科學與假設 · 第八章 能量和熱力學

能量學。經典力學所固有的困難導致某些心智提出一種新體系，他們稱其為能量學。 能量學是作為能量守恆原理髮現的結果而出現的。亥姆霍茲（Helmholtz）給它以最終形式。 能量學是通過定義在這個理論中起基本作用的兩個量而開始的。它們是動能或活力以及勢能。 自然界中的物體所能經歷的一切變化遵從兩條實驗定律： 1°動能和勢能之和是常數。這是能量守恆原理。 2°如果一個物體系在時間t0處於A，在時間t1處於B，那麼它總是以這樣的方式從第一種境況達到第二種境況，即在把這兩個時間t0和t1分開的時間間隔內，兩種能之差的平均值要儘可能地小。 這是哈密頓（Hamilton）原理，它是最小作用原理的形式之一。 與經典理論相比較，能量學理論具有下述優點： 1°它比較完備；也就是說，哈密頓原理和能量守恆原理告訴我們的東西比經典理論的基本原理為多，而且它排除了某些在自然界中無法實現的可以和經典理論相容的運動。 2°它使我們省去了原子假設，對於經典理論來說，這個假設幾乎是不可避免的。 但是，它本身卻引起了新的困難。 能量的兩種定義可以引起一些困難，這些困難幾乎像在第一個體系中的力和質量的定義所產生的困難那樣大。不過，可以比較容易地克服它們，至少在最簡單的個例中是這樣。 設有一個由一定數目的質點形成的孤立系統；設這些質點受到只依賴於它們的相對位置和相互距離、而不依賴於它們的速度的力的作用。根據能量守恆原理，力函數必須存在。 在這個簡單的個例中，能量守恆原理的闡述極其簡單。實驗可達到的某一量必須保持常數。這個量是兩項之和；第一項只依賴於質點的位置，而不依賴於它們的速度；第二項與這些速度的平方成比例。這種分解只能以單一的方式進行。 我把第一項稱為U，它是勢能；我把第二項稱為T，它是動能。 的確，若T+U是常數，則T+U的任何函數 ϕ（T+U） 也是這樣。但是，這個函數將不是這樣兩項之和：一項不依賴於速度，另一項與這些速度的平方成比例。在這些保持為常數的函數中，只存在一種享有這個特性的函數，即T+U（或T+U的線性函數，這歸根結底是一回事，因為這個線性函數總可以通過單位和原點變化而簡化為T+U）。於是，這就是我們所謂的能量；我們將稱第一項為勢能，第二項為動能。因此，能量的這兩種定義能夠貫徹到底，沒有任何模稜兩可之處。 這與質量的定義相同。動能或活力可以十分簡單地用所有質點的質量和相對於它們之一的相對速度來描述。這些相對速度是觀察可以達到的，當我們知道作為這些相對速度函數的動能表示式時，那麼這個表示式的係數將給我們以質量。 因此，在這種簡單的個例中，可以毫無困難地定義基本觀念。但是，在比較複雜的個例中，困難就出現了，例如，若力不是僅僅依賴於距離，而且也依賴於速度，則情況就是如此。比如，韋伯（Weber）設想兩個電分子的相互作用不僅依賴於它們的距離，而且也依賴於它們的速度和加速度。如果質點按照類似的規律相互吸引，那麼U便依賴於速度，而且必須包含與速度平方成比例的項。 在這些與速度平方成比例的項中，如何區分來自T的項和來自U的項呢？從而如何區分能量的兩部分呢？ 還有，如何定義能量本身呢？當表征T+U特點的性質，即其為一特殊形式的兩項之和的性質消失時，我們不再有任何理由把T+U作為定義、而不把T+U的任何其他函數作為定義。 但是，這並非問題的全部；我們不僅必須考慮在嚴格意義上所謂的機械能，而且必須考慮其他形式的能：熱、化學能、電能等等。能量守恆原理應該寫成： T+U+Q＝常數， 在這裡，T表示可覺察的動能，U表示只取決於物體位置的位置勢能，Q表示在熱形式、化學形式或電形式下的分子內能。 如果這三項是完全清楚的，如果T與速度的平方成比例，U與這些速度和物體的狀態無關，Q與速度和物體的位置無關而權僅與它們的內部狀態有關，那麼一切都會順利地進行。 能量的表示式只能以唯一的方式分解為這一形式的三項。 但是，情況並不是這樣；考慮一下帶電體；歸因於帶電體的相互作用的靜電能顯然將取決於它們的電荷，也就是說，取決於它們的狀態；可是，靜電能同樣也依賴於它們的位置。如果這些物體處於運動之中，那麼從電動力學的角度來看它們將相互作用，電動力學能將不僅與它們的狀態和位置有關，而且與它們的速度有關。 因此，我們沒有任何辦法把應該構成T、U和Q的部分的項分開，也沒有任何辦法把能的三部分分開。 若（T+U+Q）是常數，則任何函數ϕ（T+U+Q）也是常數。 如果T+U+Q是我上面所考慮的特殊形式，結果便不會有模稜兩可之處；在依然是常數的函數ϕ（T+U+Q）中，只可能有一種函數具有這種特殊形式，我願稱其為能量。 但是，正如我已經說過的，嚴格講來情況並非如此；在依然是常數的函數中，沒有一個函數能夠嚴格地放在這種特殊形式之下；因此，怎樣在它們中間選擇可以稱之為能量的函數呢？我們沒有任何辦法指導我們做出抉擇。 對我們來說，能量守恆原理只剩下一種闡述：存在著依然是常數的某種東西。在這種形式下，它本身也超出了實驗所及的範圍，劃歸為一種同義反覆。很清楚，如果世界受規律支配，那麼將存在依然是常數的量。像牛頓定律一樣，由於類似的理由，實驗不再能夠使建立在實驗基礎之上的能量守恆原理失效。 這一討論表明，在從經典體系到能量學體系的過渡中，人們獲得了進步；可是，與此同時，這一討論也表明，這種進步是不充分的。 另一種反對意見在我看來似乎更為嚴重：最小作用原理能應用於可逆現象；但是，當涉及到不可逆現象時，它根本不滿足；亥姆霍茲企圖把它推廣到這類現象，但沒有取得成功，而且他也不可能取得成功；在這方面，一切事情還有待去做。最小作用原理的陳述本身也與心智有些不相容。不受力的作用而要求在一面上運動的物質分子在從一點到另一點時，將取道短程線，也就是說，取道最短的路徑。 這個分子似乎知道它必須被引到那一點，並且似乎預見到它沿這樣一條路線到達該點所需要的時間，然後選擇最適宜的路徑。在我們看來，這種陳述可以說把分子描述成一種活生生的和自由的生物。顯然，最好用一個不怎麼使人討厭的闡述來代替它。在那裡，正如哲學家可能說的，目的因似乎不會代替動力因。 熱力學。 [3] 在自然哲學的各個分支中，熱力學兩個基本原理的作用日益變得重要了。在放棄40年前用分子假設闡明的雄心勃勃的理論時，我們今天正在力圖把整個數學物理學大廈僅僅建立在熱力學之上。邁爾（Mayer）和克勞修斯（Clausius）的兩個原理能保證其基礎牢固得足以持續一段時間嗎？無人懷疑這一點；但是，這種確信從何而來呢？ 某一天，一位著名的物理學家向我談到誤差律時中肯地說過：「全體世人之所以堅定地相信它，是因為數學家設想它是觀察事實，而觀察家則設想它是數學定理。」就能量守恆原理而言，長期以來就是如此。它今天不再是這樣了；沒有一個人不知道這是實驗事實。 然而，我們有什麼權利認為該原理比用來證明它的實驗更普遍、更精確呢？這也就是詢問，正如人們每天所做的那樣概括經驗材料是否合法，在如此之多的哲學家為解決它而枉費心機之後，我不想冒昧地討論這個問題。有一件事情是確定的；假如我們不具備這種能力，科學便不會存在，或者至少變成一種存貨清單，變成孤立事實的斷言，這樣科學對於我們來說就會毫無價值，由於它不可能滿足我們對秩序與和諧的渴望，同時也由於它不能作出預見。因為在任何事實之先的境況大概從來也不會同時復現，所以第一次概括已經是必要的，以便預見在這些境況有一點點變化之後，這個事實是否將再次產生。 但是，每一個命題都可以用無限的方式概括。在所有可能的概括中，我們必須選擇，我們只能選擇最簡單的。因此，我們被誘使如此行動，仿佛簡單定律——其他事情都相同——比複雜定律更概然（probable）一樣。 半個世紀之前，人們坦白地表明了這一信仰，並且宣布自然界喜歡簡單性；從此以後，自然界十分經常地指責我們說謊。今天，我們不再承認這種意向，我們僅保留必不可少的那麼多的意向，以使科學不致變得不可能。 因此，在相對少量的、表現出某些偏差的實驗的基礎上形成普遍的、簡單的和精確的定律時，我們只不過是服從了一種需要，人的心智不能使自己擺脫這種需要。 可是，還有更多的東西，這就是我為什麼要詳細講述該論點的原因。 沒有人懷疑從一切特殊定律得到的邁爾原理註定比這些定律的壽命要長，正如牛頓定律比它從中產生的克卜勒定律壽命要長一樣，如果考慮到攝動，克卜勒定律僅僅是近似的。 為什麼這個原理在所有的物理學定律中占據著如此優越的地位呢？就此而言有許多瑣碎理由。 首先人們認為，在不承認永恆運動可能性的情況下，我們不能排斥它，甚或不能懷疑它的絕對嚴格性；當然，我們對這樣的前景保持著警惕，我們自己認為肯定邁爾原理比否定邁爾原理要穩妥一些。 給人以深刻印象的邁爾原理的簡單性同樣有助於增強我們的信仰。在直接從實驗推演的定律中，例如在馬略特（Mariotte）定律中，簡單性在我們看來似乎反倒成為懷疑的理由。但是，在這裡情況不再如此；我們發現，乍看起來毫無聯繫的元素，它們本身以出乎意外的順序排列起來，形成一個和諧的整體；我們絕不相信，未曾預見的和諧只是偶然性的結果。這就好像我們花費的力氣越大，我們贏得的勝利也就越發可貴，或者說自然界愈是小心翼翼地向我們隱藏她的秘密，我們愈加確信從她那裡能奪取真正的秘密。 然而，這些不過是微不足道的理由；為了把邁爾定律作為一個絕對的原理確立起來，必須進行比較深入的討論。但是，如果人們試圖這樣做，那麼他們就會發現，這個絕對的原理甚至不容易陳述。 在每一個特例中都可以清楚地看到能量是什麼，至少能夠給它一個暫定性的定義；但是，要為它找到一個普遍的定義，則是不可能的。 如果我們力圖把這個原理加以十分普遍地闡述，並把它應用到宇宙，那麼我們就會看到它化為烏有，也可以說，除了存在著某種依然是常數的東西之外，它什麼也沒有留下。 但是，連這句話也有什麼意義嗎？按照決定論的假設，宇宙的狀態是由數目極大的n個參數決定的，我們將稱其為x1，x2，…xn。只要已知這n個參數在任一時刻的值，那麼同樣也就知道了它們對於時間的導數，從而能夠計算出這些參數在此之前或之後的時刻的值。換句話說，這n個參數滿足n個一階微分方程。 這些方程容許有n-1個積分，從而存在x1，x2，…xn的n-1個函數，它們依然是常數。假如我們說存在著某種依然是常數的東西，我們所說的只不過是同義反覆而已。我們甚至很難說出，在所有這些積分中，哪一個應該保留能量的名稱。 此外，當把邁爾原理應用到有限系統時，就不能在這種涵義上來理解它。於是人們假定，我們的參數中有p個是獨立地變化的，以至於在n個參數和它們的導數之間，我們只有n-p個關係，它們一般是線性的。 為了簡化闡述，假定外力作功之和是零，散發到外界的熱量也是零。這樣一來，我們的原理的意義將是： 在這n-p個關係中存在一種組合，其第一個元是恰當微分；然後，根據n-p個關係，這個微分變為零，它的積分便是常數，這個積分被稱之為能量。 但是，有幾個參數的變化是獨立的，這怎麼能夠是可能的呢？這種情況只有在外力的影響下才能發生（為簡單起見，雖然我們已假定這些力的結果的代數和是零）。事實上，假使這個系統完全與所有外部作用隔離，那麼我們的n個參數在給定時刻的值就足以決定該系統在任一後繼時刻的狀態，倘若我們總是保留決定論的假設的話；因此，我們又回到與上面一樣的困難。 如果該系統未來的狀態完全不由它的現在的狀態來決定，那麼這是因為它還依賴於該系統之外的物體的狀態。可是，在確定該系統狀態的參數x之間，有可能存在獨立於外部物體的這一狀態的方程嗎？另外，如果我們在某些個例中相信我們能夠找到這樣的方程，那麼這是否不僅僅由於我們無知，而且還因為這些物體的影響太微弱，以致我們用實驗檢測不到它嗎？ 如果這個系統不能被看做是完全孤立的，那麼很可能，它的內能的嚴格精確的表示式將取決於外部物體的狀態。再者，我在上面已經假定外功之和為零，如果我們力圖使自己擺脫這個有點人為的限制，那麼闡述就變得更加困難。 要在絕對的涵義上闡述邁爾原理，從而必須把它推廣到整個宇宙，於是我們發現我們企圖避免的困難又呈現在面前了。 總之，利用日常語言，能量守恆定律只能有一種涵義，這就是存在著一種對一切可能性都是共同的特性；可是，按照決定論的假設，只有一種可能性，從而這個定律不再有任何意義。 相反地，按照非決定論的假設，它卻有意義，即使在絕對的涵義上理解它；它也許是強加在自由上的一種限制。 但是，自由這個詞使我想到，我正在離開主題，正要跑到數學和物理學領域之外的地方。因此，我要自我克制，並在這一整個討論中將只強調一個印象，即邁爾原理具有足夠靈活的形式，足以使我們把我們所希望的幾乎任何東西都放入其中。由此看來，我沒有意指它對應於非客觀實在的東西，也沒有意指它僅僅劃歸為同義反覆，因為在每一個特例中，只要人們不企圖把它推向絕對，它就具有十分清楚的意義。 這種靈活性是人們相信它的持久性的理由，另一方面，因為它只有融入更高級的和諧中才會消失，所以我們可以滿懷信心地依靠它去工作，可以預先肯定，我們的努力不會白費。 我剛剛說過的幾乎一切都適用於克勞修斯原理。與之不同的是，它是用不等式來表示的。也許人們會說，它與一切物理定律相同，由於這些定律的精確性總是受到觀察誤差的限制。但是，它們至少自命為一級近似，人們希望用愈來愈精確的定律逐漸代替它們。另一方面，如果克勞修斯原理劃歸為不等式，那麼這並不是我們的觀察手段不完善的緣故，而是由該問題的真正本性引起的。 關於第三編的總結論 這樣一來，力學原理以兩種不同的姿態出現在我們的面前。一方面，它們是建立在實驗基礎上的真理，就幾乎孤立的系統而言，它們被近似地證實了。另一方面，它們是適用於整個宇宙的公設，被認為是嚴格真實的。 如果這些公設具有普遍性和確定性，而從中引出它們的實驗事實反倒缺乏這些性質，那麼，這是因為它們經過最終分析便劃歸為約定，我們有權利做出約定，由於我們預先確信，實驗永遠也不會與之矛盾。 然而，這種約定不是完全任意的；它並非出自我們的胡思亂想；我們之所以採納它，是因為某些實驗向我們表明它總是方便的。 這樣就可以說明，實驗如何能夠建立力學原理，可是實驗為何不能推翻它們。 與幾何學作一下比較：幾何學的基本命題，例如歐幾里得的公設，無非是些約定，要間它們是真還是假，正如問米制是真還是假，同樣是沒有道理的。 這些約定只是方便的，正是某些實驗告訴我們這一點。 乍一看，類比是圓滿的；實驗的作用似乎是相同的。因此，人們將會說：或者必須把力學看做是實驗科學，於是同樣的結論對幾何學而言也必定成立；或者相反，幾何學是演繹科學，於是人們可以說力學也是如此。 這樣的結論恐怕是不合理的。實驗引導我們把幾何學的基本約定視為比較方便的東西而加以採納，但是這些實驗依據的是與幾何學所研究的對象毫無共同之處的客體；它們與固體的性質有關，與光的直線傳播有關。它們是力學實驗，光學實驗；它們無論如何不能被看做是幾何學實驗。甚至可以說，我們的幾何學在我們看來似乎是方便的主要理由在於，我們身體的各部分、我們的眼睛、我們的四肢，都具有固體的性質。為此緣故，我們的基本實驗是出色的生理學實驗，這些實驗與作為幾何學家必須研究的對象即空間無關，而與他的身體，也就是說，與他為從事這一研究必須利用的器具有關。 相反地，力學的基本約定和向我們證明它們是方便的實驗與嚴格相同的客體或類似的客體有關。約定的和普遍的原理是實驗的和特殊的原理的自然而直接的概括。 讓別人不要說我在科學之間劃出一道人為的防線吧；而且，假如我用一道屏障把嚴格意義上所謂的幾何學與固體的研究分隔開來，那麼我同樣能夠在普遍原理的實驗式的力學和約定式的力學之間設立一道屏障。事實上，在把這兩門學科分開時，我把它們二者都弄得支離破碎了，當約定式的力學被孤立時，它將留下的只是微不足道的東西，而且無論如何也不能和被稱之為幾何學的這門學科的華美主體相比，誰看不到這一切呢？ 現在人們看到，力學教學為什麼還應該是實驗的。 只有這樣，才能夠使我們了解科學的起源，這對於完整地理解科學本身是必不可少的。 此外，我們研究力學，那是為了應用它；只有它始終是客觀的，我們才能夠應用它。現在，正如我們看到的，原理在普遍性和確定性方面有所得，它們在客觀性方面就有所失。因此，我們必須儘早熟悉的，尤其是原理的客觀性方面，只有從特殊到普遍，而不是反其道而行之，我們才能做到這一點。 原理都是約定或隱蔽的定義。可是，它們是從實驗定律引出的；可以說，這些定律被提升為原理，我們的心智把絕對的價值賦予它們。 有些哲學家概括得太過分了；他們認為原理就是整個科學，從而認為全部科學都是約定的。 這種自相矛盾的學說就是所謂的唯名論，它經不起審查。 定律怎麼能變成原理呢？它表達了兩個真實項A和B之間的關係。但它並非嚴格為真，它僅僅是近似的。我們任意引入一個或多或少是虛構的中間項C，按照定義，C恰好與A有該定律所表示的關係。 於是，我們的定律被分為兩部分：其一是絕對而嚴格的原理，它表示A和C的關係；其二是實驗的定律，它是近似的和可修正的，表示C和B的關係。很清楚，不管把這種分割推得多麼遠，將總有一些定律依然留下來。 現在，我們將進入嚴格所謂的定律的領域。 * * * [1] 下文是我的著作《熱力學》（Thermdynamipue）序言中的一部分。