認識與謬誤 · 第二十一章 論心理學以及幾何學的自然發展
第一節
對於動物機體來說，它自己的身體不同部位的相互關係以及物理對象與這些不同部位的相互關係，原來具有最重大的意義。它的生理空間感覺系統建立在這些關係的基礎上。在比較複雜的生活條件下，簡單的和直接的需要的滿足是不會發生的，這些條件導致理智的增長。於是，相互接近的物理的、尤其是空間的物體行為可以獲得超越於暫時感覺興趣的非即時和間接的興趣。以這種方式，世界的空間圖像被創造出來，起初本能地被創造，接著在實踐的藝術中被創造，最後科學地在幾何學形式中被創造。物體的相互關係就它們由空間感覺決定而言是幾何學的關係，或者在這樣的感覺中找到它們的表達。正如沒有熱的感覺就不會有熱理論一樣，沒有空間感覺也不會有幾何學；但是，熱理論和幾何學二者附帶需要關於物體的經驗；這就是說，它們二者必須超越構成它們的獨特基礎的感覺域的狹窄邊界。
第二節
孤立的感覺只是在動物生活的最低級階段才具有獨立的意義；例如，像在反射運動中，在消除對皮膚某些討厭的刺激中，在蛙的猛撲反射中等等。在較高級的階段，注意不僅僅對準空間感覺，而且也對準與空間感覺合在一起的、我們稱之為物體的其他感覺的錯綜的和密切的複合。物體引起我們的興趣；它們是我們的活動的對象。但是，我們的活動的特徵巧合地由物體的位置決定，不管它是近還是遠，不管在上還是在下等等，換句話說，是由概括其特徵的空間感覺決定的。因此，反應模式由能夠達到物體的無論那些東西決定，不管通過伸展臂膀，通過幾個或許多步驟，通過投擲物體，還是其他別的什麼。物體激起的易感覺的要素的量（數量），它覆蓋的位置數量，也就是說它的體積，在所有其他事情相同時，正比於它滿足我們的需要的能力，因而具有生物學的重要性。雖然我們的視覺和觸覺本來只是由物體的表面產生的，但是強大的聯想尤其驅使原始人比他實際觀察的想像得更多，或者像他以為的那樣，察覺得更多。他想像，他僅僅察覺的表面包圍的地方充滿物質；當他看見或抓住他有幾份熟悉的物體時，情況尤其如此。意識到我們只是察覺物體表面，需要顯著的抽象能力——不能把這種能力歸於原始人。
第三節
被捕食的和有用的對象的特別明顯的形狀，在這方面也具有重要性。人通過與他的環境的交流學會了解某些確定的形式，即某些特殊的空間感覺的組合，甚至用純粹生理的特徵也能毫不含糊地刻畫它們。直線和平面由於它們的生理學上的簡單性被區分高於其他形式，圓和球同樣也是這樣。對稱的和在幾何學上相似的形式的密切關係，被純粹的生理學的特徵揭示出來。我們從我們的生理經驗中獲取的形狀的多樣性，決不是無足輕重的。最後，通過使用身體的對象，物理經驗也把它的豐富定額貢獻給普遍的貯存。
第四節
粗糙的物理經驗迫使我們把某種經久不變性賦予物體。除非有不這樣做的特殊理由，也把同一經久不變性歸於複合「物體」的個別屬性。我們也認為物體的顏色、硬度、形狀等是恆定的；尤其是，我們把物體視為相對於空間是恆定的、不可破壞的。空間的恆定性、空間的實質性的假定，在幾何學中找到它的直接表達。我們的生理的和心理的組織獨立地預先傾向於突出恆定性；因為普遍的物理恆定性必然地在我們的組織——這本身是物理的——中形成積澱，儘管在種族的適應中十分確定的物理恆定性曾起過作用。由於記憶在物體原來的形式和維度上復活了以前感知的物體的圖像，它為辨認相同的物體提供了條件，從而為恆定性的印象奠定了第一個基礎。但是，幾何學還需要某些獨特的經驗。
第五節
設物體K被突然從環境FGH運送到環境MN（而離開觀察者A運動。對於視覺觀察者A來說，物體K在大小上減小，並一般地呈現不同的形式。但是，對於和K一起運動並相對於K保持相同位置的視覺觀察者B來說，K依然是不變化的。觸覺觀察者經歷類似的感覺，雖然各自的減小在這裡正需要接觸感覺不是傳心術感覺的理由。A和B的經驗現在必須是和諧的，他們的矛盾必須被消除——當同一觀察者交互地扮演A和B的角色時，這個要求變得尤為緊迫。他們能夠是和諧的唯一方法，是把獨立於它相對於其他物體的位置之恆定的空間性質賦予K。在觀察者A中由K決定的空間感覺，被認為依賴於其他空間感覺（K相對於觀察者A的身體的位置）。但是，在A中由K決定的這些相同的空間感覺，獨立於表示K相對於B、或相對於FGH……MNO的位置的其他空間感覺。我們在這裡涉及的恆定性，正處在這種獨立性中。因此，幾何學的根本假定基於經驗，儘管是理想化的類型的經驗。
第六節
由於所考慮的經驗採取明顯的和完全決定的形式，因而物體K必須是所謂的剛體。如果與三種截然不同的感性知覺作用聯繫在一起的空間感覺依然是不改變的，那麼針對空間感覺複合的不變性給出的條件就由剛體決定。從感官生理學的觀點來看，對物體產生的空間感覺的這種決定藉助三個空間感覺要素從而刻畫了剛體的特徵。這對於視覺和觸覺感覺二者也有效。在使用這種標示時，我們正在思考的不是剛性——在定義剛性時我們會被迫進入不同的感覺域——的物理條件，而是僅僅給予我們的空間感覺的事實。實際上，我們現在正在把每一個物體視為具有所分配的性質的剛體，甚至把流體也如是觀，只要它們的部分彼此之間不相對運動。
第七節
儘管幾何學不涉及有形的對象、而涉及理想的對象這一經常反覆的爭論是恰當的，但是依然不容懷疑，幾何學起源於集中在有形物體的空間關係的興趣。它擁有這一起源的最分明的標誌，它的發展路線只有在考慮到這些痕跡時才是可以充分理解的。我們對於物體的空間行為的知識建立在它們產生的空間感覺的比較之基礎上。即使沒有人為的或科學的最小幫助，我們也能獲得豐富的空間經驗。我們能夠近似地判斷，我們察覺相互並排地在不同距離處於不同位置的剛體，當使它們相繼處於同一位置時，它們將近似地產生相同的還是不相似的空間感覺。我們十分恰當地了解，一個物體是否將與另一個物體重合，平直地放在地上的杆子是否將達到某一高度。不過，我們對空間的感覺受生理環境的支配，生理環境對於被比較的成員來說，從來也不能是絕對等價的。在每一個嚴格檢查的案例中，必然要把感覺的記憶痕跡與實在的感覺比較。因此，如果它是物體相互之間精密的空間關係問題，那麼我們必須提供儘可能不依賴生理條件的特徵，從而難以控制。這是通過把物體比較完成的。物體A是否與另一個物體B重合，是否能夠使它精密地占據另一個物體充滿的空間，也就是說，在相似的環境下兩個物體是否產生相同的空間感覺，這一切能夠以極大的精確性估計。我們認為，這樣的物體是在空間上或幾何學上在各個方面相等的——是全等的。感覺的特點在這裡不再是權威的；它現在僅僅是感覺的相等或不相等的問題。如果兩個物體都是剛體，那麼我們能夠把我們在與第一個比較方便的、比較容易移動的標準物體A相關聯中收集的所有經驗應用到第二個物體B。我們將把前者回復到環境，以致使用特殊的比較物體或標準物體對每一個物體來說既不必要，也不可能。最方便的比較物體——雖則僅僅勉強地可以應用——即我們總是在我們眼前具有移動時不變的物體，是我們的手和足（feet）、我們的臂和腿。最古老的度量名稱清楚地表明，我們最初用一手之寬（handbreadth）、前臂長（forearms ells）、腳長（英尺）（feet）、步度（Paces）等進行我們的測量。只不過較高的測量精確度是由引入約定的和仔細保存的物理標準開始的；原理依然是相同的。度量能使我們比較難以移動或實際不動的物體。
第八節
正如已經評論的，具有最強烈興趣的東西，不是物體的空間性質，而主要是物體的物質性質。這個事實甚至在幾何學的開端肯定找到了表達。物體的容積被本能地作為描述物質性質的量來考慮，在它的幾何學性質收到接近深刻思考的任何東西之前好久，就開始成為爭論的課題。然而，正是在這裡，比較即容積的測量獲得它的最初的意義，從而在早期的幾何學的主要的和最重要的問題中占據了它的位置。頭一批容積測量無疑是液體和果實的測量，是用中空的量具進行的。目標是方便地確定同樣的物質的量，或同類的、形狀相似的（等價的）物體的量（數量）。因此，相反地，貯藏室（穀倉）的容積很可能起初就用它能夠容納的同類物體的量或數量來估算。用容積單位測量容積很可能是晚得多的概念，只能在較高的抽象階段上才能得以發展。
第九節
面積的估計無疑也是由一塊田地能夠容納的結果實的或有用的植物的數量，或由能夠在其中播種的種子的量引起的；或者可能由這樣的工作需要的勞力引起的。當相同大小和形狀的田地彼此相處較近時，在這種關聯中顯然容易使人想到用一個面測量一個面。在這裡，人們幾乎無法懷疑，由n個相同大小和形式的地塊組成的田地也具有n倍的農業產值。當我們考慮埃及人、甚至羅馬農人通常所犯的面積測量的錯誤時，我們不會傾向於低估這一理智步驟的意義。即使對於像希臘人這樣的具有傑出的幾何學天才的人來說，而且在後來的時期，我們也偶爾遇見具有相等周長的面在面積上是相等的觀念的零星表達。當波斯的「超人」薛西斯希望清點軍隊——他必須「供養」它們，他在鞭打下驅使他們跨越赫勒斯滂進攻希臘人——時，他採取下述步驟：讓10000人整隊緊緊擠在一起。用圍欄把他們復蓋的面積圍起來，為了計數別的10000，把軍隊的每一個相繼的分隊，或者更恰當地講，把一群奴隸趕進並充滿柵欄。在這裡，我們碰到下述觀念的相反的應用：用相等的、等價的、直接毗連的、覆蓋面的物體的量（數量）測量面。在抽象中，起初是本能地，然後是有意地，從這些物體的高度過渡到藉助面的單位測量面。類似的用容積測量容積的步驟要求更多實踐的、受過幾何學訓練的直覺。它是在較晚達到的，甚至在今天對民眾而言也不大易懂。
第十節
用一天的旅程、旅行的時間等計算的對長距離的最古老的估計；無疑建立在努力、勞作和為行走這些距離必需耗費的時間的基礎上。但是，當用手、腳、臂、棒或鏈的重複應用測量長度時，那麼準確地觀察，測量是通過同類物體的計數進行的，我們實際上再次從事容積的測量。這一概念的奇特性在這種闡明的過程中將消失。現在，如果我們起初本能地、然後有意識地從物體的兩個橫向線度抽象，那麼我們便達到用線來測量線。
第十一節
通常把面定義為空間的邊界。因此，金屬球的面是金屬和空氣之間的邊界；立或者是金屬的一部分，或者是空氣的一部分。類似地，一維的線是面的邊界；例如，赤道是半球面的邊界。無維度的點是線的邊界；例如，圓的弧的邊界。點通過它的運動生成一維的線，線通過它的運動生成二維的面，面通過它的運動生成三維的立體空間。這一概念根本沒有把困難給予擅長抽象的心智。無論如何，它遭受了它並未顯示出來的、但是相反地卻人為地隱蔽起來的退卻，即藉以達到抽象的自然而實際的途徑。因此，在長度的測量被討論之後，當從這種觀點嘗試定義面的度量或面積的單位時，便感到某種不便。
第十二節
如果把每一種測量視為藉助直接毗連的、在空間上等價的、或者至少假設性地等價的物體來計數空間，而不管我們涉及的是容積、面、還是線，那麼便達到比較同類的概念。可以把面看作是處處具有相同的恆定厚度的物質薄板，我們可以使厚度隨意變小，變得逐漸消失地小；可以把線看作是具有恆定的、逐漸消失地小的厚度的繩子或絲線。於是，點變成我們有目的地從其廣延抽象的小的有形的空間，不管它是另一個空間的、面的一部分，還是線的一部分。在計數中使用的物體可以具有符合我們需要的任何小東西或任何形式。沒有什麼事情妨礙我們以通常的方式把這些圖像理想化，而這些圖像只是由於不顧薄板和絲線的厚度，以所指明的自然的方式達到的。呈現出幾何學基本概念的通常的和多少有些膽怯的模式，無疑歸因於下述事實：使數學擺脫它的早期基本形式的歷史的和偶然的鐐銬之無限小方法，在稍後的發展時期之前並未開始影響幾何學，幾何學與物理科學坦白而自然的聯盟也在較晚之前還未通過高斯恢復起來。但是，這些要素現在將不帶有我們的較充分洞察的長處，其原因還沒有清楚地看出。甚至萊布尼茲也提到這樣的事實，即在我們的幾何學定義中從固體開始也許是比較合理性的。
第十三節
藉助固體對空間、面和線的測量，是一個我們精製的幾何學方法變得完全與之疏遠的概念。可是，這一觀念不僅僅是目前理想化的方法的先驅，而且它在幾何學的心理學中起著重要的作用，而且我們發現它在發展的後期還強有力地活躍在這個領域的研究者和發明者的工作室。卡瓦列里的除不盡法通過這一觀念好像最能理解。採用他本人的說明，讓我們把要比較的面（求面積）看作是仿照織物的經線的方式，用我們意欲的任何數目的等距離的平行絲線覆蓋，把要比較的空間（求容積）看作是用平行的薄紙片充滿。於是，絲線的總長度可以作為面的量度，紙張的總面積可以作為容積的量度，測量的準確性可以進行到我們希望的任何一點。如果相同的等距離的物體充分接近到一起且具有恰當的形式，那麼其數目恰如絕對覆蓋面或絕對充滿空間的等價物體的數目一樣，完全能夠提供面和一致空間的數值量度。如果我們使這些物體收縮，直到它們變成線（直線），或者直到它們變成面（平面），那麼我們將得到面分為面元和空間分為空間元，同時得到用面習慣測量面和用空間習慣測量空間。卡瓦列里的有缺陷的講解不適應他的時代的幾何學狀況，它招致幾何學史家對他的漂亮的和富有創見的步驟進行十分嚴厲的批評。亥姆霍茲的批判性判斷在易受攻擊的時刻服從他的想像力，他在他的偉大的年輕時代的著作中能夠認為面是包含在它之內的線（縱坐標）的總和，這個事實只不過是這個獨創性的自然的概念達到的偉大深度的證據，是它藉以再斷言它自己的便利的證據。
第十四節
於是，我們首先具有可動物體存在的普遍經驗，不管物體的可動性，必須把上面記述的感覺中的某種空間的恆定性、恆久地等價的性質歸因於這一點——一種構成測量概念的基礎的性質。但是，除此以外，還存在著在職業和藝術的追求中本能地收集的諸多形形色色的特殊經驗，這些特殊經驗把它們的份額也貢獻給幾何學的發展。由於這些經驗部分地以未曾料到的形式出現，部分地相互和諧一致，有時在不小心應用時，甚至變得捲入看來好像是自相矛盾的東西之中，因此它們擾亂了思想的進程，激勵思想追求這些經驗的有序的邏輯關聯。我們現在將全神貫注於這些過程中的某一些。
第十五節
即使希羅多德的眾所周知的陳述也是不夠格的，他在陳述中把幾何學的起源歸之於在埃及人中的土地測量；即使該敘述也完全丟失了歐德摩斯（Eudemus）關於早期幾何史留下的東西和我們所知的從普羅克洛斯那裡摘錄的東西，在我們看來，也許不可能懷疑幾何學的前科學時期存在過。第一個幾何學知識是偶然地、在沒有計劃的情況下，在實踐經驗的路線上，在與最多變的使用的關聯中得到的。它是在科學精神或對上述經驗的相互關聯的興趣僅僅有點發展的同時獲得的。甚至在我們的幾何學開端的貧乏歷史中，這也是明白的，不過在一般的原始文明的歷史中更加如此，在那裡眾所周知，技術的幾何學應用存在於如此之早的野蠻時代，以致絕對地排除科學努力的假定。
第十六節
所有原始部落都從事編織技藝，在這裡像在他們的繪圖、繪畫和木刻中一樣，出現了由最簡單的幾何學形式構成的更可取的裝飾主題。因為這樣的形式像我們的兒童繪圖一樣，符合他們想要模仿的對象的簡化的、典型的、圖式的概念，而用他們的原始工具和手工的靈巧最容易製作的也正是這些形式。由一系列類似形狀的、相互顛倒的三角形或由一系列平行四邊形構成的這樣的裝飾（圖 11）， 清楚地暗示出這樣的觀念：當把三角形三個角的頂點放置在一起時，它們之和構成兩個直角。在由相同形狀的不同顏色的石料建造習慣的鑲嵌圖和鋪路面時，這個事實也不可能逃脫亞述、埃及、希臘等地的陶工和石工。一點周圍的平面場地能夠被僅僅三個正多邊形，即被六個等邊三角形、四個方形和三個正六邊形完全填滿，這個畢達哥拉斯學派的定理暗示出同一來源。在早期希臘人證明關於任何三角形角之和定理的下述方法中，也揭示出相同的起源：把三角形分割（通過畫高線）為兩個直角三角形，並相應於這樣得到的部分完成矩形。同樣的經驗也發生在其他許多場合中。如果測量者繞多邊形地塊步行，那麼他將在到達起點時發現，他轉了由四個直角構成的一個完整的循環。相應地，在三角形的案例中，由於內角和外角由六個直角構成（圖 12）．
在減去循環的三個外角a，b，c後，將依然有兩直角作為內角之和。高斯的同代人蒂鮑（Thibaut）使用了定理的這一推導。如果製圖員通過繞內角總是在相同的方向上轉動他的直尺畫三角形（圖13），
那麼他將在抵達第一個邊時再次發現，若他的直尺的棱在開始時向著三角形外部放置，則三角形此時將處在內部。在這個步驟中，直尺在相同的方向掃過三角形的內角，在這樣掃過時完成了半個循環。泰勒評價說，折布或摺紙可以導致相同的結果。
如果我們以圖14所示的方式折一個三角形紙片，那麼我們將得到在面積上等於半個三角形的雙矩形，在這裡將看到，在a處重合的三角形的角之和是兩直角。雖然通過摺紙可以得到一些十分令人驚訝的結果，但是幾乎不能假定，這些過程在歷史上對幾何學來說是十分多產的。該材料具有非常有限的應用，使用它的工匠一點也未受刺激去進行精密觀察。
第十七節
因此，平面三角形的角之和等於一個確定的量即兩直角的知識，是通過經驗達到的，這與槓桿定律及玻意耳和馬略特（Mariotte）定律沒有什麼不同。的確，無論無助的眼睛，還是用最靈敏的儀器測量，都不能絕對地證明，平面三角形的角之和嚴格地等於兩直角。但是，該案例恰恰與槓桿定律和玻意耳定律相同。因此，所有這些定理都是理想化的和圖式化的經驗；因為實際的測量將總是顯示出與它們的輕微偏離。氣體定律被進一步的實驗證明僅僅是近似的，在不得不以極大的精確性描述事實時需要修正它，而槓桿定律和關於三角形的角之和的定理卻像會導致我們預期的實驗的不可避免的誤差一樣，依然精密地與事實一致；可以使建立在這兩個作為初始假定的定律基礎上的所有結果成為同一陳述。
第十八節
處在同一直線上以它們的底相互並排地鋪設的相等而且相似的三角形，也必定導致十分重要的幾何學知識的片斷（圖15）。如果把三角形沿直線移置在平面上（沒有轉動），那麼它的所有點，包括它的邊界線的點，將描繪相等的路線。因此，相同的邊界線將在任何兩個不同的位置提供在所有點彼此等距離的兩個直線系統，該操作保證了由位移的線在兩條直線的相應側面形成的角相等。所以在位移的線的同一側上的內角之和被決定是兩直角，這樣便達到了歐幾里得的平行定理。我們可以添加說，擴大這類鋪設的可能性無限制地、必然地把增加的明顯性給予這個發現。直到今天，三角板沿直尺滑動依然是畫平行線的最簡單。最自然的方法。幾乎沒有必要評說，平行定理和三角形角之和定理是不可分割地關聯的，只不過描述了同一經驗的不同方面。
第十九節
上面提及的石工必須無困難地做出正六邊形能夠由等邊三角形構成的發現。這樣直接產生了把圓分割為部分的最簡單的例子，即用半徑把圓分為六部分、把它分為三部分等等。每一個木工本能地、幾乎在沒有思考的情況下就知道，由於圓的完美的對稱性，能夠從圓柱形的樹幹以無限數目的不同方式切割出具有矩形對稱橫截面的朽木。桁木的棱都將處在圓柱的表面，截面的對角線通過中心。按照漢克爾和秦勒的的觀點，正是以這種方式，可能做出了在半圓上內接的所有角都是直角的發現。
第二十節
拉長的線提供了直線的顯著的形象化。直線是由它的心理學的簡單性刻畫出特徵的。它的所有部分引起相同的方向感覺；每一點都喚起鄰近點的空間感覺的平均值；每一個無論多麼小的部分都類似於每一個無論多麼大的其他部分。雖然它影響了許多作者的定義，但是幾何學家用這種心理學的特徵卻無法完成定義。形象化的圖像必定是被關於在幾何學上合用的物質對象的物理經驗豐富的。設把繩子一端扎在A，沒把它的另一端通過環形物扎在B。如果我們在B處在終端拉繩子，我們將看到以前處於A和B之間的繩子的部分在B處通過，而與此同時繩子將趨近直線的形式。與組成曲線相比，較少數目的繩子的相似部分即等價的物體足以組成連結A和B的直線。斷言直線藉助純粹的想像被認為是最短的線，這是錯誤的。就質而論，我們的的確確能夠在想像中以完善的精確性和可靠性複製繩子經歷的形式和長度的同時發生的變化。但是，這無非是關於物體的先驗的經驗——思想中的實驗——的復活。對空間的純粹被動的冥思從來也不會導致這樣的結果。測量是包括物理反應、重合實驗在內的經驗。具有不同方向和長度的形象化的或想像的線不能即刻相互應用。必須用被認為是不可改變的物質對象實際地經驗這樣的程序的可能性。把直線作為兩點之間最短距離的本能的知識賦予動物是錯誤的。如果刺激吸引動物的注意力，如果動物如此轉動以使它的對稱平面通過刺激的對象，那麼直線是唯一地由該刺激決定的運動的路線。在洛布關於動物向性（tropisms）的調研中，明確地表明了這一點。
第二十一節
進而，僅有形象化不能證明三角形的任何兩邊在一起大於第三邊。確實，如果把兩邊通過繞底角頂點旋轉放在底上，那麼只有通過想像行為才能看到，兩邊與它們在圓弧上運動的自由端點最終將交疊，從而比填補底還要多。但是，我們不應該達到這一描述，倘若在與物質對象的關聯中實際上沒有目睹該程序的話。歐幾里得從每一個三角形的較大邊與較大角相對的事實，迂迴地和人為地演繹這個真理。但是，在這裡，我們知識的來源也是經驗——物理的三角形的邊運動的經驗；然而，這個來源被演繹的形式吃力地隱蔽起來，這並沒有伴隨明白和簡潔的增加。
第二十二節
但是，用在先的經驗的真理並未窮竭直線的性質。如果把任何任意形狀的金屬線放在木板上與兩個直立的釘子接觸，並如此沿著滑動，以使它總是與釘子接觸，那麼在釘子之間的金屬線的部分之形式和位置將不斷地變化。金屬線越直，變化將越輕微。彎曲的金屬線在繞它自己的固定點中的兩個轉動時，它將繼續不斷地改變它的位置，但是直的金屬線將依然保持它的位置，它將在它自身之內轉動。現在，當我們把直線定義為由它的點之中的兩個完全決定的線時，在這個概念（concept）中，除了從所提到的物理經驗推導出的經驗概念（no－tion）——這種概念決不是由想像的生理行為直接提供的——的理想化之外，不存在其他東西。
第二十三節
平面像直線一樣，也是由它的簡單性刻畫其生理學上的特徵的。它似乎在各個部分都是相同的。每一點都喚起鄰近點的空間感覺的平均值。每一部分無論多麼小都與每一其他無論多麼大的部分相像。但是，如果必須把這些性質表達為幾何學的陳述，那麼也需要在與物理對象的關聯中獲得的經驗。平面像直線一樣，在生理學上關於它本身為對稱，倘若它與物體的中線平面重合或與同一平面成直角的話。但是，為了發現對稱是平面和直線的恆久的幾何學性質，必須把二者的幾何作圖作為可動的、不可改變的物理對象給出。生理上的對稱與度規性質的關聯也需要特殊的度規證明。
第二十四節
在物理上，平面通過把三個物體在一起摩擦來構造，直到得到三個面A，B，C為止，每一個面嚴格地符合另一個，既沒有凸面，也沒有凹面，而只有平坦的面，正如圖16表明的，這是一個能夠完成的結果。實際上，凸狀和凹狀是通過摩擦去除的。類似地，比較真實的直線能夠藉助不完善的直尺得到：首先放置直尺使它的末端緊靠點A，B，接著從它的位置轉動它通過180度的角度，再把它緊靠A，B放置，此後把如此得到的兩條線之間的平均值作為比較完善的直線，並用最後得到的線重複該操作。在通過摩擦產生平面時，也就是說，在通過摩擦產生在所有點和兩側具有相同形式的面時，經驗提供了附帶的結果。把這樣兩個平面一個放在另一個之上，人們將獲悉，該平面到自身之上是可取代的，在自身之內是可轉動的，正像直線那樣。在平面上任何兩點之間拉長的絲線完全落在平面內。橫越平面任何邊界部分的拉緊的布塊與平面重合。因此，平面在它的邊界代表面的極小值。如果把平面放在兩個尖銳的點上，它還能夠繞連結點的直線轉動，但是任何在這條直線之外的第三點固定了平面，也就是說，完全決定了它。
在上面提及的給維塔萊·焦爾達諾（Vitale Giordano）的信中，當萊布尼茲把平面定義為把無界的固體分為兩個全等的部分，把直線定義為把無界的平面分兩個全等的部分時，他最直率地使用了這種關於物質對象的經驗。
第二十五節
如果把注意力指向平面關於它自身的對稱性，並且假定兩點一個在它的每一側，每一個關於另一個為對稱，那麼將發現，平面上的每一點都與這兩點等距離，萊布尼茲的平面定義達到了。直線和平面的一致性和對稱性，分別是它們為長度和面積的絕對極小值之結果。儘管為給出極小值的邊界必須存在，但卻沒有包含其他附屬條件。極小值是唯一的，在它的種類方面是單獨的；因此，它關於邊界點為對稱。由於極小值的絕對性，每一部分不管多麼小，再次展現出相同的極小性質；從而展現出一致性。
第二十六節
有機地相關的經驗真理可以相互獨立地造成它們的外觀，無疑在已知它們相關的事實之前好久，這一點就被發現了。但是，這並沒有妨礙它們後來被辨認出是包含在另一個之中並被另一個決定，是可以相互演繹的。例如，假定我們獲知了直線和平面的對稱性和一致性，我們樂於演繹，兩個平面的交是直線，平面的任何兩點能夠用整個處在平面內的直線連結起來等等。只是難以覺察的和不引人注目的經驗的極小值需要這樣的演繹，這一事實不應該誘入下述錯誤：認為這個極小值是完全多餘的，相信僅僅形象化和推理對構造幾何學來說是充分的。
第二十七節
像直線和平面的具體的形象的圖像一樣，我們關於圓、球、柱等等的形象化也這樣被物質的經驗豐富，並以這種方式首次表示服從富有成效的幾何學處理。促使我們的兒童在他們的概念和圖畫中僅僅保留典型特徵的同樣經濟的衝動。也導致我們把從我們的經驗中導出的圖像圖式化和概念理想化。雖然我們在自然界中從未碰到完善的直線或精密的圓，但是在我們的思維中，我們卻事先計劃好從這樣存在的偏離中抽象。因此，幾何學涉及的是通過經驗對象的圖式化產生的理想對象。
第二十八節
我在其他地方評論說，在初等的幾何學教育中，占支配地位地修習問題的邏輯方面，而忽視向青年學生打開包含在經驗中的知識的源泉，確實是錯誤的。使人感到可喜的是，人們注意到，與我們相比較少固於傳統的美國人破除了這種體制，正在把一種實驗幾何學作為導言引入系統的幾何學教育。
第二十九節
在幾何學概念的本能的、技術的和科學的獲得物之間，無法畫出一條截然分明的界線。一般地講，我們也許可以說，由於在工業和經濟領域裡的勞動分工，由於日益增長的特殊對象的使用，知識的本能的獲得物進入背景之中，知識的技術的獲得物開始了。最後，當測量本身變成目的和職業時，在各種各樣的測量操作之間得到的關聯獲得了強大的經濟利益，我們達到幾何學的科學的發展時期，我們現在繼續向這一點行進。
第三十節
幾何學的度量相互依賴的知識是用形形色色的方法達到的。在用面開始度量面之後，某種另外的進步幾乎是不可避免的。在一個容許分為相等的部分的平行四邊形域中，以致每一個包含m個域的n排部分域並排相互放置，計數這些域是不必要的。通過把測量邊的數目在一起相乘，便發覺域的面積等於mn這樣的域，而且很容易發現用畫對角線形成的兩個三角形中的每一個面積等於mn／2這樣的域。這是算術對於幾何學的第一次和最簡單的應用。同時發生的是，面積的度量依賴於其他度量即線和角的度量，也被發現了。人們發覺，矩形的面積比具有相同長度的邊的斜平行四邊形的面積大；因而，面積不僅取決於邊長，而且也取決於角度。另一方面，正如容易看到的，由平行於底的木條構成的矩形，通過位移能夠轉變為具有相同高和底的任何平行四邊形而不改變它的面積。正像每一個木工知道的，具有它們的給定的邊的四邊形在它們的角方面還未被決定。他添上對角線，使他的四邊形變成三角形，而三角形在邊給定時是剛性的，也就是說，就它們的角而言也是不可變的。由於察覺到度量相互依賴，從而引入真實的幾何學問題。施泰訥（steiner）貼切而公正地把他的主要著作冠以《幾何學圖形相互依賴的系統發展》的書名。在施內爾（Snell）有獨創性的、未受賞識的論基礎幾何學的專題著作中，上述問題甚至對初學者來說也變得顯而易見。
第三十一節
用金屬線構造一個平面的物理的三角形。如果其邊之一繞一個頂點轉動，以便使在那點的內角增加，那麼將看到運動的邊改變它的位置，對邊隨角一起變大。金屬線除了現在之前的那些以外，將需要新的片斷完成最後提到的邊。這個實驗以及其他相似的實驗能夠在思想中重複，但是心理實驗從來只不過是物理實驗的摹本。如果物理實驗先前沒有導致我們關於在空間上不可改變的物理物體的知識——度量的概念，那麼心理實驗恐怕是不可能的。根據這種特點的實驗，有助於我們達到這樣一個真理：在三角形內可發現的六個度規量（三個邊和三個角）中，至少包括一個邊在內的三個度規量足以決定三角形。如果在決定三角形的組分中只給予一個邊，那麼所考慮的角或者必須是給定的邊包含的角，或者是與較大的邊相對的角——至少若決定不得不是唯一的話。在達到三角形由三邊決定和它的形式獨立於它的位置的洞察後，可以得出結論說，在等邊三角形中所有三個角和在等腰三角形中與等邊相對的兩個角必定是相等的，不管角和邊無論以什麼方式相互依賴。這在邏輯上是確定的。但是，由於那個理由，它所依據的經驗基礎絲毫也不比它在類似的物理學案例中那樣多餘。
第三十二節
邊和角相互依賴的模式首先在特殊的例子中被自然地辨認出來。在計算矩形和由它們的對角線形成的三角形的面積時，必定會注意到這樣的事實：具有3和4個長度單位的邊的三角形給出具有3，4，5個長度單位的邊的直角三角形。因此，成直角性表明與邊之間的確定的、合理的比率相關。關於這個趔的知識藉助三個分別為3，4和5個長度單位的相關聯的繩索立樁標出直角。等式3[2]＋4[2]＝5[2]現在引起注意，已證明它的類似物對於具有長度a，b，c的邊的所有直角三角形都是有效的（一般公式是a2＋b2＝c2）。眾所周知，這一關係多麼深刻地進入度規幾何學中，距離的所有間接測量如何可以追溯到它。我們將努力揭開這個關係的基礎。
第三十三節
首先必須評論一下，對於所謂的畢達哥拉斯定理，無論希臘的幾何學演繹還是印度的算術演繹，都無法避免考慮面積。所有演繹依據的、在整個演繹中以不同形式本能地出現的一個本質之點如下：如果使三角形a，b，c（圖17） 在它自己的平面上滑動一個短距離，那麼可以設想，它留在後面的空間被它占有的新空間彌補或補償。這就是說，邊中的兩個在位移時掃過的面積等於第三邊掃過的面積。這個概念的基礎是三角形面積守恆的假定。如果我們把面看作是十分微小的、但不改變第三維厚度（為此這在目前的關聯中不產生影響）的物體，那麼我們將再次具有作為我們根本假定的物體體積的守恆。相同的概念可以應用到四面體的平移，但是它在這個例子中不導致新的觀點。體積守恆是剛體和流體通常具有的性質，被舊物理學理想化為不可入性。在剛體的情況下，我們具有所有部分之間的距離保持不變的附加屬性，而在流體的情況下，剛體的性質僅就最小的時間和空間元才存在。
第三十四節
如果使具有邊a，b，c的斜三角形在邊b的方向上位移，那麼根據上面敘述的原理，僅僅b和c將描繪出等價的平行四邊形，這些平行四邊形在相同的平行線上的相等的一對平行邊方面是相同的。如果a與b成直角，且把三角形與〔成直角地移動距離c，那麼邊c將描繪出正方形c2，而另外兩個邊將描繪出平行四邊形，其組合面積等於正方形面積。通過剛才在先的觀察，兩個平行四邊形分別等價於a 2 和b 2 ——以此便達到了畢達哥拉斯定理。相同的結果也可以通過下述程序得到（圖18）：
首先使三角形與a成直角地滑動距離a，然後與b成直角地滑動距離b，在這裡a 2 ＋b 2 將等於c掃過的面之和，該和顯然是c 2 。取一個斜三角形，與剛才完全相同的程序容易且明顯地給出比較普遍的命題c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2abcos γ 。
第三十五節
因此，三角形第三邊對於另外兩邊的依賴由被圍住的三角形的面積決定；或者，用我們的概念來講，由包含容量的條件決定。也能直接地看出，上述的等式表達了面積的關係。確實，也可以把兩個邊之間所夾之角看作是對第三邊起決定作用，在這個案例中等式將明顯地呈現截然不同的形式。讓我們略微仔細地考察一下這些不同的度量。如果兩條長度為a和b的直線之端在一點相交，那麼把它們的自由瑞連結起來的線〔的長度將包括在一定的限度之間。我們將有c≤a＋b和c≥a－b。僅僅形象化不能告知我們這個事實；我們只能從思想中的實驗——基於有形實驗並再現它的一種程序——獲悉它。例如，這一點將通過抓牢a並轉動b，首先直到它形成a的延長部分為止，其次直到它與a重合為止。直線原本是由心理性質刻畫特徵的唯一具體的圖像——我們能夠從具有確定特點的物體中得到這一圖像，它以具有無限小但卻恆定的厚度的繩子或金屬線的形式把容量的最小值插入它的端點的位置之間——只能夠以一種唯一決定的方式完成它。如果幾條直線通過一點，那麼我們用它們的方向從心理學的角度在它們之間進行區分。但是，在通過關於物理對象的度規經驗得到的抽象空間中，不存在方向的差異。通過一點的直線在抽象空間中只能藉助在它之上指定第二個物理點來完全決定。定義在方向上恆定的直線，或者把角定義為方向之間的差異，或者把平行直線定義為具有相同方向的直線，就是在心理學上定義這些概念。
第三十六節
當我們開始在幾何學上刻畫或決定被形象地給予的角時，各種不同的方法供我們支配。當距離在兩個固定點之間被指定，而使每一點在交點之外置於角的分離的邊之上時，角就被決定了。為了使定義變得一貫，可以選擇位於距頂點相同的和不變的距離的點。於是，相互並排地處於與它們的頂點重合的同一平面的給定角之等倍數，不能用這些點之間的距離的相同等倍數來量度，這種不方便的理由在於，這種決定角的方法未被引入初等幾何學。當使角截取的圓周或圓面積的除得盡的部分與它在中心的頂點都處在圓的平面上時，通過選取該部分便得到更簡單的度量、更簡單的角的特徵。在這裡所包含的約定是比較方便的。
在利用圓的弧決定角時，我們再次僅僅度量容量，即由具有簡單的確定的形式的物體占據的容積，而該物體是在距頂點等距離的角的臂上的兩點之間被引入的。但是，單純的直線距離能夠刻畫圓的特徵。兩種量度，即直線的長度量度和角度的量度，原則上是作為基本的量度使用的，其他量度都由它們推導而來，這是一個明白、直接的問題以及由此導致的簡易和方便的問題。這決不是必要的。例如（圖19），在沒有特定的角的量度的情況下，可以用下述途徑決定直線與另一條直線成直角地相交：使它的距第一條直線上的兩點等距離的所有點處在距交點相等的距離。能夠以完全相似的方式決定角的平分線，通過連續的平分能夠得到我們希望的無論多麼小的角的單位。與另一條直線平行的直線能夠作為一個來定義，通過全等的曲線或直線路線能夠把另一條直線的所有點轉化為第一條直線的點。完全可能僅僅從直線段開始作為我們的基本量度。設給定一個固定的物理點a。另一點m距第一個點的距離是r。於是，這最後的點還能夠處在圍繞a以半徑r。描繪的球面的任何部分。如果我們還知道再一個點b，並把m移動距b的距離為rb，那麼三角形abm將是剛性的、被決定了的；但是，m還能夠在通過三角形繞軸ab轉動所描繪的圓上旋轉。如果現在把點m牢牢控制在任何位置上，那麼上述三點a，b，m所屬的整個剛體也將被固定。
第三十七節
因此，距空間中至少三個固定點a，b，c的距離ra，rb，rc在空間上決定了點m。但是，這一決定還不是唯一的，因為具有棱ra，rb，rc的稜錐——m處在這個稜錐的頂點上——也同樣能夠在平面a，b，c的一側構造，就像在該平面的另一側構造那樣。如果我們必須固定該側，比如說用特殊的記號，那麼我們應該訴諸生理的決定，因為在幾何學上平面的兩側並非不同。倘若點m被唯一地決定，它距位於平面abc之外的第四點的距離rd必然附帶地被給定。另外的點m』以相似的完成方式被四個距離r』a，r』b，r』c，r』d決定。因此，m距m』的距離也由這一決定給出。像各自被四個距離決定一樣，同樣的結論對於任何數目的其他點都為真，在四點之間，4（4-1）/1.2＝6的距離是可以料到的，要決定點的複合的形式，正好必須給出這個數。對於4＋Z＝n 點，6＋4z或4n－10的距離需要決定，儘管更大的數即n（－1）/1.2的距離存在著，以致距離的超過量也被同時決定。
第三十八節
如果我們從三點開始，並規定要進一步決定的所有點的距離將僅僅對於由三點決定的平面的一側有效，那麼3n－6的距離將足以決定n個點的系統相對於三個初始點的形式、大小和位置。但是，如果不存在關於所選取的平面之側的條件，即包含感覺的和生理的特徵但不包含抽象的度規特徵的條件，那麼點系統而不是預期的形式和位置，可能呈現對於第一個的點對稱或者由二者的點組合。由於我們對稱的生理組織，對稱的幾何圖像很容易被認為是相同的，儘管它們從度規和物理的角度來看是迥然不同的。向右旋繞的螺絲和向左旋繞的螺絲、兩個在相反方向旋轉的物體等等，在我們的眼睛看來似乎是十分相像的。但是，我們為此理由都不容許把它看作是在幾何學上或物理學上等價的。注意到這一事實會防止許多悖論問題。僅僅想一想這樣的問題給康德帶來的麻煩吧！感覺的生理屬性由相對於我們的身體、特殊構成的肉體系統決定；而度規屬性一般地由物理物體的世界決定。後者只能由重合實驗即測量來確定。
第三十九節
正如我們看到的，每一個幾何學的測量歸根結底都可以還原為容量的測量即物體的計數。長度的測量像面積的測量一樣基於每一個細繩、細棒和恆定厚度的葉片的容量的比較。這與下述事實沒有不符之處：面積的度量在算術上可從長度的測量推導出來，或者立體的度量可僅僅從長度的度量或從與面積的度量結合的那些度量中推導出來，這只不過證明了，容量的不同度量是相互依賴的。斷定這種相互依賴的形式是幾何學的基本目標，正如斷定各種計數操作或心智的排序活動關聯在一起的方式是算術的本分一樣。
第四十節
極其可能的是，視覺的經驗是幾何學發展急劇的原因。但是，我們從目前光學技術的發達狀態獲得的對光線性質十分熟悉，不應該誤導我們認為我們關於光線的經驗知識是幾何學的主要基礎。在充滿灰塵或煙霧的空氣中的光線提供了極妙的直線形象化。但是，我們不能從光線推導出直線的度規性質，恰如我們不能從想像的直線推導出它們一樣，為此目的，與物理對象有關的實驗是絕對必要的。實際幾何學家的拉長的繩索肯定比經緯儀的使用要古老。但是，一旦已知物理的直線，光線便提供了達到新觀點的十分清楚和近便的手段。盲人幾乎不會發明近代的綜合的幾何學。但是，處在幾何學基礎的最古老的和最有力的經驗恰恰是盲人通過他的觸覺可以接近的，就像能夠看見東西的人可以接近它們一樣。不管物體的可動性，二者都了解物體的空間的恆久性；二者都通過把握對象獲得了容量的概念。原始幾何學的創造者起初本能地、然後故意地和有意識地忽略那些對他人操作來說是非本質的、他暫時下關心的物理性質、以這種方式，通過逐漸的成長，理想化的幾何學概念在經驗的基礎上出現了。
第四十一節
因此，我們的幾何學知識來自各種源泉。我們在生理學上從直接的視覺和觸覺接觸中獲得了許許多多和各種各樣的空間形式。物理的（度規的）經驗（包括在相同的環境下由不同的物體引起的空間感覺的比較）與這些形式聯繫在一起，這些經驗本身也只不過是在感覺之間得到的其他關係的表達。這些形形色色的經驗序列如此密切地相互交織，以致只能用徹底的細查和分析分離它們，有關幾何學的廣泛歧異的觀點概源於此。在這裡它基於純粹的形象化（Anschauung），在那裡立基於物理的經驗，依據高估或忽略一個因素或另一個因素而定。但是，兩種因素都進入到幾何學的發展中，它們今天還在其中起作用；正如我們看到的，因為幾何學決不是全部使用純粹度規的概念。
第四十二節
如果我們打算詢問一個無偏見的、正直的人，他在什麼形式下例如參照笛卡兒坐標系描繪空間，他無疑會說：我擁有剛性的（固定的形式）、透明的、可穿透的、鄰接的立方體的系統的圖像，這些立方體具有僅僅由朦朧的視覺和觸覺標誌的界面——一種幻影的立方體，遍及並通過這些幻影的構象，實在的物體和它們的幻影的配對物運動著，同時保持它們的空間的恆久性（正如上面定義的），不管我們正在追求實際的或理論的幾何學還是運動論（phoronomy）。例如，高斯著名的關於曲線的研究實際上涉及到無限薄的薄片、從而涉及到柔軟的物體的相互應用。不能否定各種經驗序列在所考慮的基本概念的形成中協同作用。
第四十三節
然而，儘管幾何學由以起源的特殊經驗是各種各樣的，它們仍然可以還原為事實的最低的限度：具有確定的空間恆久性的可動物體存在著，也就是說剛體存在著。但是，可動性是被如下刻畫其特徵的：我們從一點畫三條並非在同一平面，但卻在其他方面未被決定的線。根據平行於這些直線的三個運動，任何一點都能夠從任何其他點達到。因此，在生理上和度規上作為最簡單的東西刻畫其特徵的三個測量或維度，對於所有的空間決定而言是充分的。這些是基本的事實。
第四十四節
物理的度規的經驗像所有形成實驗科學基礎的經驗一樣，是概念化的——理想化的。用簡單的表達清楚的概念在容易的邏輯的控制下描述事實的需要是這一點的理由。絕對剛性的、在空間上不變的物體，完美的直線和面，像理想氣體或理想流體一樣不存在。不管怎樣，我們更可取和更樂於用這些概念而不是用與對象的性質更密切符合的其他概念工作，而延緩對偏離的考慮。理論幾何學甚至不需要考慮偏離，因為它假定絕對滿足理論要求的對象，恰如理論物理學所作的那樣。但是，在實際幾何學的情況下，我們在這裡關注實際的對象，我們像在實際物理學中一樣被迫考慮與理論假定的偏離。但是，幾何學有一個附帶的長處，即它的對象與還可以受檢測的理論假定的每一個偏離都能被消除；而物理學由於明顯的理由不能構造比在自然界中實際存在的更完美的氣體。因為在後者的案例中，我們涉及的不只是單獨的任意可構造的空間性質，而涉及在自然界中發生的和獨立於我們意志的壓力、體積和溫度之間的關係。
第四十五節
概念的選擇受事實的啟示；可是，由於看到這種選擇是我們自願在思想中複製事實的結果，因此在這件事情上留下某種自由的餘地。概念的重要性由它們應用的範圍來估價。這就是為什麼直線和面的概念被置於突出的地位，因為每一個幾何學對象都能夠以充分的近似分成以面和直線為界的要素。我們決定強調的直線、面等等的獨特性質是我們自己自由選擇的素材，這個真理在就同一概念給出的各種定義中找到了表達。
第四十六節
於是，幾何學的基本真理無疑是從物理經驗推導出來的，僅僅是由於我們的空間形象化和感覺絕對達不到測量，不能成為度規實驗的對象。但是，同樣毋庸置疑的是，當有關我們的空間形象化與最簡單的度規實驗的關係變得熟悉時，於是就能夠極為熟練、極為確定地僅僅在想像中摹寫幾何學事實，即用純粹的心理經驗摹寫。正是在我們的空間感覺中的連續變化對應於物理物體中的連續的度規變化，才能使我們僅僅在想像中斷定相互依賴的特定的度規要素。現在，如果觀察到這樣的度規要素以嚴格相同的方式進入具有不同位置的不同結構，那麼將認為度規結果是相等的。上面提到的等腰三角形和等邊三角形可以作為範例。幾何學的心理實驗只是在下述方面優於物理實驗：能夠以更簡單的經驗這樣地完成立，仿佛它是更容易地、幾乎是無意識地獲得的。
第四十七節
我們的感覺的空間相像和形象化是定性的，而不是定量的或度規的。我們從它們中推導廣延的全等和差別，但從來不是實在的大小。
例如，設想一下圖20，一個硬和順時針向下滾動，圍繞著另一個同樣大小、沒有滾動的固定硬幣。即使我們的想像像它願意的那樣活潑，僅僅用摹寫的意象（imagery）的純粹技藝，也不可能在這裡決定在轉動整個一周時所描繪的角度。但是，如果考慮一下在運動開始時半徑a，a』在一條直線上，但是在繞轉四分之一周後半徑b，b』在直線上，那麼將立即可以看到，半徑a』現在豎直指向上方，從而完成了半周繞轉。從把理想化的經驗集中在確定的物理對象上的度規概念可得到繞轉的度量，但是繞轉的方向卻保留在感覺想像中。度規概念僅僅決定，在相同的圓中，相等的弧對著相等的角，與接觸點對應的半徑處在直線上等等。
第四十八節
如果我想像隨其角之一增加的三角形，那麼我也將看到與該角相對的邊增加。這樣產生的上述那種相互依賴的印象，僅僅先驗地出自想像的技藝。但是，想像在這裡只不過是摹寫經驗事實，角的度量和邊的度量是可應用於同一事實的兩個物理概念——這個概念對我們來說變得如此熟悉，以致開始把它們只不過看作是相同的想像的事實群的兩種不同的屬性，從而好像是聯繫在一起的十足的必然性。可是，我們在沒有物理的情況下從來也不能獲得這些概念。比較一下第21節。
第四十九節
在每一個幾何演繹中，感覺想像與從經驗導出的理想化的概念結合的作用都是明顯的。例如，讓我們考慮這樣一個簡單的定理：三角形ABC的邊的垂直平分線相交於一個公共點。實驗和想像二者無疑都導致該定理。但是，越仔細地作圖，人們越變得深信，第三條垂線沒有嚴格地通過頭兩條垂線的相交之點，因此在任何實際的作圖中，將發現三個相交點相互密切接近。因為在實際上既不能畫出完美的直線，也不能畫出完美的垂線；後者還不能嚴格地豎立在中點上；諸如此類，不一而足，只有在這樣的理想條件的假定上，AB的垂直平分錢才包含距A和B相等距離的所有點，BC的垂直平分錢才包含距B和C相等距離的所有點。由此可得，這兩個垂直平分線的交點與A，B和C等距，由於它與A和B等距，它也是第三條垂線即AC的點。因此，該定理斷言，越準確地滿足假定，相交的三個點將越接近地重合。
第五十節
感覺想像「即Anschauung或正如我們稱之為的直覺］和概念的結合作用的意義通過這些例子將無疑變得很清楚。康德說：「沒有內容的思想是空洞的，沒有概念的直覺是盲目的。」（KdrV A51／B75）也許我們可以更恰當地說：「沒有直覺的概念是盲目的，沒有概念的直覺是跛瘸的。」因為稱直覺［即感覺圖像］是盲目的和概念是空洞的似乎並非如此絕對正確。當康德進而說「在每一自然知識的部門中，僅僅存在與在其中包含的數學一樣多的科學」（《自然科學的形上學基礎》，導言）時，人們大概也可以就包含數學在內的所有科學斷言：「它們僅僅是達到它們用概念操作的程度的科學。」因為我們的邏輯控制只擴展到我們自己已決定其內容的那些概念。
第五十一節
物體是剛性的和可動的這兩個事實，對於理解任何幾何學事實都會是充分的，不管幾何學事實多麼複雜都會是充分的，也就是說，從提到的兩個事實可以導出它。但是，幾何學在它自己的興趣和它作為輔助科學的作用兩方面，或者在對實際目的追求中，都被迫回答以同一方式反覆再出現的問題。現在，在這樣的偶然事件中，每次都從最基本的事實開始，並推進到顯示出來的每一個新案例的根底，也許是不經濟的。因此，選擇某幾個簡單的，熟悉的和明確的定理——在我們的這種選擇中決不排除任性，並從這些定理中一勞永逸地為實際目的的應用系統形成回答最頻繁重現的問題的普遍命題，則是更為可取的。從這種觀點來看，我們立即理解了幾何學假定的形式——例如，它把重點放在它的關於三角形的命題上。就所預定的意圖而言，選擇具有最廣泛應用範圍的，最普遍的可能命題是稱心如意的。我們從歷史了解，通過把各種知識的特例綜合在單一的普遍案例之下，才能得到這種特徵的命題。今天，當我們處理兩個幾何學圖形的關係時，或者當形式和位置的不同特例迫使我們修正我們的演繹模式時，我們甚至不得不對這個程序再分類。作為在初等幾何學中的這方面的最熟悉的例子，我們可以引用在圓心角和圓周角之間得到的關係的演繹模式。
克羅曼（Kroman）提出這樣一個問題：我們為什麼認為用特殊圖形（特殊的三角形）構成的證明對於所有圖形是普遍可靠的？他發現他的答案在於假定，我們能夠通過急劇的變化，在思想中把所有可能的形式傳遞給圖形，從而使我們自己相信同一推理模式在所有特例中的可採納性。歷史和內省都宣布，這個觀念在所有基本的方面是正確的。但是，我們不可以和克羅曼一起假定，在每一個特例中，每個個別的幾何學學生都「以閃電般的迅疾」獲得這個完備的概要的觀點，並即刻達到所討論的幾何學確信的透徹和強度。頻繁需要的操作是絕對不可實行的，誤差證明，在其他案例中，它實際上不可實行，依然滿足於猜想的探究者立足於類比。除了個人馬上達不到或不能達到之外，他可以在他的一生的過程中達到。整整多代人辛苦地確認幾何學。對它的確實性的確信無疑被他們的集體努力增強了。我曾經了解，一位在其他方面出色的教師強迫他的學生用不正確的圖形完成他們的所有證明，但是在理論上，正是概念的邏輯關聯而不是圖形，才是本質的東西。但是，嵌入在概念中的經驗依附我們的感覺圖像。只有實際上形象化的或想像的圖形才能夠告訴我們，在給定的案例中必須使用什麼特定的概念。這位教師的方法令人欽佩地適應於使邏輯操作在達到真理中分擔的程度變得容易感覺到。但是，習以為常地使用它就是完全沒有領會這樣一個真理：概念從感覺的源泉獲取它們的基本功能。
如果準確地觀察事實，那麼還不能堅持用幸運的三段論排列就能夠一勞永逸地捕獲新洞察的觀點：該觀點既對單個的初學者或探究者不成立，也對作為一個整體的人或人類不成立，既對幾何學不適用，也對其他科學不適用。相反地，科學史表明，正確地還原為它的基礎的正確的新洞察遲早在某種程度上可能變混亂，不完備地或以被曲解的形式出現，甚或完全不再為某些探究者所知，只是在以後才以充分的光輝重新顯現。洞察的一次發現和表達是不夠的。把一般的思維習慣發展到上述的洞察能夠變成共同的特性並持久地充滿活力的地步，往往需要花費若干年和數世紀。迪昂在他的關於靜力學的歷史的詳盡調研中特別優美地表明了這一點。