科學與假設 · 第六章 經典力學

英國人把力學當做實驗科學來講授；在大陸，力學總是或多或少地被作為演繹的和先驗的科學來講述。不言而喻，英國人是正確的；可是，其他方法為何能夠堅持得如此長久呢？為什麼大陸學者企圖擺脫他們的前輩的慣例，可是總是不能完全獲得自由呢？ 另一方面，假使力學原理只是起源於實驗，那麼它們因此只不過是近似的和暫定的嗎？在某一天不會有新實驗導致我們修正甚或拋棄它們嗎？ 這是很自然地強加在它們之上的疑問，解答的困難主要出自下述事實：有關力學的專著沒有明確區分什麼是實驗、什麼是數學推理、什麼是約定、什麼是假設。 這並非問題的全部： 1°沒有絕對空間，我們能夠設想的只是相對運動；可是通常闡明力學事實時，仿佛絕對空間存在一樣，而把力學事實歸諸於絕對空間。 2°沒有絕對時間；說兩個持續時間相等是一種獨自毫無意義的主張，只有通過約定才能獲得意義。 3°不僅我們對兩個持續時間相等沒有直接的直覺，而且我們甚至對發生在不同地點的兩個事件的同時性也沒有直接的直覺：我在「時間的測量」 [1] 一文中已說明了這一點。 4°最後，我們的歐幾里得幾何學本身只不過是一種語言的約定；力學事實是可以根據非歐幾里得空間闡述的，非歐幾里得空間雖說是一種不怎麼方便的嚮導，但它卻像我們通常的空間一樣合理；闡述因而變得相當複雜，但是它依然是可能的。 於是，絕對空間、絕對時間、幾何學本身並不是強加在力學上的條件；就像法語在邏輯上並不先於人們用法語表述的真理一樣，所有這一切東西也不先於力學。 我們可能試圖用與所有這些約定無關的語言來闡述力學的基本定律；於是，我們無疑會更清楚這些定律本身是什麼；這是昂德拉德（Andrade）先生在他的《力學物理學教程》中試圖去做的東西，至少是部分地試圖去做的東西。 這些定律的闡述當然變得相當複雜，因為正是為了節略和簡化這一闡述，人們才特意發明了這一切約定。 至於我，除了涉及絕對空間外，我將把這一切困難置之腦後；並不是我沒有意識到它們，絕非如此；要知道，我在本書的頭兩編已充分地考察了它們。 因此，我將暫且承認絕對空間和歐幾里得幾何學。 慣性原理。不受力作用的物體只能做勻速直線運動。 這是先驗地強加在心智上的真理嗎？假若如此，希臘人為何沒有認出它呢？他們怎麼會相信，當產生運動的原因中止，運動也就停止呢？或者，他們怎麼會相信，每一物體若無阻礙，將做最高貴的圓周運動呢？ 如果人們說，物體的速度不能改變，只要沒有使它改變的理由，那麼人們難道不能同樣地堅持這個物體的位置不能改變或它的軌道曲率不能改變，只要沒有外部原因參與變更它們嗎？ 慣性原理不是先驗的真理，它因而是實驗事實嗎？但是，任何人在任何時候實驗過不受每一個力作用的物體嗎？即使如此，又如何知道這些物體不受力的作用呢？通常引用的例子是球能在大理石板上滾動很長時間；可是，我們為什麼說它沒有受到力的作用呢？這是因為它遠離所有其他物體，從而經受不到來自它們的可感覺的作用嗎？可是，如果把它無約束地拋到空中，它也沒有遠離地球；每一個人都知道，在這種情況下，它經受了歸因於地球引力的重力的影響。 力學教師通常很快地講完球的例子；但他們附加說，慣性原理間接地被它的結果證實（verification）了。他們沒有正確地表示它們；他們顯然意味著，證實比較普遍的原理的各種推論是可能的，慣性原理只不過是其中的一個特例而已。 對於這個普遍原理，我將提出下述闡述： 物體的加速度僅取決於這個物體和鄰近物體的位置以及它們的速度。 數學家會說，宇宙中一切物質分子的運動都取決於二階微分方程。 這實驗上是慣性定律的自然推廣，為了使之更加清楚，我要請求你容許我作一點虛構。正如我上面說過的，慣性定律並非先驗地強加於我們；其他定律同樣可以完全與充足理由律相容。假如物體不受力的作用，那麼與其假定它的速度不變，倒不如假定它的位置不變，要不然就假定它的加速度不變。 好了，讓我們暫時設想，這兩個假設的定律之一是自然定律，它代替了我們的慣性定律。什麼可以是它的自然概括呢？稍加思索就會使我們明白。 在第一種情況下，我們必須假定，物體的速度僅僅取決於它的位置和鄰近物體的位置；在第二種情況下，我們必須假定，物體加速度的變化僅僅取決於這個物體的位置和鄰近物體的位置，以及它們的速度和加速度。 或者，用數學語言來說，運動微分方程在第一種情況下是一階的，而在第二種情況下是三階的。 讓我們稍微修改一下我們的虛構。設有一個類似於我們太陽系的世界，但是由於奇怪的機遇，在那裡所有行星的軌道沒有離心率和傾角。進而假定這些行星的質量太小，以致它們的相互攝動難以覺察到。居住在這些行星之一上的天文學家不能不得出結論說，恆星的軌道只能是圓的，且平行於某一平面；於是，恆星在給定時刻的位置便足以確定它的速度和它的整個路程。他們可能採納的慣性定律也許是我已經提到的兩個假設的定律中的第一個。 現在，設想在某一天來自遙遠星座的一個大質量天體以高速通過這個系統。所有的軌道都被大大地擾亂了。我們的天文學家還不會十分驚訝；他們會十分明確地推測，這個新星乃是唯一受到責備的禍首。他們也許說：「不過，當新星遠離之後，秩序將自然地得以重建；無疑地，行星到太陽的距離將不會回復到它們在災變前的狀態，但是當擾亂的星球遠離時，軌道將再次變成圓的。」 也許只有當擾亂的天體遠離之後，當軌道不再變為圓形，而變成橢圓形時，這些天文學家才會逐漸意識到他們的錯誤和改造整個力學的必要性。 我已經詳細地講述了這些假設，因為在我看來，人們似乎只有把被概括的慣性定律與相反的假設相對照，才能清楚地理解該定律實際上是什麼。 好了，現在這個被概括的慣性定律用實驗證實了嗎，或者它能夠被證實嗎？當牛頓寫《原理》一書時，他完全以為這個真理是通過實驗獲得的和證明的真理。在他看來之所以如此，不僅是由於我將要進一步談及的擬人說的影響，而且也受到伽利略（Galileo）工作的影響。甚至從克卜勒（Kepler）定律本身起就是這樣了；事實上，按照這些定律，行星的路線完全由它的初始位置和初始速度決定；這恰恰是我們概括的慣性定律所要求的東西。 由於這個原理只是表面上是真實的，由於人們有理由擔心在某一天它被我剛才與之對照的類似的一個原理代替，我們必定會被某種令人驚異的機遇引入歧途，就像在上面提出的虛構中，我們設想的天文學家導致出錯誤一樣。 這樣的假設太靠不住了，不值得在此停留下去。沒有一個人相信這樣的巧合能夠發生；毫無疑問，兩個離心率的機率正好在觀察誤差範圍內是零，例如，它與在觀察誤差範圍內一個機率恰恰等於0.1，另一個機率恰恰等於0.2簡直是一樣的。一個簡單事件的機率並不小於一個複雜事件的機率；可是，如果頭一個發生了，我們不會同意把它歸因於機遇；我們不會相信，自然界故意欺騙我們。由於拋棄了這類錯誤的假設，因而可以承認，就天文學而言，我們的定律被實驗證實了。 然而，天文學不是物理學的全部。 我們不會害怕在某一天新實驗將要在物理學的某些領域內否證該定律嗎？實驗定律總是要受到修正的；人們總是期望看到用更為精確的定律代替它。 可是，沒有一個人認真地認為我們正在談論的定律將永遠被拋棄或被修正。為什麼？恰恰是因為它永遠不能受到決定性的檢驗。 首先，為了這個試驗是完備的，必須在某一時間之後，宇宙中的所有天體應該回復到它們的初始位置以及初始速度。接著，就可以看到，從這一時刻開始，它們是否返回到它們的原始路線。 但是，這種檢驗是不可能的，它只能部分地使用，而且不管做得多麼好，將總是有一些天體不能回復到它們的初始位置；從而，對於該定律的每一次背離都容易找到它的說明。 這並非一切；我們在天文學中看到我們研究其運動的天體，我們通常假定它們不受其他不可見天體的作用。在這些條件下，我們的定律的確或者必須被證實，或者不必被證實。 不過，在物理學中情況並不一樣；如果物理現象都是由於運動，那就是我們看不見的分子的運動。其次，在我們看來，如果我們看得見的物體之一的加速度，除了依賴於其他可見的物體或者我們預先可以承認其存在的不可見的分子的位置或速度外，似乎還依賴於另外的東西，那麼就沒有什麼妨礙我們假定，這種另外的東西就是我們以前未曾懷疑其存在的其他分子的位置或速度。該定律本身將依然得到保護。 請容許我使用數學語言以另一種形式描述一下同一思想。假定我們觀察n個分子，並查明它們的3n個坐標滿足3n個四階（不像慣性定律所要求的二階）微分方程組。我們知道，通過引入3n個輔助變量，3n個四階方程組能夠被簡化為6n個二階方程組。其次，如果我們假定這3n個輔助變量代表n個不可見分子的坐標，那麼結果就重新與慣性定律一致。 總而言之，這個在某些特殊個例下用實驗證實的定律，可以毫不猶豫地推廣到最普遍的個例中去，因為我們知道，在這些普遍的個例中，實驗既不能夠進一步證實它，也不能夠反駁它。 加速度定律。一個物體的加速度等於作用在它上面的力除以它的質量。這個定律能夠用實驗證實嗎？為此，就必須測量在這個闡述中要計算的三個量：加速度、力和質量。 我假定能夠測量加速度，因為我把在時間測量中產生的困難拋開了。可是，怎樣測量力或質量呢？我甚至不知道它們是什麼。 什麼是質量呢？按照牛頓的觀點，質量是體積與密度之積。按照湯姆孫（Thomson）和泰特（Tait）的觀點，最好說密度是質量除以體積之商。什麼是力呢？拉格朗日（Lagrange）回答說，力是使物體運動或企圖使物體運動的東西。基爾霍夫（Kirchhoff）則說，力是質量與加速度之積。但是，為什麼不說質量是力除以加速度之商呢？ 這些困難是無法解決的。 當我們說力是運動的原因時，我們是在談論形上學，人們若滿足這個定義，肯定毫無成果。要使一個定義有任何用處，它必須告訴我們如何測量力；而且，這就足夠了；它根本沒有必要告訴我們力本質上是什麼，或者它是運動的原因還是運動的結果。 因此，我們必須首先定義兩力之相等。我們什麼時候才可以說兩力相等呢？我們被告知，只有當它們施於相同的質量，使之產生相同的加速度時，或者當它們彼此直接相反從而出現平衡時。這個定義只不過是贗品而已。我們不能使施加到一個物體上的力脫離而使它依附於另一個物體，猶如不能使機車脫鉤而把它掛到另一節車廂上一樣。因此，我們不可能知道，施加於一個物體的力，如果把它施加給另一個物體，那麼它會使另一個物體產生多大的加速度。我們也不可能知道，如果兩個力曾經是直接相反的，當它們現在不直接相反時，它們會怎樣作用。 可以說，當我們用測力計測量力時，或者使力與一個重物平衡時，我們正是企圖使這個定義具體化。為簡單起見，我將假定兩個豎直向上的力F和F'分別施加在兩個物體C和C'上；我把同一個重物P先掛在物體C上，然後掛到物體C'上；如果在兩種情況下出現了平衡，我將得出結論說，兩力F和F'彼此相等，因為它們每一個都等於物體P的重量。 但是，我能夠確信當我把物體P從第一個物體移到第二個物體時，物體P保持同一重量嗎？遠非如此；我確信情況截然相反；我知道，重力的強度從一點到另一點是變化的，例如，它在兩極比在赤道為強。無疑地，差別是極其微小的，實際上我們可以不考慮它；但是，適當構造的定義應該具有數學嚴格性；這種嚴格性卻不足。我就重力所說的話顯然適用於測力計的彈性力，溫度和許多境況都可以使彈性力變化。 問題並未就此而已；我們不能說物體P的重量可以施於物體C且直接與力F平衡。施加於物體C的，是物體P加於物體C上的作用A；一方面，物體P部分地受到它的重力的作用；另一方面，受到物體C施加在P上的反作用R。結果，力F等於力A，因為F與A平衡；根據作用與反作用相等原理，力A等於R；最後，力R等於P的重量，因為R與P平衡。正是從這三個相等中，我們從而推論出F與P的重量相等。 因此，在定義兩個力相等時，我們不得不引入作用與反作用相等原理；由於這個原因，這個原理必須不再被認為是實驗定律，而是一個定義。 在這裡為辨認兩個力相等，我們於是具有兩個法則：相互平衡的兩力相等；作用力與反作用力相等。但是，正如我們在上面看到的，這兩個法則是不充分的；我們不得不求助於第三個法則，並且假定某些力，例如物體的重量，在大小和方向上均為常數。但是，正如我已說過的，第三個法則是實驗定律；它僅僅是近似真實的；它是一個拙劣的定義。 因此，我們被迫回到基爾霍夫的定義力等於質量乘以加速度。這個「牛頓定律」本身不能認為是實驗定律，它現在僅僅是定義而已。但是，這個定義也不充分，因為我們不知道質量是什麼。它無疑能使我們計算在不同時刻施加在同一物體上的兩個力的關係；但它無法告訴我們施加在兩個不同物體上的兩個力的關係。 為了完善這個定義，必須重新返回到牛頓第三定律（作用與反作用相等），再次認為它不是實驗定律，而是一個定義。兩個物體A和B相互作用；A的加速度乘以A的質量等於B施加於A上的作用力；用同樣的方式，B的加速度與其質量之積等於A施加於B的反作用力。按照定義，因為作用力等於反作用力，所以A和B的質量與它們的加速度成反比。在這裡，我們定義了這兩個質量之比，而且證實這個比率是常數的正是實驗。 假使只有物體A和B在場，它們不受世界上其餘物體的作用，那麼這個定義便是十分完好的。可是情況根本不是這樣；A的加速度不僅僅是由於B的作用，而且也是由於其他物體C，D，……的作用。為了運用前面的法則，因此必須把A的加速度分解為許多分量，並辨認這些分量中的哪一個是由於B的作用。 如果我們假定C施加於A的作用力簡單地加在B施加於A的作用力上，而且改變B施加於A的作用的物體C並不存在，或者改變C施加於A的作用力的物體B並不存在，那麼這種分解還是可能的；因此，如果我們假定任何兩個物體相互吸引，它們的相互作用沿著它們的連線，而且僅取決於它們相隔的距離；一句話，如果我們假定有心力假設，那麼這種分解也是可能的。 你知道，為了決定天體的質量，我們利用完全不同的原理。萬有引力定律教導我們，兩個物體的引力與它們的質量成正比；若r是它們之間的距離，m和m'是它們的質量，k是常數，是它們的引力將是kmm'/r2。 於是，我們正在測量的不是作為力與加速度之比的質量，而是引力質量；它不是物體的慣性，而是它的引力。 這是間接程序，這個程序的使用在理論上並不是必不可少的。很可能，引力與距離的平方成反比，而不與質量的乘積成正比，它等於f/r2，而不是我們所具有的f = kmm'。 假若如此，我們通過觀察天體的相對運動，仍然可以測量這些天體的質量。 可是，我們有權利承認有心力假設嗎？這個假設嚴格正確嗎？能肯定它永遠不會與實驗矛盾嗎？誰敢肯定這一點呢？如果我們必須拋棄這個假設，那麼如此辛苦建造起來的整個大廈就要崩潰了。 我們不再有權利說A的加速度的分量是由於B的作用。我們無法把它與由於C或另外的物體的作用所產生的加速度區別開來。測量質量的法則變得不能應用了。 作用與反作用相等原理還留下什麼東西呢？如果捨棄了有心力假設，這個原理顯然應該如下闡述：施加於與所有外部作用隔離的系統中的各物體上的幾何合力將為零。或者，換句話說，這個系統重心的運動將是勻速直線運動。 我們似乎有辦法定義質量；重心的位置顯然取決於質量所具有的值；有必要以這樣的方式安排這些值，使重心的運動可以是勻速直線運動；如果牛頓第三定律是真實的，這將總是可能的，一般說來，這隻有在一種方式下才可能。 但是，不存在與所有外部作用隔離的系統；宇宙的各個部分都或多或少地受到所有其他部分的作用。重心運動定律只有應用於整個宇宙時才是嚴格真實的。 但是，為了由此得到質量的值，有必要觀察宇宙重心的運動。這個結果的荒謬是顯而易見的；我們只知道相對運動；宇宙重心的運動對我們來說依然是永遠不可知的。 因此，什麼東西也沒有留下來，我們的努力毫無成果；我們被迫退到下述定義，這只不過是一個無能為力的聲明：質量是為計算方便而引入的係數。 我們能夠通過把不同的值賦予所有質量而重建全部力學。這種新力學既不會與經驗相矛盾，也不會與動力學的普遍原理（慣性原理、力與質量和加速度成正比、作用和反作用相等以及重心的勻速直線運動、面積原理）相矛盾。 只是這種新力學的方程不怎麼簡單。讓我們清楚地理解一下：不怎麼簡單的只可能是頭些項，這就是經驗已經使我們知道的那些項；人們也許可以稍微改變一下質量，而不使完全方程在簡單性方面有所得或有所失。 赫茲（Hertz）曾經提出了一個問題：力學原理是否是嚴格真實的。他說：「在許多物理學家看來，最間接的經驗在任何時候都可以改變牢不可破的力學原理中的一切，這是不可思議的；可是，從經驗中得來的東西總可以由經驗矯正。」由於我們剛才所說的，這些擔心似乎是毫無根據的。 對我們來說，動力學原理乍看起來好像是實驗的真理；但是，我們不得不把它們作為定義來使用。正是按照定義，力等於質量與加速度之積；於是，這裡就有一個今後不受任何進一步的實驗影響的原理。同樣根據定義，作用等於反作用。 但是，有人會說，這些不可檢驗的原理完全沒有任何意義；實驗不能反駁它們；然而，它不能告訴我們任何有用的東西；這樣一來，研究動力學有什麼用處呢？ 這種輕率的定罪未免太不公平了。在自然界中沒有任何完全孤立的、完全擺脫一切外部作用的系統；可是，有幾乎孤立的系統嗎？ 如果這樣一個系統被觀察到了，人們不僅可以研究它的各部分相對於另外部分的相對運動，而且也可以研究它的重心相對於宇宙其他部分的運動。我們接著查明，這個重心的運動是勻速直線運動，這與牛頓第三定律一致。 這是實驗的真理，但實驗不能使它失效；事實上，比較精確的實驗能告訴我們什麼呢？它會告訴我們，定律只不過是差不多真實的；可是，我們早已知道了這一事實。 現在我們能夠理解，經驗為何能作為力學原理的基礎，可是從來也不能與它們矛盾。 擬人的力學。有人會說：「基爾霍夫只是遵循傾向於唯名論的數學家的一般趨勢行動；作為一個能幹的物理學家，也不能使他避免這一點。他想定義力，為此他採用了呈現在眼前的第一個命題；但是我們不需要力的定義：力的觀念是原始的、不可還原的、不能定義的；我們都知道它是什麼，我們對它有一種直接的直覺。這種直接的直覺來自費力的概念，我們自幼就熟悉這一概念了。」 但是，首要的是，即使這種直接的直覺使我們了解到力本身的真正本性，可它作為力學的基礎還是不夠的；況且，它也許是完全無用的。重要的是，不在於了解力是什麼，而是了解如何測量力。 對於力學家來說，凡是不能告訴我們測量力的都是無用的，例如，這就像熱和冷的主觀概念對於研究熱的物理學家來說無用一樣。這種主觀概念不能翻譯為數，因而它毫無用處；一個科學家的皮膚是熱的絕對不良導體，因而他永遠不會感到冷，也不會感到熱，可是他能夠像任何其他人那樣讀溫度計，這就足以使他構造整個熱理論。 現在，對我們來說，這種直接的費力概念不能用來測量力；例如，很清楚，我提50公斤重物就會感到比慣於負重的人勞累。 可是，還有比這更多的東西：這種費力的概念沒有告訴我們力的真正本性；它本身最終歸結為肌肉感覺的記憶，而且人們無法堅持，當太陽吸引地球時，太陽感受到肌肉感覺。 在那裡能夠探尋的一切只是一種符號，它並不比幾何學家所使用的箭號精確和方便，可是正因為這樣它才遠離實在。 在力學的誕生中，擬人說起了顯著的歷史作用；也許它有時還將提供一種符號，這對某些心智來說似乎是方便的；不過，它不能作為真正科學的或哲學的特徵的基礎。 「線學派」。昂德拉德先生在他的《力學物理學教程》中使擬人的力學恢復了生機。為了與基爾霍夫所屬的力學學派相對抗，他奇怪地自稱線學派。 這個學派企圖把一切都還原為「忽略質量的某些物質系統來考慮，設想該系統處於張力狀態，能夠把相當大的力量傳給遙遠的物體，這些系統的理想形式是線。」 傳遞任何力的線在這個力的作用下稍稍伸長；線的方向告訴我們力的方向，其大小由線的伸長來測量。 於是，人們可以想像這樣一個實驗。物體A繫到線上；在線的另一端施加任何一種力，改變力的大小直到線伸長α；記下物體A的加速度；分開A，把物體B繫到同一條線上；重新施加同一力或另外的力，改變力的大小直到線再次伸長α；記下物體B的加速度。然後，用A和B重新開始實驗，但是使線伸長β。四個觀察到的加速度應當成比例。這樣一來，我們就對上面所闡述的加速度定律進行了實驗證實。 或者，最好使一個物體受到具有相等張力的幾個等價線的同時作用，並用實驗尋找使物體處於平衡的所有這些線的方向。這樣一來，我們就對力的合成法則進行了實驗證實。 可是，我們到底做了什麼呢？我們定義了這條線經受形變時所受到的力，這是有足夠的理由的；我們進而假定，如果把一個物體系到這條線上，那麼通過線傳遞給它的力量等於物體施加在這條線上的作用力；畢竟，我們因之使用了作用與反作用相等原理，可是並沒有認為它是實驗的真理，而認為它正是力的定義。 這個定義恰如基爾霍夫的定義一樣，是約定的，但遠非是普遍的。 並非所有的力都是通過線傳遞的（況且，為了能夠比較這些力，它們都必須通過等價的線傳遞）。即使可以承認地球是用某種不可見的線繫到太陽上，那麼至少應該同意，我們沒有辦法測量它的伸長。 因此，我們的定義十有九是錯誤的；我們不能賦予它以任何意義，於是必須回到基爾霍夫的定義。 那麼，為什麼要費這個周折呢？你同意，力的某個定義只有在某些特殊個例中才有意義。在這些個例中，你用實驗證實，它導致了加速度定律。依據這個實驗的力量，你於是把加速度定律作為在所有其他個例中的力的定義。 把加速度定律作為所有個例中的定義，認為上述實驗不是這個定律的證實，而是反作用原理的證實，或者是證明了彈性體的形變僅取決於它所受到的力，這不是會更簡單一些嗎？ 你的定義能被接受的條件永遠不會完全滿足，線永遠不會沒有質量，線除受到系在它的末端的物體的反作用之外永遠不會免受其他力的作用，這都沒有考慮在內。 不過，昂德拉德的觀念是十分有趣的；即使這些觀念不能滿足我們的邏輯渴望，但它們卻能使我們更好地理解力學基本觀念的歷史起源。它們提出的見解向我們表明，人類心智本身如何從樸素的擬人說上升到當今的科學概念。 我們在開始時看到一種很特殊的、總之是相當粗糙的實驗；在結束時，我們看到極普遍、極精確的定律，我們認為它的可靠性是絕對的。可以說，由於認為它是約定，我們自己才自願地把這種確定性給予它。 那麼，加速度定律、力的合成法則僅僅是任意的約定嗎？是的，是約定；要說是任意的，那就不對了；它們能夠是約定，即使我們沒有看到導致科學創造者採納它們的實驗，儘管它們可能是不完善的，但也足以為它們辯護。我們最好時時留心回想這些約定的實驗根源。 * * * [1] 《形上學和道德評論》，第Ⅵ卷，第1—13頁，1898年1月。（Revue de méta physique et de Morale，t. VI.，pp.1—13，January，1898 .）