科學與假設 · 第三章 非歐幾何學
每一個結論假定先有前提；這些前提本身或者是自明的而不需要證明，或者只能依賴其他命題而建立，鑒於我們不能這樣追溯到無窮，每一門演繹科學，尤其是幾何學，必須以某一數目的不可證明的公理為基礎。因此，有關幾何學的論著，都是以陳述這些公理開始的。不過，在這些公理中，也要有所區分：例如，「等於同一量的一些量彼此相等」就不是幾何學命題，而是分析命題。我認為它們是先驗分析判斷，我不願去理會它們。
可是，我必須強調幾何學所特有的其他公理。大多數專著中都明確地陳述了這三個公理：
1°通過兩點只能作一條直線；
2°直線是一點到另一點的最短的路徑；
3°通過一給定點只能引一條直線與已知直線平行。
一般地，雖然第二個公理的證明被省略了，但是從其他兩個公理以及從許多默認而沒有闡述它們的公理中，可以把它演繹出來，我將進一步說明這一點。
人們長期以來也想證明第三個公理，即所謂的歐幾里得公設，但總是白費氣力。人們為這一幻想的期望耗費了多麼巨大的精力啊，其情景真是令人不可思議。最後，在19世紀頭25年，幾乎在同一時期，匈牙利的鮑耶（Bolyai）和俄國的羅巴契夫斯基無可辯駁地指出，這種證明是不可能的；他們幾乎使我們擺脫了「無公設」的幾何學的發明家；從此以後，法國科學院每年僅收到一兩篇新證明的論文。
問題並沒有結束；不久，由於黎曼（Riemann）發表了題為《幾何學的基本假設》的著名論文，問題才獲得了巨大進展。這篇論文引出了許多新近的著作，我將進一步談論它們，在這些著作中，引用一下貝爾特拉米（Beltrami）和亥姆霍茲（Helmholtz）的著作是合適的。
鮑耶-羅巴契夫斯基幾何學。假如可以從其他公理導出歐幾里得公設，那麼顯而易見，在否定該公設和承認其他公理時，我們便會導致出矛盾的推論；因此，不可能在這樣的前提上建立融貫的幾何學。
現在，這恰恰是羅巴契夫斯基所做的事情。
他開始假定：通過一給定點能夠引兩條與已知直線平行的直線。
此外，他仍保留了歐幾里得的所有其他公理。從這些假設出發，他演繹出一系列定理，在其中不可能找到任何矛盾，而且他構造出一種幾何學，其完美無缺的邏輯絕不亞於歐幾里得幾何學的邏輯。
當然，這些定理與我們習用的定理截然不同，乍看起來，它們不能不使人們稍感困惑。
例如，三角形的三個角之和總是小於兩直角，這個和和兩直角之差與三角形的曲面成比例。
不可能構造一個與已知圖形相似、但具有不同維度的圖形。
如果我們把圓周分為n等分，並在各分點引切線，若圓的半徑足夠小，則這n個切線將形成一個多邊形；可是，若這個半徑足夠大，則它們將不相交。
多舉這些例子是無用的；羅巴契夫斯基的命題與歐幾里得的命題毫不相干，但它們在邏輯上卻是相互密切關聯的。
黎曼幾何學。設想一個唯一地由沒有厚度（高度）的生物棲息的世界；並假定這些「無限扁平」的動物都在同一平面而不能離開。此外，還要承認這個世界距其他世界足夠遠，以致擺脫了那些世界的影響。當我們正在做假設時，我們不妨再賦予這些生物以理性，並相信它們能夠創造幾何學。在此情況下，它們將肯定認為空間只有兩維。
不過，現在假定，這些想像的動物雖則依然沒有厚度，但它的體形卻是球形的而不是平面形的，它們都在同一球上，沒有能力走出去。它們將構造什麼幾何學呢？首先，很清楚，它們將認為空間只有兩維；對它們來說，起直線作用的將是球面上一點到另一點的最短路徑，即大圓弧；一句話，它們的幾何學將是球面幾何。
它們所謂的空間將是它們必須停留於其上的這個球面，在這個球面上，發生著它們能夠了解的一切現象。因此，它們的空間將是無界的，因為在一個球面上人們總是能夠一直向前而永遠也不會停下來，不過它們的空間將是有限的；人們從來也不能找到它的終點，但卻可以繞它轉圈子。
好了，黎曼幾何學是擴展到三維的球面幾何。為了構造它，這位德國數學家不僅不得不拋棄歐幾里得公設，而且也不得不拋棄第一個公理：通過兩點只能作一條直線。
一般地講，在球面上，通過兩已知點我們只能引一個大圓（正如我們剛才看到的，對於我們想像的生物來說，這種大圓可以起直線的作用）；但是也有例外：若兩已知點在對徑上，則通過它們能引無數個大圓。
同樣地，在黎曼幾何學（至少在它的各種形式之一）中，通過兩點一般只能引一條直線；但是也有例外情況，即通過兩點能引無數條直線。
在黎曼幾何學和羅巴契夫斯基幾何學之間存在著某種對立的東西。
例如，三角形的角之和是：
在歐幾里得幾何學中等於兩直角；
在羅巴契夫斯基幾何學中小於兩直角；
在黎曼幾何學中大於兩直角。
通過一給定點能夠引與已知直線共面但無論在什麼地方也不與之相交的直線數是：
在歐幾里得幾何學中等於1；
在黎曼幾何學中等於0；
在羅巴契夫斯基幾何學中等於無限。
而且，黎曼空間雖則是無界的，但卻是有限的，這是在上面給予這兩個詞的意義上而言的。
常曲率面。一種反對意見依然是可能的。羅巴契夫斯基和黎曼的定理沒有表現出矛盾；可是，這兩位幾何學家無論從他們的假設中引出多麼多的推論，他們也必須在窮盡這些推論之前停下來，不然其數目將是無限的了；而且，誰能夠說，如果他們把演繹推得更遠一些，他們最終不會達到某些矛盾嗎？
對於黎曼幾何學而言，只要把它限制在兩維，就沒有這種困難；事實上，正如我們看到的，兩維黎曼幾何學與球面幾何毫無差別，它只是普通幾何學的一個分支，因而毋庸討論。
同樣，貝爾特拉米把羅巴契夫斯基的兩維幾何學看做是普通幾何學的一個分支，他也駁斥了有關的反對意見。
在這裡，且看他是如何完成它的。考慮曲面上的任何圖形。設想這個圖形以下述方式畫在一個易彎曲而不可擴展的、緊貼在這個曲面的畫布上：當這個畫布移動和變形時，這個圖形的各種線條能改變它們的形狀而不改變它們的長度。一般說來，這個易彎曲而不可擴展的圖形在不離開該曲面的情況下是不能移動的；但是，也有某些特殊的曲面可以這樣移動；這就是常曲率面。
如果我們重新開始上面所作的比較，並設想沒有厚度的生物生活在這些曲面之一上，那麼它們將認為其所有線條在長度上依然保持不變的圖形的運動是可能的。相反地，對於生活在可變曲率面上的無厚度的動物來說，這樣一種移動似乎是荒謬的。
這些常曲率面分為兩類：一些是正曲率的，它們能夠變形而緊貼在球面上。因此，這些曲面的幾何學本身劃歸為球面幾何，這就是黎曼幾何學。
其餘是負曲率的。貝爾特拉米證明，這些曲面幾何學無非是羅巴契夫斯基幾何學。這樣一來，黎曼和羅巴契夫斯基的二維幾何學便與歐幾里得幾何學相關。
非歐幾何學的詮釋。就這樣，便消除了迄今關涉二維幾何學的反對意見。
可以很容易地把貝爾特拉米的推理推廣到三維幾何學。不排斥四維空間的心智將不會從中看到困難，但這種心智寥寥無幾。因此，我寧可在其他方面繼續講下去。
考慮某一平面，我將稱其為基本平面，並編制一種詞典，使寫在兩列中的兩組術語一一對應，就像在普遍詞典中其意義相同的兩種語言的詞相對應一樣：
空間：位於基本平面以上的空間部分。
平面：與基本平面正交的球面。
直線：與基本平面正交的圓。
球面：球面。
圓：圓。
角：角。
兩點之間的距離：這兩點以及基本平面與通過這兩點的、並與之正交的圓的交點之交比的對數。如此等等。
現在，以羅巴契夫斯基定理為例，並藉助這本詞典翻譯它們，正如我們用德英詞典翻譯德文文本一樣。這樣，我們將得到普通幾何學的定理。例如，有一羅巴契夫斯基定理：「三角形的角之和小於兩直角」，它可以這樣翻譯為：「如果一曲線三角形的邊延長後是與基本平面正交的圓弧線，則這個曲線三角形的角之和將小於兩直角。」於是，不管把羅巴契夫斯基假設的推論推得多麼遠，它們將永遠也不會導致矛盾。事實上，假如兩個羅巴契夫斯基定理是矛盾的，那麼它勢必與藉助於我們的詞典所翻譯的這兩個定理的譯文相同，但是這些譯文是普通幾何學的定理，而沒有人對普通幾何學無矛盾表示懷疑。這種確定性從何而來呢，它被證明是正當的嗎？這是一個我無法在這裡處理的問題，因為說起來話就長了，但是，它是十分有趣的，我不認為不可解決。
因此在這裡不存在我在上面所闡述的反對意見。這並非一切。羅巴契夫斯基幾何學可容許被具體地加以詮釋，而並不是空洞的邏輯練習，它還可以應用；在這裡，我無暇談論這些應用，也無暇談及克萊因（Klein）和我為積分線性微分方程從它們得到的幫助。
而且，這種詮釋並不是唯一的，人們可以編制許多類似於前述詞典的詞典，它們都能使我們通過簡單的「翻譯」，把羅巴契夫斯基定理變換為普通幾何學定理。
隱公理。在我們的專著中明確闡述的公理是幾何學的唯一基礎嗎？由於注意到，在它們被相繼拋棄後，還留下某些與歐幾里得、羅巴契夫斯基和黎曼的理論共同的命題，所以我們確信它們並不是幾何學的唯一基礎。這些命題必須建立在幾何學家沒有闡述但卻公認的前提上。試圖把它們與經典證明分清，這是有趣的事。
斯圖爾特·穆勒（Stuart Mill）宣稱，每一個定義都包含著公理，因為在定義時，人們隱含地斷言被定義的客體的存在。這未免走得太遠了；在數學中，在下定義之後，免不了接著要證明被定義的對象的存在，人們之所以一般省去證明，是因為讀者能夠很容易地補充它。絕對不要忘記，當涉及數學實體時，當談論物質的對象問題時，存在這個詞與之並非同義。一個數學實體存在，只要它的定義既在自身之內不隱含矛盾、或與已經公認的命題不發生矛盾就可以了。
不過，即使斯圖爾特·穆勒的觀察不能用於所有定義，但對於它們中的一些依然是正確的。平面有時被如下定義：
平面是這樣一種面，即連接該面任何兩點的直線全部在這個面上。
這個定義明顯地隱藏著一個新公理；的確，我們必須改變它，這也許更為可取，不過我們為此應該明確地闡述公理。
其他定義也能引起並非不重要的思考。
例如，二圖形相等的問題；兩圖形相等，只有它們能夠疊合才行，要使它們疊合，則必須移動一個，直至它與另一個重合；可是，將如何移動它呢？如果我們問這個問題，那麼我們無疑會被告知，必須在不改變其形狀的情況下移動它，就像它是剛體一樣。因此，顯然會出現循環論證。
事實上，這個定義並沒有定義什麼；對於生活在只有流體的世界的生物來說，它是毫無意義的。假如它在我們看來似乎是清楚的，那是因為我們利用了天然固體的性質，天然固體與所有維度都不可改變的理想固體並沒有很大的差別。
儘管這個定義可能是不完善的，但它也隱含著公理。
剛性圖形運動的可能性並不是自明的真，或者至少僅就歐幾里得公設的樣式來看是如此，它不像先驗分析判斷那樣。
再者，在研究幾何學的定義和證明時，我們看到，人們被迫在毫無證據的情況下不僅承認這種運動的可能性，此外還要承認它的某些性質。
可以立即從直線的定義中看到這一點。人們給出了許多有缺陷的定義，但是真正的定義卻隱含在直線所參與的一切證明中：
「剛性圖形的運動可以這樣發生：屬於這個圖形的線的各點依然不動，而處於這條線外的各點則運動。這樣的線被稱之為直線。」在這個闡述中，我們故意把定義和它所隱含的公理隔離開來。
許多證明，例如三角形全等例子的證明，從一點向一直線引垂線的證明，都預先假定了未闡述的命題，因為它們需要承認，在空間以某種方式移動圖形是可能的。
第四種幾何學。在這些隱公理中，有一個公理在我看來似乎是值得注意一下的，因為拋棄了它，便能夠構造出像歐幾里得、羅巴契夫斯基和黎曼的幾何學一樣融貫的第四種幾何學。
為了證明在一點A總可以向直線AB引垂線，我們考慮一直線AC，它可以繞A點移動且開始時與固定的直線AB重合；我們使它繞點A轉動，直到它轉到AB的延長線上。
這樣一來，便預先假定了兩個命題：首先，這樣的轉動是可能的，其次，轉動可以繼續下去，直到兩條直線互為延長線時為止。
如果承認第一點而否認第二點，我們便有可能得到一系列定理，這些定理甚至比羅巴契夫斯基和黎曼的定理更奇異，但同樣沒有矛盾。
我只想引用這些定理中的一個，它並不是最奇特的：實直線可以垂直於它本身。
李定理。在典型的證明中，隱含地引入的公理數比所需要的要多，把它簡化到最少也許是引人入勝的。希爾伯特（Hilbert）仿佛已對這個問題做出了最後的解答。首先，人們大概會先驗地詢問，這種簡化是否可能，必要的公理數和可以想像的幾何學數是否不是無限的。
索弗斯·李（Sophus Lie）定理支配著這一整個討論。它可以這樣闡述：
假定下述前提得到公認：
1°空間有n維；
2°剛性圖形的運動是可能的；
3°要決定這個圖形在空間的位置需要p個條件。
適合於這些前提的幾何學數將是有限的。
甚至還可以附加說，如果n是已知的，能夠指定最高極限為p。
因此，如果承認運動的可能性，那麼只能發明有限（甚至是相當少的）數目的三維幾何學。
黎曼幾何學。可是，這個結果似乎受到黎曼的反駁，因為這位學者構造了無數不同的幾何學，通常以他名字命名的幾何學只是一個特例。
他說，一切均取決於如何定義曲線的長度。現在，有無數定義這一長度的方法，它們中的每一個都可以成為新幾何學的起點。
這是完全為真，不過這些定義中的大多數都與剛性圖形的運動格格不入，而在李定理中，則假定這種運動是可能的。因此，這些黎曼幾何學儘管在許多方面如此有趣，但它們永遠不過是純粹分析的，是不適合於類似於歐幾里得那樣的證明的。
希爾伯特幾何學。最後韋羅納塞（Veronese）先生和希爾伯特先生曾構想出更新奇的幾何學，他們稱其為「非阿基米德（Archimedes）幾何學」。他們捨棄阿基米德公理，而建立新的幾何學，根據這條公理，凡以足夠大的整數乘以給定的長度，最終必然超過原先給定的任何大的長度。在一條非阿基米德直線上遍布著普通幾何學的點，但尚有無窮的點夾在其中，這樣一來，舊派幾何學家認為相鄰接的兩截段之間，現在就可以插入無窮多的新點。一句話，按前一章的說法，非阿基米德空間不再是二維連續統，而是三維連續統。
關於公理的本性。大多數數學家僅僅把羅巴契夫斯基幾何學視為純粹的邏輯珍品；可是，他們之中的有些人走得更遠。由於許多幾何學是可能的，我們的幾何學肯定是真的嗎？經驗無疑教導我們，三角形的角之和等於兩直角；但是，這是因為我們所涉及的三角形太小了；按照羅巴契夫斯基的觀點，差別正比於三角形的面積；當我們計算較大的三角形時，或者當我們的測量變得更精確時，這種差別不能被感覺到嗎？因此，歐幾里得幾何學只不過是暫定的幾何學。
為了討論這種意見，我們首先應該問我們自己，幾何學公理的本性是什麼？
它們是像康德（Kant）所說的先驗綜合判斷嗎？
於是，它們以如此強大的力量強加於我們，以致我們既不能設想相反的命題，也不能在其上建設理論大廈。那裡不會有非歐幾何學。
為了確信這一點，讓我們舉一個名副其實的先驗綜合判斷，例如下述我們在第一章中已經看到它的舉足輕重的作用的例子：
如果一定理對數1為真，如果業已證明，倘若它對n為真，則它對n+1亦為真，那麼它將對所有的正整數都為真。
可是，企圖否認這一命題而擺脫它，企圖建立一種類似於非歐幾何學的偽算術——那是不能做到的；乍一看，人們甚至會被誘使認為這些判斷是分析的。
再者，重新談談我們虛構的無厚度的動物吧，我們簡直不能承認，假如它們的心智像我們的一樣，它們會採納與它們的一切經驗相矛盾的歐幾里得幾何學。
我們能夠因此得出幾何學公理是經驗的真理的結論嗎？可是，我們沒有做關於理想直線或圓的實驗；人們只能針對物質的客體做實驗。這樣一來，應該作為幾何學基礎的實驗能夠建立在什麼之上呢？答案是容易的。
我們在上面已經看到，我們在不斷推理時，幾何圖形好像固體一樣起作用。因此，幾何學能夠從經驗中借用的東西也許是這些固體的性質。光的性質及其直線傳播也導致了幾何學的某些性質，尤其是射影幾何學的性質，以至於從這種觀點看來，人們會被誘使說，度量幾何學是固體的研究，而射影幾何學則是光的研究。
但是，困難依然存在，而且它是難以克服的。假如幾何學是實驗科學，它就不會是精密科學，它就應該是繼續修正的學科。不僅如此，從此以後每天都會證明它有錯誤，因為我們知道，沒有嚴格的剛體。
因此，幾何學的公理既非先驗綜合判斷，亦非實驗事實。
它們是約定；我們在所有可能的約定中進行選擇，要受實驗事實的指導；但選擇依然是自由的，只是受到避免一切矛盾的必要性的限制。因此，儘管決定公設取捨的實驗定律僅僅是近似的，但公設能夠依然嚴格為真。
換句話說，幾何學的公理（我不談算術的公理）只不過是隱蔽的定義。
於是，我們想到這樣一個問題：歐幾里得幾何學為真嗎？
這個問題毫無意義。
這好比問米制是否為真，舊制是否為假；笛卡兒坐標是否為真，極坐標是否為假。一種幾何學不會比另一種幾何學更真；它只能是更為方便而已。
歐幾里得幾何學現在是、將來依然是最方便的：
1°因為它是最簡單的；它之所以如此，不僅僅由於我們的心理習慣，或者由於我不知道我們對於歐幾里得空間具有什麼直接的直覺；它本身是最簡單的，恰如一次多項式比二次多項式簡單；而球面三角的公式比平面三角的公式複雜，對於不了解這些公式的幾何意義的分析家來說，情況似乎依然如此。
2°因為它充分地與天然固體的性質符合，這些固體是我們的手和我們的眼睛所能比較的，我們用它們製造我們的測量工具。