科學與假設 · 第一章 數學推理的本性

Ⅰ 數學科學的可能性本身似乎是一個不可解決的矛盾。如果這門科學只是在外觀上看來是演繹的，那麼沒有人想去懷疑的、完美的嚴格性從何而來呢？相反地，如果數學所闡明的一切命題能夠依據形式邏輯的規則相互演繹，那麼它為什麼沒有變成龐大的同義反覆呢？三段論法不能告訴我們本質上新穎的東西，假使每一事物都來自同一律，那麼每一事物都必定能歸入其中。這樣一來，我們難道將要承認，所有那些充斥許多書中的定理的闡明無非是A即A的轉彎抹角的說法？ 毋庸置疑，我們能夠返回到公理，它們處在所有這些推理的源頭。如果我們斷定這些推理不能劃歸為矛盾律，如果我們在其中甚至看到了不具有數學必然性的經驗事實，那麼我們還有把它們列入先驗綜合判斷的對策。這不是解決困難，而只不過是使之洗鍊而已；即使綜合判斷的本性在我們看來並不神秘，然而矛盾還不會消失，它只是後退了；三段論推理依然不能為給予它的材料添加任何東西；這些材料本身劃歸為幾個公理，我們在結論中不會發現其他東西。 無論什麼定理，如果沒有新公理參與它的證明，它就不會是新的；推理只能借用直接的直覺給我們以即時自明的真理；它恐怕只是中間的寄生物，因此我們難道沒有充分的理由去詢問，整個三段論工具是否只是有助於掩飾我們的借用？ 翻開任何一本數學書，這種矛盾將會給我們以更大的衝擊；在每一頁上，作者都要闡述他概括一些已知的命題的意圖。數學方法是從特殊行進到一般嗎？假若如此，為何又能把它稱為演繹的呢？ 最後，如果數學是純粹分析的，或者它能夠從少數綜合判斷通過分析導出，那麼博大精深的心智似乎一眼就能察覺它的所有真理；不僅如此，我們甚至可以希望，人們總有一天會發明一種足夠簡單的語言表達它們，使它們在通常的理智看來也是自明的。 如果我們不贊同這些結果，那就必須承認，數學推理本來就有一種創造能力，從而不同於三段論。 該差別甚至必須是深刻的。例如，按照某一法則，用於兩個相等的數的同一個一致運算將給出恆等的結果，我們在頻繁使用這一法則時找不出其中的奧秘。 所有這些推理方式，不管它們是否可劃歸為名副其實的三段論，它們依然保持著分析的特徵，正因為如此，它們才是軟弱無力的。 Ⅱ 這裡要討論的是老問題；萊布尼茨（Leibnitz）企圖證明2加2得4；讓我們看一下他的證明吧。 我將假定數1已被定義，又假定運算x+1意謂把單位1加在已知數x上。 這些定義不管是什麼，它們都沒有進入推理過程。 然後我通過等式 （1）1+1＝2； （2）2+1＝3； （3）3+1＝4 定義數2，3和4。 用同樣的方式，我通過下述關係定義運算x+2： （4）x+2＝（x+1）+1。 由於預先假定了這一切，於是我們有 2+1+1=3+1 （定義2）， 3+1=4 （定義3）， 2+2= （2+1）+1 （定義4）， 由此可得 2+2=4 證畢。 不能否認，這個推理是純粹分析的。可是若問任何一個數學家：「這不是真正的證明（demonstration） 」，他將會對你說：「這是核驗（verification） 。」我們僅限於比較兩個純粹約定的定義，並查明它們是恆等的；我們沒有學到什麼新東西。核驗不同於真的證明，正因為它是純粹分析的，正因為它是毫無結果的。其所以毫無結果，是因為結論不過是翻譯成另一種語言的前提。相反地，真的證明是富有成效的，因為這裡的結論在某種意義上比前提普遍。 等式2+2=4是如此易受核驗，只因為它是特定的。數學中的每一個特定的闡述總是能夠以這種相同的方式核驗。但是，如果數學能夠劃歸為一系列這樣的核驗，它就不會是科學了。例如，棋手並沒有在贏棋中創立科學。離開普遍性便沒有科學。 人們甚至可以說，精密科學的真正目的就在於使我們省卻這些直接的核驗。 Ⅲ 因此，讓我們看看幾何學家是如何工作的，並且力圖把握他的工作過程。 這項任務並非沒有困難；隨便翻開一本書，並分析其中的任何證明，這是不夠的。 我們首先必須撇開幾何學，由於與公設的作用、空間概念的本性和起源有關的問題相當困難，因而幾何學中的疑問是錯綜複雜的。出於類似的理由，我們也不能轉向微積分。我們必須尋找其中依然是純粹的數學思想，也就是說，必須在算術中去尋找。 選擇還是必要的；在數論的比較高深的部分，原始數學概念已經經受了如此深刻的提煉，以至於變得難以分析它們。 因此，正是在算術的開頭，我們必須期待找到我們尋求的說明，但是恰恰是在最基本的定理的證明中，發生了這樣的情況：經典論文的作者表現得最少精確、最少嚴格。我們不必把這作為一種罪過歸咎於他們；他們服從了必要性；初學者沒有受到真正的數學嚴格性的訓練；他們在其中只能看到無用的、使人厭煩的微妙；企圖使他們過早地變得更為精密，那不過是白費時間；他們必定會迅速地、但卻是按部就班地通過的，而科學奠基人卻是緩慢地越過這條道路的。 為了逐漸地習慣於這種完全的嚴格性——它似乎應該自然而然地施加在一切健全的心智之上，為什麼要有如此長的必要的準備呢？這是一個邏輯的和心理的問題，完全值得加以研究。 但是，我們不去處理它；它不是我們的目的；我們必須重新證明最基本的定理，為了不使初學者煩惱，我們不是把這些定理留下的粗糙的形式給予他們，而是把訓練有素的幾何學家滿意的形式給予他們。 加法的定義。我假定已經定義了運算x+1，即把數1加到已知數x上。 這個定義不管是什麼，都沒有進入我們的後繼的推理之中。 我們現在要定義運算x+a，就是把數a加到已知數x上。 假定我們定義了運算 x+（a-1）， 則運算x+a將用等式 x+a＝［x+（a-1）］+1 （1） 來定義。 只有我們知道x+（a-1）是什麼，然後我們才能知道x+a是什麼，正如我假定過的，從我們知道x+1是什麼開始，我們就能相繼地「藉助遞歸」定義運算x+2，x+3等等。 這個定義值得注意一下；它具有一種特殊的性質，這種性質已經把它與純粹邏輯的定義區別開來；等式（1）包含著無窮個不同的定義，只要人們知道前者，每一個定義都有意義。 加法的特性——結合性。我說 a+（b+c）＝（a+b）+c. 事實上，該定理對c=1而言為真；於是可寫出 a+（b+1）＝（a+b）+1， 該式除符號有差別外，無非是我剛才定義加法的（1）式。 假定該定理對c＝γ而言為真，我說它對c＝γ+1亦為真。 事實上，設 （a+b）+γ＝a+（b+γ）， 由此可得 ［（a+b）+γ］+1＝［a+（b+γ）］+1. 或者根據定義（1） （a+b）+（γ+1）=a+（b+γ+1）＝a+［b+（γ+1）］， 這表明，通過一連串的純粹分析的演繹，該定理對γ+1為真。 由於對c=1為真，從而我們相繼看到，它對c=2，c=3等也是如此。 交換性。1°我說 a+1＝1+a. 該定理顯然對a=1來說為真；我們能夠用純粹分析的推理來核驗，若它對a=γ為真，則它對a＝γ+1也為真；於是， （γ+1）+1＝（1+γ）+1＝1+（γ+1）； 現在該定理對a＝1為真，因而它對a=2，a=3等亦為真，這可用下述說法來表述：所闡述的命題通過遞歸而證明。 2°我說 a+b＝b+a. 該定理剛才針對b=1已被證明；可以用分析來核驗，若它對b＝β為真，則它對b＝β+1亦為真。 因此，該命題通過遞歸而成立。 乘法的定義。我們將用下述等式來定義乘法： a×1＝a，（1） a×b＝［a×（b-1）］+a.（2） 像等式（1）一樣，等式（2）包含著無窮個定義；只要定義了a×1，就能使我們相繼定義a×2，a×3等等。 乘法的特性——分配性。我說 （a+b）×c＝（a ×c）+（b×c）. 我們用分析核驗，該等式對c＝1而言為真；其次，若該定理對c＝γ為真，則它對c＝γ+1亦為真。 因此，該命題通過遞歸而證明。 交換性。1°我說 a×1＝1×a. 該定理對a＝1而言是顯而易見的。 我們用分析驗證，若該定理對a=a為真，則它對a=a+1亦為真。 2°我說 a×b＝b×a. 該定理對於b=1而言剛剛證明過了。我們可以用分析核驗，若它對b＝β為真，則它對b=β+1亦為真。 Ⅳ 我在這裡不再進行這種一連串單調的推理。但是，正是這種單調的東西，更清楚地把一致的、在每一步都要再次遇到的程序顯示出來。 這種程序就是遞歸證明。我們首先針對n=1規定一個定理；然後我們證明，若該定理對n-1為真，則對n也為真，從而得出結論：它對所有的整數都為真。 我們剛才看到，如何可以用遞歸來證明加法法則和乘法法則，也就是代數計算法則；這種計算是變換的工具，它有助於形成更多的各種不同的組合，遠非簡單的三段論所能相比；但是，它依然是純粹分析的工具，不能告訴我們任何新東西。如果數學沒有其他工具，它就會因之即刻阻礙自己的發展；但是，它重新求助於同一程序，即求助於遞歸推理，從而它能夠繼續前進。 如果我們密切注視一下，我們在每一步都會再次遇到這種推理方式，它或者是以我們剛才給予它的簡單形式出現的，或者是以或多或少修正了的形式出現的。 於是，我們在這裡有了典型的數學推理，我們必須更為仔細地審查它。 Ⅴ 遞歸推理的主要特徵是，它包括無窮個三段論，可以說它濃縮在單一的公式中。 為了更清楚地看到這一點，我想依次陳述這些三段論，如果你容許我形容一下的話，它們就好像「多級瀑布」一樣直瀉而下。 這些當然是假設的三段論。 定理對數1為真。 現在，若它對1為真，則它對2亦為真。 故它對2為真。 現在，若它對2為真，則它對3亦為真。 故它對3為真，如此等等。 我們看到，每一個三段論的結論都是下一個三段論的小前提。 而且，我們的所有三段論的大前提都能簡化為單一的公式。 若定理對n-1為真，則它對n亦為真。 其次，我們看到，在遞歸推理中，我們僅限於陳述第一個三段論的小前提和把所有大前提作為特例包括進來的普遍公式。 從而，這一連串永無休止的三段論就簡化為幾行短語。 正如我上面已經說明的，現在很容易理解一個定理的每一個特定推論都能夠用純粹分析的程度來核驗。 如果我們不去證明我們的定理對於所有數為真，例如我們只希望證明它對6這個數為真，那麼建立我們的多級瀑布的頭五個三段論對我們來說就足夠了；如果我們想針對數10證明該定理，那麼只需要9個三段論；數越大，需要的三段論也就越多；然而，不管這個數多麼大，我們總能達到目的，從而分析核驗是可能的。 可是，無論我們走得多麼遠，我們也無法上升到對於一切數都適用的普遍定理，而唯有普遍的定理，才是科學的目標。欲達此目的，需要無窮個三段論；這就必須跨越只局限於形式邏輯方法的分析家的忍耐力永遠也無法填滿的深淵。 起初我曾問過，人們為什麼不想像出一個神通廣大的心智，一眼就洞察到整個數學真理的本質。 現在很容易回答了；棋手能夠預料四五步棋，不管他多麼非凡，他也只能準備有限步棋；假使他把他的本領用於算術，他也不能憑藉單一的直接直覺察覺算術的普遍真理；為了獲得最微小的定理，他也不得不藉助遞歸推理，因為這是能使我們從有限通向無限的工具。 這個工具總是有用的，因為它容許我們像我們所希望的那樣飛速跨越許多階梯，它使我們省去冗長的、使人厭煩的和單調的核驗，而這種核驗會很快地變得不能實施。但是，只要我們以普遍的定理為目的，它就變得必不可少了，而分析的核驗雖則可以使我們不斷地接近這一目的，卻永遠無法使我們達到它。 在算術這個領域，我們可以認為我們自己距微積分十分遙遠，然而，正如我們剛剛看到的，數學無限的觀念已經起著舉足輕重的作用，沒有它便沒有科學，因為在那裡沒有普遍的東西。 Ⅵ 遞歸推理所依據的判斷能夠處於其他形式之下；例如，我們可以說，在不同整數的無限個集合中，總存在著一個比所有其他數都小的數。 我們能夠很容易地從一個闡述推到另一個闡述，由此便產生已經證明過遞歸推理的合法性的幻覺。但是，我們總會受到阻礙，我們總會達到不可證明的公理，而這個公理實際上只不過是有待證明的、翻譯成另一種語言的命題罷了。 因此，我們無法擺脫這樣一個結論：遞歸推理的法則不能劃歸為矛盾律。 對我們來說，這個法則也不能來自經驗；經驗能夠告訴我們，該法則對頭十個數或頭一百個數為真；例如，它不能到達無限系列的數，而只能到達這個系列的一部分，不管該部分或長或短，但總是有限的。 現在，假若只是那樣一個問題，則矛盾律也就足夠了；它總會容許我們展開像我們所希望的那麼多的三段論；只有在把無限個三段論包括在單一的公式中時，只有在無限面前時，矛盾律才會失效，也就是在那裡，經驗變得軟弱無力。這個法則是分析證明和經驗難以得到的，它是先驗綜合判斷的真正類型。另一方面，我們也不能企圖在它之內像在幾何學的某些公設中那樣看見約定。 可是，這種判斷為什麼以不可遏止之勢迫使我們服從呢？那是因為，它只是證實了心智的威力，心智知道，它本身能夠想像得出，只要這種行為一次是可能的，同樣的行為就可以無限期地重複下去。心智對這種威力有一種直接的直覺，而經驗只不過是為利用它、並進而變得意識到它提供機會。 但是，有人會問，如果未加工的經驗不能證明遞歸推理的合法性，那麼藉助于歸納的實驗也是這樣嗎？我們陸續看到，一個定理對1，2，3等數為真；我們說，這個規律是明顯的，它像每一個基於為數很多、但卻是有限的觀察的物理學定律一樣，有著相同的根據。 必須承認，在這裡存在著與通常的歸納程序酷似之處。不過，也有本質的差別。用於物理科學中的歸納總是不確定的，因為它建立在宇宙具有普遍秩序的信念上，而這種秩序卻是在我們之外的。相反地，數學歸納法即遞歸證明卻必然地強加於我們，因為它只不過是心智本身的特性的確認。 Ⅶ 正如我前面已經說過的，數學家總是力圖概括他們所得到的命題，不必另找例子，我剛才已經證明了等式： a+1＝1+a， 後來利用它建立等式 a+b＝b+a， 該等式顯然更為普遍。 因此，像其他科學一樣，數學也能夠從特殊行進到普遍。 在開始這項研究時，這是一個我們似乎不可理解的事實，但是由於我們弄清了遞歸證明和普通歸納的類似性，這個事實在我們看來就不再神秘了。 毫無疑問，數學中的遞歸推理和物理學中的歸納推理建立在不同的基礎上，但是它們的步調是相同的，它們在同一方向前進，也就是說，從特殊到普遍。 讓我們稍為比較仔細地審查一下這種情況。 為了證明等式 a+2＝2+a， 只要把法則 a+1＝1+a（1） 運用兩次就足夠了，而且可以寫出 a+2＝a+1+1＝1+a+1＝1+1+a＝2+a.（2） 無論如何，用純粹分析的方法從等式（1）如此演繹出來的等式（2）絕不僅僅是（1）式的特例；它是完全不同的某種東西。 因此，我們甚至不能說：在數學推理的真正分析的和演繹的部分，我們是在該詞的通常意義上從普遍行進到特殊。 與等式（1）的兩個數相比，等式（2）的兩個數隻不過是更為複雜的組合而已，分析僅僅用來把進入這些組合中的元素分開並研究它們的關係。 因此，數學家是「通過構造」而工作的，他們「構造」越來越複雜的組合。他們通過分析這些組合，這些集合體，可以說返回到它們的初始元素，他們察覺到這些元素的關係，並從它們推導出集合體本身的關係。 這是純粹分析的步驟，但是它無論如何不是從普遍到特殊的步驟，因為很明顯，不能把集合體視為比它們的元素更特殊。 人們正當地賦予這種「構造」程序以重大的意義，一些人還力圖從中發現精密科學進步的必要條件和充分條件。 無疑地，這樣做是必要的；但並不是充分的。 要使一種構造物有用而不白費心血，而且可以作為人們希望攀登的階梯，那麼它首先必須具有一種統一性，這種統一性能使我們從中看到某種東西，而不只是看到它的元素本身的並置。 或者，更確切地講，考慮構造物，而不是考慮它的元素本身，必定有某些好處。 這種好處能夠是什麼呢？ 例如，為什麼針對總是可以分解為三角形的多邊形推理，而不針對基本的三角形推理呢？ 這是因為屬於任何邊數的多邊形的特性可以用於任何特定的多邊形。 相反地，通過直接研究基本三角形的關係發現這些特性，結果就要耗費大量的精力。知道了普遍定理便節省了這些精力。 因此，一個構造物要變得有趣，只有當它能夠與其他類似的構造物並列，從而形同一個屬（genus）的種（species）時。 假如四邊形不是兩個三角形的並置，這是因為它屬於多邊形之屬。 而且，人們必定能夠證明這個屬的特性，而不會被迫針對每一個種去相繼建立它們。 欲達此目的，我們必須攀登一個或多個階梯，從特殊上升到普遍。 「通過構造」的分析程序沒有迫使我們下降，而是讓我們留在同一水平線上。 我們只有藉助數學歸納法才能攀登，唯有它能夠告訴我們某種新東西。沒有在某些方面與物理學歸納法不同的、但卻同樣有效的數學歸納法的幫助，則構造便無力去創造科學。 最後要注意，只有同樣的運算能夠無限地重複，這種歸納法才是可能的。這就是為什麼西洋棋的理論從來也不能變成科學，因為同一象棋比賽的不同走法彼此並不相似。