認識與謬誤 · 第二十二章 從物理探究的觀點著空間和幾何學
第一節
我們的空間概念根植於我們的生理構成。幾何學的概念是物理空間的經驗的理想化的產物。幾何學體系最終源於如此收集的概念資料的邏輯分類。所有三種因素都在清楚明白的近代幾何學中留下它們的痕跡。因此，關於空間和幾何學的認識論探究涉及到生理學家、心理學家、物理學家、數學家、哲學家，同樣也涉及到邏輯學家，他們只有考慮這裡提供的廣泛歧異的觀點，才能夠被帶到它們的肯定的解答。
早在青少年時代醒悟到強烈的意識時，我們便發覺我們自己具有包圍和環繞我們身體的空間概念，各種各樣的物體在這樣的空間中運動，部分改變和部分保持它們的大小和形狀。我們不可能斷定是如何產生這一概念的。只有在意圖和方法上計劃好的對經驗的徹底分析，才能使我們猜想，身體的天生的特質與具有純粹物理特徵的簡單的和粗糙的經驗之配合可以達到這個目的。
被看見或被接觸的對象，不僅用感覺的質（如「紅」、「粗糙」、「冷」等）區分，而且也用處所的質（如「向左」、「上」、「前」等）區分。感覺的質可能依然是相同的，而處所的質卻連續地變化；即相同的感覺的對象可以在空間中運動。由於物理－生理的環境一而再地引起這類現象，人們發現，不管偶然的感覺的質可能如何變化，處所的質的相同秩序不變地發生，以致後者必然作為感覺的質所進入的和被分類的、固定的和持久的系統或登記薄而出現。現在，雖然這些感覺和處所的質只能夠在相互聯合中被激勵，只能相伴地使它們呈現，但是無論如何容易產生這樣的印象：處所的質的比較熟悉的系統先於感覺的質被給予（康德）。
第二節
視覺和觸覺的擴大的對象由或多或少可區分的感覺的質構成，而感覺的質與鄰近的可區分的，連續漸變的處所的質結合在一起。如果這樣的對象運動，特別是在我們支配的範圍內運動，我們察覺到它們（整體地或部分地）收縮或膨脹，或者我們察覺到它們依然是相同的；換句話說，刻畫它們邊界的處所的質的對照或變化，或依然恆定。在後一種例子中，我們稱對象是剛性的。通過識別作為與空間位移重合的恆久性，使得我們的空間直覺的各種組分變得可以相互比較——至少在生理學的意義上。通過把不同的物體相互比較，通過引入物理測量，使得這種可比較性變成定量的，變得更精密，從而超過了個體性的限度。於是，對所有人都有效的普適的幾何學概念代替了個人的和不可傳達的空間直覺。每一個人都有他自己的個人直覺空間；幾何學空間對大家則是共同的。我們必須明確區分直覺空間和包含物理經驗的度規空間。
第三節
大約在上世紀中期，對幾何學基礎作徹底的認識論闡明的需要誘使黎曼提出空間本性的問題；高斯、羅巴切夫斯基（Lobachevsky）和兩個鮑耶（Bolyai）的注意力先前就被吸引到幾何學某些基本假定的經驗－假設特徵。在把空間的特徵刻畫為多重廣延的「量值」（magnitU眾）時，黎曼無疑考慮到可以同樣地被想像為充滿整個空間的某些幾何學構象——例如笛卡兒坐標系。黎曼進而斷言：「幾何學的命題不能從普遍的量值概念演繹出來，空間籍以與其他可構想的三重廣延量值的獨特性質只能夠從經驗中推導。……這些事實像一切事實一樣絕不是必然的，而僅僅具有經驗的確實性——它們是假設。」按照黎曼的理論，像每一門自然科學的基本假定也是如此一樣，經驗把我們導向的幾何學的基本假定只不過是經驗的理想化。
在這種物理的幾何學概念中，黎曼在與他的老師高斯相同的立足點上採取了立場，高斯曾經表示相信，不可能完全先驗地確立幾何學的基礎，並進而斷定：「我們必須謙卑地坦白，如果數完全是心智的產物，那麼空間另外具有在我們心智之外的實在，我們不能充分地指明關於這種實在的先驗定律。」
第四節
每一個探究者都知道，他正在調研的對象的知識本質上是通過把它與有關的對象比較而增加的。因此，黎曼十分自然地在他周圍尋找提供與空間某種類似的對象。他把幾何學空間定義為三室廣延的連續的流形（manifold），該流形的要素是由每一組可能的三個坐標值決定的點。他發現「感覺和顏色（原文如此）的對象的處所也許只不過是概念，它的決定的模式形成多重廣延的流形。」黎曼的後繼者把其他東西添加到這一類比中，他們還加以發揮，但是我認為措詞並非總是恰當的。
第五節
把空間感覺和顏色感覺比較一下，我們發現，三個混合顏色的感覺系列黑－白、紅－綠、藍－黃對應於連續系列「上和下」、「右和左」。「近和遠」。感覺的（看見的）處所的系統是像顏色感覺系統一樣的三星連續流形。針對這種類比提出的反對意見，即在後一個例子中三種變化（維度）是均勻的和相互可交換的，而在前一個例子中它們是異質的和不可交換的，在把空間感覺與顏色感覺比較時是無效的。因為從心理－生理學的觀點來看，「右和左」不容許與「上和下」交換，猶如紅和綠與黑和白不容許交換一樣。只有當我們把幾何學空間與顏色系統比較時，反對意見才明顯地受到辯護。但是，還大量需要確立直覺空間和顏色感覺系統之間完備的類似。在感覺空間中的近似相等的距離立即就辯認出是這樣的，而就顏色的差異則不能作同樣的評論，在這後一領域內，不可能在生理學上相互比較不同的部分。此外，即使通過訴諸物理經驗、在用三個數刻畫系統的每一個顏色時不存在困難——恰如刻畫幾何學空間的處所一樣，在創造相似於後者的度規系統時也是如此，那麼無論如何，就顏色系統尋找對應於距離和容量、具有類似的物理意義的某種東西，將是困難的。
第六節
在類似中總是存在著任意的要素，因為類似關注的是把注意力對準的符合，但是，在空間和時間之間，類似無疑被充分承認，不管我們在詞彙的生理學涵義上還是在詞彙的物理學涵義上使用這些詞彙。在二者的術語的意義上，空間是三重的連續流形，時間是單一的連續流形。正好由其條件決定的，具有適度的即不太長或不太短的持續時間的物理事件，在我們從生理學的角度看來，在現在和其他任何時間似乎具有相同的期間（duration）。在任何時候在時間上同時發生的物理事件，同樣地在任何其他時候也是同時發生的。因此，時間的重合存在著，恰如空間的重合存在著一樣。因此，不可改變的物理的時間的對象存在著，就像木可改變的物理的空間的對象（剛體）存在著一樣。不僅存在空間的實體化（substantiality），而且也存在時間的實體化。伽利略為決定時間使用了像脈博和呼吸的節拍之類的肉體的現象，正像在古代為決定空間使用手和足一樣。
第七節
音調感覺的單一流形同樣類似於空間感覺的三重流形。音調感覺系統的不同部分的可比較性是由直接感覺到的音樂音程的可能性給予的。對應於幾何學空間的度規系統最容易藉助振動比率的對數由表達音調的音高得到。對於恆定的音樂音程來說，我們在這裡有表達式 log[n/n]＝logn』－logn＝logT－logT』＝常數，在這裡，n』，n表示比率，T』，T分別表示較高的和較低的音調的振動周期。對數之間的差在這裡描述位移上的長度的不變性。我們作為音程感覺到的不可改變的、實質性的物理對象對耳朵來說在時間上被決定了，而類似的對象對視覺和觸覺來說在空間上被決定了。在我們看來，空間度量似乎更簡單，僅僅因為把距離本身選作幾何學的基本度量，而距離對感覺來說始終是不可改變的，然而在音調領域，我們只有通過冗長的和迂迴的路線才達到我們的度量。
第八節
在詳細研究我們類比的建構物的符合時，對我們來說，現在依然要強調它們的差異。由於把時間和空間構想為感覺的流形，因而通過改變時間和空間的質使其運動變得可以察覺的對象，被其他感覺的質待征化為顏色、觸覺感覺、音調等等。如果把音調感覺系統看作是類似於視覺的感覺空間，那麼奇怪的事實產生了，即在第一個領域僅僅出現未由對應於該對象的感覺的質伴隨的空間的質，恰如人們在沒有看見占據這個處所或延伸這個運動的對象的情況下，卻能夠看見處所或運動一樣。由於把空間的質構想為只能與感覺的質相伴隨而被激起的有機體的感覺，因而上述類比看來好像不是特別有吸引力了。對於流形數學家來說，不管確定的顏色的對象是否連續地在視覺空間運動，或者不管在空間上固定的對象是否連續地通過顏色的流形，都呈現出本質上相同的案例。但是，對於生理學家和心理學家而言，兩個案例則是大相徑庭的，不僅因為上面所提出的理由，而且尤其因為這樣的事實：空間的質的系統是我們十分熟悉的，而我們只能夠藉助科學的手段費力地和人為地想像顏色感覺的系統。顏色在我們看來是作為選錄的流形的成員出現的，我們一點也不熟悉這種排列。
第九節
在這裡與空間類比的流形像顏色系統一樣，也是三重的，或者它們描述了較小數目的變化。空間包含作為兩重流形的面和作為一重流形的線，數學家在概括時也可能把作為零重流形的點添加其中。對於拉格朗日來說，在構想作為四維——時間被認為是第四個坐標——解析幾何的分析力學時，也沒有困難。事實上，解析幾何的方程以其與坐標的一致，十分清楚地啟發數學家把這些考慮推廣到不受限制的較大數目的維度。相似地，在考慮推廣的物質連續體（continu－urn）——溫度、磁勢、電勢和引力勢作為多重流形的部分或截面歸因於連續體的每一點——時，物理學也會受到辯護。正如科學史向我們表明的，決不必把使用這樣的符號表示看作是完全無結果的。起初似乎沒有無論什麼意義的符號，在服從可以稱之為理智實驗的東西之後，便逐漸獲得清楚的和精確的含義。只要想一想代數中的負指數、分數指數和變量指數或者下述案例就可以了：在這些案例中，重要的和必不可少的觀念的推廣占據了在其它地方完全喪失了的、或使它們在以後許多時期出現的位置。只要想一想所謂的虛量就可以了，在它們處在分配給它們以完全確定的甚至可以想像的意義的地位之前，數學家早就用它們運算了，他們甚至從中得到了重要的結果。但是，符號表示同樣也有不利之處：容易喪失對所描述的對象的洞察，用頻頻沒有任何對象與之對應的符號繼續操作。
第十節
很容易起來應付黎曼的n重連續流形的概念，甚至有可能使這樣的流形的部分實在化和形象化。設a1，a2，a3，a4……a[n＋1]是無論什麼要素（感覺的質、實物等）。如果我們構想這些要素以它們的可能的關係混合，那麼每一單個的混合將用表達式
a1aG1＋a2a2＋a3a3＋……an＋1a[n＋1]＝1表示，在這裡係數a滿足方程
a1＋a2＋a3＋……＋a［n＋1］＝1。因為這些係數a可以隨樂意而選擇，所以n＋l個要素的混合的總體將描述n重連續流形。我們可以把下述形式的表達式看作是這個流形的點的坐標：
am/a1或f（am/a1），例如log（am/a1）但是，在選擇距離或者類似於幾何學概念的任何其他概念的定義時，我們將不得不十分任意地進行，除非上述流形的經驗告訴我們，某些度現概念具有實在的意義，因此受到偏愛，關於具有針對距離元ds 2 ＝dx 2 ＋dy 2 ＋dz 2 從物體容量的恆定性導出的定義的幾何學空間的案例是這樣的，關於具有上面提及的對數表達式的音調感覺的案例同樣也是如此。在大多數案例中，這樣的人為的建構是這類正缺少的被包含、被固定的點，因此整體的考慮是理想的考慮。與空間的類比從而在完備性。多產性和激勵功能方面受到損失。
第十一節
可是，在另一個方向，黎曼發揮了高斯的觀念；他由後者關於曲面的研究開始。高斯的曲面在任何點的曲率的度量由表達式是k＝do/ds給出，在這裡d是曲面的面元，do是單位球的表面面元，而單位球的極限半徑平行於面元d的極限法線。曲率的這種度量也可以用形式k＝1／ ρ 1 ρ 2來表示，在這裡 ρ 1 ρ 2是曲面在上述之點的主曲率半徑。其曲率的度量對所有點而言有著相同值的曲面——恆定曲率的曲面——具有特殊的興趣。在把曲面構想為無限薄的、不可膨脹的、但卻是固體的物體時，人們將發現，可以使相同曲率的曲面通過彎曲重合——例如平面紙張圍著柱面或錐面纏繞就是這樣的，但卻不能使它們與球的表面重合。在這樣變形時，甚至以弄皺的方式變形時，在曲面上所畫的圖形的成比例的部分就長度和角度來說依然是不變的，倘若我們在我們的測量中不超出曲面的兩維的話。相反地，曲面的曲率同樣不依賴於它在空間第三維中的構形，而僅僅依賴於它的內部的比例。當時，黎曼構想了概括曲率度量的概念並把它應用於三維或多維空間的觀念。與此一致，他設想具有恆定正曲率的有限無界的空間是可能的，它對應於無界但卻有限的兩維球面，而我們通常認為是無限空間的東西也許對應於曲率為零的無限平面，相似地，第三種空間也許對應於負曲率的曲面。正像在確定不變的曲率的曲面上所畫的圖形只能在這個曲面上無變形地位移（例如，球面圖形只能在它的球面上位移，或平面圖形只能在它的平面上位移）一樣，類似的條件必然地對於空間圖形和剛體也應該有效。正如亥姆霍茲詳細表明的，後者能夠在恆定曲率的空間中自由運動。恰如平面的最短的線是無限的，而在球面上作為具有確定的有限長度、閉合的和復歸為它們自己的大圓出現一樣，黎曼同樣地構想，在類似物的三維正曲率空間中，直線和平面是有限而無界的。但是，在這裡存在著困難。如果我們具有關於四維空間的曲率度量的概念，那麼轉移到三維空間的特例就能夠很容易合理地實行；但是，從特殊的案例向比較一般的案例的過渡包含著某種任意性，這是很自然的，不同的探究者在這裡採取不同的路線（黎曼和克羅內克）。對於一維空間（任何種類的曲線）來說，曲率的度量沒有內部度量的含義，這樣的度量首先出現在與兩維圖形的關聯中，正是這個事實迫使我們詢問：某種類似的東西對於三維圖形是否有任何意義，在多大程度上有意義？我們用沒有實在的事物與之對應、至少用沒有什麼事物與感覺對應的符號操作，我們錯助符號能夠證實和糾正我們的觀念，我們在這裡沒有遭遇上述的幻想嗎？
這樣便達到了關於空間及其與類似的流形的關係之最高的和最普適的概念，這些概念出自高斯對於幾何學的經驗基礎的確信。但是，這個確信的起源具有兩千年的預備的歷史，我們也許能夠從我們現在達到的高度更充分地概覽這一主要現象。
第十二節
以手為尺的質樸單純的人在獲知我們的頭一批幾何學知識後，便把握了最簡單的具體對象或圖形——直線、平面、圓等等，並且藉助能夠被構想為這些簡單圖形的組合的形式研究它們的測量的關聯。他們不會不注意到，當物體的一點、接著兩點被固定時，它的可動性便受到限制，最後由於固定了它的三個點，它完全停止不動了。假定繞軸（兩點）的旋轉、或繞平面上一點的旋轉像兩點與直線和第三點與固定平面恆定接觸的位移一樣，都通過那條直線，即假定這些事實是分開觀察的，那麼人們會知道如何在純粹的轉動、純粹的位移和由這兩種獨立運動合成的運動之間區分。第一個幾何學當然不是建立在純粹度規概念的基礎上，而是對生理的感覺因素作出了許多顯著的讓步。於是，外觀用兩種不同的基本度量來說明：（直線的）長度和角度（圓的度量）。直線被構想為剛性的可動的物體（量杆），角度被構想為一條直線相對於另一條直線的轉動（用如此畫出的弧測量）。無疑地，人們從來也沒有要求特別證明用相同的轉動在原點畫出的角度相等。很容易引出關於角度的附帶命題。使線段b繞它與c的交點如此轉動，以致畫出角 α （圖 22），在與c重合後再使它繞它與a的交點轉動，直到它與a重合為止，這樣便畫出用 β ，我們將在同一指向通過角 μ 把 b從它的初始位置轉到它的最終位置。因此，外角 μ ＝ α ＋ β ，因為 μ ＋ γ ＝ 2R，所以 α ＋ β ＋ γ ＝ 2R。把在它們的平面內在位置1處相交的剛性的線系統a，b，c移動到位置2（圖23），線段a總是仍舊在它自身之內，純粹的運動將不會引起角度的變化。如此產生的三角形1，2，3的內角之和顯然是2R。相同的考慮也免除了平行線的性質。
關於繞幾個點的相繼轉動是否與繞一點轉動等價，純粹的位移是否完全可能的疑問——當用不同於零的曲率的曲面代替歐幾里得平面時，這一點受到辯護——在正在考慮的期間從來也不會在純樸和快樂地發現這些關係的心智中出現。歐幾里得在他的全等原理中刻意迴避和隱蔽引入的剛體運動的研究，到今天還是最適合幾何學基礎教育的工具。藉助發現觀念的方法能最佳地使它為初學者擁有。
第十三節
當幾何學變成職業的和學者的沉思的科目時，事物的這種健全的和樸素的概念消失了，幾何學的處理經歷了本質的修正。該科目現在必須為個別的概觀起見綜合這個部門的知識，必須把能夠直接辨認的東西與可以演繹和已被演繹的東西分開，必須明確減少演繹的頭緒。為了教育的目的，人們把最簡單的原理、最容易獲得和明顯地擺脫了懷疑和矛盾的東西放在開頭，使下余的東西基於它們之上。人們竭盡全力簡化這些初始原理，在歐幾里得的體系中可以觀察到這一點。通過這種用別的概念支持每一個概念，把儘可能小的範圍留給直接的知識的努力，幾何學逐漸離開了它從中起源的經驗的土地。人們習慣於使自己認為推導的真理比直接知覺的真理更高級，並最終開始要求從來也沒有人懷疑的命題的證明。就這樣，具有其邏輯完美和優雅的歐幾里得體系出現了——為了制止詭辯派的猛攻，以致按慣例也會這樣進行的。可是，這種把一連串的命題放在任意選取的演繹思路之上的人為方法不僅隱藏了研究的道路，而且也完全喪失了對幾何學原理之間各種有機關聯的洞察。與富有成果的、多產的研究者相比較，這個體系更適合於生產心智狹窄的和缺乏獨創性的學究。當偏好對他人的智力成果作奴性評論的經院哲學在思想者中幾乎不培育對於他們的基本假定的合理性的任何敏感性，並且通過補償的方式在他們中間鼓勵對於邏輯演繹形式的誇大的尊重時，這些條件並未得到改善。從歐幾里得到高斯的整個時期，都或多或少地遭受了來自這種心智的影響。
第十四節
在歐幾里得把他的體系建立於其上的命題中，可以找到所謂的第五公設（也稱為第七公理，有人稱為第十二公理）：「如果一條直線與兩條直線相交，以致在它的同一側的兩個內角合在一起小於兩直角，那麼這些直線在被連續延長時，最終將在其角是小於兩直角的那側處相交。」歐幾里得容易證明，如果一條直線落在另外兩條直線上時，它使錯角彼此相等，那麼這兩條直線將不相交，而是平行的。但是，對於逆即平行使落在它們之上的每一直線的錯角相等的證明，他卻不得不訴諸第五公設。這個逆等價於這樣的命題：通過一點只能畫一條線與直線平行。進而，由於藉助這個逆能夠證明三角形的角之和等於兩直角，以及從這個定理再次得出第一個定理的事實，賦予歐幾里得幾何學第五公設以獨特的和基本的意義的、所討論的命題之間的關係變得清楚明白了。
第十五節
緩慢會聚的線的相交處在作圖和觀察的範圍之外。因此，可以理解，鑒於包含在第五公設中的斷言的巨大重要性，歐幾里得的後繼者由於他習慣於嚴格性，竟然甚至在古代就繃緊每一根神經證明這個公設，或者用某個直接明顯的命題代替它。為了把這個第五公設從歐幾里得的其他假定中演繹出來，從歐幾里得到高斯時代人們就作出了無數無效的努力。出於十足渴望科學的闡釋，在追求潛藏的真理源泉中花費了諸多世紀的辛勞，正是這些人奉獻的令人欽佩的場景，可是從來沒有一個理論家或實踐者實際上懷疑過這一切！我們以熱切的好奇心追蹤寓居於人類對知識這種追求中的道德力量的固執表達，我們滿意地注意到，探究者的失敗如何逐漸地導致他們察覺幾何學的真實基礎是經驗。我們將使我們自己滿足於幾個例子。
第十六節
在其對平行理論的貢獻方面著名的探究者當中，有義大利人薩凱里（Saccheri）和德國數學家蘭伯特（Lambert）。為了使他們的進攻模式變得可以理解，我們將首先談到，我們相信我們經常觀察的矩形和正方形的存在，在不藉助第五公設的情況下無法證明，例如，讓我們考慮兩個在A和D具有直角的全等的等腰三角形ABC，DBC（圖24），
並設它們在它們的斜邊BC處在一起，以致形成等邊的四邊形ABCD，歐幾里得的頭27個命題不足以決定在B和C處的兩個相等的（直）角的特點和大小。因為長度的度量和角度的度量根本不同且不可直接比較；因此，關於邊和角的相關的頭一批命題僅僅是定性的，關於像角之和這樣的角的定量定理的絕對必要性從而也是如此。進而要談到的是，類似於歐幾里的27個平面幾何命題的定理也可以針對球面和具有恆定負曲率的曲面建立，在這些案例中類似的作圖分別在B和C處給出鈍角和銳角。
第十七節
薩凱里的主要成就是他陳述這個問題的形式。如果第五公設包含在餘下的歐幾里得假定中，那麼就可能在沒有它幫助的情況下證明，在 A和B處具有直角且AC＝BD的四邊形ABCD（圖25）中，在C和D處的角同樣也是直角。另一方面，在這個項目中，C和D或是
鈍角或是銳角的假定將導致矛盾。換句話說，薩凱里力圖從直角、鈍角或銳角的假設引出結論。他表明，如果證明這些假設的每一個在一個案例中成立，那麼它將在所有案例中都成立。為了證明銳角、直角或鈍角的假設的普適有效性，僅僅必須擁有一個其角 2R的三角形。值得注意的是這一事實：薩凱里也談到支持直角假設的生理－幾何學實驗。如果線段CD（圖25）與垂直於直線AB的相等的垂線的兩個端點連結，從第一條線的任何一點N出發在AB上終止的垂線即NM等於CA＝DB，那麼直角的假設被證明是正確的。薩凱里如實地不認為，與另一個直線等距的線本身是直線並非自明。只要想一想平行於球上的大圓的圓就可以了，該圓沒有描繪球上的最短線，不能使它的兩面全等。
直角假設正確性的另一個實驗證明如下。如果表明半圓中的角（圖 26）是直角，即 α ＋ β ＝ R，那麼2 α ＋ 2 β ＝ 2R是三角形ABC的角之和。如果使半徑在半圓上三次對向（subtend），且連結第一個和第四個端點的線通過圓心，那麼我們將在C處有（圖27）3 α ＝ 2R，從而三個三角形的每一個將有角之和2R。不同大小的等角三角形（相似三角形）的存在同樣有待於實驗證明。就圖28而言，若在B和C處的角給出 β ＋ δ ＋ γ ＋ ε ＝ 4R，則四邊形BCB』C』的角之和也是4R。甚至沃利斯（1663）把他對第五公設的證明建立在相似三角形存在的假定上，近代幾何學家德爾布呂夫（Delboeuf）從相似假定演繹出整個歐幾里得幾何學。
薩凱里相信，他能夠輕而易舉地駁倒鈍角假設。但是，銳角假設卻把困難擺在他的面前，他在對所期望的矛盾的尋求中被帶到一個意義最深遠的結論，羅巴切夫斯基和鮑耶隨後用他們自己的方法重新發現了這些結論。他最終感到不得不把最後命名的假設作為與直線的本性不相容的東西加以拒斥；因為它導致在無窮遠處相交的、即在那裡具有公共垂線的不同種類的直線之假定。薩凱里在預知和提升後繼的闡明這些問題的勞動中沒有作許多事情，不過顯示出某種傾向於傳統觀點的偏見。
第十八節
蘭伯特的專題論文（1766）在方法上與薩凱里的方法有關聯，但是它在其結論上更進一步，並且給出較少受約束的視野的證據。蘭伯特由考慮具有三個直角的四邊形出發，審查了從第四個角是直角、鈍角或銳角的假定中可能得出的推論。他發覺圖形的相似與第二和第三個假定不相容。他發現，要求三角形角之和超過2R的鈍角案例在球面幾何學中成為真實的，在球面幾何學中平行線的困難完全消失了。這導致他猜想，在其中三角形的角之和小於2R的銳角案例可能在具有虛半徑的球面上實現。用之和背離2R的量在兩個案例中正比於三角形的面積，通過適當地把大三角形分為小三角形可以證明這一點，小三角形在減小時可以變得像我們樂意地那樣趨近角之和2R。蘭伯特在這個概念上推進得十分接近現代幾何學家的觀點。人們公認，虛半徑r[-1]的球不是可以具體化的幾何構圖，但是在解析上它是具有負的恆定高斯曲率度量的曲面。從這個例子再次顯而易見，在完全缺乏其他支撐點，在有用的辦法以其價值必須受到尊重的時期，用符號實驗如何也可以把探究引向正確的路線。甚至高斯也顯露出具有虛半徑球的思想，這一點從他的關於圓周的公式（致舒馬赫（Schumacher），1831年7月12日）來看是很明顯的。可是，蘭伯特實際上不顧一切地相信，他如此接近第五公設的證明，以致能夠很容易地提供所需要的東西。
第十九節
現在，我們可以轉向其觀點對於幾何學概念具有最根本意義，但卻僅僅用口頭或信件簡要報告他們看法的研究者。「高斯認為幾何學只不過是在邏輯上連貫的作圖體系，它具有作為公理被置於頂點的平行理論；可是，他得以確信，這個命題不能被證明，儘管人們從經驗——例如從連結布羅肯（ Brocken）、霍恩哈根（Hohenhagen）和因塞爾斯堡（Inselsberg）的三角形的角度——知道它是近似正確的。但是，如果不承認這個公理，那麼他堅決主張，由於不接受它便產生了不同的和完全獨立的幾何學，他曾經研究過這種幾何學，並用反歐幾里得幾何學的名字稱呼它。」按照薩爾托里烏斯·馮·瓦爾特斯豪森（sartoriusvon Waltershausen）的看法，高斯的觀點就是這樣的。
因此，從給定的矩形 ABCD（圖30）切出相互之間具有形成任何比例的邊的較小的矩形AMQP，是有可能的。這個最後的矩形的對角線把它分成兩個全等的直角三角形，其中每一個不管邊的比例，具有角之和2R。每一個非直角三角形能夠通過畫垂線被分解為直角三角形，其中每一個能夠再次被分解為具有更小邊的直角三角形，以致每一個三角形的角之和終歸是2R，倘使這對一個三角形嚴格為真的話。藉助這些基於觀察的命題，我們容易得出結論，矩形的（或任何所謂的平行四邊形）的對邊不管延長得多麼遠，處處離開的距離相同，也就是，永遠也不相交。它們具有歐幾里得平行的性質，可以像這樣稱呼和定義。現在，從三角形和矩形的性質同樣可得，如此被第三條直線相交的兩直線，致使它們同一側的內角之和小於兩直角，它們在該側相交，但是在二者之中的任一方向，它們從它們的交點起將運動得相互無限地遠離。因此，直線是無窮的。是作為公理或初始原理陳述的無根據的斷言的東西，作為推理的結果可以具有健全的意義。
第二十節
因此，幾何學是由把數學應用於關於空間的經驗構成的。像數學物理學一樣，它只有在它描述經驗對象的條件下，藉助圖式化和理想化的概念，才能變成精密的演繹的科學。恰如力學能夠斷定質量的恆定性，或把物體之間的相互作用僅僅在觀察誤差限度內還原為簡單的加速度一樣，同樣地也僅僅能夠在相似限制內堅持直線、面的存在，角之和的量等等。但是，正像物理學有時發現它自己被強使用其它比較普遍的假定代替它的理想的假定，用依賴距離的加速度取代落體的恆定加速度，用熱的可變量而不是熱的恆定量一樣，當事實要求相似的程序或該程序對科學的闡明暫時是必要的時候，也同樣容許它在幾何學中存在。現在勒讓德（Legendre）、羅巴切夫斯基和兩個鮑耶的努力將顯示在他們的新見解中，較年輕的那位鮑耶可能直接受到高斯的激勵。
第二十一節
我們將不談及也是高斯同代人的施韋卡特（ Schweickart）和陶里努斯（Taurinus）的辛勞。羅巴切夫斯基的工作是變得為思想界的人所知，並且如此富有成果的第一個（1829）。此後不久，較年輕的鮑耶的出版物發表了（1833），它與羅巴切夫斯基的在所有基本之點一致，只是在它的發展形式上有所偏離。根據原文（1899年出版），可以容許假定，羅巴切夫斯基也著手他的研究，以期望由於反駁歐幾里得公理而變得陷入矛盾之中。但是，在他發現他自己在這一期待中犯了錯誤之後，他具有理智勇氣從這個事實引出全部推論。羅巴切夫斯基以綜合的形式給出了他的結論。不過，我們能夠相當有理由地想像為構造他的幾何學鋪平道路的一般的分析思考。
從處在直線 g（圖31）之外的一點向下引垂線p，通過平面pg內的同一點畫直線h，使它與垂線成銳角s。在作出g和h不相交、但在稍微減小一點點角s時它們會相交的假定時，空間的均勻性立即迫使我們得出結論：具有同一角s的第二條線k本身在垂線的另一側舉止相似。因此，通過同一點所畫的所有不相交的線都位於h和k之間。後者形成相交的線和不相交的線之間的邊界，羅巴切夫斯基稱其為平行。
在《幾何學的新原理》（ 1835）的引言中，羅巴切夫斯基證明他自己是一位徹底的自然探究者。沒有一個人會想到把下述未加工的觀點甚至歸因於有感官的普通人：「平行角」比直角小得多，當稍加延長時能夠清晰地看到，它們能夠相交。在這裡所考慮的關係只容許在歪曲了真實比例的繪圖中表示，相反地我們必須想像，由於截量（cut）的維度，s偏離直角的變化如此之小，以致h和k表面看來難以區分地重合起來。現在把垂線p延長到超過它與h的交點的一點，並通過它的端點畫新線l平行於h，從而也平行於g，由此可得，平行角s』必然小於s，倘若h和l不再滿足歐幾里得案例的條件的話。以相同的方式繼續延長垂線和畫平行，我們得到不斷減小的平行角。現在，考慮更遠離的、從而在收斂一側更急劇收斂的平行，我們將在不與先前的假定牴觸的情況下，被迫從邏輯的角度假定，在趨近或垂線的長度減小時，平行角將再次增大，因此，平行性的角是垂線p的反函數，羅巴切夫斯基用II（p）來標示它。平面上的平行群之排列在圖32中用圖解表示。它們都相互對稱地趨近它們收斂的一側。空間的均勻性要求能夠使兩個平行之間的每一個「條帶」與每一個另外的條帶重合，倘若把它在縱向上移動所需要的距離的話。
第二十二節
如果設想圓無限地增大，那麼當不斷增加的弧達到圓的半徑的收斂與平行一致的地點時，這些半徑將停止相交。於是，圓通過所謂的「界線」。類似地，如果球面無限地增大，它將通 羅巴切夫斯基命名的「界面」。邊界線與邊界面具有的關係，類似於大圓與球面具有的關係。球面幾何學與平行公理無關。但是，由於能夠證明，由界線在界面上形成的三角形與在無限半徑球上的有限的三角形相比並沒有顯示出角之和的過量，因此歐幾里得幾何學的法則對於這些邊界三角形也有效。為了找到邊界線的點，我們在處於平面上的平行把（ bundle）a α ， b β ， c γ ， d δ ……中決定這些平行中的每一個的點 a，b，c，d，這些點相對於aa中的點a如此定位，以致於 ∠α ab＝ ∠β ba， ∠γ ca， ∠α ad＝ ∠δ da……（參見圖33）。由於整個構圖的同一性，可以把每一個平行看作是界線的「軸」，當界線繞這個軸轉動時，它將產生界面。同樣地，也可以把每一個平行看作是界面的軸。出於相同的理由，所有界線和所有界面都是全等的。每一個平面與界面之交是圓；只有當割平面包含軸時，它才是界線。在歐幾里得幾何學中，不存在界線，也不存在界面。在這裡，它們的類似物是直線和平面。如果不存在界線，那麼必然地，任何不在直線上的三點必定在圓上。因此，比較年輕的鮑耶能夠用這最後的公設代替歐幾里得公理。
第二十三節
設a α ， b β ， c γ 是平行系， ae，a 1 e 1 ，a 2 e 2 ……是界線系，這些系中的每一個都把另一個分為相等的部分（圖33）。因此，在相同的平行之間的任何兩個界弧的相互之比率，例如ae＝u和a 2 e 2 ＝u』，僅僅依賴於它們分開的距離aa 2 ＝x。我們可以一般地提出u/u』＝ex/k，在這裡k如此選取，以使e將是自然對數系的底。以這種方式引入指數，並藉助這些引入雙曲函數。對於平行性的角來說，我們得到s＝cot1/2 ∏ （ p）＝e p/k 。若p＝0，則s＝ π ／ 2；若p＝ ∞ ，則 s＝0．
一個例子將闡明羅巴切夫斯基幾何學與歐幾里得幾何學和球面幾何學的關係。對於具有邊a，b，c和角A，B，C的直線羅巴切夫斯基三角形來說，當C是直角時，我們得到 sinh(a/k)＝sinh(c/k)A. 。在這裡，sinh代表雙曲正弦，sinhx＝1/2(e x －e -x )而sinx＝（1/2 i）（e ix －e －ix ），或者sinhx＝x／1！＋x 3 ／3！＋x 5 ／5！＋x 7 ／7！和sinx＝x／1！－x 3 /3＋x 5 /5！－x 7 /7！＋……。
考慮到在前述的公式中所包含的關係sin（xi）＝i（sinhx）或sinh（xi）＝isinx，人們將看到，上面羅巴切夫斯基三角形給出的公式通過對球面三角形成立的公式，即sin（a／k）＝sin（c／k）sinA，此時用ki代替前者中的是，並像他那樣把k看作是球的半徑，而在通常的公式中假定它的值是一個單位。用同一方法把球面公式重新變換為羅巴切夫斯基公式是明顯的。如果k與a和c相比十分大，那麼我們可以把我們自己局限於在二者案例中得到的關於sinh和sin的平面歐幾里得幾何學公式的級數的第一項a／k＝（c／k）sinA或a＝CsinA，我們可以認為這是羅巴切夫斯基幾何學和球面幾何學二者對於十分大的人的值或對於k＝ ∞ 的極限情況。同樣可以允許說，這三種幾何學在無窮小的領域相符。
第二十四節
正如我們看到的，僅僅在平行線收斂的假定上，就有可能構造自我一致的，無矛盾的幾何學體系。確實，不存在我們可以達到的幾何學事實的單一觀察，表明支持這一假定，人們公認假設隨我們的幾何學本能有如此大的變化，以致容易說明諸如薩凱里和蘭伯特這樣的早期探究者對它的態度。我們的想像因為被我們的形象化模式和熟悉的歐幾里得概念統治著，只是零碎地和逐漸地有能力把握羅巴切夫斯基的觀點。在這裡，我們必須容許我們自己與其受源於單一的狹窄空間的部分的感覺圖像的引導，還不如受數學概念的引導。不過，我們必須承認，我們通過我們的首創精神在某一任意範圍內藉以描述幾何學經驗的事實之定量的數學概念，並沒有以絕對的精確性複寫後者。不同的觀念能夠以相同的精確性在觀察可以達到的領域內表達這些事實。因此必須把事實與理智的建構仔細區分，事實啟示了理智建構物的形成。後者即概念必須與觀察一致，此外必須在邏輯上相互一致。現在，這兩個要求能夠以一種以上的方式付諸實現，不同的幾何學體系由此而來。
第二十五節
顯然，羅巴切夫斯基的工作是持久的和緊張的智力努力的成果，可以推測，在他能夠綜合地介紹它之前，他首先從一般的考慮並通過分析的（代數的）方法獲得了他的體系的明晰概念。在這個麻煩的歐幾里得形式中的說明決不是誘人的，它可能主要由於這一事實：羅巴切夫斯基和鮑耶的工作的意義如此之遲地才得到承認。
第二十六節
羅巴切夫斯基僅僅發展了歐幾里得第五公設的修正結果。但是，如果我們拋棄歐幾里得的「兩條直線不能封閉空間」的斷言，那麼我們將得到羅巴切夫斯基幾何學的伴隨部分。局限於面，它將是球面幾何學。我們有大圓代替歐幾里得直線，所有大圓相交兩次，其中每一對封閉兩個球面二角形。因此，設有平行。黎曼第一個宣布了關於三維（正曲率）空間的類似的幾何學的可能性，這個概念甚至到高斯好像還沒有出現，可能由於他對無窮的偏愛。亥姆霍茲在物理學上繼續黎曼的研究，輪到他時，他在他的第一個出版物中也忽略了羅巴切夫斯基的負曲率（具有虛參數k）空間的案例的發展。實際上，對這個案例的考慮對數學家來說比它對物理學家來說要更加明顯。亥姆霍茲在所提及的出版物中僅僅處理了歐幾里得的零曲率案例和黎曼的正曲率空間。
第二十七節
因此，我們能夠以儘可能的精確性用歐幾里得幾何學以及羅巴切斯基和黎曼的幾何學描述空間觀察的事實，倘若在後兩種情況下我們取參數k是足夠大的話。物理學家迄今沒有發現違反歐幾里得幾何學的假定k＝8的理由。堅定不移地固守最簡單的假定，直到事實迫使它們複雜化或修正它們，正是他們的實踐和長期的、可靠的經驗的結果。這同樣與所有偉大的數學家對於應用幾何學的態度一致。物理學家和數學家對於這些問題的行為總的來說是不同的，但是這不能用環境來說明，即對於前一類探究者來說，物理事實具有最大的意義，幾何學在他們看來只不過是方便的研究工具，而對後一類探究者來說，正是這些問題是探索的首要素材，具有最大技巧的、特別是認識論的興趣。設想數學家嘗試性地修正我們幾何學經驗的最簡單的和最直接的假定，設想他的嘗試富有新穎的洞察，那麼從純粹的數學興趣來看，肯定沒有什麼東西比應該一步執行這些探索更自然的了。我們熟悉的幾何學的類似物是針對任何數目的維度在較廣闊和較一般的假定之上構造的，這些假定不要求被視為比理智的科學實驗更多的東西，不具有應用於實在的觀念。在支持我的評論時，提一下克利福德（Cliford）、克萊因、李（Lie）和其他人在數學中作出的進展是充分的。思想者很少變得如此沉浸在幻想之中，或者如此遠離實在，以致就我們的空間想像超過給定的感覺空間的三維的若干維度，或者構想用可以看見背離歐幾里得幾何學的任何幾何學描述那種空間。高斯、羅馬切夫斯基、鮑耶和黎曼在這一點上是十分清楚的，肯定不能認為他們對隨後在這個領域出現的荒誕不經的虛構負有責任。
第二十八節
針對幾何學的建構物在無窮處和不可達到的地點的行為作假定，然後接著把它們與我們即時的經驗加以比較，並使它們適應於它，這與物理學家的的原則不一致。像斯托爾茨這樣的物理學家就偏愛注重作為他的觀念源泉直接給予的東西，他認為在被迫改變它們之前，也可以把它們應用於達不到的東西。但是，他也可能極其感激存在幾種適當的幾何學發現，我們也能夠對於有限空間運用它們，一句話，他感激廢除某些因襲的思想障礙。
假如我們生活在具有混濁的、不透光的大氣的行星表面上，我們在假定地球的表面是平面、我們唯一的工具是矩尺和鏈的基礎上著手測量，那麼大三角形角之和超過量的增加會立即迫使我們用測球面學代替我們的測平面學。作為一個原則問題，物理學家不能排斥在三維空間中的類似經驗的可能性，儘管會迫使接受羅巴切夫斯基幾何學和黎曼幾何學的現象，應該呈現出與我們迄今已經習慣的現象如此奇特的對照，以致人們將不認為它們的實際發生是可能的。
第二十九節
給定的物理對象是直線還是圓弧，這個問題沒有被恰當地闡明過。拉緊的繩索或光線肯定既不是一個，也不是另一個。問題僅僅在於，是否對象在空間中如此作用使得它更好地符合一個概念而不是另一個概念，是否它以對我們來說是充分的、我們可以達到的精密性完全符合任何幾何學概念。把後一個案例排除在外，便出現了這樣一個問題：我們是否能夠實際上消除、或者至少在思想上決定和顧及與直線或圓的偏離呢，換句話說，我們是否能夠矯正測量的結果呢？但是，在實際測量中，我們總是依賴物理對象的比較。如果按照直接的調研，這些對象在可以達到的最高的精確度上與幾何學概念一致，但是間接的測量結果卻比考慮所有可能的容許誤差更多地偏離了理論，那麼肯定應該責成我們改變我們的物理－度規概念。物理學家將有理由等待這樣的境況的出現，而數學家將總是有他的思辯的自由天地。
第三十節
在自然探究者使用的所有概念中，最簡單的概念是空間和時間概念。與他的概念建構物一致的空間和時間的對象，能夠以極大的精密性構造。幾乎每一個可觀察的偏離都能夠被消除。我們能夠在不違反事實的情況下，設想任何空間的或時間的建構物的實在化。下余的物體的物理性質是如此密切地關聯在一起，以致在這裡任意的虛構都因事實而受到狹窄的限制。理想氣體、理想流體，理想彈性體都不存在，物理學家知道，他的虛構僅僅近似地、通過任意簡化地符合事實；他完全意識到無法消除的偏離。我們能夠在不違反任何事實的情況下構想球、平面等等，並以不受限制的精密性構造它們。因此，如果任何物理事實碰巧使我們的概念的修正成為必要的，那麼物理學家將於可犧牲較少完美的物理學概念，而不是放棄較簡單的、較完美的和較持久的幾何學概念，因為這些幾何學概念形成了他的所有理論的牢固基礎。
第三十一節
但是，從另一個方向來看，物理學家能夠從幾何學家的勞動中得到實質性的幫助。我們的幾何學家總是涉及感覺經驗的對象。然而，只要我們開始用像原子和分子——從它們的真正本性來看，它們從未能夠成為感覺注視的對象——這樣的思想事物操作，我們無論如何沒有任何義務認為它們處在對我們感覺經驗的歐幾里得三維空間來說獨有的空間關係中。這可以引起相信原子思辨是不可或缺的思想者的特別注意。
第三十二節
讓我們在思想上返回幾何學在實際生活需要中的起源。認識空間的物質性和空間的對象不管它們的運動之不變性，在生物學上對人的存在來說是必不可少的，因為空間的量直接與我們的需要的量的滿足有關。當我們的生理組織未充分地提供這類知識時，我們使用我們的手和足與空間的對象比較。當我們開始相互比較物體時，我們便進入物理學領域，不管我們使用我們的手還是人造的量器。一切物理學的決定都是相對的。因此，所有幾何學的決定同樣相對於量器具有有效性。測量概念是關係的概念，該概念沒有包含未在量器中包含的東西。在幾何學中，我們僅僅假定，量器將始終並且處處與它在某一其他時間和某一其他地點重合的東西重合，但是，這個假定對於與量器有關的東西不是決定性的。代替空間的生理學的質的，是截然不同定義的物理的質，不要把後者與前者混淆起來，如同不要把溫度計的指示與熱的感覺等同起來一樣。的確，實踐的幾何學家藉助保持在恆定溫度中的量器決定被加熱的量器的膨脹，並注意到上述的疊合關係受到這種非空間的物理環境擾亂的事實。但是，對於純粹的空間理論而言，所有關於量器的假定都是不相干的。完全在生理學上造成的認為量器是不變的習慣，心照不富地、但卻不合理地保留下來。假定量器，從而一般地假定物體在空間中位移時經受了變化，或者它們在這樣的位移時依然未變化——這個事實本身只能使用新的量器才能決定——也許是完全多餘的和無意義的。這些考慮使所有空間關係的相對性變得顯而易見。
第三十三節
如果量器的引入實質上修正了空間的質的標準的話，那麼把數的概念引入幾何學則使該標準受到更進一步的修正和增強。存在著通過這種引入獲得的細微的區別，僅有疊合觀念是永遠無法達到這種區別的。算術應用於幾何學導致不可公度性和無理數的概念。因此，我們的幾何學概念包含不是空間固有的外加的要素；它們用某種緯度描述空間，也任意地以比空間觀察更大的精確性可能實現。事實和概念之間的這種不完美的接觸說明了不同的幾何學體系的可能性。能夠就物理學說嚴格相同的話。
第三十四節
導致我們的幾何學觀念轉變的整個運動，必定能夠被描繪成一個健全的和健康的運動。沒有人認為，這個在若干世紀前開始、但在現在大大增強了的運動終止了。相反地，情況完全證明我們的下述期望是有正當理由的：它不僅促進了數學和幾何學的巨大進展，尤其是在認識論的關係方面，而且也促進了其他科學的巨大進展。確實，這個運動受到幾位著名人物的強大激勵，但是它無論如何不是源於個人，而是源於普遍的需要。從參與其中的人的職業差別將看到這一點。不僅數學家，而且哲學家和教育學家也對它作出了巨大的貢獻。不同的探究者尋求的和沒有聯繫的方法也是如此。萊布尼茲表達的觀念以稍微改變的形式在博里葉、羅巴切夫斯基、鮑耶和H．艾布（Erb）到那裡重現哲學家於貝韋格（Ueberweg）在他反對康德時十分接近生理學家貝內克的觀點，在他從付艾布（H．艾布提到K．A．艾布（Erb）是他的先驅）出發的幾何學觀念中行動在亥姆霍茲工作的頗大部分之先。
第三十五節
前面的討論導致的結果可以概括如下：
（1）我們的幾何學概念的起源被發現是經驗。
（2）滿足相同的幾何學事實的概念的多樣性被揭示出來。
（3）通過把空間和其他流形比較，便達到比較普遍的概念，幾何學概念是這些概念的特例。幾何學思想就這樣擺脫了因襲的、迄今被想像為不可超越的局限。
（4）通過證明與空間同源但又不同於空間的流形的存在，提出了全新的問題。空間在生理學、物理學、幾何學上是什麼？由於其他性質也是可相信的，把它的特殊性質歸因幹什麼？空間為什麼是三維的？如此等等，不一而足。
第三十六節
對於諸如此類的問題，雖然我們沒有必要期望今天或明天就可以作出回答，但是我們卻在被調研的領域的整個深奧性面前停滯不前。我們將對「愚笨的人」的不適當的苛評不置可否，高斯曾預言他們會到來，他們的態度決定了他秘而不宣。但是，對於高斯、黎曼和其他後繼者所遭受到的高居於科學界的人物的辛辣的和吹毛求疵的批評，我們將有話要說。探究者在知識的最外面的邊界上發現了許多事物，這些事物沒有平穩地滑入所有的頭腦，但是由於這個緣故它們不是胡說八道，難道他們在自己身上從來也沒有體驗過這個真理嗎？確實，這樣的探究者易於出錯，但是，即使一些人的錯誤也往往在它們的結果方面比另一些人的發現更富有成效。