認識與謬誤 · 第十四章　 假設

第一節 只是因為我們有局限的感官和理智的特徵，孤立的事實才存在。思想本能地和自行地進一步編撰觀察，並就事實的部分、結局和條件完善事實。獵人發現禽類，他的幻想立即產生未曾抓住它的整個鳥的形象。海流攜帶著奇異的植物、動物屍體、精緻的木雕物品，哥倫布（Columbus）想像這些東西發源的遙遠的、迄今未知的土地。希羅多德（Herodotus）（Ⅱ，19－27）觀察到尼羅河規則的洪水，並設想這些事件的最陌生的原因。甚至較高等的動物也習慣於以這種方式延伸所觀察的事實，儘管是以十分原始的形式。貓在鏡子背後尋找它的影像，它就它的身體特徵系統形成了一個假設，儘管是本能地和無意識地形成的，於是開始核驗它；但是，在這一點上貓停止了，恰恰在這裡，人在類似的情況下開始驚奇和思考。 第二節 事實上，科學假設的形成只不過是本能的和原始的思維的進一步的發展階段，能夠證明它們之間的所有過渡。在眾所周知的事實範圍內，僅有明顯的和習慣的猜測呈現出來，它的假設的性質將幾乎無法覺察，儘管不能說這裡有質的差異。這就是上述例子中的情境。不管哥倫布是猜測西方的大陸，還是勒維烈（Leverrier）猜測在給定的方向施加吸引力的擾動的行星，在兩個案例中，觀察只不過是以習慣的方式按照觀察者的每日經驗完成的。初始觀察愈新穎、愈奇特、愈非同尋常，猜測也愈如此。不過，在這裡，不管猜測可能多麼奇異地結合在一起，它們也必定從經驗素材推出。閃電的一擊以及較罕見的隕星的下落，都產生泰坦猛擲霹靂的想法。在西伯利亞發現的猛獁的遺體導致常住居民猜想，這些是在地下掘洞的巨鼠，在與空氣首次接觸時死去的。在富蘊黃金的不毛之地中的犀牛角被認為是鳥的爪子，這產生了保護黃金的鷹頭獅身帶有翅膀的怪獸（griffin）的觀念。在高海拔處的貝殼沉積使人聯想到大洪水的觀念。 第三節 科學觀點直接出自大眾的觀點，它們起初與後者不可分開，然後逐漸發展而遠離後者。由於生理學的緣由，天空看來好像是具有某一適度半徑的球：這是大眾的觀點，也是最初的科學觀點。它的夜間的外觀導致我們賦予這個球的轉動，星星固定於其上從而防止它們下落。更仔細地察看時，我們然後觀察到行星、月球和太陽的不規則運動，這導致相互在內部不同地轉動的幾個透明球的觀念。由此逐漸地出現本輪理論、托勒密（Ptolemy）體系、古代日心觀點和哥白尼體系。月球與潮汐有關這一點甚至也沒有逃脫一般人的眼睛：只要探究者只知道壓力和衝力是運動的原因，他們就相信月球在它自身下面向前驅動的空氣壓力波，但是當他們逐漸熟悉超距作用時，壓力便被拖拉代替了。 第四節 事實在思想中暫時完成的結果，首先是更迅速地擴展經驗。在海員的幻想中，海岸上掠過的對象激起遙遠土地的圖像，他將要去尋找它。不管他是否找到它，不管它的位置和特點是否符合他的觀念，即使不是所猜測的印度或中國的海岸，他還是發現了新土地，他無論如何擴大了他的經驗。某人追蹤鏡像，期望它具有物質性，但沒有找到它，從現在起他知道一種新的視覺對象，該視覺對象缺乏肉體，但其出現卻要求其他肉體的對象存在。即使在通過思想的完成不能引起新經驗的那些案例中，它至少也使舊經驗處於更明晰的透視之中。以猛獁的案例為例子：它是在地里找到的，它的肉體還是新鮮的，儘管從末存活下來，這一切均出自人們就它形成的觀念。關於天文學的例子也類似。如果這種完成以生動的可感覺的直覺發生，而且人們認識到在思想中添加的東西能夠被發現，那麼這個過程特別適合於激發將擴展經驗的必不可少的能動性：在思想中的完成是一種理智的經驗，該經驗將驅動我們繼續進行有形實驗。 第五節 現在，在比較仔細地考察自然科學時，我們首先注意到，任何迄今還未通過觀察可能直接弄清的事物，都能夠變成在思想中完成的對象，變成推測、假定或假設的對象。我們可以假定，沒有直接觀察到的部分實際上存在著，正像地質學家和古生物學家常常有機會做的那樣。當事實的結果未同時伴隨發生或逃避直接觀察時，我們能夠就它們作假定。真實的定律的形式往往被假定，由於被排除的干涉，提供定律實際上需要不計其數的觀察。這些假定或假設與使事實變得可以理解的條件有關係，即它們必須是說明的。「假設」按照慣例意指條件的總合，在這些條件下數學命題或論題是可靠的，能夠由它們演繹出來或證明。假設是給予的，除了數學條件和邏輯條件外與其他條件沒有聯繫，而論題則是被推導的。在自然科學中，我們必須顛倒進行，從給定的、牢固的事實開始，反過來推斷不確定的條件。這提供了許多可能性，愈是如此，我們目前的經驗愈是不那麼完備，在這裡比在數學中甚至有更重要的超邏輯的因素。迄今還未確立、但卻幫助我們理解一系列事實的暫定的和嘗試的假定，我們稱之為假設。至於它的暫定的特徵，這可能僅僅持續一會兒（像在鏡像的例子中），或者持續一百年或一千年（分別像在光的微粒說和托勒密體系中）：持續時間並未改變假設的心理的和邏輯的性質。 第六節 牛頓明確地厭惡假設。他關於探究的第一個哲學準則說，為了說明自然，我們必須僅僅承認是實際的。諸如足以闡明現象之類的原因——這是一個清楚的暗示：如果事實上已知的東西提供了合適的理解，那就毋鬚髮明說明。他後來在某種程度上特別補充說他不能從現象推導引力的理由，不會杜撰任何假設：必須把不能從現象推導出的東西稱為假設，這些東西在實驗哲學中沒有位置，不管它們是形上學的、物理學的、具有隱秘的質的還是力學的；在實驗哲學中，命題是從現象中推導的，用歸納概括的。經常被引用的「不杜撰假設」，在這裡恰恰可以應用於引力：牛頓從現象推出實際起作用的反平方定律，這不是假設。然而，他不知道造成吸引這個特徵的東西，不能從現象推導出來，他拒絕提供任何發明的說明。這是他的觀點，從致本特利（Bentley）（1692／1693年1月17日，1692／1693年2月25日）的兩封信中可以十分清楚地看出，他在信中確實宣稱非中介的超距作用是荒謬的，並暗示引力必定是由某種物質性的或非物質性的動因引起的，但是他就此沒有提出看法。「你有時把引力說成是物質的本質的和固有的東西。請不要把那種概念歸於我。至於重力的原因是什麼，我不能不懂裝懂，因此可能需要更多的時間考慮它。」（1692－1693年1月17日） 「不可思議的是，有沒有另外一些非物質的東西作媒介的情況下，無生命的、呆鈍的物質能夠不相互接觸地施加作用於其他物質並影響其他物質；如果引力在伊壁鳩魯（Epicurus）的涵義上在物質中是本質的和固有的話，那麼它必然如此作用和影響，這是我要求你不要把天生的引力歸於我的一個理由。至於引力對物質而言應該是天生的、固有的和本質的，以致一個物體可以通過真空超距地作用於另一個物體，而沒有任何其他事物作媒介——憑藉並通過該媒介可能把作用和力從一個傳遞給另一個，這一切在我看來荒謬透頂，我相信在哲學問題上具有足夠思考能力的人，永遠也不會陷入其中。引力必定是按某一規律不斷作用的動因，但是這個動因是物質的還是非物質的，我把它留給我的讀者去考慮。」（1692－1693年2月25日） 第七節 牛頓的態度和行進方式似乎如此清楚，從而導致質量按照反平方定律從遠處相互作用（猶如地球作用於朝它下落的物體）的假定；他通過數學研究發現，這說明了地球上的和行星系統中的所有運動，以致該假定對他來說已不再是假設：它變成現象分析的結果。他把這與超距作用本身是否也能用還原為某種更簡單的東西說明的問題涇渭分明地區分開來：最後一點依然只是思辨或「假設」的目標。把這兩個問題混淆為等價的，或者因為超距作用的假定確實或明顯無法說明而制止講出它，這肯定會大大損害科學的進步。無論如何，我們不能堅持把牛頓拒絕假設局限於力學和引力的觀點，因為他在光學中也稍微談到假設，即使他本人還提出了許多假設（雖然總是留心假設本身並仔細地把它們與事實區別開來）。他的「分析的」方法是進行實驗和觀察現象，從而藉助歸納對它們概括，而無視一切假設。 第八節 人們花費了許多努力，力圖把牛頓的說教與他的實踐協調起來。即使這不是完全可能的，也沒有什麼關係。甚至偉大的人物也可能以欣快的基調說出或寫出超出它們承擔的功能的事情。幾個這樣的案例發生在牛頓身上，許多案例出現在笛卡兒那裡。然而，作為一個探索者的所言和所為是完全可以理解的。如果人們無條件地理解「不杜撰假設」，那麼它也許意味著：「我不猜測超越於我看到的東西，我從來也不思考觀察彼岸的東西。」這種觀點在牛頓著作的每一頁上受到駁斥：把他與其他人分開的恰恰是猜測的豐富，他在其中迅速地通過實驗把那些無用的、經不起檢驗的東西分揀出來。他把不能從現象推導出的東西稱為假設。因此，能夠這樣被推導的東西在他的涵義上不會是假設，用他的思維模式來說，而是分析的研究的結果。他實際上利用形象使他的思想更直觀，但是他並未把任何特殊的價值附屬於圖像。假如我們要問他，他認為在他的光偏振觀念中什麼是基本的，他也許回答光線的不同方面，因為它們都是分析的研究的結果，而具有磁性的微粒是不重要的直覺圖像，它們恰恰也可以用某種其他圖像代替。在牛頓那裡，處處可以找到肯定確立的知識和純粹猜測或直覺表象之間的原則上的截然區分，以及迥然不同的估價。與這種普遍傾向相對照，細節上的錯誤是不重要的。 第九節 不同的作者力圖闡明在自然科學中好假設必須滿足的條件。J．S．穆勒（Mill）詳細地討論了該問題。他要求，假設必須依據說明原因的假定，該原因已知被呈現出來，是牛頓涵義上的真實的原因，F．希勒布蘭特（Hillebrand）詳盡無遺地表明這是站不住腳的：人們不能遵循穆勒的原理而又不持續地與它們矛盾，因為只要有意識的研究開始，它就不得不持久地說明現時知識缺乏的東西，進一步的基本發現恐怕就不可能了，至少藉助思想的發現不可能了。傑文斯發現自然探究者是某種充分精通該話題的人，他認為，如果假設與事實一致，那就足夠了。實例證明該觀點比抽象說明更好。 第十節 假設的基本功能是，它導致新的觀察和實驗，這些觀察和實驗確認、反駁或修正我們的猜測，從而擴大經驗。普里斯特利（Priestley）在他的光學史中就此提出了十分健全的觀點： 這個時期的哲學家的十分不完善的觀點和結論顯露出娛人的和有啟發性的景象；因為它們證明，為了做出實在的發現，擁有正當的觀點和真實的先驗假設決不是必要的。真正有缺陷的和不完善的理論對於啟發有用的實驗是充分的，這些實驗有助於矯正那些理論，產生其他更完善的理論。這些接著又引起進一步的、促使我們更接近真理的實驗，如果我們用這種緩慢的方法作出任何真實進步的話，我們就必須滿足於以這種近似的方法行迸，我們應該認為我們自己是幸運的。 這一點也許用方程根的近似能作出最佳說明。設我們希望解f（x）＝x 4 ＋ax 3 ＋bx 2 ＋cx＋d＝0我們首先嘗試值x 1 ，該值給出f（x 1 ）＝＋m 1 而不是0。現給出另一個代換x 2 ，比如說f（x 2 ）＝－x 2 。然後，我們能夠尋找x 1 和x 2 之間的根。如果我們找到這樣的值x』，使得f（x』）＝u很小，那麼我們能夠取x－x』作為u的近似值，從而無限期地趨近根的真正值x。 第十一節 考慮一下熱質假設，它包含著具有想像的心理特徵的直覺觀念，該特徵是通過聯想添加到物體的熱的可感覺的特性中的。通過觀察火以及一個物體被另一個比它熱的物體在後者消耗時加溫的方式，我們以十分樸素的、自然的和不自覺的樣式提出了實物或流體的觀念。這個觀念以逼真的圖像描繪了誘發它的事實，而且通過在半途滿足觀察，它促進了新事實的發現，例如里奇曼的混合法則、比熱之間的差異、汽化和液化的潛熱。以十分相似的方式，我們受有關電狀態的傳遞、火花形成等等事實的指導，形成電流體的觀念。在導體中流動、在絕緣體中保持、產生引力和斥力的流體的觀念，不僅直觀地闡明了已知的事實，而且促進了新事實的發現；例如，導體上的電荷存在在表面上，電荷分布是曲率的函數，感應電荷，甚至庫侖的定量定律。在這樣的觀念被取代和不再被認真對待之後很久，它作為一種間接描述在多麼大的程度上繼續有價值，例如能夠從下述事實看出：按照法拉第電解定律，我們還認為電的一定的量的產生與所離解的物質的量成正比。 第十二節 光的發射說是另一種材料假設（stuff hypothesis）。在觀察光線及其隨亮度的增加和減少的集中和稀疏時，我們完全習慣地被導致認為光線是流體、粉塵或微粒的噴射，正是光的稍縱即逝，才最終處在這個假設的路線上。假設對事實的巨大適應性本身在這裡顯示出來，在今天似乎如此愚笨的光的材料假設，並沒有妨礙馬呂斯（Malus）發現所謂的偏振光線分裂為兩個成直角的分量的平方正弦定律：菲涅耳從光的動能守恆演繹出的東西，馬呂斯恐怕藉助下述心照不宣的觀念得到，即光材料的量在分解時依然不變，這再次要求那個定律。傑文斯在把這樣的材料假設與嚴格作為僅僅描寫的說明假設分離開來是錯誤的。每一個假設必定是由描述事實開始的，而它正是針對該事實被構造的：這甚至幾乎出自傑文斯本人擬定的一個要求。假設在多大或多小的程序上超過產生它的事實，它在新發現方面多麼多產，這是一個運氣問題。 第十三節 在構造假設時，人們力圖公正地對待在觀察揭示的特殊限制的條件下事實狀況的性質，而未預先知道這些性質在其他更普遍的條件下是否將繼續有效；也就是說，不了解假設是否將繼續適用，它一般將在多大程度上適用。關於假設性的觀念的素材或要素，我們只能通過注意提供與通行的案例相似或類似的案例，從我們目前的可感覺的環境中借來。可是，相似不是等同，而是部分相同、部分不同。這只是保證，基於類似的假設將與較廣泛的經驗一起適用於某些案例，肯定不適用於其他案例。因此，在探究的過程中改變假設，使之適應新的經驗，甚或丟棄和用新假設或僅僅用事實的完善知識取代它，正在於假設的本性之中。記住這一點的探究者在構造假設時將不會過分膽怯：相反地，大膽的程度是完全有益的。惠更斯的波動假設不是十分合適的，它的辯護還有許多有待改進之處，但它甚至對許多後來的追隨者也未造成些許煩惱；不過，假使他丟棄了它，對楊和菲涅耳來說，許多根據都會是無準備的，他們也許不得不把他們自己局限於預賽的起跳線。 第十四節 光學中的發射說逐漸地使自己適應日益增長的經驗領域。格爾馬爾迪不再滿足於均勻的噴射。也許在與壓力波的類比中，他的折射帶導致他達到像波一樣的光流體流出的觀點。牛頓不再藉助一種簡單的噴射、而是藉助許多質上不同的相互合併的噴射思考；他甚至設法闡明光的周期性，即使是不恰當地和笨拙地、且部分地在虛假的事實前提的基礎上闡明的。最後，波動假設公開地代替了發射說。首先，在惠更斯的形式中，它無視周期性和偏振。胡克的確引入周期性，但是沒有把這以恰當的方式與顏色聯繫起來，沒有在他的敘述中提及其他瑕疵。最終，楊和菲涅耳在他們的假設中把惠更斯和胡克的優點結合起來；菲涅耳特別地設法消除二人的瑕疵，並引入有關偏振的新性質。就這樣，經驗不斷地在轉變和完善我們的觀念中起作用。 第十五節 然而，我們形成的觀念反過來也把它們的影響施加在經驗的進程上。格里馬爾迪的條帶導致我們把周期性歸因於每一個單獨的光線，雖然我們直接地且只能在特別有利的條件下在光線的結合中觀察到這一點。藉助于波動假設，這個觀念變得十分活躍，在直觀上十分明晰。由於堅持在一個特殊的例子中發現的周期性觀念存在於有光線的所有案例中，我們藉助這種添加豐富了每一個光學事實。對每一個案例，我們在思想中添加的東西比在它之中，即在格里馬爾迪的觀念的內容之中能夠看到的還要多。這樣作好準備的物理學家從今以後將針對個別的案例採取不同的行動，正像任何一個具有高度經驗的人在日常生活中會做的那樣。他將期望更多的其他事物，以不同的方式組織他的經驗。於是，不斷地意識到格里馬爾迪的經驗的菲涅耳，以不同於牛頓、惠更斯和馬呂斯的方式就折射、薄板的顏色、反射和偏振思考和實驗，就變得可以理解了。 第十六節 撇開對描述假設從中被推導出來的事實來說必不可少的要素不談，假設總是包含或至少通常包含其他末容納的要素。假設是由類比形成的，而類似的等同和差異之點不完全已知，因為其他方面對這裡探究也許不是必需的。例如，鑒於只有周期性對於理解光理論是需要的，光理論才談到波動。這些超越必需的進一步的要素，恰恰是在思想和經驗的相互反應中經受變化的要素，直到它們逐漸地被消除，以利於必需的要素為止。因此，在發射觀念中，除了在一條光線內具有不同周期性的光的許多不同類型的傳播之高速度外，沒有剩下什麼東西。這個觀念在基本的方面與終於取代它的波動假設恰好重合，儘管它本身最後不得不丟棄從聲學類比中推導出的縱振動的必需要素。 第十七節 我們在我們的觀察的基礎上形成的觀念激起期望，催促我們朝向新的觀察和實驗。這增強了站得住腳的要素，逐出站不住腳的要素，從而修正它們，甚或用新要素代替它們，而特別的重要性屬於下述實驗：這些實驗迫使我們在兩個都描述了事實的觀念或觀念群之間裁決。顏色是通過折射引起的，還是預先已經存在，並且由於它們的不同的折射率才變得可見，牛頓在一個「判決實驗」（crucial experiment）中解決了這個問題。該術語是由培根（Bacon）引入的，牛頓採用了它，因為實驗是在兩個這樣的觀點之間裁決的。一個重要的例子是傅科實驗，該實驗表明光速在水中比在空氣中小，這使發射說站不住腳了，並作出有利於振動假設的裁決。伽利略關於金星周相的發現決斷支持哥白尼體系，因為這些現象能夠從哥白尼體系推導出來；關於胡克對預期的自由落體偏離豎直方向的觀察以及傅科的擺實驗，情況也相似。 第十八節 假設可能在十分不同的方面和程度上是成問題的。為了說明泵的吸力，人們想出眾所周知的自然厭惡真空的假設。假如我們無論在何處、在任何環境下遇到真空，都可以維護這個觀點。另一個假設把同一現象建立在歸因於空氣重量的壓力的基礎上。雖然空氣的重量到那時已被證明，但是在托里拆利（Torricelli）實驗和帕斯卡的工作之前，尤其是在法國多姆山省的檢驗之前，這個說明無論如何依然是假設，因為只有那些事件表明，上述一切現象能夠毫無例外地被說明，既不存在對另外的平行說明的要求，也不存在這樣的餘地。雖然直率提出的一個說明是自由的發明，另一個說明只是由於真實的要素而奏效，但是二者在初次提出時都是假設性的。另一個例子是藉助重力說明宇宙的運動。事實上給定的重力加速度的觀念經適當概括被引入天文學。我不能同意F．希勒布蘭特的看法：假設在牛頓的重力理論中未起作用。真實的情況確實是，在完成的敘述中，一切都藉助加速度化歸為宇宙運動的近似描繪，接近地球表面的粒子加速度作為一個特例平滑地過渡到地上的重力的加速度，以致我們不需要假設。在邏輯上可以想像的是，某個分析克卜勒運動的動力學的人，應該採納藉助與太陽半徑的平方成反比、且沿著太陽半徑的向心加速度描繪它們的概念，但是在我看來，這在心理學上似乎是不可思議的。在沒有指導的物理學觀念的情況下，某人將如何正好跌入加速度，為什麼沒有偶然碰到一階或三階微分係數呢？任何人將如何在把運動分解為兩個方向的無限多的方式中選擇恰恰產生如此簡單的結果的方式呢？甚至拋物線的拋射運動在沒有重力加速度的指導觀念的情況下也難以分析，這個觀念只能從簡單得多的案例中得到，而且在這裡依然被使用著。 第十九節 科學在它的發展中在猜測和比喻之間運動，這一點在此無法否認；但是，科學愈趨向完美，它就越是轉向僅僅對事實描繪。一個事實和其他事實之間的類似幫助我們尋求新性質。在這方面，不管我們發現新的一致還是差異，在無論哪種情況下我們的經驗都被提高了：二者在相等的程度上指明事實的性質的新的概念決定。探究者應該在他的前輩停止的地方開始，從而避免喪失先前獲得的經驗，這在此處恰恰像正在探究的個人、人民和種族的轉變一樣重要，這種轉變保證了多方面的和無偏見的視野。 第二十節 這樣一來，假設由於它的自我消滅的功能，最終導致事實的概念上的表達。讓我們回顧一下導致光作為橫振動觀點的漫長的假定和矯正的系列，這種觀點乍看起來是十分冒險的和沒有類比，因此被視為可疑的。可是，辨認光線的周期性質像二維空間（與光線方向成直角的平面）中的可求和的截段的行為一樣，只不過是該事實的概念表達。以相同的方式，其行為部分像流體、部分像剛體的以太或光傳播的空間的性質，也逐漸地在概念上被決定。於是，最終的觀點不再是假設，而是事實的可理解性的預設和分析研究的結果。我們能夠把這些作為確鑿無疑的東西保留下來，即使我們未能找到類似，從來也沒有碰到任何橫振動或可以支撐它們的流體。假若楊和菲涅耳因為假定的橫波難以說明而對它們保持平靜，那麼科學就會遭受嚴重的損失，猶如牛頓的重力定律因為類似的疑問而受到壓制一樣。我們不必避開異常的觀點，如果它們有健全的基礎的話。須知發現嶄新事實的可能性不僅僅存在於較早的探究時期，它繼續存在，從未中止過一天。穆勒的限制假設（restricting hypothesis）的準則隱含著，與依然被研究的東西對照，大大高估了已經被發現的東西。 第二十一節 如果我們的思維是充分抽象的，那麼我們應該把它必須具有的概念標記僅僅歸於事實。於是，我們從來也不應該被迫消除任何東西，除非由於相同的標誌而缺乏通過直覺類比尋找新經驗的靈感。這樣的純粹概念的表象能夠用來完成部分科學，在這裡，沒有為僅僅在日益增加的範圍內起有益作用的假設留有餘地。審慎使用的圖像在此處不僅未被排除，而且是極其恰如其分的。存在著我們通過感官直接知覺的事實，仿佛放眼一瞥俯瞰它們似的。另一些事實在我們應用複雜的觀察系統、概念和反應之前，是不會顯現出來的。人們並未直接看到光是周期的；確實，極短的周期使得千方百計地對付該事實變得很困難。同樣地，偏振也不是直接可辨認的。由於與抽象的概念——這些概念無論如何最終建立在直覺觀念的基礎上——相比，我們更為熟悉直覺觀念，更為熟練地運用它們，因此唯有本能告訴我們把光線想像為在直觀上相當大的波長的波動，該波動具有與偏振鏡的反射面相關的確定的振動平面，以致在類似的試驗的指引下，波動的行為會像光線一樣。藉助這樣的觀念，我們比藉助抽象概念更迅速地獲得了光現象的概覽。為了適應赫茲的短語，這些觀念是事實的圖像，而事實的心理結果是事實的結果的圖像。我們一旦準確地在那裡決定了在概念上與事實重合的圖像，它便把直覺的明晰性的優點與概念的純粹性結合在一起。它現在適宜於毫不勉強地採取新事實可能要求的那樣的進一步的證明，比如說電動力學或化學的新事實。 第二十二節 雖然存在著一種廣為流傳的看法，即假設在數學中不起作用，但是讓我們強調一下，相反地，它們在任何成長的科學領域中都起作用。產生這種觀點在於這樣的事實：只要數學家表述他們的發展，他們比其他人更多地傾向於消除所有的發展痕跡。決不可能一下子十分明確地認識數學命題，而要事先通過伴隨的觀察、猜測、思想實驗和有形實驗以及計算和幾何構造，並作好準備才行，這一點早先已經提到了，並被進一步討論過。