科學與假設 · 第五章 經驗和幾何學

1. 在前文中，我已經花了大量時間力圖證明，幾何學原理不是實驗的事實，尤其是歐幾里得的公設不能用實驗來證明。 不管已經給出的理由在我看來是多麼具有決定性，我認為還應該強調這一點，因為在這裡，虛假的觀念在許多人的頭腦中是根深蒂固的。 2. 如果我們用材料製作一個圓圈，測量它的半徑和周長，並看到這兩個長度之比等於π，那麼我們想做什麼呢？我們想做我們用來製造這個圓形東西的物質的特性的實驗，以及用來製造量尺的物質的特性的實驗。 3. 幾何學和天文學。問題也可以以另一種方式提出。如果羅巴契夫斯基幾何學是真實的，那麼十分遙遠的恆星的視差將是有限的；如果黎曼幾何學是真實的，視差將是負的。這些似乎是在實驗所及的範圍內的結果，可以期望，天文觀察能使我們在三種幾何學之間做出抉擇。 但是，在天文學中，直線只是意味著光線的路徑。 因此，如果發現了負視差，或者證明了一切視差都大於某一極限，那麼兩條道路向我們敞開著；我們既可以放棄歐幾里得幾何學，也可以修正光學定律，假定光嚴格說來不是以直線傳播的。 不用多說，所有的世界都會認為後一種解決辦法比較有利。 因此，歐幾里得幾何學一點也不害怕新穎的實驗。 4. 某些現象在歐幾里得空間是可能的，而在非歐幾里得空間則不可能，以致經驗在確立這些現象時便與非歐幾里得假設直接矛盾，這種見解站得住腳嗎？就我的本分而言，我沒有思索這樣一個能夠被提出的問題。按照我的意見，它正好等價於下述問題，其荒謬程度在所有的人看來都是一目了然的：存在著用米和厘米可以表示的長度，但卻不能用、英尺和英寸來測量，以致當經驗弄清這些長度存在時，它卻直接與標度為六英尺的假設相矛盾嗎？ 比較仔細地考察一下這個問題吧。我假定，直線在歐幾里得空間具有任何兩種特性，我將稱其為A和B；在非歐幾里得空間，它還具有特性A，但不再具有特性B；最後，我假定，在歐幾里得空間和非歐幾里得空間中，直線只是具有特性A的線。 果真如此，經驗就能夠在歐幾里得的假設和羅巴契夫斯基的假設之間做出裁決了。結果查明，能用實驗檢驗的一個確定的具體的客體——例如一束光線——具有特性A；我們便可以斷定，它是直線，接著我們再研究它是否具有特性B。 然而，情況並非如此；沒有一種特性像特性A那樣，能夠作為一種絕對標準使我們辨認直線以及區分直線和其他每一種線。 例如，我們是否可以說：「這樣的特性如下：直線是這樣一種線，即就是使包含該線的圖形能夠運動，而該圖形各點的相互距離不變，從而這個線上的所有點依然是固定的？」 事實上，這就是在歐幾里得空間或非歐幾里得空間中屬於直線、且唯一屬於直線的特性。但是，我們怎樣用實驗來弄清它是否屬於這個或那個具體對象呢？這就必須測量距離，可是人們怎麼會知道，我用材料做成的儀器所測量的任何具體大小實際上表示的是抽象的距離呢？ 我們只不過是把困難向後推了一下而已。 其實，我剛才說過的特性不僅僅是直線的特性，它是直線和距離二者的特性。為了把它作為絕對標準，我們不僅必須能夠確立，除直線和距離之外，它不屬於任何線，而且還必須能夠確立，它不屬於直線之外的線以及不屬於距離之外的數量。不過，這是不正確的。 因此，不可能設想一種能夠在歐幾里得體系加以詮釋、而在羅巴契夫斯基體系不能加以詮釋的具體實驗，於是我可以得出結論： 經驗在任何時候都不會與歐幾里得公設矛盾；另一方面，任何經驗永遠也不會與羅巴契夫斯基公設矛盾。 5. 但是，歐幾里得（或非歐幾里得）幾何學永遠不能直接與實驗矛盾，這還是不夠的。它能夠與經驗一致，只是因為違背了充足理由律和空間相對性原理，這種狀況不可能發生嗎？ 我願自我說明一下：考慮任何一個物質系統；一方面，我必須注意這個系統各物體的「狀態」（例如，它們的溫度，它們的電勢等等），另一方面，必須注意它們在空間的位置；而且，在能使我們規定這個位置的數據中，我們將把規定這些物體相對位置的相互距離與規定該系統絕對位置和它在空間的絕對取向的條件區別開來。 在這個系統中將要發生的現象的規律取決於這些物體的狀態和它們的相互距離；但是，因為空間的相對性和無源性，它們將不依賴該系統的絕對位置和取向。 換句話說，物體在任何時刻的狀態和它們的相互距離僅取決於這些同樣的物體在初始時刻的狀態和它們的相互距離，但是完全不依賴該系統的絕對初始位置和絕對初始取向。簡而言之，這就是我所命名的相對性定律。 迄今，我是作為一個歐幾里得幾何學家講話。正如我已經說過的，無論什麼經驗，都容許按照歐幾里得假設進行詮釋；但是，它同樣容許按照非歐幾里得假設進行詮釋。好了，我們做了一系列實驗；我們根據歐幾里得假設詮釋它們，而且我們認出，這些如此詮釋的實驗沒有違背這個「相對性定律」。 我們現在根據非歐幾里得假設詮釋它們：這總是可能的；在這個新詮釋中，只有不同物體的非歐幾里得距離一般將不同於原來詮釋中的歐幾里得距離。 以這種新方式詮釋的實驗還會與我們的「相對性定律」一致嗎？如果不存在這種一致，我們也沒有權利說經驗證明了非歐幾里得幾何學的謬誤嗎？ 很容易看到，這是杞人憂天；事實上，為了十分嚴格地使用相對性定律，必須把它應用到整個宇宙。這是因為，如果僅僅考慮這個宇宙的一部分，如果這部分的絕對位置恰恰改變了，那麼它與宇宙其他物體的距離同樣也會改變，因而這些物體對所考慮的宇宙部分的影響便會增大或減小，這就要修正在那裡發生的現象的定律。 可是，假如我們的系統是整個宇宙，那麼經驗便不能給出它在空間的絕對位置和取向的信息。不管我們的儀器多麼完善，它們能夠告訴我們的一切將是宇宙各部分的狀態和它們的相互距離。 於是，我們的相對性定律可以闡述如下： 在任何時刻，我們根據我們的儀器能夠得到的讀數，將僅僅依賴於我們根據同一儀器在初始時刻能夠得到的讀數。 現在，這樣一種闡述與實驗事實的每一種詮釋無關。如果定律在歐幾里得詮釋中為真，那麼它在非歐幾里得詮釋中亦為真。 請容許我在這裡插一點話。我在上面已說過規定系統各個物體的位置的數據；我同樣要說規定它們的速度的數據；我接著必須把各個物體相互距離變化的速度區別開來；另一方面，必須區別系統的平動速度和轉動速度，也就是它的絕對位置和取向變化的速度。 為了使心智十分滿意，相對性定律可以這樣表達： 物體在任何時刻的狀態和它們的相互距離，以及這些距離在同一時刻變化的速度，將僅僅取決於這些物體在初始時刻的狀態和它們的相互距離以及這些距離在初始時刻變化的速度，但是它們既不依賴於系統的絕對初始速度，也不依賴於它的絕對取向，還不依賴於絕對位置和取向在初始時刻變化的速度。 不幸的是，這樣闡述的定律與實驗不符，至少是在這些實驗按通常那樣詮釋時。 設把一個人運送到總是陰霾密布的行星上，以致他永遠也看不到其他恆星；他生活在這個行星上，仿佛行星在空間中是孤立的一樣。不過，這個人既可以通過測量行星的扁率（通常藉助於天文觀察來完成，但也能夠藉助於純粹的大地測量方法），也可以重做傅科（Foucault）擺實驗，從而可以意識到行星轉動。因此，這個行星的絕對轉動便變得很明顯。 這是一個使哲學家震驚的事實，但是物理學家卻不得不接受它。 我們知道，牛頓從這一事實中推斷出絕對空間的存在；我自己完全不能採納這一觀點。我將在第三編開始研討其中的緣由。我暫且不打算說明這個難題。 因此，在闡述相對性定律時，我們必須聽任把規定物體狀態數據中的各種速度包括在內。 無論如何，這個困難對於歐幾里得幾何學與對於羅巴契夫斯基幾何學也許都是一樣的；因此，我不需要為此而煩惱，我只是順便提到它。 重要的是這個結論：實驗不能在歐幾里得幾何學和羅巴契夫斯基幾何學之間做出裁決。 總而言之，無論我們從哪一方面進行考察，都不可能在幾何學經驗主義中發現合理的意義。 6. 實驗只不過告訴我們物體相互之間的關係；至於物體與空間的關係，或者空間各部分的相互關係，沒有一個實驗影響或能夠影響。 「是的，」你回答說：「單一的實驗是不夠的，因為它只能給我一個帶有許多未知數的方程，可是當我作了足夠的實驗後，我就有了足以計算所有未知數的方程。」 知道船的主桅的高度還不足以計算船長的年齡。當你測量了船上每一塊木頭，你就會得到許多方程，可是你還不能更清楚地了解他的年齡。你所測量的一切僅僅與木塊有關，它們只能向你揭示與這些木塊有關的東西。正是這樣，你的實驗無論多麼多，它們只是影響到物體相互之間的關係，而絲毫也不能向我們揭示空間各部分的相互關係。 7. 你又要說，如果實驗與物體有關，那麼它們至少與物體的幾何學特性有關嗎？可是，首先一個問題是，你是如何理解物體的幾何學特性呢？我假定它就是物體與空間的關係問題；因此，這些特性是只涉及到物體相互之間關係的實驗所無法達到的。僅僅這一點就足以表明，不可能存在這些特性的問題。 還是讓我們從理解物體的幾何學特性這個詞語的意義開始吧。當我說一個物體由若干部分組成時，我假定我在其中沒有陳述幾何學特性，即使我同意把我認為最小的部分不恰當地稱之為點，這依然是對的。 當我說，某一物體的某一部分與另一物體的某一部分接觸時，我闡述了關於這兩個物體相互關係的命題，而沒有闡述它們與空間關係的命題。 我假定你將承認我的觀點，即這一切並不是幾何學特性；我至少確信，你將承認我所說的，即這些特性與度量幾何學的全部知識無關。 預先假定了這一點後，我設想我們有一個固體，它是由共同連接在一個端點O上的八根細鐵棒OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH構成的。此外，設我們有第二個物體，例如一塊用三個小墨點標記的木塊，我稱其為α，β，γ。我進一步假定，已弄清αβγ可以與AGO接觸（我意指α與A，β與G，γ與O同時接觸），然後我可以相繼使αβγ與BGO，CGO，DGO，EGO，FGO，接觸，其次與AHO，BHO，CHO，DHO，EHO，FHO接觸，接著使αγ與AB，BC，CD，DE，EF，FA相繼接觸。 這些是我們在預先沒有任何空間形式或空間度量特性概念的情況下就可以做出的決定。它們決不涉及「物體的幾何學特性」。如果物體用與羅巴契夫斯基群相同結構的群（我意指按照與羅巴契夫斯基幾何學中的固體相同的定律）的運動做實驗，那麼這些決定將是不可能的。因此，它們足以證明，這些物體按照歐幾里得群運動，或者至少物體不按照羅巴契夫斯基群運動。 顯而易見，這些決定與歐幾里得群一致。這是因為，這些決定能夠在下述條件下做出：如果物體αβγ是我們通常幾何學的呈現為直角三角形形式的剛體，如果點ABCDEFGH是多面體的頂點，而多面體又是由我們通常幾何學的兩個正六稜錐形成的，且具有公共底面ABCDEF，其一頂點為G，另一頂點為H。 現在假定，在代替前面的決定時可以注意到，如上所述的αβγ能夠依次用於AGO，BGO，CGO，DGO，EGO，AHO，BHO，CHO，DHO，EHO，FHO，然後αβ（而不再是αγ）能夠依次用於AB，BC，CD，DE，EF和FA。 如果非歐幾何學是真實的，如果物體αβγ和OABCDEFGH是剛體，如果第一個物體是直角三角形而第二個物體是適當維數的對頂正六稜錐，那麼這些就是可以做出的決定。 因此，如果物體按照歐幾里得群運動，那麼這些新決定是不可能的；但是，如果假定物體按照羅巴契夫斯基群運動，那麼它們就變得可能了。因此（如果人們做出了它們），它們就足以證明，上述物體不能按照歐幾里得群運動。 就這樣，即使不就空間的形式、空間的本性、物體和空間的關係做任何假設，即使不賦予物體以任何幾何學特性，我也獲得了觀察資料，能夠使我證明，在一種情況下物體用其結構是歐幾里得群的運動，在另一種情況下物體用其結構是羅巴契夫斯基群的運動。 而且，人們不能說，決定的第一個集合構成了證明空間是歐幾里得空間的實驗，決定的第二個集合構成了證明空間是非歐幾里得空間的實驗。 事實上，人們能夠想像（我說想像），如此運動的物體使第二組決定成為可能的。其證據在於，第一流的技工，只要他願意賣力花錢，就能製造這樣的物體。可是，你不要由此得出結論，說空間是非歐幾里得空間。 不僅如此，雖然技工製造出我剛才所說的奇怪的物體，但是因為普通物體繼續存在，所以有必要得出結論說，空間同時是歐幾里得空間和非歐幾里得空間。 例如，假定我們有一個半徑為R的大球面，溫度從這個球的中心到球表面按照我在描述非歐幾里得世界時所講過的規律減小。 我們可以有這樣的物體，其膨脹可以忽略不計，其行為像通常的剛體一樣；另一方面，我們也可以有膨脹率很大的物體，其行為像非歐幾里得固體。我們可以有兩個對頂稜錐OABCDEFGH和O'A'B'C'D'E'F'G'H'以及兩個三角形αβγ和α'β'γ'。第一個對頂稜錐是直線的，而第二個是曲線的；三角形αβγ是用不會膨脹的物質做成的，而另一個則是用極易膨脹的物質做成的。 於是，用對頂稜錐OAH和三角形αβγ就可以獲得第一批觀察資料，用對頂稜錐O'A'H'和三角形α'β'γ'就可以獲得第二批觀察資料。這樣一來，實驗似乎先證明歐幾里得幾何學為真，接著又證明它為假。 因此，實驗與空間無關，而與物體有關。 補遺 8. 為使內容完備起見，我應當談一個十分棘手的問題，這也許需要太長的篇幅；在這裡，我只想概括地介紹一下我在《形上學和道德評論》和《一元論》雜誌中詳述過的東西。當我說，空間有三維，我們意味著什麼呢？ 我們已經看到我們的肌肉感覺向我們揭示的那些「內部變化」的重要性。它們可以用來表征我們身體的各種姿勢的特徵。任取這些姿勢中的一個A作為起點，當我們從這個初始姿勢到任何一個其他的姿勢B時，我們感覺到一個肌肉感覺系列，這個系列S將確定B。不管怎樣，讓我們注意一下，我們常常會把兩個系列S和S'視為確定了同一姿勢B（由於初始姿勢A和最終姿勢B依然相同，中間姿勢和相關感覺可以不同）。可是，我們將如何辨認這兩個系列等價呢？因為它們可以用來補償同一外部變化，或者更一般地說，因為當這是一個補償外部變化的問題時，一個系列能夠被另一個代替。在這些系列中，我們區分出僅有它們自己就能夠補償外部變化的系列，我們稱其為「位移」。因為我們不能在兩個十分接近的位移之間做出區分，所以這些位移的總和就呈現出物理連續統的特徵；經驗告訴我們，它們是六維物理連續統的特徵；但是，我們還不知道空間本身有多少維，我們首先必須解決另一個問題。 空間的點是什麼？每一個人都認為他了解這個問題，可是那是幻覺。當我們試圖想像空間的點時，我們看到的只是白紙上的黑點、黑板上的白斑，這總是一個東西。因此，該問題應當如下理解： 當我說，客體B處於客體A剛才所占據的同一點時，我意指什麼呢？或者更進一步，是什麼標準將使我領悟這一點呢？ 我意味著，雖然我沒有移動（這是我的肌肉感覺告訴我的），可是我的第一個手指剛才接觸了客體A，現在卻接觸著客體B。我可以用其他標準；例如另一個手指或視覺。但是，第一個標準是充分的；我知道，如果它回答是，那麼所有其他標準將給出同一回答。我是通過經驗知道它的，我不能先驗地知道它。由於同一理由，我說觸覺不能超距地進行；這是闡述同一實驗事實的另一種方式。相反地，若我說視覺可以超距地起作用，則其意指當其他標準回答否時，視覺提供的標準可以回答是。 事實上，客體雖然離開了，可是它可以在視網膜的同一點形成它的映像。視覺回答是，因為客體依然停留在同一點，觸覺回答否，是因為我剛才接觸客體的手指現在不再接觸它了。如果經驗向我們表明，當另一個手指說否時，一個手指可以回答是，那麼我們同樣應該說，觸覺超距地起作用。 簡而言之，對於我的身體的每一個姿勢，我的第一個手指確定一點，正是此而且唯有此，才規定了空間的一點。 這樣一來，一個點對應於各自的姿勢；但是，常常也出現這種情況，同一點卻有若干不同的姿勢相對應（在這種情況下，我們說我們的手指沒有移動，但身體的其餘部分卻運動了）。因此，我們在姿勢變化中區分出手指沒有在那裡移動的姿勢變化。我們是怎樣被引導到這兒的？是因為我們常常注意到，在這些變化中，與手指接觸的客體依然與手指接觸著。 因此，藉助於我們這樣區分的變化之一，讓我們把所有能夠從每一個其他姿勢得到的所有姿勢歸入同一類。空間的同一點將對應於該類的所有資料。所以，一點將對應於各自的類，而一類將對應於各自的點。可是，人們可以說，經驗達到的不是點，而是這個變化類，或者更恰當地講，是肌肉感覺的對應類。 而且，當我們說空間有三維，我們僅僅意味著，這些類的總和在我們看來似乎具有三維物理連續統的特徵。 人們可能被誘導得出結論說，正是經驗告訴我們空間有多少維。但是，實際上，在這裡我們的經驗也與空間無關，而與我們的身體以及我們的身體和鄰近的客體的關係有關。而且，我們的經驗是極其粗糙的。 在我們的心智中，預先存在著一定數目的群的潛在觀念——李已經提出了群論。我們將選擇哪一個群，以便用它作為一種比較自然現象的標準呢？而且，這個群選定之後，我們將採用它的哪一個子群來表征空間點的特徵呢？經驗通過向我們表明哪一種選擇本身最適合於我們身體的特性來指導我們。但是，它的作用僅限於此。 祖傳的經驗 常常有人說，如果個人的經驗不能夠創造幾何學，那麼對於祖傳的經驗而言情況則不然。但是，這意味著什麼呢？這意味著我們不能用實驗證明歐幾里得公設，而我們的祖先卻能做到這一點嗎？一點也不。這意味著，通過自然選擇，我們的心智本身適應了外部世界的條件，它採用了對於人種來說最有利的幾何學，或者換句話說，最方便的幾何學。這與我們的結論完全相符；幾何學不是真實的，它是有利的。