科學與假設 · 第九章 物理學中的假設

實驗和概括的作用。實驗是真理的唯一源泉。唯有它能夠告訴我們一切新東西，唯有它能夠給我們確定性。這是毋庸置疑的兩點。 然而，假如實驗即是一切，那麼給數學物理學還會留下什麼位置呢？實驗物理學與這樣一個似乎無用的、也許甚至有些危險的助手有什麼關係呢？ 可是數學物理學還是存在著，它做出了無可懷疑的貢獻，在這裡我們有一個必須說明的事實。 要說明的是，只有觀察還是不夠的。我們必須利用我們的觀察資料，去做我們必需概括的工作。這正是人們一向所做的事情；只是由於記著過去的錯誤，才使他們越來越小心謹慎，他們越來越多地進行觀察，卻越來越少地從事概括。 每一個時代都嘲笑在它之前的時代，指責它概括得太快了、太天真了。笛卡兒（Descartes）曾為愛奧尼亞人感到遺憾；但是笛卡兒本人又使我們發笑。無疑地，我們的孩子某一天將會譏笑我們。 但是，我們接著不能直接抵達終點嗎？這不是避免我們預見的嘲笑的方法嗎？我們不能僅僅滿足於赤裸裸的實驗嗎？ 不，這是不可能的；這就完全誤解了科學的真實本性。科學家必須按順序配置。科學是用事實建立起來的，正如房子是用石塊建築起來的一樣。但是，收集一堆事實並不是科學，正如一堆石塊不是房子一樣。 尤其是，科學家必須預見。卡萊爾（Carlyle） [1] 在某處曾經說過與此類似的話：「沒有什麼比事實更為重要了。讓·桑·泰爾（Jean Sans Terre）曾經過這裡。這裡有一些值得讚美的東西。這裡有一種實在，為此實在我願獻出世界上所有的理論。」卡萊爾是培根（Bacon）的同胞；但培根卻不這樣說。那是歷史學家的語言。物理學家寧願說：「讓·桑·泰爾曾經過這裡；這件事與我無關，因為他永遠也不會再從這條道路經過。」 我們大家都知道，有好的實驗，也有不好的實驗。不好的實驗再多也無用；儘管人們可能做了千百個實驗，但是真正的大師——例如巴斯德（Pasteur）——的工作的一個片斷就足以使人們忘卻那些實驗。培根也許完全理解這一點；正是他發明了判決性實驗（Experimentum crucis）這個詞。但是，卡萊爾卻不能理解它。事實就是事實。一個小學生讀了溫度計上的某一數目；他毫不在意地記下了這個數目；不要緊，他讀了它，如果這只是一個可以計及的事實，那麼這裡就有一個和國王讓·桑·泰爾旅行具有同一等級的實在。為什麼這位小學生做出的這個讀數的事實沒有什麼趣味，而熟練的物理學家做出的另一讀數的事實相反地就十分重要呢？這是因為從第一個讀數中我們不能推論出任何東西。那麼，什麼是好的實驗呢？好的實驗就是除了一件孤立的事實外，還能告訴我們一些東西；好的實驗能使我們預見，也就是說，能使我們概括。 因為沒有概括，便不可能預知。人們工作過的環境從來也不會同時統統復現。從而，觀察過的行為永遠不會發生；能夠確認的唯一事情就是，在類似的環境下將產生類似的行為。於是，為了預見，至少必須乞求類比，這就是說，此時已經概括了。 不管人們多麼膽怯，還是有必要進行內插。實驗只給我們一定數目的孤立的點。我們必須用一條連續的線把這些點連接起來。這就是名副其實的概括。但是，我們還要做得更多一些；我們所畫的曲線將通過所觀察的點之間，並鄰近這些點；它不會通過這些點本身。這樣一來，人們並未僅限於概括實驗，而且還要矯正它們；如果物理學家企圖逃避這些矯正，而真的以赤裸裸的實驗為滿足，那麼他便會被迫說出一些十分離奇的定律來。 因而，赤裸裸的事實對我們來說總是不夠的；這就是為什麼我們必須擁有有序化的科學，或者寧可說必須擁有經過組織的科學。 人們常說，必須毫無先入之見地做實驗。這是不可能的。這不僅會使一切實驗毫無結果，而且人們做過這種嘗試，都一事無成。每一個人在他的心智中都有他自己的世界概念，他無法輕易地使自己擺脫它。例如，我們必須使用語言；我們的語言正是由先入之見構成的，而不可能是其他。不過這些只是無意識的先入之見，它們比別的先入之見還要危險一千倍。 如果我們引入了其他我們已經充分意識到的先入之見，那麼我們只會更加不幸，我們可以這樣說嗎？我認為不能。我寧可相信它們將起到相互平衡的作用——我將要說它們是解毒劑；一般說來，它們將難以相互一致——它們將彼此衝突起來，因此我們不得不從各個方面考察事物。這足以使我們不受束縛。由於他能夠選擇他的主人，他不再是奴隸了。 於是，多虧概括，每一個觀察到的事實都能使我們預見大量的其他事實；不過，我們務必不要忘記，只有第一個事實是確定的，其他的僅僅是可幾的。一個預見在我們看來不管建立得可能多麼牢固，如果我們著手證實它，我們從來也沒有絕對保證實驗不會與它矛盾。可是，這種機率常常如此之大，以至於我們實際上可以滿意它。與其根本不去預見，還不如做即使不確定的預見。 因此，當機會來到時，我們永遠也不要不屑於去證實。但是所有的實驗都是長期的、困難的；勤勉的人沒有幾個；而我們需要預見的事實的數目是巨大的。與這麼大的數目的直接證實相比，我們能夠做的直接證實永遠只不過是滄海之一粟而已。 我們必須最充分地利用我們能夠直接得到的這幾個結果；很有必要從每一個實驗中獲得儘可能多的預見，而且具有程度儘可能高的機率。可以說，這個問題就是增加科學機器的收益。 讓我們把科學和應該不斷擴充的圖書館比較一下。圖書館員沒有供他採購的充裕資金。他應當儘量不浪費資金。 正是實驗物理學被委託做採購工作。而且，唯有它才能使圖書館豐富起來。 至於數學物理學，其任務將是編制書目。即使書目編得再好，圖書館也不會更為豐富，但卻有助於讀者使用它的豐富藏書。 而且，由於它把藏書的脫漏告訴圖書館員，因而能使他明智地使用他的資金；這是更為重要的，因為資金嚴重匱乏。 於是，數學物理學的作用就是如此。它必須以這樣的方式直接概括，以便增加我剛才所謂的科學的收益。它用什麼方法能夠達到這一點，它如何能夠安全地去做，這就是留給我們去研究的問題。 自然界的統一。首先，讓我們注意一下，每一種概括在某種程度上都隱含對自然界的統一性和簡單性的信念。至於統一性，不會有什麼困難。如果宇宙的各部分不像一物的各部件，它們就不會相互作用，它們就不會彼此了解；尤其是，我們只能知其一部分。因此，我們不去問自然是否是一體的，而要問它如何是一體的。 至於第二點，就不是那麼容易的事了。不能確定自然界是簡單的。我們能夠假定它仿佛是這樣而毫無危險地行動嗎？ 有一段時間，馬略特定律的簡單性成為被乞靈於證明其準確的論據。菲涅耳（Fresnel）在與拉普拉斯（Laplace）的談話時曾經說過，自然界不關心解析上的困難，為了不過分強烈地觸犯盛行的觀點，他感到不得不加以說明。 今天，觀念大大地改變了；可是，那些不相信自然規律是簡單的人還往往不得不像他們相信似的去行動。他們無法完全擺脫這種必要性，除非使一切概括、從而使整個科學變得不可能。 很清楚，任何事實都能夠以無限的方式概括，它是一個選擇問題。選擇只能夠受簡單性的考慮的引導。讓我們舉一個最平常的例子，即內插法的例子。我們在觀察所給的點之間，畫一條儘可能規則的連續線。我們為什麼要避開那些造成角的點和太突然的轉折呢？我們為什麼不使我們的曲線描繪出最為變幻莫測的之字形呢？這是因為我們預先知道或我們自信知道，所表示的定律不會像那一切複雜。 由木星衛星的運動，或由大行星的攝動，或由小行星的攝動，我們可以計算木星的質量。如果我們取這三種方法所獲得的測定值的平均數，我們就得到三個十分接近、但又不同的數。我們可以假定引力係數在三種情況下不同，來詮釋這一結果。觀察結果可以肯定是比較好地表示出來了。我們為什麼要拒絕這種詮釋呢？這不是因為它是荒謬的，而是因為它不必要地複雜化了。我們只是在不得已的時候接受它，現在還不必這樣。 總而言之，通常認為每一個定律都是簡單的，直到相反的東西被證明為止。 我剛才說明的原因，把這種習慣強加給物理學家。但是，在每天向我們顯示出更豐富、更複雜的新細節的發現面前，我們將如何證明這種習慣是正當的呢？我們進而如何使它與自然界的統一性的信念一致呢？這是因為，假如每一個事物都與其他一切事物有關，那麼如此之多的不同因素參與的關係就不會是簡單的。 倘若我們研究科學的歷史，我們看到發生了兩種可以說是相反的現象。有時簡單性藏匿在複雜的外觀下；有時簡單性則是表觀的，它隱蔽著極其複雜的實在。 有什麼比行星攝動更複雜呢？有什麼比牛頓定律更簡單呢？正如菲涅耳所說，自然界在那裡玩弄解析困難，同時又僅僅使用簡單的手段，通過把這些手段結合起來，自然界就產生了我不知道的解不開的死結。藏匿的簡單性正好在這裡，我們必須發現它。 相反的例子也相當多。在氣體運動論中，人們處理以極大速度運動的分子，它們的路徑由於頻繁的碰撞而發生變化，具有最為變幻莫測的形狀，而且在每一個方向通過空間。可觀察的結果則是馬略特的簡單定律。每一個個別的事實是複雜的。大數定律在平均中重建起簡單性。在這裡，簡單性僅僅是表觀的，只是我們感官的粗糙妨礙我們洞察複雜性。 許多現象都服從比例定律。但原因何在呢？因為在這些現象中，有一些東西是很小的。因此，觀察到的簡單定律只是普遍的解析法則——函數的無限小增量與變量的增量成比例——的結果。因為實際上我們的增量不是無限小，而是十分小，所以比例定律只是近似的，簡單性只是表觀的。我剛才說過適用於小運動的疊加法則，這個法則富有成效，它是光學的基礎。 牛頓定律本身又如何呢？它的如此長久未被識破的簡單性，也許只是表觀的。誰知道它是否由於某種複雜的機制，由於受到不規則運動激勵的難以捉摸的物質的影響呢，誰知道它是否只有通過平均作用和大數作用才變簡單了呢？無論如何，不假定真實定律包含補餘項是困難的，這些項在小距離的情況下是可以察覺的。假如在天文學中這些項作為牛頓定律的修正可以忽略，假如該定律因此恢復了它的簡單性，那也許只是因為天體的距離極大的緣故。 毫無疑問，如果我們的研究方法變得越來越透徹，我們便會在複雜的東西之下發現簡單的東西，然後在簡單的東西之下發現複雜的東西，接著再在複雜的東西之下發現簡單的東西，如此循環不已，我們不能預見最後的期限是什麼。 我們必須停止在某個地方，要使科學是可能的，當我們找到簡單性時，我們就必須停下來。這是唯一的基礎，我們能夠在這個基礎上建立我們的概括的大廈。但是，這種簡單性僅僅是表觀的，該基礎將足夠牢固嗎？這是必須研究的問題。 為此目的，讓我們看看，關於簡單性的信念在我們的概括中起什麼作用。我們已在為數眾多的特例中證實了簡單的定律；我們拒不承認這種如此經常重複的一致只能是偶然性的結果，我們得出結論：該定律必須在普遍情況下為真。 克卜勒注意到，第谷（Tycho）所觀察的行星的位置都在一個橢圓上。他從來也沒有片刻想到，由於機遇的奇怪作用，第谷每次觀察天象，都是在行星的真實軌道正巧與這個橢圓相交之時。 不管簡單性是真實的，還是它掩蓋著複雜的實在，這是什麼關係呢？或者它是由於降低個體差異的大數的影響，或者它是由於容許我們忽略某些項的一些量或大或小的作用，它絕不是由於機遇。這種簡單性不管是真實的還是表觀的，總是有原因的。這樣一來，我們始終能夠遵循同一推理過程，如果在幾個特例中觀察到簡單性，我們便能夠合理地假定，它在類似的案例中還是真實的。否認這一點也就是賦予機遇一種不能允許的作用。 可是，其中仍有區別。如果簡單性是實在的和基本的，那麼即使我們測量手段的精度提高了，這種簡單性依然如故。因此，如果我們相信自然界本質上是簡單的，我們必然能從近似的簡單性推論出嚴格的簡單性。這是以前所做過的東西；這是我們不再有權利去做的東西。 例如，克卜勒定律的簡單性僅僅是表觀的。這並不妨礙它們十分近似地應用於類似於太陽系的一切系統；但是，這卻使它們不是嚴格精確的。 假設的作用。一切概括都是假設。因此，假設有著必不可少的作用，這永遠是誰也無法辯駁的。不過，它應當總是儘可能早地、儘可能經常地受到證實。當然，如果它經不起這種檢驗，人們就應該毫無保留地拋棄它。這正是我們通常所做的工作，但是有時人們卻有點兒病態情緒。 好了，甚至這種病態情緒也不是正當的。真正拋棄了他的假設之一的物理學家反而應當十分高興；因為他找到了一個未曾料到的發現機會。我想，他的假設並不是毫無考慮地採納的；這個假設考慮了一切似乎能夠參與現象的已知因素。如果檢驗不支持它，那正是因為存在著某些未曾預期的、異乎尋常的東西；因為在那裡存在著將要去尋找的未知的新穎的東西。 可是，被拋棄的假設是毫無成效的嗎？遠非如此，可以說，它比真實的假設貢獻更大。它不僅是決定性實驗（ decisive experiment）的誘因，而且若不做這個假設，該實驗即使碰巧做成功，也不會從中推出什麼東西。人們不會看到異常的東西；人們只不過多編入了一個事實，而不能從中演繹出最小的結果。 現在要問，在什麼條件下利用假設而毫無危險呢？ 服從實驗的堅定決心是不夠的；還有危險的假設；首先，尤為重要的是不言而喻的和無意識的假設。由於我們是在不了解實驗的情況下做假設的，因此我們無力拋棄這些假設。可是在這裡，數學物理學再次能夠幫助我們。因為數學物理學是以精確為特徵的，所以它迫使我們制定一切假設，我們在沒有它時也可以做假設，但卻是無意識地做出的。 此外，我們要注意，重要的是不要過分地增加假設，只能一個接一個地做假設。如果我們在若干假設的基礎上構造理論，如果實驗否證它，我們前提中的哪一個必須改變呢？這將是不可能知道的。相反地，如果實驗成功了，我們可以認為我們一舉證明了所有假設嗎？我們會相信只用一個方程就能決定幾個未知數嗎？ 同樣，我們務必仔細區分各類假設。其中一類假設是極其自然的，人們幾乎不能避免它。人們難得不假定，十分遙遠的物體的影響完全可以忽略，小移動遵循線性定律，結果是其原因的連續函數。我同樣將要講對稱性給予的條件。事實上，這一切假設形成了數學物理學所有理論的公共基礎。它們是最後應該被捨棄的東西。 還有第二類假設，我將稱其為中性假設。在大多數問題中，解析家在計算之初就假定，或者物質是連續的，或者相反，物質是由原子構成的。他可以做相反的假定，而不改變他的結果。他只可能比較費神地得到這些結果；這就是一切。因此，譬如實驗確認（confirmation）了他的結論，他可以認為他證明了原子的真實存在嗎？ 在光學理論中，引入了兩種矢量，其一被看做速度，其二被視為渦旋。這裡還是一個中性假設，因為採取正好相反的假設，也能得到同樣的結論。因此，實驗成功也不能證明第一個矢量實際上是速度；實驗只能證明一件事，即它是矢量。這是在前提中實際引入的唯一假設。為了把我們軟弱的心智所要求的具體外觀給予它，那就必須或者視其為速度，或者視其為渦旋，按同樣的方式，或者必須用字母x表示它，或者必須用字母y表示它。然而，不管結果如何，正像這不證明把它稱為x而不稱為y是對還是錯一樣，這也不證明把它看做速度是對還是錯。 只要這些中性假設的特徵不被誤解，它們就永無危險。這些假設可能是有用的，它們或者作為計算的技巧，或者有助於我們理解具體的圖像，或者如人們所說的那樣堅定我們的觀念。從而沒有排除它們的場合。 第三類假設是真正的概括。它們是實驗必須確認或否證的假設。不管確認或宣告不適用，它們將總是富有成效的。但是，由於我已經提出的理由，它們將只有在它們為數不太多的情況下才是富有成效的。 數學物理學的起源。讓我們進一步深究一下，比較仔細地研究一下容許數學物理學發展的條件。我們立即看到，科學家的努力總是為了把實驗直接給出的複雜現象分解為為數眾多的基本現象。 這可以用三種不同的方式來做：首先，在時間裡分解。其目的僅僅是把每一時刻與緊挨它的前一時刻聯繫起來，而不是把現象的漸次發展包容在它的整體中。人們承認，世界的實際狀態只依賴於緊挨著的過去，也可以說，它不受遙遠的過去的記憶的直接影響。由於這個公設，我們不去直接研究現象的整個接續，可以把我們自己局限於它的「微分方程」。我們用牛頓定律代替克卜勒定律。 其次，我們嘗試在空間中分析現象。實驗給予我們的是一堆混亂的事實，這些事實在相當大的舞台上演出。我們必須試圖發現基元現象，這些現象反而將定域在很小的空間區域。 舉幾個例子也許可以更充分地理解我的思想。假如我們希望研究正在冷卻的固體的溫度分布，我們永遠也不會成功。如果我們想到固體的一點不能直接把它的熱傳給遙遠的點，那麼一切就變得簡單了；該點將把它的熱僅僅傳給緊鄰接的點，然後熱流逐漸地到達固體的其他部分。基元現象是兩個相鄰點之間的熱交換。只要我們承認——這是很自然的——它不受其距離是易覺察的分子的溫度的影響，那麼問題就被嚴格定域了，也就比較簡單了。 我折彎一根棒。它將呈現出十分複雜的形狀，直接研究這種形變是不可能的。但是，不管怎樣，我能夠著手處理它，只要我注意到棒的彎曲是棒的很少的要素形變的結果，而且這些要素每一個的形變只與直接施加在它上面的力有關，而與可能作用在其他要素上的力根本無關。 我可以毫不費力地舉出許多例子，在所有這些例子中，我們承認不存在超距作用，或者至少認為不存在大距離的作用。這是一種假設。它並非總是為真，引力定律向我們表明了這一點。因此，它必須受到證實。如果它被確認了，即使是近似地確認了，那也是寶貴的，因為它能使我們至少用逐次逼近法來建造數學物理學。 如果這個假設經不起檢驗，那我們就必須尋找其他類似的東西；因為還有其他手段達到基元現象。如果幾個物體同時作用，那麼可能發生這樣的情況：它們的作用可以是獨立的，而且或者作為矢量，或者作為標量，彼此簡單地相加。基元現象因而是孤立物體的作用。或者，我們不得不再次處理小運動，或更普遍地處理小變分（variations），這服從眾所周知的疊加律。於是，所觀察到的運動將被分解為簡單的運動，例如聲被分解為諧音，白光被分解為單色光。 當我們發現在什麼方向對於尋找基元現象來說是可取的時候，我們用什麼辦法才能達到目的呢？ 首先，常常會發生這種情況：為了檢測它，或者更恰當地講為了檢測它對我們有用的部分，沒有必要深入到機制之內；大數定律就足夠了。 讓我們再舉一個熱傳播的例子。每一個分子都向每一個鄰近的分子發出輻射線。我們並不需要知道按照什麼定律。如果我們就此做出任何假定，那麼它可能是中性假設，從而它是無用的、不能證實的。事實上，由於平均作用和媒質的對稱性，所有差別都被拉平了，而且不管可能做什麼假設，結果總是相同的。 在電理論和毛細現象理論中，也出現同樣的情況。鄰近的分子相互吸引和排斥。我們不需要知道按照什麼定律；在我們看來，只要這種引力僅在小距離內才可察覺，只要分子是極多的，只要媒質是對稱的就足夠了，我們只要讓大數定律起作用就行了。 在這裡，基元現象的簡單性再次藏匿在可觀察現象的複雜性下面；但是，這種簡單性本身只是表觀的，它隱蔽著極其複雜的機制。 達到基元現象的最好手段顯然是實驗了。我們應當用實驗設法解開自然界供給我們研究的一捆複雜的亂絲，仔細地研究儘可能多的孤立的要素。例如，自然界的白光可以藉助稜鏡分解為單色光，可以藉助起偏振鏡分解為偏振光。 不幸的是，這既非總是可能的，亦非總是充分的，有時心智要超過實驗。我將只引證一個例子，這個例子經常強烈地震撼著我。 如果我分解白光，我將能夠把光譜的一小部分孤立起來，但是這部分無論可能多麼小，它總會保持一定的寬度。同樣地，所謂單色光的自然光給我們一條十分窄的線，但是不管怎樣，它並不是無限窄。可以設想，在用實驗研究這些自然光的特性時，用越來越精細的光譜線做試驗，最後便通過一個極限，於是可以說，我們成功地獲悉了嚴格的單色光的性質。 這不可能是準確的。設從同一光源發出兩束光線，我們先使它們在兩個垂直平面上偏振，然後使它們返回到同一偏振面，再試圖使它們發生干涉。如果光嚴格地是單色的，那麼它們就會幹涉。用我們的接近單色的光做實驗，就沒有干涉現象，無論譜線多麼窄也不行。為了發生干涉，就必須使譜線比已知的最精細的譜線還要窄幾百萬倍。 可是在這裡，我們被通過極限欺騙了。心智必須超過實驗，如果能成功地做到這一點，那正是因為心智容許自己受簡單性本能的指導。 知道基本事實能使我們用方程表達問題。此外只要通過組合，從這個方程演繹出能夠觀察和能夠確認的複雜事實就行了。這就是所謂的積分，它是數學家的事務。 人們可能要問，在物理科學中，概括為什麼如此迅速地採取數學形式呢？現在，理由是很容易看到的。這不僅因為我們具有用數字表示的定律；還因為可觀察的現象是由大量的完全相似的基元現象疊加而成的。從而很自然地引入了微分方程。 每一個基元現象服從簡單的定律還是不夠的；所有這些組合在一起的現象必須服從相同的定律。唯有這樣，數學的介入才會有用處；數學實際上教導我們把同類的東西與同類的東西組合起來，數學的目的在於了解組合的結果，不需要重新一個一個地組合。如果我們不得不數次重複同一運算，那麼由於它通過一種歸納法預先告訴我們運算的結果，從而能使我們避免這種重複。在上面的關於數學推理的那一章中，我已經說明了這一點。 但是，就這一點而言，所有的運算必須是相似的。在相反的個例中，顯然必須在實際上一個接一個地順從做運算，而數學也就變得無用了。 可是，多虧物理學家所研究的物質的近似的均勻性，數學物理學才可能誕生。 在自然科學中，我們再也找不到這些條件：均勻性、遠離部分的相對獨立性、基本事實的簡單性；這就是為什麼博物學家被迫訴諸其他概括方法。 * * * [1] 托馬斯·卡萊爾（Thomas Carlyle，1795~1881）是蘇格蘭散文作家和歷史學家。主要著作有《法國革命》、《論英雄、英雄崇拜和歷史上的英雄事跡》等。——譯者注