覺為二之物，後感覺為一之物。此三者之形成之時間次序，即彼此不同，而此中之數之是一者恆是一，是二者恆是二。此即見數之為類之意義，乃可貫通於不同之時間之序，而見其超時間之序的意義；亦見數之先後之序，可直依邏輯理性而說，為理性之序，乃可不連時間而說，亦可不連主觀心理與客觀事物之時間之序而說者；知此，已可使人於數之類，數之序，只視若內外無所附著之觀照心靈之所對，若凌虛而自在於一數之世界中者矣。 人依理性之序，而形成各類之數後；即可用之以定一類物中之個體物之數，吾人於依類成化境之論數，即以數之此義為中心而論。此為數之哲學之一面。數之哲學之另一面，則為關於不同類之數之如何次第構成，其次第構成之歷程之相類處不相類處何在，表數之關係之數學之公式如何形成，以使數之種種運算成為可能之問題者。在前一面之數之哲學中，以數之指個體物之意義為中心，故可論之於依類成化境。在後一面之數之哲學中，則初唯以種種數之如何構成，與其關係，為所觀，而於數亦不須連於人心中其他類概念，而有之指物的意義以說，則種種之數，只存於一觀照凌虛境矣。 於此觀照凌虛境中論數，更欲與上文之論美感之連於數之比例者，相銜接，吾當首說：人觀數所自有之相類兼不相類之情形，即可形成一美感，如西哲之普恩加賚、懷特海，所已言及；而數之自身，亦可說有美與不美，或不同意義之美與不美之別。自然數之系列，依加一而次第形成者，其中亦有同時可視為依數之相乘以形成者。此數之由相乘以成數，即各以其自身之數，為其他「數之類」之數。如三乘四，即謂有三個四之類，四乘三，即四個三之類。一切數之相乘所成之數，即類與類之相乘所成之數。由此「數之相乘所成之數」，亦為在自然數之系列中之數，則吾人既已有由加一以形成自然數之系列，更有由數之相乘所成之數之類之後，亦可合此加與乘二者，以觀自然數之系列之形成。則吾人可說：由加一於零以成一，為次序成數之始。而一乘一仍為一。再加一於此一，或加一於一乘一，皆成二。而以二乘一，或一乘二，亦只成二。於此二，再加一，則成三，更加一成四。然此四亦可視為二乘二所成，三可視為三乘一所成。於四加一成五，五亦可視為由二乘二加一所成。五加一成六，六亦可視為二乘二加二所成，或二乘三所成，……。則數由次第加一而成者，皆可說為乘數或加一於乘數之所成。此中凡可說數由乘而成之處，皆可說數為上述之類之類。然加一數於一數所成之數，則或只等於一乘其自身所成之數，或兼等於其他二數之相乘所成之數。此數之只等於以一乘其自身所成之數者，為素數，而其兼等於其他之數之相乘所成之數者，為非素數。一素數不等於其他之數相乘所成之數，即不與其他之數之乘積相類，而只自為一數之類，則其所涵之「類」之意義少。非素數則其自身為一類，又與其他數之乘積相等而相類，則其所涵之「類」之義多；而一數之愈能為不同之數之乘積者，其所涵之類之義愈多。當一數為不同數之乘積時，此不同之數，互不相同，而各為一類；然其乘積同，又為相類。故一數為不同數之乘積之涵義中，有此「不同數」之「不同類」，亦有「其乘積同為此數」之「同類」，而其涵義中，即兼有此「不同類」之義與「同類」之義。如十二為三與四之乘積，即三個四之類，或四個三之類，又為二與六之乘積，即二個六之類，六個二之類。則十二之涵義中，包涵其為三個四之類，與二個六之類等不同類之涵義。此二個六與三個四之乘積，又同為十二，而有同類之涵義。若吾人更自此「十二為二乘六」中之六而言，又可說六為二個三之類。於是此十二即為二個「二個三」之乘積。在十二以前之數中，唯十二能包涵此「為各種不同類之乘積」之不同類的意義。與「同為其乘積」之一同類的意義，吾人說一文學藝術境相中，所包涵之類兼不類之意義最多者，亦最堪為觀照心之所運之境，而其境亦可稱為更美。則十二之數，即可說為較以前之數，皆更堪為觀照心之所運，而為較其前之數為更美者也。 上說凡為他數之乘積之數，皆外與他數之乘積相類，而具更多之類的意義者，而於一乘積之數，加一數以使之成一素數，即只自為一類，而所具之類的意義即最少者，則素數似為最不堪為觀照心之所運，其自身若無美的意義者。凡素數皆由加一數於一為乘積之數所成。加一數於乘積之數，即可使其不復成為乘積之數，而只自成一類，更外無所類之素數。則此加一數於乘積之數，即一使外有所類之數，不成外有所類之數，以自成一類之原理。然此加一數於乘積之數，以新創一外無所類，自成一類之數，亦正為數之有不同之類之創造的原理，亦即數之世界之一創造之原理。有此加一數於乘積之數之事，以使不同類之素數，得次第創出，而皆如鶴立雞群於數之世界，亦同時為使數之世界之全體中，有更多之同為數者，而又不同其所以為數之意義者。此亦即使數之世界之全體，有更多之美者也。 吾人上謂在自然數之系列中，有兼為他數之乘積，而外有所類之數，亦有外無所類，自成一類之素數。凡為他數之乘積之數，即由他數之相乘而成，素數則必由加而成。然由加而成之素數，亦可減其所加，以成一為他數之乘積之數。而由他數相乘而成之數，亦可由減若干之數，以成素數；更可由觀其所自來之相乘之數，而除以其中之相乘之數之一個，或一個以上，以歸於一不可更除之素數。於是此一自然數之世界中之一切數，即可由此加減乘除，以互相轉化為素數與非素數，亦即互相轉化為外有所類之數，或外無所類而自成一類之數者。此數之可由加減乘除而相轉化，即合以形成數之世界中，相類者與不相類者之互成其類之一大美，而可供人之觀照心之加以觀照者。若萬物莫不有數，萬物之數莫不可由萬物之互相接觸感通而變化，亦由加減乘除其數，以相轉化；則此萬物中之一切變化，皆同有此可觀照之大美。凡萬物之一切形相與任何性相，有其類與不類之互相轉化之處，亦無不可本此觀照心，以見其有此大美。此整個之有數有類之相轉化之世界，即可全化為一觀照境，而見有天地之大美之無乎不在矣。 然此中吾人不擬更論萬物之形象等之類與不類之相轉化，唯擬更稍說人之數學的心靈之運於由加減乘除，以使數之類與不類，互相轉化，以見其不類而類，即一觀照心之所運之義。人之數學的心靈，初所形成之自然數之系列，原為正數之整數之系列。人由此自然數之系列，更構造出負數、分數、小數、乘方數、開方數、虛數、代數、函數、無理數等，皆與此正數之整數，為不同類之數。然此不同類之數，又皆實依於為正數之整數之自然數之系列，所構造出，而同為數之類。如所謂負數之構造出，吾人即可說乃原於自然數系列之數項中，後一項與其前之項之有一反關係。如二由一加一成，二對一之關係為多一。二於一所多之一，為正一。正一之數為正數。一對二之關係為少一，一對二即負一。此負一之數，即為負數。而此負一之數，亦即是本於此一對二之關係，為負一，所構造出。然吾人亦可說所謂正數，即對任何數之正面的加以肯定，而連此肯定，以觀此所肯定之數，之所成；負數即對任何數加以否定，而連此否定，以觀此所否定之數之所成。任何數皆有一負數，而全部之負數之數，與全部之正數之正數相等，以各成一類；而其相等，則又見其數之數為同類。是即正負數之間，互為不同類，而又同類也。 至於所謂分數，則異於吾人之自然數之為一整全之整數，而是由分一整數所構成。一整數之可分，則由整數之原可說為由合而成，即一之數，亦可說為合「一」與「零」或「一」乘「一」而成。合諸數以成一數，為合數類之數，以生一類之數。分一數以成諸數，則為由一類之數，以生多類之數。此分與合之事，不同其類，而合之方式與分之方式，則可互相對應，其方式之數又可相同，而同類。此中即見有合數與分數之不同類而同類。 至於有分子分母之分數式，則可說為表分子分母間之一種關係者。純自此關係看，亦可不問此分子式中之分子，是否可為分母所除盡。此分母之數，往除分子之數，只代表此分母之數之將此分子之數，視為一整個之數，而欲由之分出若干數之一活動。此一活動，則與對此分子再乘以此數，而合為一數之活動，為異類之活動。然吾人卻可說，凡以一分母除分子，所代表之數，如 ，即是再以m乘之，而等於n之數。而任何分數之為以一數除一數者，皆此中之除數之再化為乘數，而以之乘由此除所得之數，即成一原非分數之被除數者。於是一切分數，即皆可轉化為非分數之被除數，而見分數與非分數可由此轉化，而由不同類，以成為同類。 至於小數之所以為小數，原由整數之分為同等之單位而成。整數之所以可分為小數，則原由整數之諸單位合為一大數時，以大數之單位觀其所由合成之諸單位，即可視之為小數。如說百為十個十，即以十為一單位，而此十所由合成之整數，即皆可視為小數。因一大數之單位，可以其所由合成之諸單位，為其小數，則任何吾人初視為大數之一單位之整數，亦可類同此大數，而視為其諸更小之數之單位，即小數所合成。故此小數之形成，亦即無異本此大數之由較小單位合成之性質，以觀此較小單位之亦由其更小單位所合成而有。大數可更有其大數，而小數即亦可更有其小數，則此大數與小數雖不同，然其各有其更大之大數，亦各有其更小之小數，亦未嘗不同，而同為有其大數與小數之類之數。而大數之可由分而成小數，與小數之可由合而成大數，則見其不同類，而可由此分合，以轉化為同類。 至於所謂乘方數，則為乘數中特殊的一種，即數之自乘數。此乘方數之所以有特殊之地位，則在其乃由一類之數之自身乘其自身而成，而非由異類之數相乘而成。故其所由成之數之類，可稱為一純類。開方數之可開盡者，即皆見其為只包涵此純類之數者。乘方數與開方數不同類，而皆為依此方而立之類，亦可由開方或乘方，以互相轉化，而見其為同類者也。 此外，有所謂代數。此為以一數之符號如xy，代任何數之數。此乃由於一切數皆數之類，故可皆可以代數代之。然各數之類彼此不同，故有代數中之不同之項，以表其所代之數之類之不同。一切數學之演算，與代數之演算，則同在由對數之加減乘除，以知其可等於其他之數，亦即同在由加減乘除，以化出其他之數。而任何數之兩端，以等式連結者，皆表其兩端之數為同一值，即同一值之數之類。然除一數項之等於其自身之等式外，任何等式之兩端之數項，又皆初不同其類，唯有由分別在兩端中之加減乘除之運作，所合成之演算，得形成一數項等於其自身之等式，而見兩端之數項，初互不相同者，自始為同一值之數。在未有此演算之前，此兩端之數項，顯然不同，即互為不同類。唯由此演算，乃形成一數項等於其自身之等式，而見其為同一值之數。而為同類。是見此數學演算，即於不同類之數項，對之有加減乘除之運作，以見其等於何數，或與何數為同一值，而與之為同類之事。是亦即於不同類者，見其得歸於同類之事也。 至於數學中所謂函數，則為表一數之值之隨他數之值而變。他數可為一常項，其函數則恆為一變項。若以一常項與一變項相連，即有不定之函值。若以一定之函值，為一常項，則此常項，又可為：與諸不同變項相連之共同函值。由此而任何常項之數，皆可由其連於變項之數，而以不同之數，為其函值。而任何數，亦皆可為：諸不同變項所相連之共同函值。而此中凡有函值之相等，即皆有數之類之同。而凡有常項與變項之不同，皆有數之類之異，而函數之演算，即皆由數之類之不同，而見其同類之演算也。 此外，在數中又有所謂無理數。無理數即不為「一切分數之平方」之數，亦即不能以一數與他數之比例表示之數。凡數與他數有一定之比例，其平方根亦有一定之比例之數者；即可分別加以開方，而見其根有一定比例，而可以分數表其比例之數者。如4與9即可分別開方，見其根之比例為二比三，即4之根為9之根之 。一切凡可由開方，而得其根之比例者，皆可以分數表之。而一切分數之系列，即表示一數之系列，與另一數之系列，其一一項之平方根，有一定比例關係存在之系列。然除此一切可能的分數之系列之外，尚有不可以分數表示之數，即為無理數。此即一切數之平方根，與其他數之平方根不成比例者之數，如2、3、5之平方根之 數，彼此間即不成比例。然此類之數雖不成比例，然亦有大小之關係，如 小於 小於 ，有如分數之系列中之諸分數，有大小之關係。由此而一一無理數，亦應一一在分數之系列之一一項間，有其一定之地位。如 小於 大於 ，則其地位應在 與 間。於是，此無理數之依大小而成一系列之數，亦應與分數之依大小而或一系列之數，可合為一系列之數，以觀其關係。昔之數學家說此無理數之系列與分數之系列之關係者，恆視無理數之系列中之一一無理數，為諸有理數之分數之系列之極限。今之數學家則以唯於分數之系列之自身，可言極限。一一分數，皆可為其上段或下段之分數之系列之極限。數之系列之有極限者，即其數之系列，可說為有邊界（Boundary）者。一有理數之分數之系列，即其系列中之項，皆可為其上段下段之數之極限，而其數之系列皆有一邊界者。無理數之系列，則為無此所謂極限，亦無邊界，而與有理數同為數之系列者。緣此而人可論此無理數與有理數之不相類而相類之諸關係等。 然吾意欲論此有理數與無理數之類與不類之關係，不如追問至此無理數之所以產生之根源而論。此無理數之所以產生，唯以有開方開不盡之數。因開方開不盡，故其與其他開方開不盡或開得盡之數之一定比例，即不得而說。既無一定比例可說，亦自不能以分數表其與其他數比例關係。數中之所以有開方開不盡之數，而吾人又設定其有方根者，唯以吾人將開方之一數學的運作，亦加於其數而來。此又唯由吾人於一切數，皆同視為一數，數有可開方而有方根者，則任何數便似當同可視為有一方根者。然數中實有開方開不盡之數，則吾人亦實非必須定一切數，皆有其方根，更非必須設定其方根之有一定比例，而可以分數表之。此數中之有開方開不盡之數，可溯源於自然數系列之形成，其由加一於零次第形成者，固亦有同時為由數之相乘或數之自乘而成者，然加一於零次第形成之數，必加至某階段，乃出現一數，兼為由數之相乘而成者；數之由相乘而成，又不必為由數之自乘而成者。凡非由數之自乘而成之數，則初皆可視為一開方必開不盡之數。以其原非乘方之所成，開方即乘方之反關係故。如自然數之一二三，皆加一於零而成，不可徑說三由三乘一成，二由二乘一成，一由一乘一成，此必先預設有三二一故。唯加一於三成四，此四乃同時兼為二乘二，或二自乘之所成。又必加一於四成五，再加一於五成六，六乃兼為二乘三所成。更必加一於六成七，加一於七成八，加一於八成九，九乃兼可視為三乘三，或三自乘之所成。此中凡對一數加一，必繼續加至等於一數之階段，乃得一可兼視為二數相乘之數。如對二加一成三，三非二數相乘而成之數。對二必加一，再加一，即加二，乃得四，方兼為二與二之相乘之數。對三則必加一加一，再加一，即加三，乃得六，方兼為二與三之相乘之數。故由加一而成之數，兼為二數之相乘數者，即少於由加一而成之數之不為乘數者。至為二數之相乘數，而兼為自乘數者，則必待此二相乘數中之一，次第加一，至成一等於其自身之數，乃有一自乘數。如對三可乘以一，仍是三。乘以一加一，即乘以二，則是六。乘以一加一加一即乘以三，方為三之自乘數之九。故為二數之相乘數者，亦不必為自乘之乘方數。於一乘方數，如再加一而未至形成另一乘方數之時，則其所成之數，皆非乘方數，亦皆開方開不盡之數。凡對此等數，設定之為可開方者，則其方根皆為無理數。此開方開不盡之數，既有大小而成一系列，則其設定之方根，自亦可說有大小，而成一系列。然其方根間，則必不能有以確定分數表示之比例。因其原非由確定之數乘方而成之數，其方根自不能有確定比例也。由此以看此所設定為開方開不盡之數之方根，所成之無理數之系列，自為不同於分數比例數之為有理數，之另一種數之系列。而此數之系列之有大小，與其中之數之所以多於有理數之系列中之數，則純由其所自產生而為此方根之乘方之諸原數之有大小，而在此諸原數所在之系列中，為乘方之數者，本少於不為乘方之數者而來。此一無理數之系列之設定為有，唯由吾人之設定任何數皆可視為有方根之數，亦可視為由乘方之數之而來之故。此任何數之可視為一乘方之數，若更溯其本，即當說為由此不為乘方之數，皆原可視為一乘方之數，加某數而成，而其中亦包涵有一為數之乘方之意義在。故開方開不盡之數，亦可開之為「某數之乘方，再加另一開不盡之方根」，如六可開為 。依此以比較開方開不盡之數之方根之大小，而排之於一系列之中，則此系列中之數，即雖有次第之大小關係，而無比例關係，亦為不能以分數表其比例關係之數之系列矣。 總此上所說，以論無理數之系列，其所以產生之理，即根柢上只在數之系列中之數，有乘方數，亦有非乘方數，乘方數之可由加一數，成一非乘方數。此則更可追源於：由加而成之數，原非皆兼由乘或乘方而成者，而由乘而成之數，亦非必兼由自乘或乘方而成者。亦即由於同為數之類者，其數之「由加一以依序而成」之類者，非必為「由數之相乘或自乘而成」之數之類；而同由乘成之數之類，其由二不同之數相乘而成者，亦非必由自乘而成之數之類。此中唯數之為由自乘而成者，方為一可開方數，故可開方之數之少，不可開方之數多，而其多少，亦不相類也。 此外數中更有虛數，此虛數者，即為負數之平方根之數，如 之類。依正數之乘方為正數，負數之乘方亦為正數，而一正數之方根，可為正數或負數。一負數之方根，則既不能為正數，亦不能為負數，即為一想像中之虛數。然人之所以謂有此虛數，唯由吾人於正數既謂其可開方，負數與正數同為數，便應亦可開方。負數與正數之所以同為數者，以負數皆可說由正數而來。於任何正數，如吾人以之減其較大之數，即對此較大之數為負某數者，如2-3＝-1，則二對三為負一之數。負數既由正數來，以同為數，正數既可開方，負數亦應可開方。由此有虛數。如x 2 ＋1＝0則x 2 =-1而 。此所謂-1，若不對其他零以外之數而說，即直對零而為-1。此對零而為-1之數中之1，再設定為可開方者時，此1可說為1之正乘方數，而負一即負此一正乘方數。如一正乘方數可理解，則負此一正乘方數，亦可理解。此中所負者，乃正乘方數之1。此正乘方數之1，原可開方而得1，則此所負者，非不能自開方，而以1為其根。蓋此中之開方，原非對負號之自身而開方，乃對所負之數而開方。此所負之數，既自為正乘方數，則將此負號連上而成之數，即應亦為一可開方之數。而此-1之可開方，即與其他正數之可開方為相類，而只在其為負，與其他正數之為正不相類而已。然一切正數，既皆可視為對大於其數之他數，為一負數。則一切為正數之平方根之實數，與為負數之平方根之虛數，亦可互相轉換，以成一數學之演算，並於此演算之歷程，見其數值之在何情形為相等而相類，而實數與虛數，即相類而不相類，亦可由不相類而見其相類者矣。 六 數學與觀照凌虛境 吾人以上說數有種種不同之類，而此不同類之數，可於數學之演算曆程中，見其值之等於其他類之數之值，即在其同此值之一點上，見其相類。此乃一數學演算中，人所共知之一事實。人依公式而進行。數學之演算，皆可發現一數之等於「對其他數更加減乘除以其他之數，所成之數」。如數之有大小之差別者，皆可由加或減此中之差別，以化為二彼此相等之數值。凡對彼此相等之數值，加以移項，而使之自相減，莫不可等於零。一切數學公式，亦皆在「可成為一等值之公式，與可移項，而自相減，以見其等於零」一點上，以同屬於數學公式之類。則一切依數學公式而演算之事，皆是化數之不同類者，而使之成為等值，而同屬此等值之數之類，亦同屬於形成一等值公式之數之類，並同屬於可由移項，以見其可自相減，以等於零之類之事；即皆是化不同類之數為同類之數之事。吾人若本此一觀點，以看人之一切數之演算，與在數之演算曆程中之數之世界，則此整個之數之世界，即為一吾人由觀照數之關係，而依之以演算，以見其「不相類者，皆可化為相類，相類者皆由不相類者來」之一「無窮的，由不相類而相類。而相類者自其由不相類來處看，又不相類」，之一「類與不類、相與為類，而其相類者，又皆可由相減，以等於數之零」之一世界。於是一切數之演算之事，皆可說是「出沒升降於一零之世界中」之事。此零是數之世界中之零。數之世界中之零，有其特定之意義，但亦是「其中無任何數量之具體事物存在」之零，故零之義連於空類 [3] 。自零之中無任何數量之具體事物存在，而連於空類而言，此零即是「一切具體事物世界不存在於此」之表示。此零中，亦即有「此具體事物世界於此不存在，而為虛、為空」之一意義。則此零，不只為零之一數，數之世界中之一數；亦為有「具體事物存在於此為虛為空」之一意義，而為有「在一切具體事物世界之外之上之一虛一空」之一意義之零。若一切數之演算之事，皆可視為在零中升降出沒，則一切數之演算，即依於此零之有此具體事物世界，於此為「空」為「虛」之意義。若此人之一切知種種數，而為種種數之演算之事，皆依於人之觀照數之關係而有；則此一切知數，為數之演算之事，皆依於此一觀照而有；而由此一觀照而知數，為數之演算之事，亦皆凌於此「虛」此「空」之上，而皆屬於一觀照凌虛境中。吾人今依此數與其演算，皆屬於此觀照凌虛境而言，則數之世界不得說為只依存於一客觀的現實事物之世界，如經驗的實在論者之所說；亦不得說其屬一超現實之柏拉圖式的客觀世界，又不得說為純由人之主觀構造而成，復不得說為只是人依其對數之概念與名項符號之定義及若干公認之設定，依若干推演規則，而形成之符號系統；而唯當視為屬於此觀照凌虛境之一世界。 此數之世界之所以不得說為只依存於客觀現實事物之世界者，以數明非存在事物。吾人以數指物作判斷，亦不同於以對其他事物之所經驗性相之概念，作判斷。以任何其他之對事物所經驗性相，作判斷，於所判斷之事物自身之內容，即有所合，亦有所不合。合處此概念可用，而可形成真判斷、真命題；不合處則不可用，用之必成假判斷、假命題。然以數作判斷，則對事物之任何內容，皆可說有數。任一內容，總是一內容，則至少皆同可對之說「一」。若內容為二，則對之可說二。無論事物有多少內容，與其內容如何變，吾人皆可有數以說之。故數之可用，不依於事物之有何內容，只依於其有內容。用一數以判斷一事物之內容之數，固亦可假。然一數用之而得假者，人恆可轉而自行構造出他數而用之，以得真。然一經驗概念若用於一事物而假，則必待人本其繼起經驗，方有其他經驗概念之形成，可用之而得真。經驗概念不能由人自行構造。即此已足證明數之概念，不同於一般經驗概念，而自其可用於任何內容之事物，又不待此內容之經驗，即可容人自行構造言，即為先驗的概念。 由數可由人自行構造，而可用於有任何內容之事物，故當吾人以一數，判斷一事物之內容中之數時，此數之概念，可永不為一黏附於事物之概念。如吾人以一經驗概念判斷事物，此經驗概念可黏附於一事物，以其內容可即事物之屬性故。但吾人以一數如「二」判斷一事物，如謂一事物之數為二，則此二不為此中任一事物之屬性，而可只說此「二」為「此二事物」，與「其他亦為二之事物」之相類之處。故吾人於說二事物為二之後，可更以此「二」說其數為二之任何事物，而此「二」，即不能黏附於任何事物，以為事物之屬性。故當吾人提舉一數之概念如二之時，吾人可以此二觀待任何其數為二之事物之類，而用之；用之之後，亦恆有其可再用之地。其有可再用之地，而不實際上再用之，則此二，即只為人可憑之以觀一切其數為「二」之事物，而不觀此其數為二之「事物」本身之一「凌空的二」。此「凌空的二」，自是與一切為二事物之「二」，為同一之「二」，而此「一切為二之事物之二」，即皆為「凌空的二」所照及，而此中之事物，卻非此凌空的二之所觸及者。因吾人可只注意有此「凌空的二」，一切為二之事物之二，而不注意於此為二之一切事物故。由此而吾人之思一凌空的二，而觀之，即可形成：以此二，觀照一切為二之事物之二，而不觸，亦不著此中事物之觀照境，或方著之，亦即更透過之之觀照境。此即如人之專持二以觀物者，可於世界處處見有二物之相對之事，亦時時於以二說其所已見之二物之後，更提舉此二，以觀其外之物。而哲學中單純的二元論者， [4] 即時時以二觀任何物，亦不著於所已觀之一切物，恆能使此二不黏附於此已觀之物而透過之，更本之以觀其外之物者。人可有二元論之哲學，遇物即分之為二，亦可有三元、四元論之哲學。為四元論之哲學者，如邵康節，即嘗自言其見物，即分之為四片。此人之可只提舉一數，以觀一切物，而不著於物，即見此提舉一數之心靈，在一切物之上一層面。其不著物，而能觀物，而又能透過物，更提舉此數以觀他物；則見其所觀之物，對之恆為一透明之物，而其所正觀與可能觀之物，對之如恆在一遙相距之境，以似實而虛者。由此而吾人可說凡人之提舉一數，以如此觀世界之物，其心靈，在一觀照凌虛境。在此觀照凌虛境，人可自其所觀者，皆可透過而為透明，以說此世界中除此數之外，更無實物，而此世界亦為只有此數之一無實而自凌虛之一世界。吾人若欲以各種不同之數，觀此世界，此世界亦為只有此一切數而無實之世界，而整個之世界，即可化為似只充滿此一切數之一世界。此當為辟薩各拉斯等，以世界唯有數之哲學之真實的立根之處。 人之只以數觀世界者，世界雖無實，然當人自反觀其以數觀世界時，則初必以此數為實。吾人可本種種數，以觀世界，則此種種數皆實。由此而可形成一柏拉圖式之以數之世界為超現實事物之世界，而自為一超越實在世界之思想。 此種數之世界之為一超越的實在世界之思想之根據，在人雖可由構造而生數，如由次第加一於零而成二三等，然此人所構造之數既成之後，人立即可發見其各是其自身，亦可發現其間有種種之必然一定之關係，非吾人構造之之時所見及者。如人由加一成二、加二成三之時，人未必思及三多於一者為二。然既有一與三，人即可發見三對一，有多二之關係。故一自然數之系列，雖皆可只由加一於零，以次第形成，而自然數之系列中數之關係，則有無窮之複雜，非人構造此系列時之所知者。此諸關係，皆必然而一定，非任何人之思想所能自由加以改變，而任何人又皆可發現同樣之關係，即又似必須謂此諸關係，為客觀的存有於數之世界之關係。本此以觀人初之由加一於零，而次第形成自然數之系列之事，即亦可只視為人之由加一於零而次第發現數之事，而此自然數之系列，亦即可視為原是客觀的存有者矣。 由數與數間之有客觀的必然關係，即可見數純為主觀之自由構造之說之不能立。然數與數間之必然之關係，又唯次第見於一切能知有數之人心，次第發現之之歷程中，則又實不能離此人心之次第之發現活動，而有其自身之存在。其為客觀，亦唯對一切人之心或與此人心同類之心，而為客觀，則亦不能離此一切人之心及與人心同類之心，而自為客觀。若其為客觀只是對此心為客觀，即非實有一獨立自存之客觀時數的世界。此獨立的數的世界，不能為實有，可說在此所謂數的世界中諸數間，其關係，若非相等之關係者，皆有一互為對反之關係。上文說：凡數之有相等之關係，皆可由移項而使相減，以等於零。凡有相等關係之數，亦有此相減而等於零之關係，由此零以觀一切相等之數，所合成之數的世界，即可說有無窮之數，亦可說此無窮之數合為一零。此零固亦是數。然零有「具體事物世界於此中不存」之義，亦有「其餘一切數所合成之數之世界於此不存」之義。今若只有此一零之數在數之世界中，並不能必然建立數之世界之實有，以零中亦有一切數於此不存，而非實有之義故。至於數之關係非相等之關係，而有互為對反之關係者，人亦可依此對反關係從事相反之演算，以消除其中之數，亦消除其中關係，以使之隱而不見，乃更不得肯定其中之數之為實有。所謂數之世界中諸數之關係，本身有互為對反之關係者，即如甲數大於乙數，甲對乙有大於之關係，而乙對甲，則有小於之關係。此大於與小於，即相對反之關係。又如二於五有小三之關係，五於三有多二之關係。此二關係亦相對反。由此而人在一數之世界中，可由一數，循其一關係，以思及他數，而呈現他數，以說他數之實有者，皆可再循其反關係，以消除此數，更不見有此數，使人不得更說此數之實有。如吾於由二而說實有一「對之有多三之關係」之五之後，吾即可於五再減三，以消除此五中所涵之三，以成二，而於其成二之時，此五中之三既消除，而五非五，亦非實有，則五對二之有多三之關係，即亦消除，而非實有。凡數與數有某關係，而此關係非相等之關係者，即有一對反關係。凡一關係有其對反關係，皆啟示一足以消除此關係之演算方式，使此關係隱而不見。則透過數學之演算，以論數之關係，即皆為可於其呈現時，被肯定為實有，而在其由演算以隱而不見時，不再被肯定為實有者。今若去此數與數之關係，而唯存一一之數，而由一一數之各自等於其自身，即可各自減其自身，以等於零，而亦被消除，則亦不得謂為實有。由此而謂數與數之關係所合成之數之世界，為超越的實有，或客觀的獨立自存者，即可說而又不可說。合此可說與不可說，仍為不可說。而數之世界為超越的實在世界之論，即不能成立。 由此上之數之世界依於一般客觀存在事物而有、與純由主觀自由構造而有、及自為超越的實在世界之說，皆不能立；於是有謂數與其關係及數之演算，乃本於人對若干數之概念或數之名項符號之定義、若干數學公理之設定，依若干邏輯之推演規則，以形成之符號系統之說。此說以數學純為符號系統，實即由對數學符號之「種類之同異」與「安排組織之次序」之覺識，以形成有關數之種類、次序等概念，亦實非無概念；而言數學之概念之種類、次序，亦必以符號種類之同異、次序等表示。故言數學之基本概念，與言其基本名項符號，實無大分別。此諸說之一共同之點，即數學中之命題之真者，皆人對所謂數之名項之意義關係，先以定義、公理，加以界定或規定，更依運用此名項與公理之規則，加以運用而成。此諸命題之意義，即皆不出吾人先所界定規定之諸名項、公理、規則等所本涵有之意義之外。此數學命題之意義，即皆為自其本涵有之意義中，分析而出者。此中所關聯之根本問題，則為數學命題之畢竟為分析的或綜合的。 此一數學命題之難稱為一綜合命題，在其非經驗命題。經驗為次第綜合者，故吾人可加一對事物之經驗內容，於對其他事物之經驗內容，而成一綜合命題，以對此綜合之經驗為真。數學之命題，非經驗命題，則不能由綜合人對事物之內容之經驗而形成，自亦非經驗的綜合命題。在數學命題中，若設定一數為一主詞，則其賓詞，為說其如何關係於其他之數項者。此如何關係於其他之數項，只須對此為主詞之數項為真。若此主詞自身之涵義中，無此賓詞之涵義，則此賓詞不得對主詞為真。此即見一數學命題，似必須為一分析的命題。如說三大於二，則此大於二之意義，似必須為三自身之所具，而可由「三」之意義中分析而出者。然數之自身，若說為由構造而形成，又可說為由次第加一，更綜合之於以前之數所形成，而非只由分析其前之數之所成者；則由數而次第形成之數學命題，亦必有非由其先之數所合成之數學命題中，所可分析出者，而為不斷增加於以前所有之數學命題之上，而綜合地形成者。康德即依數之由不斷綜合而成，以說數學命題為先經驗之綜合命題者。然此所謂先經驗之綜合命題，在現代數學家則由其可以證明，而其證明之之道，不外本之於吾人先承認之數之定義與運用此定義之規則等，而謂其亦是分析命題。如二加二等於四，即可本來布尼茲之意，謂可由吾人對二與四之定義，加以證明。如由四之定義為三加一，三之定義為二加一，並依三加一之三，可以二加一代替之之規則；則四為二加一加一。而二之定義正為此一加一；更依二可代此一加一之規則，而四為二加二，再依移項之規則，而二加二為四。康德所舉之七加五等於十二，亦可由此類似之方法以證明。凡數學命題之真者，應可證明，凡可證明者，必有為其前提之數學命題，而此前題之所由構成之數之概念或名項，必有定義，與為前題之前提之第一前提，是為公理。此定義本身，亦可視為一前題，而以定義公理為前提以推結論，必有推論之規則，亦即運用此定義公理之規則。則一切數學命題可證為真之根據，只在數之概念或名項，有如何如何之定義，與其最初設定之公理為何，運用定義公理或推論規則為何，而此等等皆可由追溯數學命題之如何次第證明，而加以發現者。由此而一切數學命題，亦即皆可由此以發見其中之數之原始定義，與所設定之原始公理及規則，而今更由定義、公理與規則，以推演出其涵義，即可更形成此一切命題。則此一切命題，自當為由此定義、公理、規則，所演繹出來之分析命題。 此上之一說，乃由諸可證明，或已證明為真之數學命題，再返溯其如何次第證明而成立之說。然於此首須知吾人並非必須先知有數學命題，而可先只知有數，更由對數之關係之發見，始建立一數學命題。此由數與其關係以建立數學命題，則明可為一綜合的歷程。如吾人於七加五等於十二加以證明時，固可說其為分析的。然吾人先只知有七，而說其加五，乃等於十二，則此明是於吾人先所知之七之意義上，加一意義，此豈不可說為綜合的?由此以觀吾人之於二說其為加二等於四者，於三說其為大於二者，亦同是一綜合的歷程。其次，復當知吾人亦非必須於數學命題被證明為真之後，然後方思得一數學命題為真，或方思得一數學命題與另一數學命題之同時為真。吾人之由思一數學命題為真，更思另一數學命題之亦為真時，此中之思想歷程，亦可只為綜合的，而非分析的。譬如吾人謂二等於四減二，二等於六減四，此二命題同時為真。然此二命題，初不能互分析出。因「四減二」與「六減四」，乃不同之概念。於此二命題初同時為真，吾人亦初不必本數學中公理法，如由六、四、二等之定義及其他數學規則等，加以證明，然後知之。吾人所以知此二命題之同時為真，可唯以吾人於六有減四之運作，及於四有減二之運作，皆見其結果為二；以知之。吾人於是可由其一之真，以推另一之真，謂六減四等於四減二。此純為邏輯之推論，亦為純分析的推論。因此同時為真之義中，即有六減四等於四減二之義故。但在吾人未說其同時為真之前，而由四減二等於二，思及六減四等於二之時，則由四減二之思想歷程，至於六減四之思想歷程，卻必為綜合的。唯對六有減四之運作或演算，與對四有減二之運作與演算後，其結果皆是二，二等於二，由二可分析出二；而後吾人可說六減四等於四減二，而此六減四之等於四減二，乃可說是分析的。由此以觀此整個之由六減四至四減二，至知其皆等於二，二等於二之一歷程，即為先有綜合後有分析之一歷程，不能說其只為一分析的歷程。在知其為分析的時，可說於「六減四」等於「四減二」，有證明；在未知其為分析的時，則無證明。然在無證明之時，「六減四」與「四減二」，已有同一之數值，「六減四等於四減二」已為真。此中吾人之由「六減四」，思及「四減二」，即綜合的思有同一之數值之「二種數之連結關係」。此「六減四」與「四減二」之二種數之連結關係，並不同類。然依此二種數之連結關係，以有二分別的演算之後，知其數值皆為二，二等於二，則為同類。而此一整個之歷程，即是由先思其中之「六減四」與「四減二」之不同類，更由演算以見其值之同類之歷程也。 循此上之說，以觀數學之命題之次第出現於人心，即不能說其自始即是出現為一分析命題，而可出現為同時並真之諸命題。吾人之由一命題，以思與之並真之其他命題，其數可無定限。如吾人可由「四減二」，而知其與「六減四」、「八減六」、「一加一」、「四之平方根」、「八之立方根」……等，其數值皆是二，而人說此等等之值為二之諸數學命題，即同時並真。而此「二」即分別為此諸數學命題得同時並真之共同根據。然吾人於此，卻不必先有其證明。此證明，初唯由吾人之先回思：此二為一加一所構成，四為二加一加一所構成，此六為四加一加一所構成，四又同為二之乘方所構成，八為二之立方所構成；既知此不同之構成數之方式，可有種種不同數之出現，與不同數之諸關係之出現；更逆此構成之歷程，而由此諸關係，各觀其反關係，更順此諸反關係而演算，方可知：四減二、六減四、四之開方、八之開立方，皆等於二，遂可謂「說此等等之值為二」之諸數學命題皆真。此不同之構成數之方式，為綜合的。則逆此中之構成歷程，而由其中之關係，見其反關係，而有之不同之演算方式，皆為綜合的。今吾人構成數之方式，若再加一個，則演算之方式，亦可再加一個。若對吾人之綜合的構成數之方式，不能加以限定，則對所增加演算之方式，亦不能加以限定。在綜合的構成數之方式有限定處，吾人可反省出其如何構成，而知其構成之規則與基本的概念或名項之定義、基本的公理，則此所構成之一切數，與數學命題，皆可以此規則概念公理等，加以證明。凡用不同方式構成之種種數，若吾人能分別知其規則、概念名項之定義、公理，則可知其規則、概念、名項之定義、公理，之是否相類，並知此所構成之種種數，當如何加以演算，方可有共同之值；而後人於說其值之共同與否之命題，乃皆可加以證明，並證明其為由此諸公理、概念、名項之定義、規則中所可分析出者。此即數學中之公理法之所以可用。凡用公理法所證明之數學命題，亦皆可說為分析的。然一切公理法所設定之公理，必為有特定內容者，其涵義亦為有特定內容，而有其所不涵之義與排斥之義者。則此一定之公理等，所能推出之全部數學命題之系統，即仍為限於一定範圍，而對此範圍外之命題，則不能有所說者。若欲有所說，則須本於此公理等原所不涵之義及排斥之義，而造成系統內之矛盾。吾人即不能用此公理法，以謂任何由公理法所決定之系統之外，無其他真的數學命題。實則，自人之綜合的構成數之方式，可無限定，其演算之方式，亦可無限定處看，則其次第依加一而構成之數之「數的關係」，而增加之演算方式，所成之數學公式、數學命題，即只能為一次第之綜合的歷程。而此中次第構成之數學公式、數學命題，亦即必有具數學的真理，而非先根據已有公理等，加以推演出或加以證明；而唯是由人之直觀一數學關係之存有而構成，亦唯由人依之而演算之結果，為某一數值，而後知此公式命題之對此值為真者。數學之世界之所以可有不斷之創造性的發現，恆正賴於此。如人由知二等於一加一，至知二為四之平方根與八之立方根，即對數之真理多一創造性的發現，多一綜合性之思維。凡知一數為與其他數有某一關係之數，至知此同一之數又為一與其他一數，有另一關係之數，而知分別由其不同關係，以形成真的數學命題，皆是對數之真理之創造性所發見，或一綜合性之思維也。 吾人若了解吾人對一數與其他數之關係之外，更可由綜合的思維，以創造地發見此同一之數與另一數之另一關係，則此同一之數所有之此二關係，即不同類，而二關係中皆有此數，則為同類。數學中之創造的發見，即皆為由同類之數，以發見其不同類之關係，而由不同類之關係中，發見有同類之數之事。人在數學中，恆有隻見關係之不同類，而不知其有同類之數之情形，亦有見同類之數，而不知其可入於與他數之不同類之關係之情形。故人恆於此持舉某一數，而問：其與在何種之不同關係下之某其他數，可經由某一之演算方式，以見其為同類，而等待此不同關係下之其他數之呈現於人心。此正有類似於人之對現實事物，虛舉虛持一數，以等待可用此數於其上之現實事物，而不知此事物之情形。但又略不同。此乃是虛舉虛持一數，以等待其可能與之成為同類之某其他數，而不知此數為何之情形。此即形成一數學中之問題之情形。如吾人問：任何偶數，是否皆可分為二素數之和?此一數學之問題，即問任何偶數，是否皆有二素數之和，與之同值，而在有此同值上，與之為同類。又如問：是否有一奇數為一完全數（Perfect Number?）所謂完全數，即數為其一切除數之和者。如六之除數有一、二、三，而六為一、二、三之數之和，故六為完全數。又二十八之除數，有一、二、四、七、十四，而二十八亦適為此諸數之和。故二十八為一完全數。然二十八是偶數。 [5] 今問是否有一奇數，亦為一完全數?則初為人所不知，而亦只為一數學之問題。然此問題，亦即問：除偶數之為之完全數者之外，是否有奇數亦為完全數，而與偶數之為完全數者，為同類?凡此問一類之數，是否其外更有與之相類之數，皆為只直接分析此一類之數之意義，所不能加以答覆，而必待人之求於其外之綜合性的思維者也。 吾人以上之論數學，在根本義上實極簡單，即人若純自其數學命題已證明者上看，則對此一切已證明之數學命題之如何證明，加以反省，人皆可為之造一公理系統；而以此一切命題，皆本此諸公理、概念或符號之定義與推論原則，所演繹出之分析命題。但以數學中之命題，有未被證明而仍為真者。而人之知其為真之時，亦初非必然已有其證明者。則數學之命題，不能說為皆由此公理法，所已決定其真或假，亦非可只視之為由公理、概念符號之定義等所演繹出之分析命題。而當自吾人之可由一真數學命題，以更求知與之同為真、非由之直接推出者之命題，即見此數學中真命題之次第發見，依於一綜合性的思維，亦不斷有綜合的真命題之形成者。至於人在數學之思維中，於一真命題，更求其證明之事，亦即不外求得與此一真命題同時為真之其他命題之結合，以見其有同一之真值，而在有同一之真值上為同類之事。今克就一真命題得證明之處以觀，則凡得證明之命題，即皆如由為其前提之原始之公理等演繹出之分析命題者。於是此數學之心靈之由知數學之諸真理，更求其證明之歷程，即為一「由綜合不同類之命題，更求見其為同類，而為可互相分析而出之命題」之歷程，而其所運之境，即為以綜合與分析，交相為用，以於數學命題之不類者中，觀照其相類者而成之境。而對此境中之命題，若只以之為綜合命題，由直觀而得，與只以之為分析命題，由邏輯之推演而出，或於其中只見有一一不相類之命題，與一一皆為同類之命題，即皆為一偏之論，而未見此數學命題之世界，為觀照心所運之不類而類之境者也。 七 幾何學與觀照凌虛境 幾何學別於數學。數學之基礎在一般之自然數，幾何學之基礎在一般之形量。形量有範圍，即有區域，區域之方向，為形向。人之知構造自然數之系列，更於一一時間之段落地位中，應用一一數於所經驗之事物，與此事物之次第生起，皆是在一次第之時間歷程中。人之知一物有形量，除於時間中知之外，更可同時直觀一形量之全體，於空間之某一地位之中。然數之構造與應用，在時間歷程中，無礙於此所構造出之數，可遍用於一切時間空間中呈現之事物，而有其超時間亦超空間的普遍意義，以為人之觀照心之直接所對，而不見「數」之在時空；亦如人之直覺一形量之全體，初乃於空間之某一地位中直覺之，無礙於此所直覺之形量，可遍用於一切空間時間中呈現之事物，而有超空間，亦超時間之普遍意義，以為人之觀照心之直接所對，而不見此形量之在某時空。幾何學之不能說只為一空間之學，亦如數學之不能說為一時間之學，而當說為：由物在空間中鄰次呈現，而人知構造種種形量，將此種種形量，自物與空間游離脫開，而四無依傍，以更觀照形量間之關係之學。如數學之為由事物在時間相繼呈現，而人知構造種種數，將此種種數，自事物與時間游離脫開，而觀照數與數關係之學。故此中之觀照心，皆在時空之上一層位運行，亦皆在吾人所謂感覺互攝境之上一層位運行，其應用此所知之數之關係與形量關係，於時空中之事物，則為其居上層位，以通至其下層位中事物之事。吾人固不可以有此事，而自下觀上，以謂數學、幾何學為時空之學，然亦不礙吾人之說此數學幾何學之觀照心靈，乃依時序、空位等，以形成其觀照之所對，而更觀照其關係所成之學也。 在人觀照形量關係時，此形量之大小關係，似與數之多少關係相類。形量之可伸縮，如數之可加減；形量之可分合，如數之可乘除；形量之可相等，亦如數之可相等。形量之有其大小相等之關係，可容人知其關係，以定出幾何公式、幾何學命題，而可本之以對形量有伸縮分合之運作，以化一形量為另一形量；亦如數間之有多少相等之關係，以定出數學公式、數學命題，而可本之以對數有加減乘除之運作，以化一數為另一數。任何形量自身，至少可說是一形量；則此數之一，即可用於形量。由此而吾人如對一有大小之形量，設定另一形量為一單位，而以之計算此形量中所包涵之諸單位，即其中所包涵之諸一；則一形量之大小，即皆可以數之多少，加以表示。然任一形量中所涵之單位形量，又皆可伸縮，而變大變小，則當此單位變更之時，吾人以較少之數說之者，皆可以較多之數說之，以較多之數說之者，亦可以較少之數說之。由形量之單位之大小可伸縮，則對任一形量，皆可設定一單位，以計量之，使此形量等於一定數之某單位。任何一定之數，亦皆可由人所設定之形量單位之伸縮，而成一可以應用於任一形量之數，而任一形量，即皆可分為任何數之諸形量單位。如一形量等於一，此一形量，同時可以任何數除此一，所成之分數，表其一單位之量；而此一形量，即等於此諸單位之量之和，亦即等於再以此分數中之分母，乘此分數所成之乘積。由此而吾人可說任一形量，皆可以任何數計量之，而應用任何數以說之。此中之任何數，各為一定數，而彼此不同類。然在其可應用於一形量處，則又為同類。在單位不同之情形下，以一數分別用於不同之形量，而見此不同形量，皆可以此數計量之，而應用於其上以說之之時；則此諸形量，在形量上為不同類，而在其可以此數說之之時，即亦為同類。由此形量與數之交相為用，而一形量，即可化一切不同類之數，為同表此一形量之數之類；一數，亦可化一切不同類之形量，為同可以此一數表之形量之類。形量與數，即互為一「使不類者表現為相類者，亦使相類者表現為不相類者」，而「使類者兼為不類，不類者兼為類」之一原理。若有數而無形量，或有形量而無數；則一切數雖可由其自身之加減乘除，以由不類而類，然卻不能有此由一切數之同可用以表一形量，所看出之一切數為同類；形量自身雖可由分合伸縮而成同類，亦無此由一數之可用於一切形量，所看出之一切形量之為同類。故此數與形量之交相為用，即在天地間增加一於不類見類，使類表現於不類之原理者也。 形量雖皆有數，數亦皆可用於形量，以有「形量之數」之概念；然形量之概念本身，畢竟與數之概念不同其類。數以多少關係為本，形量以大小關係為本。人說多少時，可進而知多者大，少者小，此乃化數為量之後之事。如不化數為量，不說此多者大與少者小亦可。人說大小時，亦可進而知大者多，小者少。此乃以數定量之後之事。若不以數定量，則不說此大者多，小者少亦可。人於一形量，設定一更小之單位，計其單位之數，而以數定量，乃是於一整體無內在分別之形量，造成一分別。則反之，而忘此中之單位之數，還只觀之為一量，即由分別，再至無分別。故於大小說多少，即將無內在之數之分別之一大一小者之中，更起一數之分別；將多少化為大小，即將有內在之數之分別之一多一少者，化為無此數之分別者。形量不以數定之時，雖無內在分別，然一一形量之大小不同，仍有此大小所成之外在之分別。此大小等分別，在不憑數以設想之之時，即只為大者能包涵小，亦能掩蓋小者，而小者不能包涵大者，掩蓋大者之別。二物之大小之量，能互相包涵，亦互相掩蓋者，則稱為有同大同小之量或等量者。此形量，在不以數加以分別時，仍可自有其大小等之分別，即見數之分別，為人所泯除之時，形量之分別，仍不可泯除。人超越數之世界之分別之後，仍有一形量之分別所呈之世界分別在。在此義上，則形量之分別，乃較數之分別，為高一層次之分別，而更難於加以超越者。人之欲超越此形量之分別，若只取化形量為數之途，則為落到下一層之數學的幾何學或量度的幾何學之思想。純由形量自身看其分別如何可由形量之伸縮分合，而成為等量，以通貫各不同之形量，而於其分別中見無分別，則為純粹之幾何學或描述之幾何學，與投影之幾何學之思想。此形量之世界之可視為上一層位之世界，更可由以數定量之量度幾何學中，恆發現有不能以確定之有理數計之形量而說。如直角三角形之勾方加股方等於弦方。此中如設定弦方之量為四，勾方股方之量各為二。則勾股之邊之長，不能以有理數計量，只能說其為 之無理數。此無理數所規定之量，則為不能確定的計算出者，此中之勾股之邊，自各是一形量。其形量之乘方之和等於弦方。此乃一形量自身間之相等之關係，而可由幾何學以證明其必然如此者。此中，若吾人根本不欲以數定勾股二邊之長，則無此無理數之出現。吾人若分別就勾或股之量，可以任何之數定之而觀，亦非必以無理數定其邊之長。如吾人亦可設定勾股之邊之長各為二，則二為有理數。然當吾人以勾股邊之長為二時，勾方股方各為四，則弦方為八，而弦之長為8，又為無理數。人仍不能逃此一無理數之應用。此則由於在數之世界中，一數之乘方加另一數之乘方之和，不必為一確定的有理數之乘方，而此和，即無確定的有理數，為其方根；而一數之有有理數為方根者，再視之為二數之和，此二數亦不必皆有有理數為其方根之故。此乃由數之構造之原理，原非皆本於數之自乘之乘方之原理而構成，而兼依於加一數於一數或二數相乘而構成，即不能無此無理數之故。此可參考上節所說。然此無理數在數之世界中，亦有其一大小之關係。故人亦可以不同之無理數，表示不同之大小之量。故勾股之量為以 表之者，其量乃小於以 表之者。然過此以往，則無理數畢竟不能以之定一形量中之單位之數，而對人之定單位之數之目標，乃無所用者也。 此無理數，雖不能用以定一形量中之單位之數，然任何形量，可以無理數表示者，亦皆可變換其定量之單位，以有理數表示之，而可見此以無理數表示者，之等值於一以不同之單位定量，而以有理數表示之量。則數之世界中，雖有無理數，而量之世界中，則無一量之自身，可稱為屬於一無理數之無理量。純自量之世界看，則一切量若不以無理數或有理數表示，其自身間，自仍有其大小或相等之關係，可由其量之相包涵與否之關係，而直接加以規定者。此即見量之世界，如浮升於數之世界之上一層位，而獨立存在，以為一純粹之幾何學或投影幾何學之所對。 此純粹之幾何學，可只以觀種種形量之大小相等之關係為事，而構造出純粹之形量概念，如點、線、面、體、三角形、圓形、方形、球形、立方體等，而見其相互之包涵與否等關係。依此等關係，對形量加以伸縮分合之幾何學之運作，則為使各不同之形量，由不相類化為相類，由有分別以成無分別；或由相類而化為不相類，以由無分別而有分別；以使「一切形量出入於類與不類，分別與無分別之間，亦使一切不類而相分別者，皆由一無分別而相類之中而出，再還入其中」之樞紐。此正如在數學中之加減乘除之運作，為使一切數化為等值，更可由移項而相減，以等於零，而於此零中出入之樞紐。依此對形量之伸縮分合，以看一幾何學心靈所運行之世界，即亦可說為一觀照之境，而非可視同現實存在事物之境，亦非純為人之主觀自由構造之境，復非自為一超越的實在之境，再非只為一由幾何學之概念或名項之定義公理，或推論規則，所合成之一幾何學的公理法，所演繹出之一幾何學的分析命題之系統矣。 此幾何學心靈運行之境，非可視同現實存在事物之境，可證之於幾何學中之形量，皆可用於任何現實事物，或無現實事物之處。人亦可思一形量，而虛提虛舉此形量，以觀照一切具此形量之事物，以至形成一以此形量之概念，觀整個宇宙之哲學，如以直線進行或圓周進行觀宇宙之哲學；而幾何學中之概念內容，更明非必現實事物之所實有。幾何學中之點線面體之概念，可純由吾人之幾何學的心靈，由任一設定之有量之形為起點，而依一定規則，向不同方向之空間伸展或縮進而形成。如由一點直向一方向前伸，而成直線；環繞而成圓，再將一直線向另一方向，平等橫伸成面；縱伸此面成體，再縮此體成面，縮面成線，縮線成點。此皆人之所不難設想而理解之構成幾何學概念之歷程也。 然人之先膠執於現實事物之形量，以觀此諸幾何學概念之形成者，恆欲於現實事物之形量中，求此諸概念如何自其所觀得之現實事物之形量中，次第抽象構造而出，則可有種種之問題。如先謂現實事物，皆是一有形體者，則面線點皆只是由形體中抽象而出者。然人如何可由一有體之形體，抽象出一無體之面、無寬之線、無長之點?自有體之形體之物抽出者，豈不可仍只有一有形體者?又吾人如何可想像無體之面、無寬之線、無長之點之存有，亦是問題。於是有哲學家謂此純面線點，只是一極限之概念。此一極限處之面線點等，只是吾人可次第向之接近，而永不能接觸者。如數學中之謂在有無窮次序之實數之全部系列之中，無論吾人如何向其極限進行，以求一與此極限之數差別更小之數，總有一與此極限之數，差別更小之正數。如前一數在此數之系列中之次序，可以N表之，即總有大於N之n次序之數，其與此極限之數之差別更小者。由此而人可說：對任一無論如何小的為正數之實數E言，皆有一大於此一正數之次序之整數N之次序n之實數，屬於此系列之一項，可名為a n 者，其與極限之數之差別，更小於此E者，為極限之定義 [6] 。由此而人可說，面是吾人在體之一度量上，次第縮減，所輻輳之一極限，線或點為在其二度量，或三度量上次第縮減之一極限，而實皆永不能達之一極限，即皆唯是一虛構，以表此諸極限者。在實際世界中，固無無高之面，無無高與寬之線，亦無無長寬高之點也。然此說唯由人之必由有形體之現實事物之思維，以理解此幾何學中之概念而形成。其意唯在對此諸概念，由其與現實事物之形體之關係處而了解。故轉使人覺多曲折而難於了解。實則此諸概念，皆可循上文所提及之意，謂由人之幾何學的心靈，以任一形量為一運動之始點，以形成。此任一形量為一運動之始點，即是點。其向一方向而伸，即成一直線，再將此直線，向另一或二方向而伸，即成面、成體；可伸者，即可縮，而再復其原。則體自可縮為面、為線、為點，而此點即原初之伸之始點。此始點，初可正為一有形量之物。然此中之線面體等，乃依於人之以此有形量之物，向一方向或二方向或三方向，而伸之所成，則初不關此有形量之物之自身。此中之線、面、體，即所以表此伸之為向一方向，或二或三方向等，而非表此為始點之有形量之物。則其由伸而縮，所縮者亦是此諸方向之伸，而縮回至一點，無向任何方向之伸，即無向任何方向伸而成之長寬高之量，而只有無長寬高之量之無量之量。此一點之無量之量，可稱為一量，如零數之可稱為一數。此一點之量之可稱為無一切量，亦如零數之可說為其中無一切數。吾人之理解零之數，乃透過其中無其他數而理解，吾人之理解點之量，亦透過其中無其他形量而理解。然若自始無數之成，更觀其被減而消除，則亦無零。若自始無形量之伸，而更觀其被縮而消除，亦無長高寬之量之點。在此義上，零即為通過數，而消除數之數，而無數者，點即為通過形量，而消除形量之量，而無量者。故吾人可由零以觀照其所以成零之故，在數之被消除；亦如吾人之可由點以觀照其所以成點之故，在形量之被消除。零可為觀一切數之相消除之一觀點，如點之可為觀一切形量之相消除之一觀點。以零定事物之數，則事物之為零類者，非事物；以點定事物之量，則事物之只為一點者，亦非事物。存在之事物之量之不得為點，亦如存在之事物之數，不得為零。此亦同時證明此點與零之非具體事物，而只存於觀照此零與點，或以之為觀點，以觀一切形量與數之相消除之心靈中者也。 此幾何學中之概念如點線面體等，固由人心之構造而出。然既構造出，其間又有一定之必然關係，為一切人心或有心能觀照之者，所同可次第知者。此必然關係，即有其客觀意義。故人之循此點線面體之關係，有此客觀必然意義看時，即可視此點線面體與其關係，合成一超越實在的形量關係之世界。然此說之不能立，亦正如數學中之超越實在論之不能立。因此點線面體與其關係，可為有心而能觀照之者，所共次第知，而對之為客觀必然，並不能證明其能離此次第知之之心靈，而獨立為實在。其客觀必然，亦唯對此知之之心靈之主體，為客觀必然。至於其所以不能自成一客觀實在之形量關係之世界之故，亦可自此中之形量關係，其非相等者，必有一互為對反關係相等者，則可互相包涵，亦互相掩蓋，而相消除處說。蓋凡有互為對反之關係之形量，人皆可循其一關係之反關係，對之加以伸縮分合，而還至一形量，以消除其與他形量之此關係。任一形量與其自身之形量相等者，則皆可以其自身之量減其自身之量，而使之成無量之一點。此正如數之不相等者，必有反關係，其相等者可由相等而相減以等於零。一數與他數有對反關係者，皆可循此反關係，以對他數加減乘除，以還至一數之自身；更以此數自減其自身，以等於零。零可說為數而無數者，點可說為量而無量者。無數，則無數之關係之獨立實在，無量，則亦無一切量之關係之獨立實在，而皆不可自成為一超越的客觀實在矣。 複次，幾何學亦不可只視為本幾何學之概念、名項之定義、公理、推論規則，所成之公理法，所演繹出之一幾何學命題或幾何學公式之系列，亦不可說幾何學命題皆分析命題。此概念、名項、公理、規則，乃人本其已有之幾何學公式或幾何學命題，而更反省其所自形成時之所發現。既發現之之後，更本之推演，自可再得此諸公式命題，而見其為分析的。然幾何學之思維，初自為一「發現一形量與其他形量之關係，而見在不同關係下之不同形量，可由其伸縮分合，以成同一形量」之綜合的歷程。謂一形量與其他形量，有某關係，必對此一形量，加以一「關係於他形量」的賓詞。此即對此形量之意義，有一增加的了解，而形成一對此形量之綜合的命題。人謂一形量同時與其他形量有不同關係，即可同時循此不同關係，以同時建立不同的幾何學公式或幾何學命題，而使人可由其一之真，以見及另一之真，亦為一綜合之歷程。如吾人由直角三角形之弦之平方，而知其等於勾之平方加股之平方之量，顯然為一綜合的歷程。此直角三角形中之勾股定理，在幾何學中有種種之證明法。此證明之事，似皆為就已有之前提而分析出之事。然吾人亦非必須經此分析，然後能知此弦方與勾股方之和，有此等量關係。此等量關係，可初只由直覺之綜合而得。此如二對角之相等，非必須由吾人之知此二對角皆為平角之減一角而成，方知其相等，乃人為原可直覺其對稱而知其相等者。在直角三角形之形成中看，吾人可說直角三角形之弦，即由勾之線之一端，向股之線所定之股方向，運動伸展以達股之線之一端而成。吾人又可先設定勾股弦之線，各與其平方同時展現，則當人初只見有勾之線時，只有此勾之平方之展現。唯當此勾之線之一端，向股之線所定方向，運動伸展而漸成弦時，乃有此弦之平方之漸展現。然此弦乃由人依勾之線，向股之線運動伸展而成。勾有此向股之線之運動，股之線亦即漸展現於人前，而此股之線之平方，即與此弦之平方之展現，同時展現。當人轉而將此弦循股所定之方向，再縮回其運動，以再同化於勾時，此股與股之平方又全隱；則證由弦之再同化於勾，而弦之平方同化於勾之平方時，其所縮減之量，同於股之平方之量；而弦之平方之量，即必當為勾之平方之量，加股之平方之量。此則不待證明，而人亦可直觀弦方等於勾方加股方之一道。而實則人如自始無此類之直觀，則何以會忽然念及此弦方之有等於勾方股方之可能，而更求證明之事，即不可理解。而人在幾何學中之有種種創造性的發見之公式，亦皆當初是由人之有綜合性的直觀一形量之可能與其他不同形量，有等量或其他關係，而後此公式之發見為可能。此則皆不能依於人之就其原所知之形量及其公式，直加分析，或本之演繹，而可有者也。 然幾何學之諸公式雖由綜合性的直觀而後發見，然亦不礙此幾何學之諸公式形成之後，人可反省出其所由成之根據，其所本之概念，名項之定義、公理、推論規則等，而以公理法加以演繹，以使之成為一分析命題之系統，如數學中之命題之皆可由公理法，以使之成由數學之公理等演繹出之分析命題之系統。然人在幾何學中，可有不同之概念與公理等之設定，而有不同之幾何學，如歐氏非歐氏等，亦如數學中之亦可依不同之公理等，而有不同之數學系統。不同之公理等所定之不同數學系統，可由其公理等之原始意義之同異，而加以關聯，以見不同數學系統中之公式之相對應而皆真。幾何學中之不同之幾何學，亦可由其公理等之原始意義之同異，而加以關聯，以見不同類幾何學中之公式之相對應而皆真。不同之數學系統，與不同之幾何系統中之公式命題，即未嘗不可互相轉換，以見其有不同類之意義，而亦可有同類之意義之處。然人可依不同公理等，而有不同之數學幾何學之系統，更可觀其類與不類，則又見人之數學幾何學之心靈，能綜合地並觀此不同公理等，與其所形成不同的數學幾何學之系統，而位居於其上一層位；亦見任何由公理法所定之數學幾何學之系統，皆不能謂其系統之外，無數學幾何學之真理。然人無論如何造不同之數學系統，根柢上終不能離數之關係。人無論如何造不同之幾何學系統，其根柢上不能離形量之關係。一切數之不同，皆可由加減乘除之運作，使之同；一切形量之不同，亦皆可由伸縮分合之運作，使之同。在此點上，一切數學系統即為彼此同類，一切幾何學系統，亦彼此同類。在不同類之數或不同類之形量，皆可由人之運作，而使之同類一點上，數與量亦為同類也。在數學中有由減而成之負數，在幾何學中有由縮而成之負量。在數學中有負數之平方根之虛數，在幾何學中則凡在一坐標中，其為負號所規定之諸方向中之平方，其根之量，即皆可稱為一虛量。數學中有函數。當一數為其他變數之函數時，可隨此其他變數，以有不同之值，而其值可無定。而在幾何學中，則有投影幾何學。在投影幾何學中，當一形量對一變化之形量投影，則其影亦有種種不同之形量而不定。吾人能加負數於正數，以觀其數之和，即如於數減數之可歸於無數之零。吾人如加相當之負量於正量，以觀形量之和，即如於量減量之可歸於無量之點。於一切可能有之正數，加可能有之相當的負數，則一切數歸於無數之零。於一切可能有之正量，加可能有之相當的負量，則一切形量歸於一無量之點。由數之可隨他數，而變為任何數，一形量亦可由投影，而顯為任何形量，則見一切數之可化歸於一類之數，一類之數可化歸於一切類之數；及一切形量可化歸於一類之形量，一類之形量之可化歸於一切類之形量。如人之以方形繪於眼鏡之上，而一切形量投其影於眼者無不方，以圓形繪於眼鏡之上，則此投影又無不圓。而就一切形量皆可由伸縮分合，使之成方、成圓而觀，則任一方或任一圓之連於「對其外之一切形量之可能有之伸縮分合之事」，即可盡天下之形量，而化同之於此一方或此一圓而無餘。若再縮此一方或此一圓於一點，則此一點，即虛涵一切形量之負量於其中，而可由之以觀照一切形量之虛涵於此一點之中。此皆見幾何學中之可化一切形量，以成為一與人心遙相距相望之觀照凌虛境者也。