科學與假設 · 第四章 空間和幾何學
讓我們由一個小悖論開始。
假如存在著一種生物，具有像我們一樣的心智，並且具有像我們一樣的感官，但先前沒有受過教育，它們能夠從適當選擇的外部世界中得到這樣一些印象，致使它們可以構造不同於歐幾里得的幾何學，並能把外部世界的現象限制在非歐空間，甚或限制在四維空間。
至於我們，我們所受的教育是在我們的現實世界完成的，假使我們突然被運送到這個新世界上，我們會毫無困難地把該世界上的各種現象歸諸於我們的歐幾里得空間。反之，假使這些生物被運送到我們的環境中，它們可能會把我們的現象與非歐幾里得空間聯繫起來。
情況不僅僅如此；我們只用很少氣力同樣能做到這一點。一個畢生專注於此的人，也許能夠認清四維空間。
幾何學空間與知覺空間。人們常說，外部客體的映像被局限在空間中，甚至還說，若無這一條件便不能形成映像。人們也說，這種空間因而是為我們的感覺和我們的表象準備好了的框架，它等價於幾何學家的空間，它具有幾何學家的空間的一切性質。
對於如此思考的所有健全的心智來說，前面的陳述必定是十分離奇的。不過，讓我們看看，他們是否不受幻覺的影響，而幻覺經過比較深刻的分析是可以消除的。
首先，嚴格意義上所說的空間的性質是什麼？我所指的空間是幾何學的對象，我將稱其為幾何學空間。
下面是它的幾個最基本的特徵：
1°它是連續的；
2°它是無限的；
3°它有三維；
4°它是均勻的（homogeneous），也就是說，它的所有點都相互等價；
5°它是各向同性（isotrapic）的，也就是說，通過同一點的所有直線相互等價。
現在，把它與我們的表象和我們的感覺的框架——我可以稱這個框架為知覺空間——比較一下。
視覺空間。首先考慮一個純粹視覺的印象，它來自在視網膜末端形成的映像。
粗略的分析向我們表明，這個映像是連續的，但是只有二維；這已經有別於幾何學空間，我們可以稱其為純粹視覺空間。
此外，這個映像被局限在一個有限的框架內。
最後，還有另一種並非不重要的差別：這種純粹視覺空間不是均勻的。撇開可以在視網膜上形成的映像不談，視網膜上的所有點並不起相同的作用。黃斑無論如何也不能認為與視網膜邊緣的點等價。事實上，不僅同一客體在那裡產生了更為逼真的印象，而且在每一個有限的框架內，占據框架中心的點永遠也不會與接近視網膜邊緣的點相同。
毋庸置疑，更為深刻的分析會向我們證明，視覺空間的這種連續性和它的二維只不過是一種幻覺；因此，它與幾何學空間的差別還會更多，但是我們將不詳述這個話題了。
不管怎樣，視覺能使我們判斷距離，從而能使我們察覺第三維。但是，每一個人都知道，為了清晰地察覺客體，這種對於第三維的察覺本身變為必須做出的調節嘗試的感覺，以及必須給予雙目的會聚的感覺。
這些感覺是肌肉感覺，它們完全不同於給我們以頭兩維概念的視覺。因此，第三維在我們看來似乎並沒有起與其他兩維相同的作用。所以，可以稱為完備視覺空間的並不是各向同性空間。
的確，它恰恰有三維，這意味著，當我們的視覺元素（至少是結合起來形成廣延概念的那些元素）中的三個已知時，它們則完全被確定；用數學的語言來說，它們將是三個獨立變數的函數。
不過，讓我們稍為比較仔細地審查一下這個問題吧。第三維以兩種不同的方式向我們揭示出來：調節的努力和雙眼的會聚。
無疑地，這兩種指示總是一致的，在它們之間存在著恆定的關係，或者用數學術語來說，測量這兩個肌肉感覺的兩個變數在我們看來似乎不是獨立的；或者，為了再次避免求助於已經精煉的數學概念，我們可以再次返回到前一章的語言，把同一事實闡述如下：如果兩個會聚感覺A和B是不可區分的，則相應伴隨它們的兩個調節感覺A'和B'將同樣是不可區分的。
但是，可以說，我們在這裡有實驗事實；沒有什麼先驗的東西妨礙我們作相反的假定，如果出現相反的情況，如果這兩個肌肉感覺相互完全獨立，我們便不得不多計及一個獨立變數，「完備視覺空間」對我們來說似乎是四維物理連續統。
我還要再說一句，我們在這裡甚至有外部經驗事實。沒有什麼東西妨礙我們假定有一種生物，它具有像我們那樣的心智，擁有與我們相同的感官，它處在這樣一個世界上，光只有在穿過複雜形式的反射介質後，才能到達它那裡。有助於我們判斷距離的兩個指示不會再以恆定的關係相關聯。在這樣一個世界上受到它的感官訓練的生物，無疑會把四維賦予完備視覺空間。
觸覺空間和動覺空間。「觸覺空間」比視覺空間更為複雜，而且離幾何學空間更遠。對於觸覺，沒有必要去重複我對於視覺所作的討論。
不過，除了視覺和觸覺材料外，還有其他感覺，這些感覺對於空間概念的產生同樣有貢獻，而且比視覺和觸覺貢獻更大。每一個人都知道這些；它們伴隨著我們所有的動作，通常稱之為肌肉感覺。
相應的框架就構成了所謂的動覺空間。
每一肌肉都會產生一種特殊的、能夠增加或減少的感覺，以至於我們肌肉感覺的總和將取決於與我們具有的肌肉同樣多的變數。從這種觀點來看，我們具有的肌肉有多少，動覺空間就有多少維。
我知道人們會說，如果肌肉感覺有助於形成空間概念，那是因為我們感覺到每一動作的方向，它成為感覺的一個組成部分。如果情況如此，如果肌肉感覺在不伴隨這種幾何學的方向感覺就不能產生，那麼幾何學空間確實就是強加給我們感覺的一種形式。
但是，當我分析我的感覺時，我絲毫也沒有覺察這一點。
我所看到的是相應於在同一方向動作的感覺，它們在我的心智中僅僅通過觀念聯想而結合。正是這種聯想，我們稱之為「方向感覺」，它是可以還原的。因此，這種感受不能在單一的感覺中找到。
這種聯想極其複雜，因為根據四肢的位置，同一肌肉的收縮可以對應於十分不同的方向的運動。
而且，這種聯想顯然被得到了；像所有的觀念聯想一樣，它也是習慣的結果；這種習慣本身是由許多經驗引起的；毫無疑問，如果我們的感官訓練是在不同的環境中完成的，在那裡我們會受到各種不同印象的影響，那就必然產生相反的習慣，我們的肌肉感覺就可能會按照其他規律聯想。
知覺空間的特徵。由此可見，在視覺、觸覺和動覺這三種形式之下的知覺空間本質上與幾何學空間不同。
它既不是均勻的，也不是各向同性的；人們甚至不能說它有三維。
人們常說，我們把我們外部知覺的客體「投影」於幾何學空間；我們把它們「局限」起來。
這有意義嗎？若有，其意義又是什麼？
這意味著我們在幾何學空間想像外部客體嗎？
我們的表象只是我們感覺的複製品；因此，它們只能和這些感覺排列在同一框架內，也就是說，排列在知覺空間內。
正如畫家不能在平面畫布上畫出具有三維的客體一樣，我們也不能在幾何學空間中想像外部物體。
知覺空間僅僅是幾何學空間的映像，映像由於一種透視而改變了形狀，我們只能通過把對象納入透視法則來想像它們。
因此，我們無法在幾何學空間中想像外部物體，而我們可以就這些物體推理，猶如它們處在幾何學空間中一樣。
其次，當我們說我們把如此這般的客體「局限」在空間的如此這般的點，這意味著什麼呢？
這僅僅意味著，我們想像為了達到那個客體所必要的動作；人們可能不這樣說：為了想像這些動作，必須把動作本身投影在空間，從而空間概念必須預先存在。
當我說我們想像這些動作時，我只是意指我們想像伴隨它們的肌肉感覺，這些肌肉感覺沒有一點幾何學的特徵，從而根本不隱含空間概念預先存在的意思。
狀態變化和位置變化。可是，有人會說，如果幾何學空間的觀念沒有強加於我們的心智，另一方面，如果我們的感覺沒有一個能夠提供這個觀念，那麼它是怎樣產生的呢？
這是我們現在必須考察的問題，這需要花費一些時間，不過我能夠用幾句話概述一下我就其所提出的嘗試性說明。
我們的感覺若孤立起來，沒有一個能夠使我們產生空間觀念；我們只有研究這些感覺相繼據以發生的規律，才能被導向這個觀念。
我們首先看到，我們的印象易於變化；但是在這些變化中，我們確定，我們馬上就可以做出區分。
在一個時期我們說，產生這些印象的客體改變了狀態，在另一個時期我們說，它們改變了位置，僅僅使它們發生位移。
不管一個對象改變它的狀態，還只是改變它的位置，在我們看來，這總是以相同的方式解釋的：由於印象集合的改變。
可是，我們怎樣被引導去區別這二者呢？這是很容易闡明的。如果只有位置變化，我們就能夠做出某些動作恢復初始的印象集合，這些動作使我們在對面把運動的客體置於同一相對位置。從而，我們矯正所發生的改變，我們通過相反的改變重建初始狀態。
例如，如果是視覺的問題，如果客體在我們眼前改變它的位置，那麼我們能夠「用眼睛追蹤它」，通過眼球的適當動作，保持它的映像在視網膜的同一點。
這些動作之所以被我們意識到，因為它們是由主觀意志所控制的，因為肌肉感覺伴隨著它們，但是這並不意味著我們在幾何學空間想像它們。
這樣一來，表示位置變化特性的東西，把位置變化與狀態變化區別開來的東西，就是位置變化能夠用這種方法加以矯正。
因此，我們從印象總和A到印象總和B，正好有兩種不同的途徑：
1°不受主觀意志控制而且不經受肌肉感覺；當它是改變位置的客體時，便發生這種情況；
2°受主觀意志控制而且伴隨肌肉感覺；當客體不動而我們相對於客體做相對運動時，便發生這種情況。
果真如此，從印象總和A到印象總和B僅僅是位置變化。
由此可知，若不藉助於「肌肉感覺」，則視覺和觸覺不能給我們以空間概念。
這個概念不僅不能從單一的感覺得到，甚或不能從感覺系列得到，而且，不可動的生物從來也不可能獲得空間概念，因為它不能通過它的動作矯正外部客體位置變化的結果，從而沒有理由把位置變化和狀態變化區別開來。如果它的運動是不受意志控制的，或者沒有任何感覺相伴隨，它也不能獲得空間概念。
補償的條件。有一種補償能使兩個在其他方面相互獨立的變化彼此矯正，像這樣種類的補償怎麼是可能的？
已經熟悉幾何學的心智會如下推理：顯然，如果存在補償，那麼以外部客體的各部分為一方，以各種感覺器官為另一方，都必須在兩種變化之後處於同一相對位置。為此，在這種情況下，外部客體的各部分同樣必須相互之間保持同一相對位置，我們身體的各部分相互之間也必須如此。
換句話說，在第一種變化中，外部客體必須像剛體那樣移動，在矯正第一種變化的第二種變化中，它也必須隨著我們整個身體像剛體那樣移動。
在這些條件下，補償可以發生。
但是，由於我們還沒有形成空間概念，迄今我們對幾何學還一無所知，因此我們不能這樣推理，我們不能先驗地預見補償是否可能。不過，經驗告訴我們，補償有時會發生，而且正是根據這一實驗事實，我們才開始把狀態變化與位置變化區別開來。
固體和幾何學。在周圍的客體中，存在著一些經常經受位移的客體，這些位移同時易於受到我們自己身體的相關動作的矯正；這些客體就是固體。其他形狀可變的客體，僅僅例外地經受同樣的位移（位置變化而不是形狀變化）。當一個物體改變其位置和其形狀時，我們不再能夠用適當的動作使我們的感官相對於這個物體返回到同一位置；從而，我們不再能夠重建整個原始印象。
只是到後來，作為新經驗的結果，我們才學會如何把可變形的物體分解為較小的部分，致使每一部分幾乎按照與固體相同的規律移動。就這樣，我們把「形變」與其他狀態變化區別開來；在這些形變中，每一部分僅僅經受了能夠加以矯正的位置變化，但是它們的集合所經受的改變卻更為深刻，而且不易受相關動作的矯正。
這樣的概念已經十分複雜，它必然在比較晚的時候才能出現；而且，如果固體的觀察未曾告訴我們區別位置變化，這個概念也不能產生。
所以，假使在自然界沒有固體，那麼便不會有幾何學。
另一種議論也值得注意一下。設一固體相繼占據位置α和β；它在第一個位置，使我們感受到印象總和A，在第二個位置，使我們感受到印象總和B。現在，設有第二個固體，它具有與第一個固體完全不同的性質，例如顏色不同。設它從位置α移到位置β，它在α時使我們感受到印象總和A'，在β時使我們感受到印象總和B'。
一般說來，總和A與總和A'毫無共同之處，總和B與總和B'亦然。因此，從總和A到總和B，以及從總和A'到總和B'的轉變，一般而言是本身毫無共同之處的兩種變化。
可是，我們認為這兩種變化是位移，而且我們認為它們是相同的位移。情況怎麼能夠是這樣呢？
這僅僅是因為，它們二者能夠受到我們身體同一相關動作的矯正。
所以，「相關動作」構成了兩個現象之間的唯一關聯，否則，我們永遠也不會夢想把它們聯繫起來。
另一方面，我們身體由於有許多關節和肌肉，因而可以做出各種不同的動作；但是，所有動作都不能「矯正」外部客體的變動；只有我們的整個身體，或者至少我們起作用的感官作為一個整體移動時，即它們的相對位置不變或以固體那樣移動時，這樣的動作才能矯正外部客體的變動。
讓我們概括一下：
1°首先我們可以區分兩種現象範疇：
一些是不受主觀意志控制的、不伴隨肌肉感覺的，我們把它們歸諸於外部客體；這些是外部變化；
另一些在性質上恰恰相反，我們把它們歸諸於我們自己身體的動作，這些是內部變化。
2°我們注意到，這些範疇每一個的某些變化可以受到另一範疇相關變化的矯正。
3°在外部變化中，我們區分出與另一範疇相關的變化；我們稱這些變化為位移；同樣，在內部變化中，我們區分出與第一個範疇相關的變化。
由於這種相關性，我們稱之為位移的現象的特殊類別就被這樣定義了。
這些現象的規律構成幾何學的對象。
均勻性定律。在這些規律中，第一個就是均勻性定律。
設由於外部變化α，我們從印象總和A到印象總和B，接著這一變化α受到相關的、由主觀意志控制的動作β的矯正，於是我們恢復到總和A。
現在，設另一個外部變化α'使我們重新從總和A到總和B。
經驗告訴我們，這個變化α'像α一樣，也易受相關的、由主觀意志控制的動作β'的矯正，這個動作β'與矯正α的動作β相應於同樣的肌肉感覺。
這個事實通常被說成是：空間是均勻的和各向同性的。
也可以說，一個動作一旦產生之後，它可以第二次、第三次地重複，如此等等，而它的特性卻保持不變。
在第一章，我們討論了數學推理的本性，我們看到必須賦予無限地重複同一操作的可能性以重要意義。
數學推理正是從這種重複中獲得它的威力的；因此，正是由於均勻性定律，它才把支撐點放在幾何學事實上。
為完備起見，除均勻性定律外，還應當添加許多其他類似的定律，我不願討論其中的細節，但是數學家用一句話把它們概括為下述說法：位移形成「一個群」。
非歐幾里得世界。如果幾何學空間是強加在我們每一個單獨考慮的表象上的框架，那麼就不可能拆除這個框架來想像映像，而且我們也絲毫不能改變我們的幾何學。
然而，情況並非如此；幾何學只不過是這些映像前後相繼的規律的概要。於是，沒有什麼東西妨礙我們想像一系列表象，這些表象在各方面與我們通常的表象類似，但前後相繼的規律不同於我們習慣的規律。
其次，我們能夠設想在這些定律遭到傾覆的環境中接受教育的生物，它們必定具有與我們截然不同的幾何學。
例如，假定有一個用大球面包圍起來的世界，它服從下述定律：
溫度不是均勻的；在中心溫度最高，隨著距中心距離的增大，溫度成比例地減小，當接近包圍這個世界的球面時，溫度降至絕對零度。
讓我再把這個溫度變化的規律更精確地說明一下：設R是有限球面的半徑；設r是所考慮的點到這個球面中心的距離。絕對溫度將與R2-r2成比例。
我將進而假定，在這個世界上，一切物體都具有同一膨脹係數，從而任何量尺的長度都與它的絕對溫度成比例。
最後，我將假定，一物體從一點轉移到溫度不同的另一點後，它能立即與新環境處於熱平衡。
在這些假設中，絲毫沒有什麼是矛盾的或不可想像的。
於是，一個可動客體越接近有限球面，它會成比例地愈變愈小。
首先要注意，從我們通常的幾何學的觀點來看，儘管這個世界是有限的，但是對於這個世界的居民來說，它似乎是無限的。
事實上，當這些居民試圖接近有限球面時，它們逐漸變冷，而且變得愈來愈小。因此，它們邁出的步子也愈來愈小，結果它們永遠也不能到達有限球面。
對於我們來說，如果幾何學只是研究剛體運動的規律的話，那麼對這些假想的生物而言，幾何學將研究我剛剛說過的因溫度差而變形的固體的運動規律。
毫無疑問，在我們的世界上，由於或熱或冷，天然固體同樣經受形狀和體積的變化。但是，在奠定幾何學的基礎時，我們忽略了這些變化，因為除了這些變化微乎其微外，它們也不規則，從而在我們看來似乎是偶然的。
在我們假設的世界上，情況不再是這樣，這些變化遵循規則的、十分簡單的定律。
而且，組成這個世界的居民的身體之各固體部分會經受同樣的形狀變化和體積變化。
我還要作另外的假設；我將假定，光通過各種折射媒質傳播，而且折射率與R2-r2成反比。很容易看到，在這些條件下，光線不可能是直線的，而是圓形的。
為了證明前面所說的是正當的，在我看來依然是要表明，外部客體位置的某些變化能夠被居住在這個想像世界上的有知覺生物的相關動作矯正，用這種方式來恢復這些有知覺生物體驗過的原始印象的集合。
事實上，假定一客體被移動，同樣經受了形變，它不像剛體，而像與上面假定的溫度定律嚴格一致的固體那樣經受了不相等的膨脹。為簡潔起見，請容許我把這樣的運動叫做非歐幾里得位移。
假如一個有知覺的生物恰恰在附近，它的印象將被該客體的位移所改變，但是它能夠通過以合適的方式運動而重建這些印象。只要最後該對象和被視為單一個體的有知覺的生物之集合經受了一種特殊位移就足夠了，我剛才把這種位移叫做非歐幾里得位移。倘若假定這些生物的四肢與它們居住的世界的其他物體按照同一規律膨脹，那麼這就是可能的。
從我們通常的幾何學的觀點來看，儘管物體在這種位移中發生了形變，而且它們的各部分不再處於同一相對位置，不過我們將看到，有知覺的生物的印象再次變成相同的了。
事實上，雖然各部分的相互距離可以改變，但是原來接觸的部分又處於接觸。因此，觸覺印象沒有變化。
另一方面，考慮到上面關於光線的折射和曲率所作的假設，則視覺印象也依然相同。
因此，這些假想的生物像我們一樣，可以把它們目睹的現象進行分類，也可以在這些現象中區分出易於通過相關的、由主觀意志支配的動作而矯正「位置變化」。
假使它們構造幾何學，將不會像我們那樣研究剛體的運動；它們的幾何學將研究它們將如此區分的位置變化，這種變化無非是「非歐幾里得位移」；它們的幾何學將是非歐幾何學。
這樣一來，像我們自己一樣的生物，由於在這樣一個世界受教育，它們不會有與我們相同的幾何學。
四維世界。正如我們能夠想像非歐幾里得世界一樣，我們也能夠想像四維世界。
視覺——即使用一隻眼睛——和與眼球運動有關的肌肉感覺一起，便足以告訴我們三維空間。
外部客體的映像描繪在作為二維畫布的視網膜上；它們是透視圖。
但是，因為眼睛和客體是可動的，所以我們依次看到從不同的視點得到的同一物體的各種透視圖。
同時，我們發現，從一個透視圖到另一個透視圖的轉換常常伴隨著肌肉感覺。
如果從透視圖A到透視圖B的轉換以及從透視圖A'到透視圖B'的轉換，伴隨著同樣的肌肉感覺，我們把它們相互比擬為同一性質的操作。
其次，研究一下這些操作結合在一起的規律，我們認識到，它們形成一個群，這個群的結構與剛體運動的結構相同。
現在，我們看到，正是從這個群的特性，我們引出了幾何學空間的概念和三維的概念。
這樣一來，我們明白了三維空間的觀念如何能夠從這些透視圖的展演中產生出來，儘管它們中的每一個僅僅是兩維的，這是由於它們按照某些規律相互跟隨。
好了，正如三維圖形的透視圖能夠做在平面上一樣，我們也能夠把四維圖形的透視圖做在三維（或二維）的圖畫上。對於幾何學家來說，這只不過是兒戲而已。
我們甚至能夠從許多不同的視點對同一圖形做出許多透視圖。
我們能夠想像這些透視圖，由於它們只有三維。
試設想一下同一客體的各個透視圖依次相繼出現，從一個到另一個的轉換伴隨著肌肉感覺。
當這些轉換中的兩個與相同的肌肉感覺聯繫時，我們當然要把二者看做是兩個相同性質的操作。
其次，沒有什麼東西妨礙我們設想，這些操作按照我們選擇的任何定律結合，例如為了形成一個與四維剛體運動具有同一結構的群。
在這裡，沒有什麼是不可圖示的，但是，這些感覺恰恰是那些具有二維視網膜又能在四維空間裡運動的生物所感受到的感覺。在這種意義上，我們可以說，第四維是可以想像的。
按這樣的方式，不可能表示我們在前一章講過的希爾伯特空間，因為這個空間已不是二維連續統。所以，它與我們平常的空間大相徑庭。
結論。我們看到，在幾何學的起源中，經驗起著必不可少的作用；但是，如果由此得出幾何學是——即使部分的是——實驗科學的結論，那可就錯了。
假如幾何學是實驗科學，那它只能是近似的和暫定的。多麼粗糙的近似啊！
幾何學只可能是研究固體的運動；但是實際上，它並不是用來從事天然固體的研究，它把某些絕對剛性的理想固體作為對象，這些理想固體只不過是天然固體的一種簡化的和相差很遠的圖像。
這些理想固體的概念來自我們心智的所有構成要素，經驗只不過是導致我們從這些構成要素中產生這一概念的誘因。
幾何學的對象是研究特殊的「群」；不過，一般的群概念在我們的心智預先存在著，至少是潛在地存在著。它不是作為我們感性（sense）的形式，而是作為我們知性（understanding）的形式強加給我們。
在所有可能的群中，必須選擇出的可以說只是標準的群，我們將把自然現象提交給它。
在這一選擇中，經驗指導我們，而沒有把它強加給我們；經驗沒有告訴我們哪一個是最真實的幾何學，而是告訴我們哪一個是最方便的幾何學。
要注意，我沒有放棄使用通常幾何學的語言，也能描述上面設想的奇異的世界。
事實上，即使我們遷移到那個世界，我們也不必改變語言。
在那裡受教育的生物無疑會發現，創造一種不同於我們的、更好地適應它們印象的幾何學是比較方便的。至於我們，面對同一印象，可以肯定地說，我們會發現不改變我們的習慣是比較方便的。