科學與假設 · 第二章 數學量和經驗

要獲悉數學家對連續統（continuum）任何理解，人們不應詢問幾何學。幾何學家總是企圖或多或少地想像他所研究的圖形，但是他的表象在他看來僅僅是一種工具；在創造幾何學時，他要利用空間，正如他用粉筆畫圖一樣；對非本質的東西不應當賦予過多的權重，其重要性往往並不比粉筆的白色更多一些。 純粹的解析家並不害怕這一危險。他使數學科學脫離所有無關的元素，而且他能夠回答我們的問題：「嚴格地說來，數學家就其進行推理的這個連續統是什麼呢？」許多對他們的技藝進行沉思的解析家已經做出了回答；例如，塔納里（Tannery）先生在他的《單變函數論導論》一書中就這樣作了。 讓我們從整數的標度開始；在兩個連續步驟之間插入一個或多個中間步驟，然後在這些新步驟中再插入其他步驟，如此類推，以至無窮。這些步驟將是所謂的分數、有理數或可通約數。但是，這還不夠；無論如何，在這些已經是無限個數的項之間，還必須插入稱之為無理數或不可通約數的其他數。在更進一步之前，我們要評論一下。如此設想的連續統，只不過是按某種順序排列起來的、在數目上無限的個體的集合物，它雖則為真、但卻是相互外在的。這不是通常的概念，其中假定，在連續統的元素之間，存在著一類使它們成為整體的密切的結合物，在那裡，點不是在線之先，而是線在點之先。從「連續統是相重數（multiplicity）的單位（unity）」這一受人稱頌的公式中，只保留著多樣性（multiplicity），統一性（unity）卻消失了。解析家在像他們所作的那樣定義連續統時，他們仍然是正確的，因為只要他們誇耀他們的嚴格性，他們總是正好以此公式推理的。這足以告訴我們，真正的數學連續統是與物理學家的連續統和形上學家的連續統大相徑庭的東西。 也許可以說，滿足於這個定義的數學家受到詞的愚弄，為了解釋這些中間步驟如何被插入，為了證明這樣做是可能的，就必須精確地講出每一個中間步驟的是什麼。但是，那就錯了；在他們的推理 [1] 中所運用的這些步驟的唯一特性是在如此這般的步驟之前或之後存在的特性；因此，也唯有這一特性應當出現在定義中。 這樣看來，中間項應該如何插入不需要我們涉及；另一方面，沒有一個人會懷疑這種操作的可能性，除非他忘記了，在幾何學家的語言中，可能的僅僅意味著無矛盾。 不管怎樣，我們的定義還不完備，我將在這段冗長的題外話之後再談及它。 不可通約數的定義。柏林學派的數學家，尤其是克羅內克（Kronecker），不用整數以外的任何材料，致力於構造分數和無理數的這一連續標度。照此看來，數學連續統也許是心智的純粹創造，經驗大概並未參與其中。 有理數概念對他們來說似乎沒有困難，他們主要力求定義不可通約數。可是，在這裡介紹他們的定義之前，我必須議論一下，以搶先保證不引起那些不熟悉幾何學家習慣的讀者的驚奇。 數學家研究的不是客體，而是客體之間的關係；因此，只要關係不變，這些客體被其他客體代換對他們來說是無關緊要的。在他們看來，內容（matter）是不重要的，他們感興趣的只是形式。 不想到這一點，就無法理解戴德金（Dedekind）竟然會把純粹的符號稱為不可通約數，也就是說，這種數完全不同於應當是可度量的並且幾乎是可觸知的量的普通觀念。 現在，讓我們看看戴德金的定義是什麼： 可通約數能夠以無窮方式分為兩類，以致第一類中的任何數都大於第二類中的任何數。 也可能會出現這種情況：在第一類數中，有一個數小於所有其他數；例如，如果我們把所有大於2的數和2本身排在第一類，把所有小於2的數排在第二類，那麼很清楚，2將是第一類所有數中最小的。數2可以選來作為這種分類的符號。 相反地，也可能會出現下述情況：在第二類數中，有一個數大於所有其他數；例如，如果把所有大於2的數排在第一類，把所有小於2的數和2本身排入第二類，情況就是這樣。在這裡，數2再次可以選作分類的符號。 但是，同樣完全可以發生下述情況：在第一類中既不存在小於所有其他數的數，在第二類中也不存在大於所有其他數的數。例如，假定我們把其平方大於2的所有可通約數放入第一類，把其平方小於2的所有可通約數放入第二類。這裡沒有其平方恰恰是2的數。顯然，在第一類中沒有小於所有其他數的數，因為不管一個數的平方多麼接近2，我們總是能夠找到一個可通約數，其平方更接近於2。 按照戴德金的觀點，不可通約數 或 無非是把可通約數分開的這一特殊式樣的符號；於是，對於每一種分開的式樣，對應著一個可通約數或不可通約數作為它的符號。 可是，滿足這一點也許未免過於輕視這些符號的來源了；依然要說明，我們如何被導致把一種具體的存在賦予它們，此外，甚至對於分數本身來說，一開始不就存在著困難嗎？如果我們預先不了解我們認為是無限可分的內容即連續統，我們會有這些數的概念嗎？ 物理連續統。我們於是問自己，數學連續統的概念是否只是從經驗而來。如果是，那麼經驗的粗糙材料——這就是我們的感覺——也許容許度量。我們可能被誘使認為，它們實際上就是如此，由於最近有人企圖去測量它們，甚至提出了一個通稱費希納（Fechner）定律的規律，按照這個定律，感覺與刺激的對數成正比。 然而，如果我們較為仔細審查一下曾經試圖建立這個定律的實驗，我們將會得出截然相反的結論。例如，人們觀察到，10克的重物A和11克的重物B產生相同的感覺，重物B與12克的重物C同樣無法區分，但是重物A卻很容易與重物C區別開來。於是，經驗的粗糙結果可以用下述關係來表示： A＝B，B＝C，A＜C， 可以把這些關係視為物理連續統的公式。 可是，這裡存在著與矛盾律無法容忍的背離，消除這一背離的需要迫使我們發明數學連續統。 因此，我們不能不得出結論：這一概念完全是由心智創造的，但是經驗為它提供了機會。 我們無法相信，等於第三個量的兩個量彼此不相等，以致我們可以假定，儘管A不同於B，B不同於C，但是由於我們的感官不完善，不容許我們區別它們。 數學連續統的創造。第一階段。迄今為止，為了說明事實起見，只要在A和B之間插入幾項就足夠了，這幾項依然是離散的。如果我們求助於某些工具以彌補我們感官的軟弱無力，例如我們使用顯微鏡，那麼現在會發生什麼情況呢？像以前不可區別的A和B項，現在也似乎可以區分了；可是，在現在變得可區分的A和B之間再插入一個新項D，則我們既不能把它與A區別開來，也不能把它與B區別開來。除非使用最完善的方法，我們經驗的粗糙結果將總是呈現具有內在矛盾的物理連續統的特徵。 只有在已經區分開來的項中連續不斷地插入新項，我們才能擺脫它，而且這一操作必須無限期地進行。如果我們能夠想像某種威力充分強大的工具，足以把物理連續統分解為離散的元素，就像望遠鏡把銀河分解為恆星那樣，我們就可以設想中止這種操作。但是，我們不能想像這一點；事實上，我們正是用眼睛觀察顯微鏡放大了的圖像的，因此這個圖像必然總是包含著視覺的特徵，從而包含著物理連續統的特徵。 直接觀察到的長度和用顯微鏡放大一倍的這一長度之半無法區分。整體與部分是齊性的；這是一個新的矛盾，或者確切地講，如果假定項數是有限的才是這樣的；事實上，很清楚，包含比整體少的項的部分不可能相似於整體。 當項數被認為是無限時，矛盾就不存在了；例如，沒有什麼東西妨礙人們認為整數的集合相似於偶數的集合，雖則偶數隻不過是整數的一部分；事實上，每一個整數都對應著一個偶數，即對應著整數的倍數。 但是，心智被引導創造出用無限數目的項形成的連續統的概念，這並不僅僅是為了避免包含在經驗材料中的這種矛盾。 一切都像在整數序列中發生的一樣。我們有能力設想，一個單位能夠加到多個單位的集合中；多虧經驗，我們才有機會訓練這種能力，我們逐漸意識到它；可是，從這時起，我們感到我們的能力沒有限度，我們能夠無限期地數下去，儘管我們從來還沒有數過多於一個有限數目的對象。 同樣地，只要我們被誘使在一個級數的兩個相繼項之間插入中間項，我們便發覺，這種操作能夠超越所有限度而繼續下去，也就是說，沒有停止的固有理由。 為簡便起見，讓我把按照與可通約數的標度相同的規則形成的項的每一個集合稱為一階數學連續統。如果我們進而按照形成不可通約數的規律插入新的步驟，我們將會得到我們所謂的二階連續統。 第二階段。迄今，我們僅僅是邁出了第一步；我們說明了一階連續統的起源；但是，有必要看到，為什麼甚至連它們也不是充分的，為什麼必須發明不可通約數。 如果我們試圖想像一條線，那麼它必須具有物理連續統的特徵，也就是說，除非具有某一寬度，否則我們將無法描繪它。於是，兩條線在我們看來似乎形成了兩條狹帶，如果我們滿足於這種粗糙的圖像，那麼顯而易見，若兩線相交，則它們將擁有公共部分。 可是，純粹幾何學家卻做出進一步的努力；他完全放棄了感官的幫助，試圖達到沒有寬度的線的概念、沒有廣延的點的概念。他只有把線視為不斷變窄的帶子的極限，把點視為不斷縮小的面積的極限，才能夠得到這個概念。其次，不管我們的兩條相交的帶子多麼窄，它們總有公共的面積，帶子越窄，面積越小，它們的極限將是純粹幾何學家所謂的點。 這就是人們說兩條相交的線具有公共點的原因，這個真理似乎是直覺的。 然而，如果線被設想為一階連續統，也就是說，在幾何學家所畫的線上只能找到具有有理數坐標的點，那它就含有矛盾。例如，只要人們堅持直線和圓的存在，則矛盾是很明顯的。 事實上，很清楚，假如唯有其坐標是可通約數的點才被認為是真實的，那么正方形的內接圓和這個正方形的對角線便不會相交，因為交點的坐標是不可通約的。 這還不可能是充分的，因為我們以這種方式得到的只是某些不可通約數，而不是全部不可通約數。 可是，設想一下一直線分為兩條射線。每條射線在我們的想像中似乎都是某種寬度的帶子；而且，這兩條帶子將相互疊加，由於在它們之間必須沒有空隙。這個公共部分在我們看來好像是一點，當我們力圖把帶子想像得越來越窄時，該點將總是保留著，以至於我們承認，若一直線被切割為兩條射線，則它們的公共邊界是一個點，這是直覺的真理；在這裡我們辨認出戴德金（Dedekind）的概念：不可通約數被視之為兩類有理數的公共邊界。 這就是二階連續統的起源，這恰恰是所謂的數學連續統。 摘要。簡而言之，心智具有創造符號的能力，從而正是心智，構造了只是符號特殊系統的數學連續統。其能力只是受到避免所有矛盾的必要性的限制；但是，只有經驗向那裡給心智提供刺激物，心智才能利用這種能力。 在所考慮的情況下，這種刺激物是從感覺的粗糙材料中引出的物理連續統的概念。不過，這個概念導致了一系列的矛盾，必須使我們自己相繼從這些矛盾中擺脫出來。照此辦理，我們勢必想像越來越複雜的符號系統。至今，我們在其中停下來的系統不僅無內部矛盾（在我們經過的所有的階段已經如此），而且與各種所謂的直覺的命題也無矛盾，這些直覺命題是從或多或少經過提煉的經驗概念中推導出來的。 可測量的量。迄今為止，我們所研究的量都不是可測量的；我們固然能夠說這些量中的一個給定量是否比另一個大，但卻不能說它是否比另一個大一倍還是大兩倍。 截至目前，我僅僅考慮了我們的項排列的順序。可是，就大多數應用來說，這並不充分。我們必須學會比較把任何兩項分開的區間。只有在這個條件的基礎上，連續統才會變為可測量的量，算術運算才是可應用的。 這只能藉助新的、特殊的約定來進行。我們將公認，在這樣的情況下，A項和B項之間的區間等於C項和D項之間的區間。例如，在我們的著作的開頭，我們曾從整數的標度開始，我們設在兩個相繼步驟之間插入n個中間步驟；好了，這些新步驟根據約定將被視為是等距離的。 這是定義兩個量的加法的方式，因為若區間AB根據定義等於區間CD，則區間AD根據定義將是區間AB和CD之和。 這個定義在很大程度上是任意的。然而也不完全如此。它服從某些條件，例如服從加法交換律和結合律。不過，一旦選定的定義滿足這些法則，選擇就無關緊要了，列舉它也就無用了。 幾點評論。現在，我們能夠討論幾個重要的問題： 1°心智的創造力由於數學連續統的創造而枯竭了嗎？ 不，杜布瓦-雷蒙（Du Bois-Reymond）以引人注目的方式證明這一點。 我們知道，數學家區分不同階的無限小，二階無限小不僅以絕對的方式是無限小，而且相對於一階無限小也是無限小。不難設想分數階的無限小乃至無理數階的無限小，從而我們再次發現數學連續統的標度，這正是我們在前幾頁所處理的。 再者，有些無限小相對於一階無限小是無限小，相反地，它們相對於1+ε階無限小則是無限大，而不管ε可能多麼小。於是，這裡有插入級數中的新項，如果可以容許我回復到不久前使用過的、雖不怎麼通用但卻十分方便的措辭，那麼我將說，這樣便創造了一種三階連續統。 要再進一步是很容易的，但這卻是無用的；人們只能想像沒有應用可能的符號，沒有一個人想這樣做。考慮到不同階的無限小而導致的三階連續統本身並沒有有用到足以贏得公民身份，幾何學家只是把它視為珍奇的玩意兒。心智運用它的創造能力，只有在經驗需要它的時候才行。 2°一旦有了數學連續統的概念，人們能免除類似於產生它的那些矛盾嗎？ 不能，我將舉一個例子。 人們必須很博學，才不致認為凡曲線都有切線是明顯的；事實上，如果我們把這個曲線和一條直線畫為兩條窄帶，我們總是能夠如此安排它們，使它們有公共部分而不相交。其次，如果我們想像這兩條帶子的寬度無限地縮小，這個共同部分將總是繼續存在，可以說到達極限，兩線將有共同點而不相交，也就是說，它們將相切。 以這種方式推理的幾何學家只是有意或無意地正在做我們在上面已經做過的事情，即證明兩線相交有一公共點，他的直覺好像是合理的。 可是，直覺也許會欺騙他。我們能夠證明，存在著沒有切線的曲線，倘若這樣的曲線被定義為二階分析連續統的話。 毫無疑問，類似於我們上面已經討論的某些技巧也許足以消除矛盾；但是，因為這隻有在十分例外的情況下才會遇到，它沒有受到進一步的注意。 我們不想試圖把直覺與解析調和起來，我們甘願犧牲二者之一，因為解析必定依然是無懈可擊的，所以我們決定捨棄直覺。 多維物理連續統。我們在上面討論了從我們感官的直接材料引出的物理連續統，或者，如果你樂意的話，也可以說是從費希納實驗的粗糙結果引出的物理連續統；我已經表明，這些結果總括在下述矛盾的公式中： A＝B，B＝C，A＜C. 現在讓我們看看，這一概念怎樣被概括，如何從它得出多維連續統的概念。 考慮任何兩個感覺的集合。或者我們能夠把它們一一辨別開來，或者我們不能辨別，正像在費希納實驗中那樣，10克的重物能夠與12克的重物區別開來，但不能與11克的重物區別。這就是為構造多維連續統所需要的一切。 讓我們把這些感覺集合中的一個集合稱為一個元素。這類似於數學家的點；不過也不是完全相同的東西。我們不能說我們的元素沒有廣延，由於我們無法把它與鄰近的元素加以區別，從而它猶如被一種煙霧包圍著。假如可以容許用天文學作比，那麼我們的「元素」也許像星雲，而數學點則像恆星。 這已得到承認，如果我們藉助於每一個元素都與前一個可以區分的相繼元素的系列，能夠從它們中的任何一個到達另一個，那麼元素的系統將形成一個連續統。這種線性系列就是數學家的線，而孤立的元素則是點。 在進一步之前，我們必須解釋所謂截量意味著什麼。考慮一個連續統C，並從中取出它的某些元素，我們暫時將認為這些元素不再屬於這個連續統。如此取出的元素的集合將被稱之為截量。於是便發生了下述情況：由於這個截量，C可以再分為許多不同的連續統，留下的元素的集合不再形成唯一的連續統。 於是，在C上將有兩個元素A和B，必須認為它們屬於兩個不同的連續統，而且人們將承認這一點，因為不可能找到C的相繼元素的線性系列，這些第一個是A而最後一個是B的元素中的每一個都與前一個不可區分，這個系列中的元素之一不能與截量中的元素之一區分開來。 相反地，也可能出現這樣的情況：所做出的截量不足以再分割連續統C。為了對物理連續統進行分類，我們將嚴格地審查，為了再分它們必須做出的截量是什麼。 如果一個物理連續統C能夠被一個截量再分，而這個截量可以劃歸為都可以相互區分的有限數目的元素（從而既不形成一個連續統，也不形成幾個連續統），那麼我們將說C是一維連續統。 相反地，如果C只能被本身是連續統的截量再分，我們便說C有多維。如果是一維連續統的截量就能夠再分，我們便說C有兩維；如果是兩維連續統的截量就足以再分，我們便說C有三維，如此等等。 這樣一來，由於兩個感覺集合是可區分的或不可區分的這一十分簡單的事實，便定義了多維物理連續統的概念。 多維數學連續統。通過完全類似於我們在本章開頭所討論的過程，n維數學連續統的概念由此十分自然地湧現出來。你知道，這種連續統的點在我們看來好像是用稱之為其坐標的n個不同的量的系統來定義的。 這些量並不需要總是可測量的；例如，有一種與測量這些量無關的幾何學的分支，在這種幾何學中，例如需要了解的問題只是，在曲線ABC上，點B是否在點A和點C之間，而不需要了解弧AB是等於弧BC呢，還是比弧BC大一倍呢。這就是所謂的拓撲學。 這是一門完整的學說，它吸引了絕大多數幾何學家的注意力，我們從中看到，一系列值得注意的定理一個從另一個里湧現出來。這些定理與通常的幾何學的定理的不同之處在於，它們純粹是定性的，即使圖形被拙劣的繪圖員畫得嚴重歪曲了比例，由於顫抖而把直線畫得多少有些彎曲，這些定理依然為真。 由於我們希望接著把測量引入剛剛定義的連續統，於是這個連續統變為空間，幾何學誕生了。但對此的討論留在第二編。 * * * [1] 以及包括在特殊約定中的推理，這些約定適合於定義加法，我將在後面談到它們。