邏輯學 · 第二部分　大小（量）

我們曾經指出過量與質的區別。質是最初的、直接的規定性，量是對「有」漠不相關的規定性，是一個不是界限的界限，是絕對與為他之有同一的自為之有，——是多個的一的排斥，而這個排斥又直接是多個的一的非排斥，是多個的一的連續。 因為自為之有物現在是這樣建立的，不排除它的他物，反倒是在他物中肯定地繼續自身，這樣它便是他有，由於實有在這種連續中重又出現，同時這個實有的規定性也不再像在單純的自身關係中那樣，不再是實有的某物的直接規定性，而是建立起來的自身排斥自身，它所具有的自身關係倒不如說是在另一實有（一個自為之有物）中的規定性；而且由於這些實有同時又是漠不相關的、反思自身的、無關係的界限，所以規定性一般也是在自身之外，是一個對自身絕對外在的東西，也是一個同樣外在的某物；這樣的界限以及它對自身和某物對它之漠不相關，就構成某物的量的規定性。 首先要區別純量和被規定的量，即定量。量最初作為純量，是回歸到自身的、實在的自為之有，這個自為之有在那裡還沒有規定性，是牢固的，在自身中繼續自己的無限的統一體。 其次，這個統一體進到了在它那裡建立的規定性，就其本身說，這個規定性同時又不是規定性，或說是外在的規定性。它變為定量。定量是漠不相關的規定性，即超出並否定自身的規定性；作為這種他有之他有，定量就陷入無限進展中去了。無限的定量又是揚棄了的、漠不相關的規定性，它是質的恢復。 第三，定量在質的形式中就是量的比率。定量一般只是超出自己，但是在比率中，它卻超出自己而進入他有，以致它在他有中便有了規定；同時他有也被建立，是另一定量；於是當前呈現的，便是定量回歸到自身和在他有中的自身關係。 這種比率還以定量的外在性為基礎，彼此相比的定量，是漠不相關的定量，即是說它們是這樣在自身以外具有自身關係的；——因此比率只是質與量形式的統一。比率的辯證法是比率過渡為辯證的絕對的統一，過渡為尺度。 注釋 在某物那裡的界限，作為質，本質上就是某物的規定性。但是假如我們所謂界限，是指量的界限，譬如田畝變更了界限，那麼，它在變更以前和以後都仍然是田畝。反之，假如它的質的界限有了變化，那麼，它之所以為田畝的規定性，也將有變化，它將變為草地、森林等等。——一種較強或較弱的紅色，總還是紅色；但是假如它的質變了，它也就不再紅了，它將變為藍等等。——大小的規定，作為定量，如以上所顯示的，在任何其他例子也都會出現，因為有一個作為常在不變的東西作基礎，這個常在不變的東西對它所具有的規定性是漠不相關的。 正如在以上所舉例子中那樣，大小這一名詞所指的將是定量（Quantum），不是量（Quantität），主要就是為了這個緣故，才必須從外國語文採用這個名詞。 在數學中對大小所給的定義，同樣也是指定量。一個大小通常被定義為可增可減的東西。所謂增是使其較大一些，所謂減是使其較小一些。在這裡包含著一般大小和它自身的區別，所以大小便好像是那種可以改變其大小的東西。由於定義中使用了本身該下定義的規定，所以這個定義表現得並不高明。既然定義中必須不用這一規定，那麼較多也就必須分解為一種作為肯定的添加，而較少則分解為一種去掉，同樣是一種外在的否定。在定量那裡的變化本性，一般都用實在和否定的這種外在方式來規定自身。因此在那種不完善的說法裡，必須不要誤解主要環節所在，即變化的漠不相關；所以，變化本身的較多較少，以及它對自己的漠不相關，就都包含在它的概念本身之內了。 第一章　量 甲、純量 量是揚棄了的自為之有；進行排斥的一，對被排除的一隻是取否定態度，過渡為與被排除的一的關係，自身與他物同一，因而失去了它的規定；自為之有便過渡為吸引。進行排斥的一之絕對冷漠，在這種統一中消融了。但是這種統一，既包含了這種排斥的一，同時又被內在的排斥所規定，它作為自己之外的統一，就是和它自身的統一。吸引也就是以這樣的方式作為量中的連續性環節。 所以連續性就是單純的、與自身同一的自身關係，這種關係不以界限和排除而中斷，但是它並非直接的統一，而是自為之有的諸一的統一。那裡還包含著彼此相外的多，但同時又是一個不曾區別的、不曾中斷的東西。多在連續中建立起來，正如它是自在的那樣；多個與那些為他物的東西都是一，每一個都與另一個相等，因此多就是單純的、無區別的相等。連續就是互相外在的自身相等的這個環節，是有區別的諸一在與它們有區別的東西中的自身繼續。 因此，大小在連續中就直接具有分立性，——即排斥，正如它現在是量中的環節那樣。——持續性是自身相等，但又是多的自身相等，這個多卻不變為進行排除的東西；只有排斥才將自身相等擴張為連續。分立性因此在它那一方面是融合的分立性，其諸一不以虛空或否定物為它們的關係，而以自己的持續性為關係，而且這種自身相等在多中並不間斷。 量就是連續與分立這兩個環節的統一，但是，量之是這一點，首先是以兩個環節之一、即連續的形式，作為自為之有的辯證的結果，這種結果消融為自身相等的直接性。量本身就是這種單純的結果，因為這種結果還沒有發展它的環節，也沒有在它那裡建立起環節。量之包含這些環節，首先它們是作為真正是自為之有那樣而建立的，這個自為之有就其規定而論，曾經是那種揚棄自己的自身相關，永久走出自身之外。但是被排斥的又正是那個自為之有自己，因此排斥就是那個自為之有生產自身的向前奔流。由於被排斥者的同一性的緣故，這種分立就是不間斷的連續；由於走出自身之外的緣故，這種連續不需間斷，同時也是多，多仍然是直接在和自身相等之中。 注釋一 純量還沒有界限，或說還不是定量；縱然它成了定量，也不由界限而受限制；它倒不如說是就在於不由界限而受限制，它所具有的自為之有是揚棄了的。因為分立是在純量中的環節，所以可以說，在純量中，量到處都絕對是一的實在可能性，但是也可以倒過來說一也絕對同樣是連續的。 無概念的觀念很容易使連續成為聯合，即諸一相互外在的關係，一在這種關係中仍然保持它的冷漠和排他性。但是在一那裡又表現出一自在而自為地自己過渡到吸引，過渡到它的觀念性，因此連續性對一不是外在的，而是屬於一的，在一的本質中有了基礎。對於諸一說來，連續的外在性就是這個一般的一，原子論仍然依附於這種外在性，而離開這種外在性便為表象造成困難。——另一方面，假如一種形上學要想使時間由時間點構成，一般空間、或首先是線由空間的點構成，面是由線構成，全部空間是由面構成，那麼，數學是會拋棄這種形上學的；數學不讓這樣不連續的諸一有效。縱然數學也這樣規定例如一個面的大小，即這個大小被想像為無限多的線的總和，這種分立也只是當作暫時的表象，在線的無限多之中已經包含其分立之揚棄，因為這些線所要構成的空間畢竟是一個有限制的空間。 當斯賓諾莎用下列方式談到量的時候，他所指的意思是與單純表象對立的純量概念，這對他說來，是問題主要所在： 「我們對於量有兩種理解，一是抽象的或表面的量，乃是我們想像的產物；一是作為實體的量，是僅僅從理智中產生的。如果就出於想像之量而言，則我們將可見到，量是有限的、可分的，並且是部分所構成的，這是我們所常常做而且容易做的事；反之，如果就出於理智之量而言，而且就量之被理解為實體而言（但這樣做卻很難），則有如我在上面所詳細證明的那樣，我們將會見到，量是無限的、唯一的和不可分的。凡是能辨別想像與理智之不同的人，對於這種說法將會甚為明了。」（《倫理學》第一部分，第十五命題的附釋。） (1) 假如要求更明確的純量的例子，那麼，空間和時間，以及一般物質、光等等，甚至自我都是；只要如前面說過的，所指的量不是定量。空間、時間等是廣延，是多，它們都是超出自身之外，是奔流，但是又不過渡到對立物去，不過渡到質或一去；而作為到了自身以外，是它們的統一體永久的自身生產。 空間就是這種絕對的自身以外的有，它同樣是絕對不間斷的，一個他有，又一個他有，而又與自身同一。時間是絕對到了自身以外，是一、時間點、或現在之產生，那直接是這種現在的消逝，而又永遠重複這種過去的消逝；所以這種非有的自己產生又同樣是與它自身的單純相等和同一。——關於作為量的物質，留傳下來的萊布尼茲第一篇論文中的七條命題，就有一條，即第二條，是談論這個問題的（萊布尼茲集第一部分左頁），這條命題說：Non omnino improbabile est，materiam et quantitatem esse realiter idem［物質的和量的東西都是同樣的實在，這完全沒有什麼不可能之處］。——事實上，這些概念除了說量是純粹的思維規定，而物質則是在外在存在中的純思維規定而外，也並沒有更不同的地方。——純量的規定，對自我也是合適的，因為自我是一個絕對要變成他物的東西，是無限遠離或全面排斥走向自為之有的否定的自由，而又仍然不失為絕對的單純連續性，——即普遍的或在自身那裡的連續，這種連續不會由於無限多樣的界限，即由於感覺、直觀的內容等等而中斷。關於多的概念，是指多個中的每一個都與那個是他物的東西同一，即多個的一，——因為這裡不談更進一步規定的多，如綠色、紅色等，而是在考察自在和自為的多，——有些人頑強反對將多當作單純的單位來把握，並且在以上的概念之外還要求這個單位的表象，他們在那些持續性的東西中，是可以找到足夠的單位之類的表象的；在簡單的直觀中，那些持續性的東西就把演繹出來的量的概念作為當前現有的東西提供出來了。 注釋二 量是分立與連續兩者的單純統一，關於空間、時間、物質等無限可分性的爭辯或二律背反都可以歸到量的這種性質里去。 這種二律背反完全在於分立和連續都同樣必須堅持。片面堅持分立，就是以無限的或絕對的已分之物，從而是以一個不可分之物為根本；反之，片面堅持連續，則是以無限可分性為根本。 康德的《純粹理性批判》提出了著名的四種（宇宙論的）二律背反，其中第二種所涉及的對立，就是由量的環節構成的。 康德的這些二律背反，仍然是批判哲學的重要部分；首先是它們使以前的形上學垮了台，並且可以看作是到近代哲學的主要過渡，因為它們特別幫助了一種確信的產生，那就是從內容方面看，有限性的範疇是空洞無謂的，——這是一種比主觀觀念論形式的方法更正確的方法，就這種方法看來，那些二律背反的缺憾，應該只在於它們是主觀的這一點，而不在於它們本身所是的東西。它們的功績雖然很大，但是這種表達卻很不完善，一方面自設障礙，糾纏不清，另一方面就結果看來也是很偏的，它們的結果假定認識除了有限的範疇而外，就沒有別的思維形式。——在這兩方面，這些二律背反都值得較嚴密的批評，既要詳細搞清楚它們的立場和方法，也要把問題所在的主要之點，從強加於它的無用的形式之下解脫出來。 首先， (2) 我注意到康德想用他從範疇圖式所取來的分類原則，使他的四種宇宙論的二律背反有一個完備的外貌。但是只要對理性的二律背反的性質，或者更正確地說，辯證的性質，深入觀察一下，就會看出每一個概念一般都是對立環節的統一，所以這些環節都可以有主張二律背反的形式。——變、實有等等以及每一個其他的概念，都能夠這樣來提供其特殊的二律背反，所以，有多少概念發生，就可以提出多少二律背反。——古代懷疑論曾不厭其煩地對它在科學中所遇到的一切概念，都指出過這種矛盾或二律背反。 其次，康德對這些二律背反不是從概念本身去把握，而是從宇宙論規定的已經具體的形式去把握。為了使二律背反純粹，並用它們的單純概念加以討論，所採用的思維規定，就必須不是從應用方面去看，也不混雜著世界、空間、時間、物質等表象，必須除去這些具體質料，純粹就其自身去考察，而這些具體質料對此是無能為力的，因為唯有這些思維規定才構成二律背反的本質和根據。 康德對二律背反，給了這樣的概念，即它「不是詭辯的把戲，而是理性一定會必然碰到（用康德的字眼）的矛盾」。這是一種很重要的看法。——「理性一旦看透了二律背反天然假象的根底，固然不再會受到這種假象的欺騙，但是總還會受到迷惑。」 (3) ——用知覺世界的所謂先驗觀念性所作的批判的解決，除了把所謂爭辯造成某種主觀的東西而外，不會有別的結果，爭辯在這種主觀的東西中當然仍舊總是同樣的假象，也就是說和以前一樣沒有解決。二律背反的真正解決，只能在於兩種規定在各自的片面性都不能有效，而只是在它們被揚棄了，在它們的概念的統一中才有真理，因為它們是對立的，並且對一個而且是同一個的概念，都是必要的。 仔細考察一下，康德的二律背反所包含的，不過是這樣極簡單的直言主張而已，即：一個規定的兩個對立環節中的每一個都把自己從其他環節孤立起來。但是在那裡還把簡單直言的、或本來是實言的主張，掩蓋在一套牽強附會的歪道理之中，從而帶來證明的假象，掩蔽了主張中單純實言的東西，使其變得不可認識，而這一點在細一觀察那些證明時便可瞭然的。 這裡所說的二律背反，涉及所謂物質的無限可分性，它所依靠的是量的概念本身中所包含的連續和分立這兩個環節的對立。 它的正題，據康德的表述，是這樣的： 「世界上每一複合的實體都由單純的部分構成；一切地方所存在的，無非是單純的東西，或是由單純的東西複合而成的。」 (4) 這裡複合的東西與單純的東西對立，或說與原子對立；這和持續的或連續的東西相比，是很落後的規定。——這裡作為這些抽象的基質的，即作為世界中實體的基質的，不過是感性可知的事物，對於二律背反並無影響；這種基質既可以被認為是空間，也可以被認為是時間，既然正題所說的只是複合而非連續，那麼，它本來就是一個分析的、或同語反覆的命題。因為複合物並不是自在而自為的一，而只是一個外面連結起來的東西，並且是由他物構成的；這就是複合物的直接規定。但是複合物的他物也是單純的。因此說複合物由單純的東西構成，是同語反覆。——假如追問某物由什麼構成，那麼，這就是要求舉出一個他物來，其聯結便構成那個某物。假如說墨水仍舊由墨水構成，那麼，追問由他物構成的問題，就缺少意義了，問題並沒有得到回答，只是重複問題本身。另外還有一個問題，就是：那裡所說的東西，是否應該由某物構成。但是複合物又絕對是這樣的東西，即應該是聯結起來的，由他物構成的。——假如說單純物作為複合物的他物，只應該被當作是一個相對的單純物，它本身也又是複合的，那麼，問題在這以前和以後都仍然是一樣。浮在想像中的，好像只是這個、那個複合物，而這個、那個某物就自身說本是複合的，卻又被指為前者的單純物。但是這裡所說的，卻是複合物本身。 至於康德對這一正題的證明，和康德其餘的二律背反命題的證明一樣，也採取了反證法的彎路，這種彎路表現得是很多餘的。 「假定，（他開頭說，）複合的實體不由單純的部分構成，那麼，假如在思想中取消了一切複合，便沒有複合的部分，而且因為（根據方才所作的假定）沒有單純部分，也就沒有單純部分存留下來，亦即什麼也沒有存留下來，結論是沒有實體。」 (5) 這個結論是完全對的：假如只有複合物，而又設想去掉一切複合物，那麼就什麼都沒有留下了；——人們可以承認這個說法，但是這種同語反覆的累贅盡可省掉，證明可以立刻用下列的話開始，即： 「或是在思想中不可能取消一切複合，或是在取消複合之後一定還有某種無複合而長存的東西，即單純的東西存留下來。」 「但是在第一種情況下，複合物便會又不是由實體構成（因為在後者那裡，複合只是實體 (6) 的一種偶然的關係，後者沒有這種關係也必須作為本身牢固的東西而長存）。——因為這種情況現在又與假定相矛盾，所以只剩下第二種情況：即世界中實體複合物是由單純部分構成。」 (7) 那個被放進括弧去的附帶的理由，是最主要之點，以前所說的一切，與它相比，都是完全多餘的。這個兩難論是這樣的：或者複合物是長存的，或者不是，而是單純物是長存的。假如是前者，即複合物是長存的，那麼長存物就不是實體，因為複合對於實體說來，只是偶然的關係；但實體又是長存物，所以長存的東西是單純物。 顯然，不用這種反證法的彎路，那種作為證明的理由，也可以和「複合的實體由單純部分構成」這一正題直接聯繫起來，因為複合只是實體的一種偶然的關係，所以這種關係對實體是外在的，與實體本身毫不相干。——假如說複合的偶然性是對的，那麼，本質當然就是單純的了。但是這裡唯一有關之點，即偶然性，卻並沒有得到證明，恰恰被順便納入括弧，好像那是不言而喻的，無關宏旨的。說複合是偶然和外在的規定，這當然是不言而喻的；但是假如這僅僅是關於一個偶然在一起的東西而不是關於連續性，那就不值得費氣力對它提出二律背反，或者不如說不可能提出；如已經說過的，主張部分的單純性，那只是同語反覆。 於是我們看到這種主張應當是反證法這條彎路的結果，而在彎路中就已經出現。因此這個證明可以簡捷敘述如下： 假定實體不是由單純部分構成，只是複合的。但是現在可以在思想中取消一切複合（因為複合只是一種偶然的關係）；於是假如實體不是由單純部分構成，在取消複合之後，那就沒有實體留下了。但是我們又必須有實體，因為我們假定了它；對我們說來，不應當一切都消失了，而是總要剩下某物；因為我們假定了一種我們稱為實體的牢固的東西；所以這個某物必須是單純的。 為了完全，還須考察下列的結論： 「由此直接得出結論，即：世界上的事物全都是單純的東西，複合只是它們的外在狀態，理性必須把基本實體設想為單純的東西。」 (8) 這裡我們看到複合的外在性即偶然性被引為結論，而這又是在先將它以括弧引入證明並在那證明中使用之後。 康德盡力聲辯，說他不是在二律背反的爭辯命題中玩把戲，以便搞出（如人們常說的）訟師的證明。上述的證明該受責備的，倒不是玩把戲，而是無謂地辛苦兜圈子，那只是用來搞出一個證明的外貌，而不使人看穿 (9) 那個應該作為結論出現的東西，卻在括弧中成了證明的樞紐，當前出現的，根本不是證明，而只是一種假定。 反題說： 「世界上並沒有由單純部分構成的複合物，世界上任何地方都不存在單純的東西。」 (10) 證明同樣是反證法的曲折，不過是以另一種方式，和前一個證明一樣該受責難。 它說，「假定一個作為實體的複合物由單純部分構成。因為一切外在關係，以及實體的一切複合，只有在空間中才是可能的，所以複合物由多少部分構成，它所占據的空間也一定由同樣的多少部分構成。但是空間並非由單純部分而成，乃是由種種空間所成。所以複合物的每一部分必須占據一空間。」 「但是一切複合物的絕對原始部分都是單純的。」 「所以單純的東西也占據一個空間。」 「現在既然一切占據空間的實在物自身中就包括了互相外在的雜多，從而也就是複合的，並且是由實體複合的，所以單純的東西就會成了實體的複合物。這是自相矛盾的。」 (11) 這個證明可以叫作錯誤辦法的整個巢穴（用康德在別處所說的名詞）。 首先，這種反證法的曲折是無根據的假象。因為說一切實體的東西都是空間的，但空間又不是由單純的部分組成：這個假定是一種直接的主張，成了待證明的東西的直接根據，有了它，就得到全部證明了。 其次，這種反證法的證明開始用了這一句話：「即一切實體的複合都是一種外在的關係，」但是夠奇怪的，立刻又把這句話忘記了。於是又進而推論到複合只有在空間中才可能，但空間又不是由單純部分組成，占據空間的實在物因此是複合的。假如複合一旦被認為是外在的關係，那麼空間性本身正是因為複合唯有在空間中才可能，所以對於實體是一種外在的關係，和其餘還可以從空間性演繹出來的規定一樣，既與實體不相干，也不觸及它的本性。實體正是由於這個理由而不應該放到空間裡去。 此外，又假定了實體在這裡被錯放進去的空間，不是由單純部分而成；因為空間是一種直觀，依康德的規定，即是一種表象，只能由一個單一的對象提供，而不是所謂推論的概念。——大家知道，由於康德對直觀和概念這樣的區分，直觀發展得很糟糕，為了省略概念的理解，便把直觀的價值和領域擴張到一切的認識。這裡有關的事，只是：假如想有一點概念的理解，那麼，對空間以及直觀本身都必須同樣有概念的理解。這樣便發生了問題：即使空間作為直觀，是單純的連續性，而就其概念說，空間是否也必須不當作是由單純部分組成那樣來把握呢？或是空間也陷入了只有實體才會被放進去的同樣的二律背反呢？事實上，假如抽象地去把握二律背反，那就正如以前所說，一般的量以及空間、時間都同樣會遇到二律背反的。 但是，因為在證明中假定了空間不由單純部分組成，這就應該是不把單純物錯放到這種原素 (12) 中去的根據，這種原素對單純物的規定是不適合的。——空間的連續性在這裡與複合起了衝突；這兩者混淆起來，前者被偷換成了後者（這在推論中便有了Quaternio terminorum［四名詞］）。康德對空間明白規定它「是一個唯一的空間，其部分只依賴各種限制；所以部分不會是在包括一切的統一空間之先，好像它的複合由於其組成部分而可能那樣」。（《純粹理性批判》第二版，第39頁。） (13) 這裡所說的空間連續性與組成部分的複合對立，是很對的，很明確的。另一方面，在論證中，實體之移入空間，便連同自身一起導致了「互相外在的雜多」，從而「導致了複合物」。可是如上面所引證的，又與此相反，雜多在空間中所具有的方式，卻明明應當排除複合以及在空間統一性之先的組成部分。 在反題證明的注釋中，又明白地導引出批判哲學其他的基本觀念，即我們關於物體只是作為現象，才有概念；作為這樣的物體，它們必須以空間為前提，這是一切現象所以可能的條件。假如這裡實體所指的只是物體，像我們所看到、感到、嗅到的等等那樣，那麼，本來就談不到它們在概念中是什麼；所討論的不過是感性所知覺的東西。所以反題的證明，簡括起來，就是：我們的視見、觸覺等全部經驗，對我們所展示的，只是複合物；即使最好的顯微鏡和最精細的測量器，也還絲毫不能讓我們碰到單純的東西。所以理性也不應該想要碰到什麼單純的東西。 假如我們在這裡仔細考慮一下這種正題和反題的對立，並且把它的證明從無用的累贅和矯揉造作里解脫出來，那麼，反題的證明，由於把實體移入空間，便包含了連續性的實然的（assertorisch）假定；正題的證明也是如此，它由於假定了複合是實體物關係的方式，便包含了這種關係的偶然性這一實然的假定，從而也包含了實體是絕對的一的假定。 (14) 於是整個二律背反便歸結為量的兩個環節之分離及其直接斷言，而且環節的分離是絕對的。按照這種純分立性看來，實體、物體、空間、時間等都已絕對分割；一是它們的根本。按照連續性說來，這個一隻是揚棄了的；分割仍然有可分性，仍然是分割的可能性，作為可能性，就是沒有真的達到原子那裡。即使我們現在仍舊停留在前面所說的對立的規定里，原子這個環節也依然潛藏在連續性本身之中，因為連續性絕對是分割的可能性，正如已完成的分割或說分立性那樣，也揚棄了諸一的一切區別（因為此一即彼一那樣的東西，就是單純的諸一），所以也同樣包含諸一的相等，從而也包含諸一的連續性。既然兩個對立面每一個都在自身那裡包含著另一個，沒有這一方也就不可能設想另一方，那麼，其結果就是：這些規定，單獨看來都沒有真理，唯有它們的統一才有真理。這是對它們的真正的、辯證的看法，也是它們的真正的結果。 古代埃利亞學派辯證法的例子，尤其是關於運動的，比起方才看到的康德二律背反，意義是無比豐富得多，深刻得多，它們也同樣以量的概念為基礎，並且在這個概念中有了解決。這裡還要來考察那些例子，那未免跑得太遠了，它們是關於空間和時間的概念，可以在那些概念和哲學史里去討論——它們對它們的發明者的理智造成了最高的榮譽；它們有巴門尼德的純有為結果，因為它們指出一切規定的有都在自身中消融了，於是在它們自身那裡也有了赫拉克利特的「流」。所以這些例子值得徹底考察，而不是像通常的宣稱那樣，說那只是詭辯。這種斷言只是攀附經驗的知覺，追隨著常識看來如此明白的第歐根尼的先例，當一個辯證論者指出運動包含著矛盾之時，第歐根尼不更去多費腦筋，只是無言地走來走去，用眼前很明白的事來反駁。這樣的斷言和駁斥，當然比自身用思想並抓住糾紛（被引入糾紛中的思想，不是從遠處拿來的，而是在普通意識本身中自己形成的），通過思想本身來解決糾紛，要容易得多。 亞里士多德對這些辯證形態所作的解決，應當得到很高的讚揚，這些解決就包含在他的空間、時間、運動等真正思辨的概念之中。他將作為那些最著名的證明之依據的無限可分性（因為它被設想為好像已經完成了的，這就和已被無限分割的東西，原子，是同一的東西）與無論是關於時間的或空間的連續性對立起來，以致無限的多，即抽象的多，就可能性說，只是自在地包括在連續性之中。與抽象的多以及與抽象的連續性對立的現實之物，就是連續性的具體的東西，即時間和空間本身，這二者又同樣與運動和物質對立。只有自在地，或只就可能性說，才有抽象的東西；那只是一個實在物的環節。貝爾（Bayle）在他的哲學詞典中的芝諾一條，以為亞里士多德對芝諾的辯證法所作的解決是「pitoyable」［可憐的］，他不懂得那是說：物質只有就可能性而言才是可以分割到無限的；他反駁道，假如物質可以分割到無限，那麼它就真的包含著無限多的部分，所以這不是一個en puissance［潛在的］無限物，而是一個實在地、現實地存在著的無限物。——可分性本身不如說只是諸部分的一種可能性，不是諸部分已經存在，而多在連續性中也只被建立為環節，被建立為揚棄了的環節。——亞里士多德就知性的敏銳說，誠然是無匹的，可是敏銳的知性並不足以把握和判斷亞里士多德的思辨的概念； (15) 用前面引證過的粗劣的感性表象來反駁芝諾的論證也同樣不行。那種理解的錯誤，在於把這樣的思想物，抽象物，如無限多的部分，當作某種真的、現實的東西；但是這種感性的意識卻不會超出經驗而達到思想的。 康德對二律背反的解決，同樣只在於：理性不應該飛越到感性的知覺之上，應當如實地看待現象。這種解決把二律背反本身的內容擱在一邊，沒有到達二律背反的規定的概念的本性；這些規定，假如每一個都自身孤立起來，便都是虛無的，並且在它本身那裡，只有到它的他物的過渡，而量則是它們的統一，它們的真理也就在這種統一之中。 乙、連續的和分立的大小 1.量包含連續性和分立性兩個環節。它要在作為它的規定的這兩個環節里建立起來。——它已經立刻是兩者的直接統一，這就是說它首先只是在它的一種規定中，即連續性中建立起來，所以是連續的大小。 或者說連續性固然是量的環節之一，它卻要有另一環節，即分立性，才會完成。但是量只有當它是有區別環節的統一之時，才是具體的統一。因此要把這些環節也當作有區別的，但是並不重又分解為吸引與排斥，而是要就它們的真理去看，每一個都在與另一個的統一之中，仍然是整體。連續性只有作為分立物的統一，才是聯繫的、結實的統一；這樣建立起來，它就不再僅僅是環節，而是整個的量，即連續的大小。 2.直接的量就是連續的大小。但是量本來不是直接的；直接性是一種規定性，量本身就是規定性的揚棄。所以量就是要在它的內在的規定性中建立起來，這種規定性就是一。量是分立的大小。 (16) 分立性和連續性一樣，都是量的環節，但是本身又是整個的量，正因為它是在量中、在整體中的環節，所以作為有區別的環節，並不退出整體，不退出它與另一環節的統一。——量是自在的彼此外在，連續的大小是這種彼此作為無否定的自身繼續，作為自身相等的聯繫。分立的大小則是這種彼此外在的不連續或中斷。有了這許多的一，卻並不就是當前重又有了這許多的原子，和虛空或一般的排斥。因為分立的大小是量，所以它的分立本身就是連續的。這種在分立物那裡的連續性，就在於諸一是彼此相等的東西，或說有同一的單位。這樣，分立的大小是多個的一作為相等物的彼此外在，不是一般的多個的一，而是被建立為一個單位的多。 注釋 連續的和分立的大小的通常觀念，忽視了這些大小每一個都在自己那裡有兩個環節，連續性和分立性，並且它們的區別之所以構成，只是由於兩環節中一個是建立起來的規定性，另一個只是自在之有的規定性。空間、時間、物質等都是持續的大小，是對自身的排斥，是超出到自身以外的奔流，同時這個「到自身以外」又不是到一個質的他物的過渡或關係。它們有絕對可能性，以致在它們那裡到處建立起一，——不是像一個僅僅是他有的空洞可能性（比如人們說，一棵樹可能代替這塊石頭的位置），而是在它們自身那裡包含著「一」這個根本，這是它們所以構成的規定之一。 反過來，在分立的大小那裡，也不可以忽視連續性；這個環節，如已經指出過的，是作為單位的一。 只要大小不是在任何外在規定性之下建立的，而是在自己的環節的規定性之下建立的，那麼連續的和分立的大小就可以看作是量的類。從種（Gattung）到類（Art）的普通過渡，可以依照任何外在的分類基礎，使外在的規定適用於那些大小。連續的和分立的大小還並不由此而就是定量；它們只是這兩種形式之一的量本身。它們之所以被稱為大小，是因為它們與定量一般有這樣的共同之處，即是在量那裡的一種規定性。 丙、量的界限 分立的大小第一是以「一」為根本，其次是諸一的多，第三本質上是持續的；它是一，同時又是作為揚棄了的，作為單位的一，是在諸一分立中的自身連續。因此它被建立為一個大小，而這個大小的規定性就是一，這個一在這個建立的有和實有那裡是進行排除的一，是在單位那裡的界限。分立的大小本身不應當直接有界限；但是作為與連續的大小不同，它就是一個實有和某物；這個實有和某物的規定性是一，並且在一個實有中，又是第一次的否定和界限。 這種界限，除了它與單位相關並且在單位那裡是否定以外，作為一，又與自身相關，所以它是包容統括的界限。界限在這裡並不是與其實有的某物先就有區別，而是作為一，它直接就是這個否定點本身。但是這種有了界限的「有」，本質上是連續性，它借這種連續性便可以超出界限和這個一，並且對界限和這個一都漠不相關。所以實在的、分立的量是一個量或定量，——是作為一個實有和某物的量。 既然這個一是界限，它把分立的量的多個的一都統括於自身之內，那麼，界限就是既建立了多個的一而又在是界限的一中揚棄了它們；這是在一般連續性本身那裡的界限，所以連續的和分立的大小之區別，在這裡就漠不相關了，或者更確切地說，這個界限是在連續的大小和分立的大小兩者的連續性那裡的界限，兩者都是在這種連續性中過渡為定量。 【注釋】 (1) 見賀麟譯本，商務印書館版，第17頁。黑格爾所引系拉丁文。——譯者注 (2) 參看第119頁。 (3) 以上引號中的文字，是黑格爾對原文作了概括增損，並非逐字徵引。參看康德：《純粹理性批判》，藍公武譯本，第328更；厄爾德曼（Erdmann）德文本第六版，第357—358頁。——譯者注 (4) 參看康德：《純粹理性批判》，藍公武譯本，第334頁；厄爾德曼德文本，第366頁。——譯者注 (5) 參看康德：《純粹理性批判》，藍公武譯本，第334—335頁；厄爾德曼德文本，第336頁。括弧內的文字是黑格爾添注的話，但是「因為沒有單純部分」這句話，康德本來加了括弧，而黑格爾卻把它去掉了。重點（改排黑體字，下同）是黑格爾加的。——譯者注 (6) 除證明本身的累贅而外，這裡還添上語言的累贅，——如：因為在後者（即實體）那裡，複合只是實體的一種偶然的關係。——黑格爾原注 (7) 參看康德：《純粹理性批判》，藍譯本第334—335頁；德文本第366—368頁。括弧是康德原有的。重點是黑格爾加的。——譯者注 (8) 參看康德：《純粹理性批判》，藍譯本第335頁；德文本第368頁，中有省略，重點是黑格爾加的。——譯者注 (9) 參看第119頁。 (10) 參看康德：《純粹理性批判》，藍譯本第334頁；德文本第367頁。重點是黑格爾加的。——譯者注 (11) 參看康德：《純粹理性批判》，藍譯本第334—335頁；德文本第367頁。最後一段稍有省略。——譯者注 (12) 原素，指空間。——譯者注 (13) 參看康德：《純粹理性批判》，藍譯本第50頁；厄爾德曼德文本第69—70頁。這裡黑格爾的引文，也是前後加以概括，並非逐字徵引。——譯者注 (14) 參看第119頁。 (15) 這是指貝爾對亞里士多德的責難，雖聰敏而不辯證。——譯者注 (16) 參看第119頁。 第二章　定量 (1) 首先，定量是具有規定性或一般界限的量，——它在具有完全的規定性時就是數。 第二，定量先區別自身為外延的定量，界限在那種定量里就是實有的多的限制；——隨後由於這種實有過渡為自為之有，定量又區別自身為內涵的定量，即度數（Grad），這種內涵的定量，作為自為的，並且在自為中作為漠不相關的界限，都同樣是直接在一個自身以外的他物那裡有自己的規定性。作為這樣建立起來的矛盾，定量既是單純的自身規定，又在自身以外有其規定性，並且為這規定性而指向自身以外，所以 第三，定量作為自己在自身以外建立起來的東西，便過渡為量的無限。 甲、數 量是定量，或者說，不論作為連續的或分立的大小，它都有一個界限。這兩類的區別，在此處並沒有什麼意義。 量作為揚棄了的自為之有，自身本來已經對它的界限漠不相關。但是界限（或說成為定量），對量說來，卻又並不因此而不相關；因為量自身中包含著一，這個絕對被規定了的東西，作為量自己的環節；這個絕對被規定了的東西，在量的連續性或單位那裡，就被建立為它的界限，但界限仍然又是一般的量所變成的一。 所以這個一是定量的根本，但它又是作為量的一。因此，一首先是連續的，它是單位；其次，它是分立的，是自在之有的（如在連續的大小中）或建立起來的（如在分立的大小中）諸一的多，諸一彼此相等，都具有那種連續性，即同一的單位。第三，這個一作為單純的界限，又是多個的一的否定，把他有排除於自身之外，是它與別的定量相對立的規定。所以一是（1）自身關係的界限，（2）統括的界限，（3）排除他物的界限。 在這些規定中完全建立起來了的定量，就是數。這個完全建立起來了的東西就在作為多的界限的實有之中，因而也就是在多與單位的區別之中。因此，數好像是分立的大小，但數在單位那裡也同樣有連續性。所以數也是有了完全規定性的定量；因為在數中，界限就是被規定了的多，而多則以一，這個絕對被規定了的東西為根本。一在連續性中，僅僅是自在的，是被揚棄了的，而連續性被建立為單位，則只有不曾規定的形式。 定量只是就本身說，才一般有了界限；它的界限就是定量的抽象的、單純的規定性。但是定量既然又是數，這個界限便在自身中建立為雜多。這個界限包含著那些構成其實有的多個的一，但並不是以不曾規定的方式去包含它們，而是界限的規定性就在界限之內；界限排除別的實有，即排除別的多；而界限所統括的諸一則是一定的數量，即數目（Anzahl）。數目在數中是分立性，而它的他物則是數的單位，是數的連續性。 (2) 數目和單位構成數的環節。 關於數目，還必須仔細看看構成數目的多個的一，在界限中是怎樣的；說數目由多而成，這種關於數目的說法是對的，因為諸一在數目中並未被揚棄，而只是在數目之內，和排他的界限一同被建立起來，諸一對這個界限是漠不相關的。但是界限對諸一卻不是漠不相關的。在實有那裡，界限和實有的關係首先是這樣樹立的，即實有作為肯定的東西仍然留在實有界限的裡邊，而界限、否定卻處在實有的外邊，在實有的邊沿；同樣，多個的一的中斷，出現在多個的一那裡，而其他諸一的排除，作為一種規定，則是落在被統括的諸一之外。但是那裡已經發生這種情形，即：界限貫穿實有，與實有同範圍，並且某物因此依據其規定有了界限，即它是有限的。比如對量中的一百這樣一個數，可以設想唯有第一百的一才成了多的界限，使其為一百。一方面這是對的，一方面在這一百個一之中，又並無一個有特權，因為它們都是相等的；每一個都同樣可以是第一百個；它們全都屬於所以為一百之數的界限；這個數為了它的規定性，任何一個也不能缺少；從而與第一百個一相對立的其他諸一，並不構成界限以外的實有，或僅僅在界限之內而又與界限不同的實有。因此，數目對進行統括和進行界劃的那個一來說，並不是多，而是自身構成了為一個規定了的定量的界限；多構成一個數，如一個二，一個十，一個一百等等。 進行界劃的一，現在就是與他物相對的、被規定了的東西，是一個數與另一個數的區別。但是這種區別不會變成質的規定性，而仍然是量的區別，僅僅歸屬於進行比較的、外在的反思。數仍然是回復到自身的一，並且與其他的數漠不相關。數對其他的數這種漠不相關，乃是數的基本規定；它構成數的自在的、被規定的有，同時又構成數自己的外在性。這樣，數就是一個計數的一，作為被絕對規定的東西，它又具有單純直接性的形式，所以與他物的關係，對這樣的一說來，完全是外在的。作為一，它就是數，因為規定性是對他物的關係，一就從自身中的環節，即從它的單位和數目的區別中，有了規定性，而數目本身又是一的多，這就是說這種絕對外在性又是在「一」本身之內的。數或一般定量這種自身矛盾，就是定量的質；這種矛盾在定量的質進一步的規定中發展了。 注釋一 空間大小和數的大小，時常被認為同是很確定的兩類大小，其區別只是由於連續性和分立性規定之不同，但是作為定量，它們都處在同一階段。幾何學在空間大小方面，一般以連續的大小為對象；而算術則在數的大小方面，以分立的大小為對象。但是這兩者以對象之不同，它們之被界限和被規定，也就沒有相同的方式和完滿性。空間大小只有一般的界限；在它應當被認為是絕對的規定的定量時，它才需要數。幾何學本身並不測量空間的形象，它不是測量術，而只是比較那些形象。即使在幾何的定義那裡，一部分規定也是由等邊、等角、等距離取來的。因為圓只依靠圓周上一切可能之點都對圓心有同等的距離，所以圓的規定並不需要數。這些基於相等或不相等的規定，是道地幾何的規定。但是這些規定還不夠；對其他的東西，例如三角形、四邊形，數仍然是需要的；這個數在它的根本中、即在一中，包含著自為的、規定的東西，不包含藉助於他物、即借比較而被規定的東西。空間的大小，就點而言，固然具有與一相應的規定性；但是當點超出到自身以外時，點就變為一個他物，變成線；因為點本質上只是空間的一，所以點在關係中，就變成連續性，在連續性中，點的性質，那個自為的規定的東西，那個「一」，便被揚棄了。既然那個自為的規定的東西應當在自身以外的東西中保持自身，那麼，線就必須被設想為諸一的一個數量，而界限也必然在自身中獲得多個的一的規定，這就是說線的大小也必須和其他空間規定的大小一樣，被認為是數。 算術考察數及其符號，或者不如說算術並不考察它們，而是用它們來運算。因為數是漠不相關的規定性，是漠然不動的；必須從外面使它活動並發生關係。關係的方式也就是算法。算法在算術中將逐一出現，而它們的相互依賴，也是很明顯的。但是引導它們前進的線索，卻並沒有在算術里提出來。另一方面，從數的定義本身，也很容易得到系統的排列，教科書中對這些事物的講說，正要求有這樣的排列。我們將在這裡簡略地指出這些主要的規定。 數的根本是一，因為這個緣故，一般說來，它是一個外面湊合起來的東西，是一個純粹分析的符號，並沒有內在的聯繫。因為數只是外在的產物，所以一切計算都是數的產生，即計數，或更確切地說，綜計。這種外在的產生永遠只是做同樣的事，它的差異唯有在於應當被綜計的諸數互有區別；這樣的區別一定是從別的地方和外在規定得來的。 我們已經看到，構成數的規定性那種質的區別，就是單位和數目的區別；因此，一切可以在各種算法中出現的概念規定性，都歸結到這種區別。作為定量的數，也有其適宜的區別，這種區別就是外在的同一和外在的區別，即相等和不相等；這些反思的環節 (3) ，要在後面本質規定中區別那一章里加以討論。 此外還須預先提一下的，就是數一般可以用兩種方式產生，或是統括，或是分開已經統括了的東西——因為兩者的發生都用了以同一方式來規定的計數法，所以相當於數的統括的東西，人們可以稱之為正面算法；而數的分開，人們可以稱之為反面算法；算法本身的規定卻並不依賴這種對立。 1.在這些解釋之後，我們在這裡隨著舉出計算的方式。數的最初產生，是多個本身的統括，即其中每個都被當作一——這就是計數。因為諸一彼此都是外在的，所以它們以感性的形象來表現自己，數由之而產生的運算，便是數指頭、數點等等。什麼是四、五等等，那是只能夠指陳的。由於界限是外在的，所以這個連續過程中斷的地方，畢竟是某種偶然的、隨意的東西。在各種算法的進程中，出現了數目與單位的區別，這種區別為二進位、十進位等數的系統奠立基礎。大體說來，一個這樣的系統依靠採用什麼數目作為經常反覆的單位的那種隨意性。 由計數而生的數，又將再被計數。數既然是這樣被直接建立起來的，所以它們彼此間還沒有任何關係，就被規定了；它們對相等和不相等是漠不相關的；它們相互間的大小是偶然的，因而一般是不相等的——這就是加法。人之所以體會到7與5構成12，那是由於用指頭或別的東西對7再加上5個一；以後，人們就要把這種結果死背牢記，因為那裡沒有任何內在的東西。7×5＝35，也是如此，人們由於用指頭等等來計數而知道對一個七再加一個七，如此五次就成功了，而其結果也同樣要死背牢記的。現成的一數加一數，或一數乘一數，都只有硬記才能學會，由此便可以省掉去找出總和或乘積的計數之勞了。 康德曾在《純粹理性批判》的導言第五節中把7＋5＝12這一命題看作是一個綜合的命題。他說：「人們起初固然會設想（確是如此！）這個命題僅僅是一個分析命題，它根據矛盾律由七與五之和這一概念來的。」和的概念不過是抽象的規定，即：這兩個數應當統括起來，而且作為數，就應當是用外在的、即無概念的方式加以統括——那就是從七再數下去，直到數完需要加上的其數目被規定為五的那些個一為止；結果就帶來了人們從別處知道的名詞，即12。康德接著說道：「但是假如仔細考察一下，就會發現7與5之和這一概念所包涵的東西，不過是聯合這兩個數為一個單一的數，絲毫不因此而想到這統括兩數的唯一之數是什麼；」——他又說，「我對這樣可能的總和概念，儘管分析，也在其中遇不著十二。」但是那種課題之獲有結果，卻與總和的思維，概念的分析毫不相干；「必須超出概念，用五個指頭等等幫助來取得直觀，於是便將在直觀中給予的五的單位加到七的概念上去。」 (4) 五誠然是在直觀中給予的，即是在思想中隨意重複的一完全外在地聯結起來了；但是七也同樣不是概念；當前並沒有人們所要超出的概念。5與7之和就是指兩個數無概念的聯結；這樣無概念地從七繼續數起，直到把五數盡為止，正如從一數起一樣，都可以叫做一種聯結，一種綜合，——但這種綜合完全是分析性質的，因為這種聯繫完全是造作出來的；本來在其中或引入其中的，都沒有不是外在的東西。7加上5這一設准與一般計數設準的關係，也正如延長一直線的設准與畫一直線的設准關係一樣。 綜合這一名詞既是如此空洞，綜合先天出現——這一規定也是同樣的空洞。計數當然不是感覺的規定，根據康德對直觀的規定，只有感覺規定留下來給後天的東西。計數當然是基於抽象直觀的活動，這就是說它是由一的範疇來規定的，並且在那裡，一切其他感覺規定以及概念都被抽去了。這樣的先天，總之是模糊不清的東西；作為衝動、意向等等的情緒規定裡面有同樣先天性的環節，正如空間和時間被規定為存在物，而時間的東西和空間的東西被後天地規定那樣。 與此有關的，還可以再說康德關於純幾何基本命題的綜合性質的主張，同樣很少根本的東西。由於康德以為較多的基本命題都真的是分析的，所以對那種綜合觀念，單單舉了兩點間最短者為直線這一基本命題。「我對於直的概念，並不包含大小，而只包含一種質；最短的這個概念是完全添加上的，並不能從直線概念的分析得出來；所以這裡必須用直觀幫忙，綜合只有藉助於直觀才可能。」 (5) 但是這裡所涉及的，也不是一般的直的概念，乃是直線的概念，而直線卻已經是空間的，有了直觀的東西。直線的規定（假如人們願意的話，也可以說是直線的概念），當然不外是絕對單純的線，就是在超出自身以外之中的（所謂點的運動）絕對的自身關係，在這種線的延伸中，並沒有建立任何規定的差異，任何在它以外的點或點的關係，——這是絕對在它自身中的單純方向。這種單純性誠然是它的性質，假如說直線似乎很難分析地下定義，那麼，這也僅僅是為了單純性規定或自身關係的緣故，並且僅僅因為反思在規定時，面前首先便有了多，或說由另外的多而進行規定；但是，乾脆就自身說，要把握延伸自身中的單純性這種規定，或延伸由他物並無規定的這種規定，卻並不難；——歐幾里得的定義所包含的，也不外是這種單純性。但是現在這種由質到量的規定（最短）的過渡，這種應該構成綜合的東西的過渡，卻全然只是分析的。線，既然是空間的，就是一般的量；最單純的東西，從定量來說，那就是最少的；從線來說，那就是最短的。幾何可以接受這些規定作為定義的附款；但是阿基米德在他關於圓球體和圓柱體的書籍（參看豪伯爾〔Hauber〕譯本第4頁）里，作了最適宜的事情，把直線的那種規定樹立為原理，這與歐幾里得將關於平行線的規定列入原理之內同樣是正確的，因為這種規定的發展，要成為定義，同樣不是直接屬於空間性，而是屬於抽象的質的規定，和上面的單純性一樣，要求方向之類東西的等同。這些古人對他們的科學，給了突出的特性，其表述嚴格限於材料的特徵以內，因此，與這些材料性質相異的東西就被排除了。 康德所提出的先天綜合判斷這一概念，是他的哲學中偉大和不朽之處。這個概念表示區別與同一不可分離，同一在自身那裡也就是不曾分離的區別。因為這個概念就是概念本身，並且一切自在的東西都是概念，所以這種概念當然也在直觀中同樣呈現，但是在那些例子中所得到的規定，卻並不表現概念；數和計數倒不如說是一種同一性或同一的發生，它絕對僅僅只是外在的，是僅僅表面的綜合，是這樣一些一的統一，即這些一併不被當作是彼此同一的，而是外在的、各自分離的。至於直線為兩點間最短之線的規定，倒不如說只以抽象同一物這個環節為基礎，在抽象同一物那裡並沒有區別。 我由這段插話再回到加法本身。與加法相應的反面算法，即減法，是數的分離，它也同樣完全是分析的。和在加法里一樣，數在減法中，也一般被規定為彼此不相等的。 2.第二種規定是需要計數的數相等。那些數由於這種相等而是統一體，於是在數那裡便出現了單位與數目的區別。乘法的課題是總計單位的數目，而單位本身也是一個數目。至於兩數中，哪一個被當作單位，哪一個被當作數目，如說四乘三，即以四為數目，三為單位，或倒過來說三乘四，那都是一樣的。——前面已經說過乘積的原始發現，是用簡單的計數，即用指頭等等數得來的；後來依靠那些乘積的累積，即九九表，及對九九表的熟記，便可以直接說出乘積了。 除法是依據同樣的區別規定的反面算法。兩個因素、除數與商數中哪一個被規定為單位，哪一個被定為數目，同樣是無所謂的。假如將除法的問題表述為要看在一個已知數中包含一個數（單位）的多少倍（數目），那麼，除數就被規定為單位，而商數便被規定為數目；反之，假如說要把一個數分成一定數目的等分並找出這些等分（單位）的大小，那麼，除數就將被當作數目，而商數則被當作單位。 3.相互規定為單位和數目的兩個數，仍然還是彼此對立的數，因而完全是不相等的數。相等是以後得到的，它是單位和數目本身的相等；這樣，在數的規定中的諸規定，其趨於相等的過程便完成了。根據這種完全相等的計數，就是乘方（反面的算法就是求方根），——當然，首先就是把一個數提高到平方，——這種計數，完全是自身規定的，在那裡，（1）要相加的許多數是同一的，（2）這些數的多，或說這些數的數目，與那要被乘多少倍的數，即單位，是同一的。此外，在數的概念中，既沒有能夠提供區別的規定，也不能把數中所含有的區別求得進一步的一致。提高到比平方更高的冪方，那只是一種形式的繼續；——一方面，冪數為偶數時，那就只是平方的重複；——另一方面，方冪為奇數時，不相等又出現了；因為新的因數雖然對於數目和單位二者在形式上仍是相等的（例如首先在立方那裡），但是這個因數，作為單位，卻與數目是不相等的（平方，3對3）；（3）至於四的立方，那就更加不相等了，那裡的數目3，與應該根據這個數目自乘的單位之數本身就不同。數目和單位這兩個規定，本身就構成了概念的本質區別，以致凡走出自身以外的都可以完全回復到自身上來，它們是必須變為相等的。上面所說，也含有更進一步的理由，即：一方面，為什麼解較高的方程式，一定要歸到平方的二次方程式；另一方面，為什麼有奇數冪的方程式只能有形式的規定，而恰恰在方程式之根是有理數時，可以找到的只不過是虛數的表示，這正是根所以為根及其表現的反面。——根據以上所說，似乎只有算術的平方才包含絕對的自身規定的東西，因此具有其他形式的方冪的方程式必須歸回到平方；正如幾何中的直角三角形，包含著畢達哥拉斯定理所指出的絕對的自身規定性，所以一切其他幾何形體的全部規定也都必須還原到直角三角形那裡去。 根據邏輯地構成的判斷而進行的課程，要在講比例學說之先，講方冪的學說。比例誠然與單位和數目的區別相關聯，這種區別就成第二種算法的規定，但是單位和數目又是超出了直接定量的一以外，而在直接定量中，它們卻只是環節；根據定量而來的進一步的規定，對於那個定量本身仍然是外在的。在比例中，數不再是直接的定量；定量有了規定性作為中介。質的比率，我們將在以後加以考察。 關於所謂算法進一步的規定，可以說這種規定並沒有關於算法的哲學，也沒有指明其內在意義，因為事實上，它並不是概念的內在發展。哲學必須知道區別一種自身是外在的質料，按其本性說是什麼；因為概念的進展，在這樣的東西那裡，只有以外在的方式來表現，而其環節也只能是特殊的外在形式，如此處的相等和不相等。要對實在的對象進行哲學思考，使外在的、偶然的東西的特殊性不致被觀念擾亂，而這些觀念也不致由於質料的不適當而受到歪曲和流於形式；那麼，區別概念的一定形式（或說概念作為當前的存在）所屬的範圍，便是進行這種哲學思考的基本要求。在外在的質料那裡，比如說在數那裡，概念環節是在外在性中出現的，但是那種外在性在那裡卻是適當的形式；因為那些環節是用知性表現對象，並不包含思辨的要求，所以顯得容易，值得在初級教科書中應用。 注釋二 (6) 大家都知道畢達哥拉斯曾用數來表示理性關係或哲學問題；即使在近代，為了根據數來整理思想或用數來表現思想，哲學中也曾使用數及其關係的形式如因次等。——就教育的觀點而言，數被認為是內在直觀的最適宜的對象，對數的關係的運算也被認為是精神的活動，精神在這種活動中就把它最特有的關係，一般地說，本質的根本關係，顯現給直觀。數的這樣高的價值，能達到多少程度，是由數的概念產生的，正如概念自身所發生的那樣。 我們曾經看到數是量的絕對規定性，而數的原素則是變成了漠不相關的區別——即自在的規定性，它同時又完全只是外在地建立起來的。算術是分析的科學，因為在它的對象中出現的一切關聯和區別，都不是在對象本身之中，而完全是從外面加之於對象的。它並沒有具體的對象；具體對象有自在的內在關係，起初隱藏著不被知道，不是在有關對象的直接觀念中就呈現出來，而是要由認識的努力才可以獲致。算術不僅並沒有包含概念以及由概念而來的概念思維的課題，而且是概念思維的反面。因為有關聯的東西對這種缺少必然性的關聯漠不相關的緣故，思維在這裡的活動也就是思維自身的一種極端的外在化；這種活動強使思維在無思想性之中運行，它把毫不能夠有必然性的東西聯繫起來。這種對象是外在性本身的抽象思想。 既然是這種外在性的思想，同時也就抽掉了感性的豐富多彩；它從感性的東西所保留下來的，不過是外在性本身的抽象規定；感性的東西由此而在數中最近于思想；數是思想自己外在化的純思想。 精神是超出感性世界並認識自己的本質的，由於精神要為它的純觀念、為它的本質表現尋找一種原素，它可以因此而在將思想本身當作這種因素來把握，並為這種思想的陳述獲得純精神的表現之前，就陷於這樣的情況，即選擇了數，這種內在的、抽象的外在性。所以我們在科學史中，看到很早便用數來表示哲學問題。數構成用帶著感性的東西來把握共相這種不完善的情況的最後階段。數是處於感性的東西和思想的中間，古人對於這一點也曾經有過明確的意識。亞里士多德引證柏拉圖（《形上學》I，5）說：在感性的東西和理念以外，其間還有事物的數學規定；它與感性的東西有區別，因為它是不可見（永恆的）、不動的；它與理念不同，因為它是一個雜多的東西並具有相似性，而理念則絕對只與自身同一併且自身是一。卡地斯的莫德拉圖（Moderatus aus Cadix） (7) 關於這個問題更詳細而透徹的想法，曾在馬爾可的《論畢達哥拉斯的生活》（Malchi Vita Pythagorae，里特胡斯版［ed.Ritterhus］第30頁以下）中有過引證，他認為畢達哥拉斯派抓住了數，他們還不能夠明白地用理性來把握根本理念和第一原理，因為這些原理是難於思維的，也是難於說出的；數在授課時，供口講指畫之用卻很好。畢達哥拉斯派在這裡和別的地方，都摹仿幾何學家，後者不能以思想來表現具形體的東西，便使用圖形，說這是一個三角形，但在這樣說的時候，他們卻不是要把眼前看到的圖畫就當作三角形，而只是用以設想一個三角形的思想。畢達哥拉斯派把統一、同一和相等的思想，把一致、聯繫、一切事物的保持和與自身同一的事物等等的根據，都說成是一，也是如此。——這裡用不著再說畢達哥拉斯派也曾從數的表示過渡到思想的表示，即過渡到相等和不相等、界限和無限等顯著的範疇；至於這些數的表示，也已經有過引證（見同上書第31頁左邊的注釋，摘自福千［Photius］所編畢達哥拉斯的傳第722頁），即：畢達哥拉斯派曾區別一元（Monas）和一；他們認為一元是思想，而一則是數；同樣，二是算術的東西，而二元（Dyas）（這好像應該如此說法）則是不確定之物的思想。——這些古人很正確地首先察覺到數的形式對於思維規定的不足之處，他們也同樣正確地更為思想要求特有的表現，來代替這種應急解法。今天有些人又用數的本身和數的規定，如方冪，然後用無限大和無限小，一被無限來除，以及諸如此類本身常常是顛倒錯亂的數學的形式主義的規定，來代替思想的規定，並且以為退回到那種奄奄無力的兒戲是某種值得讚美的，甚至是根本的、深刻的東西，古人的思考比起這些人來，前進了該有多遠啊。 上面引過這種說法，即數是處於感性的東西和思想之間，由於數又從感性有了多，那個在數那裡相互外在的東西，所以要注意到多本身，那個被納入思想中的感性的東西，就是在多那裡的外在物的屬於多的範疇。進一步的、具體的真思想，這種最有生氣的、最活動的、只能在關係中去理解的東西，移植到那種自身外在的原素里，就變成了僵死不動的規定。 (8) 思想愈是富於規定性，也就是愈富於關係，那麼，用數這樣的形式來表述它，也就愈是一方面含糊混亂，另一方面則任意獨斷而意義空洞。一、二、三、四與元（或一元）、二元、三元、四元還與完全簡單的抽象概念接近；但是當數應該過渡到具體關係時，還要使數仍然與概念接近，那便是徒勞的。 假如思維規定通過一、二、三、四便被稱為概念的運動，好像概念只有通過這些數才成其為概念，那麼，這將是對思維所要求的最困難的東西。思維將在它的對立物中，即在無關係中活動；它的事業將是一種發瘋胡鬧的工作。譬如要理解一就是三，三就是一，其所以是困難的要求，因為一是無關係的東西，這就是說它在自己本身那裡並不表現出規定，不由規定而過渡到它的對立物，反倒是絕對排除並拒絕這樣的關係。恰恰相反，知性卻利用這點來反對思辨的真理（例如反對在被稱為三位一體說中所立下的真理），並且用數字來計數那些構成一個統一體的思辨真理的規定，以便指出它們的明顯荒謬，——就是說知性本身陷入了荒謬，它把絕對是關係的東西造成無關係的東西了。在用三位一體這個名詞的時候，當然料想不到一和數會被知性看成內容的本質規定性。這個名詞就表現了對知性的輕視，而知性執著於一和數本身，還堅持它的虛妄，並有這種虛妄來與理性對立。 數、幾何形狀，如圓、三角形等，常常被當作是單純的象徵（例如圓是永恆的象徵，三角形是三位一體的象徵），一方面這是某種天真無邪的東西，另一方面，假如以為因此就比思想所能夠把握和表現的還表現得更多，那卻是發了瘋。這樣的象徵和其他在各民族的神話和一般詩歌藝術中由幻想產生的象徵，無幻想的幾何形狀與它們相比，是絕對貧乏的；假如說在那些象徵之中，含有深刻的智慧、深刻的意義，那麼，與思維唯一有關的事，就正是要把在那裡還不過是隱含的智慧發掘出來，並且不僅要把在象徵中的，也要把在自然和精神中的這種隱藏著的智慧發掘出來；在象徵中，真理還是被感性的因素攪昏了、遮蔽了；它只有在思想形式里才對意識是完全開朗的；意義只是思想自身。 數學公式如其有思想和概念區別的意義，那也不如說這種意義首先需要在哲學中加以指出，加以規定和加以論證，所以採取數字的範疇，想從而為哲學的科學的方法或內容規定什麼東西，這根本是糊塗的事情。哲學在它的具體科學中，是從邏輯、不是從數學，採取邏輯的東西；為了取得哲學中邏輯的東西而採取邏輯的東西在其他科學中所採取的形態，那只能是哲學軟弱無力時一種應急的辦法，這些形態許多只是對邏輯的東西朦朧的預感，另一些則是它的退化。簡單應用這樣借來的公式，無論如何都是一種膚淺的態度；在應用這些公式以前，必須先意識到它們的價值和意義；但是這樣的意識只有由思考產生，而不是出於數學給予這些公式的威信。對這些公式這樣的意識乃是邏輯本身，這種意識刷除掉它們的特殊形式，使這些形式成為多餘無用的東西，並糾正這些公式。唯有這種意識才能對它們提供校正、意義和價值。 使用數和計算應當構成教育的主要基礎，在這種情況下，它的重要性，從以上所說就很顯然了。數是一個非感性的對象，研究數及其聯繫是一件非感性的作業；於是精神便停留在自身的反思和內在的抽象工作上，這也有很大的、但卻是片面的重要性。因為另一方面，數既然只是以外在的、無思想的區別為基礎，那樣的作業便只是無思想的、機械的作業。它用力之處，主要在於堅持無概念的東西，無概念地把它們聯繫起來。內容是空洞的一；而倫理的、精神的生活及其個別形態的豐富價值，這正是教育應該用來作為最高貴的營養培養青年心靈的，就會被這無內容的一擠掉了。假如那樣的練習成了主要的宗旨和主要的業務，其結果除了使精神在形式和內容上變得空虛而遲鈍以外，不可能有別的東西。因為計算是這樣外在的，然而也就是機械的作業，以至可以製造出機器來極其圓滿地完成算術的運算。假如人們關於計算的性質只知道這種情況，那麼不管他對一件事所設想的是什麼，其中就會包含這樣的決定，即把計算造成對精神的主要教育手段，對精神加以桎梏，把精神十全十美地變為一架機器。 乙、外延的和內涵的定量 1.這兩種定量的區別 1.如前所說，定量以數目中的界限為規定性。定量自身就是分立的，是一個多，它不具有和它的界限不同而界限在其外面那樣的東西。所以定量連同界限（這個界限在它自己那裡就是一個雜多的東西）就是外延的大小。 必須把外延的大小和連續的大小區別開；外延的大小並不直接與分立的大小對立，而是和內涵的大小對立。外延和內涵的大小都是量的界限本身的規定性，但是定量則與它的界限是同一的；另一方面，連續和分立的大小是自在的大小的規定，即量本身的規定，因為在定量那裡，界限抽掉了。由於外延大小的多，一般就是連續的，所以它在本身及其界限都有連續性這個環節；這樣，作為否定的界限便在多的這種相等中，出現為統一體的劃界。連續的大小是不管界限而自己連續下去的量；假如要想像它有一界限，那麼，這種界限也只是一般的劃界，在那裡並未建立起分立。定量若只是連續的大小，它就還不是真正自身有了規定，因為它缺少一（在一中就含有自身規定的東西），也缺少數。同樣，分立的大小只是一般直接地有區別的多，既然多本身應該有一界限，那麼，這個多只是一堆或一些，即是一個不曾規定界限的東西；它若要成為規定的定量，就需要把多總括為一，從而使這些多與界限同一。使定量完全規定並成為數，有兩個方面；連續和分立的大小，作為一般定量，都各自只建立了一個方面。數是直接的外延的定量，——是單純的規定性，主要作為數目，但卻是作為一個並同一的單位的數目；外延定量與數的區別，唯在於規定性在數中明白地被建立為多。 2.可是，某物由數而有多大那樣的規定性，卻不需要與有其他大小的某物相區別；因為一般的大小是自為規定的、無分別的、單純自身相關的界限，所以這樣大小的事物本身和其他大小的事物都屬於那個規定性。在數中，規定性被當作封閉在自為之有的一以內，並且具有外在性，即在自身中有與他物的關係。界限本身的這個多，和一般的多一樣，不是自身不相等的，而是連續的。多中的每一個都是他物之所以為他物那樣的東西；因此，它們每一個作為多的相互外在或分立，並沒有構成規定性本身。於是這個多便自為地消融為它的連續性，變成單純的統一體。數目只是數的環節，它作為一堆可計數的一，並不構成數的規定；而這些一作為漠不相關的、外在於自身的東西，卻在數返回到自身時被揚棄了。外在性構成多中的諸一，它在作為數的自身關係的那樣的一中便消失了。 定量若是外延的，它便以自身外在的數目為它的實有的規定性，於是它的界限便過渡為單純的規定性。在界限的這種單純的規定中，定量便成了內涵的大小，於是與定量同一的界限或規定性，現在便被建立為單純的東西，——即度數（Grad）。 這樣，度數便是一個規定的大小或說定量，但在自身以內又不是數量（Menge）或多數（Mehreres） (9) ，它只是一種多數性（Mehrheit），多數性是把多數統括為一個單純的規定，是回到自為之有的實有。它的規定性固然必須用數來表現，作為定量完全規定了的規定性，但又不是作為數目，而是單純的，只是一個度數。假如我們說10度數，20度數，那麼，有這樣多度數的定量只是第十度數，第二十度數，而不是這些度數的數目與總和；假如是那樣，它便會成了外延的定量；所以它只是一個度數，即第十度數、第二十度數。這個度數所包含的規定性，是在十、二十數目之中的，但並不是把這種規定性作為多數來包含它，而是度數作為揚棄了數目的數，作為單純的規定性。 3.在數中，定量是以完全的規定性建立起來的；但是作為內涵定量，它卻是在數的自為之有中建立起來的，無論就它的概念說，或就它的自在說，都是如此。這就是說，定量在度數中所具有的自身關係的形式，同時也是度數自身的外在的東西。數、作為外延定量，是可計數的多，所以在數自身之內具有外在性。這種外在性，作為一般的多，便消融於無區別之中，並且在數的一之中，即在數的自身關係中揚棄了自身。但是定量又具有作為數目的規定性，如上面所指出的，它之包括數目，就好像數目在它那裡並不再建立起來似的。所以度數，作為單純的自身，其中並不再有這個外在的他物 (10) ，度數是在自己之外，具有這個他物，並且以和這個他物的關係作為與自己的規定性的關係。一個外在於度數的多，構成單純的界限的規定性，這個界限是度數所以為自為的。由於數中的數目應該是處在外延限量之內，數目就在那裡揚棄自身，從而因為在數之外被建立起來，便規定了自身。由於數作為一，就是建立了反思自身的自身關係，所以數把數目的漠不相關和外在性排除於自身之外；並且是作為通過自身與外物的關係那樣的自身關係。 在這裡，定量便有了與它的概念相適應的實在。規定性的漠不相關，構成定量的質，即是說這種規定性在它本身那裡是自身外在的規定性。因此，度數就是在許多這樣的內涵之下的一個單純的大小規定性，這些內涵每一個只是單純的自身關係，它們互不相同而又彼此有重要的關係，所以每一個內涵都是與其他內涵一起在這種連續中有其規定性。度數這種由自身而有與他物的關係，使度數表中的升降，成為一種持續的進行，一種流動，這種流動就是不斷的、不可分割的變化。在變化中有了區別的多數，其中每一個都不與其他多數脫離，而只是在其他多數中才有規定。作為自身關係的大小規定，每一度數對其他的度數都是漠不相關的，但是它又自在地與這種外在性相關，只有藉助於這種外在性，它才是它之所以為它；它的自身關係，是在一個度數中與外物並非漠不相關的關係，在這種關係中，度數便有了它的質。 2.外延的和內涵的大小之同一 度數不是一個在度數以內而外在於自身的東西。不過，它不是不曾規定的一，一般數的根本；這種一不是數目，只是否定的數目，所以並非數目。內涵的大小首先是多數的一個單純的一，這個一是多數的度數，但是這些度數卻既不被規定為單純的一，也不被規定為多數，而只是被規定為在這種自身外在的關係中，即在一與多數性的同一中。所以，假如多數本身誠然是在單一的度數以外，那麼，這個單一度數的規定性就在於它與那些多數的關係；於是度數包含數目。正如作為外延大小的二十，——自身便包含著二十個分立的一那樣，被規定了的度數也包含這些一作為連續性，這種連續性就是單一地規定了的多數；這個被規定了的度數便是第二十度，並且只有藉助於這個數目才成為第二十度，而這個數目本身又在度數之外。 因此必須從兩方面來考察內涵大小的規定性。它是由其他內涵定量來規定的，並且是與它的他物一起在連續性中，所以它的規定性在於這種與他物的關係。第一，現在這種規定性既然是單純的規定性，它就是相對於其他度數而被規定的；它把其他度數排除於自身之外，並且以這種排除為它的規定性。第二，它又是在自己本身那裡被規定的，它之在數目中被規定，是在它自己的數目中，不是在它的已被排除的數目中，或說不是在其他度數的數目中。第二十度在它本身那裡包含著二十；它之被規定，不僅區別於第十九度數、第二十一度數等等，而且它的規定性就是它的數目。但是數目既然是它的數目，——同時規定性在本質上也就是數目，——所以度數也是外延的定量。 這樣，外延和內涵大小就是定量的一個並且是同一的規定性；它們之所以有區別，只是因為一個所具有的數目是在它自身以內，而另一個所具有的同一的東西，即數目，則是在它自身以外。外延大小過渡為內涵大小，因為它的多自在而自為地消融為統一體，多退出到統一體之外。但是反過來，這個單一的東西只是在數目那裡，並且誠然是在它的數目那裡，才有規定性；作為對其他規定了的內涵漠不相關，它就在自身那裡具有數目的外在性；所以內涵大小在本質上，也同樣是外延大小。 某種有質的東西隨著這種同一性出現了，因為同一性是由否定其區別而與自身相關的統一；但是這些區別卻構成實有的大小規定性；所以這種否定的同一性是某物，而這個某物卻又是對它的量的規定性漠不相關的。這個某物是一個定量；但現在這個質的實有，卻像它是自在的一樣，被建立為對實有漠不相關。我們可以談論定量、數本身等而不涉及載負它們的某物。但是現在某物卻與它的這些規定 (11) 對立，由於否定這些規定而以自身為中介，好像是自為地實有的東西，並且因為這個某物之有一定量，就像這個某物具有一個外延兼內涵的定量似的。它所具有的作為定量的一個規定性，是在單位和數目這兩個不同環節中建立起來的；這個規定性不僅自在地是一個和同一的，而且它在作為外延和內涵定量等區別中的建立，就是回復這種統一體，這種統一體，作為否定的統一體，就是對這些區別漠不相關的某物。 注釋一 在通常觀念中，外延和內涵定量常被區別為大小的種類，好像一些對象只有內涵大小，而另一些對象只有外延大小似的。此處又加上哲學的自然科學的觀念，它把多數，即外延，例如在充填空間這一物質的基本規定中以及在其他概念中，以這樣的意義轉變為內涵，即：內涵作為動力的東西，是真的規定，並且在本質上必須把這種內涵，譬如密度或特殊的空間充實程度，不當作在一個定量空間中的物質部分的某個數量和數目來把握，而當作充填空間的物質的力的某一度數來把握。 這裡必須區別兩種規定。在所謂力學觀點轉變為動力學觀點之時，就出現了表面上聯繫在一整體之內而各自獨立存在的部分的概念和與此不同的力的概念。在充填空間之中，一方面被認為僅僅是一些相互外在的原子那樣的東西，另一方面會被看作是基本的單純的力的表現。整體與部分，力及其外現等關係，在這裡互相對立，但還不是這裡要說的事情，將在以後加以考察。現在要提到的，只是力及其外現的關係（這種關係相應於內涵），與整體和部分的關係相比，固然較為真實，但是力並不因此而比內涵較少片面性；外現，即外延的外在性，也同樣離不開力，所以在外延和內涵兩種形式中，都呈現一個並且同一的內容。 這裡出現的另一規定性，是量的規定性本身；它作為外延定量，是被揚棄了，並且作為真正應有的規定，將轉化成度數；但是以前已經指出過，度數也包含量的規定性，所以這一形式對另一形式也是重要的，於是每一實有都把它的大小規定既表現為外延定量又表現為內涵定量。 因此，一切東西，只要是表現為一個大小的規定，都可以為這種情況作例子。即便是數，必然也在它那裡直接有這樣的雙重形式。由於數是外延大小，它就是一個數目；但是假如它過渡到內涵的大小，因為雜多在這種統一體中消融為單純，它就也是一、一十、一百。一是自在的外延的大小，它可以被設想為任何數目的部分。所以十分之一、百分之一都是這種單純的、內涵的東西，它是在它以外的多數那裡，即在外延的東西那裡，有它的規定性。一個數是十、百，同時在數的體系中，它也是十分之一、百分之一；兩者都是同一的規定性。 圓中的一叫做度數，因為圓的部分本質上是以在它以外的多數為其規定性，被規定為一個封閉的數目的諸一的一個。圓的度數，作為單純的空間大小，只是一個普通的數；作為度數來看，它是內涵的大小，這個大小只有由圓所劃分的度數的數目來規定，才有意義，正如一般的數只是在數的系列中才有意義一樣。 一個較具體的對象的大小，在其實有的雙重的規定里，表現了既是外延的又是內涵的兩個方面，對象在一個方面，出現為外在的，在另一個方面出現為內在的。譬如一質量（Masse），作為重量，它是外延的大小，因為它構成斤、百斤等數目；它又是內涵的大小，因為它施加一定的壓力，而壓力的大小是一個單純的東西，是一個度數，在壓力的度數表上，有它的規定性。質量施加壓力，就像是一個內在之有（In-sich-Sein），一個主體，它宜於有內涵的大小區別。反過來說，施加這種壓力度數的東西，能夠將斤、兩等一定數目移動位置，並且以此來測量它的大小。 也可以說，熱有一個度數；溫度無論是第十度、第二十度等，它總是一個單純的感覺，一個主觀的東西。但是這個度數同樣也是作為一種外延大小而呈現的，是一種液體（如寒暑表中的水銀）、氣體或聲音等等的廣延。較高的溫度表現為較長的水銀柱或較狹的透氣筒；它加熱於較大的空間，正如較小的度數以同樣方式只加熱於較小的空間。 較高的聲音，作為較強的聲音說，同時也是較大數量的振動；或者說較響的聲音（我們說它有較高的度數）使它自己在較大的空間可以聽到。同樣，用較強的顏色，可以比用較弱的顏色染更大的面積；或者較鮮明的東西，這個另一種強度［內涵］，比較不鮮明的東西在更遠的地方可以看見等等。 同樣，在精神的事物中，品格、才幹、天才等很高的內涵也有包羅宏富的實有，廣泛的影響，多方面的接觸。最深刻的概念也有最普遍的意義和應用。 注釋二 康德搞了一種獨特的辦法，把內涵定量的規定應用於靈魂的形上學的規定。在批判靈魂的形上學的命題時（他把這些命題叫作純粹理性之誤謬推理），他考慮到從靈魂的單純性來推論靈魂不滅。他反對這種推論，說（見《純粹理性批判》第414頁） (12) ：「即使我們因為靈魂並不含有相互外在的雜多的東西，也就是並不含有外延的大小，承認了靈魂有這種單純的本性，但是對於靈魂，卻仍然和對任何存在著的東西一樣，不能否認其有內涵的大小，即不能否認有關靈魂一切能力的實在性，甚至構成其存在的一切都具有一種度數，這種度數可以通過一切無限多的更小的度數而減少；所以這種臆想的實體，雖然不是由於解體，而是由於它的力量的消散（衰退remissio）可以轉變為無。因為縱使是意識，它也在任何時候都有一個度數，這個度數總還是可以減少的。有其自覺的能力既是如此，一切其餘的能力也是如此。」 (13) 在理性的心理學中，正如這種抽象的形上學過去那樣，靈魂將不被看作精神，而被看作只是一個直接有的東西，一個靈魂事物（Seelending）。所以康德有權利把定量的範疇，即內涵定量的範疇，對它應用，就「和對任何存在著的東西一樣」，只要這種有的東西被規定為單純的。當然，「有」（Sein）也是屬於精神的，但是精神這種「有」的內涵，卻與內涵定量的內涵完全不同；僅僅直接的有及其一切範疇的形式，在精神的內涵之中，不如說都揚棄掉了。這不僅必須承認要除去外延定量的範疇，而且要除去一般定量的範疇。還有一點必須要認識的，那就是實有、意識、有限性等在精神的永恆本性中是怎樣的，而且是怎樣從那裡發生而精神卻並未因此而變成一件東西。 3.定量的變化 外延與內涵定量的區別，對定量規定性本身，是漠不相關的。一般說來，定量就是建立起來的規定性又被揚棄了，是漠不相關的界限，這種規定性同樣也是自身的否定。這種區別在外延的大小中發展了，但是內涵的大小卻是這種外在性的實有，這種外在性就是在自身中的定量。這種區別被建立為自身的矛盾，即：必須是單純的自身關係的規定性（這種規定性就是自身的否定），並且不是在這個規定性那裡而是在另一定量中有其規定性。 所以一個定量，按照它的質，是在絕對連續性中與它的外在性，即與它的他有一齊建立起來的。因此不僅是定量可以超出任何大小規定性，不僅是大小規定性可以變化，而且定量之所以建立起來，就是因為大小規定性必須變化。因為大小規定只是與一個他物同在連續性中才具有它的有，所以它是在它的他有中繼續自身；它不是一個有的界限，而是一個變的界限。 「一」是無限的，或說是自身相關的否定，因此是自己對自己的排斥。定量也同樣是無限的，被建立為自身相關的否定性；它自己排斥自己。但定量是一個規定了的一，是那個過渡為實有和界限的一，所以是規定性自身的排斥；這種排斥不像一的排斥那樣產生自身相等的東西，而是產生它的他有；於是定量在它自身那裡建立起來，超出自身，變成他物。定量之構成，就在於自身的增加或減少；它是在它自身那裡的規定性的外在性。 於是定量自己超出自己；它所變成的他物，首先本身也是一個定量；但這個定量也同樣不是一個有的界限，而是推動自己超出自己的界限。這個超出而重又產生的界限，絕對只是一個這樣的界限，即它重又揚棄自身，走向另一個更遠的界限，如此以至於無限。 丙、量的無限 1.量的無限概念 定量自身變化並變成另一定量；這種變化前進到無限的進一步規定，就在於定量是作為自身矛盾被提出來的。——定量變成一個他物；但又在它的他有中繼續自身，這個他物仍然是一個定量。但是這個定量不僅是一個定量的他物，而且是定量本身的他物，是它作為一個立了界限的東西的否定物，從而也是它的沒有界限，它的無限。定量是一個應當（Sollen）；它包含著必須是自為的規定，這種自為的規定又不如說是在一個他物中被規定的；反過來說，它是在一個他物中揚棄了的規定，是漠不相關的自為的持續存在。 有限和無限兩者，都同樣由此而保持在自身那裡的雙重的、並且誠然是對立的意義。定量是有限的，第一，它是作為一般的立了界限的東西，第二，它是作為對自身的超出，作為在一個他物中的規定。而定量的無限，則第一是它不曾立界限，第二是它回復到自身，是漠不相關的自為之有。現在我們將這兩種環節互相比較，便可以看到，超出自身而到他物，定量的這種有限性的規定，同時也是無限的規定，定量的規定就在這種超出之中。界限的否定與超出規定性是同一回事，所以定量以這種否定、這種無限，為它的最後的規定性。無限的另一環節是對界限漠不相關的自為之有；但定量是這樣的立了界限的東西，即：定量對它的界限說來，從而也是對其他定量和對自己的超出說來，都是自為的、漠不相關的東西。有限和（應當與有限分離的、壞的）無限，就定量說，每一個都已經在自身那裡有了另一個的環節。 質和量的無限物，其區別是由於在前者，有限物和無限物的對立是質的對立，而且從有限物到無限物的過渡，或說兩者的相互關係，只是在自在中，即在它們的概念中。質的規定性是直接的；它與他有的關係，本質上是與它自己的另一個「有」的關係；它不是要在自身那裡有其否定或他物而建立的。反之，大小本身則是揚棄了的規定性；它之建立是與自己不相等，並且對自己漠不相關，因而是可變化的東西。因此，質的有限物和無限物是絕對對立的，即抽象對立的；它們的統一是以內在關係為基礎；因此，有限物之繼續自身，只是在自己之中，不是在自己那裡，在自己的他物中。反之，量的有限物，在自身那裡與自身的關係，卻是在它的無限物那裡；它在無限物那裡，有它的絕對規定性。它的這種關係，首先表現了量的無限進展。 2.量的無限進展 無限進展，一般說來，是矛盾的表現，而這裡則是量的有限物或一般定量所含矛盾的表現。這種進展是有限物和無限物在質的範圍內曾經考察過的相互規定；不過卻有區別，正如方才說過，在量的事物中，界限本身超出並繼續超出自身之外，所以反過來，量的無限物也是在自身那裡具有定量而建立的；因為定量在它的自身外在之中，同時就是它本身，它的外在性也屬於它的規定。 不過，無限進展只是這種矛盾的表現，不是這種矛盾的解決；但是由於從一個規定性連續到另一規定性的緣故，無限進展以這樣兩個規定性的聯合，導致了一個似是而非的解決。正如無限進展首先被建立起來那樣，它只是無限物的課題，並不是無限物的達成：它是無限物的不斷產生，而沒有超出定量本身，並且這個無限物也不會變成肯定的、當前現在的東西。定量在它的概念中就有著一個自己的彼岸。這個彼岸第一是定量的非有（Nichtsein）這一抽象的環節；定量自在地消解了；這樣，定量就對立的質的環節說來，它自身與它的彼岸相關也就正如它自身與它的無限性相關那樣。其次，定量又是與這種彼岸一起在連續之中的；定量之構成，正在於它是自己的他物，對自己本身是外在的；於是這種外在的東西，也不是別的，而正是定量；所以彼岸或無限物本身就是一個定量。彼岸就是以這種方式，由逃跑而被召喚回來，而無限物也就達到了。但是因為這個變成此岸的東西仍又是一個定量，現在建立起來的不過是一個新的界限；這個新界限，作為定量，又從自身那裡逃跑；作為定量，它就超出自身，並排斥自身，到自己的非有中，自己的彼岸中去，彼岸之不斷變成定量，也和定量之不斷自己排斥自己到彼岸去一樣。 定量在它的他物中的連續，使兩者 (14) 的聯合，表現為無限大或無限小。因為無限大和無限小在自身那裡仍然有定量的規定，它們還是可變化的，沒有達到可以是自為之有的那樣絕對的規定性。在這種雙重性的、依據較多和較少而對立的無限物中，即無限大和無限小中，規定的這種外在的有（Aussersichsein）建立起來了。定量無論在無限大或無限小那裡，都與彼岸不斷對立而保持下來了。大，無論怎樣擴張，都將縮小到微不足道；因為它與無限物的關係就和與它的非有的關係一樣，這種對立是質的對立；所以擴張了的定量並未從無限物取得什麼東西；無限物在以前和以後都同樣是定量的非有。或者說，定量的增大並不更接近無限物；因為定量及其無限性的區別，本質上有一個不是量的區別的環節。這只是使矛盾的表現更加突出；無限大作為大，應該是一個定量，而無限又應該不是定量。同樣，無限小，作為小，也是一個定量，因此對無限物說來，它仍然是絕對地太大了，即就質而言，是太大了，並且與無限物是對立的。無限進展的矛盾在無限大和無限小兩者之中都保持下來，進展應該在兩者那裡找到它的目標。 這種無限性，作為有限物的彼岸而被牢固地規定了，它應該被稱為壞的量的無限性。它和質的壞的無限性一樣，從長在的矛盾的一環到另一環，從界限到界限的非有，又從這個非有回到同樣的東西——即又回到界限，這樣不斷地往返交替。在量的進展中，那個向著這種進展而前進的東西，固然不是一般的抽象的他物，而是不同的、建立起來了的定量；但是它卻以同樣的方式，與它的否定對立。因此，進展也同樣不是什麼前進和進展，而是建立、揚棄、再建立、再揚棄的循環往復，是否定物的軟弱無力；它所揚棄的東西，由於它的揚棄，又作為連續的東西回來了。兩件事物是這樣聯結起來的，即它們絕對彼此逃避開，並且因為彼此逃避開而不能分離，卻在彼此逃避開之中聯結起來了。 注釋一 壞的無限，尤其是量的無限進展的形式，——即繼續飛越界限而無力揚棄界限，並不斷回到界限，——常被認為是某種崇高的東西，一種神聖的供獻；在哲學中，這種進展同樣也被看作是一個最後的東西。這種進展曾多方面供浮誇詞藻之用，這些詞藻每每被驚嘆為崇高的作品。但是這種時髦的崇高，事實上並沒有使對象偉大，倒不如說使對象逃掉了，它只是使主體吞噬掉這樣巨大的量。這種在量的階梯上升的高揚，仍然是主觀的；在勞而無功之中，它自己承認並不更接近於這個無限的目標，它的貧乏也由此可見，若要達到目的，當然須另作打算。 在下面這類浮誇詞藻里，立刻就表現出這樣的崇高會走到那裡，止於何處。譬如康德所謂的崇高（《實踐理性批判》結束語）， (15) 「假如主體以思想使自身高揚於它所占據的感性世界的地位之上，將聯繫擴張到無限大，——聯繫到星辰以外的星辰，世界以外的世界，天體體系以外的天體體系，而且它們的周期運動，它們的開始和延續，在時間上也是無涯無際的。最遠的世界總也還有一個更遠的世界，無論回溯到多麼遠的過去，後面也總還有一個更遠的過去，無論前推多麼遠的將來，前面也總還有一個更遠的將來；想像窮於這樣不可測度的遙遠的前進，思想也窮於這樣不可測度的想像；像一個夢一樣，一個人永遠漫長地看不出還有多遠地向前走，看不到盡頭，盡頭是摔了一跤或是暈倒下去。」 這種表達除了把量的高揚的內容壓縮為描繪的豐富而外，值得稱讚的地方，主要是它真實地指出了這種高揚如何終結：思想是窮了，終結是摔了一跤或暈倒下去。使思想窮而至於摔了一跤或暈倒下去的，不是別的，只是一個界限消滅了，又起來，又消滅，這種重複的厭倦，彼和此，彼岸和此岸，相互不斷生滅，有的只是無限物想要主宰有限物而又不能主宰有限物那種軟弱無力之感。 康德所稱使人戰慄的，哈萊（Haller）對永恆的描寫，也常常特別受人驚嘆，但是受到驚嘆的卻恰巧每每不是真正值得驚嘆的那一方面： 「我將時間堆上時間，世界堆上世界， 將龐大的萬千數字，堆積成山， 假如我從可怕的峰巔， 暈眩地再向你看， 一切數的乘方，不管乘千來遍， 還是夠不著你一星半點； 而我剝掉一切乘積， 你便全然現在我的面前。」 假如把數和世界堆積成三山五嶽，以為這就夠得上描繪永恆，那就會忽視了詩人自己已經說出這種所謂使人戰慄的超越，是某種白費事而空洞的東西，也忽視了他因此結論說：只有放棄這種空洞的無限進展，才能使真正的無限物呈現在他的面前。 有些天文學家之所以為他們的科學的崇高而高興，是因為這門科學研究不可測度的繁多的星辰，研究那樣不可測度的空間和時間，——距離和周期無論本身已經怎樣大，用為單位，在這樣的空間和時間之中，即使乘上多少倍，仍舊是縮小到微不足道的。他們對這種情形流連於驚詫，他們希望從一個星球旅行到另一星球那樣的生活，以及從不可測度的地方去獲得那一類不可測度的新知識。他們以為這種淺薄的驚詫和這種無聊的希望，構成了他們的科學主要優越之點，——這個科學之所以值得驚異，並不是因為這樣的量的無限，而是恰恰相反，因為理性在這些對象中認識到尺度關係和規律，並且這些對象就是理性的無限與那非理性的無限相對立。 康德用另一種無限來與那種有關外在感性直觀的無限相對立，即，假如「個體回到他的看不見的自我；他的意志的絕對自由，作為純粹的自我，與命運和暴政的一切恐怖對立；從純粹自我最近的周圍一開始，這些恐怖便自行消失；這個自我也同樣使那似乎牢固的東西，世界復世界，毀為廢墟，並且孤獨地認識自己等於自己。」 (16) 自我在這種自己的孤獨中誠然就是那個已達到的彼岸；它到了自己那裡，是在自己那裡，在此岸；絕對的否定性，在純粹自我意識中，成了肯定和現在，而它在超過感性定量的前進之中卻只是逃跑。但是這種純粹自我既然是抽象而無內容地把自己固定起來，那麼它也就是把一般的實有，即把自然和精神宇宙的充實內容作為彼岸，和自己對立起來。它表現了為無限進展之基礎同樣的矛盾，即回復到自身而同時又直接外在於自身，對它的他物的關係也就是對它的非有的關係；這種關係終於仍舊是一種企望，因為自我一方面把自己的無內容而又站不住的虛空固定下來，另一方面又把在否定中仍然現在的充實內容固定為它的彼岸。 康德對這兩種崇高加了註解，他說：「對（第一種外在的）崇高的驚嘆和對（第二種內在的）崇高的敬畏固然能激起研究，但不能代替研究的缺乏。」 (17) 所以他說那些高揚的情緒是不能滿足理性的，理性不能停留在那些情緒及其相連的感覺上，也不能把彼岸和虛空當作是最後的東西。 但是這種無限進展主要是應用在道德上，被當作最後的東西。方才所舉的第二種有限與無限物的對立，作為豐富多彩的世界與提高到自由的自我之間的對立，首先是質的對立。自我在規定自己時，既要規定自然，又要使自身擺脫自然而自由；所以它是由自身而與他物有關；這個他物，作為外在的實有，既是豐富多彩的，也是量的。對量的東西的關係，自身也將變成量的東西；因此，自我對量的否定關係，自我對非我、即對感性和外在自然的威力，將被設想成這樣，即道德可以並應當愈加增大，而感性的威力則愈加減小。但是意志對道德規律之完全適合性卻將被移到無限進展之中，即被想像為一個絕對到達不了的彼岸，正因為它是到達不了的東西，它才是真正的歸宿和安慰；因為道德應該是鬥爭；而鬥爭又是在意志不適合規律的情形之下才有的；因此規律絕對是意志的彼岸。 自我與非我，或說純意志和道德規律與自然和意志的感性，在這種對立中，被假定為彼此完全獨立、漠不相關的。純意志有它的特殊規律，這種規律與感性有本質的關係；另一方面，自然和感性也有其規律，這些規律既不是從意志得來，不符合意志，而且雖然與意志不同 (18) ，本身也與意志並沒有本質的關係，它們根本是為自己而規定的，自身是完成而完滿的。但這兩者 (19) 又都是同一個單純事物（自我）的環節；意志被規定為與自然對立的否定物，意志之所以是意志，僅僅是因為有一個與它不同而又被它揚棄的東西，但是意志揚棄自然之時，也接觸到、甚至感受了自然。對自然說來，對它作為人的感性說來，對它作為獨立的規律體系說來，由於他物而有的限制，與它是不相干的；即使在它有了界限的時候，它仍然保持自身而獨立地進入關係之中，它之為規律的意志立界限，也和意志之為它立界限一樣。意志規定自己而揚棄自然這個他有，後者被當作是實有的，在被揚棄之中自身仍然延續而沒有揚棄；意志的規定和揚棄，是一個動作。其中所含的矛盾不會在無限進展中解決，而相反地被表現為並被認為不曾解決，並且不能解決；道德與感性的鬥爭將被設想為自在而自為的絕對關係。 無力主宰有限和無限物的質的對立，無力把握真正意志的理念或說實質的自由，便會逃往大小那裡去，用大小作中介；因為大小是揚棄了質，變成了漠不相關的區別。但是對立的兩端既然根本上仍有質的不同，那麼，由於它們彼此的關係猶如定量的關係，因此，每一個也就被當作是對這種變化漠不相關。自然被自我規定，感性被善良意志規定，由此而產生的變化只是量的區別，這樣的區別讓自然和感性仍舊是自然和感性。 費希特的《知識學》，對康德哲學，至少是對它的原則，作了更抽象的表述，在那裡，無限的進展同樣成了基礎和最後之物。隨著這樣表述第一條原則，自我＝自我，而來的，是與第一條各自獨立的第二條原則，非我的對立；自我和非我兩者的關係也立刻被認為是量的區別，非我一部分是由自我規定，一部分則不是。非我以這樣的方式仍然在它的非有中繼續，以致它在它的非有中仍然是未被揚棄而對立的。因此，在這裡所含矛盾發展成為體系之後，最終的結果也就是曾經是開始的那種狀況；非我仍然是一個無限的牴觸（Anstoss），是一個絕對的他物。非我和自我彼此間的最後關係是無限進展，是企望和嚮往，是開始就有的同一矛盾。 因為量的東西是被當作揚棄了的規定性，所以當對立一般被降低到一個僅僅是量的區別時，人們以為這樣便為絕對的統一，為一個實體性，獲得了許多東西，甚至一切的東西。凡對立都只是量的對立，這在某些時候成了近代哲學的主要命題；對立的規定具有同一的存在物，同一的內容，它們是對立的實在的兩方面，因為每一方面都具有對立的兩種規定，兩種因素，只不過一種因素在一方面占優勢，另一種因素在另一方面占優勢，或者說一種因素、物質或活動在這一方面比在另一方面有較大的數量或較強的度數。既然假定有不同的諸多物質或活動，那還不如說量的區別證實並完成了這些物質或活動的外在性與它們彼此間和它們對自己的統一都漠不相關。絕對統一的區別應該只是量的區別；量的東西固然是揚棄了的直接規定性，但卻是不完全的，才是第一次的否定，不是無限的否定，不是否定之否定。有和思維既然被想像為絕對實體的量的規定，所以它們作為定量，也就彼此是全然外在而無關係的，像在低級範圍的碳和氮等一樣。一個第三者，外在的反思，抽掉它們的區別，認識它們的（僅僅是自在之有的、還不是自為之有的）那種內在的統一。因此，這種統一事實上將僅僅被設想為最初的、直接的統一，或說是有，它在量的區別之中仍然與自身相等，但不是由自身而建立為與自身相等；於是它並未被理解為否定之否定或無限的統一。 (20) 只是在質的對立中，才出現了建立起來的無限，出現了自為之有，而量的規定本身也就過渡到質的東西，這在下面將有較詳細的討論。 注釋二 前面已經提到過，康德的二律背反，是表達有限物和無限物的對立在較具體的形態中，被應用到想像的特殊負荷者。前面所考察的二律背反，包含著質的有限與無限的對立。在另一個，即宇宙論的四個二律背反的第一個，所考察的，則是在有限與無限的衝突中的量的界限。因此我願在這裡對這個二律背反加以研究。 這個二律背反涉及世界在時空中有沒有界限。這種對立也可以就時空本身方面來考察，因為時空究竟是事物本身的狀況或者是直觀的形式，這對於在時空中有沒有界限的二律背反，毫沒有改變什麼。 仔細分析這個二律背反，也同樣表現出它的兩個命題及其證明（這些證明也和前面考察過的證明一樣，是用的反證法），不過是兩種簡單的對立的主張，即：有一個界限，和：必須超越界限。 正題是： (21) 「世界在時間上有一開始；就空間說，它也是封閉在界限之內的。」 證明中涉及時間的那一部分，先假定了反面， 「就時間而言，假如世界沒有開始，那麼，達到每一已知的時間點，一定都已經過了一個永恆時間，因而在世界中已經流過了事物彼此繼續狀態的無限系列。但一個系列之所以是無限，又恰恰在於它永遠不能由繼續的綜合來完成。所以說已經流過了一個無限的世界系列是不可能的，因而世界的開始是世界存在的必要條件——這就是所要證明之點。」 (22) 證明中涉及空間的另一部分也歸結到時間。一個在空間中是無限的世界，綜合它的部分需要一個無限的時間；由於在空間中的世界不被看作是一個正在變的東西，而是一個已經完成了的東西，所以這個時間就必須被認為是已經流過去了。但是關於時間在證明中第一部分已經指出，把一個無限的時間當作已經過去了，是不可能的。 (23) 但是人們立刻看到這並不需要用反證法來作證明，甚至根本不需要證明，因為應當證明的東西，已直接包含在證明本身之內，作主張的基礎了。這就是假定到任何或每一已知的時間點已經過了一個永恆時間（永恆在這裡只有壞的無限時間的瑣屑意義）。一個已知的時間點不過是時間中一定的界限。於是一個時間的界限在證明中被假定為真實的界限，而這正是應當證明的東西。因為正題是：世界在時間上有一開始。 那裡只有一個區別，即被假定的時間界限是作為以前流過去的時間的終結那樣的一個現在，而待證明的時間界限則是作為一個未來的開始這樣的一個現在。但是這一區別是不重要的。現在被假定是一個點，在這一點，應該有世界中事物彼此繼續的狀況的一個無限系列流過去，即被假定是終結、是質的界限。假如這個現在只被看作是量的界限、是流動的，不僅要超出界限，而且界限正是這個要超出自身的東西；那麼，在這界限里的無限時間系列就不是流過去了，而是向前繼續流動，而證明的論據也就垮了。另一方面，假如這個時間點被認為是對過去的質的界限，但是這樣一來，它同時又是對於未來的開始——因為每一時間點，本身就是過去和未來的關係，——對於這個未來，它甚至是絕對的或抽象的開始，那就是應該加以證明的東西。至於在這個時間點的未來和未來的開始以前，便已經有了一個過去，那倒是與事實並不相干的；因為這個時間點是質的界限——假定它是質的界限，這就含有已經完成，已經過去，即自身不再延續的那種規定，——所以時間在那裡便中斷了，那個過去便與這個時間並無關係，這個時間只有從那個過去看來，才能夠叫做未來；因此，沒有這樣的關係，它便只是一般時間，便有了絕對的開始。但是，假如情形是這樣，即時間通過現在這一已知的時間點而與過去有了關係，那麼，它就會被規定為未來，於是從另一方面看來，它便不是界限，無限的時間系列還在所謂未來中繼續著，而不是如假定的那樣已經完成。 真正說來，時間就是純量，證明中所用的時間點，時間應該到那裡中斷的時間點，倒不如說只是現在的揚棄自身的自為之有。證明所做的事，不過是把正題所主張的時間絕對界限描繪成一個已知的時間點，並且乾脆把它假定為完成了的、即抽象的點，——這是一個通俗的規定，感性的想像容易把它當成界限；這樣一來， (24) 以前提出來要加以證明的東西，卻在證明中當作假定了。 反題說： 「世界沒有開始，在空間中也沒有界限，無論就時間看或就空間看，都是無限的。」 證明也同樣假定了反面： 「假如世界有一個開始。開始既然是一種存在，而在那以前，先有一個時間，其中並沒有事物，那麼，這就必須已經先過了一個時間，其中並不曾有過世界，這就是一個空虛的時間。但是任何事物都沒有在空虛的時間中發生的可能；因為這樣的時間，沒有一部分比另一部分本身具有與非存在條件不同的任何存在條件。世界中事物的某些系列固然可以有開始，但是世界本身卻沒有開始，而就過去時間看來是無限的。」 (25) (26) 這個反證法的證明，與其他證明一樣，也包含著對它所應證明的東西，作直接而未經證明的主張。它先假定一個世界存在的彼岸，即一個空虛的時間，然後這個世界的存在又同樣超出自身進入這個空虛的時間而延續自身，因此揚棄了這個空虛的時間，又無限地繼續這個存在。世界是一個存在；證明假定：這個存在發生了，並且發生又有一個在時間上先行的條件。但是反題本身就恰恰在於：並沒有無條件的存在，沒有絕對的界限，世界存在總是要求有一個先行的條件。於是需要證明的東西便在證明中已經是假定了。以後又在空虛的時間中找尋條件，這個過是說條件被認為是有時間性的，也就是存在，並且是有限制的存在。總之，假定是這樣造成的，即：世界作為存在須以另一在時間中的有條件的存在為前提，如此等等以至無限。 關於世界在空間中的無限性，其證明也是一樣。用反證法先說世界空間的有限；「於是世界便處在一個空虛的、沒有界限的空間之中，並與這個空間有了關係；但是世界和沒有對象的這樣的關係只是虛無而已。」 (27) (28) 這裡應該證明的東西，同樣也在證明中直接成了前提。這直接假定了：有界限的空間的世界應當處在一個空虛的空間之中並與它有關，這就是說必須超出這個世界，——一方面進入到空虛，到彼岸和世界的非有，但是另一方面，世界又與那裡有關係，即是世界在那裡仍然繼續，從而必須想像那個彼岸是用世界的存在來充實的。反題所主張的世界在空間中的無限性，不外一方面是空虛的空間，另一方面是世界與空虛空間的關係，即世界在空虛空間中的繼續，或說是空虛空間的充實；空間是空虛的、同時又是充實的，——這種矛盾就是存在在空間的無限進展。世界與空虛空間的關係，這種矛盾就在證明中直接成了基礎。 正反命題及其證明因此不過是代表相反的主張，一是說有界限，而這界限也同樣只是一個揚棄了的界限；一是說界限有一彼岸，但它又與彼岸有關係，必須超出界限去向那裡，但是在那裡一個不是界限的界限又產生了。 這些二律背反的解決，像前面的一樣，是先驗的，就是說解決在於主張空間和時間作為直觀形式，是觀念性的；這意味著世界本身並不自相矛盾，也不揚棄自己，只有直觀中的和在直觀與知性、理性的關係中的意識才是一個自相矛盾的東西。這種看法是對世界的柔情太過，要使矛盾遠離世界，並將它移到精神中去，移到理性中去，任它在那裡懸而不決。事實上，精神是如此其強，必然能夠經得起矛盾，也懂得解決矛盾。但是所謂世界（它叫做客觀的、實在的世界，或者依照先驗觀念論的說法，是主觀的、直觀和由知性範疇規定的感性），卻無時無地免得了矛盾，但又經不起矛盾，所以便把自身付託與發生和消滅。 3.定量的無限 1.無限的定量，作為無限大和無限小，本身就是無限的進展。作為大或小，它是定量，同時又是定量的非有。因此，無限大和無限小只是想像的形象，仔細觀察起來，那不過是虛無縹緲的朦朧陰影罷了。但是在無限進展之中，這種矛盾便在當前明顯出現了；因此定量的本性，這個作為內涵大小而達到了實在性的東西，便和在它的概念中一樣，在它的實有中建立起來了。必須加以考察的，就是這種同一性。 定量作為度數是單純的、自身相關的、自身規定的。因為在定量那裡的他有和規定性，都由於這種單純性而被揚棄了，所以規定性對於定量是外在的；定量在它之外有它的規定性。它的這種外在的有，首先就是一般定量的抽象的非有，是壞的無限。但是進一步看來，這個非有也是一個大小；定量在它的非有中仍在繼續，因為它正是在外在性中有其規定性；所以它的這種外在性本身也是定量；它的那個非有、那個無限之將變為有了界限，是這樣的，即那個彼岸將被揚棄，本身也被規定為定量，於是這個定量便是在它的否定之中而仍舊在它自己那裡。 但是這一點正是定量本身之所以是自在的東西。因為通過它的外在之有的，正是它自己；外在性所構成的東西，使定量在自己那裡仍是定量。於是在無限進展中，定量的概念便建立起來了。 假如我們先如實地就定量的抽象規定來看定量，那麼在定量中，當前既有定量的揚棄，又有它的彼岸的揚棄，即是既有定量的否定，又有這種否定的否定。定量的真理就是它們的統一，但是它們在這統一中卻只是環節。這個真理就是進展所表現的矛盾之解決，其最確切的意義就是又樹立了大小的概念，即大小是漠不相關的或外在的界限。在無限進展本身中所想到的，常常只是：每一定量無論多大或多小，都要消滅，即定量必須能夠被超過；但卻不想到定量的這種揚棄，或彼岸，或壞的無限，本身也要消滅。 定量是由第一次的揚棄，即一般的質的否定建立的，這種揚棄本身也已經是否定的揚棄，——定量是揚棄了的質的界限，所以也是揚棄了的否定，——但定量也只有自在地是這樣；被建立起來，它便是實有，然後它的否定被固定為無限物，即定量的彼岸，而彼岸站在那裡又作為此岸，作為直接的東西；所以這個無限物只被規定為第一次的否定，這樣，它就表現為無限的進展。我們已經指出過，在這個無限進展中，呈現著更多的東西，即否定之否定或真的無限物。前面已經注意到定量的概念由此而恢復；這種恢復首先意謂定量的實有得到了更確切的規定；這就產生了依它的概念而規定的定量，與直接的定量不同；現在外在性成了它自己的對立物，被建立為大小本身的一個環節，——定量也這樣建立起來了，即：定量借它的非有，無限為中介，在另一定量中有了它的規定性，即在質方面是定量所以是定量的那種東西。但定量的概念和它的實有相比較卻是屬於我們的反思，屬於那種在這裡還不是當前現有的比率。最切近的規定是定量回復到質，爾後在質方面被規定了。因為它的特性、它的質就是規定性的外在性和漠不相關；現在它之被建立，與其說是在它的外在性中，不如說就是它自身，它在它的外在性中與自身相關，與自身有了單純的統一，即在質的方面被規定了。這個質的東西還被更確切地規定，即被規定為自為之有，因為它所達到的自身關係，是由中介、由否定之否定而發生的。定量不再是在它之外，而是在本身那裡有了無限，有了自為的規定。 無限物在無限進展中，只有一個非有、一個被尋找而到達不了的彼岸的空洞意義，但事實上它不是別的，正是質。定量作為漠不相關的界限，超出自己，進入無限；它在那裡所尋求的，不是別的，正是自為的規定，正是質的環節，但是這個自為的規定，這樣卻只是一個應當。定量對界限的漠不相關，因而缺乏自為之有的規定性並要超出自己，這就是使定量成為定量的那種東西；它的這種超出應該被否定而在無限中找到它的絕對規定性。 極其一般地說來：定量是被揚棄了的質；但定量又是無限的，它超出本身，是它自己的否定；所以這種超出，本身就是被否定了的質的否定，是質的恢復；而建立起來的是這樣的東西，即外在性出現為彼岸，並被規定為定量自己的環節。 於是定量被建立為排斥自身的，從而有了兩個定量，但是這兩個定量卻被揚棄了，只是一個統一體的環節，這個統一體就是定量的規定性。——定量這樣在它的外在性中作為漠不相關的界限而與自身相關，於是便在質的方面被建立起來，這就是量的比率。——在比率中，定量是外在於自身的，與自己不同的；它的這種外在性是一個定量對另一定量的關係，每一定量都只是在與它的他物的關係中才有價值；這種關係構成定量的規定性，定量就是這樣的統一體。定量在那裡所具有的，不是漠不相關的規定，而是質的規定，它在它的這種外在性中回復到自身，在這種外在性中，定量就是它之所以是定量的東西。 注釋一　數學無限的概念規定性。 (29) 數學的無限一方面是很有興趣的，因為它將引入數學，導致了數學的擴張和偉大的結果；另一方面又是很奇怪的，因為這門科學還沒有能夠用概念（真正意義的概念）來論證無限物的使用。論證到底是要依靠（用別的根據來證明的）藉助於那種規定所得結果的正確性，而不是依靠對象和獲致結果的運算的明顯性，甚至運算本身倒被認為是不正確的。 這一點本身已經很糟糕；這樣的一個辦法是不科學的。這個辦法也帶來害處，即：當數學因為對於它的這個工具的形上學和批判方面並不擅長，以致不認識這個工具的本性之時，數學就既不能規定其應用範圍，也不能保證其不被濫用。 但是從哲學的觀點看來，這個數學的無限之所以重要，因為事實上它是以真正無限的概念為基礎，比通常所謂形上學的無限高得多，人們就是從形上學的無限出發，對真無限作了許多責難。面對這些責難，數學常常只曉得用拋棄形上學的權威來自救，認為只要它一貫在自己的地基上行動，就與形上學這門科學毫不相干，也不用理睬形上學的概念。數學似乎無須考慮事物本身是什麼，而只考慮事物在數學的領域內真的是什麼。形上學在與數學的無限相矛盾的時候，無法否認或取消使用數學無限的輝煌結果，而數學也搞不清自己的概念的形上學，因此也搞不清那種使無限物的使用成為必須的方法的由來。 假如這是數學遭受到的一般概念的唯一困難，那麼，它盡可不必多費周章，把這個概念放在一邊好了，這就是說，由於概念比僅僅列出一事物的基本規定性、即知性規定要更多一些，而且數學對這些規定性並不缺少嚴密性；因為它這一門科學既不是和它的對象的概念打交道，也不是由於概念發展（即使僅僅是由於推理）而產生它的內容。但是在數學無限的方法裡，數學對自己特有的方法本身，卻發現了根本矛盾，而它之所以是科學，就依靠這種方法。因為對無限的計算，允許而且要求數學在有限大小運算時所必須完全拋棄的解法，同時數學又對這些無限的大小和有限的定量都一樣處理，想應用對它們都有效的同樣方法。為超經驗的規定及其處理取得普通的計算形式，是這門科學成長的一個主要方面。 數學在不同運算的衝突中，表現出它由此而找到的結果，與用真正數學的、幾何的、解析的方法所找到的，是完全一致的。但一方面並非一切結果都是這樣，而引入無限的目的，也不僅僅在於縮短通常的路程，而是要達到用這些方法所不能導致的結果。另一方面，成果自身並不就驗證了所採取的途徑的方式有道理。但是無限的計算方式顯出了以它被捲入貌似的不精確而遭到困難，因為它先以一個無限小量來增加有限的大小，而在以後的運算中，對這些大小又保留一部分，省略一部分。 (30) 這種解法的古怪之處，就是儘管承認了這種不精確，而所得的結果，卻不僅是誤差可以無須注意的大概或近似，而是完全精確。我們在結果以前的運算時，總不免想像有些定量不等於零，但是微不足道，可以不加注意。但是在我們所了解的數學規定性那裡，一切精確性較大或較小的區別都完全拋掉了，正如在哲學中，所能談到的，只有真理，而不是較大或較小的概然性。假如無限的方法及使用由於成果而得到辯護理由，那麼，不管這個成果而要求對方法的辯護理由，這並不像問鼻子要使用鼻子的權利證明那樣多餘。因為數學知識之所以是科學的知識，主要就在於證明，至於結果，其情況也是如此，因為嚴格的數學方法並不是對一切都提供了成果的標記，而這種標記，無論如何，也只是外面的標記。 值得費些力量去仔細考察無限的數學概念，和有些很可以注目的嘗試，那些嘗試的意圖在於論證這種概念的使用，消除方法所感到的很難受的困苦。在這個注釋里，我要較廣泛地從事考察對數學無限的論證和規定，這種考察將對其概念的本性投下最好的光明，也將指出這個概念如何浮現在這些論證和規定的面前並為它們立下基礎。 數學無限的通常規定是：它是一個這樣的大小，假如它被規定為無限大，那麼在它以上就沒有更大的；假如它被規定為無限小，那麼在它以下也沒有更小的；或者說在前一種情形，它比任何大小都更大，在後一種情形，它比任何大小都更小。這個定義當然並沒有表現真概念，倒不如說是像以前已經說過的無限進展中的那個同樣矛盾。但是我們還是看看那裡所包含的東西本身是什麼吧。數學為一個大小所下的定義是：大小是某種可以增加和減少的東西，——一般說來，這就是一個漠不相關的界限。現在無限大或無限小既然是這樣一個不再能增加或減少的東西，那麼，事實上它也就不再是定量本身了。 這一結論是必然的、直接的。但是定量（我在這個注釋中如實地稱一般定量為有限的定量）被揚棄這種不常有的想法，卻為普通理解造成困難，因為定量既然是無限的，那就要求設想它是被揚棄了的，是一個已非定量而仍然留有它的量的規定性那樣的東西。 這裡我們引證一下康德對這種規定是如何判斷的。 (31) 他發現這種規定與人們所了解的無限的整體並不一致。「根據普通概念，一個大小，假如不可能有更大的超過它時（即超過其中所包含的一定單位的數量），它就是無限的；但是沒有一個數量是最大的，因為總可以再加添上一個或多個的單位。——另一方面，通過一個無限的整體，也不會想像出它有多麼大，所以它的概念不是一個最大限度（或最小限度）的概念，而是通過無限的整體來設想它與一個任意採取的單位的關係，就單位而言，無限的整體比一切數都更大。無限物隨著所採取的單位較大或較小而較大或較小；但是無限物，因為它的存在僅僅由於與這種已知單位的關係，卻永遠仍然是一樣的，儘管整體的絕對大小當然完全不會由此而知道。」 (32) 康德斥責把無限整體看作一個最大限度，看作一定單位的已完成的數量。最大限度或最小限度本身總還像是一個定量或數量。這樣的觀念無法避免康德所舉出的後果，會引致較大或較小的無限物。一般說來，既然把無限物想像成定量，那麼，較大或較小的區別也就仍然會對無限物有效。但是這種批評，對於真的數學無限物的概念，無限差分的概念，卻是無的放矢，因為無限差分已不再是有限的定量了。 康德的無限概念，恰恰與此相反。他所謂的真的、先驗的概念，是「測量一定量時永遠不能完成單位的繼續綜合」。 (33) 這是假定了一個一般的定量作為已經給予的；它應該由於單位的綜合而成一個數目，一個被確定指明的定量，但是這種綜合又永遠不能完成。 (34) 這裡所表示的，顯然不過是無限進展，只是被想像為先驗的，即本來是主觀的、心理的罷了。就本身說，定量誠然應該是完成了的，但是就先驗的方式說，即在主觀中（主觀給它一個與單位的關係），卻只發生了一個這樣的定量的規定，它沒有完成而絕對帶著一個彼岸。所以這仍然是停留在大小所包含的矛盾里，但是這個矛盾卻被分配給對象和主體了；對象得到的是訂立界限，主體得到的是超出主體所把握的每一規定性而進入壞的無限。 另一方面，前面已經說過，數學無限物的規定，如高等分析中所使用的，誠然與真的無限概念符合，現在卻應當對這兩種規定的比較，作更詳細的闡釋。關於真的無限的定量，首先就是它自己規定本身是無限的。它之所以如此，因為正如以前看到過的，有限的定量（或者說一般定量）和它的彼岸，即壞的無限，都同樣被揚棄了。揚棄了的定量因此回復到單純性和自身關係，但是這不僅僅像外延定量那樣，因為當外延定量過渡到內涵定量之時，內涵定量只是本身在外在的雜多中才有其規定性，但對於規定性既應當漠不相關，又應當有差異。無限的定量則是在它那裡含有（1）外在性，（2）這種外在性的否定；所以它不再是任何有限的定量，不再是一個以定量為實有的大小規定性，而是單純的，因此只是環節。無限的定量是一個在質的形式中的大小規定性；它的無限性必須是一個質的規定性。這樣，作為環節，它本質上是在和它的他物統一之中，只有通過它的這個他物，才是被規定了的，即它只在對一個同它處於比率中的東西有關係時，才有意義。在比率之外，它就是零；——因為定量本身對比率應當是漠不相關的，而在比率中卻應當是一個直接的、平靜的規定。它在比率中只作為環節，便不是一個自為的漠不相關的東西；由於它同時又是一個量的規定性，所以它在作為自為之有的無限性中，只是一個為一（Für-Eines）的東西。 無限物的概念，這裡還只是抽象地展示出來；假如我們把定量當作一個比率環節，觀察它所表現的各個階段，從它同時還是定量本身這一最低的階段起，直到它獲得無限大小的真正意義和表現這種較高的階段為止，那麼，無限物的概念就將顯出是為數學的無限物奠立基礎，它的本身也將更為明白。 我們試先取一個比率中的定量，如一個分數。例如 這個分數，它並不像1，2，3等等定量，它固然是一個普通的有限的數，但不是一個直接的數，如整數那樣，而是由兩個其他的數間接規定的分數；那兩個數互為數目和單位，而單位也是一確定的數目。但是假如將這兩個數相互的密切規定抽掉，只就現在它們在質的關係中恰巧是定量這一點來觀察，那麼，2和7在另外的地方就是漠不相關的定量；但是在這裡，由於它們僅僅出現為彼此的環節，從而第三者（即被稱為指數的定量）也出現了，所以它們並不是立刻被當作2和7，而只是依照它們的相互規定性才能有效。因此可以同樣用4和14，或6和21等等以至無限來代替它們。這裡，它們開始有了質的特性。假如它們被當作只是定量，那麼2和7便是：一個絕對只是2，另一個絕對只是7；4，14，6，21等等也都絕對與這個數不同，而以上等等數既然只是直接的定量，它們也就不能夠彼此代替。但是2和7既然依照規定性，不被當作是這樣的定量，那麼，它們的漠不相關的界限便揚棄了。於是從這一方面看來，它們便包含了無限性的環節；因為它們不僅不再是它們本身，而且它們的量的規定性仍然保留，但是又作為一個自在之有的質的規定性而保留——即依照它們在比率中的值。可以用無限多的別的數來代替這兩個數，而分數則由於比率所具有的規定性，其值並不改變。 但是分數所表現的無限性仍然還不完全，這是因為分數的兩項2和7可以從比率中取出來，而它們這樣便是普通的漠不相關的定量；至於它們既是在比率中又是環節，這種關係對它們說來倒是某種外在的、漠不相關的東西。它們的關係本身也同樣是一個普通的定量，即比率的指數。 普通算術運算所用的字母，是提高數到普遍性的第一步，字母並沒有一定數值的那種特性，只是每一確定值的一般符號和不確定的可能性。因此分數 像是無限物的較適合的表現，因為a和b從它們的相互關係取出來，仍然是不確定的，即使分離以後，它們也沒有自己的特殊的值。這兩個字母固然被當作不確定的大小，但其意義卻是它們可以是任何一個有限的定量。這樣，它們誠然是一般的想像，但又只是確定的數的想像，既然如此，它們之在比率中這一點，於它們說來，是不相干的；它們在比率外，也保持這個值。 我們更仔細觀察一下比率中所呈現的東西是什麼，那麼，在比率中就有兩個規定，一是一定量，二是這個定量不是直接的，而是其中有質的對立；它之所以在比率中仍然是確定的、漠不相關的定量，因為它從它的他有、從對立回復到自身，從而是無限物。這兩種規定，以下面的大家熟知的形式來表現它們的相互區別的展開。 這個分數可以表示為0.285714……， 這個分數可以表示為1＋a＋a2 ＋a3 ＋……等等。這樣，分數就是一個無限的系列；分數本身意謂著這個系列的總和或有限的表現形式。比較一下這兩種表現形式，那麼，無限系列那一種表現形式就是不再把分數表現為比率，而是依照這樣的方面來表現它，即分數作為一定數量的彼此相加的東西，作為數目，是定量。至於這些大小應該把分數作為數目來構成，而本身又是由十進位的分數、即由比率而成，那卻與這裡的問題無關；因為這種情況所涉及的，只是這些大小的特種單位，而不是構成數目那樣的大小；正如由多數符號構成的十進位系統的一個整數，本質上被當作數目，而並不管它是由一個數和十這個數及其方冪的乘積所構成的那樣。所以這個問題也不在於除我們所舉的例 以外，還有其他造成十進位分數的分數，並沒有發生無限的系列；每一個分數都可以用與此不同的單位的數的體系來表示。 無限的系列應該把分數表現為數目，現在分數的比率方面既然在這個無限系列中消失了，那麼，以前指出過的，分數從比率得到無限性的那一方面也就消失了。但是這樣無限性卻以另一種方式進來了；系列本身就是無限的。 系列的無限屬於哪一類，現在也是很明顯的；這是進展的壞的無限。系列包含並表現著矛盾，那就是它要把比率和其中具有質的本性這樣的東西，表現成一個沒有比率的東西，一個單純的定量或數目。其結果是：系列中表現的數目總是缺少了一點什麼東西，以致為了達到所要求的規定性，總是必須超出已經建立的東西。進展的規律是大家熟知的，它就在分數所包含的定量規定中和應當表現這種規定的形式的性質中。數目固然可以由系列的繼續延長，使其需要多麼精密便有多麼精密；但是由系列所表現出來的，仍然永遠只是一個應當；這種表現總是帶著一個揚棄不掉的彼岸，因為把一個依靠質的規定的東西表現為數目，就是一個永存的矛盾。 無限系列中現實當前的那種不精密，在真的數學無限里卻只是表面現象。這兩類數學的無限，和兩類哲學的無限一樣，絕不可以混淆。表現真的數學無限物，早就開始用過系列的形式，甚至近來也重又引用。但是這種形式對它並不是必要的；恰恰相反，下面將會指出無限系列的無限物與那種真的數學無限物有本質的區別。無限系列不如說是比分數的表現形式甚至還要低下一些。 無限系列包含著壞的無限，因為系列所應該表現的東西，仍然是一個應當，而它所表現出來的東西，又帶著一個不會消失的彼岸，與它所應該表現的東西不同。無限系列之所以是無限的，並非為了被建立起來的各項的緣故，而是因為這些項不完全，因為有一個本質上屬於這些項的他物，是它們的彼岸；建立的項無論願意怎麼多，便怎麼多，而系列中實有的東西卻仍然只是一個有限物，就真正的意義說來，是被建立為有限物，即它不是它應該是的那樣的東西。與此相反，這種系列的所謂的有限的表現形式或總和卻並沒有欠缺；它所包含的值是完全的，而系列卻只是在尋找這個值；彼岸從逃跑中被召回來了；這種表現形式是什麼和它應該是什麼並沒分離，而是同一的東西。 這兩者區別所在，較確切地說，就是：在無限系列中，否定物是在它的各項之外的，這些項僅僅由於被當作數目的部分而當前現在。與此相反，有限的表現形式是一個比率，否定物在這個形式中，作為比率兩端的相互規定，是內在的，這個相互規定回歸到自己，是自身相關的統一，是否定之否定（比率兩端都是環節），於是在自身中也就有了無限性的規定。——這樣，尋常所謂總和，如 或 ，事實上就是一個比率；而這個所謂有限的表現形式就是真的無限的表現形式。反之，無限系列倒真的是總和；它的目的是要把本身是比率的東西，以一個總和的形式來表現，而系列現有的各項不是一個比率的項，而是一個總積（Aggregat）的項。另一方面，系列還不如說是有限的表現形式；因為它是不完聖的總積，本質上仍然是有缺憾的。系列就其實有的東西而言是一定的定量，但同時又是一個較少於本身應該有的定量；而系列所缺少的東西也同樣是一個一定的定量；所缺少的部分事實上正是系列中稱為無限的那個東西，就僅僅形式方面說，這個部分是一個缺少的東西，一個非有；就它的內容說，它是一個有限的定量。在系列中實有的東西連同所缺少的一起，就構成了分數那樣的東西，這是系列應該是而又不能夠是的一定的定量。無限這個字，即使在無限系列中，也常常被人以為一定是某種高尚尊嚴的東西，這是一種迷信，知性的迷信；我們已經看到了它倒不如說是要歸結到有缺憾的規定上去。 還可以說，其所以有不能總和的無限的系列，就系列形式而言，那完全是由於外在而偶然的情況。它們比能總和的無限系列，含有較高級的無限性，即不可通約性（Inkommensurabilität），或者說不可能把其中所含的量的比率表現為定量，即使是表現為分數也不可能。但是它們所具有的系列形式，本身卻含有與能總和的系列中相同的壞的無限規定。 數學的無限物——不是方才所說的，而是真的數學的無限物——被稱為相對的無限物；通常的形上學的無限物——這該是被了解為抽象的、壞的無限物——卻反而被稱為絕對的無限物；這裡也就有了以前在分數和分數的系列那裡所看到的名詞的顛倒。事實上，這個形上學的無限物倒只是相對的，因為它所表現的否定僅僅是與一個界限對立，即界限仍然在它之外長留，並不被它揚棄；數學的無限物則與此相反，真的把自身中的有限的界限揚棄了，因為界限的彼岸與界限聯合了。 一個無限系列的所謂總和或有限的表現形式，在方才陳述過的意義之下，倒應該被認為是無限的，尤其是斯賓諾莎曾樹立真的無限概念來與壞的無限概念對立，並用例子加以說明。當我將他關於這方面的說法和我的這種解釋聯繫起來時，他的概念就極其明白了。 他首先把無限物定義為任何性質的存在的絕對肯定，相反地，有限物卻是規定性、是否定。 (35) 當然，一種存在的絕對肯定必須認為是它的自身關係，而不是由於有一他物；反之，有限物則是否定，是與一個他物的關係的終止，這個他物是在它以外開始的。一種存在的絕對肯定，當然沒有窮盡無限的概念。這個概念之包含無限，即肯定，並不是作為直接的肯定，而只是通過他物在自身中的反思而恢復的肯定，或說是否定物之否定。但是在斯賓諾莎那裡，實體及其絕對統一還只有不動的，即不是自己以自己為中介的統一形式，是一種僵硬的形式，其中還沒有自身的否定的統一這樣概念，還沒有主觀性。 他說明真的無限物所用的數學例子（《書信集》，Epist.XXIX），是兩個不相等的圓之間的空間，一個圓落在另一個圓之內而又不碰到它，並且這兩個圓不是同心的。他似乎很看重這個幾何形狀和用這形狀為例的概念，以致把它作為他的倫理學的公則。 (36) 他說：「數學家結論說，在這樣的空間中可能的不相等是無限的；那些不相等，不是由於無限數量的部分（因為這樣的空間的大小是確定的、立了界限的，而且我可以建立較大的或較小的這樣的空間），而是因為事物的本性超出了任何規定性。」可是斯賓諾莎拋棄了把無限物想像為沒有完成的數量或系列的那種設想，提醒人們這裡所舉的空間的例子，無限物不是彼岸，而是當前現在、已經完成了的；這個空間是一個立了界限的，但它所以是無限的，是「因為事物的本性超出了任何規定性」，因為其中所包含的大小規定不能表現為定量，或依照上述康德的說法，把它綜合為一個分立的定量是不能完成的。——連續定量和分立定量的對立如何一般地導引出無限物，這應該在下一注釋中討論。那種在一個系列中的無限，斯賓諾莎稱之為想像的無限物；另一方面，他稱自身關係的無限物為思維的無限物或現實的無限物（infinitum actu）。它之所以是現實的（actu）無限，是因為它是已完成的和現在的。這樣，0.285714……或1＋a＋a2 ＋a3 ……等系列便僅僅是想像的、或意見的無限物，因為它們沒有現實性，總是缺少點什麼；反之 或 都是現實的無限物，不僅有系列中現在各項的東西，並且還有系列所缺少而只是應該有的東西。 或 同樣是一個有限的大小，就像斯賓諾莎封閉在兩個圓之間的空間及其各種不相等那樣，並且也像這個空間那樣可以使其較大或較小。但是並不因此而發生較大或較小的無限物那種荒謬事情；因為這個整體的定量與它的環節的比率，與事物的本性、即與質的大小規定無關；那在無限系列中實有的東西，同樣是一個有限的定量，但除此之外，它還是一個有缺憾的東西。想像對於它仍然停留在定量本身那裡，並不曾反思質的關係，而質的關係卻構成現存的不可通約性的基礎。 斯賓諾莎例子中所包含的不可通約性，其中一般地包含了曲線函數，更確切地說，導致了數學在這樣的函數裡，或一般地說，在變量的函數裡所引用的無限，這是真的數學的、質的無限，也就是斯賓諾莎所想的無限。我們在這裡要詳細說明這種規定。 首先是關於可變性這樣重要的範疇，函數中相關的大小就是在這個範疇下被把握的。這些大小之可變化，其意義並不應該是像分數 中2和7兩個數那樣，因為同樣可以用4和14，6和21等等以至無限的其他的數來代替而不改變這個分數中所定的值。對 同樣也可以用任何數代替a和b而不改變 所應該表現的值。現在的意義是：對於一個函數中的x和y，也可以用一個無限的、即不可窮盡的數量的數來代替，a和b是與那x和y同樣可變化的大小。因此，為大小規定選擇了變量這一名詞是很含糊而不幸的，這種大小規定的有興趣之處及其處理方式，是在與單純可變性完全不同的地方。 數學高等分析滿懷興趣地從事於研究一個函數的環節，為了弄明白這些環節的真正規定何在，我們必須再經歷一遍前面已經注意過的階段。在 或 中，2和7每一個本身都是規定了的定量，關係對於它們是不重要的；a和b也同樣代表這樣的定量，它們在比率之外也仍然是它們原來的樣子。此外， 和 也是一個固定的定量，一個商數；比率構成一個數目，分母表示數目的單位，分子表示這些單位的數目，或倒過來說也可以；即使4和14等等代替了2和7，比率作為定量仍然是同一的。但是這一點在譬如 的函數中卻有了本質的改變；這裡x和y固然有可以是確定的定量的那種意義，但x和y卻沒有確定的商數，而只是x和 y2 才有。所以這個比率的兩端不僅第一、不是確定的定量，而且第二、它們的比率也不是一個固定的定量（這裡也不意謂著它是像a和b那樣的一個固定的定量），不是一個固定的商數，這個商數作為定量也是絕對可變的。這一點的含義，唯在於：不是x對y有比率，而是只有x對y的平方才有比率。一個大小對方冪的比率，不是一個定量，而在本質上是質的比率；方冪比率是一種情況，這種情況必須看作是基本規定。——但是在直線函數y＝ax之中 ＝a卻是一個普通的分數和商數，因此這個函數只在形式上是一個變量的函數，或說這裡的x和y就和在 中的a和b那樣，沒有微積分計算中所考慮的那種規定。從微積分的觀點看來，由於變量的特殊性，倒是宜於為它們採用一個特殊名稱，並且採用與有限的（無論確定或不確定的）方程式中普通所用的未知數符號不同的符號，因為它們與那些單純未知數有本質的差異，那些未知數本身是完全確定的定量或有一個確定定量的確定範圍。——只是因為對於構成高等分析的興趣和對引起需要和發明微分計算的東西的特殊性缺乏意識，才把一次方的函數，如直線方程，也納入這種計算本身的處理之內；另外一種誤解也有助於這樣的形式主義，即這種誤解以為一個方法的普遍化這一本來正當的要求，將由於省略掉為這種需要基礎的特殊規定性，便會實現，以致認為這個領域內所處理的，好像只有一般的變量了。假如懂得這種形式主義所涉及的不是變量本身，而是方冪規定，那麼在考慮以及處理這些對象時，便會省去許多形式主義了。 但是數學無限的特殊性之出現，還在後一階段里。在把x和y首先當作是由一個方冪比率來規定的方程式中，x和y本身仍然應該有定量的意義；這種意義在所謂無限小的差分中卻完全喪失了。dx，dy不再是定量了，也不應該有定量的意義，它們的意義只在於關係，僅僅意味著環節。它們不再是某物（被當作定量的某物），不再是有限的差分；但也不是無，不是無規定的零。在比率之外，它們是純粹的零，但是它們應該被認為僅僅是比率的環節，是 微分係數的規定。 在這個無限概念中，定量真的成了一個質的實有；它被建立為現實地無限的；它不僅是作為這個或那個定量，而是作為一般定量被揚棄了。但是，作為定量原素的量的規定性，仍舊是根本，或者如以前所說，仍舊是定量的第一概念。 對這種無限的數學基本規定，即對微積分的基本規定所作的一切攻擊，都針對著這一概念。假如這個概念不被承認，那也是數學家本身不正確的觀念所引起的；尤其是要歸咎於在這些爭論中，不可能把對象當作概念來論證。但是前面已經說過，數學在這裡也避免不了概念；因為作為無限的數學，它並不把自己限制於對象的有限的規定性，像在純粹數學中空間和數及其規定只是就有限性方面來觀察並相互有關係那樣，而是把一個從那種研究得來並加以處理的規定，移植到與此對立的規定的同一中去，例如把一條曲線作成直線、把圓作成多角形等等。所以數學採用的微積分的運算，與單純的有限規定的性質及其關係相矛盾；因此，唯有在概念中，這些運算才會得到論證。 假如無限的數學堅持那些量的規定是正在消失的大小，即既不再是任何定量，又不是無，而仍然是一個與他物對立的規定性；那麼，在有與無之間，並沒有所謂中間狀態，這似乎是再明白不過的了。——這種責難以及所謂中間狀態自身是怎麼回事，這已經在前面變的範疇第四個注釋中說明過了。有和無的統一，當然不是什麼狀態；狀態只是有和無的一種規定，有、無等環節只是偶然由於錯誤的思維才陷入這種規定之中，就好像陷入疾病或外在的影響之中那樣；倒不如說唯有中項和統一、消失或變才是它們的真理。 人們還說過：無限是什麼，並不能以較大或較小來比較，所以按照無限的行列或品級，並不能夠發生有限和無限的比率，像出現在數學科學中的無限差分的區別那樣。以上所說的非難，是以如下的觀念為基礎，即這裡所談的是定量，它們是作為定量而被比較的；假如那些規定不再是定量，那麼，它們彼此間也就不再有比率了。但是，那個僅僅在比率中的東西，倒不如說並非定量；定量是一個這樣的規定，即它在比率之外，有一個完全漠不相關的實有，它與一個他物的區別應該是漠不相關的；與此相反，質的東西恰恰只是在它與一個他物相區別那樣的東西。因此，那些無限的大小不僅是可以比較的，而且只有作為比較或比率的環節。 我再列舉一下數學中關於這種無限所給予的最重要的規定；很顯然，關於事實的思想雖然為這些規定立下基礎並與此處所闡釋的概念一致，但是這些規定的創始者並沒有把這種無限當作概念來探討，而在應用時又不得不找與其更良好的宗旨相矛盾的辦法。 (37) 對這種思想的正確規定，莫過於牛頓。我在這裡把屬於運動和速度（他主要是從速度採用了流數Fluxion這一名詞）觀念的規定分開，因為這裡出現的思想，不是在份所應有的抽象之中，而是具體的，夾雜著非本質的形式。牛頓解釋這些流量說（《自然哲學之數學原理》第一卷，第十一補助命題注釋） (38) ，他並不把它們理解為不可分的東西（這是以前數學家們，如卡伐里利 (39) 等所用的形式，含有自在地規定了的定量的概念），而是正在消失的可分的東西。再者，流量也不是一定部分的總和和比率，而是總和和比率的極限（limites）。可以責難說，正在消失的大小並沒有最後的比率，因為在消失以前就還不是最後的，而當其消失，便也再不是什麼比率了。但是對於正在消失的大小的比率，必須理解為這樣的比率，即大小不是在比率以前，也不是在以後，而是連同比率一起消滅的（quacum evanescunt）。正在發生的大小的最初比率，也同樣是連同比率一起發生的。 牛頓只是按科學方法的當時水平，說明了一個名詞所指的是什麼，但是一個名詞所指是這樣或那樣的東西，這原本是主觀的意向或歷史的要求，那裡並沒有表現出這樣一個概念是自在而自為地必然的，具有內在的真理。但是從上所引，也表明了牛頓所提出的概念，與上述無限大小如何由對定量自身的反思而產生，是相符合的。這就是從大小的消失來了解大小，即是說它們已不再是定量；此外，它們也不是一定部分的比率，而是比率的極限。所以無論定量本身（即比率的各項），或是比率本身（只要這個比率也是定量），都應該消失；大小比率的極限，就是在那裡既有比率，又沒有比率，——更精確地說，就是定量在那裡消失了，從而比率只是作為質的量比率而被保留，其各項也同樣只是作為質的量環節而被保留。——牛頓又說，不可以從有正在消失的大小的最後比率，推論出也有最後的或不可分的大小。那樣就會又是從抽象的比率跳到這種比率的各項上去，這樣的各項本身在其關係之外另有一種值，它們是不可分的，像是某種是一或無比率的東西。 針對這種誤解，他還提醒我們說，最後比率不是最後大小的比率，而是極限；無限地減少著大小的比率，比任何已有的、即有限的差分都更接近極限，但是這些比率卻不可越出那個極限，那樣就會成了無。如前所說，最後的大小可以被了解為不可分的大小或一。但是在最後比率的規定中，無論是漠不相關的一，即無比率之物的概念，或是有限的定量的觀念，都除掉了。另一方面，假如所要求的規定，已經發展成為純粹僅僅是比率的環節這種大小規定的概念，那就既不需要牛頓把定量移植其中而僅僅表現為無限進展的那種無限的減少，也下需要在這裡並不再有直接意義的那種可分性的規定。 (40) 至於在定量消失中保留比率，在別處也有表現（例如卡爾諾 (41) 的《關於微分計算的形上學的一些思考》），即正在消失的大小，由於連續規律，在消失之前仍然保持它們來源所自的比率。——這種觀念只要不被了解為定量的連續，就表現了事物的真正本性，因為這種連續在無限進展中仍有定量，定量在消失中仍然這樣繼續自身，即在它自己的彼岸中所發生的，仍然只是一個有限的定量，一個系列的新項；一個連續的過程總是被想像為這樣的，即：它所經過的值，全都仍然是有限的定量。反之，在被造成真正無限的那種過渡中，連續的卻是比率；因為這種過渡倒是恰恰在於把比率提出使其純粹，使無比率的規定（即一個定量是比率的一項，它被放在這種關係之外，也還是一個定量）消失，所以這種比率是很連續的，保持自身的。在這樣的情況下，量的比率的這種純淨化不過是好像一個經驗的實有物被概念掌握那樣。這種實有物之所以高出自身，是由於它的概念含有與它自身同一的規定，但這是以這些規定的本質性和概念的統一性來把握的，在這之中，規定也就失去了漠不相關的、非概念的持久存在了。 同樣有興趣的，是牛頓對現在所就的大小所表述的另一形式，即發生的大小（erzeugende Grösse）或根本（Prinzipien）。一個已經發生的大小（genita）是一個乘積或商數、方根、長方形、正方等——總之是一個有限的大小。「這種大小在繼續運動和流動中增減而被認為是可變的，所以他對它的暫時增量（Inkrement）或減量（Dekrement）用了瞬刻（Moment）這個名詞。但是這些瞬刻不應該被看作是一定大小的細小部分（particulae finitae）。這樣的細小部分自身不是瞬刻，而是由瞬刻所發生的大小，這裡所指的，倒不如說是有限大小正在發生的根本或開始。」定量在這裡便以它是一個產物或實有物和以它是在發生中、在開始或根本中、即在它的概念中（或說在它的質的規定中在這裡也是一樣）而與自身有區別；在質的規定中，量的區別，即無限的增量或減量，只是環節；唯有已變成的東西，才是已經過渡到實有的漠不相關和外在性中的東西，才是定量。——真概念的哲學雖然必須承認上述關於增量或減量的無限規定，但是同時也必須注意到增量等形式本身也是歸於直接定量和已經說過的連續進程的範疇之內的；而且x有了dx或i等的增量、增長、增添這樣的觀念，倒不如說應當看作是方法中存在著根本毛病，對於把質的量環節的規定從普通定量觀念純淨地提出來，是一種長久存在的障礙。 無限小量的觀念遠比上述的規定落後，這種觀念本身就掩藏在增量或減量裡面。按照這種觀念看來，這些大小應該有這樣的情況，即不僅是它們對有限的大小說來，可以省略掉，就是它們的較高序列對較低序列，或多數的乘積對個別乘積也都可以省略掉。 (42) 萊布尼茲突出地強調了這種省略的要求，有關這種大小的方法以前的發明者也同樣使這種省略發生。這種省略主要是在運算過程中對計算贏得方便而有了不精密和顯著不正確的外貌。——沃爾夫曾以他自己的方式，企圖使這種省略問題通俗化，這就是說使概念不純潔，用不正確的感性表象代替概念，而使其易於了解。他把較高級的無限差分對較低級的省略，比作一個幾何學家進行測量一座山的高度時，有風吹掉了峰巔的一粒塵沙，或計算月蝕時省略了房屋、塔院的高度，都不會減少其精密。（《普通數學初階》，第一卷，《數學分析初階》，第二部分，第一章注釋。） 假如說常識承認這種不精密可以容許，那麼，一切幾何學家相反地，都會拋棄這種想法。在數學科學中完全談不到這樣的經驗的精密；而數學測量由於運算或由於幾何構造及證明也與田野丈量，經驗的線、形等的測量完全有區別；這是很顯然的事。除此而外，前面已經說過，數學分析家由於比較，也指出如何用嚴密幾何學方法和如何依無限差分的方法所得的結果，彼此都是一樣的，完全沒有較多或較少的精密性可言。很顯然，一個絕對精密的結果不能來自一個不精密的處理方法。可是另一方面，這種處理方法自身又以無足輕重為理由，不管前面所舉的辯解遭到抗議，仍避免不了那種省略。要把這裡所包含的荒謬情況弄明白並加以消除，這正是數學分析家們勉力以赴的困難所在。 (43) 對這一方面，首先要舉出尤拉 (44) 的觀念。由於他以牛頓的一般定義為基礎，他堅持微分計算要考慮一個大小的增量的比率，但是又須把無限的差分本身完全當作零（《微分計算教程》第一部分，第三章）。——對此須如何了解，前面已經談過了；無限差分只是定量的零，不是質的零，或不如說作為定量的零，它僅僅是比率的純粹環節。它不是一個就量而言的區別；所以在一方面把被稱為無限小量的那些瞬刻也說成是增量或減量，並且是差分，那就簡直是偏向了。這種規定首先是以把現存的有限大小加上或減去一點東西為基礎，先有一種減法或加法，即算術的、外在的運算。但是從變量函數到它的微分的過渡，卻必須看作是完全另外一種性質的過渡，如以前已經說明過的，這種過渡必須被認為是把有限的函數歸結到其量規定的質的比率。——另一方面，假如說增量本身是零，要考慮的只是其比率，那麼這一方面的偏向也是很顯然的；因為一個零簡直就不會再有什麼規定性了。這種觀念固然達到了定量的否定物並且表示了這個否定物，但是並沒有同時以質的量規定這種肯定意義來把握否定物，這些規定若是從比率中摘取出來而被看作定量，那便會只是零。—— (45) 拉格朗日 (46) （《解析函數論》，導言）判斷極限或最後比率的觀念說，假如兩個量仍然是有限的，那就立刻可以很容易設想它們的比率，一旦這個比率之項同時成了零時，那麼這個比例所給予的概念，對於知性說來，就不明白、不確定了。 (47) ——事實上，知性必須超出比率各項作為定量是零這種單純否定的方面，而要去把握它們是質的環節這種肯定的方面。——尤拉在以後（見前引書§84以下）又說兩個所謂無限小量雖然不過是零，卻有一個相互的比率，所以對它們不用零的符號而用別的符號；他為了此種證明而對有關的上述規定所增補的說法，是不能令人滿意的。他想用算術比率和幾何比率的區別來論證這一點；在算術比率中我們所看到的是差分，在幾何比率中我們所看到的是商數，算術比率雖然等於兩個零之間的比率，但幾何比率卻不因此而也是那樣；假如說2﹕1＝0﹕0，那麼，就比例的本性而言，第一項既然比第二項大兩倍，第三項也就必須比第四項大兩倍；所以0﹕0就比例說，應該被當作是2﹕1之比。——即使就普通算術說，n·0＝0，所以，n﹕1＝0﹕0。——但是正因為2﹕1或n﹕1是定量的比率，所以既沒有一個0﹕0比率，也沒有一個0﹕0記號是符合於這個定量比率的。 我不再多事引證，因為以上的考察已經足夠指明其中固然包含著無限的真概念，但是沒有在概念的規定性中使概念突出並把握住它。因此在運算本身進行時，就不能使真的概念規定在運算中發生效力；反而回到有限的量規定性，運算避免不了一個僅僅是相對小的定量觀念。計算使所謂無限的大小必須服從基於有限大小的本性的那些普通算術運算，如加法等，並且從而把這些無限的大小暫時當作有限大小來處理。計算一方面把這些無限的大小貶低到這樣的範圍，並把它們當作增量或差分來處理，另一方面又在把有限大小的形式和規律應用於它們之後，立刻將它們當作定量而加以省略；關於這一點，計算是需要為自己找辯護理由的。 關於幾何學家們消滅這些困難的嘗試，我只舉其最主要的。 古代數學解析家對此並不曾感到有多大顧慮，但是近人的努力卻在於使無限的計算有幾何方法特有的自明性，並在數學中達到古人在幾何方法中證明的謹嚴（拉格朗日的說法）。可是因為無限的分析原理比有限大小的數學原理有較高的性質，所以前一類必須自行放棄後一類的自明性，就像哲學不能要求有感性科學，例如博物學那樣的自明性，——吃和喝也比思維和概念理解應該是更容易懂的事兒。現在且談要達到古人證明的謹嚴的那些努力。 許多人曾經試圖完全避免無限的概念，不用這個概念來實現與使用這個概念密切相關的東西。——譬如拉格朗日就談論過蘭登 (48) 所發明的方法，並且說那種方法純粹是分析的，不用無限小的差分，而是先則引用了變量的不同的值，然後又使其相等。此外，他又斷言微分計算所特有的特點，即方法簡單、運算容易等，都在這裡失去了。這種辦法與我們以後還要細談的笛卡爾切線方法的出發點，很有符合之處。這裡所能指出的是，這一點至少是明顯的：這種辦法，先假定變量不同的值，以後又使其相等，這一般是屬於微分計算方法本身以外的另一種數學處理範圍，並且這種計算自身的現實具體的規定所歸結的那種單純比率，即推導出來的函數與原始函數的單純比率，其特性也沒有得到強調；這種特性，我們以後還要詳細說明。 (49) 近人中的較老一輩，如費爾馬 (50) 、巴羅 (51) 等人都在後來發展成為微積分計算的應用中，用過無限小，後來萊布尼茲及其後繼者，還有尤拉，都總是坦率相信無限差分的乘積及其較高級方冪可以略去，其理由只是因為這些差分與較低的序列相對比便消失了。他們的基本命題唯有依靠這一點，即依靠一個乘積或方冪的微分是什麼的規定，因為他們的全部理論學說都歸結到這一點。其餘一部分是展開［函數或系列］的作用，一部分則是應用；可是有較高興趣的、或者說唯一有興趣的東西，卻實際上是在應用那一部分里，這以後還要加以考察。——與現在問題有關的，我們在這裡只是要舉出初步的東西；關於曲線的主要命題，也同樣以無足輕重為理由而被採用，曲線的原素，即縱橫坐標的增量，具有次切線（Subtangent）和縱橫坐標的相互比率；為了取得相似三角形的目的，便將弧（它與以前有理由稱為特殊的三角形的兩個增量構成一個三角形而是其第三邊）認為是一條直線，是切線的一部分，從而被認為是增量之一達到了切線。 (52) 這些假定一方面使那些規定高出於有限大小的本性，但另一方面卻又對現在稱為無限的瞬刻應用了只適用於有限大小的處理辦法，在這樣的辦法裡，沒有東西可以因其無足輕重而省略掉。方法所遭受的困難，在這樣的辦法裡，仍然很厲害。 這裡需要舉出牛頓的一個值得注意的辦法（《自然哲學的數學原理》，第二卷，第七命題後面的第二補助命題），——為了消除這種情況，即在求微分時算術上不正確地省略無限差分的乘積或其較高級的乘積，便發明了一種很有意思的把戲。從乘積的微分，便很容易推導出商數、方冪等的微分，而他是用以下的方式找到乘積的微分的。假如x，y每個的無限差分都小一半，其乘積就成為 ；假如讓x和y有同樣的增加，其乘積就成為 。現在再從第二個乘積減去第一個乘積，仍然剩餘下ydx＋xdy，而這是增長了整個dx和dy的剩餘，因為這兩個乘積就是以這個增長而有區別的；所以這就是xy的微分。——人們可以看出在這種辦法中，構成主要困難的那一項，即兩個無限差分的乘積dxdy，由它本身而消除了。但是雖然以牛頓的鼎鼎大名，也必須說這樣的運算，儘管是很初級的，卻仍舊不正確；說 ，這是不正確的。只有為流量計算重要性找理由的這種需要，才能夠使一個像牛頓那樣的人自己受到這種證明的欺騙。 牛頓用來推導微分的其他形式，是與原素及其方冪的具體的，和運動有關的意義聯繫著的。使用系列形式也是他的方法的特徵，在這裡，其含義是說永遠能夠用增添更多的項來取得所需要的精密的大小，而省略掉的項則是相對地無足輕重的，結果一般只是一種近似；在這裡，好像他也不以這種理由為滿足，正如他在解高等方程時，用近似的方法，以較高方冪（這些方冪是在替代已有方程中每一個找到了的但仍不精密的值之時所發生的）很微小這樣粗疏的理由而將它們省略掉那樣；參看拉格朗日《數字方程》第125頁。 牛頓用省略重要的高級方冪來解決問題，他所犯的這個錯誤，使他的反對者有機會用他們的方法戰勝他的方法，拉格朗日在近著中（《解析函數論》，第三部分，第四章），也指出了這種錯誤的真正根源；這種錯誤證明了在使用那種工具時，還有徒具形式的和靠不住的東西。拉格朗日指出牛頓之所以犯錯誤，是因為他所略去的系列的那一項，含有一定問題關鍵所在的方冪。牛頓執著於各項因其相對微小而可以省略那種形式的、膚淺的原則。大家知道在力學中，若一運動的函數在一個系列中展開，這個系列的各項便被給予一定的意義，於是第一項，或第一個函數，是關於速度的瞬刻，第二個函數是關於加速力，第三個函數是關於諸力的阻力。於是系列各項在這裡被認為不僅是一個總和的部分，而且是概念的一個整體的質的環節。因此，省略其餘屬於簡單無限系列的各項，與以各項相對微小為理由的省略，是具有全然不同的意義的。 (53) 牛頓的解決，錯誤不在於其系列各項只被當作是一個總和的部分，而在於沒有考慮到含有問題所在的質的規定的那一項。 在這個例子裡，處理辦法要依賴質的意義。這裡也可以連帶提出一般主張，即：假如指出原則的質的意義並使運算附屬於這種意義，——而不要形式主義地只是在為微分起名稱的任務中才提出微分的規定，只是在一個函數的變量得到增長之後才提出這個函數與它的變化的一般區別，——那麼，原則的全部困難便會消除。在這種意義之下，很明顯，由展開（x＋dx）n 而發生的系列，用它的第一項便可以完全窮盡xn 的微分。其餘各項之不被考慮，並不是由於它們的相對微小；——這裡並不曾假定有不精密之處、缺點或錯誤，被另一錯誤抵消了或改善了，——卡爾諾主要就是從這種觀點來為無限小的普通計算方法辯護的。既然所處理的不是一個總和，而是一個比率，那麼，這個微分便完全可以由第一項找到；假如需要更多的項，即更高級的微分時，其規定也不包含作為總和的一個系列之繼續，而包含人們唯一想要有的同一比率之重複，而這個比率卻在第一項中已經完備了。對一個系列及其總和的形式上的需要，以及和它有關的東西，都必須與那種對比率的興趣分別開。 卡爾諾關於無限大小的方法的種種解釋，最明顯地揭示了它含有上面引證的想法中的一切最為動聽的東西。但是，在轉到運算本身時，通常的關於被省略之項相對於其他項說來是無限小的想法，多少又出現了。卡爾諾是用下述事實來辯解他的方法的，那就是，計算結果是正確的，引進這種不完整方程（他是這樣稱呼這些方程的——就是那些作了這種算術上不正確省略的方程）對於簡化計算具有便利：他並不是從事物自身的性質來辯解它的。 大家都知道拉格朗日為了跳出無限小觀念以及最初、最後比率和極限的方法所引起的困難，重又採用了牛頓原來的方法，即級數法。他的函數計算，在精確、抽象、普遍等方面的優點都已經得到足夠的承認，這裡所要舉出的，只是這種計算依靠一個基本命題，即差分雖不成為零，卻可以認為是如此微小，以至系列的每一項，在大小方面，都超過了一切後繼各項的總和。——這個方法也是從增長和函數差分的範疇開始，函數的變量得到增長，於是便從原來的函數得到使人厭煩的系列；而在後來，系列的被省略的各項，同樣也只是鑒於它們構成了一個總和，才被考慮，省略它們的理由也是建立在它們的定量的相對性上。所以一方面這裡的省略一般也並不是回到前面曾經提過的、在某些應用中出現的那種觀點，以為系列各項應當有確定的質的意義，而被忽略的各項並不是因為它們在量上不重要，而是因為它們在質上不重要；另一方面，這種省略本身在所謂微分係數那種很重要的觀點中便消除了，這是拉格朗日在所謂計算應用中才確定地加以強調的觀點，我們在下一注釋里還要對此詳細討論。 這裡所談的那種被稱為無限小的量的形式，其一般質的特性已經證明；這種質的特性在上述比率極限的範疇中，可以最直接地找到，而且極限在計算中的使用成了特殊方法的標記。拉格朗日對這個方法的判斷是：它在應用中並不簡便，極限這一名詞也沒有明確的概念；在這裡我們願意接受判斷的第二點，並仔細看看，關於極限的解析的意義提出了什麼。在極限觀念里，當然包含著變量的質的比率規定這一以前說過的真正範疇；因為這些變量所採取的dx和dy的形式，應該直接地只被看作是 的瞬刻，而 本身則應該被認為是唯一而不可分的符號。就計算的運用說，尤其是就計算的應用說，計算由於微分係數的兩端分開而取得的好處，因此便失去了，這一點可以暫時置之不理。那個極限現在應該是某一函數的極限，——它應該標出與此函數有關的某一個值，這個值是依導數（Ableitung）的方式而規定的。但是，用單純的極限範疇，我們並不能比用這個注釋中所涉及的東西前進更遠；這個注釋要指出在微分計算中出現為dx和dy的無限小，不僅具有一個非有限的、非已知的大小那種否定的、空洞的意義，如人們所說的一個無限的數量，或無限進展之類，而是具有量的、一個比率環節本身的質的規定性那種明確意義。但是這個範疇卻對一個已知函數那樣的東西，還沒有比率，與這個函數的處理和那種規定在函數中的使用都沒有牽涉；所以極限觀念若是停留在為它所已經證明的規定性里，便什麼也引導不出來。但是極限這一名詞本身已經包含著它是某物的界限這種意思，即是說它表示了變量函數中所包含的某一個值；這就必須看一看這種具有極限的具體情況是如何發生的。——極限應該是兩個增量互相具有的比率的極限；在一個方程式中，有關的兩個變量，被當作是互為函數，它們被認為是以這兩個增量而增加；這裡的增長被認為是本來不確定的，所以也並沒有使用無限小。但是，首先，這種尋找極限的道路，也招致了和其他方法所包含的同樣的前後不一貫。這條道路如下。假如y＝fx，當y變為y＋k時，則fx應變為fx＋ph＋qh2 ＋rh3 ……等等，所以k＝ph＋qh2 ＋……等，而kh＝p＋qh＋rh2 ……。假如現在k和h消失了，那麼，除p之外，第二項也消失，於是現在那個p就是兩種增長比率的極限。可見h作為定量是被當作＝0，但是 卻不因此而是＝ ，它還仍然應該是一個比率。免去這裡所包含的不連貫，應該是極限觀念所獲得的好處；同時p不是一個現實的比率，如 的比率，而僅僅是一定的值，比率可以無限的接近它，以致其差別可以比任何已有的差別更小。下面將考察一下就彼此應該真正接近的事物而論，接近有什麼更確切的意義。一個量的差別，不僅可以而且應該比任何已有的差別都更小，一個量的差別假如有了這種規定，就不再是量的差別了，這一點本身是很明顯的，其自明性和任何能夠在數學中是自明的東西一樣；但是這樣便沒有超出 ＝ 以外。另一方面，假如 ＝p，即被認為是一定的量的比率，這個比率事實上也是如此，而以h＝0的假定（只有用它才找得出 ＝p），它卻反倒陷於困境了。另外，假如承認 ＝0，——而有了h＝0，那麼事實上自然也就有k＝0；因為k增長為y，只有在這個增長是h的條件下才會出現，——於是要問p，這個完全確定的量的值，究竟是什麼。對此自然立刻有一個簡單枯燥的回答，說它是一個係數，由什麼導數發生的，——即以一定方式由原始函數所導出的第一個函數。假如對此可以滿足，拉格朗日就實質而論，對此實際上也是滿足的，那麼，微分計算科學的一般部分，緊接著那種稱為極限理論的形式部分，免掉了增長，然後又免掉了增長的無限小或任意的小，也免掉了這樣的困難，即：除首項而外，或不如說只是除首項的係數而外，要把因引入那些增長而不可避免地出現的一系列的其他更多之項，重行銷去，此外，也清除了與此相關的其他東西，首先是無限、無限接近等形式的範疇，以及在這裡是同樣空洞的連續量 (54) 範疇，而這些範疇在別處是像一個變化的傾向、發生、機緣等，同樣被認為是必需的。就完全可以滿足理論的枯燥規定而言，p不過是由展開一個二項式而引導出來的一個函數，但是除此而外，現在必須指出，p還有什麼更多的意義和價值，即對以後的數學上的需要，還有什麼關聯和用處；關於這一點，將在注釋二中討論。這裡接著首先要討論的，是：問題主要所在的比率，對於它本來的質的規定性的理解，由於在表述中流行使用的漸近觀念，引起了混亂。 我們已經指出過，所謂無限差分就是表示作為定量的比率的兩端之消失，而留下來的只是兩端的量的比率，比率之所以純粹，因為它是以質的方式規定的；質的比率在此並沒有喪失什麼，倒不如說它正是有限的量轉化為無限的量的結果。我們已經看到這裡正是事物的全部本性所在。——譬如縱橫坐標的定量便消失於最後比率之中；但是這個比率的兩端在本質上仍然一端是縱坐標的原素，另一端是橫坐標的原素。當人們用想像使一縱坐標無限地接近另一縱坐標之時，從前有區別的縱坐標便過渡為另一縱坐標，以前有區別的橫坐標也過渡為另一橫坐標；但是本質上，縱坐標不過渡為橫坐標，橫坐標也不過渡為縱坐標。我們仍然就這個變量的例子來說，這裡並不是要把縱坐標的原素看作是一個縱坐標與另一個縱坐標的區別，而要看作是對橫坐標的原素的區別或說質的大小規定；一個變量的根本對另一變量的根本有相互的比率。當區別不再是有限大小的區別時，它在本身以內，也就停止其為雜多的東西，而消融為單純的內涵，是一種質的比率環節對另一種質的比率環節的規定性了。 但是事物的這種狀態之所以被弄得很模糊，是因為前例中所說的縱坐標的原素被了解成差分或增量，即它僅僅是一個縱坐標的定量與另一縱坐標的定量之間的區別。於是這裡的極限便沒有比率的意義，只被當作最後的值，與另一同類的大小經常接近，以至其區別願意怎樣微小，便可以怎樣微小，而最後的比率便成了一個相等的比率。這樣，無限差分便是一個定量與另一定量的區別之蕩漾不定，而質的本性便在觀念中退後了，就這種本性說來，dx在本質上並不是對x的比率規定，而是對dy的。與dx對比，dx2 固然可以消失；但dx與x對比，卻更會消失；這就真正意謂著：dx只是對dy才有一比率。——幾何學家們在這樣的表述中主要該做的事，就是使一個大小對它的極限的接近，明白易曉，把握住定量與定量的區別如何是區別而又不是區別這一特點。但是「接近」這一範疇，卻本身簡直什麼也沒有說，也不曾使任何東西明白易曉；dx已經把接近拋在背後，它既不是近，也不是更近；而無限近本身就意味著鄰近和接近的否定。 由於現在事情是這樣，即增量或無限差分，假如只就定量方面來看，它們便只是定量的極限，而定量卻在它們之中消失了，這樣，它們便被理解為無比率的瞬刻。從這裡會得出不能容許的觀念，即在最後比率中，如橫坐標、縱坐標、或正弦、餘弦、切線、反正弦以及一切等等都可以被認為彼此相等。假如一條弧線將被當作一條切線處理，那麼，這種觀念好像就會占上風；因為弧與直線當然也是不可通約的，它的原素比直線的原素有另外不同的質；假如有圓的方（quadrata rotundis），假如弧的一部分，儘管是無限小，卻被認為是切線的一段，從而被當作直線來處理，這似乎比混同縱橫坐標、反正弦、餘弦等還更荒謬，更不能容許。——但是這種處理，與方才斥責過的那種混同，有本質的區別，理由是：在一個以一個弧的原素及其縱橫坐標的原素為邊的三角形里，其比率與那條弧的原素好比是一條直線的原素，即切線的原素，是同一的；諸角 (55) 所構成主要比率，仍然就是這些原素的比率，由於那個比率把屬於這些原素的有限大小都抽掉了，所以那些角仍是同一的。 (56) ——人們對此也可以說，作為無限小的諸直線是過渡為曲線了，並且它們在無限中的比率是一個曲線的比率。直線就定義說，既然是兩點之間最短的距離，那麼，它與曲線的區別，其根據就在於數量的規定，在於這段距離上可區別的較小的數量，所以那是一種定量的規定。但是當這種規定被認為是內涵的大小，是無限的環節，是原素時，它就在數量中消失了，於是它與曲線的區別也消失了，這種區別僅僅依賴定量區別。——所以直線和曲線，作為無限，並沒有量的比率，從而根據已經承認的定義，也彼此不再有質的差異，而是直線過渡為弧。 說同一整體的無限小部分彼此相等，這樣的假設本身是不確定而全然漠不相關的，它與把異質的規定等同起來，相近而又畢竟不同。但是，這種假說應用到一個自身中就有異質的對象，即帶有大小規定本質的不均性的對象，卻引出高等力學中一個命題所含的奇特的顛倒，這個命題說：一個曲線的各無限小部分，是以勻速運動在各個相等的、並且誠然是無限小的時間通過的；同時關於這個運動，又作這樣的主張，即曲線的各有限的、即存在看的、不相等的部分，是以這樣的運動在各個相等的、有限的、即存在著的時間部分通過的；這就是就，這種運動是、並且被認為是存在著的、不勻速的運動。這個命題是用文字來表現一個解析的項應當意味著什麼，這種項是由前面已經引用過的不勻速而又符合某一規律的運動公式之展開而發生的。新發明的微分計算，永遠總是和具體對象打交道，較早的數學家對它的結果，企圖用詞句來述說，用幾何圖表來表現，主要是為了把這些結果，依照普通證明方式，用於定理。解析的處理，把一個對象，例如運動的量，分解為一個數學公式的各項，這些項便在公式那裡獲得了對象的意義，例如速度、加速力等等；根據這樣的意義，這些項便應該給出正確的命題，物理的規律，而它們的客觀聯繫和比率也應該依照解析的關聯來規定，正如在一個勻加速運動中，存在著一個特殊的、與時間成比例的速度，但是除此之外，還總是要添上重力的增長。這一類的命題，在近代力學的解析的形態中，常常是被當作計算的結果來引用，而不理會它們是否本身有實在的意義，即與一存在物相符合的意義，也不理會這樣意義的證明。假如用顯明的實在的意義去看待這些規定，要使其聯繫——譬如從那種簡單的勻速度到一種勻加速度的過渡——明白易曉，有了困難，那麼用解析的處理也就可以完全消除這種困難，因為在解析處理中，這種聯繫只是現今已有牢固權威的運算的簡單結果。僅僅用計算，便會超出經驗，找到規律（即沒有存在物的存在命題），這被說成是科學的勝利。但是在微分計算最初的幼稚時期，應該指出那些用幾何圖線來表示的規定和命題本身的實在意義，使其可通，並且在這樣的意義之下，將那些規定應用於有關的主要命題之證明。（參看牛頓在《自然哲學的數學原理》第一卷第二部分第一命題對他的萬有引力論基本命題的證明，與舒伯特 (57) 的《天文學》——第一版，第三卷§20——比較，那裡承認，在證明的關鍵之點，情況並不嚴格地像牛頓所假定的那樣。） 不能否認，在這個領域裡，許多東西主要靠無限小的幫忙而被滿意地當作證明，其理由不外是所得結果總是先前已經知道的，而這樣安排得來的證明，至少也能帶來一種證明架子的假象，——比起單純的信仰或經驗的知識來，人們總是更喜歡這種假象一些。但是我毫不猶豫，認為這種方式絲毫不比對證明單純變戲法、賣假藥好一些，其中甚至也要算上牛頓的證明，尤其是方才引過的、屬於他的那些證明，人們為此把牛頓捧上天，說他高出克卜勒之上，因為克卜勒僅僅是由經驗找到的東西，牛頓卻對它加以數學的證明。 為了證明物理的規律，這些證明的空架子便架起來了。但是，由於物理的量的規定就是那些以環節的質的本性為基礎的規律，數學對它們根本不能夠證明；理由很簡單，因為這門科學不是哲學，不是從概念出發，並且質的方面，由於不是以輔助證明的方式從經驗取來，因此便在數學的範圍以外了。說數學中出現的一切命題都應該有嚴格證明，要維持數學的這種榮譽，使它常常忘記了它的界限；於是簡單承認經驗是經驗命題的源泉和唯一證明，便似乎是觸犯了數學的榮譽。後來關於這種情況的意識變得較為有修養了；但是在這種意識沒有區別清楚什麼是數學可證明的和什麼是只能從別處取得證明的以前，以及區別清楚關於什麼只是解析展開的項和什麼是物理存在物以前，科學性是不能達到嚴格而純淨的態度的。但是牛頓的那種證明架子，無疑也將和牛頓從光學實驗得來的另一無根據的構造以及與其有關的推論，遭到同樣公正的命運的。應用數學至今還是充滿著這類經驗和反思的釀製品，但是和那種光學自長時期以來就已經開始一部分接著一部分在科學中實際上被忽視了一樣（這裡仍有不徹底處，即剩餘的部分儘管其中有矛盾，卻還是被保留下來了），那些騙人的證明，事實上也同樣已經有一部分被忘卻或被其他證明代替了。 注釋二　微分計算從它的應用所引導出來的目的 前一注釋中所考察的，一部分是微分計算所用的無限小的概念規定性，一部分是將無限小引入微分計算的基礎；兩種規定都是抽象的，所以本身也是容易的。但是所謂應用，卻既提供了較大的困難，又提供了較有趣的方面；這個具體方面的原素，應該是本注釋的對象。微分計算的全部方法只用一個命題便畢業了，即dxn ＝nxn－1 dx，或 ＝P，即等於依dx或i的方冪而展開的x＋dx，x＋i，這個二項式的首項係數。再不需要學更多的東西；以後的形式，如乘積的微分、指數的量等等推演，都可以機械地由此得出；用很少時間，或許用半點鐘，便可以學會全部理論——因為求得微分，其反面，積分也就有了，即微分的原始函數也就求得了。不過，在以解析的方式，即以完全算術的方式，由變量函數的展開而求得那個係數之後，在這個變量由增長而獲得一個二項式的形式之後——在課題這一情況很容易辦好之後，而其另一情況，即正在發生的系列，除首項外，其餘諸項都被省略，仍有其正確性；要懂得這一點並使其可以理解，卻須費較長的工夫。假如情況是：唯有那個係數才是必要的，那麼，這就會正如我們所說，只要有了係數的規定，一切與理論有關的東西，用不了半點鐘便完結了，而省略系列的其餘各項也並不成為困難，它們之作為系列各項（作為第二、第三等函數，它們的規定已經與第一項的規定一起解決了），倒是完全談不到的，因為這裡的事情與它們毫不相干。 這裡可以首先提說一下，人們當然立刻可以看出微分計算不像是只為自己而發明、建立的；它之創立另一種解析辦法，不僅不是為它自己，而且勉強幹脆省略掉展開一個函數所產生的各項，那倒簡直是與一切數學原理完全矛盾，因為這一展開的整體卻仍然被認為完全屬於有關的事情，——這個事情被看作是一個變量（在給予這個變量一個二項式形態以後）的展開了的函數與原始函數的區別。需要這種辦法，而在這種辦法本身那裡又缺少論證，這就立刻顯出了它的來源和基礎必定是在別的地方。在別的科學中，也曾出現過同樣的事，那首先樹立起來的、作為基本的東西，並且許多科學命題都應該從那裡演繹出來，卻是一個不明不白的東西，它的理由和根據反而要在後來才得顯明。微分計算史中的演進，說明了尤其在各種切線法，也同樣是以人工製造品做事情的開始；在方法擴展到更多的對象以後，它的方式才漸漸被意識到，而被納入抽象的公式，並被試圖提高為原則。 我們已經指出過，那些被安置在相互比率中的定量，其質的量規定性就是所謂「無限小」的概念規定性，這裡聯繫著想用關於無限小的描寫和定義來證明那種概念規定性的經驗的研究，在這種情況下，無限小是被當作無限差分以及諸如此類的東西。——這種情況之發生，其興趣只在於抽象的概念規定性；更進一步的問題則是從這種抽象的規定性過渡到數學的形成和應用，情況是怎樣的。為此目的，首先須更進一步著手理論方面、即概念規定性，它本身將證明並非是完全無益的；然後就要考察這種概念規定性與應用的關係，並就這裡範圍所及，在這兩方面都要證明，一般結論對於微分計算所需要做的事，以及做成它的方式如何，都同樣是適宜的。 這裡首先需要提一下，現在所談的概念規定性在數學方面的形式，已經附帶講過了。量的事物，其質的規定性，首先一般地表現為量的比率，但是在說明所謂各種計算方式時（參看有關的注釋），也曾經預示在方冪比率（將來在適當的地方還要加以考察）中，數由於它的單位和數目這兩個概念環節之相等被當作是回復到自身，從而在自身那裡獲得無限性、自為之有、即由自身規定的有這一環節。於是，正如已經提到過的那樣，顯明的質的大小規定性，主要是與方冪的規定有關，既然微分計算的特點就是用質的大小形式來運算，那麼，它的特殊的數學對象，就必定是對方冪形式的處理，而且有關使用微分計算的全部課題及其解答，都指出唯有方冪規定本身的處理，是其興趣所在。 這種基礎雖是如此重要，並且立刻把某種確定的東西提到頂點，代替了徒具形式的範疇，如可變的、連續的或無限的大小之類，也代替了僅僅是一般函數的範疇，卻仍然太一般了；其他的運算也同樣與此有關；先是乘方和開方根，然後是指數大小、對數、系列的處理，較高級的方程式，其興趣和努力都只是在於以方冪為基礎的比率。這些比率無疑必須共同構成一個處理方冪的體系，方冪規定可以在各種比率中建立起來，但在那些比率之中，這個體系卻是微分計算的特殊對象和興趣所在，它只是由微分計算本身，即由所謂微分計算的應用，才可以取得。這些應用實際是事物本身，是數學解決一定範圍內的問題的實際辦法；這種辦法比理論或一般部分為時較早，它只是後來由於以後創立了理論的關係，才被稱為應用；理論想要提出辦法的一般方法，並給予方法以原則，即給予它以論證。至於曾經白費過什麼樣的努力，要為以前對這種辦法的觀點找出原因，來真正解決出現的矛盾，而個是僅僅用那種就數學辦法說來雖屬必要，但在這裡卻須省略掉的無足輕重的東西，或走相同的路用無限或任意接近的可能性以及諸如此類，來寬恕或掩蓋這種矛盾：這在前一注釋中已經指出過了。假如從被稱為微分計算的這一數學的現實部分用與以前不同的方式，抽掉這種辦法的一般東西，那麼，那些原則和搞那些原則的努力，本身既然表明是某種歪斜的、仍陷於矛盾的東西，所以也就大可省去了。 假如我們簡單地接受數學這一部分現有的這種特點，加以研究，那麼，我們所發現的對象就是： （1）方程式，任何數目的大小（這裡一般可以以二這一數目為限）在這些方程式中就聯繫為規定性的這樣一個整體，即，第一，這些大小以作為固定界限的經驗的大小為其規定性，然後以這些大小與經驗的大小的聯繫方式以及它們自身間的聯繫方式為其規定性，這一點在一個方程式中的情況一般都是如此；但是因為兩個大小只能有一個方程式（相對地說來，較多的大小當然就會有較多的方程式，但是方程式永遠要比大小的數目少），所以這類方程式屬於不確定的方程式；——第二，這些大小之所以在這裡有其規定性，因為它們的一種情況就在於它們（最少是它們中之一）之出現於方程式中有比一次方冪較高的方冪。 對此需要先說幾句話，第一，依據上述第一種規定，這些大小完全只有像在不確定的解析課題中出現的那些變量的特性。它們的值是不確定的，但是，情況卻是這樣的，即，假如一個大小從別處得到了一完全確定的值，即一個數值，那麼，另一大小也就確定了，這樣，一個大小便是另一個大小的函數。變量、函數以及諸如此類的範疇之所以對這裡所談的特殊的大小規定性，僅僅如我們以前所說，是形式的，那是因為這些範疇所具有的一般性還不包含微分計算全部興趣所在的那個特殊方面，從而也不能用解析來解釋。這些範疇原本是簡單的、不重要的、容易的規定，只因為要把本來不在其中的東西，即把微分計算的特殊規定，放到它們裡面去，以便從它們那裡又把這種東西引導出來，這才造成麻煩。至於所謂常數，可以說常數先是作為漠不相關的經驗的大小，它對變量進行規定，也只是關於變量的經驗的定量方面，作為變量的最低或最高的極限；但是常數與變量的聯繫方式，對於特殊函數（這個函數就是那些變量）的本性說來，本身也是它的環節之一。但是反過來說，常數本身也是函數；例如一條直線假如有它是一條拋物線的參數這種意義，那麼，它的這種意義也就在於它是 這個函數；一般和展開二項式那樣，常數是展開的首項係數，為各方根之和，第二項係數是這些方根兩個與兩個等等乘積之和，所以這些常數在這裡一般都是方根的函數；在積分計算里，常數也由一定的公式來規定，在這種情況下，它是被當作這一公式的函數來處理的。我們以後將用一種與函數不同的規定，來考察這些係數，其全部興趣所在，只是係數在具體方面的意義。 但是現在考察變量用以區別它們在微分計算中的自身和它們在不確定的課題中的狀態這一特點，那在前面所述已經提出了，即這些變量，最少是一個或全部都有比一次方冪較高的方冪，至於那些變量全部是否都有同一較高的或不等的方冪，卻是不相干的；它們在這裡所具有的特殊不確定性，在於它們以這樣的方冪比率，互為函數。變量的變化因此是在質方面被規定了的，從而是連續的；連續性本身不過又是一個同一性（即在變化中自身仍然保持，仍然同一的規定性）的一般的形式的範疇，但在這裡卻有其確定的意義，當然這只是在方冪比率中，因為這個比率不是以定量作它的指數，也不構成變量比率的量的、不變的規定性。因此也須注意反對另一種形式主義，即一次方冪只是與較高的方冪相比，才是方冪；x本身只是任何一個不確定的定量。所以就直線方程：y＝ax＋b，或簡單的勻速度方程：s＝ct本身加以區分，並無意義；假如從y＝ax或也從y＝ax＋b變為a＝ ，或從s＝ct變為 ＝c，那麼，同樣地，a＝ 就是切線的規定，或 ＝c就是簡單速度的規定。後者作為 是表現於與被稱為勻加速運動的展開那種東西的關聯之中；但是單純的、簡單勻速的（即不由運動諸能率之一的較高方冪規定速度的）一個能率，出現於勻加速的運動的系統之中，那就正如前面說過的，本身是空洞的假定，只是以方法的習慣成規為基礎。方法既然從變量應有增長這一觀念出發，那麼，只是一次方冪的函數這樣的變量當然也有增長。假如現在為了求出微分而必須認為由此而發生的第二個方程式與已知的方程式有區別，那麼這種運算的空虛就表現出來了；因為前面已經講過，在運算以前和以後，對於所謂增長和對於變量本身，方程式都是相同的。 （2）以上所說，明確了需要處理的方程式的本性，現在要舉出來的，是這種處理的興趣所在是什麼。這樣的考察所能給予的，只是已知的結果，就形式說，這些結果尤其是像拉格朗日所理解的那樣；但是我為了剔除那裡混雜著的異質的規定，所以提出的說明，完全是很基本的。——上述種類的方程式的處理的基礎，顯示出方冪在它自身之內被認為是一個比率，是一個比率規定的系統。方冪在以上被表述為數，它之所以能夠如此，是因為它的變化是由它自身規定的，它的環節、即單位與數目，也是相同的，——如以前所指出的，方冪在平方中也就很完全了，而在更高的方冪中，不過是更形式的，在這裡無關宏旨。現在方冪作為數（雖然人們較喜歡用「量」這一名詞，以其較為一般，但是方冪本身總之仍舊是數），既然是一個數量，也表現為總和，那麼，它在自身之內可以被除為任何數量的數，這些數除了一共等於它們的總和而外，其彼此之間和對總和便都沒有別的規定了。但是方冪也可以被除為那些由方冪形式規定的差分的總和。假如方冪被當作總和，那麼，它的方根數，或說方根，也被當作總和，至於除它的倍數也是任意的，但是這種倍數卻是漠不相關的、經驗的、量的東西。方根應當是總和；總和歸到它的單純規定性，即它的真正普遍性時，就是二項式；一切更多的項的增加都僅僅是這個同一規定的重複，因此也就是某種空虛的東西。 (58) 問題所在，只是這裡由被認為是總和的方根乘方而生的諸項之質的規定性，這種規定性完全包含在乘方這一變化之中。於是這些項便完全是乘方和方冪的函數了。把數表現為這樣的諸項（它們就是乘方的函數）一定數量的總和，然後興趣就在於找出這些函數的形式，並隨即從這些項的數量找出總和，因為要找出總和唯一必須依靠函數的形式，——這就構成大家知道的特殊的系列論。但是這裡重要的是，把更有興趣之點區別出來，即作為基礎的大小本身（因為它是一複合體，在這裡就來，即是一個方程式，其規定性自身就包括了一個方冪）與其乘方函數的比率。完全除去了前面所說的對總和的興趣，這種比率就將表現出它是真正科學所產生的唯一觀點，微分計算便是把這種觀點放在最前列的。 但是對以上所說，還必須先加上一種規定，或者不如說必須除去其中所包含的一個規定。我們曾經說過，變量（方冪就在它的規定之中）在它自身以內被認為是一個總和，而且是各項的系統，由於各項是乘方的函數，所以方根也當然被認為是一個總和，其形式被簡單地規定為一個二項式： xn ＝（y＋z）n ＝（y＋nyn－1 z＋……）. 這種表達，對於方冪的展開，即對於達到方冪的乘方函數，是從總和本身出發的；但這裡問題所在，既不是總和本身，也不是由總和所產生的系列，那必須從總和取來的東西，只是關係。大小的關係本身，一方面是在抽去一總和本身加多（plus）之後所剩餘的東西。但是這樣的關係之已經被規定，就在於這裡的對象是ym ＝axn 方程式，已經是較多的（變）量的複合體，它包含了這些量的方冪規定。在這個複合體中，每一個量都直接被當作是與另一個量有關係，其意義可以說是對它自身的加多，——被當作是另一量的函數；它們互為函數的特點，給了它們加多這一規定，正因此，這個加多是完全不確定的，而不是增長、增量以及諸如此類的東西。但是我們也可以把這種抽象觀點放在一邊；事情可以完全簡單地停留在這樣的一點，即已知在方程式中互為函數的變量，以致這種規定性包含了方冪的比率，在這之後，每一個乘方的諸函數也就可以互相比較——這第二類的函數，除了由乘方本身規定而外，並無其他規定。把一個方程式從它的變量的方冪移到它的展開函數的比率，起初可以就是隨意的，或是可能的；這種轉變的用處必須在以後的目的、益處、使用中顯示出來；所以要做這種改移，只是由於它的有用。假如上面是從表達一個量（它作為總和，在自身中是被認為有不同的部分的）的這種方冪規定出發，那麼，這種用處便只是一部分為了指出這些函數是什麼種類，一部分在於求出這些函數的方式。 這樣，我們便到了普通解析的展開，它為了微分計算之故，將被理解為這樣，即變量有了dx或i的增長，而現在二項式的方冪也由屬於二項式的各項系列而表現出來。但所謂增長不應是一定量，只是一形式，它的全部價值就在於幫助展開；人們對以前提到的極限觀念所願意承認（而以尤拉和拉格朗日最為堅決）的東西，只是由變量產生的方冪規定，即增長及增長的方冪的所謂係數，系列依照這些方冪規定而安排自身，不同的係數也屬於這些規定。這裡還可以說只是為了展開的緣故，才假定有一增長，它不是定量，所以對此用1（一），是最合宜的，因為這種增長在展開中永遠只出現為因數，正是一這個因數完成了雖有增長而無量的規定性和變化這一目的；另一方面，帶著量的差分這種錯誤觀念的dx，以及帶著在此處無用的普遍性假象的其他符號，如i，總是有定量及定量方冪的外貌和假託；而後這種假託又惹起必須將它取消和省去的麻煩。為了維持一個依方冪而展開的系列形式，指數的符號作為指標（indices）同樣也可以加在一的後面。但是無論如何，必須抽掉系列和按係數在系列中地位而有的係數規定；這一切之間的比率都是同一的；第二函數之從第一函數導引出來，也正如第一函數從原始函數導引出來那樣，假如一個函數被算作第二函數，那麼第一函數，雖然也是導引出來的，而對於第二函數說來也就又被算作原始函數了。重要之點是興趣不在於系列，而唯一在於從展開所發生的方冪規定，這種規定與對方冪是直接的量有比率。所以這些方冪並不被規定為展開的首項係數，因為一項是以與系列中其他後繼各項的關係而被稱為首項，但是一個作為增長方冪這樣的方冪以及系列本身，卻與此無關，假如寧願要導出的方冪函數，或如以前說的量的乘方函數這樣單純的名詞，那麼，它就已經被假定為已知的，「導數」就以這種方式被認為是包括在一方冪之內的展開了。 假如說現在數學在這一部分解析中的真正開始，不過是求出由方冪展開而規定的函數，那麼，也還有一個問題，即從這裡得到的比率該怎麼辦呢，這個比率在哪裡有應用和使用之處呢，求這些函數，到底是為了什麼目的呢。求出具體對象的比率，可以將它們歸結到那些抽象的、解析的比率；微分計算由此得到很大的興趣。 關於能否應用問題，藉助於指出過的方冪環節的形態，首先從事情本性出發，還不要從應用事例去推論，也就自然產生如下的結果。方冪大小的展開（其乘方的函數由此產生），抽掉了較細密的規定，首先便一般地包含著將大小降低到最近的較低方冪。於是這種運算便可以應用到同樣有著這種方冪區別的那些對象上去。假如我們現在考慮到空間規定性，那麼，我們便發現它含有三維，我們為了把這三維與長、寬、高等抽象的區別相區別，可以稱它們為具體的區別，即線、面和整體的空間；我們以最簡單的形式，從自身規定，也就是從解析因次的關係去看待它們時，便有了直線、平面、作為平方的平面和立方。直線有一經驗的定量，但是隨著平面，便出現了質，即方冪的規定；至於較細密的變形，例如隨著平面的曲線也出現了質，我們可以置之不理，因為這裡所涉及的，首先只是一般的區別。這裡也產生了從較高的方冪規定到較低的過渡以及相反的過渡之需要，因為，例如直線規定便應當從已知的平面等等方程式導出，或是相反。——此外還有運動；對它所要觀察的，就是它通過的空間及因此所用去的時間的大小比率；運動表現為各種不同的規定，如簡單的勻速、勻加速、勻加速和勻減速的交替、回到自身等運動；由於各種運動，都是依照其空間、時間兩環節的大小比率來表示的，於是為了這些運動，便從不同的方冪規定，產生了方程式；在這種情況下，可能需要從另一種運動或另一種空間大小來規定一種運動或與運動相連的一種空間大小，於是也同樣引起運算從一個方冪函數到一較高或較低的方冪函救的過渡。——這兩種對象的例子應當可以滿足引用這些對象的目的了。 微分計算在應用中所呈現的偶然外貌，會因為意識到應用所能有的範圍的本性和這種應用真正的需要與條件而大為簡化。但現在的問題是需要進一步知道，在這些範圍內，數學課題的對象的哪些部分之間有像微分計算特地建立起來的那樣的比率。必須立即提出來說，這裡有兩種比率須加注意。一個方程式開方的運算，依其變最所導出函數來考察這一方程式時，所得的結果，本身真的不再是一個方程式而是一個比率；這個比率是真正微分計算的對象。正因此也就有了從較高方冪規定（原來的方程式）本身到較低方冪規定（導出的方程式）的第二種比率。我們在這裡先把第二種比率放在一邊；那在以後將是積分計算的特殊對象。 我們先來考察第一種比率，並且對於從所謂應用取得的環節的規定（這是運算興趣所在），舉一個最簡單的曲線例子，這些曲線是由一個二次方冪的方程式所規定的。大家都知道坐標線的比率是由一個有方冪規定的方程式所直接給予的。基本規定的結果是與坐標線有關聯的其他直線，如切線、次切線、垂直線等規定。但是這些線與坐標線之間的方程式，卻是直線方程式；整體（這些直線被規定為某部分）就是直線的直角三角形。從包含方冪規定的基本方程式到那些直線方程式的過渡，現在就包含著上述的從原始函數（即是一個方程式）到導出的函數（即是一個比率，而且當然是被包含在曲線中的某些直線之間的比率）的過渡。現在需要找出來的，就是這些直線的比率和曲線方程式之間的關聯。 最早的發現者只知道用完全經驗的方式來陳述他們的發現，對於仍然是完全外在的運算不能加以評價，在這裡提到一些歷史方面的事，並不是沒有興趣的。我對此暫時滿足於舉牛頓的老師巴羅為例。他在《光學與幾何學講義》中，按不可分的方法來處理高等幾何的問題，這種方法首先與微分計算的特點不同，他也說明了他規定切線的辦法，「因為朋友們敦促過他」（第十講）。這種說明的情況如何，這種辦法如何被陳述為完全像外在的規則那樣，——用的是和以前算術教科書中講授算法的，「三數法」 (59) 或更恰當些的所謂「棄九法」同樣的筆調：要對此有適當的概念，須讀他的原書。他劃出一些細微的線（這些細微的線後來被稱為一條曲線的特殊三角形中的增量），於是立下章程作為單純的規則，要把隨方程式的展開而出現的那些增量的方冪或乘積諸項當作是多餘的，加以省略（因為這些項所值是零，etenim isti termini nihilum valebunt）；同樣，假如一些項只含有原來方程式所規定的大小，它們也必須扔掉（——這就是後來從以增量構成的方程式中減去原來的方程式）；最後，必須用縱坐標本身來代替縱坐標的增量，用次切線來代替橫坐標的增量。假如這樣說可以容許，那麼，我們就要說這種辦法不能以小學教師的方式來說明；——後一種代替是假定了縱橫坐標的增量與縱坐標和次切線有比例，這種假定在普通微分方法中，成了切線規定的基礎；而這個假定在巴羅的規則中，卻赤裸裸表現其幼稚。一個規定次切線的簡單方式，是已經發現了的；羅伯伐爾 (60) 和費爾馬 (61) 方法也達到了相似之點，——求出最大值和最小值的方法（最小值便從這種方法出發），是依靠同樣基礎和同樣辦法的。要找到所謂方法，即那一類的規則，而又把它們搞成神妙莫測，這在當時曾經是數學的狂熱病，這種神妙莫測的東西不僅很容易，而且在某種情況看來，也是必要的，其理由也同樣是它很容易，——這是因為發明者只找到了一種經驗的、外在的規則，而不是方法，即不是從公認原則演繹出來的東西。這些所謂方法，萊布尼茲從他的時代，牛頓也同樣從同一時代並且從他的老師那裡，直接承受下來了；這些所謂方法，由於形式的普遍化和可以應用，為科學開闢了新路，但也就從而有需要使辦法衝破單純外在的規則形態，並且有了對它作必要修正的企圖。 我們若仔細分析這個方法，那麼，真正的過程就是下面這樣。首先，方程式中所包含的方冪規定（這當然是指變量的方冪規定），降低到它們的最初導數。但是這樣一來，方程式各項的值便有了變化；因為再沒有方程式剩下來，只是在一變量的最初導數與其他變量的最初導數之間產生了一個比率；代替px＝y2 有了p﹕2y，或是代替2ax－x2 ＝y2 有了a－x﹕y，這就是以後常常被稱為 的那個比率。這方程式是一個曲線方程式，那個比率完全依靠這個方程式，從那裡（這在上面就是按照一個單純的規則）導出的，卻反而是一個直線的比率，某些直線以此而有比例；p﹕2y或a－x﹕y，本身是從曲線的直線，即從坐標線，參數而來的比率；但是人們從這裡還是沒有知道什麼東西。有興趣的事，是要知道關於其他在曲線那裡出現的直線，求出適合於它們的那個比率，即兩種比率相等。——其次，問題是：由曲線本性所規定的，而又有這樣比率的直線，是什麼？——但這是久已知道的東西，由那種方法所獲得的比率，就是縱坐標與次切線的比率。古人曾經用聰敏的幾何方法求出這個；近代發明者所發現的東西，只是經驗的辦法，把曲線方程式如此安排，以便提供已經知道的那個第一種比率，它等於那包含它所要規定的直線（這裡就是次切線）的比率。方程式的那種安排，一部分是有方法地去理解並造成的，即取導數（Differentiation），一部分卻是發明了想像的坐標增量以及由這兩個增量與切線的一個同樣想像的增量所構成的想像的特殊三角形，於是由方程式的開方而找到的比率和縱坐標與切線的比率兩者的比例性質，不僅不被表述為是經驗地從舊知識得來的某種東西，而且是經過證明的東西。但是舊知識卻以上述規則的形式，一般地，極其明白地證明自身假定是特殊三角形和那種比例性質的唯一的起因和有關的理由。 拉格朗日拋棄了這種假冒的貨色，開創了真正科學的道路；理解問題所在，須歸功於他的方法，因為這種方法就在於把為了解決問題而必須作出的兩個過渡分開來，把每一方面都分別加以處理和證明。——在對過程作較詳細的說明時，我們仍然用求出次切線這樣初步問題的例子。這個問題的解決，一部分，即理論的、或一般的部分，即從已知的曲線方程式求出第一函數，這由它本身就可以調整就緒；這一部分給了一個線的比率，即直線的比率，這些直線出現於曲線規定的系統之中。問題解決的另一部分，是求出曲線中有這種比率的那些直線。現在可以用直接的方式（《解析函數論》第二部分第二章）辦到這一點，即沒有特殊三角形，這就是說無須假定無限小的弧和縱橫坐標，也無須給它們以dx和dy（即那種比率的兩端）的規定和那個比率立刻直接與縱坐標及次切線相等的意義。一條線只有在它構成一個三角形的邊之時，它（一個點也如此）才有它的規定，正如一個點的規定也只是在這樣的三角形中那樣。順便可以提一下，這是解析幾何的基本命題，它之引入坐標線就像它把力的平行四邊形引入力學中那樣（這本來是同一回事），正因此，平行四邊形才完全不需要費許多氣力去找證明。——現在以次切線為一個三角形的一邊，縱坐標及有關的切線為三角形其他的邊。切線作為直線，其方程式便是p＝aq（加上＋b對於規定並無用處，那只是為了癖好普遍性的緣故才添上去的）； 比率的規定便歸在q的係數a之內，它又是方程式的有關的第一函數，但一般只需要把它看作是a＝ ，如以前所說，這是應用於曲線被當作切線的那種直線的規定。再者，現在既然假定了曲線方程式的第一函數，那麼，它同樣也是一條直線的規定；進一步說，既然假定了第一條直線的坐標線p與曲線的縱坐標y是同一的，那麼，第一條直線被當作是切線與曲線相交的一點，也就是由曲線第一函數所規定的直線的起點，所以應該要指出的是：這第二條直線與第一條重合，即它是切線；用代數來表示，即因為y＝fx，和p＝Fq，現在設y＝p，所以fx＝Fq，而f′x＝F′q。現在被當作切線來應用的直線，與由方程式而來並被其第一函數所規定的直線，是重合的，所以第二條直線是切線；證明這一點將由橫坐標的增量i和被函數展開的規定的縱坐標增量來幫忙。於是這裡也同樣出現了那個聲名狼藉的增量；但是為了方才所說的目的而引入增量，以及依增量而展開函數，都必須與以前提到過的為求出微分方程式和為特殊三角形而使用增量，很好地區別開來。現在這裡的使用是有理由而必要的；這種使用是在幾何範圍之內，因為切線與曲線有一共同的相交之點，在這切線與曲線之間，並沒有另外的直線能夠同樣落在這一點上並通過其間，這是屬於切線本身的幾何規定的事。於是切線或非切線的質，便以這種規定而歸結到大小的區別，那條線既是切線，絕對較大的小 (62) 便因與此有關的規定而加於這條切線之上。這種似乎是相對的小，絲毫不包含經驗的東西，即不包含依賴定量本身的東西；假如需要比較的大小是依賴於環節的區別，而環節的區別就是方冪的區別，那麼，這種小便是由公式的本性在質的方面建立起來的；由於這種區別歸結於i和i2 而且這個i歸根到底應當意謂著是一個數，於是便須設想i是一個分數，而i2 本身便比i小；這樣，可以把i當作是一個隨意的大小的這種觀念，在此便是多餘的，甚至用得不是地方。對較大的小的證明，因此也與無限小毫不相干，在這裡絲毫不須引用無限小。 對於笛卡爾的切線法，即使是僅僅為了它的美妙和它的今日已被遺忘但卻是值得享有的榮譽，我也還願意介紹它；此外，它與方程式的本性也有關係，關於這一點，以後在另一注釋里還要談到。笛卡爾在他的對別方面也很有益處的幾何學中（第二冊，第357頁以下，全集第五卷，古冉版），講述了這種獨立的方法，在那裡，所求的直線規定，也是從同樣的導出函數裡找到的，由於他在這種方法中，教授了方程式本性的偉大基礎及其幾何的結構，從而在很大程度上把解析推廣到一般的幾何。在他那裡的問題，具有課題的形式，那就是畫一條直線垂直於一條曲線的任何地點，由此而規定次切線等等；他的發現涉及當時有普遍科學興趣的對象，這種發現是如此其幾何式的，並由此而遠遠高出他的競爭者的單純規則的方法（這種方法，前文已經提到過）；人們可以體會他在那本書里對這種發現也躊躇滿志，他說：「我敢說這在幾何學中，不僅是我所知道的，而且是我從來想要知道的最有用、最一般的問題。」 (63) 他為解決直角三角形的解析方程式奠定了基礎，這個三角形的形成，由於：（1）曲線上一點的縱坐標，而問題中所要求的直線應當在這一點上垂直，（2）這條直線本身，即垂直線，（3）被縱坐標和垂直線所切斷的軸的一部分，即次垂直線。從一條曲線的已知方程式，無論是縱坐標或橫坐標的值，現在都將在那個三角形的方程式中得到代替，於是便有了一個二次方程式（笛卡爾並且指出含有較高次的方程式的那些曲線，也怎樣還原為這種二次方程式），在這個方程式中，那些變量只有一個出現，它或是平方，或是一次方冪；——一個平方的方程式 (64) ，它起初看來像是所謂不純的方程式。於是笛卡爾有了這樣的想法，即：假如在一條曲線上所取之點，被設想為這條曲線與一圓相切之點，這個圓便將還在另一點與這條曲線相切，於是對於兩個由此產生而不相等的x，便將發生兩個方程式，它們具有相同的常數和相同的形式；——或者說只有一個方程式，但具有不同值的x。但是為那一個三角形，卻只有一個方程式，在那個三角形中，垂直於曲線的，是弦，或說垂直線；被設想的是：曲線與圓相切的兩點是重合的，所以曲線可以與圓相交。但是這樣一來，平方方程式的不相等的方根x或y的這種情況也就消失了。但是在一個有兩個相等方根的平方方程式中，未知的方根含有一次方冪，其所含之項的係數，就是那僅僅一個方根的兩倍；這就有了一個方程式，所求的規定便可由這個方程式找到。這種步驟必須看作是一個真正解析頭腦的天才的把握，反之，次切線和縱坐標與縱橫坐標的所謂應當是無限小的增量之間全然臆斷的比例，與上述步驟相比，便完全落後了。 由上述方式所獲得的最後的方程式，它使平方方程式第二項的係數與雙重方根或未知方根相等，這個方程式與用微分計算辦法所找到的方程式是相同的。假如對x2 －ax－b＝0求微分便會有一個新方程式2x－a＝0；或從x3 －px－q＝0得到3x2 －p＝0。這裡也可以說這樣導出的方程式，其正確完全不是自明的。在一有兩個變量的方程式中，變量之所以不失其為未知數的這種特色，正因為它們是可變的，如上面考察過的，其所發生的結果，只是一個比率；這是由於已經指出過的很簡單的理由，因為用乘方函數來代替方冪本身的地位，方程式兩項的值便會變化，至於在這樣變了值的兩項之間是否還有一個方程式，這件事就本身說來，卻仍然是未知的 ＝P這個方程式不過表示P是一個比率，對 此外並沒有賦予什麼實在的意義。從這個比率＝P，還是同樣不知道它與什麼其他的比率相等；只有這個方程式，或說比例性，才對這個比率給了一種價值或意義。——如前所說，這種意義，即被稱為應用的那種東西，是從別處，即從經驗得來的，所以對於這裡所談的由求微分而導出的那些方程式，必須從別處知道它們是否有相等的方根，以便知道所得到方程式是否還正確。但是教科書中並沒有明白注意到這種情況；當然這種情況是被消除了的，因為一個帶有未知方根的方程式被歸結為零，使其直接＝y，於是求微分時，結果當然就只有 這一比率了。函數計算固然應該是和乘方函數打交道，微分計算固然應該是和微分打交道，但是絕不能由此得出結論，說取了微分或乘方函數的大小，它們本身也應該只是其他大小的函數。在理論的部分，只指示要導出微分或說乘方函數，還並沒有想到那些被教導要按這樣導出而處理的大小，本身也應該是其他大小的函數。 關於在求微分時省略常數，也還可以注意，取微分在這裡意謂著常數在方根相等時，對於方根的規定是不相干的，因為那種規定由於方程式第二項的係數便已經窮盡了。和前引的笛卡爾的例子一樣，常數本身就是方根的平方，所以方根從常數來規定，同樣也可以從係數來規定，——因為常數也一般和係數同樣是方程式的方根的函數。在普通表述中，所謂常數只是用加號（＋）減號（－）與其餘各項聯繫，省略這個常數，只是依辦法的單純機械作行的，為了求出一個綜合表現的微分，便只對變量給予一併從原來的表現減去由此而形成的表現。常數的意義及它們本身在什麼程度上是函數，依照這種規定，它們是有用有用：這些都沒有談到。 與常數的省略聯繫起來，關於求微分和求積分這兩個以作類似於以前對有限和無限的名詞所作的說法，即它們所包含的東西，倒是名詞所說的反面。求微分是指建立差通過求微分，一個方程式反而降到較低的因次， (65) 而省略是去掉了規定性的一個環節；如前所說，假定變量的方根麼，方根間的差分也就取消了。反之，求積分時，卻應該再數；方程式固然因此而得到積分，但是這意謂著恢復了以前的方根的差分，而被假定相等的東西將再取微分。——普詞也增添了對事物本質的含混朦朧，一切都是用次要的、甚題風馬牛不相及的觀點來提出的，這種觀點一部分是無限分、增量以及諸如此類，另一部分是一般已知的和導出的函的單純差分，而並沒有標明其特殊的，即質的區別。 另一個使用微分計算的主要部門，是力學；關於它的對運動——的基本方程式所發生的不同的方冪函數，其意義帶提到過；在這裡，我願意直接從這些意義談起。簡單勻速表示，即c＝ 或s＝ct方程式，其中所經過的空間依一個單位c，即速度的大小，與所經歷的時間成正比例，這個方用而進個增長，其省略，或是沒名詞，可的規定分；但是常數，又相等，那加上常取消過通的名至與主小的差數之間象——已經附的數學經驗的程式對於求微分，並沒有提供什麼意義；係數c是完全規定了的，已知的，不能再有更多的方冪展開。——如何解析落體運動方程式s＝at2 ，在這以前也已經提到過；—— ＝2at解析的首項、假如翻譯為語言並連帶地移植為存在物，那就是：一個總和（這個概念，我們久已去掉了）的項應該是運動的一部分，並且這一部分應該這樣地加到慣性力（即簡單勻速運動）里去，那就是：運動在無限小的時間部分中是勻速的，但在有限的、即事實上存在著的時間部分中，是不勻速的。當然，fs＝2at，並且a和t的本身意義，都是已知的，這樣也就一同建立了運動勻速的規定；既然a＝ ，於是2at＝ 就是普遍的；但是人們絲毫不因此而多知道什麼。只是錯誤的假定，即2at是作為一個總和的運動的一部分，給予了一個像是物理命題的錯誤假象而已。a這個因數本身，是一個經驗的單位，是一個定量本身，它需要歸到重力上去；假如要用重力這一範疇，那倒不如說s＝at2 這一整體是結果，或更確切地說，是重力的法則。——從 ＝2at導出的命題也是一樣，這命題說：假如重力停止發生影響，那麼，物體便將以墜落終止時所達到的速度，在相等於墜落所費的時間內，通過它所曾經過的空間的兩倍。——這裡包含著一個本身很歪曲的形上學；墜落的終止，或說物體墜落所終止的時間部分，它本身總之還是一個時間部分；假如它不是時間部分，那就是假定了靜止，從而也就沒有速度；速度的提出，只能按照在一定時間內，而不是在時間的終止部分所經過的時間。假如現在畢竟要把微分計算應用於完全沒有運動的物理部門，例如光的情況（除了它在空間中的所謂傳播之外）和顏色的量的規定，而將這裡一個平方函數的第一導數也叫做速度，那麼，這就必須認為是冒充存在物更要不得的形式主義。 拉格朗日說，我們在物體墜落的經驗中找到s＝at2 方程式所表示的運動。在這個運動之後，最簡單的運動將是其方程式為s＝ct3 的運動，但是自然界並沒有表現過這類的運動；我們還不知道c這個係數能意謂什麼。對係數c說，雖然是如此；反之，卻有一個運動，其方程式是s3 ＝at2 ，這就是太陽系天體運動的克卜勒規律；——這裡第一個導出的函數 等等應該意謂著什麼，以後用直接求微分來處理這個方程式，從這個出發點來闡釋那種絕對運動的規律和規定：這些就恰恰相反，一定顯得是很有興趣的課題，解析在這種課題中會露出最可貴的光彩。 所以微分計算對運動基本方程式的應用，就本身說，並沒有提供什麼實在的興趣；至於形式的興趣，那卻是從計算的一般機械作用來的。但是就運動軌道的規定的關係來解析運動，這卻包含另一種意義；假如這是一條曲線，並且它的方程式也包含了較高的方冪，那麼，這就需要從作為乘方函數的直線函數到方冪本身的過渡；由於獲得那些直線函數，須從原來包含時間因數的運動方程式去掉時間，所以這個因數也須同時降到較低的展開函數，從這些展開函數，可以得到直線規定的方程式。這個方面引起對微分計算另一部分的興趣。 以上所說的目的，在於強調並明確微分計算簡單的特殊規定，用一些粗淺的例子來說明這種規定。這種規定之所以產生，在於：從一個方冪函數的方程式，求出展開項的係數，所謂第一導數；這個函數是一個比率，它在具體對象的諸環節中得到證明；如此由這個函數得來的方程式，便在那兩個比率之間規定了這些環節本身。同樣也需要簡短考察一下積分計算原理以及這原理應用於積分計算特殊具體規定所發生的東西。這種計算的觀點之所以已經簡化並得到更正確的規定，因為它已不再被認為像與求微分對立時被稱為累加法（Summations Methode）那樣，在那時，增長還被當作是重要的成分，從而計算還好像與系列的形式有本質的聯繫。——這種計算的任務，起初也和微分計算的任務一樣，是理論的，或者不如說是形式的；但是大家也都知道，它正是微分計算的反面；——這裡是從一個函數出發，這個函數被認為是導數，並且是從一個還未知的方程式的展開而產生的次一項的係數，從這個導數應該找出原來的方冪函數；在展開的自然序列中必須被看作是原來的函數的，這裡卻是導出來的；而以前被認為是導出的函數的，這裡卻是已給予的，或一般開始的函數。但是這種運算的形式部分，似乎已經由微分計算實現了，因為一般由原來的函數到展開的函數的過渡及其間的比率，在那裡已經確定了。假如一方面為了應用我們必須從那裡出發的函數，另一方面又為了實現從這個函數到原來函數的過渡，在許多情況下，都必須採用系列形式作避難所，那麼，首先便必須堅持這種形式本身與求積分的特殊原則並不直接相干。 但是這種計算的另一部分任務，就形式運算的關係看來，現在就是這種運算的應用。現在這種應用本身就是任務，即是要認識上面所指出的意義，一個特殊對象的已知的、被認為第一導數的原來函數所具有的意義。這種理論本來似乎也可以在微分計算中完全了結的；但是出現了另外一種情況，使得事情不這樣簡單。因為在這種計算中，發生了這樣的事，即是由一個曲線方程式的第一導數得到一個是直線的比率，所以從而就知道求這個比率的積分，也便有了在縱橫坐標的比率中的曲線方程式；或者說，假如有了一個關於曲線平面的方程式，那麼，微分計算便應該已經告訴人們關於這樣方程式的第一導數的意義，即這種函數表示縱坐標為橫坐標的函數，於是也就表示了曲線方程式。 但是現在問題所在是：對象的規定環節哪一個本身在方程式中是已知的，因為解析處理只能以已知的作出發點，並從那裡過渡到對象其餘的規定。例如已知的，既不是曲線的一個平面空間的方程式，也不是由曲線旋轉而發生的某種立體，也不是曲線的一段弧，而只是在曲線本身的方程式中的縱橫坐標的比率。因此，從那些規定到這個方程式本身的過渡，是不能夠在微分計算中已經得到處理的；求出這些比率是要留給積分計算來做的。 但是從前又曾經指出過的，有較多變量的方程式，求它的微分，所給予的展開方冪或微分係數，不是作為一個方程式，而是作為一個比率；於是任務就是要為這個是導出函數的比率，在對象的環節中，指出與它相等的第二個比率。另一方面，積分計算的對象，是原來的函數對導出的（這裡應該是已知的）函數的比率本身，並且任務是在已知的第一導數的對象中，指出那種需要去求得的原來函數的意義；或者不如說，由於這種意義（例如一條曲線的平面，或要使其變直的、被想像為直線的曲線等），已經被宣布為問題，任務就是要指出這樣的規定將由原來的函數找到，並且指出什麼是對象環節，什麼就在這裡必須被當作是（導出）函數的開始函數。 把差分觀念當作無限小的觀念來使用的那種普通方法，現在卻把事情弄得很容易；對於求曲線的平方，它就把一個無限小的長方形，即縱坐標和橫坐標的原素（即無限小）的乘積當作不等邊的四邊形，這個不等邊的四邊形以對著橫坐標無限小部分的那個無限小的弧為它的一邊；於是乘積便在以下的意義有了積分，即積分給予了無限多的不等邊四邊形的總和，即平面，而這個平面所需要的規定，就是它的那種原素的有限的大小。同樣，這個平面，由弧的無限小以及屬於此種無限小的縱橫坐標，形成了一個直角三角形，在這個三角形中，那個弧的平方須等於其他兩個無限小的平方之和，求後兩者的積分所得的弧，是被當作一個有限的弧的。 這種辦法，以那種一般發現為前提，那種發現為解析的這一部門奠定了基礎，它在這裡的方式，就是：成了平方的曲線，變直了的弧等等，對曲線方程式所給予的某一函數，有著所謂原來函數對導出函數那樣的比率。因此現在所要知道的，是：假如一個數學對象（例如一條曲線）的某一部分被認為是導出的函數，那麼，它的哪一另外的部分是由相應的原來函數來表示呢？人們知道，假如由曲線方程式給予的縱坐標函數被認為是導出的函數，那麼，相對的原來函數就是這個縱坐標所切的曲線面積大小的表現；假如某一切線規定被認為是導出的函數，那麼，它的原來函數就表現為屬於這個切線規定的弧之大小等等；現在這些比率構成一個比例，它們一個是原來函數對導出函數的比率，另一個是數學對象兩個部分或兩種情況的大小比率；但是使用無限小並以它作機械運算的那種方法，卻省掉了對這一點的認識和證明。它特殊的聰明功績，是從別處已經知道了的結果里，找出一個數學對象的某些和哪些方面，與原來函數和導出函數有比率。 在這兩個函數中，導出的函數（或說它既是已被規定的，那就是乘方的函數），它在這裡的計算中，相對於原來函數而言，是已知的，而原來函數卻應該通過求積分，從那個導出的函數找出來。但是這個導出的函數既不直接是已知的，而數學對象的哪一部分或規定，應該被看作是導出的函數，以便把它還原為原來的導數，求出對象的另一部分或規定（它的大小就是問題所要求的），這個部分或大小，本身也不是已知的。普通的方法，如已經說過的，是立刻以導出函數的形式，把對象的某些部分想像為無限小；這些部分，一般可以從對象原來已經給予的方程式，通過求微分而規定（——正如無限小的縱橫坐標是為了使一條曲線變直）。這種方法為此便採用這樣的部分，它們可以與同樣被設想為無限小的問題對象（這在前一例中，就是弧）有聯繫，這種聯繫是初步數學中已經確定的；因此，假如這些部分是已知的，那麼，問題所要求得的那一部分的大小，也就被規定了；所以為了求曲線的長，上述的三種無限小便與直角三角形的方程式聯繫起來；為了求曲線的平方，縱坐標和無限小的橫坐標便聯繫在一個乘積之中，因為平面在算術上，一般被認為是直線的乘積。於是從平面、弧等等這樣的所謂原素到平面、弧等等的大小之過渡，其本身只被當作是從無限多的原素的無限表達過渡到有限表現，或說是它們的總和；所求的大小，應該是由這些無限多的原素構成的。 因此，說積分計算單純是微分計算倒轉過來的、但一般較為困難的問題，只能是膚淺的說法；積分計算的真實興趣，倒不如說是唯在於具體對象中原來函數和導出函數的相互比率。 拉格朗日既不用那些直接假定的便易方式來免除任何問題的困難，也不同意在這一計算部門那樣做。用少許幾個例子，來指出他的辦法的細節，這同樣有助於說明事物的本性。他的辦法正是以這一點為自己的任務，即，要本身證明在一個數學整體（例如一條曲線）的特殊規定之間，有著原來函數與導出函數的比率。但是，由於這種比率的本性，這一點在這個範圍內，是不能用直接的方式來完成的；因為在數學對象中，這個比率把曲線和直線，把直線的因次及其函數和平面的因次及其函數等不同質的東西聯繫起來了；所以其規定只可以看作是一較大和一較小的東西之間的中項。這裡當然又出現了帶著加減號（plus und minus）的增長形式，而那個活潑有力的「展開」（Développons）也就在它的位置上了；但是正如以前所說，這裡的增長只有算術的、有限的意義。需要規定的大小，它比一個易於規定的極限大些，比另一極限又小些，假如展開這種條件，便將引導出這樣的事：例如縱坐標的函數，對面積的函數而言，就是導出的第一函數。 拉格朗日對求曲線的長的說明，由於他從亞基米德原理出發，其饒有興趣之處在於理解亞基米德方法之翻譯為近代解析原理，這使我們對於用另一種方法去機械地搞的事業，可以洞見其內在的、真正的意義。這種辦法的方式與方才所舉的辦法 (66) ，必然類似；亞基米德原理並沒有給予直接的方程式，這個原理是說一條曲線的弧比包的弦較大，比在弧的終點及其交點間所做的兩條切線之和較小。那種亞基米德的基本規定翻譯成近代解析形式，就是發明一種表現法，其本身是一個簡單的基本方程式，而那種亞基米德的形式卻只是提出要求，要在每時每刻本身都是規定了的一個太大者和一個太小者之間無限進展，這種進展永遠總是又有一個新的太大者和一個新的太小者，但它們的界限總是愈來愈緊密地接近。藉助於無限小的形式主義，立刻便立下了dz2 ＝dx2 ＋dy2 這一方程式。拉格朗日的解說，由上述基礎出發，卻相反地指出弧的大小，對一個導出的函數說來，是原來的函數，其特殊之項，本身就是一個函數，這個函數是由一個導出函數與縱坐標的原來函數的比率構成的。 因為在亞基米德的辦法中，也像以後在克卜勒立體幾何學對象的討論中那樣，都出現了無限小的觀念，所以這一點常常被當作權威來引用，在微分計算中便使用了這個觀念，而不去強調特殊的和有區別的東西。無限小首先意謂著這樣的定量的否定，即所謂有限表現或完成了的規定性之否定，這樣的規定性即是定量本身。同樣，在後繼的伐勒里烏斯 (67) 、卡伐列里 (68) 等人的著名方法中，都是以對幾何對象的比率之考察為基礎，各種規定也首先是只從比率方面來考慮，因此之故，那些規定的定量本身這一基本規定被放在一邊，從而那些規定就認為應該是非大小的東西。但是一方面在這裡並沒有認識和注意到潛藏在單純否定規定後面的一般肯定的東西，這在前面曾抽象地表明為質的量規定性，而這種規定性在方冪比率中便更加確定；——另一方面，因為這種比率自身又包括一定數量的更確定的比率如方冪的比率及方冪的展開函數等，所以它們又應該以那個無限小的一般的和否定的規定為基礎，從那裡引導出來。在方才舉出的拉格朗日的解說中，找到了包含在亞基米德闡明問題的方式中的那種確定的肯定方面，因此對於那種受無界限的超越之累的辦法，也就給了一個正確的界限。近代發明的本身偉大處，和它解決以前無法駕馭的問題，以及用簡單方式處理以前可解決的問題的能力，這些都完全是由於發現了原來的和所謂導出的事物間的比率，以及發現一個數學整體中具有這種比率的那些部分。 大小比率的特殊方面，是現在所談論的特種計算的對象，對於需要強調這一點的目的，以上引證大概可以滿足了。這些引證曾經能夠限於簡單的問題及其解決方式；要著手檢查微積分計算所謂應用的全部範圍，並且以所發現的原理為應用的基礎，將一切應用的問題及其解決都還原到原理那裡來完成歸納：這對於此處唯一有關的概念規定既不適宜，也非著者能力所及。但是以上的論述，也足夠指出每一特殊的計算方式，都以大小的一種特殊的規定性或比率為對象，而這樣的比率便構成了加、乘、乘方、開方根、計算對數、系列等等，和這一樣，微積分計算也是如此；就屬於這種計算的東西而言，方冪函數及其展開或乘方的函數的比率這個名詞，或許是最合適的，因為這個名詞對事物的本性含有最確切的見解。不過，既然依據其他大小比率的運算如加法等，一般都在這種計算中使用，於是對數、圓、系列等比率也同樣應用了，這特別是為了使那些從展開函數導出原來函數所必需的運算有更加可以駕馭的表達。微積分計算固然共同具有較確切的興趣，要用系列形式來規定展開的函數，這些函數在系列中叫做各項的係數；但是因為這種計算的興趣僅僅涉及原來函數和它的展開的最近的係數，於是系列便想要依照具有那些係數的方冪而排列的眾多的項，表現為一個總和。在無限系列中出現的無限物，就是一般定量的否定物的不確定的表現，它與包含在這種計算的無限物中的肯定規定，毫無共同之處。同樣，無限小作為增長，展開藉助於它才變為系列的形式，它對於展開，只是一種外在的手段；而它的所謂無限性，除了作為那種手段的意義而外，並沒有任何其他的意義；因為所要求的東西，事實上並不是系列，所以系列引出的東西太多，要費多餘的努力再把它去掉。拉格朗日雖然由於他的方法，在所謂應用中突出了真正的特殊性，因為它無須將dx，dy等強加於對象，直接指出了屬於對象的導出（展開的）函數規定的那一部分，從而表現出系列形式與此處所討論的問題無關；但他卻又喜歡採用系列的形式，所以他的方法也就同樣遭到上述的麻煩。 (69) 注釋三　其他與質的大小規定性有關的形式 微分計算的無限小，就它的肯定意義說，就是質的大小規定性，對於這種規定性，我們曾較詳細地指出它在這種計算中，不僅出現為一般的方冪規定性，而且是一方冪函數與展開方冪的比率那種特殊的方冪規定性。但是這種質的規定性所呈現的形式，還更為廣泛，也可以說更為微弱；這種形式以及與此有關的無限小的使用和無限小在這種使用中的意義，還應該在這個注釋中加以考察。 因為我們從以上所說的出發，在這方面便須首先記住，從解析方面看來，各種方冪規定之所以出現為僅僅是形式的，並且完全是同質的，那是因為它們意謂著數的大小，本身沒有彼此間質的不同。但是解析的比率應用於空間對象時，就完全顯出了它的質的規定性，那就是從線到面、從直線到曲線等等規定的過渡。這種應用自身又帶來這樣的事情，即：空間的對象，就其本性說，是以連續大小的形式給予的，現在卻要用分立的方式來把握它。所以面就是一定數量的線，線就是一定數量的點等等。這種解決唯一有興趣之點，在於它本身規定了線分解為點，面分解為線等等，以便從這種規定出發，能夠以解析的方式進展，真正說來，即是以算術的方式進展；對於需要找出來的大小規定而言，這些出發點就是原素；具體物（即連續大小）的函數和方程式應當從那些原素導引出來。對使用這種辦法顯得極有興趣的問題，要求在這些原素中有一個自為地規定的東西作出發點；這與那種間接過程相反，因為那種過程只能相反地以極限開始；那個自為地規定的東西就處在極限之間，是那種過程所趨向的目標。縱使可以找到的，只是繼續向前規定的規律，而不能夠達到所要求的完全的規定、即所謂有限的規定，然而兩種方法所得的結果是一樣的。第一個想到那種倒轉過來的過程，而將分立的東西作為出發點，這項榮譽應歸於克卜勒。當他說明他對亞基米德測量圓的第一定理如何了解時，他以很簡單的方式表達了這一點。亞基米德的這第一定理是大家都知道的，那就是：假如一個直角三角形的勾等於一個圓的半經，股等於圓的圓周，那麼這個圓便等於這個直角三角形。因為克卜勒把這一定理的意義當作是圓周所有的部分和它所有的點同樣多，即無限多，而每一部分都可以看作是一個等腰三角形的底線等等，所以他就把連續物的分解表現為分立物的形式。這裡出現的無限這一名詞，與它在微分計算中應該有的規定，還離得很遠。——假如現在為這些分立物已經找到了一種規定性或函數，那麼，以後還又應該把它們總括起來，本質上作為連續物的原素。但是既然點的總和不能給予線，線的總和不能給予面，那麼，這就是點立刻已經被認為有線的性質，線也有面的性質了。但是那些有線的性質的東西還不就是線（假如它們被當作定量，那就會是線了），所以它們被想像為無限小。分立物只能夠是一個外在的總括，在總括中的環節，保持著分立的一的意味；從這些一所出現的解析的過渡，只是到它們的總和，同時，這種過渡並不是由點到線或由線到面等幾何的過渡；所以對於那些以點或線為其規定的原素，同時也就給予了（對以點為規定的原素）以線或（對以線為規定的原素）以面的性質，從而像是由細小的線的總和便成了一條線，由細小的面的總和便成了一個面。 需要取得質的過渡這一環節並為此而以無限小作避難所，這一點必須看作是一切想要消除上述困難而本身卻成了最大困難的觀念的來源。要避免這種救急的應付，那就必須能夠指出似乎是單純加法的解析法，事實上本身已經含有乘法。但是在這方面，又出現了一個新的假定，它構成把算術比率應用於幾何形狀的基礎；那就是算術的乘法對於幾何規定，也是一種到較高因次的過渡，——一些大小，按照其空間的規定而言，是線；它們的算術的乘法，同時就是線成了面的規定那樣一個乘積；3乘4（直線的）尺，是12（直線的）尺，但3（直線的）尺乘4（直線的）尺卻是12（平面的）尺，而且當然是平方尺，因為兩者既是作為分立的大小，其單位是同一的。直線與直線相乘，起初顯得似乎有些荒謬，因為乘法只涉及數，是數的變化，這些數與其由過渡而成的東西，或說乘積，是完全同質的，不過大小變化了而已。另一方面，所謂線本身與線之相乘——這被稱為積諸線為線（ductus lineae in lineam），就像積諸面為面（plani in planum）那樣，積諸點為線（ductus puncti in lineam）也是如此——這不單純是大小的變化，而是線作為空間的性質的規定性、作為一維（Dimension）的變化；必須把線過渡為面理解作線超出自身之外，正如點超出自身之外為線，面超出自身之外為立體那樣。說點的運動就是線等等，其所想像的，與上面所說，是同一的東西；但是運動包括時間規定，並且在那種觀念中，更像僅僅是情況的偶然的、或外在的變化；而需要採取的，卻是表現為自身超出的概念規定性，——即是質的變化，並且在算術方面，它就是（如點等等）單位與（線等等）數目的相乘。這裡還可以注意到在面超出自身時，便會出現面與面相乘，而發生算術乘積與幾何乘積有區別的假象，因為面的超出自身，作為積諸面為一面（ductus plani in planum），在算術方面，會得出兩個二維規定的相乘，從而會得出一個有四維的乘積，但這乘積卻由幾何的規定而降低到三維。假如說在一方面，數因為以一為根本，所以對外在的量的事物給予了固定的規定，——那麼，它的相乘也同樣是很形式的；把3·3當作數的規定，其自乘便是3·3×3·3；但是同一的大小，作為面的規定，其自乘卻在3·3·3那裡便被遏止住了，因為空間雖然被想像為從點，這個僅僅是抽象界限出發前進，但它卻以第三維為它的真實界限，即從線出發的具體規定性。上述區別，對於自由運動，可以證明是很有效果的；在自由運動中，其空間的一方面是受幾何規定（s3 ﹕t2 的克卜勒定律）支配的，其時間的另一方面，是受算術規定支配的。 這裡所考察的質的方面，如何與前一注釋中的對象不同，可以無須更加解說便自然明了。在前一注釋中，質的方面包含在方冪規定性之內；在這裡，它卻像無限小那樣，僅僅在算術方面對乘積而言是因數，或者對線而言是點，對面而言是線等等。那個必須從分立物（連續大小被想像分解為這種分立物）到連續物的質的過渡，現在將作為加法來完成。 但是這個似乎單純的加法，事實上自身卻包含著乘法，即包含從線的規定到面的規定之過渡，例如一個等邊四邊形的面積等於兩條相互平行線之和與其高之半的乘積，就最簡單地表現了這一點。這個高被想像為一些應該加在一起的一定數量的分立的大小的數目。這些大小是線，它們是在那兩條作為界限的平行線之間並與其平行；它們的數量是無限多的，因為它們應該構成面，但又是線，為了成為有面的性質的東西，便必須隨著否定而建立。為了避免從線的總和須得出面這樣的困難，便立刻把線當作面，但同時卻當作是無限細窄的面，因為它們只是以不等邊四邊形平行界限的帶有線的性質的東西為其規定。它們是平行的，並且以不等邊四邊形另外兩條直線的邊為界限，於是它們就可以被想像為是一個算術級數的諸項；各項的差分，一般是相同的，但並不需要規定，而級數的首項和末項就是不等邊四邊形的那兩條平行線；這個級數的總和，就是大家知道的那兩條平行線與全項數目之半的乘積。後一定量只是完全對無限多的線這一觀念而言，才被叫做數目；它是一個連續物，即高的一般大小規定性。很明顯，所謂總和，同時就是積諸線為一線（ductus lineae in lineam），即線與線相乘，按照上面的規定，就是帶有面的性質之物的發生。在長方形這種最簡單的情況下，a，b兩因數中每一個都是一個單純的大小；但是以後即使在不等邊四邊形這樣最初步的例子中，便已經只有一個因數是其高之半這樣單純的東西，而另一個因數，則相反地是由一個級數來規定的；後一因數也同樣有線的性質，但是它的大小規定性較為複雜；因為這種規定性只能由一個系列來表示，這就是說要解析地、即算術地把這個系列總加起來；其中幾何的因素是乘法，是從線維到面的過渡的質；前一因數只是為了後一因數的算術規定才被認為是分立的，就本身而言，它也和後一因數一樣，是一個有線的性質的東西的大小。 把面想像為線之總和這樣的辦法，當乘法本身與結果的目的無關時，也常常被使用。假如所從事的，是要指出在一方程式內的大小不是定量，而是一個比例，上面所說的情況便出現了。這是人所共知的證明方式，例如一個圓的面積與一個以此圓的直徑為大軸的橢圓面積之比，正如大軸與小軸之比，因為這兩種面積，每一個都被認為是與它有關的縱坐標的總和；橢圓的每一縱坐標與圓的相應的縱坐標之比，也正如小軸與大軸之比：所以得出結論說，縱坐標的總和（即面積）的比例也是一樣的。那些想要避免面為線之總和這一觀念的人，使這些縱坐標成為寬度無限小的不等邊四邊形，這種救急的應付是很普通而完全多餘的；因為方程式只是一個比例，所以平面的兩個線的原素，只有一個得到比較。另一原素、即橫坐標軸，在橢圓和圓里被認為是相等的，是算術的大小規定的因數，即是等於1，因此，這個比例完全只依靠一個進行規定的因素的比率。對於面的觀念必須要有兩維；但是在這個比例中所應指出的大小規定，卻僅僅只涉及一個因素。對這一因素加上總和的觀念，使其順從或幫助這觀念，真正說來，這是誤解了此處問題所在的數學規定性。 這裡所討論的，也包含了前面提到過卡伐列里不可分方法的理由根據，所以它也同樣得到論證，無須逃難到無限小那裡。當他考慮到面時，不可分的東西就是線，當他考慮到梭錐體或圓錐體時，不可分的東西就是平方或圓面等等；他稱那些被認為已確定的底線或底面為準尺（Regel）；這是一個常數，對一個系列的關係說，那就是系列的首項和末項；有了常數，那些不可分的東西就將被認為是平行的，即從形狀看來，它們是有同一規定的。現在，卡伐列里的一般原理是（《幾何習題》第六卷；後來的著作《習題》第一卷，第6頁）：「一切形狀，無論平面的或立體的，都與它們的一切不可分的東西成比例，並集體地（collective）加以比較，假如在這些不可分的東西中有一共同的比率，就分配地（distributive）加以比較。」為此目的，他以有同底同高的形狀，來比較那些與底線平行並與底線有同等距離這樣作出的諸線的比率；一個形狀的一切這樣的線，都有一個同一的規定，並構成形狀的全部內容。例如他以這樣的方式，也證明了諸同高的平行四邊形與其底線成比例這一基本的命題；在兩個形狀中所作出的每兩條與底線有同等距離並與底線平行的線，是有兩底線的同一比率的，所以那兩個形狀全部也如此。事實上，這些線不是構成作為連續的形狀的內容，而是構成在算術上應該被規定了的內容；有線的性質的東西是這種內容的原素，必須通過這種原素，內容的規定性才可以掌握。 這裡我們便被引導去思索一種區別，這種區別之發生，是關於一個形狀的規定性究竟在哪裡，即：規定性的情況或者是像這裡的形狀之高那樣，或者是外在的界限。假如它是外在的界限，那麼，就須承認形狀的連續性，可以說是隨著界限之相等或比率而來的；例如相互重合的形狀之相等，是依靠作界限的諸線相互重合。但是在同高同底的平行四邊形那裡，只有底這一規定性才是外在的界限；至於引出對外在界限作規定的第二原則的卻是高，而不是一般的平行性，形狀的第二主要規定，即它的比率，就依靠高。歐幾里得關於平行四邊形有同高同底者相等之證明，便是把它們還原為三角形，即外在被界限的連續物；在卡伐列里的證明中，首先是關於平行四邊形的比例性之證明中，界限一般地是大小規定性本身，它被解說為可以應用到每兩條以相等距離在兩個形狀中作出的線。這些與底線相等或有相等的比率之線，集體地看來，便給予了有相等比率的形狀。線的堆集觀念與形狀的連續性相牴觸；但是僅僅對線的考察，已經完全窮盡了問題所在的規定性。不可分這種觀念是否會引到需要依照數目來比較無限的線或無限的平面，對於這種困難，卡伐列里也常常給了答案（《幾何學》第二卷，第一命題，注釋）；他作了正確的區別，他不比較我們所不知道的無限的線或平面的數目（如已經提到過的，那不如說是被當作輔助手段的空洞觀念），而是只比較大小，即等於那些線所包括的空間那種量的規定性本身；因為這空間被封閉在界限里，所以它的大小也就封閉在同一界限之內；他說，連續物不是別的，正是不可分之物本身；假如連續物在不可分之物以外，那麼，它就是不可比較的了；但是要說有了界限的連續物不能相互比較，那是不合情理的。 可見卡伐列里想把屬於連續物外在存在的東西，與其中含有連續物的規定性並單單為了比較和為了關於連續物的定理的緣故而必須強調的東西區別開。他為此而使用的範疇，如連續物由不可分之物綜合而成或由其構成之類，當然是不夠滿意的，因為這同時需要連續物的直觀，或如上面所說，需要連續物的外在存在；假如不說「連續物不是別的，正是不可分之物本身」，而說：連續物的大小規定性不是別的，正是不可分之物本身的大小規定性，那倒會是更正確，從而也會立刻更明白些。有些學派從不可分之物構成連續物這一觀念，得出有更大和更小的無限物這樣壞的結論，卡伐列里卻並不這樣做，他在以後還表現更明確地意識到（《幾何學》第七卷前言）他並不由於他的證明方式而被迫要有連續物由不可分之物綜合而成這樣的觀念；連續物只是隨不可分之物的比例而來的。他之採用不可分之物的堆集，並不是說它們似乎為了無限數量的線或平面的緣故而陷入無限規定之中，而是由於它們自身有了劃出界限的明確狀態和本性。但是為了搬走這塊絆腳石，他到底不辭辛苦，還在專門為此而增加的第七卷中，用不雜有無限性的方式，來證明他的幾何的主要命題。這種方式把證明歸結到以前引過的普通的形狀重合形式，即以前說過的作為外在空間界限這種規定性的觀念。 關於這種重合形式，首先還要加上一個評語，即它對於感性的直觀，簡直可以說是一種很幼稚的幫助。在關於三角形的基本命題中，設想有兩個三角形並列著，它們每一個都有六個部分，假定一三角形有三部分與另一三角形相應的三部分相等，那麼，就將證明這兩個三角形是彼此相合的（kongruent），即這一三角形的其餘三部分也與另一三角形的那三部分的大小相等，——因為它們借前三部分相等便彼此重合。假如更抽象地來把握事物，那麼，正是因為在兩形中每一對彼此相應部分之相等，現存的才只有一個三角形 (70) ；在這個三角形中，有三部分是被假定為已經規定的，於是其餘三部分的規定性也隨之而來。規定性以這種方式將被證明在這三部分中已經完全了，所以對規定性本身說來，其餘三部分是多餘的，是感性存在，即連續性的直觀的多餘。用這種形式來說，質的規定性便與直觀中所呈現的東西，即與作為一個自身連續的整體，有了區別；而重合則使人意識不到這種區別。 隨平行線而來和在平行四邊形那裡，如以前說過的，卻出現了一種新的情況，一部分是僅僅角的相等，一部分是形狀的高，而形狀的界限，即平行四邊形的邊，卻與高不同。這裡突出了含糊不清之點，就是在這些形狀中，除了作為外在界限的底邊這一個邊的規定性而外，必須在什麼程度上來把另外的外在界限，即平行四邊形的另一個邊或高，當作另外的規定性呢。在兩個有同底同高的形狀里，一個是直角的，一個卻有很銳的角，因而其相對的角是很鈍的角；對直觀說來，後者可以很容易顯得比前者更大些，因為直觀將後一形狀現有的大邊當作是規定性的，並依照卡伐列里的想法，將兩個面積按可以通過它們的平行線的數量加以比較；較大的邊可以看作是比長方形垂直的邊可能有較多的線。可是這樣的設想並不曾有助於對卡伐列里的方法提供非難，因為在這兩個平行四邊形中為了比較而設想的平行線的數量，同時就已經假定了它們彼此距離相等或與底線距離相等，從而得出結論說：規定性的另一因素，是平行四邊形的高，不是它的另一邊。假如兩個平行四邊形有同高同底，但不在一個平面上而與一第三平面造成不同的角時，若加以比較，上面的情況就改變了；假如人們想像第三平面通過那兩個平面並與自身平行而向前運動時，那麼，由此而產生的平行截面，其相互的距離便不再是相等的，而那兩個平面也就不相等了。卡伐列里仔細注意過這種區別，他將它規定為不可分之物的垂直移動（transitus rectus）與偏斜移動（transitus obliquus）的區別（見《習題》In.XII以下，並且在《幾何學》第一、二卷中也已經有了），於是便截斷了可能在這方面發生的膚淺的誤解。巴羅在前面引過的他的著作中（《幾何學講義》第二卷第21頁），也同樣用過不可分的方法，可是他已經把這方法和一個假定糾纏不清；這個假定就是：一個曲線三角形（如所謂特殊的三角形）與一直線三角形，假如兩者是無限的，即很小的，便可以相等。這個假定由他傳到他的學生牛頓和別的同代數學家，其中也有萊布尼茲。我記得他在前書中引證了達蓋 (71) 對此的責難，達蓋也是當時從事研究新方法的聰明幾何學家。達蓋所提出的困難也同樣是關於在計算圓錐體和圓球體的面積時，對於以應用分立物為根據的考察，應該把什麼線當作是規定的基本因素。達蓋斥責不可分的方法說，假如需要計算一個圓錐體的面積，那麼，按照那種原子主義的方法 (72) ，就將想像圓錐體三角形是由與底線平行、與軸垂直的直線綜合而成的，這些直線同時又是圓的半徑，圓錐體的面積就是由這些半徑構成的。現在假如這個面積被規定為各圓周之總和，而這總和又是由各圓周的半徑的數目，即由軸的大小，或說由圓錐體之高所規定的；那麼，這個結果卻與亞基米德以前所教導的、所證明的真理相矛盾。於是巴羅與此相反，指出為了規定面積所必須採用的那條線，不是軸而是圓錐體三角形的邊，它的旋轉產生了面積，因此必須用這個邊，而不是軸，作為對圓周數量的大小規定性。 這類的責難和猶疑不定，其根源唯在所使用的觀念不明確，以為線由無限數量的點構成，面由無限數量的線構成等等：這種觀念使線或面的本質的大小規定性暗昧不明。——這些注釋的用意就在於要指明那些肯定的規定，由於無限小在數學中的各種使用，可以說是被留在後台了；它們被包裹在單純的否定範疇之中，必須把它們從那層雲霧裡抉發出來。在無限的系列那裡，和在亞基米德的圓測量法那裡一樣，無限物只是意味著進一步規定的法則是已知的，不過所謂有限的、即算術的表現不曾給予而已，所以把曲線歸結為直線是辦不到的；這種不可通約性是它們的質的不同。分立物與連續物，其質的不同，一般也同樣含有否定的規定，使其像是不可通約的，並且以如下的意義引來了無限物，即連續物（被當作是分立的），就它的連續的規定性而論，不應該再有定量。連續物，在算術方面被當作是乘積，因此自身被當作是分立的，即分解為原素，這些原素就是連續物的因數；連續物的大小規定性就在這些原素之中；正因為它們是原素或因數，它們才屬於一較低的維；並且，它們是一個大小的原素或因數，只要有了方冪規定，它們就是屬於比這個大小較低的方冪。就算術而論，這種區別似乎是單純的量的區別，像方根與方冪或任何方冪規定性的區別那樣；可是當這種表現的式子僅僅涉及量的事物本身時，例如a﹕a2 ，或d.a2 ＝2a﹕a2 ＝2﹕a或t﹕at2 的引力律，那麼，它就給予了什麼也沒有說的1﹕a，2﹕a，1﹕at等比率；這些比率的各項，對它們的單純的量的規定來說，必須用不同的質的意義使它們相互分開，譬如s﹕at2 ，作為一種質的大小，因此而被表現為另一種質的大小的函數。於是呈現於意識的，便只是量的規定性；用這種規定性，按它的方式去運算，毫無困難；要用一條線的大小與另一條線的大小相乘，也不會有麻煩；但是這些大小相乘，立刻便產生了從線過渡為面這樣質的變化；在這種情況下，一個否定的規定出現了；這種規定引起了困難；理解了它的特點和事物的簡單本性，困難是可以解決的；但是用無限物來幫忙，想由此消除困難，卻反而只是陷於混亂，使困難完全懸而未決。 【注釋】 (1) 參看第120頁。 (2) 參看第120頁。 (3) 反思的環節，指同一與區別。——譯者注 (4) 「必須……概念上去」一句，黑格爾說得較為簡括，並非逐字徵引。參看藍譯本第36頁。——譯者注 (5) 參看藍譯本第36頁，重點是黑格爾加的。——譯者注 (6) 參看第120頁。 (7) 莫德拉圖，新畢達哥拉斯派，尼羅王時代人。——原編者注 (8) 參看第120頁。 (9) 前面的多（Vieles），是定量以前的環節，與一相對，這裡所說多數（Mehreres），是定量已經規定為數以後的環節。黑格爾在抽象概念發展中，往往用尋常的字眼而又附加一些獨特的意義，因而更增加了晦澀。——譯者注 (10) 他物，指數目。——譯者注 (11) 這些規定，指定量、數等。——譯者注 (12) 參看藍公武中譯本第277頁。——譯者注 (13) 引文中的重點，都是黑格爾加的。——譯者注 (14) 兩者，指定量及他物。——譯者注 (15) 以下一段引文，與現在流行的各版本不同，尤其後半出入很大。黑格爾引用的版本現已無從查考，引文中重點是黑格爾加的。關於這一段可參看伏爾蘭德本第186頁，商務印書館中譯本，1960年，第164頁。——譯者注 (16) 《實踐理性批判》，伏爾蘭德本第186頁，商務印書館版第164頁。這一段文字仍與現在流行版本差別很大。重點是黑格爾加的。——譯者注 (17) 《實踐理性批判》，伏爾蘭德本第186頁，商務印書館版第164—165頁，詞句仍略有出入。重點和括弧內的詞句是黑格爾加的。——譯者注 (18) 黑格爾曾多次闡述「不同」「區別」「差異」等都是關係，這裡是指康德的自然規律，即使與意志不同，也與意志沒有本質關係。——譯者注 (19) 兩者，指意志與自然。——譯者注 (20) 參看第120頁。 (21) 參看第120—121頁。 (22) 參看《純粹理性批判》，藍譯本第330頁。重點是黑格爾加的。——譯者注 (23) 參看第120—121頁。 (24) 參看第120—121頁。 (25) 《純粹理性批判》，籃譯本第330頁。重點是黑格爾加的。——譯者注 (26) 參看第120—121頁。 (27) 《純粹理性批判》，藍譯本第331頁。此處黑格爾是概括大意，並非逐句徵引原文。——譯者注 (28) 參看第120—121頁。 (29) 參看第121頁。 (30) 參看第121頁。 (31) 見《純粹理性批判》中對宇宙論第一個二律背反正題的注釋。——黑格爾原注 (32) 《純粹理性批判》，藍譯本，第332頁，中間刪略了關於世界和時空的幾句話。——譯者注 (33) 《純粹理性批判》，藍譯本，第333頁，重點是黑格爾加的。——譯者注 (34) 參看第122頁。 (35) 見斯賓諾莎《倫理學》第一部分，命題八，附釋一。賀麟譯本第7頁。——譯者注 (36) 按指《倫理學》第一部分，公則（五），賀麟譯本第4頁，以下引文，仍是《書信集》中語。——譯者注 (37) 參看第122頁。 (38) 參看《自然哲學之數學原理》，鄭太朴譯，商務印書館版，第60—61頁。——譯者注 (39) 卡伐里利（Cavalieri，1598—1647），博洛尼亞（Bologna）的數學教授，著有：《不可分的連續的新幾何學》，1635年；《幾何學習題》，1647年。——原編者注 (40) 參看第122頁。 (41) 拉薩爾·尼古拉·馬格里特·卡爾諾伯爵（Graf Lazare Nicolas Marguerite Carnot，1753—1823），共和國軍「勝利的組織者」，一直到1815年被放逐時，在政治上和軍事上都同樣是重要人物，死於馬格德堡。他的《關於微分計算的形上學的一些思考》出版於1797年。——原編者注 (42) 參看第122頁。 (43) 參看第122頁。 (44) 尤拉（Leopold Euler，1707—1783），彼得堡、柏林的教授，以後又在彼得堡。著有《無限的分析引論》，1748年；《微分計算教程》，1755年，《積分計算教程》，1768—1794年。——原編者注 (45) 參看第122頁。 (46) 拉格朗日（Jos Louis Lagrange，1736—1812），尤拉的柏林後繼者，以後又任巴黎綜合工藝學院教授。著有《解析函數論》，1797年出版。——原編者注 (47) 數學中0﹕0這個比率的值是不確定的。——譯者注 (48) 蘭登（John Landen，1719—1790），英國數學家，著有《數學夜思集》，1755年，等書。——原編者注 (49) 參看第122頁。 (50) 費爾馬（Pierrede Fermat，1601—1665），著有《數學運算的變數》，1679年。——原編者注 (51) 巴羅（Isaac Barrow，1630—1677），劍橋大學教授，著有《幾何學講義》，1669年，《光學講義》，1674年。——原編者注 (52) 意思是說：弧本是曲線，但在無限小的情況下，卻被當作了直線。——譯者注 (53) 拉格朗日在應用函數論於力學，即直線運動一章中，把這兩種觀點以簡單的方式並列起來（《解析函數論》，第三部分，第一章，第四節）。經過的空間被看作是流過的時間的函數，這就是x＝ft方程式，後者作為f（t＋θ）展開時，便有： 於是在這段時間所經過的空間，便以 的公式來表示。於是藉以通過空間的運動，可以說是由於各個部分的運動綜合而成的（這就是說因為解析的展開，給了多數的，並且誠然是無限多的項），這些運動的與時間相應的各段空間，便是 等……。當運動已知時，第一部分運動在形式上是勻速的，有一個由f′t規定的速度，第二個是勻加速的運動，它是由一個與f″t成比例的加速的力而來的。「其餘各項現在既然不與任何簡單的、已知的運動有關，所以就不需特別考慮它們；我們並且將指明對於規定運動時間的開始之點，它們是可以抽掉的。」這一點隨後便有了說明，但當然只是用一切項對於規定在一段時間經過的空間大小都屬需要的那種系列，來和第三節表示落體運動的方程x＝at＋bt2 比較，因為那裡只有這樣兩項。由於解析展開而產生了各項，這個方程便有了說明，只是由於假定了這種說明，這個方程才獲得它的形態；這個假定是勻加速運動由一個形式上勻速的，以在先前時間部分所達到的速度而繼續的運動，和一個被付與重力的增長（它在s＝at2 中就是a，即經驗的係數）綜合而成，——這一個區別在事物本性中並不存在，也無根據，而只是對著手解析處理時所得的東西，作了錯誤的物理的表現。——黑格爾原注 (54) 連續量或流量這個範疇，是由觀察外在的和經驗的大小變化而提出的，——這些大小由一個方程式而有了互為函數的關係；但是微分計算的科學對象，既然是一定的（通常用微分係數來表示的）比率，而這樣的規定性很可以稱為規律；於是對這種特殊的規定性說來，單純的連續性一方面已經是一種外來的東西，另一方面，這種連續性在一切情況下都是抽象的，而在這裡則是空洞的範疇，因為它關於連續規律，什麼也沒有說。在這裡將會完全墮入什麼樣的徒具形式的定義，這從我的可尊敬的同事狄克孫教授先生* 對微分計算演繹時使用的基本規定，聯繫到對這門科學一些新著的批評所作的敏銳的、一般的論述，便可以看出，這種論述見《科學評論年鑑》1827年，153號以下；在同上年鑑1251頁甚至引證這樣的定義：「一個經常的或連續的量，連續物（Kontinuum），是每一個被設想為在變的狀況之下的大小，以致這個變的出現不是以跳躍的方式，而是由於不斷的前進。」這到底不過是被下定義的事物的同語反覆而已。——黑格爾原注 *狄克孫（Dirksen，Enno Herren，1792—1850），柏林數學教授。著有《變數計算的解析表述》，1823年。——原編者注 (55) 諸角，指上面所說的三角形內的三個角。——譯者注 (56) 意指即使弧被當直線處理，它所構成的三角形，仍然是同一的。——譯者注 (57) 舒伯特（Schubert，Friedrich Theodor von，1758—1825），彼得堡天文台長，著有《理論天文學教科書》，1798年；《通俗天文學》三卷，1804—1810年。——原編者注 (58) 假如對於方冪的展開，拿（a＋b＋c＋d＋…）n 來代替（a＋b）n ，那也不過是解析所必須要求的普遍性那種形式主義而已。別的許多地方也是這樣做的；維持這樣的形式，可以說僅僅是為了賣弄普遍性的假象；事情其實在二項式便已經窮盡了，由二項式的展開，便找到了規律，而那個規律卻是真正的普遍性，不是規律的表面的、僅僅空洞的重複，這種重複完全是由那個a＋b＋c＋d＋…所引起的。——黑格爾原注 (59) 指算術中從一比例的三個已知數求第四未知數之法。——譯者注 (60) 羅伯伐爾，Personne，Gilles，Sieur de Roberval，1602—1675年。——原編者注 (61) 費爾馬，法國數學家，是應用微分量來找出切線的第一人。參看本書第284頁原編者注。——譯者注 (62) 較大的小，即更小；絕對較大的小，即在一定條件下，沒有比它更小的，這是指上文所說的增量。——譯者注 (63) 上面的引句原為法文。——譯者注 (64) 平方的方程式，即二次方程式。黑格爾這裡要強調這種方程式的幾何性質，故用此不習見的名詞。——譯者注 (65) 微分方程式的項，皆比1小，故數的大小與其因次高低成反比例。——譯者注 (66) 即規定所要求的大小，是在一較大者和一較小者之中。——譯者注 (67) 伐勒里烏斯（Valerius，Lucas），1618年死於羅馬，伽利略稱他為當時的亞基米德，著有《從簡單的錯誤論求拋物線平面法》。——原編者注 (68) 卡伐列里（Cavalieri，Bonaventura Francesco，1598—1647），義大利的數學家，著有《幾何學》、《幾何習題》等書。——譯者注 (69) 在以前所引的批評中（《科學評論年鑑》第二卷，1827年，第155—156號以下），有一個精通本業的學者史泊爾先生* 的很有趣的說法，這是從他的《流量計算的新原理》（布朗施維格，1826年）引來的，這些說法涉及一種情況，微分計算的晦澀而不科學，主要需溯因於它，這也很符合於我們以前關於這種計算的理論的一般情況所說的。他說：「純算術的研究當然比一切類似的研究，都更與微分計算有關，人們不曾將它與真正的微分計算分開，甚至像拉格朗日那樣，把它認為是事物本身，而人們卻把這種研究僅僅看作是微分計算的應用。這種算術研究包括求微分的規則，泰勒定理的導數等，甚至各種求積分的方法也在內。情況完全相反，那些應用才正是構成真正微分計算的對象，從解析出發的微分計算是以一切那些算術的展開和運算為前提。」——我們曾經指出，在拉格朗日那裡，將所謂應用與從系列出發的那種一般部分的辦法分開，怎樣恰恰提供了突出微分計算本身特性之用。上述的那位著者說，正是所謂應用構成真正微分計算的對象，但是可驚異的，是他有了這種饒有興趣的見解，怎樣會讓自己進入（見上引的書）那種連續大小、變、流動等等形式的形上學，想在那些廢物之上再添上新的廢物；那些規定之所以是形式的，因為它們只是一般的範疇，沒有舉出事物的特點，而事物卻是要從具體學說，從應用去認識和加以抽象的。——黑格爾原注 * 史泊爾（Spehr，Friedrich Wilhelm，1799—1833），布朗施維格的數學家，著有《純組合論的講義大全》。——原編者注 (70) 意思是說，既然兩個三角形完全相等，便實際只是一個三角形。——譯者注 (71) 達蓋（Tacquet，Andr.，1611—1660），安特威普耶穌教公學教授，著有：《圓柱體與環形》五卷，1651—1659年。——原編者注 (72) 原子主義的方法，即指不可分的方法。——譯者注 第三章　量的比率 定量的無限被規定為定量的否定的彼岸，但定量在自身那裡有這個彼岸的。這彼岸是一般的質。無限的定量，作為質的規定性與量的規定性這兩個環節的統一，就是比率。 在比率中，定量不再具有漠不相關的規定性了，而是在質的方面被規定為對它的彼岸絕對相關。定量在它的彼岸中延續自己；這彼岸首先是另外一個一般的定量，但是，從本質上看，它們並不是作為外在的定量而彼此相關，而是每一個都以這種對他物的關係為其規定性。這樣，它們就在這種他有中回復到自身；每一個都是在他物中所是的東西；他物構成每一個的規定性。——所以定量對自身的超越，現在就有了這種意義，即：定量既不僅僅變為一個他物，也不變為它的抽象的他物，它的否定的彼岸，而是在彼岸那裡達到它的規定性；它在它的彼岸中找到了自己。這個彼岸是另外一個定量。定量的質，它的概念規定性，乃是它的一般的外在性。在比率中，定量被建立為這樣：在它的外在性中，在另外一個定量中，定量具有它的規定性，並且，定量在它的彼岸，就是它所是的那個東西。 相互具有上述關係的東西，就是定量。這種關係本身也是一種大小；定量不僅在比率中，而且它自己被建立為比率；那是在自身中含有質的規定性的一般定量。這樣的定量，由於它在自身中包含著它的規定性的外在性，並且在這種外在性中只與自身相關，因為它在自身那裡是無限的，所以，就作為比率而言，這種定量便把自己表現為自身封閉的總體，對界限漠不相關。 比率一般是 （1）正比率。在正比率中，質的東西本身還沒有自為地出現；它還不曾比定量有進一步的方式，而定量是被當作以它的外在性為其規定性的。量的比率本身就是外在性與自身關係的矛盾，是定量的持續與其否定的矛盾；這矛盾揚棄自身，首先是由於 （2）在反比率中，一個定量本身的否定，隨著另外一個定量的變化而被建立，並且，正比率本身的可變性也被建立起來，但是 （3）在方冪比率中，那個在它們的區別中自身與自身相關的統一，卻把自己造成定量的單純自身乘積；這種質的東西在單純規定中最後建立起來，與定量同一，變成了尺度。 關於下列各比率的真正性質，在以上涉及量的無限，即在量那裡的質的環節的注釋中，已有許多預示；因此，剩下來的就只是要分析這些比率的抽象概念了。 甲、正比率 1.比率作為直接的比率，是正比率，在正比率中，一個定量的規定性與另一個定量的規定性彼此蘊含。兩者只有一個規定性、或界限，它自身也是定量，即比率的指數。 2.指數可以是任何一個定量；但是，由於它在自身那裡含有它的區別、它的彼岸和他有，它才是一個在外在性中自身相關的、在質方面規定了的定量。在定量本身那裡的這種區別，是單位與數目的區別；單位是自為地規定；數目則是在規定性那裡漠不相關的往返擺動，是定量的外在的漠不相關。單位和數目最初是定量的環節；現在，在比率（比率在這樣情況下就是實在化了的定量）中，它的每個環節都好像是一個獨特的定量，是它的實有的規定，是對大小規定性劃立界限，否則大小規定性將僅僅是外在的、漠不相關的。 指數是作為單純規定性這樣的區別，這就是說，它在自身那裡直接含有兩個規定的意義。首先，指數是定量；所以，指數是數目；如果比率的一端，作為單位，表示可計數的一——而且單位只有被當作這樣的一，——那麼，比率的另一端，即數目，便是指數的定量本身了。第二，指數是作為比率兩端的質的東西那種單純規定性；如果一端的定量規定了，那麼，另一端的定量便也就由指數規定了，至於前者如何規定那是完全不相干的，就自為地規定的定量而言，它再無任何意義，並且，它可以是任何一個別的定量而不改變比率的規定性，這種規定性完全依靠指數。作為單位的這一個定量，無論它變得怎麼大，總永遠是單位；而另一個定量，無論它以此而變得怎麼大，也必須永遠是那個單位的同一個數目。 3.因此，比率的兩端實際上只構成一個定量；一端的定量對於另一端的定量只有單位的值，而沒有一個數目的值；另一端的定量則只有數目的值；因此，按照它們的概念規定性來說，它們本身並不是完滿的定量。但是，這種不完滿性是在它們那裡的否定；這一點並不是依據兩個定量一般的變化，按照一般變化，一個定量（每個定量都是這兩個定量的一個）可以採用一切可能的大小，這一點卻是依據以下的規定，即，假如一個定量變化，另一個定量也按比例增減：如已經說過的，這意味著只有一端、即單位能改變其定量，而另一端、即數目則仍然是單位的同一個定量，但前者作為定量，儘管願意如何變化便如何變化，它也同樣只能當作單位。因此，每一端只是定量的兩個環節之一，屬於它的特有的獨立性，自身被否定了；在這種質的聯繫方面，這兩個環節必須建立為彼此否定的。 指數應該是完滿的定量，因為在指數中，兩端的規定性合而為一了；但實際上，指數作為商數，本身只有數目的值，或單位的值。在這裡，沒有任何規定性表明比率的哪一端必須當作單位，哪一端必須當作數目；如果一端、定量B，被作為單位的定量A來測量，那麼，商數C便是這樣的單位的數目；但假如A本身被認為是數目，那麼，商數C就是數目A為定量B所要求的單位；因此，這個商數作為指數，並沒有被建立為它應該是的東西，——即比率的規定者或說比率的質的統一。它之能被建立為那樣，只有由於它具有成為單位與數目這兩個環節的統一那樣的值。因為這兩端，固然就像在外現的定量中、即在比率中所應該是的那樣呈現為定量，但同時也只在它們作為比率兩端所應該具有的值之中，即是不完滿的定量，只能算做這些質的環節之一；所以，它們必須以它們的這種否定而建立。這樣，便發生了一個對規定較符合、較實在的比率，在這個比率里，指數具有它們的乘積的意義；按照這種規定性，這個比率便是反比率。 乙、反比率 1.現在達到的比率是被揚棄了的正比率；它曾經是直接的，因而還不是真正規定的比率；現在，規定性是用這樣的辦法增補起來的，即：把指數算作乘積，算作單位與數目的統一。就直接性而言，指數曾經漠不相關地既可以被當作單位也可以被當作數目，如以前所指出的那樣；因此，指數過去也只是一般的定量，因而，寧可說是數目，一端曾經是單位，須當作一，對於這一端說來，另一端便是固定的數目，同時也是指數；所以指數的質曾經只是這個被認為是固定的定量，或者不如說，這個固定的東西只有定量的意義。 現在在反比率中，指數作為定量，同樣被當作是直接的，並且可以是任何固定的定量。但這個定量對於比率中別的定量的一，並不是固定的數目；這個以前的固定的比率，現在倒是被當作可變化的；如果別一定量被當作一端的一，那麼，另一端就不再是前者的單位的同一個數目了。在正比率中，這單位只是兩端所共同的；它在另一端中，即在數目中延續自身；自為的數目本身或指數，對單位是漠不相關的。 但是，在比率現在的規定性中，數目對於一說來，構成了比率的另一端，它本身相對於這個一而變化；每當另外一個定量被採用為一時，數目也就變成另外一個數目。因此，雖然指數現在只是直接的，只是被任意地當作固定的定量，然而指數並沒有作為這樣的定量在比率的一端中保持自身，這一端是可變化的，因而兩端的正比率也是可變化。所以在現在的比率中，指數作為進行規定的定量，便被建立為否定自己的比率的定量，是質的東西，是界限，以致質的東西突出了自己對量的東西的區別。——在正比率中，兩端的變化只是兩端共同的單位所採用的定量的變化；一端增減多少，另一端也同樣增減多少；比率自身對這種變化漠不相關，變化對比率是外在的。在反比率中，變化儘管就漠不相關的量的環節說，也同樣是任意的，但是，變化保持在比率之中，並且這種任意的量的超越，也被指數的否定的規定性、被界限給限制住了。 2.反比率的這種質的本性，必須在其實在化中進一步加以考察；其中所包含的肯定的東西與否定的東西的錯綜複雜情況，必須加以分析。——定量被建立為在質方面的定量，這就是說，它自己規定自己，它自身表現為自己的界限。因此，第一，定量是作為單純規定性的一個直接的大小，是作為有的、肯定的定量的整體。第二，這種直接的規定性同時又是界限，因此區分為兩個定量，它們首先是互為他物的；但是，作為它們的質的規定性，而且是完滿的規定性，這就是單位與數目的統一，是乘積，而它們則是乘積的因數。一方面，它們的比率指數在它們之中是自身同一的，是單位與數目的肯定物，就此而言，它們便是定量；另一方面，作為在它們那裡建立起來的否定，指數又是在它們那裡的統一，按照這種統一，它們每一個都是直接的、有界限的一般定量，而且是這樣的有界限的東西，即，它只是自在地與它的他物同一。第三，作為單純的規定性，指數是它所區分的兩個定量的否定統一，並且是兩定量互相劃界的界限。 依據這些規定，指數內的兩個環節便相互劃界限，並互為否定物，因為指數是它們的規定的統一，一個環節大多少，另一個環節便小多少；在這種情況下，每一個環節所具有的大小就像在自身那裡具有另一環節的大小那樣，就像具有另一環節所缺少的大小那樣。因此，每個大小都用這樣否定的方式在另一個大小中延續自身；無論它是多大的數目，在另一個大小中作為數目，它都揚棄了，而它之所以為大小，僅僅是由於否定或界限，這個界限乃是在這個大小那裡由另一大小建立的。每一個大小都以這種方式包含著另一個大小，並且在另一個大小那裡被測量，因為每個大小都應該是其他的大小所不是的那樣的定量；另一個大小，對每個大小的值來說，是必不可少的，因而，對每個大小也是不可分離的。 每個大小在另一個大小中的這種連續性，構成了統一的環節，由於這種統一，兩個大小才成為一個比率——這種統一是一個規定性或單純界限，即是指數。這個統一、這個整體，構成每個大小的自在之有，與其當前的大小不同；其所以依照當前大小而有每一環節，只是由於這種大小從共同的自在之有、或整體中另一大小那裡退出了。 (1) 但是，它只有在它與自在之有相等時，它才能夠從另一大小那裡退出，它在指數那裡有它的最大值，這個指數按我們已經指出的第二個規定來說，就是它們相互劃界的界限。由於每個大小只有就它對另一個大小劃界，因而也被另一個大小劃界而言，才是比率的環節，所以當它與它的自在之有相等時，它就喪失了它的這種規定；在這裡，另一個大小不僅變成了零，而且自身也要消失，因為它不是單純的定量，而是只有作為那樣的比率環節，它才是它所應該是的那樣的東西。於是，每一端都是作為它們的自在之有，即整體（指數）的統一這種規定與作為比率環節的另一個規定的矛盾；這個矛盾又是一個有新的特殊形式的無限性。 指數是比率兩端的界限，在界限中，比率的兩端彼此相互消長；照肯定的規定性——作為定量的指數——來說，比率的兩端不能等於指數。作為它們相互限制的極限，指數是：（甲）它們的彼岸，它們無限地接近這個彼岸，但不可能達到。它們在這種無限中接近彼岸，這種無限是無限進展的壞的無限；這種無限本身是有限的，在它的對方、在比率的兩端和指數的有限性中，有其限制；因此，它只是接近而已。但是，（乙）壞的無限在這裡同時被建立為它真正是什麼，即只是一般否定的環節，根據這個環節，指數對比率的不同定量，是作為自在之有的這種單純的界限；這些不同定量的有限性，作為單純可變的東西，與這個自在之有是有關的，但是自在之有作為它們的否定，又絕對與它們有差異。於是，這個為它們只能接近的無限的東西，同時又是肯定的此岸，是當前現在的——即指數的單純定量。在這裡，便達到了比率兩端所帶有的彼岸；它自在地是比率兩端的統一，因而，自在地是每一端的另一端；因為每一端都僅僅具有另一端所沒有的值，所以，每一端的全部規定，都包含在另一端之中；它們的這種自在之有，作為肯定的無限，就單純是指數。 3.結果便發生了反比率到另一個規定的過渡，與它最初所具有的規定不同。這個規定就在於：一個直接的定量，同時又對另一個定量有關係，它增大多少，另一個定量便減小多少，這個定量之所以為這個定量，乃是由於它對另一定量的否定態度；同樣，一個第三個大小，就是它們這種變大的共同限制。在這裡，這種變化與作為固定界限的質的東西相反，是它們的特殊性；它們具有變量的規定，那個固定的東西對於變量說來，就是無限的彼岸。 但是，已經表現出來和我們必須加以概括的規定，不僅僅在於：這個無限的彼岸同時又是現在的定量，是任何一個有限的定量，而且在於：它的固定性，——它通過這種固定性，對於量的東西，就是這樣的無限的彼岸，並且這種固定性，就是僅僅作為抽象的自身關係的有的質，——把自己發展為它自身在它的他物中的中介，即比率的有限物。這裡所包含的普遍的東西，就在於：作為指數的整體，一般就是兩個項彼此劃界的界限，即否定的否定，因而無限，這種對自身的肯定關係，被建立起來了。更精密的規定是：指數作為乘積，已經自在地是單位與數目的統一，而兩項的每一項只是這些環節之一；因而，指數自身包含單位與數目，並在它之中自在地自己與自己相關。但在反比率中，區別發展為量的事物的外在性；質的東西不單純是固定的，也不僅是直接在自身中包含著諸環節，而且在外在之有的他有中，自己與自己聚集在一起。這種規定在業已出現的環節中，把自己突出為結果。指數既然是作為自在之有而產生的，其環節也就實在化為定量及其一般變化，它們的大小在變化中的漠不相關，表現為無限進展；在它們的漠不相關中，它們的規定性，就是在另一個定量的值中，有它們的值，這就是建立無限進展的基礎。因此，（甲）在它們的定量的肯定方面，它們自在地是指數的整體。同樣，（乙）對它們的否定環節，對它們彼此的立定界限來說，那就是指數的大小；它們的界限就是指數的界限。它們的實有和劃界的無限進展，以及任何特殊的值的否定，都意謂著它們再沒有別的內在界限或固定的直接性。因此，這否定是指數的外在之有的否定，這個外在之有是表現在它們之中的；指數作為一般的定量並分解為諸定量，被建立為在它們漠不相關的持續的否定中的自身保持和自身融解，因而是對這樣超越自身進行規定的東西。 因此，比率被規定為方冪比率。 丙、方冪比率 1.定量在它的他有中建立自身同一，規定其自身超越，便到了自為之有。由於質的總體建立自身為展開的東西，它便以數的概念規定（即單位和數目）為其環節；數目在反比率中還不是由單位本身規定的一個數量，而是從別的地方，由一第三者規定的一個數量；現在，它被建立為只由單位規定的了。這就是方冪比率中的情況；單位是它自身那裡的數目，它對作為單位的自身，同時也是數目。他有、即單位的數目，就是單位自身。方冪是一定數量的單位，每一個單位本身都是這個數量。定量作為漠不相關的規定性變化著；但是，由於這種變化意味著提高到方冪，定量的這種他有純粹是由它自身加以界限的。因此，在方冪中，定量被當作回復到自身；定量直接是它自身，也是它的他有。 方冪比率的指數，再不像在正反比率中那樣，是一個直接的定量了。在方冪比率中，指數完全具有質的本性，是這樣的單純規定性：數目就是單位，定量在他有中與自身同一。這也含有它的量的方面，即：界限或否定不被建立為直接的有的東西，而是實有被建立為在他物中的延續；因為質的真理就在於這樣一點，即：量是作為揚棄了的直接規定性。 2.方冪比率首先表現為應用到任何定量上的外在變化；然而，它與定量的概念有較密切的關係，因為定量在方冪比率中發展到實有，它在這個實有中達到了概念，而且完全把這個概念實在化了；方冪比率表現定量自在地是什麼，而且表明它的規定性或質，定量通過質便與他物相區別。定量是漠不相關的，建立為揚棄了的規定性，這就是說，作為界限的規定性同樣又不是界限，它在它的他有中延續自身，所以仍然與自身同一。在方冪比率中，定量就是這樣被建立起來的，而它的他有，即超越自身為其他定量，乃是由它自身規定的。 如果我們把這種實在化的進展與以前的比率加以比較，那麼，定量的質，作為自己建立的自己的區別，便正在於它是比率。就正比率說，定量作為這樣建立起來的區別，僅僅是一般的和直接的，所以，它的自身關係被當作是單位的一個數目的固定性，這種自身關係是定量作為指數對其區別所具有的。在反比率中，定量對自己的關係是在否定的規定之中，——是對自己的否定，但是定量在否定中卻有了它的值；作為肯定的自身關係，定量是一個指數，指數作為定量，只自在地是它的環節的規定者。然而在方冪比率中，定量在區別里呈現，因為區別是一個與自身的區別。規定性的外在性是定量的質；這種外在性，按照定量的概念，被建立為定量的自身規定、自身關係和質。 3.但是，因為定量被建立為合乎它的概念，所以定量已經過渡為另外一個規定；或者也可以說，定量的規定現在就是規定性，自在之有也就是它的實有。它之作為定量，是由於規定的外在性或漠不相關（如人們所說，它是那種可以增大或減小的東西），只算作和只被建立為單純的或直接的；它變為它的他物，即質，因為那個外在性現在被建立為由定量自身而有了中介，被建立為這樣一個環節，即正是在外在性中，定量才與自身相關，才是作為質的有。 起初，量本身似乎是與質對立的。然而，量本身就是一個質，是自身相關的一般規定性，區別於它不同的規定性，區別於質本身。但是，量不僅是一個質，而質本身的真理就是量；質表明自己要過渡為量。另一方面，量在它的真理中是回復到自身的量，並非漠不相關的外在性。因此，量就是質本身，以致在這個規定 (2) 之外，質本身就不會還是什麼東西了。為了可以建立總體，雙重的過渡是必需的；不僅需要這一規定性向它的另一規定性的過渡，而且也需要另一規定性回到前一規定性的過渡。由於第一個過渡，質與量兩者的同一才自在地呈現；——質被包含在量中，不過量因此還是一個片面的規定性。反之，量也同樣被包含在質中，這個量同樣只是揚棄了的，這種情況發生在第二種過渡之中——即回復到質。關於這種雙重過渡的必然性的考察，對整個科學方法來說，是很重要的。 現在，定量再不是漠不相關的、外在的規定了，因此，定量作為這樣的外在規定，是揚棄了，並且是質，並且是那個由此而是某物的東西，這就是定量的真理，就是尺度。 注釋 在前面關於量的無限的注釋中，已經討論了量的無限和它所引起的困難，其根源在於量中出現的質的環節；並且進一步闡明了特別是方冪比率的質如何消失在繁多的發展過程和錯綜複雜的情況里。我們已經指出，阻礙把握概念的根本缺點，就在於僅僅依據否定的規定（定量的否定）而停留在無限那裡，不進展到單純的規定、肯定的東西（這是質的東西）。在這裡，就只剩下對哲學中量的形式摻雜到思維的純粹質的形式里去的那種現象，還要加以考察。最近，方冪比率特別被應用到概念規定上。概念在其直接性中，曾被稱為一次方；在他有或區別中，即它的環節的實有中，被稱為二次方；就其回復到自身或作為總體說，被稱為三次方。很明顯，這樣使用的方冪主要是屬於定量的一個範疇，這種方冪的意思並不是亞里士多德的潛在性（potentia， ）。因此，方冪比率表現規定性為達到了真理的區別，就像在定量這個特殊概念中的區別那樣，然而卻不像在概念本身中的區別那樣。定量包含著否定性，這種否定性屬於概念本性，不過還沒有在概念的特有的規定中建立起來；定量所具有的區別，對概念本身說，是膚淺的規定；這些區別還遠遠沒有被規定為像它們在概念中那樣。在哲學思維的童年時期，數被用來表示普遍的、本質的東西，如畢達哥拉斯，在這裡，一次方、二次方等等並沒有什麼高出於數的地方。這是純粹思維把握的初步階段；思維規定本身在畢達哥拉斯之後才被發現，才自為地被意識到。但是，離開這些思維規定，再倒退回數的規定去，本來是一種自覺無力的思維，它和當今慣于思維規定的哲學教養相對立，想把那些缺點奉為某種新奇的、高尚的東西、奉為一種進步，這只是自添笑話而已。 (3) 只要方冪一詞僅僅被用作符號，那便是無可反對的，就如同對於數或別種概念符號無可反對那樣；但是，符號，也是有可反對的，正如要以符號來表達純概念或哲學的規定的一切符號論是可以反對的一樣。哲學既無須求助於感性世界，亦無須求助於想像力，更無須求助於哲學的特殊部門，這些特殊部門是從屬於哲學的，因此，其規定是不適合於高級領域和整體的。當有限的範疇一般應用於無限的事物時，這種不適合的情況便發生了； (4) 力、實體性、原因和結果等流行的規定，用來表示例如生命的或精神的關係，也同樣只是一些符號，也就是說，對於這些關係來說，乃是一些不真的規定，定量的方冪和可計數的方冪，對於這些關係和一般思辨的關係來說，就更是如此了。如果數、方冪、數學的無限之類，並不應該用來作符號，而是應該用來作哲學規定的形式，因而它們本身便是哲學的形式；那麼， (5) 它們的哲學意義，即它們的概念規定性，就必須首先加以證明。如果這一步做到了，那麼它們本身也便是多餘的標記了；概念規定性表示自己，它的表示是唯一正確的，適合的。因此，那些形式的使用，除了作為一種方便的工具，以省掉對概念規定的把握、揭示和論證之外，就再不是任何別的東西了。 【注釋】 (1) 這裡是說在反比率中每一項應有的大小，和它本身的具體大小不同，它的具體大小是就離開了比率另一項說的。——譯者注 (2) 這個規定，指量。——譯者注 (3) 參看第122頁。 (4) 參看第123頁。 (5) 參看第122—123頁。