鏡鏡詅痴譯註 · 鏡鏡詅痴卷之三

圓凹〔1〕 一 鏡本平面，刳〔2〕空為圓，故弧與凸同，用與凸反。 【注釋】 〔1〕圓凹：球面透鏡中的凹透鏡。 〔2〕刳：挖空，掏空。 【譯文】 鏡片本來是平面，挖空就成為球面，所以弧形與凸透鏡相同，作用與凸透鏡相反。 二 凹之深者，無過百八十度，度漸少，凹漸淺，難以量取，惟有側收限可憑。若欲與凸通為一例〔1〕，則借算虛取之〔2〕，為凹深限。凹愈深，限愈短，悉同乎凸，第是側收限短至一分止矣。《遠鏡說》稱，有窪如釜者，〔3〕其側收限應最短，已鮮所用，姑略焉。 【注釋】 〔1〕「通為一例」之說在此書中反覆出現，可以視為鄭復光的重要的科學思想，反映了他對科學理論應具有統一性、科學概念之間應有相關性的認識。 〔2〕借算虛取之：指借用凸透鏡順收限的相應數值而取得虛擬的凹透鏡深限。算，在此指數額或數目。 〔3〕《遠鏡說》云：「夫鏡有突如球、平如案、窪如釜之類。」 【譯文】 深的凹透鏡，［其弧度］最多不過180度，弧度越少，凹度越淺，測量起來比較難，只有側收限可以憑藉。如果要和凸透鏡貫通為一種規則，那就借用［凸透鏡的］數值來虛擬取值，作為凹透鏡的深限。凹透鏡度數越深，深限越短，一切和凸透鏡相同，只是側收限短到1分就為止了。《遠鏡說》稱，有凹得像釜的，它的側收限應該是最短，那已經不大有用，姑且從略。 三 凹通光者，其形三：有一凹者，有兩凹相等者，有兩凹不等者，其理悉與凸同，故一凹者曰單凹，兩凹等者曰雙凹，兩凹不等者曰畸凹，名各從其例焉。 【譯文】 凹透鏡有三種形狀：有一面凹的，有兩面凹度相等的，有兩面凹度不相等的，道理上都跟凸透鏡相同，所以一面凹的叫單凹，兩面凹度相等的叫雙凹，兩面凹度不相等的叫畸凹，名稱都分別依照凸透鏡的體例。 四 凹無順限，以其側限為深，未為不可，緣畸凹必須會計兩面，故借凸率虛取之。本章二。其法： 雙凹用雙凸率，置〔1〕正面側收限數，以四乘之，為凹深限。單則單凸率，置正面側收限數，以六乘之，為凹深限。畸則畸凸法，以正面側限除副面側限得其倍數，按倍數兩界自一倍一至二倍九，求相當率數兩界自四一至五九為其率，以乘正面側限，為凹深限。並如凸法。〔2〕俱見圓凸六及圓凸七。 【注釋】 〔1〕置：本為籌算用語，意為「布置」，指計算的第一步是先把已知數用算籌布置好。但此類簡單計算未必真用算籌，句首的「置」字成為習慣用語，僅指先把已知數拿出來。 〔2〕這種套用凸透鏡數據求凹透鏡焦距的方法是不對的，詳見「圓率」第二條及注。 【譯文】 凹透鏡沒有順限，以它的側限為深度，不是不可以，只因為畸凹透鏡必須同時考慮兩面，所以借用凸透鏡的換算率來虛擬。本章第二條。方法如下： 雙凹透鏡採用雙凸透鏡的換算率，設定正面側收限的數值，乘以4，［得數］為凹透鏡深限。單凹透鏡則用單凸透鏡的換算率，設定正面側收限數，乘以6，［得數］為凹透鏡深限。畸凹透鏡就用畸凸透鏡的規則，以正面側限除副面側限得出倍數，根據倍數的兩個界限從1.1倍到2.9倍，尋找對應換算率的兩個界限從4.1到5.9作為它的換算率，乘正面側限，［得數］為凹透鏡深限。一律跟凸透鏡的規則相同。都見於「圓凸」第六條和第七條。 五 玻璃受光，必有兩景：一面景，一背景。鏡質二。故通光凹之面受光，與含光凹等；其背受光，與含光凸等。以凹景必成凸，故然。用其透照，實則凹象，故仍為凹用也。 【譯文】 玻璃反光，一定有兩個影像：一個是正面的影像，一個是背面的影像。「鏡質」第二條。所以凹透鏡的正面反光，與凹面鏡相同；它的背面反光，與凸面鏡相同。因為凹面的［反射］影像必定成為凸面，所以如此。運用它的透射時，實際上還是凹形，因此仍然起凹形的作用。 六 凹鏡光線，因彎而生。圓理九。雖自鏡邊出線與凸〔1〕鏡同，而凹散光本《遠鏡說》與凸異。凹彎在面與凸彎在背，向日發光，約行取景，則凹與凸同，是亦側收限也。圓理九。此限專為凹所重。 【注釋】 〔1〕凸：原刻作「凡」，誤。 【譯文】 凹透鏡的鏡光線，因［表面的］彎曲而產生。「圓理」第九條。雖然從鏡片邊緣發出鏡光線這一點與凸透鏡一樣，但凹透鏡發散光線根據《遠鏡說》這一點卻與凸透鏡不同。當凹透鏡的曲面在正面以及凸透鏡的曲面在背面時，對著日光反射，會聚取影，這一點凹透鏡與凸透鏡相同，這也就是側收限。「圓理」第九條。這個限特別為凹透鏡所倚重。 七 凹鏡以通光為用，通光以透照為用。其對照，以用同含光，則與含光凹等。而含光凹與通光凸透照同，應附圓凸篇。圓凸二十八。 【譯文】 凹透鏡以透明為作用，透明以透射為作用。它的對照，因為作用與反射［體］相同，所以等同於凹面鏡。而凹面鏡與凸透鏡透射［性質］相同，理應附在「圓凸」章。「圓凸」第二十八條。 八 凹鏡背面所透凸象，用其對照，與含光凸等。而含光凸與通光凹透照同，只能照物形小，殊少所用，不多及焉。 【譯文】 凹透鏡背面所透出的凸形，用來對照，等同於凸面鏡。而凸面鏡與凹透鏡透射［性質］相同，只能照出變小的物形，用處很少，就不多涉及了。 九 單凹與雙凹，深淺異而用同。本章三。則單凹之理明，而雙凹不煩辭費矣。 【譯文】 單凹透鏡和雙凹透鏡，深淺有別而作用相同。本章第三條。所以只要闡明了單凹透鏡的原理，雙凹透鏡就無須贅述了。 十 凹鏡線不可見，必於借光征之，亦與凸同，但無順收限，故以側收限為主。而其借光亦有發光、暈光，略與凸同。 解曰： 發光者，即側收限所用也，與單凸之環面在背同法。以版片在上斜對取光，反映版上，先切鏡，漸離，其光漸小，小極處見倒光體形，即側收限。過限復大，遠極力盡而止。暈光者，正對日光，透光於地，見鏡微景之中又暈出虛光；如以凹向日，背切於地，凹之正面受日，透背而出，離地漸遠，見一淡白大圓形於地，愈遠益大，是為侈行，故不得有限，其生於鏡光線，則與凸同也。 【譯文】 凹透鏡的鏡光線是看不見的，必須在借光［反射］的情況下來測驗，這一點也跟凸透鏡相同，但是沒有順收限，所以以側收限為主。而它在借光［反射］時也有發光和暈光，大致跟凸透鏡相同。 解： 所謂發［反射］光，就是側收限的依憑，與單凸透鏡的曲面在背面時的［側收限測驗］方法相同。用一塊板在鏡片上方斜對以接收光照，使其反射到板上，先將板貼近鏡片，然後逐漸離開，光斑逐漸變小，到了最小的位置就出現顛倒的光源形狀，這就是側收限。過了［側收］限，［光斑］又逐漸變大，遠到［光的］力道完全衰減為止。所謂暈光，［其情形是，以鏡片］正對日光，光透過鏡片到地上，呈現出鏡片淡淡的影子裡另有模糊的光暈；如果把凹透鏡對著太陽，背面緊貼在地上，凹透鏡的正面接受日光，透過背面射出，使鏡片逐漸離開地面，就出現一個淡白色的大圓形在地上，越遠越大，這時光線是發散行進，所以無法有一個限，但它產生於鏡光線，卻與凸透鏡一樣。 十一 凡側收光線出於彎者，面為實，景則虛。凸面實，凹則實而虛。凹景虛，凸則虛而實。景附於面實，不附則虛。附體景凸實，凹景附體則虛。故單凸平面不應有限，而不然者，圓凸六。景附於體，而出自凸也。若單凹返景附體者，無側限矣。〔1〕但發光如平鏡。然雖無側限，其深限自與單凸之率六同也，以單凹並單凸推算知之。〔2〕然則雙凹、畸凹，其率亦必通為一例矣。本章四。 【注釋】 〔1〕平凹透鏡的平面對光，其第二表面呈對光凸面，不產生反射會聚光束。 〔2〕「單凹並單凸」是鄭復光的一個極具創造性的重要實驗，他將凸透鏡和凹透鏡密接，通過實驗和推算，得出組合焦距的近似公式（見「圓疊」第十二條），並用以反推凹透鏡的焦距。所以此書中借用凸透鏡換算率求凹透鏡焦距的方法有問題，但在「圓率」第四條中用「凸凹相切」法求凹透鏡焦距卻是正確的。 【譯文】 對於因弧面而產生側收光線的所有情況，弧面是實的，它的影就是虛的。凸面是實的，凹面則雖實而虛。凹面的影是虛的，凸面的影則雖虛而實。影附著在面上就是實的，不附著就是虛的。附著在鏡體上的凸影是實的，凹影附著在鏡體上則是虛的。所以單凸透鏡的平面本不該有限，而事實並非如此，「圓凸」第六條。原因就在於影附著在鏡體上，但是卻來自凸面。至於單凹透鏡的反射影像附著於鏡體的情況，就沒有側限了。只是像平面鏡一樣發［反射］光。但是雖然沒有側限，它的深限仍然與單凸透鏡的換算率6［的換算值］相同，通過把一枚單凹透鏡和一枚單凸透鏡合併來推算就知道了。如此則單凹透鏡和畸凹透鏡的換算率也就必然貫通為一種規則了。本章第四條。 十二 雙凹者，暈光有兩：一順暈，見於透光地上；一反暈，見於發光壁上。 單凹者，以凹向日，其反暈固同於雙凹之凹面，其順暈尤為背線所應有。若以平向日，論其凹在背，虛景反照，則發光當有異，然試之卻同平鏡，是應異者而反同矣。論其凹下覆，光線約行，則順暈宜必無，然試之卻有暈光，是應無者而反有矣。後論詳之。 【譯文】 雙凹透鏡有兩種暈光：一種是順暈，出現在透射光到達的地面上；一種是反暈，出現在反射光到達的牆壁上。 單凹透鏡，以凹面對著太陽，它的反暈自然與雙凹透鏡的凹面情況相同，它的順暈更是背面光線應該具備的。如果以平面對著太陽，從它的凹面在背面來說，其虛影有反射，則發出的光應該有所不同，但實測卻如同平面鏡，這是本該不同的反而相同了。從它的凹面向下扣來說，鏡光線會聚行進，則順暈應該也是絕對沒有的，但實測卻有暈光，這是本該沒有的反而有了。後文再詳細討論。 十三 透光者，反照之發光必淡，以透明不能阻其光故。鏡資四。通光凹雖有側收限，光必淡矣。 【譯文】 透明體反射光必定較淡，因為透明不能阻擋光。「鏡資」第四條。所以凹透鏡雖然有側收限，光必定較淡。 十四 通光鏡能自照其景。本章五。單凹者，平面必有相肖之凹景。凹有光線，景亦有光線，但不可見耳。此光線透照則為用，返照則無權。蓋光力銳入，透鏡而過，雖凹面向日，其反照已淡，何況平面虛凹之景邪？又，平鏡本能發光，且出於實面，而平面凹景發光既淡，且出於虛景，縱有微光，必為所掩而不見。此平面向日發光卻同平鏡之理也。本章十二。至其透照，雖凹面下覆，光線力大，射至背面，則背面之光線愈濃，使反照之虛凹愈顯，即虛凹之線景亦顯，且又與透照光體之線相順，而背面實凹光線反不順透照光體之線，故實凹之面無權，而虛凹之力見矣。此暈光之所以應無而反有也。本章十二。然而雖有暈光，蓋亦淡矣。 【譯文】 透鏡能自己照出影像。本章第五條。單凹透鏡，平的一面上一定有相似的凹影。凹面有鏡光線，它的影也有鏡光線，只是看不見而已。這種鏡光線在透射時就發揮作用，反射時就不起作用。因為，光強勁地射入，穿透鏡片出去，即使凹面對著太陽，反射也已經很淡，更何況是平面上的凹形虛影呢？再說，平面鏡體本來能發［反射］光，而且出自實面，而此時平面上的凹影的反射光本就很淡，又是出自虛影，即使有微弱的光，也一定被［平面反光］所淹沒而看不見。這就是［凹透鏡］平面對著太陽反射，情形卻如同平面鏡體的道理。本章第十二條。至於說它的透射，雖然凹面向下扣，但光線力道大，射到背面，則背面的光線更濃，致使反照的虛凹更加突出，虛凹的鏡光線的影也就突出，而且又和透射光束的光線同一方向，而背面實際凹面的光線反而不順著透射光束的光線，所以實際凹面不起作用，同時虛凹的功效顯出來了。這就是暈光本該沒有卻反而有的原因。本章第十二條。但是雖然有暈光，基本上也是淡的。 十五 凹鏡是大光明。原光九，原〔1〕凸十五。故逼目視物，有合目不合目之分，而遠於目則極明顯。 【注釋】 〔1〕原：為「圓」之誤。 【譯文】 凹透鏡屬於大光明。「原光」第九條，「圓凸」第十五條。所以儘管用它湊近眼睛去看物體時，有匹配眼睛和不匹配眼睛的分別，但只要離眼睛較遠就非常清楚。 十六 通光凹切目視物，專為短視人視遠設也。原目六。非短視及視近必昏，且傷目。蓋目與凹合，則目線入鏡線中，不合必拗故也。原鏡八。若離目則見物小而極清，蓋物與鏡合，而目線出鏡線外，視物如常故也。夫視物如常，又加以光明鏡體，而攝以廣行凹線，原線二，原鏡八。所以為大光明也。 【譯文】 用凹透鏡貼近眼睛去看物體，是專門為近視的人看遠處而配備的。「原目」第六條。不是近視眼和看近處這兩種情況就一定會模糊，而且對眼睛有損。因為，眼睛與凹透鏡相匹配，目線就會進入鏡線之中，不匹配就必定牴觸鏡線。「原鏡」第八條。至於［使凹透鏡］離眼睛稍遠就會看見物形變小並十分清晰，這是因為，此時物像與鏡片合為一體，並且目線在鏡線之外，就像平常看物體一樣。像平常看物體一樣，再加上明亮的鏡片，又以凹面鏡不平行的鏡光線進行收束，「原線」第二條，「原鏡」第八條。所以就成了大光明了。 十七 單凹以凹為正面，其凹實；而背有凹景，其凹虛。實凹有光線，其線虛而實；虛凹亦有光線，其線虛而虛。然得其用，不惟虛可當實，而實者反退處無權。故鏡雖單凹，其合目者，反覆自同，與凸同論。 解曰： 睛凸深者，三角視物不能展而見遠，原目六論。故以凹向遠，是物平行入鏡如丙，鏡線展成三角如甲丙乙，合短視視法矣。以平向遠，是物平行至卯入，反照之虛凹光線如子卯丑亦得三角視法矣。（圖65） 圖65 論曰： 目線自震到巽，必穿離坎；自艮到巽，必穿離兌，而不相拗，何也？（圖66） 圖66 凡物相拗者，必因乎實體，而凹在圓外。本章一。抑相拗者或因有實形，而光非有物；又或因他相淆雜，而線景則分背〔1〕而不交錯；觀圖自明。又或因他相為難，而虛線則合併而得資助。是以所用在實線，則虛線自無所用；在虛線，則實線少力，故不相拗也。上論與凸同。下專論凹。 且凹主乎散，故能散日光至於無光。本《遠鏡說》。〔2〕夫散光之線，力亦不能礙目耳。如雲不然，何以凸鏡離目視遠，能使物象不見，圓理十六。而凹極深者，常人切目視遠，能使巨炬如香頭一點，終不能使物景消滅乎？ 【注釋】 〔1〕分背：背對背。 〔2〕《遠鏡說》云：「後鏡形中窪……所以照日光則漸散大光至於無光。」 【譯文】 單凹透鏡以凹面為正面，它的凹弧是實的；同時背面有凹影，它的凹弧是虛的。實的凹面有鏡光線，這種線雖虛而實；虛凹也有鏡光線，這種線虛而又虛。但只要運用得當，不僅虛的可以充當實的，而且實的還反而退居不起作用的地位。所以鏡片雖然是單凹，但只要匹配視力，兩面反過來復過去自然都等同，與凸透鏡的解說一致。 解： 凸度深的眼球，通過三角目線看物體時不能展開去看遠處，「原目」第六條論。所以以凹面對著遠處時，情況是物體的光平行進入鏡面如丙，鏡線展開角度如甲丙乙，這就符合近視［矯正］的透視法則了。以平面對著遠處，情況就是物體的光平行射到卯處進入鏡片，反照形成的虛凹面的鏡光線如子卯丑也同樣體現了三角透視法則。（圖65） 論： 目線從震點到巽點，必然穿過線段離坎；從艮點到巽點，必然穿過線段離兌，卻不互相牴觸，為什麼？（圖66） 大凡物體互相牴觸，一定與實體有關，而凹弧是在圓周之外。本章第一條。而且所謂互相牴觸，要麼因為有實形，可是光並非實物；要麼因為別的東西與之相混雜，可是鏡光線的影卻［與鏡光線］背對背而並不交錯；看圖自然明白。要麼因為別的東西跟它作對，可是虛的鏡光線卻［與鏡光線］合併而得到資助。因此當實光線發揮作用時，虛光線自然不起作用；虛光線發揮作用時，實光線就使不上勁，所以並不互相牴觸。以上與凸透鏡的論說一致。以下專門討論凹透鏡。 而且凹透鏡的作用主要在於發散，因此能散開日光直至無光。根據《遠鏡說》。把光散開的鏡光線，力道也是不能妨礙目光的。如果說不是這樣，為什麼將凸透鏡與眼睛拉開距離並透過它看遠處，能導致物像消失，「圓理」第十六條。而度數很深的凹透鏡，正常視力的人用它貼近眼睛看遠處，能使大火炬顯得像一點香頭，卻終於不能使物像消亡呢？ 十八 凹鏡切目，若非短視，及短視淺而凹深，則視物必昏。以凹過深，散睛之凸幾平也。使引鏡漸遠，必有不昏之處，凹淺則短，深則長，應有定度，然因乎其人之目生差，目凸深則短，淺則長，不可為限也。 解曰： 目之射線雖有兩種，一為丁己戊，一為甲乙丙，原目三。而物之成形，必有上下兩界，如甲、丙，無兩界則不成形。自乙分射甲、丙，賴此兩線為用。故無論近視與否，皆不能舍此三角法。試論兩人： 趙目線為甲乙丙角，與寅辰卯及壬巳癸二角俱等，自丑視子，自辛視庚，皆必昏矣。錢目線為申乙酉角，與寅午卯及壬未癸二角俱等，則自丑視子，自辛視庚，亦必昏。移午、移未，必不昏矣，各得其目線故也。而以兩鏡較，則辰子必短，巳庚必長。以兩人較，則午子必短於辰子，而巳庚必長於未庚也。（圖67） 圖67 【譯文】 將凹透鏡貼近眼睛，如果不是近視，或者近視度淺而凹度深，那麼看東西肯定模糊。這是凹度太深，就把眼球的凸形發散得幾乎成為平面的緣故。假使把鏡片漸漸移遠，必定有不模糊的位置。該距離凹度較淺就較短，凹度較深就較長，應該有確定的尺度，但又由於各人的眼力不同而產生差別，眼球凸度較深就較短，較淺就較長，是不能設為限的。 解： 眼睛射出的目線雖有兩種，一種是丁己戊，一種是甲乙丙，「原目」第三條。但物體之所以成為形狀，必有上下兩個邊界，如甲、丙，沒有兩個邊界就不成形狀。目線從乙點分別射到甲點和丙點，依賴這兩條線發揮作用。所以不論是否近視，都不能撇開這個三角［透視］法。試辨析兩個人的情況： 趙某的目線為甲乙丙角，與寅辰卯和壬巳癸兩個角都相等，從丑處看子處，從辛處看庚處，一定都是模糊的。錢某的目線為申乙酉角，與寅午卯和壬未癸兩個角都相等，則從丑處看子處，從辛處看庚處，也必定模糊。把眼睛分別移到午處、未處，必定就不模糊了，這是各自適合其目線的緣故。而拿兩個鏡片來比較，則辰子必定較短，巳庚必定較長。拿兩個人來比較，則午子必定比辰子短，而巳庚必定比未庚長。（圖67） 十九 凹鏡切目，視物較小，雖短視人亦然。而不甚覺者，以合目故。若離目，雖短視人必覺驟小，漸推漸小，必有小極之限；過限復大，至鏡切物，稱本形矣。此限必有定度，但目之距物，或遠或近，不無伸縮，略與凸之順收限同。〔1〕惟物距目過遠，則出小入大一段遂成平行〔2〕，與凸獨異者，凸既出限，復有倒限〔3〕故也。若夫凸之倒限出小入大〔4〕，乃與同科〔5〕，然無關大用，姑略焉。 【注釋】 〔1〕這是描述凹透鏡成像性質的總結性條目。由於凹透鏡不生實像，無法直接測量，所以其成像性質就是四個字：「見物恆小」（「圓凹」第八條）。凹透鏡所成之像，其像高總是隨物距減小而增大，但用眼睛直接觀察卻不是這樣。如果眼睛與物體相距為D，眼睛與凹透鏡之間的距離可變，設為x，焦距為f，那麼眼睛對像張開的視角正比於下式： 上式在x≤D的範圍內，是一個在處取最小值的連續函數，鄭復光的描述與此相符。 〔2〕所謂「出小入大一段」，應指圖65所示的那種「光路」，光速發散進入鏡面（入大），出射後會聚（出小）。當然，這與實際光路不符。 〔3〕應指凸透鏡的光束在越過匯聚點之後，交叉顛倒形成倒像，而形成倒像則有順展限、順均限等「限」。 〔4〕應指凸透鏡成倒像的光束也是發散或大角度入射鏡面，然後以會聚光束出射。詳見「圓理」第九條。 〔5〕同科：同等，同一種類。 【譯文】 將凹透鏡貼近眼睛，看物體覺得較小，即使近視的人也是如此。而之所以不太感覺得到，是匹配視力的緣故。只要將它與眼睛拉開距離，即使近視的人也必定覺得物像迅速變小，推開越遠就越小，必定有最小的極限位置；過了極限重又變大，直到鏡片貼近物體，這時就與本形相稱了。這個限必有確定尺度，只是眼睛和物體之間的距離，有遠有近，［限的尺度也就］會有一些伸縮，大致與凸透鏡的順收限相同。只有當物體離眼睛太遠時，小角度出射、大角度入射的那一段就會變成平行，這一點特別不同於凸透鏡，原因在於凸透鏡［的光束］超出順收限之後，又會有倒限。至於形成凸透鏡倒限［的光束］小角度出射、大角度入射那一段，就和［凹透鏡的情況］屬於同類，但沒有什麼大用處，姑且從略。 二十 凹鏡能小物形，本章十九。則凹鏡與平鏡其大若等，其所照之地必廣，能見所不見之處，而斜攝入目。圓理五。本《遠鏡說》。〔1〕 解曰： 物大如丑戊，置目於己，置平鏡如庚辛，物入平鏡，止見甲戊，不見丑甲也。如其度置目於壬，置凹鏡如癸子，則物入癸子，見為寅未。夫寅末者，丑戊所縮而成之象也，故寅未之度似與甲戊等，而其象乃與丑戊等，則是丑甲為平鏡所不見者，入凹鏡必見為寅卯矣。在鏡之象，庚辛得四分，癸子得五分，豈非斜攝入目乎？（圖68） 圖68 【注釋】 〔1〕「圓理」第五條，是以後講伽利略式望遠鏡的一條預備知識，鄭復光認為參考了《遠鏡說》，其實他通過大量研究，在很大程度上已經發揮得更加正確和清楚了。《遠鏡說》云：「前鏡中高而聚象，聚象之至則偏，偏則不能平行。後鏡中窪而散象，散象之至則亦偏，偏亦不能平行。故二鏡合用，則前鏡賴有後鏡，自能分而散之，得乎平行線之中，而視物自明。後鏡賴有前鏡，自能合而聚之，得乎平行線之中，而視物明且大也。」 【譯文】 凹透鏡能縮小物形，本章第十九條。則凹透鏡如果與平板透明體大小相等，它所映照的範圍一定更廣，能呈現［平板透明體］所不能呈現之處，而將其斜著攝取到眼睛裡。「圓理」第五條。根據《遠鏡說》。 解： 物體大小如丑戊所示，使眼睛位於己處，放置平板透明體位置如庚辛所示，物形進入平板透明體，只呈現甲戊，不呈現丑甲。按同樣尺度使眼睛位於壬處，放置凹透鏡位置如癸子所示，則物形進入癸子，呈現為寅未。這個寅末，就是丑戊收縮而成的影像，所以寅未在尺度上似乎與甲戊相等，而其中的影像卻與丑戊相等，則平板透明體所不能呈現的丑甲，進入凹透鏡就必然呈現為寅卯了。鏡片裡的影像，庚辛占四分，癸子占五分，這難道不是斜著攝取到眼睛裡嗎？（圖68） 二十一 凹離目愈遠，視物愈小，本章十九。而物形不變也。若上下側之，使上邊距目近，則下邊必遠，而物景必上大下小，其左右兩邊又遠近相等，則物景必大小如常，而物方者必短之使扁焉。依顯，左右側之，而物方必狹之使長矣。圓理七。理與凸之變形同，圓凸二十六。而大小之勢相反，特不能倒物象耳。 【譯文】 凹透鏡離眼睛越遠，［透過它］看物體顯得越小，本章第十九條。而物形是不變的。如果讓它上下偏側，使上邊距眼睛近一些，那麼下邊必定就遠一些，而物像必定上大下小，此時左右兩邊卻又遠近相等，則物像必定［左右］大小如常，而方形的物體必定就被縮短變扁了。同理，讓它左右偏側，那麼方形物體就必定被拉長變窄了。「圓理」第七條。道理和凸透鏡變形相同，「圓凸」第二十六條。而大小的態勢相反，只是不能顛倒物像而已。 二十二 通光凹對照，與含光凹同形同理，而照象則淡，特用以取景成側收限，以求凹之能力為大用耳。 【譯文】 凹透鏡反射，與凹面鏡同形同理，但映照出的物像較淡，大用處只是用它取影生成側收限，以此求凹透鏡的能力。 二十三 不通光凸與通光凹異形同理，故能小物象。古銅鑒小者，其中心微凸，取其收人全面，頗見匠心。本《夢溪筆談》。〔1〕至凸作球，止充玩飾，於鏡理無取爾。 【注釋】 〔1〕《夢溪筆談·器用》「古人鑄鑒」一條，討論了凸面鏡縮小影像的巧用。 【譯文】 不透明的凸鏡與凹透鏡異形同理，所以能縮小物像。有些小的古銅鏡，中心部位略微凸起，為的是它能獲取人臉全貌，頗見匠心。根據《夢溪筆談》。至於凸到成了球，只能充當玩具飾品，從鏡的性質上說沒有可取之處。 圓疊〔1〕 一 通光鏡兩平相疊，視物如常，如疊多層，亦稍昏暗者，如隔蒙氣，過厚則物景迷離耳，原色七。相切與離無異也。若兩凹或兩凸相切，則淺者可加深。一凸並一凹，則深者可使淺。至於兩疊相離，及三疊、四疊，斯變化生而諸用出焉矣。 【注釋】 〔1〕圓疊：球面透鏡的組合。 【譯文】 兩塊平板透明體疊合，用來看物體如同平常，如果疊合多層，也會稍微昏暗，是因為如同隔著霧氣，太厚就顯得物像朦朦朧朧，「原色」第七條。兩塊緊貼和有間隔都一樣。如果兩枚凹透鏡或兩枚凸透鏡緊貼，則度數淺的可以加深。一枚凸透鏡與一枚凹透鏡合併，則度數深的可以變淺。至於兩枚透鏡疊合併有間隔，以及三疊、四疊，這就產生種種變化而出現諸般用途了。 二 凸與凹相反則相制，原鏡八。故凸與凹並，其力等者，則適如平鏡。否則，凸深者成淺凸，凹深者成淺凹。 【譯文】 凸透鏡和凹透鏡［性質］相反於是互相抑制，「原鏡」第八條。所以凸透鏡與凹透鏡合併，深力相等的，就變得恰如平鏡。否則，凸透鏡較深的組合就變成較淺凸透鏡，凹透鏡較深的組合就變成較淺凹透鏡。 三 凸與凹並，若凸之順收限六，而單凹之側收限一，則相制而適平〔1〕。蓋單凸之順收限六，其側收限亦必一，故其力等也。 【注釋】 〔1〕適平：即上條所謂「適如平鏡」，指深力恰好互相抵消，對光束的作用相當於平板透明體。 【譯文】 凸透鏡與凹透鏡合併，如果凸透鏡的順收限是6，單凹透鏡的側收限是1，就會互相抑制而恰如平鏡。因為，單凸透鏡的順收限為6時，它的側收限一定也等於1，所以深力相等。 四 凸與凹並，相切，令內外〔1〕互易，其視物自同。若兩不相切，使凹在內，指近目言。則視物遠者近、小者大；反之，使凸在內，則視物近者遠、大者小。〔2〕 【注釋】 〔1〕鄭復光在描述望遠鏡時，以目鏡靠近眼睛而稱「內」，物鏡遠離眼睛而稱「外」。 〔2〕此條及以下第五、六、七條，為伽利略式望遠鏡的基本原理。 【譯文】 凸透鏡與凹透鏡合併，如果緊貼，使它們前後互換，用來看物體仍然一樣。如果兩者不緊貼，使凹透鏡在後，指靠近眼睛而言。則用來看物體就會遠的顯得近、小的顯得大；反過來，使凸透鏡在後，用來看物體就會近的［顯得］遠、大的顯得小。 五 凸與凹相切而成平者，凸加凹外，相離，則視物仍大，愈遠愈大，如凸理；凹加凸外，則視物仍小，愈遠愈小，如凹理。蓋凹切於目，是凹有定度，則力止於此，凸遠則力大故也。凸以視物大為能力，離目愈遠則愈大。圓凸十九。凸切於目，反此推之。凹以視物小為能力，離目愈遠則愈小。圓凹十九。 【譯文】 當凸透鏡與凹透鏡互相緊貼而變得相當於平板［玻璃］時，如果把凸透鏡加在凹透鏡前面，互相拉開距離，那麼用來看物體仍然是放大的，越遠越大，相當於凸透鏡的性質；凹透鏡加在凸透鏡前面，那麼用來看物體仍然是縮小的，越遠越小，相當於凹透鏡的性質。原因在於，凹透鏡貼近眼睛，這樣是凹透鏡被限定，力道到此為止，而凸透鏡由於較遠，力道就大。看物體顯得大是凸透鏡的主要性能，離眼睛越遠就顯得越大。「圓凸」第十九條。凸透鏡貼近眼睛的情況，可以反過來推論。看物體顯得小是凹透鏡的主要性能，離眼睛越遠就顯得越小。「圓凹」第十九條。 六 凸離目視物，出光線交，圓理九。則景昏。凹切目視物，違目線角，則目昏。若兩鏡離而疊之，則景清而不昏目，以凸凹相制而相濟也。本章二。然相距有定度，視凸凹之深淺、物象之遠近為差，過其度則不可用。此一凹一凸為遠鏡之所本也。 【譯文】 使凸透鏡與眼睛拉開距離［並透過它］去看物體，物體位置越出鏡光線交，「圓理」第九條。影像就模糊。把凹透鏡貼近眼睛去看物體，逆著目線的交角，眼睛就昏花。如果兩種鏡片拉開距離疊合起來，影像就清晰而且眼睛也不花，這是因為凸透鏡和凹透鏡互相抑制而相得益彰。本章第二條。但此時距離有確定尺度，根據凸透鏡和凹透鏡的深淺、物和像的遠近而有所不同，超過確定尺度就沒有用。這是一凹一凸作為望遠鏡的基本原理。 七 凸之用能大物象，然其弊視遠則昏。凹之用為大光明，然其弊視物則小。凸與凹疊，相切而力相制者，即無所用，如平鏡矣。本章二。相離而用相得者，即無其弊，成遠鏡矣。本章六。 【譯文】 凸透鏡的作用在於能放大物像，但它的弊病是用來看遠處就顯得模糊。凹透鏡的作用是大光明，但它的弊病在於用來看物體就顯得小。凸透鏡和凹透鏡疊合，互相緊貼而性能互相抑制時，就沒有什麼用途，同平板透明體一樣了。本章第二條。互相拉開而作用相得益彰時，就沒有各自的弊病，成為望遠鏡了。本章第六條。 八 物遠在限距界〔1〕外，圓凸十一。凸切目視之則昏〔2〕，外加一凸切之則益昏矣〔3〕。若離之，則外凸〔4〕以離目視遠物得倒小象，圓凸十九。有大光明理；圓凸十五。內凸以切目視近鏡即外凸得順大象，有顯微理。〔5〕圓凸二十四。故外凸之倒者，內凸順之仍為倒；內凸之昏者，外凸制之使不昏；設內凸順收限一，其距外凸二，則出限當昏。然外凸既得大光明理，即其能力與凹同，故能制內凸之昏也。外凸之小者，內凸助之，則或小或大也。兩凸俱淺或俱深，皆見物小；內深外淺則見大，內淺外深則見小。〔6〕兩凸相距必有定度，名曰距顯限。〔7〕此限取之最易，其推算法：兩凸同深者，則倍順收限；內深外淺者，以兩順收限並之。〔8〕若內深外淺，翻轉則為內淺外深，距短而無用，略焉。距顯限稍有深淺亦無不可，惟內深外淺相懸者，翻轉為內淺外深，則目距外凸稍遠，已入清界，無須內凸矣。且景小而遠，與遠鏡翻轉同，又奚取耶？ 【注釋】 〔1〕限距界：保證入射光為平行光的最小物距。詳見「圓凸」第十一條。 〔2〕這句是說把凸透鏡貼近眼睛看遠處就顯得模糊，此現象的原因是經凸透鏡折射後再經過眼球所成的像落在視網膜之前。 〔3〕這句是說再疊加一枚凸透鏡，影像更加模糊。原因是影像進一步落在視網膜之前。 〔4〕外凸：指前端凸透鏡，今稱「物鏡」。後「內凸」指後端凸透鏡，即「目鏡」。 按：因另有「內凹」，故「外凸」、「內凸」並不對等於「物鏡」、「目鏡」。這兩個概念在後面關於望遠鏡的論說中大量出現，若一律譯成「前端凸透鏡」或「外凸透鏡」之類的全稱，將導致句子冗長，極易引起文意混亂，故必要時仍依原文簡稱。 〔5〕這幾句比較準確簡練地概括了克卜勒式望遠鏡的原理。按照鄭復光的術語，就是「距顯限=順收限+切顯限」，即物鏡成遠處物體的倒立縮小像（順收限），像的位置在目鏡焦距以內，再經目鏡成正立放大像（切顯限），而順收限和切顯限在數值上都等於焦距。這樣就既解釋了工作原理，同時也建立了精確的兩鏡距公式。基於前面對凸透鏡成像的深入研究，至此可以說是水到渠成。 〔6〕這條自注也是對克卜勒式望遠鏡的準確描述。目鏡深、物鏡淺則放大，反之則縮小。 〔7〕按此處定義，距顯限就是克卜勒式無焦系統的兩鏡距。 〔8〕此處鄭復光得出克卜勒式無焦系統的正確的兩鏡距公式，即L=f物+f目。 按：此條為克卜勒望遠光組的基本原理，也是一個連續改變變量的重要實驗，實驗結果確定了以下正確原則：1. 內深外淺原則，即物鏡焦距大於目鏡焦距是放大的唯一條件；2. 距顯限原則，即光組中兩枚透鏡各自的工作原理，見本條注〔5〕；3. 兩鏡距原則，見注〔8〕。 【譯文】 物體遠在限距界之外，「圓凸」第十一條。將凸透鏡貼近眼睛去看就會顯得模糊，外面加上一枚凸透鏡與之緊貼就更模糊了。如果將它們分開，那麼外凸的情形，由於將它與眼睛拉開距離［並透過它］看遠處物體可以看見倒立縮小像，「圓凸」第十九條。因而具有大光明性質；「圓凸」第十五條。內凸的情形，由於用它貼近眼睛看近處的鏡片即外凸可以看見正立放大像，因而具有放大鏡的性質。「圓凸」第二十四條。所以外凸導致的顛倒，內凸不改變其方向而仍然顛倒；內凸導致的模糊，外凸加以抑制使其不模糊；設內凸的順收限為1，距外凸的距離為2，則［外凸］越出了順收限而應該顯得模糊，然而外凸既然具有大光明性質，其能力就與凹透鏡相同，於是能抑制內凸導致的模糊。外凸所成的縮小像，得到內凸的增益，就會變小或變大。兩枚凸透鏡都淺或都深，都顯得物體變小；內深外淺就顯得變大，內淺外深就顯得變小。此時兩枚凸透鏡之間的距離必定有確定尺度，命名為距顯限。這個限的求取最簡單，推算方法是：兩枚凸透鏡深度相同時，就將順收限翻倍；內深外淺時，把兩個順收限相加。至於內深外淺，翻轉就成為內淺外深，距離短而沒有用，從略。構成距顯限［的透鏡］稍微有深淺變化也無不可，只是內深外淺相差較大時，翻轉成內淺外深，則眼睛離外凸稍遠，就已經進入清晰範圍，這就不需要內凸了，而且影像又小又遠，與望遠鏡翻轉一樣，那還能拿它來幹什麼呢？ 九 距顯限，兩凸不論深淺，見物皆清。若兩凸相距在內凸切顯限內，圓凸十九。則外凸之微疵如泡或紋之類畢見，而外象多昏。〔1〕引之使出切顯限外，則外凸之疵漸隱，而外物之倒象遂清，成距顯限。〔2〕再引之出距顯限，則視外物不清。〔3〕至倍距顯限，則視外凸亦不清。〔4〕而引目稍離內凸，則顯外凸大而光爛然。〔5〕使引目再離如法，則物清而小，復成順象，〔6〕內凸距外凸既倍距顯限，距目又出順收限外，則視外凸為倒象，其視外凸所含之倒物景必復順矣。如凹理，是為大光明限。〔7〕 【注釋】 〔1〕此時目鏡作為放大鏡，人眼看見的是物鏡的放大虛像。 〔2〕此時物鏡所成的縮小實像，經目鏡成為放大虛像，這是克卜勒式望遠鏡的正常情況。 〔3〕此時物體經兩枚凸透鏡所成的實像落在視網膜之後，而實際光線在此之前就經眼球折射而生成一個位於視網膜前的像。 〔4〕此時物鏡的最終成像也落在視網膜之前。 〔5〕此時落在視網膜之前的物鏡的像稍微接近視網膜並放大。 〔6〕此時物體經物鏡、目鏡、眼球所成的縮小實像落在視網膜上，此像經三次顛倒而在視網膜上為倒立，被視覺神經處理為正立。 〔7〕因最後這種情況的成像性質如同凹透鏡（倒、小、清），所以鄭復光稱此時的兩鏡距為「大光明限」。用「大光明限」和「如凹理」將克卜勒式望遠鏡的目鏡的作用，解釋為等同於伽利略式望遠鏡的目鏡，有不符合現代光學原理之處，發生這種困難的原因是不清楚目鏡所成的像為虛像。但在大量實驗的基礎上，鄭復光完全認識到他所說的「大光明」，對應於光學系統成清晰縮小的像，所以當他把「大光明」、「距顯限」和「切顯限」幾個概念結合起來對克卜勒式望遠鏡進行解釋時，也是自有合理性的。詳見以下諸條。 【譯文】 對於距顯限［組合］，兩枚凸透鏡不論深淺，用來看物體都是清晰的。如果兩枚凸透鏡的距離在內凸的切顯限之內，「圓凸」第十九條。則外凸的瑕疵如氣泡或紋路之類。顯得一清二楚，而外面的景物多半模糊。拉開距離使之超出切顯限之外，則外凸的瑕疵逐漸消退，而外面景物的倒像就清晰起來，成為距顯限［模式］。繼續拉開距離使之超出距顯限，則外面的景物看起來不清楚。到了二倍距顯限，就連外凸看起來也不清楚。而此時使眼睛稍微離開內凸，就會顯得外凸又大又耀眼。讓眼睛適當繼續遠離，則所見景物清晰並縮小，重又成為正像，內凸既然距離外凸二倍距顯限，距離眼睛又超出順收限之外，則外凸看起來是倒像，外凸所含的倒立物像看起來必然就正過來了。相當於凹透鏡的性質，這就叫大光明限。 十 凸鏡相疊為用者，或兩面，或數面，當各立主名〔1〕，以干支為號。如有兩節，則一以干，一以支。 【注釋】 〔1〕主名：適當的名稱、名義。 【譯文】 組合起來發揮作用的凸透鏡［組］，有兩枚，也有多枚，應該各自確立適當名目，以天干地支為記號。如果鏡筒有兩節，則一節以天干標記，一節以地支標記。 十一 凸鏡相疊，自二以上多至五六，皆能使合成凹理，但加一凸則須縮短。設有兩凸如甲乙相等，深淺任用，茲特舉相等者見例耳。則甲距乙用距顯限。設有三凸如甲丙，內含乙凸而三，只舉首尾。余仿此。則甲距丙即用倍距顯限，為大光明限。蓋甲距乙、乙距丙皆是距顯限，故甲距丙得倍距顯限也。此限以目切甲視外物即一無所見，而其光則爛然。〔1〕引目離甲如法，則物小而清，且見順象，與凹同理，故為大光明限。然兩凸相疊，則目之離甲必極遠，不便用矣，必三凸相疊乃得，此遠鏡所資者也。〔2〕 然遠鏡之制，所見者不一，內凸用三疊，其恆也。邇來佳制多四疊，間有五疊，多至六疊而止。五疊、六疊，長者故勝，其短者亦只如常，似可不必。〔3〕四疊佳者，則丙丁不動，甲乙或有淺深數筒，以備調換。〔4〕蓋物遠尚大，而時值其暗，則用淺者，取其光顯；物遠甚小，而時值其明，則用深者，取其景大也。〔5〕然每加一凸相疊，則多一距顯限，不合大光明限矣，必每距俱縮，使統長仍如三疊之度，方恰合耳。今推其算法，則每兩凸相疊，各置距顯限為實〔6〕，四凸者用一五除，五凸者用五折，六凸者用四折即得。〔7〕 解曰： 距顯限，四凸者用一五除，五凸者五折，六凸者四折，何也？ 距顯限三疊者二倍，四疊必三倍，五疊必四倍，六疊必五倍也。而大光明限，設三凸者八寸，則三倍為十二寸，四倍為十六寸，五倍為二十寸。夫十二與八是一倍半，十六與八為二倍，二十與八為二倍半；一倍半是用一五除，則二倍用二除，二倍半用二五除；而二除即五折，二五除即四折故也。 【注釋】 〔1〕三枚凸透鏡，每兩枚之間的距離均為兩焦距之和，第一枚對遠處景物成縮小實像，位置在第二枚的物方焦平面上，經第二枚成平行光出射，經第三枚在像方焦平面上成最小實像或聚焦光斑，眼睛不能直接觀察到這個像，只能看見前方鏡片上的光亮。眼睛離開鏡片一定距離之後，才能透過透鏡看見前方景物的倒立縮小像，這與單枚凸透鏡的作用完全是同一回事。 〔2〕此處所謂由甲、乙、丙三枚凸透鏡構成的「內凸」，其實應該是前兩枚（乙、丙）構成轉像光組，後面一枚（甲）為目鏡。詳見本章第十七條注。 〔3〕兩枚以上凸透鏡組成的望遠鏡，其實仍由物鏡和目鏡兩部分構成，只是每部分由一枚以上透鏡組成，還有一些鏡片的作用在於消色差、消球面像差、增大視場等，主要不是為了參與成像，還有一些望遠鏡中間加設轉像光組。這些望遠鏡的原理當時沒有傳入中國，轉像光組的作用由鄭復光自己摸索出來。詳見後。 〔4〕此處所述四疊望遠鏡，丙、丁為固定的轉像光組，甲、乙為可調換的目鏡光組。 〔5〕這是鄭復光對望遠鏡的十分正確的認識，目鏡深（淺）則放大倍數高（低），圖像亮度則相應地低（高），所以要根據觀察對象的亮度和大小來決定合適的放大倍數。 〔6〕實：古算書中通稱被乘數、被除數和被開方數（包括二次多項式中的常數項）為實數，簡稱實。在「圓率」章的算例中，被減數也稱實。 〔7〕這種鏡筒長的打折算法，在現在看來似乎沒有什麼道理。縮短目鏡組的鏡間距，只是改變了系統的焦距，結果只對放大倍數有影響。 【譯文】 凸透鏡組合，從兩枚以上多到五六枚，都能將它組合成凹透鏡的性質，只是每加一枚凸透鏡就需要縮短［總長度］。設有相等的兩枚凸透鏡如甲乙，深淺任意，此處只是用相等的情況來舉例。則甲距乙取距顯限。設有三枚凸透鏡如甲丙，中間包含凸透鏡乙，因而有三枚，只用首尾簡稱。其餘情況仿照此例。則甲距丙取二倍距顯限，成為大光明限。因為，甲距乙、乙距丙都是距顯限，所以甲距丙為二倍距顯限。對於這個限，把眼睛貼近甲看外面景物就什麼都看不見，而所見亮光則很耀眼。使眼睛適當離開甲，物像就變小並清晰，而且呈現正像，與凹透鏡同理，所以屬於大光明限。然而兩枚凸透鏡組合，則眼睛離甲的距離必定很遠，這就不方便使用了，必須三枚凸透鏡組合才行，這是望遠鏡的依據。 但是望遠鏡的制式，見到過的種類不一，內凸採用三枚疊合，是最常見的。近來的上乘製品中較多的是四疊，偶爾有五疊，最多到六疊為止。五疊、六疊，長的固然優異，那些短的也只平常，似乎沒有必要。四疊中上乘的，則是丙、丁固定，甲、乙有時附有深淺不同的幾個鏡筒，以備更換。大概來說，如果物體雖遠但還較大，而時值環境較暗，就用度數淺的，利用它亮度顯著的特性；物體又遠又很小，而時值環境較亮，就用度數深的，利用它放大影像的特性。然而每增加一枚凸透鏡相組合，就多出一個距顯限，這就不符合大光明限了，必須每段距離都收縮一點，使總長仍然相當於三疊的尺度，才是剛好合適的。現在推求其計算法，就是每兩個相鄰的凸透鏡組合，分別以距顯限為被除數，四枚凸透鏡的用1.5去除，五枚凸透鏡的取5折，六枚凸透鏡的取4折即為結果。 解： 距顯限［長度］，四枚凸透鏡的用1.5除，五枚凸透鏡的5折，六枚凸透鏡的4折，這是為什麼？ 三疊的［長度］是距顯限的2倍，四疊必然是3倍，五疊必然是4倍，六疊必然是5倍。而大光明限，設對於某個三枚凸透鏡組為8寸，則3倍是12寸，4倍是16寸，5倍是20寸。12比8是1倍半，16比8是2倍，20比8是2倍半；1倍半的是用1.5除，2倍的就用2除，2倍半的用2.5除；而用2除就是5折，用2.5除就是4折。 十二 凹與凸相切，則深者可使變為淺，名變淺限，〔1〕然有不可過之界焉。如凸深限四，凹深限亦四，則相比而適平。本章三。故凸深限四，凹深限五，則為凸深變淺限。若凸深限四，凹深限三，則成凹深變淺限矣。是故變淺而至於適平，則無數可言。無數可言，即其不可過之界也。 蓋凸限二而凹限四，為凹限加倍，凹限加倍是凹淺減半〔2〕，則變淺之限亦必加倍而得四矣。〔3〕假令凹限減一而得三，則凸限之變淺必加一而得五。〔4〕若使凹限再減一而得二，則與凸限相比而適平矣。夫凹限既減得二，則變淺限當加得六，而不然者，以相比則適平而無數也。〔5〕無數也者，非無數也，即此凸鏡所變極淺之數云爾。故凹限再減即為凹深而凸淺，凹深凸淺即為凹限變淺，則亦各有其數矣。是故能自有而之無者，必能自無而之有。是為物之情，是為算之理。故曰，無數者，即其不可過之界，而非無數也。〔6〕 【注釋】 〔1〕此處指一凸一凹兩枚透鏡密接，效果相當於較深的一枚變淺，即焦距由短變長。比如，凸深凹淺密接，效果仍是凸透鏡但深度變淺；反之，凹深凸淺密接，效果仍是凹透鏡但深度變淺。顯然，「變淺限」在數值上相當於一凸一凹兩枚透鏡密接的系統焦距。 〔2〕凹限加倍是凹淺減半：焦距變長，就是深度變淺，所以焦距加倍，就是深度減半。 〔3〕此處指凸透鏡焦距為2，凹透鏡焦距為4，凸較深、凹較淺，疊加起來的效果相當於凸透鏡變淺（焦距變長）。此時凹透鏡的焦距是凸透鏡的2倍，效果相當於凸透鏡變淺而焦距增加到2倍，即組合焦距為4。鄭復光的這個結果與現代幾何光學理論值一致： 鄭復光採用的是線性計算法，即凹透鏡焦距翻倍時，組合焦距同時翻倍。但上式並非線性關係式。計算結果一致，只是f2=2f1時的特例。 〔4〕此處可看出，鄭復光繼續採用線性外推法，即f2由4減1為3時，F由4加1為5。此時即與理論值之間有以直代曲的誤差。現代理論值為： 〔5〕當f2再減1為2，與f1相等時，現代理論值為： 但是按線性外推，F應再加1為6，等於f1的3倍。但鄭復光從實驗上得知此時相當於平面，應該「無數」。 〔6〕以上這段話有含混之嫌。但其中包含著一個數學公式，不仔細分析是看不出來的。由於當F=3f1時實際上就「無數」了，所以組合焦距最大界限就是3f1；又由於f2越大F就越小，線性取值的方法是將f2直接從3f1中減去。即當一枚焦距為f2的凹透鏡疊加到焦距為f1的凸透鏡上時，相當於凸透鏡的焦距變長部分是3f1-f2。原焦距加上變長部分，就是組合焦距。所以鄭復光的公式為： F=（3f1-f2）+f1=4f1-f2　　（f2＞f1）（1） F的數值是不能大於3f1的，因為F是「凸變淺限」，當F＞3f1時，意味著f1＞f2，就不再是「凸變淺限」而成為「凹變淺限」了，上式不再適用而應變為： F=4f2-f1　　（f1＞f2）（2） 「3f1」中的3這個數字，被鄭復光視為「不可過之界」，是凸變淺和凹變淺的界限，也是使用上面兩個公式的界限。鄭復光在後面「圓率」第四條「凸凹相切變淺限率表」中把這個3定義為「界率」，並更明確地提出了上述公式。 按：我們可以對現代幾何光學公式作如下變形： 比較（1）、（3）兩式，很容易看出，當f2=2f1時，兩式相等。（3）是（1）的近似公式，適用範圍在f2=2f1附近。f2=f1時，不用（1）式，而用「適平」。 在「圓率四」中，鄭復光列出運用（1）式的六個應用例題，其中第四題和第六題為同一組數據而不同未知數。將例題中的數據與我們用（3）式計算出的數據作一比較，就更清楚（1）、（3）兩式之間的近似關係了。見下表： 【譯文】 凹透鏡和凸透鏡緊貼，則度數深的可以變淺，稱之為變淺限，但是有不能越過的界限。如果凸透鏡深限為4，凹透鏡深限也是4，則勢均力敵而恰如平鏡。本章第三條。於是凸透鏡深限為4，凹透鏡深限為5，就成為凸透鏡深度的變淺限。如果凸透鏡深限為4，凹透鏡深限為3，就成為凹透鏡深度的變淺限了。因此變淺變到恰如平鏡，就談不上什麼數值。談不上什麼數值，就是不能越過的界限。 凸透鏡深限為2而凹透鏡深限為4，就是凹透鏡深限加倍，凹透鏡深限加倍就是凹透鏡深度減半，那麼變淺限也必定加倍而成為4了。如果使凹透鏡深限減1而成為3，那麼凸透鏡深限的變淺［限］必定加1而成為5。如果使凹透鏡深限再減1而成為2，就和凸透鏡深限勢均力敵而恰如平鏡。凹透鏡深限既然減少到2，變淺限就該增加為6，而其實並非如此，這是因為勢均力敵就恰如平鏡，因而沒有數值。所謂沒有數值，並非真的沒有數值，是就這個凸透鏡所變成的十分淺的數值而言罷了。所以凹透鏡深限繼續減少就成為凹深而凸淺，凹深凸淺就成了凹透鏡深限變淺，結果也就各有各的數值了。因此能夠從有到無的，一定能從無到有，這是事物的常情，這是數量的道理。所以說，所謂沒有數值，就是數值不能越過的界限，而並非真的沒有數值。 十三 凹與凸相離則昏者，可使變為顯，名變顯限。〔1〕其推算法： 以凹側收限一、凸順收限十二為定率〔2〕，謂之足距。足距者，兩鏡相距恰與凸順收限等也。〔3〕若凹深於定率，謂凸十二而凹不足一。則不可用。〔4〕若凹淺於定率，謂凸十二而凹不止一。則為差距〔5〕，可設四率求之。 解曰： 有單凹，側收限三寸；凸，順收限九寸六分；試得差距二寸五分六厘，因推足距，〔6〕法：以九寸六分為一率，三寸為二率，二寸五分六厘為三率，得四率八分，為足距〔7〕。爰以八分歸〔8〕九寸六分，得一寸二分，故以一與十二為定率。〔9〕凹若不止一則凹淺，其距必短於順收限，故為差距。凹若不足一則凹深，其距必長於順收限，故不可用也。 求差距法，假如有凹，限一寸；凸，限九寸六分，法：以定率先求得凹限八分，為足距數；爰以今凹限一寸為一率，足距八分為二率，凸限九寸六分為三率，推得四率七寸六分八厘，為差距數。〔10〕 論曰： 定率凹限一而凸限十二者，凡單鏡側收限一，則順收限六，是十二者即六之倍也。 【注釋】 〔1〕此言一凹一凸兩枚透鏡拉開的距離不當時，觀察到的前方影像模糊；但有一個恰當距離可以使之變清晰，這個距離叫做「變顯限」。顯然，這是伽利略式無焦系統的原理。而變顯限似乎理當如前面的兩凸距顯限一樣是無焦兩鏡距，其實不然。詳見以下注。 〔2〕此「定率」規定了伽利略式望遠鏡的物鏡焦距和目鏡焦距的固定比例關係，按現在的眼光看來，只是人為規定的放大倍數，與望遠光組的一般性質無關。 〔3〕這句話乍一看像是足距的定義，而且就是望遠鏡鏡筒長的定義，但以下多次論述到伽利略式望遠鏡和克卜勒式望遠鏡的足距，都是指一組規定，而非單指鏡筒長。足距規定同時包括指定的兩鏡焦距比和指定的兩鏡距（鏡筒長）。由於古文的省文習慣，在後文中，「足距」有時指整組規定，有時單指兩鏡焦距比或兩鏡距，有時指符合足距規定的透鏡焦距。 按：綜合以上關於「定率」和「足距」的規定，我們發現，由於當時不能實測凹透鏡的焦距，但能實測其側收限，鄭復光一般以側收限表征凹透鏡的深度，同時借用凸透鏡的側收限、順收限換算率來求出凹透鏡的「深限」（見「圓凹」第一、第四條和「圓率」第二條）。然而凸透鏡的焦距和側收限（圖31a中的S）之比，實際上大於凹透鏡的焦距和側收限（圖31b中的S）之比（詳細討論見「圓率」第二條注）。這就導致鄭復光所稱的凹透鏡深限的數值，大於實際焦距的數值。以此處而論，一凸一凹式望遠鏡的兩鏡焦距比規定為12:6（單凹側收限為1時，深限為6），鏡筒長規定為凸透鏡即物鏡的焦距12；而正確的兩鏡距應該是兩焦距之差，即12-6=6。按此處足距的規定，兩鏡距誤差偏大50%而放大率只有2倍，顯然是不合理的。唯一的可能是鄭復光使用的凹透鏡的焦距實際上較小，因而兩鏡距較為接近物鏡焦距，同時放大倍數更大。即當鄭復光稱某凹透鏡的深限為6時，並不對應於焦距為6，焦距實際上更小，相當於單位不同。從全書中看，鄭復光不止一次研究望遠鏡成品或自製望遠鏡，對其各種性能也有細緻的分析描述，不可能根據錯誤數據製作出不具備望遠性能的光學儀器而不自知。所以上述猜測應該是合理的。關於凹透鏡焦距的問題，我們在「圓率」第二條注中還有進一步討論。 〔4〕望遠鏡的目鏡焦距太小，則目鏡將前方物鏡的像縮小成一個很小的圓孔，同時圖像亮度銳減（即望遠鏡的放大倍數與實際視場大小和出射光瞳直徑均成反比）；所以有效放大倍數是有限度的，目鏡焦距不能太小。鄭復光對望遠鏡的這一矛盾性質有充分認識，反覆論及。但如果兩鏡焦距比是12:6（放大倍數為2），絕不至於達到這一步。由此可知，鄭復光使用的凹透鏡已經接近有效放大倍數的極限，其焦距長不可能只有物鏡的一半。這與上面注〔3〕中的分析也是吻合的。 〔5〕差距：從下文看，「差距」概念的意義在於，足距已經接近有效放大倍數的極限，凹透鏡的焦距再小就不可用，再大一些則無妨，但鏡筒長須相應縮短；與「足距」概念一樣，「差距」也並不僅僅指縮短後的兩鏡距，而是指差距兩鏡距、差距兩鏡焦距比以及符合差距比率的某個透鏡焦距等一組數值。「差距」因而也同時是這三個概念的省文。 〔6〕在這個例題中，目鏡（凹透鏡）的側收限為3寸，按換算率換算，焦距應該是16寸。而物鏡焦距只有9.6寸，目鏡焦距大於物鏡焦距，這已經不是望遠鏡了。此時兩鏡距為2.56寸，通過幾何光學作圖或計算均可知，這樣一個系統所成的像，是目鏡後方的實像，而非望遠鏡所需的前方虛像。實際情況不可能這樣，只能是凹透鏡焦距小於物鏡焦距9.6寸。這再次反證了注〔3〕中分析的合理性。按兩鏡距推算，此時的凹透鏡焦距應該是9.6-2.56=7.04（寸）。 〔7〕伽利略式望遠鏡的目鏡焦距變長時，鏡筒須縮短，縮短的程度實際上就是目鏡焦距變長的程度，即鏡筒長L=f物-f目，f目越大，L越小。鄭復光在「圓疊」第八條中建立了克卜勒式無焦系統的正確的兩鏡距公式（L=f物+f目），得益於能夠實測凸透鏡的焦距，因而對凸透鏡作出精確而定量的研究。但對伽利略望遠鏡，則沒有得出無焦兩鏡距，原因也很簡單，就是不能實測凹透鏡焦距。鄭復光規定，在足距情況下，L=f物，同時他認識到在差距情況下（即f目大於足距規定時），L須縮短；由於沒有得出L=f物-f目，所以對縮短程度的計算也不是直接減去，而是採取按比例縮小的辦法，這當然會與現代理論值之間有誤差。此處的比例計算為：，其中，為L足（=f物）為足距鏡筒長，為目鏡差距側收限，L差為差距鏡筒長，為目鏡足距側收限。 從「試得」一詞可知，此時的差距鏡筒長為實驗測量值。再次佐證注〔3〕的分析。 〔8〕歸：即算術中的「除」。又分兩種含義，一為珠算用語，即運用「歸除口訣」的歸除法；一為以一位數為除數去除。 〔9〕故以一與十二為定率：8分和9.6寸之比為1比12，故8分為符合定率的足距側收限。 〔10〕此處為注〔7〕所述比例式的變換式：。 【譯文】 如果凹透鏡和凸透鏡拉開距離就會導致影像模糊，有一個距離可以使它變得清晰，將這個距離命名為變顯限。推算的規則是： 以凹透鏡側收限1、凸透鏡順收限12為定率，稱之為足距。在足距的情況下，兩枚鏡片之間的距離剛好等於凸透鏡順收限。如果凹透鏡［深度］比定率深，就是說凸透鏡［順收限為］12，但凹透鏡［側收限］小於1。就是無效的。如果凹透鏡［深度］比定率淺，就是說凸透鏡［順收限為］12但凹透鏡［側收限］大於1。就成為差距，可以設四率來求取。 解： 有一枚單凹透鏡，側收限為3寸；一枚凸透鏡，順收限為9寸6分；測得差距為2寸5分6厘，據此推算足距，計算法：以9寸6分為一率，3寸為二率，2寸5分6厘為三率，求得四率8分，為足距［側收限］；再以8分除9寸6分，得1寸2分，因此以1和12為定率。如果凹透鏡［深限］大於1，那麼凹透鏡就［比定率］淺，距離就必定比順收限短，於是成為差距。如果凹透鏡［深限］小於1，那麼凹透鏡就［比定率］深，距離就必定比順收限長，於是就無效了。 求差距法，假如有一枚凹透鏡，［側收］限1寸；一枚凸透鏡，［順收］限9寸6分，計算法：根據定率先求出凹透鏡［側收］限8分，為足距的數值；再以當前凹透鏡［側收］限1寸為一率，足距8分為二率，凸透鏡［順收］限9寸6分為三率，算出四率7寸6分8厘，就是差距［鏡筒長］的數值。 論： 雖說定率取凹透鏡［側收］限為1而凸透鏡［順收］限為12，但單［凸、凹］透鏡凡側收限為1，順收限就是6，其實12是6的2倍。 十四 凸凹相疊，使凹離於凸，內用變顯限，本章十三。即成遠鏡。本章四與六。凸鏡相疊，自甲、乙以上多至甲己，皆能使合成凹理。本章十與十一。則是淺凸在外，加數深凸合成凹理，離於內，亦必成遠鏡矣。 【譯文】 凸透鏡和凹透鏡組合，使凹透鏡與凸透鏡分離，之間［距離］取變顯限，本章第十三條。就成瞭望遠鏡。本章第四條和第六條。凸透鏡組合，從甲、乙以上多到甲至己，都能使之組合成凹透鏡的性質。本章第十條和第十一條。所以只要使較淺凸透鏡位於外端，加上幾枚較深凸透鏡組合成凹透鏡的性質，拉開距離位於內端，也必定成為望遠鏡。 十五 遠鏡外凸內凹，本《遠鏡說》。其作法云：「須察二鏡之力若何，相合若何，長短若何，比例若何。」而不詳其法。今皆得而言焉： 察鏡力法：凹以側收限，凸以順收限。二鏡相合法：凸深者凹宜深，凹淺者凸宜淺。凸深凹淺，則不到限，限既不到，必縮而求之，力不充矣。凸淺凹深，則欲出限，限不可出，必強而置之，過其劑矣。力不充者，物雖清而小；過其劑者，物雖大亦昏。至於淺深相懸，則並不堪用焉矣。〔1〕度長短法：俱深則距短，俱淺則距長。求比例法：以凸之順收限為則，凸限十二、凹限一，則相距亦十二，恰當其分，所謂足距也。本章十三。〔2〕 論曰： 物遠則景小而色淡，原色七，原景一。遠鏡法以凸大之，圓凸十六。以凹顯之耳。圓凹十五。凸之順收限為視物最大處，圓凸十六。故應以足距為佳。 【注釋】 〔1〕此處所言「二鏡相合法」，實為鄭復光的一大研究成果。伽利略式望遠鏡的放大倍數不宜太高，物鏡度數變深（淺）時，目鏡也要相應變深（淺），反之亦然。解釋有點含糊，但描述的現象很正確。物鏡焦距變短或目鏡焦距變長（凸偏深而凹偏淺），就要縮短鏡筒，結果是放大率降低；反之則鏡筒必須變長，結果是放大率提高而圖像昏暗。按現代理論解釋，放大倍數太高則視場太小、亮度太低。所以伽利略式望遠鏡總是以小放大率、大物鏡直徑為設計原則。 〔2〕鄭復光的確根據自己的大量研究，一一解答了《遠鏡說》未說明的四個「若何」。除了鏡筒長問題是個懸案（因為凹透鏡深力的物理意義不明）外，其餘都符合現代理論。 【譯文】 外端為凸透鏡、內端為凹透鏡的望遠鏡，根據的是《遠鏡說》。其中的製作法說道：「要辨別兩枚鏡片的深力如何，互相配合如何，長短如何，比例如何。」但不清楚它的具體規則。現在都可以說清楚了： 辨別鏡片深力的規則：凹透鏡按照側收限，凸透鏡按照順收限。兩枚鏡片配合的規則：凸透鏡深則凹透鏡也應該相應較深，凹透鏡淺則凸透鏡也應該相應較淺。如果凸透鏡偏深、凹透鏡偏淺，就達不到變顯限，既然達不到，勢必要縮短鏡筒以求達到，力度就不充分了。如果凸透鏡偏淺、凹透鏡偏深，就有越出變顯限的趨勢，變顯限不可越出，勢必要強行設置鏡筒長，就超過了調節量。力度不充分時，物像雖然清晰但是縮小；超過調節量時，物像雖然放大但是昏暗。如果深淺相差很大，就一併不起作用了。測度長短的規則：深度都深則距離短，深度都淺則距離長。計算比例的規則：以凸透鏡的順收限為基準，當凸透鏡［順收］限為12、凹透鏡［側收］限為1時，相距也是12，恰如其分，就是前面所說的足距。本章第十三條。 論： 物體遠，影像就小並且顏色淡。「原色」第七條，「原景」第一條。望遠鏡的原理是用凸透鏡使之放大，「圓凸」第十六條。用凹透鏡使之明晰。「圓凹」第十五條。凸透鏡的順收限是看物體［顯得］最大的位置，「圓凸」第十六條。所以應該以足距為最佳。 十六 距顯限，兩凸相等者，俱深或俱淺，其順收限止及半距，目出限外既遠，故視物小，不可以為遠鏡。若外淺內深，則淺限極長、深限極短，其全距與淺限相近，故視物極明而大，物景雖倒，可藉以得中景〔1〕，原景十二。是亦遠鏡也，故窺測用之。 論曰： 距顯限，兩凸相等者，則其距為倍順收限，本章八。是外凸為清倒象，內凸為顯微。故外凸之小物象，內凸能使之稍大。至外淺內深，則全距與淺凸限相近，正是昏極大極之處，使加一深凸切之，必見倒、小而清。引深凸近目，必漸大矣。能清能大，故具遠鏡之用也。 測量必用窺筒〔2〕者，求中景也。而窺筒必用細孔者，以太偏易見、微偏難察也。然視物不暢，故後來又增長縫、十字等法，今用兩凸取其倒景大象。夫倒景線法，物景偏下，移下反不見，以物實在上故。則是景偏下一秒者，反當上移一秒，是一秒見為二秒也。且以凸大其象，是一秒不啻數秒也。視物彌暢，中景彌確，又況加細孔為束腰〔3〕，並加十字於其中，尤為準確可知矣。 【注釋】 〔1〕中景：影像的中心位置。以下對克卜勒式望遠鏡的制式有很正確的分析。由於該望遠鏡所見為倒像，故只用於測量，為瞄準精確起見，加視場光闌，使所見圖像集中於一點，但同時不便於大範圍瞭望，故後來在目鏡的焦平面上加十字叉絲，而無須縮小視場。這些構造特點和相關配件，鄭復光在下文中均有正確分析。 〔2〕窺筒：本指古代用於對觀測目標進行定向瞄準的窺管，而在其兩端裝上凸透鏡就成了測量用望遠鏡，此處指後者。在下面第十八條中，鄭復光命其全稱為「窺筒遠鏡」。 〔3〕束腰：鄭復光稱望遠鏡的光闌為束腰。此處描述的光闌為視場光闌。 【譯文】 對於距顯限［組合］，當兩枚凸透鏡相等時，無論都深或都淺，順收限只達到半個兩鏡距，眼睛位置越出順收限已然過遠，所以看物體顯得縮小，不能作為望遠鏡。如果外淺內深，則淺的順收限很長、深的順收限很短，整個距離與淺的［順收］限接近，因此用來看物體顯得非常清晰而且放大，物像雖然顛倒，卻可以憑藉它取得影像的中心位置。「原景」第十二條。這也是一種望遠鏡，所以測量採用這一種。 論： 對於距顯限［組合］，當兩枚凸透鏡相等時，它們之間的距離就是順收限的兩倍，本章第八條。此時是外凸成清晰倒像，內凸作為放大鏡。所以被外凸變小的物像，內凸能使它稍微變大。至於外淺內深，則整個距離跟較淺凸透鏡的［順收］限接近，正好是最模糊也最大的位置，加上一枚較深的凸透鏡與它緊貼，所見必定顛倒、縮小而清晰。把較深的凸透鏡拉近眼睛，所見必定逐漸放大。能清晰也能放大，所以具有望遠鏡的作用。 測量之所以一定要用窺筒望遠鏡，是為了取得影像的中心位置。而窺筒望遠鏡之所以一定要採用小孔，是因為［中心位置］太偏容易發現、微小偏差就難以察覺。但是這種模式使得看物體不夠敞亮，所以後來又增加了長縫、十字［叉絲］等方法，所以現在可以用兩枚凸透鏡來獲取大範圍的倒像。倒像的射線規律是，影像偏下時，往下移動反而看不見，這是因為物體其實在上方。所以影像往下偏1秒時，反而應該往上移1秒，這樣1秒［偏差］就表現為2秒［移動］。而且由於凸透鏡放大物像，這樣1秒［偏差］就不止好幾秒［移動］了。這種模式使得看物體更加敞亮，中心位置更加準確。如果此時再加上小孔作為束腰，連同在中間加十字［叉絲］，結果格外準確是可想而知的了。 十七 甲、乙、丙三深凸相疊，成大光明限，四凸以上同論。以其光爛然，故曰大光明；以其離目視遠見物象小而清，故曰同凹理。本章九。然則外加子淺凸，必成遠鏡矣。 其相合法：甲丙深者子宜深，甲丙淺者子宜淺，與一凸一凹之理同。本章十五。所差異者，有甲丙相合之力也。是故相合深者，距稍縮焉，則稍淺；相合淺者，距稍伸焉，則稍深，是可以消息〔1〕子凸之深淺而為之劑。〔2〕如外淺過劑，內合〔3〕又淺，則目不能近甲；設近甲，其弊乃白如望羊而不真。〔4〕內合太深，則目必須靠甲；雖靠甲，其弊仍倀乎幽室而無見。〔5〕弊在淺，或加一焉；弊在深，則必易之。此言太深之弊。 其長短法：設子凸限二尺，以甲、乙、丙凸二寸五合足距〔6〕，器長定用四尺，取物景倒而清，得大光明理也。子距丙約三尺，取其近初清限也。丙距目約尺余，取足甲丙大光明限而有餘地也。必留餘地，取其伸縮以合遠近目力之異也。〔7〕 論曰： 伸縮者，遠鏡要法也，三種遠鏡皆有之。惟兩凸一種，伸縮既微，其用專於測量，遂可不用。〔8〕至於一凸一凹，已為要務。若純乎凸者〔9〕，出入稍差，遂謬千里，不可不知。是故甲乙丙深不必力等，甲乙丙距不必長同。以故離目太遠，則伸甲、乙可也；視丙太小，則縮乙、丙可也。 又論曰： 鏡法諸限，皆不可移，獨大光明限稍可伸縮，緣有二端： 一以甲丙有兩距，此盈彼朒〔10〕，故伸縮適調其劑也。 一以甲乙與乙丙皆本距顯限。夫距顯限之所顯者二，一顯鏡光，一顯物景。物景必當限乃清，鏡光則出入猶可。大光明限乃取其光，非取其景，若見物景，反為過劑不可用，故伸縮恰當其分也。 【注釋】 〔1〕消息：消長，增減。 〔2〕此句應注意，「消息子凸之深淺」並非指更換物鏡而配合目鏡，因為此時目鏡為可調節的光組，只可能調節它去適配固定的物鏡，不可能更換固定的物鏡去適配可調節的目鏡。所以此句的意思是指「配合物鏡的深淺來伸縮目鏡光組」。 〔3〕內合：合併起來的內凸，相當於現在所說的目鏡透鏡組。 〔4〕望羊：即「望洋」，仰視貌。 按：此處描述的現象為，望遠鏡物鏡焦距長得超過鏡筒調節範圍（過劑），同時目鏡焦距也太長，則物鏡所成實像位置不在目鏡前方焦距範圍內，而落在了目鏡後面，此時眼睛湊近目鏡觀察，看不到像，而看到一片眩光。 〔5〕倀（chāng）：迷茫不知所措貌。 按：此處描述的現象為，目鏡焦距太短，即望遠鏡放大倍率太高，導致視場過小，圖像亮度銳減。鄭復光雖然沒有提出類似於有效口徑、出射光瞳或鏡頭亮度之類的概念，但他對這類現象有比較充分的認識，在有關透鏡和望遠鏡的條目中多次有闡釋。 〔6〕以甲、乙、丙凸二寸五合足距：距顯限足距規定，兩枚凸透鏡無焦系統的兩鏡距，等於兩個焦距之和。三枚都配成足距，即每相鄰的兩枚分別構成無焦系統。由於3枚凸透鏡焦距相等，均為2.5寸，故一個距顯限為5寸，兩個距顯限則為1尺。因此下文說「丙距目約尺余」，即目鏡組的總長為1尺。這是一個正確而精密的設計分析。見下注。 〔7〕此處分析的這種望遠鏡制式，是一種典型的克卜勒式望遠鏡改進式。由波西米亞天文學家謝爾勒（Antonius Maria Schyrleus，1604—1660）於1645年發明。主要設計是在克卜勒望遠光組中添加轉像光組。其原理如圖69所示：子為物鏡，甲為目鏡。乙、丙為不改變放大倍數的轉像光組，只起到變倒像為正像的作用，去掉之後剩下的子和甲就恢復到基本的克卜勒式。由於鄭復光對凸透鏡和凸透鏡組的研究相對透徹、精確，在「圓疊」第八、第九兩條中正確地闡釋了這種透鏡組中每一枚透鏡的作用，以及每一步組合成像的性質，還獲得了兩鏡距等於兩個焦距之和的精確公式，所以能在這一條中對這種望遠鏡的原理、構造和性能作出準確的概括性說明。 圖69 〔8〕測量專用的望遠鏡，目標一般較遠，且鄭復光所指多為天文測量，基本不需要根據物距調節聚焦。 〔9〕純乎凸者：下文常稱為「純凸」，為「一凸一凹」和「兩凸」之外的第三種望遠鏡制式，故其意並非「純由凸透鏡構成」，而是「多枚（兩枚以上）凸透鏡構成」，否則「純凸」將包括「兩凸」。 〔10〕朒（nǜ）：退縮。 【譯文】 甲、乙、丙三枚深度凸透鏡組合，構成大光明限時，四枚凸透鏡以上同理。由於這種情況光亮耀眼，所以叫大光明；由於使它與眼睛拉開距離［並透過它］看遠處而看見物像縮小並清晰，所以說等同於凹透鏡的性質。本章第九條。既然如此，外端加一枚子號淺度凸透鏡，就必然成為望遠鏡了。 搭配的規則是：甲至丙［透鏡組］較深時子也應該較深，甲至丙［透鏡組］較淺時子也應該較淺，與一凸一凹的道理相同。本章第十五條。不同之處在於，有甲至丙組合出來的功效。由於這個緣故，組合的深度較深時，其內部距離縮短一些，就會變得淺一些；組合的深度較淺時，其內部距離伸長一些，就會變得深一些，這樣就可以配合子號凸透鏡的深淺相應伸縮來進行調劑。如果外凸淺得超過限量，內端組合的深度又淺，那麼眼睛就不能靠近甲；假如靠近甲，弊病是白花花一片看不真切。如果內端組合太深，那麼眼睛就必須靠近甲；雖然靠近甲，弊病是像在黑屋子裡迷茫無所見。弊病在於過淺，還可以加上一枚；弊病在於過深，就必須換掉。這裡說的是過深的弊病。 尺寸的規則是：設子號凸透鏡的［順收］限為2尺，將［深限為］2.5寸的甲、乙、丙三枚凸透鏡配成足距，器具長度必然採用4尺，為的是此時物像倒立而清晰，符合大光明的屬性。子距離丙約3尺，為的是它接近剛開始清晰的位置。丙距眼睛約一尺多長，是取足甲至丙［透鏡組］的大光明限並留有餘地。之所以必須留餘地，為的是通過伸縮來配合［物體］遠近和［不同］視力的差異。 論： 伸縮是望遠鏡的重要法則，三種望遠鏡都有。只有由兩枚凸透鏡構成的這一種，伸縮量首先不大，用途又專門在於測量，於是可以不用伸縮。至於一凸一凹，那就是必需的。如果是多枚凸透鏡構成的，出入稍微差一點，就會錯失千里，這不可不知。因此，甲、乙、丙的深力不必相同，甲、乙、丙之間的距離也不必相等。這樣的話，離眼睛太遠，伸長甲、乙就行；看見的丙太小，收縮乙、丙就行。 又論： 透鏡規則中的各個限，都不能變動，只有大光明限可以稍微伸縮，有兩個原因： 一是因為甲至丙［透鏡組］中有兩段距離，此長彼消，於是通過伸縮來適當地調節彼此間的比例。 一是因為甲乙和乙丙都基於距顯限。距顯限所彰顯的有兩樣，一是彰顯鏡片中的亮光，一是彰顯物像。物像一定要恰好在某個限的位置才清晰，鏡片的亮光則有所出入也能顯現。大光明限的目的在於［鏡片的］亮光，不在於像，如果看見物像，反而是超過限量而不能生效，所以通過伸縮使之恰到好處。 十八 遠鏡三種，應各立名以資後論。今以一凸一凹者非大至尋丈〔1〕不足用，止可施於觀象，名曰觀象遠鏡。兩凸者專施於窺筒，名曰窺筒遠鏡。四凸以上者，大之固妙，小之至尺余，能力亦勝，遊覽最便，名曰遊覽遠鏡。〔2〕 論曰： 遠鏡創於默爵〔3〕，止傳一凸一凹。《疇人傳》〔4〕雲「制一似平非平之中高鏡」，其淺可知。厥後湯若望著《遠鏡說》，南懷仁〔5〕撰《儀象志》，皆無異辭。〔6〕惟《天經或問》〔7〕謂「外平中凸」，蓋因凸淺而誤也；至雲「凹恢物景」，則謬甚，其不足據亦明矣。然所見洋制小品，長五六寸，止可於三五丈內見人眉宇耳。其大者，徑不過二寸，長不過五尺，則皆純用凸鏡，視一凸一凹工力倍繁，於十數里內窺山嶽樓台，頗復了了，或視月，亦大勝於目，至觀星象，則勝目無幾。後來改作，而能力反不及，何邪？以意逆之，《遠鏡說》雖無大小之度，然其圖，筒有七節，至短必尋以外。又凹能縮凸，其徑非五六寸不可。〔8〕依顯，此器重大，可觀象戴進賢《星圖》〔9〕曾有言「非大遠鏡不能窺視」云云。而不便登臨。此改作所由來歟？曾見純凸數種，懷之可五六寸，展之可三尺者。又見外口蓋銅，開孔露鏡止二三分者，遠寺紅牆，徑寸能辨其署書，亦遊覽一快也。想此種果及尋丈，能力應亦更勝。緣非常用之器，故鮮得遇之。今以前出者名觀象鏡，後出者名遊覽鏡，舉其所重者名之耳。又見《皇朝禮器圖儀》〔10〕上窺表〔11〕有施遠鏡者，其作法不詳。梅余萬〔12〕先生曾以家藏遠鏡一具見示，中有鐵絲十字，下有托一、銅球一，疑為儀器事件〔13〕。近見西洋堂發出儀器，大小兩具，各安一筒，誠如所疑。故名窺筒鏡，取其專長名之也。 【注釋】 〔1〕尋丈：泛指8尺到1丈之間的長度，此處猶言三米左右。尋，古代長度單位，等於8尺。 〔2〕對望遠鏡的這種分類法，思路上受到早期西學傳入的零散性的一些影響，也有鄭復光自己的總結性認識。《遠鏡說》極稱一凸一凹式的觀象效果，而鄭復光通過研究實物，發現也並不特別，曾前往欽天監觀象台參觀考察而未果，故猜測此種望遠鏡要製作得巨大，非民間所用，故稱其為觀象遠鏡。其實伽利略望遠鏡發明後，其作為天文望遠鏡、觀劇鏡和戶外望遠鏡的三種用途，是等量齊觀的。對後兩種望遠鏡的認識則是正確的，克卜勒望遠鏡基本式，所見為倒像，但亮度和放大倍數比伽利略式優越，而且能安裝十字叉絲等測量附件，便於測量，鄭復光還實際見到這種望遠鏡被用在欽天監的象限儀窺筒上，所以將其專門歸為窺筒遠鏡。而當時傳教士帶進中國的望遠鏡成品，絕大多數為加了轉像光組的克卜勒望遠鏡改進式，由於所見為正像，特別適合作為一般的便攜戶外望遠鏡，故鄭復光稱其為遊覽遠鏡。 〔3〕默爵：西洋人名。《疇人傳》「默爵」篇中以默爵為望遠鏡發明者。 按：默爵應即荷蘭人雅可布·默丟斯（Jacob Metius，1571以後—1624至1631之間）。望遠鏡的首位發明者至今不可考，默丟斯為有文獻支持的早期望遠鏡製作者之一。 〔4〕《疇人傳》：（清）阮元主持編撰的一部歷代天文、曆法、算學家的學術傳記集。其中包括一些外國科學家。 〔5〕南懷仁：見「原色」第一條注〔1〕。 〔6〕《新制靈台儀象志》中並未言及伽利略式望遠鏡，其提及望遠鏡之兩處文字見「原目」第八條和「鏡形」第七條注。 〔7〕《天經或問》：（明）遊藝撰，是一部廣采西學的天文、地理讀物。 〔8〕鄭復光非常注意伽利略式望遠鏡的物鏡口徑，原因即在於「凹能縮凸」。凸透鏡經凹透鏡所成的像，就是該望遠鏡的出射光瞳，其直徑與望遠鏡放大倍數成反比，所以倍數越高，要求口徑越大。 〔9〕戴進賢《星圖》：清代來華德國耶穌會士戴進賢（Ignatius Koegler，1680—1746）編制的《黃道總星圖》。其中描繪「五緯旁細星」即木星、土星的衛星時提到，要用大望遠鏡才能看到。 〔10〕《皇朝禮器圖儀》：應為《皇朝禮器圖式》，（清）允祿等撰，完成於1759年，是一部關於典章制度類器物的政書。其中第三卷載有四十餘種天文儀器為主的科學儀器。 〔11〕窺表：本為古代天文儀器上的瞄準器，此處泛指天文儀器。《皇朝禮器圖式》中的「四游千里鏡半圓儀」和「雙千里鏡象限儀」等儀器上都有望遠鏡。 〔12〕梅余萬：不詳。 〔13〕事件：零件，部件。 【譯文】 三種望遠鏡，應該分別確立名稱以備後面論述時使用。現根據一凸一凹之制不大到尋丈就不足以發揮作用，只能用於觀測天象，稱之為觀象遠鏡。兩凸之制專門用在［天文儀器的］窺筒上，稱之為窺筒遠鏡。四凸以上的，做大一些固然很好，做小一點到一尺來長，能力也很卓越，最方便遊覽，稱之為遊覽遠鏡。 論： 望遠鏡由默爵首創，只有一凸一凹式流傳下來。《疇人傳》說「製作一個似平非平的中高鏡」，可見其膚淺。後來湯若望著《遠鏡說》，南懷仁撰《靈台儀象志》，說法都一樣。只有《天經或問》說「外平中凸」，大概是因為凸透鏡度數淺而產生誤解；其中還說「凹透鏡拓展物像」，那就大錯特錯，不足為憑是很明顯的了。然而見過的西洋小型製品，五六寸長的，只能在三五丈之內看見人的面目。那些較大的，直徑不超過2寸，長不超過5尺，則都是由凸透鏡構成，做工比一凸一凹複雜得多，在十幾里範圍內看山嶽樓台，還能一清二楚，要是看月亮，也大大勝過肉眼，到了用來觀星象，卻勝過肉眼沒有多少。後來的改進，能力反而趕不上，這是為什麼？推測一下，《遠鏡說》雖然沒有給出尺寸數值，但從圖示看，鏡筒有七節，最短也必定在1尋以上。而且凹透鏡能縮小凸透鏡［的像］，凸透鏡的口徑非五六寸不可。顯然，這個儀器分量重、體積大，可以用來觀天象戴進賢星圖中曾說到「非大型望遠鏡不能觀測」之類的話。但不方便登山臨水。這莫非就是改進的緣由嗎？曾見過幾種多枚凸透鏡構成的式樣，揣在身上可以縮成五六寸，展開可以達到3尺。還見過外口有銅蓋，開孔露出鏡片只有二三分的一種，遠處的寺院紅牆上，能辨別方寸大小的題字，也算是遊覽的一件快事。料想這一種如果大到尋丈，性能也應該更加出色。由於不是常用的器具，所以很少能碰到。現在把早先出現的叫做觀象鏡，後來出現的叫做遊覽鏡，只不過是按它們的側重面來命名而已。又在《皇朝禮器圖式》上見到窺表上配置的望遠鏡，製作法不詳。梅余萬先生曾把家藏的一具望遠鏡給我看，中間有鐵絲十字叉，下面有一個托、一個銅球，猜測是儀器零件。最近見到西洋教堂展出的儀器，大小不同的兩具，各自安有一個鏡筒，的確和猜想的一樣。所以稱之為窺筒鏡，只是選取它的專長來命名而已。 十九 觀象鏡不用倒法，遊覽鏡必取倒理者，用其大光明也。夫子凸中既見倒景，非再倒之不得成順象。然甲丙所合者是順小象，而能使子凸中倒景成順者，何也？ 蓋甲丙合而視遠切目，止見白光，非離目遠，不見順象。因其順象而小，故謂同凹理，本章十七。其實中有倒法。甲丙雖合凹理，而究不同者，凹切目視物，無論遠近、昏目與否，皆小而順；甲丙離目遠，視遠與凹同，切目視遠，則無所見；無所見者，即不必是順象。故視近如法，則見倒大象。亦一證也。試析而言之： 設子凸深尺六，甲、乙、丙各深二寸，置子距目約三尺，見倒象，內加甲乙或乙丙，皆見順小象，何者？甲乙與乙丙本距顯限，距顯限皆倒象，能不倒子使復順乎？第順象則小，何者？子凸倒象本清而小，圓凸十六。甲乙與乙丙其距顯限深略同，則倒象亦小。本章八。是故有甲乙、子，加丙於甲乙外，必大矣，離顯限理也。圓凸十九。有乙丙、子，加甲於乙丙內，必大矣，切顯限理也。圓凸十九。此兩顯限皆不出順收限外，如出限則昏。今甲距乙乃倍之，丙距子乃十之，而不昏者，何也？蓋外凸距內凸雖出限，而外凸既為倒象，即是大光明，故解其昏。本章八注。此又一理。然內凸視外凸，疵纇悉隱，未始非出限之故。故視鏡自昏，顯象自明也。然則共用四凸，是兩層倒象使順而清，兩層顯微使清而大也。 論曰： 以上各條，多舉甲、乙、丙三凸者見例，以其餘通為一理也。試論甲丁四凸者，則子見倒象，加乙丁必復順，是甲為顯微也。或加甲丙亦必復順，是丁為顯微也。他皆仿此。唯甲乙兩凸一種，本無此制，其加乙於子內，亦未能遽見復順，以乙之凸力淺故也。然加甲既能成遠鏡，則乙自有倒子者在，試伸之，遂見復順，亦可征其理有必然者矣。 【譯文】 之所以觀象鏡不運用顛倒影像的法則，遊覽鏡卻必須顧及顛倒影像的原理，是為了發揮大光明作用。子號凸透鏡中既然呈現倒像，不再次顛倒就不能產生正像。但甲至丙合成的是正立縮小像，卻能使子號凸透鏡中的倒像變成正立，這是為什麼？ 將甲至丙合起來貼近眼睛去看遠處，只看見白光，不離開眼睛較遠，就不能看見正像。由於它使影像為正並且縮小，所以說它等同於凹透鏡的性質，本章第十七條。實際上其中有產生顛倒的法則。甲至丙［透鏡組］雖然組合成凹透鏡的性質，但終歸有所不同之處在於，將凹透鏡貼近眼睛去看東西，不論是遠是近、是否昏花，所見一律縮小並正立；將甲至丙［透鏡組］與眼睛拉開較遠距離，［透過它］看遠處就跟用凹透鏡一樣，將它貼近眼睛看遠處，就什麼也看不見；既然什麼也看不見，也就沒有必要是正像。所以看近處方法得當，就能看見倒立放大像。這也是一個佐證。試來分析一下： 設子號凸透鏡的深限是1.6尺，甲、乙、丙的深限各為2寸，將子放在距離眼睛約3尺的位置，就看見倒像，內端加入甲乙或乙丙，看見的都是正立縮小像，這是為什麼？因為甲乙和乙丙本來是距顯限，距顯限都成倒像，能不顛倒子［的影像］使它正過來嗎？只是正像就要縮小，這又是為什麼？因為子號凸透鏡所生倒像本來就清晰而縮小，「圓凸」第十六條。甲乙與乙丙的距顯限深度大致相等，於是倒像也是縮小。本章第八條。因此有了甲乙和子，在甲乙外端加入丙，就必定放大，這是離顯限的原理。「圓凸」第十九條。有了乙丙和子，在乙丙內端加入甲，就必定放大，這是切顯限的原理。「圓凸」第十九條。這兩種顯限都不超出［順收］限的範圍，如果超出［順收］限就會導致模糊。現在甲和乙的距離竟然［是順收限］翻倍，丙和子的距離竟然十倍［於順收限］，卻並不導致模糊，這是為什麼？原因在於，外凸和內凸之間的距離雖然超出［順收］限，但外凸既然成倒像，就是大光明，所以消除了模糊。本章第八條注。這又是一種解釋。但是從內凸看外凸，瑕疵全部消退，未必不是超出［順收］限的緣故。所以看鏡片自然模糊，呈現影像自然明晰。既然如此，一共使用四枚凸透鏡，結果就是兩層倒像導致正立而清晰，兩層放大導致清晰而變大了。 論： 以上各條，一般只舉甲、乙、丙三枚凸透鏡作為示例，因為其餘情況也能貫通為一種原理。試以從甲到丁四枚凸透鏡的情況而論，那就是子呈現倒像，加入乙丁必定正過來，此時甲是放大鏡。或者加入甲至丙［透鏡組］也必定正過來，此時是丁是放大鏡。其他情況都與此類似。只有［內凸由］甲乙兩枚凸透鏡構成的情況，本來就沒有這種制式，當把乙加到子的內端時，也不能立即看見［影像］正過來，這是乙的深力較淺的緣故。但加上甲既然能成為望遠鏡，那麼乙自然有顛倒子［的影像］的作用，試著拉伸鏡筒，就看到［像］正過來，這也可以表明其中是有必然道理的。 二十 或疑：遠鏡三種，外用淺凸既從同〔1〕矣，內則或凹或凸，不亦異乎？曰： 觀象鏡外凸內凹，是用變顯限法，本章十四。故以凸使遠者大，以凹使昏者顯，理最明著也。窺筒鏡止有兩凸，是用距顯限法，本章十六。其淺限與深限相接之交，在淺凸，為極大而不清之處；圓凸十六。在深凸，為極大而切顯〔2〕之處；圓凸十九。在目，為淺凸初倒未小而入大光明之處；圓凸十五。所以雖倒物象，視遠殊勝，此理亦易知也。若遊覽鏡，則兼此兩法。其一以甲丙合成內凹，前已言之詳矣。本章十一。其一以甲丙合成深凸。夫甲丙合則凸深，無煩詮說。然所以必具數面者，所見遊覽鏡之內凸，自三面迄六面不等，茲雖止舉甲丙三面者見例，然實通論，曰「數面」概之也。兩法皆所必然。蓋欲凸得大光明，有丙乙可矣，但不加以甲，不能切目為顯微也；欲凸為切顯限，有甲可矣，但不加以乙丙不能倒子使復順象也。然則遠鏡三種，其制雖異，而使大使顯，理則一以貫之矣。〔3〕 一系： 遠鏡之理，約言之，不過凸凹相濟，一比例而已。目睛外凸，而內長有凹，原目五與七。〔4〕其長以寸計，見可數里，假令展長至數尺，必可見數十里，此比例之不得不然者。至其凸凹相濟，則有數征： 夫人視物能近而不能遠者，以遠則形小色淡耳。原色七。今離目加凸，是推睛之凸使遠。睛凸遠，則遠物近，故見為大。然凸不可望遠，以大而昏也，圓凸二十三。故清之以凹。凹為大光明。圓凹十五。此征諸凸鏡者一也。 抑目加凹，是殺睛之凸使淺。睛凸淺，則視可遠矣。然凹不可混施，〔5〕圓凹十六及十八。故解之以凸。此征諸凹鏡者二也。 若夫物遠而小，則昏然如點點積塵，其理同老花之察近，不能辨也，原目六。故深之以凸。睛凸，加以凸鏡，故深。老花察近，得凸斯〔6〕析。此征諸老花之目者三也。 抑物遠，離目隔以凸鏡，則小者可大而茫然，若閃閃奪光。原目六。其理同短視之望遠，莫能明也，故殺之以凹。睛凸、鏡凸，再加以凹鏡，故凸殺。短視望遠，得凹乃清。此征諸短視之目者四也。 【注釋】 〔1〕從同：相同。 〔2〕此處「切顯」二字是將「圓凸」第十九條對放大鏡性質的定義壓縮為一個概念來使用，即物體位於凸透鏡焦距以內，眼鏡從異側貼近鏡片（切）觀察，看見物體放大而明晰（顯）。 〔3〕以上將目鏡和轉像光組的作用原理講得很清楚。 〔4〕「原目」第五條解釋眼球的結構和功能說，眼睛外形為凸形，有聚光能力，叫做「外凸」；內部有伸縮能力，叫做「內長」。「原目」第七條說，眼球的前面是凸形，底部是凹形。這些說法主要來自《遠鏡說》，致使鄭復光把眼睛的結構想像為一個微型伽利略式望遠鏡。 〔5〕凹不可混施：指非近視眼不能戴凹鏡，近視眼的眼鏡要「合目」。 〔6〕斯：乃，就。 【譯文】 或許有人有疑問：三種望遠鏡，外端用淺度凸透鏡既然是一致的，內端卻有凹有凸，難道沒有區別嗎？回答是： 觀象鏡的外端為凸透鏡、內端為凹透鏡，運用的是變顯限原理，本章第十四條。所以用凸透鏡使遠處物體顯得放大，用凹透鏡使模糊影像變得清晰，道理最明顯不過。窺筒鏡只有兩枚凸透鏡，運用的是距顯限的原理，本章第十六條。較淺的［順收］限與較深的［順收］限的結合點，對於較淺凸透鏡，是最大但不清晰的位置；「圓凸」第十六條。對於較深凸透鏡，是物像最大而且顯得清晰的位置；「圓凸」第十九條。對於眼睛，是較淺凸透鏡［的影像］剛剛顛倒、尚未變小而進入大光明的位置；「圓凸」第十五條。因此雖然顛倒物像，望遠卻很出色，這個道理也是容易明白的。至於遊覽鏡，那就兼有這兩種法則。一是理解為以甲至丙［透鏡組］組合成內端凹透鏡，前面已有詳細說明。本章第十一條。二是理解為以甲至丙［透鏡組］組合成較深凸透鏡。甲至丙［透鏡組］組合就相當於凸度變深，這無須多解釋。但一定要配備多枚的原因，見過的遊覽鏡的內凸［組］，從三枚到六枚不等，這裡雖然只舉出甲至丙三枚作為示例，但實際上是貫通之論，概括性地說成是「多枚」。對兩種法則都是必然的。那就是，要使凸透鏡獲得大光明，有丙乙就可以了，但不加上甲，就不能貼近眼睛起放大作用；要使凸透鏡起切顯限作用，有甲就可以了，但不加上乙丙就不能顛倒子［的影像］使它恢復為正像。因此，三種望遠鏡，制式雖然不同，但導致放大和明晰，道理卻是一以貫之的。 一系： 望遠鏡的原理，簡單地說，無非就是凸凹互相調劑，一個比例問題而已。眼球外形為凸，而裡面的伸縮部分有凹形，「原目」第五條與第七條。它的［伸縮部分］長度以寸計，視野可以達到幾里，假如使它延長到幾尺，視野必定能達到幾十里，這是一種必然的比例關係。至於它的凸凹互相調劑，則有幾個佐證： 人之所以看物體能近而不能遠，是因為遠就會形狀變小、顏色變淡。「原色」第七條。現在在眼睛前面加凸透鏡並保持一定距離，相當於把眼球凸體推遠。眼球凸體遠了，遠處的物體就顯得近了，所以看起來變大。但是凸透鏡不能望遠，因為影像大而模糊，「圓凸」第二十三條。於是用凹透鏡使它清晰。凹透鏡是大光明。「圓凹」第十五條。這是從凸透鏡得到的第一個佐證。 眼睛加凹透鏡，相當於削減眼球凸度使它變淺。眼球凸度變淺，視野就延伸了。但是凹透鏡［需要匹配視力］不能隨便亂用，「圓凹」第十六條及第十八條。於是用凸透鏡加以消解。這是從凹透鏡得到的第二個佐證。 物體又遠又小，則看起來模糊得像一點點堆積的灰塵，道理就如同老花眼看近處，不能分辨細節，「原目」第六條。於是用凸透鏡予以加深。眼球凸，加上凸透鏡，所以變深。老花眼看近處，有了凸透鏡就能辨認分明。這是從老花眼得到的第三個佐證。 物體遠，用凸透鏡在眼睛前面拉開一點距離去看，則小的物體可以顯得大而模糊不清，如同閃爍不定的光芒，「原目」第六條。道理就如同近視眼看遠處，不能看得明白，於是用凹透鏡加以削減。眼球和凸透鏡都凸，再加上凹透鏡，所以凸度削減。近視眼看遠處，有了凹透鏡就能看得清晰。這是從近視眼得到的第四個佐證。 二十一 遠鏡外凸愈淺則愈長，其能力〔1〕愈勝。然凸鏡徑寸半者，限四尺已幾於平，而四尺之筒猶未足以觀象，且凸過淺難於中度。用變淺限法，則凸順收限二尺二寸，加側收限四寸五分之凹，可變凸為七尺七寸焉，此亦妙用也。洋制佳者多有之。 一系： 凹若嫌深，亦可變淺。雖凹無順限，借虛率，反此求之。凹用凸率、凸用凹率，如法入之〔2〕可用也。 論曰： 凡平鏡相疊，恆如蒙氣加厚，本章一。兩凸相切亦然。獨離之為距顯限，則愈明，得其用故也。凸凹相切，既得其用，故無慮此矣。 【注釋】 〔1〕物鏡焦距越長，放大倍數越高，此處「能力」應即指此。 〔2〕入之：古算用語，意為將某種計算法納入此處，即按某種既有計算法進行計算。入：容納，納入，採納。見郭書春《九章筭術譯註》，上海古籍出版社，2009年。 【譯文】 外凸越淺的望遠鏡就越長，能力就越強。但是直徑1.5寸的凸透鏡，順收限為4尺時已經差不多是平的，而4尺長的鏡筒還不足以用於天文觀測，而且度數太淺的凸透鏡很難［製作得］精確。運用變淺限的規則，那麼順收限2尺2寸的凸透鏡，加上側收限4寸5分的凹透鏡，就可以變成［順收限］7尺7寸的凸透鏡了，這也算一種巧妙的運用。上乘的西洋製品大多有這種組合。 一系： 如果嫌凹透鏡太深，也可以使它變淺。雖然凹透鏡沒有順限，借［凸透鏡的換算率為］虛擬的換算率，按上面的例子反過來求取。凹透鏡用凸透鏡的換算率、凸透鏡用凹透鏡的換算率，按相應規則換算就行了。 論： 凡是平板透明體疊加起來，總是像霧氣變厚一樣。本章第一條。兩枚凸透鏡緊貼也是如此。唯獨拉開距離成為距顯限，就更加明晰，是作用得以發揮的緣故。凸透鏡和凹透鏡緊貼，既然作用得以發揮，就沒有這方面的擔心了。 二十二 兩凸及兩凹相切，則限加深，本章一。當名為變深限。〔1〕但凹加深，其限無可據，惟凸加深，則順限必短，其理可得而詳焉。 夫兩凸同深，相疊則加深一倍，而限必減一半。〔2〕若甲深乙淺，相疊變深，則必短於甲之全限，而長於甲之半限可知也。〔3〕若乙愈淺，則變限愈長，而終不能長過甲之全限，亦可知也。〔4〕今揣其理： 如甲、乙俱深三寸，則變深必得寸五。設甲深三寸，乙或深六寸，其變深必得二寸二分五，何也？ 蓋三寸比六寸加深一倍，則三寸凸鏡一面，即與六寸凸鏡兩面相併同。三寸凸並六寸凸，即與六寸凸鏡三面相併同。兩面三寸凸鏡相併既變深為寸五，則四面六寸凸鏡相併亦必變深為寸五。今三寸凸並六寸凸既如三面六寸凸鏡相併，則其變深必長於四面六寸相併，短於兩面六寸相併，而在兩較之間〔5〕也。 夫四面六寸為寸五，兩面六寸為三寸，其數為倍與半，則兩較既在其間，必為寸五之半，而得七分五，故加七分五於寸五，共得二寸二分五也。〔6〕 爰推其算法：以甲凸加倍變深之限寸五，減乙凸限六寸，得較四寸五，為實〔7〕；以甲凸三寸除乙凸六寸，得倍數二，為法〔8〕；法除實，得二寸二分五，為所求。〔9〕 又法：以甲三寸除乙六寸，得倍數二；以倍數二除甲倍限〔10〕寸五，得七分五；減甲限三寸，得二寸二分五，為所求。〔11〕 論曰： 前法，以兩凸同深者言之，則無倍數，亦無較數，而有變深限數；以兩凸不同深者言之，則有倍，有較，又有變深限數，但其較數不可以例變深限。然兩凸同深者，其甲倍限與乙順限較，甲倍限者，謂甲凸三寸加倍之深限寸五也，下仿此。與乙順限較者，謂乙亦深三寸，與甲倍限寸五相減之較寸五也。則所得之較數即如其變深數。故兩凸不同深者，即借甲倍與乙之較以為較，則其倍數二與較數即如變深數四五〇之比，即同於倍數一與變深數即如較數二二五之比也。〔12〕此「異乘同除」之理〔13〕也。 又： 以甲三寸為主，使乙由三寸而殺〔14〕之，則變深自寸五而漸長，不能過三寸。以乙六寸為主，使甲由六寸而殺之，則變深自三寸而漸長，不能過六寸。故以寸半減深凸三寸，余亦寸半，為乙與甲同深，其變深與甲深之較。以是較減淺凸六寸，餘四寸五，為乙與甲不同深，使淺凸乙變深之數。夫甲既三寸，則變深之數不能出三寸，而乃得四寸五者，以乙淺於甲之順限有其倍故也。求其倍得二，以與變深數比例，則一倍與四寸五為原有數〔15〕，二倍為今有數〔16〕；以今有之倍二與原有之倍一，若原有之變深四五〇與今有之變深二二五也。〔17〕此「同乘異除」之理〔18〕也。 又法： 以寸五者，甲、乙同深之變深數，亦即變深數與深凸之較數也；今甲、乙不同深，則必有其倍數，求得倍數二，以除較數寸五，即得所求之較數七分五，以減甲深三寸，得二寸二分五，為所求之變深也。〔19〕 一系： 鏡作凸凹，小淺大深為難。圓凸二。如圖（圖70）： 圖70 乙丁與己辛同甲角，而庚壬雖長，己辛猶淺，欲求再長則難乎料矣；丙戊雖短，乙丁已深，欲求再短則難乎工矣；此凸法變淺所以妙也。有時用凹嫌深，亦可放〔20〕變淺法求之。本篇十二。至於兩凸相切，不過使凸加深，為用甚稀。曾見洋制遠鏡，其外鏡三面，子凸、丑凹，又加一寅為淺凸，未解其意。然度其理，殆因子丑相合稍覺其淺，故加一淺凸使略深耶？亦製作之巧也。 【注釋】 〔1〕兩枚凸透鏡或兩枚凹透鏡密接，相當於一枚度數加深的透鏡。所以「變深限」相當於兩枚正負相同的透鏡密接的系統焦距。 〔2〕從此句開始，鄭復光將逐步推導變深限的線性插值公式。這是第一步。當焦距分別為f1和f2的兩枚凸透鏡密接時，若f1=f2=f，則系統焦距。這與現代理論值一致。 〔3〕第二步推導：甲（f1）深乙（f2）淺，即f1＜f2時，系統焦距最深的情況是f1=f2，最淺的情況是不疊加乙，所以。 〔4〕f2越大，則F也越大，但最大不能大於f1。 〔5〕兩較之間：指兩數之較的中間值。較，古算書中稱被減數減去減數所得的差為較數，簡稱較。 〔6〕以上推演步驟為：一、3寸焦距的透鏡深度比6寸的加倍，所以一枚3寸焦距的透鏡相當於2枚6寸焦距的透鏡疊合；二、根據上一步，2枚3寸焦距的透鏡疊合，系統焦距為1.5寸，那麼4枚6寸的疊合系統焦距也是1.5寸；三、現在一枚3寸焦距和一枚6寸焦距的透鏡疊合，相當於3枚6寸的疊合，則系統焦距大於4枚疊合，而小於6枚疊合，取值在二者之間；四、4枚疊合的系統焦距為1.5寸，2枚疊合為3寸，那麼3枚疊合的系統焦距取值在1.5和3之間，大於1.5而小於3的部分為；五、最後，一枚3寸焦距和一枚6寸焦距的透鏡疊合系統焦距為1.5+0.75=2.25（寸）。 按現代公式計算的理論值為。很明顯，0.25的誤差產生於線性插值。 〔7〕實：此處指被除數。見「圓疊」第十一條注〔6〕。 〔8〕法：古算書中通稱乘數、除數以及二次多項式中的一次冪項的係數為法數，簡稱法。下面的「法除實」相當於說「除數除被除數」。 〔9〕此處的「算法」可視為「計算法則」即公式。雖然文中仍以實際數據表述，看上去像一個例題，但其實是一個一般公式。這帶有中國傳統數學的特徵。中國傳統數學中很少有刻意追求公理化的痕跡，即使有嚴格而精密的算法或求解模型，一般也只在計算實例中表現出來。此處的算法可按現代表示法表示為： 設甲凸順收限為f1，乙凸順收限為f2，疊合系統焦距（變深限）為F。 以甲凸加倍變深之限，與乙凸限f2相減，即為。以這個較（差）為實（被除數）； 以甲凸順收限除乙凸順收限，得到一個倍數。以這個倍數為法（除數）； 法除實得，即為要求的F。 〔10〕倍限：意為深度加倍的變深限，但鄭復光以這個簡稱為專門術語，詳後。 〔11〕另一算法： 以甲凸順收限除乙凸順收限，得到一個倍數；以這個倍數除甲倍限為，再將其從甲限中減去，得，即為要求的F。 綜上所述，鄭復光的變深限公式為： 如上言，文中雖以3寸和6寸為實際數據，按計算實例而非一般公式來敘述，但在後文中卻明顯把（1）式作為一般公式加以運用，在「圓率」章中尤為明確。 按：（1）式與現代幾何光學公式相較，表面上看不出相通關係。我們對現代公式作如下變形： 可以直觀看出，（1）對於（2）式，是一個比較精彩的近似公式。其近似性在於以2代替，後者取值在1到2之間（f1＜f2）。這個2的物理意義是，當兩枚焦距相等的凸透鏡疊合時，深力加倍而焦距減半；以限長（焦距）而論，謂之半限；以深力而論，謂之倍限。 在「圓率六」中，鄭復光列出運用（1）式的六個應用例題，將例題中的數據與我們用（2）式計算出的數據作一比較，就更清楚（1）、（2）兩式之間的近似關係了。見下表： 按：這一類定量公式，是全憑精密實驗和線性插值建立起來的。可以說達到了缺少折射模型情況下的極限。所得結果雖然跟現代理論中的定律和解析解相比有差距，但這是從零開始的創造，其中表現出的科學精神是崇高的，成果也是巨大的。　　《鏡鏡詅痴》全書中的所有定量結論，最大誤差一般都在0到10%之間，用於當時的眼鏡、放大鏡、望遠鏡、簡易投影機、取景鏡等製造，已經算得上很精密，如此有深度的研究，在當時可謂獨一無二，在今天則不應埋沒其功績。 〔12〕以上是對前面建立的「算法」的解釋。當f1=f2=f時，其甲倍限與乙順限較即為變深限F；當f1≠f2（f2＞f1）時，由於乙的順收限變長、深力變小，所以與甲疊加後總的深力也較小，即變深限較長；鄭復光認為，此時的較數還不能直接表征變深限，變深程度滿足一個比例關係，即當前倍數與較數之比，等於甲乙相等時的倍數1與變深限F之比，由此得到注〔9〕，中的公式。 〔13〕古算書中把用比例式「」求x的方法叫做「異乘同除」。 〔14〕殺：減少。但須注意，凸透鏡深力減小則焦距增大，焦距減小則深力增大，此減彼增。此處「漸殺」者，是指深力，故不可理解為焦距（3寸）減小，焦距反而是增大。以焦距f1為3寸的甲為主，f2越大（漸殺）則F也越大，但最終不能大於3寸（f1），因為大於3寸就不是變深了。這從鄭復光的公式也可以理解，對於前面的（1）式，f2最大為∞，相當於在透鏡上疊加平玻璃，此時F=f1（即3寸）。 〔15〕原有數：古代算數術語。在比例式「a·b=c·x」中，a和b叫做原有數。 〔16〕今有數：即上注比例式中的c和x。 〔17〕以上繼續解釋，當f1=f2=f時，乙順限減甲倍限這個變深數直接就是變深限F，那麼當甲、乙不相等時，為什麼變深數不能等於變深限呢？因為變深限最大不能大於f1，但當f2不斷增大時，有可能大於f1，這時還需考慮f2與f1之間的倍數關係。f1=f2時的倍數1和變深數為原有數，當前倍數為今有數，即：。按比例法，則相當於今有的倍數與原有的倍數1之比，等於原有的變深數與今有的變深數F之比，即：。 〔18〕古算書中把用比例式「a·b=c·x」求x的方法叫做「同乘異除」。 〔19〕此處提出另一解釋模式。可以從較深凸透鏡（甲凸）的角度來理解，把變深限理解為從甲凸順收限的數值f1中減去一個表示變深程度的減數，這個減數在f1=f2=f時，為 當f1≠f2（f2＞f1）時，還要用此時的倍數去除，得到為表示變深程度的減數，將這個減數從甲凸順收限f1中減去，得 即為要求的變深限F。 〔20〕放：通「仿」。 【譯文】 兩枚凸透鏡或兩枚凹透鏡緊貼，則深限加深，本章第一條。理當命名為變深限。但凹透鏡加深，它的深限沒有實際依據，只有凸透鏡加深，順收限必定變短的情況，其原理是可以詳細推究的。 兩枚凸透鏡深度相等，疊合起來深度就增加一倍，而深限必定減到一半。如果甲深乙淺，疊合起來變深，那麼變深限必定比甲的整個深限短，同時比甲的半個深限長，這是可想而知的。如果乙更淺，那麼變深限就更長，但最終不能超過甲的整個深限，這也是可想而知的。現在來揣測它的道理： 如果甲、乙的深度都是3寸，那麼變深限必定得出1寸5。假設甲的深度為3寸，乙的深度姑且設為6寸，變深限必定得出2寸2分5，這是為什麼？ 3寸比6寸加深了一倍，那麼1枚3寸深凸透鏡，就相當於2枚6寸深凸透鏡合併。3寸深凸透鏡與6寸深凸透鏡合併，就相當於3枚6寸深凸透鏡合併。既然2枚3寸深凸透鏡合併時變深為1寸5，那麼4枚6寸深凸透鏡合併時也必定變深為1寸5。現在3寸深凸透鏡與6寸深凸透鏡合併既然相當於3枚6寸深凸透鏡合併，那麼變深程度必定比4枚6寸的合併要長，比2枚6寸的合併要短，［取值］在兩數相減的差數中間。已知4枚6寸的結果是1寸5，兩枚6寸的結果是3寸，數值各是對方的加倍和減半，那麼既然在兩數相減的差數中間，必定是1寸5的一半，而得到7分5，於是把7分5加到1寸5上，總共就得到2寸2分5。 現在來推演計算法則：以凸透鏡甲深度加倍的變深限1寸5，與凸透鏡乙的深限6寸相減，得出差數4寸5，作為被除數；以凸透鏡甲深限3寸除凸透鏡乙深限6寸，得出倍數2，作為除數；除數除被除數，得出2寸2分5，為要求的結果。 另一法則：以甲深限3寸除乙深限6寸，得倍數2；以倍數2除甲的倍限1寸5，得7分5；與甲深限3寸相減，得2寸2分5，為要求的結果。 論： 前面的算法中，就兩枚凸透鏡深度相等的情況而論，就沒有倍數，也沒有差數，但是有變深限數；以兩枚凸透鏡深度不同的情況而論，就有倍，有差，又有變深限數，但此時的差數不能直接作為變深限的通則。然而在兩枚凸透鏡深度相等的情況下，甲的倍限與乙的順收限相減，所謂甲的倍限，是指3寸深的凸透鏡甲深度加倍時的深限1寸5，以下同。所謂與乙的順收限相減，是指乙的深度也是3寸，與甲的倍限1寸5相減的差數1寸5。得出的差數就是變深數。所以對兩枚凸透鏡深度不同的情況，就借甲倍限和乙深限的差數為差數，則倍數2與差數等於當前變深數4.50之比，就等於倍數1與變深數等於當前差數2.25之比了。這是「異乘同除」的法則。 另一種思路： 以甲深限3寸為準，使乙深限從3寸開始減少，那麼變深限就從1寸5開始逐漸變長，不能超過3寸。以乙深限6寸為準，使甲深限從6寸開始減少，那麼變深限就從3寸開始逐漸變長，不能超過6寸。所以以1.5寸與較深凸透鏡深限3寸相減，剩餘還是1.5寸，這是乙與甲深度相等時，變深數與甲深限的差數。以這個差數與較淺凸透鏡深限6寸相減，剩餘4寸5，這是乙與甲深度不同時，使淺凸透鏡乙變深的數值。既然甲深限是3寸，那麼變深的數值就不能超過3寸，但卻得出一個4寸5，這是因為乙比甲的順收限淺是有倍數的。求這個倍數得2，用來與變深數進行比例計算，則1倍與4寸5為原有數，2倍為今有數；今有的倍數2與原有的倍數1之比，等於原有的變深數4.50與今有的變深數2.25之比。這是「同乘異除」的法則。 另一種算法： 由於這個1寸5是甲、乙深度相等時的變深數，也就是變深數與較深凸透鏡深限的差數；那麼現在甲、乙深度不同，就必定有一個倍數，求得倍數為2，用來除原來的差數1寸5，就得到當前要求取的差數7分5，用來與甲的深限3寸相減，得2寸2分5，就是要求取的變深限數。 一系： 鏡片要做成凸形和凹形，小而淺和大而深是困難的。「圓凸」第二條。如圖（圖70）： 乙丁和己辛同為甲角［的弧］，此時庚壬雖然較長，己辛還是較淺，想要更長就難找到材料了；丙戊雖然較短，乙丁卻已經較深，想要更短就很難加工了；凸透鏡［疊加］變淺法的妙處就在於此。有時使用凹透鏡覺得太深，也可以仿照變淺法解決。本篇第十二條。至於兩枚凸透鏡緊貼，只不過使凸度加深，用途很少。曾見過一具西洋製造的望遠鏡，外端鏡片有三枚，子號凸透鏡、丑號凹透鏡，又加一枚淺凸透鏡寅，不明白其中意圖。但揣度它的道理，大概是因為子、丑疊合覺得稍微偏淺，所以加一枚淺凸透鏡使它略微變深一些吧？也算是製作上的一種巧妙。 圓率〔1〕 一 凸限全率表〔2〕 用一：有單凸，正面側收限二寸，求：深力即順收限幾何？ 答曰：一尺二寸。 法：置〔3〕正面側收限二寸。檢表一順收限得六，謂之單率六〔4〕，此為單率所恆用。入後止稱單率六，以從省便。為法，乘之，即所求。又法：檢表一較率〔5〕得五，以乘側限，加之。 用二：有單凸，景面側收限六寸，求：深力幾何？ 答曰：一尺二寸。 法：置景面側收限六寸。檢表一景面側收限得三、順收限得六，爰六乘、三除，即所求。又法：置六寸，倍之。 用三：有雙凸，每面側收限二寸，求：深力幾何？ 答曰：八寸。 法：置二寸。檢表二順收限得四，謂之雙率四〔6〕，此為雙凸所恆用。為法，乘之，即所求。又法：檢表二較率得三，以乘二寸，加之。 用四：有畸凸，側收限正面二寸、副面三寸八分，求：深力幾何？ 答曰：九寸八分。 法：以正除副，得倍數一九。檢表三側收限得相近略小者，正一〇，副一一。爰以副一一與一九相減，余較八。其順收限四一，乃加較，得四九，為法，乘正面二寸，即所求。〔7〕又法：檢表三較率得三，以乘正限二寸，得六寸，加副限三寸八分，亦得。 用五：有單凸，順收限一尺二寸，求：正面側收限幾何？ 答曰：二寸。 法：以單率六除之，即所求。又法：五因、三歸之〔8〕。 用六：有單凸，順收限一尺二寸，求：景面側收限幾何？ 答曰：六寸。 法：六歸、三因之，即所求。又法：半之。 用七：有雙凸，順收限八寸，求：側收限幾何？ 答曰：二寸。 法：以雙率四除之，即所求。 用八：有畸凸，順收限九寸八分，側收限正面二寸，求：副面幾何？ 答曰：三寸八分。 法：檢表三較率得三，以乘正二寸，得六寸，為法，減順收限，余得所求。 用九：有畸凸，順收限一尺四寸一分，側收限副面五寸一分，求：正面幾何？ 答曰：三寸。 法：以副限減順限，餘九寸，以較率三除之，即所求。 用十：有甲、乙兩凸，側收限甲一面四寸、一面一尺二寸，乙一面二寸、一面五寸。求：兩凸異同。 答曰：甲單乙畸。 法：以深約〔9〕淺，恰得三倍者為單，不足三倍者畸也。 用十一：有雙或畸凸，順收限九寸，求：同深之單側收限幾何？ 答曰：一寸五分。 法：以單率六除之，即所求。 若各以側收限為問，則如法各先求其順限，雙法見用三，畸法見用四。以六除之。 一系： 表載全率，用或不具，凡制器者，每求一數，必兼數法考核之，則得數準確，不可不知。本《渾蓋通憲》〔10〕。 【注釋】 〔1〕圓率：指球面透鏡的各種數值之間的相互關係，相當於「球面透鏡的定量規則」。 〔2〕這個表中各個數值的意義和彼此間關係解釋如下： 1. 表一、表二、表三分別為單凸（平凸透鏡）、雙凸（對稱雙凸透鏡）和畸凸（不對稱雙凸透鏡）三種凸透鏡的成像常數換算表。 2. 成像常數共有6個：（1）順收限，平行光會聚點距鏡片距離，即像方焦距；（2）順展限，成最大實像時的物距，數值上無限接近物方焦距；（3）順均限，成等大實像時的物距或像距（二者相等），即二倍焦距；（4）側收限，凸透鏡內表面對平行光反射聚焦的焦距；（5）側展限，凸透鏡內表面反射成最大實像時的物距，數值上無限接近反射面焦距；（6）側均限，凸透鏡內表面反射成等大實像時的物距或像距（二者相等），即二倍反射面焦距。 3. 表中數據均為「比率」，即倍數。對任意一枚凸透鏡，已知一個常數，即可通過查表，求取其餘五個中的任一個。比如已知某雙凸透鏡側收限為2寸，求順收限，查表得知比率為4，即可得順收限為8寸。 4. 表中各類凸透鏡的兩面順收限都相等，故一律為薄透鏡。 5. 收限和展限在數值上都表征焦距，二者應相等或接近，但表中數據展限一律比收限偏小10%，應是測量誤差。可分析誤差原因。展限是生實像的物距，小於焦距即不生實像，實際上還應該略大於收限。故唯一解釋是收限測量值偏大。收限測量值偏大意味著入射光束不是理想平行光，即光源放置不夠遠。「圓凸」第十一條說：「收限之光、展限之壁，其距鏡必遠，方無改移。約燈體寸余、凸深即順收限寸余，則遠須尺余……今名曰限距界，愈遠益確。」雖然鄭復光接著就指出「凡驗凸深淺宜用日月之光」。但大量的測量應在室內進行，否則也沒有規定限距界的必要，而且觀察實像需要暗室。尤其值得注意的是，鄭復光規定的限距界是焦距的10倍，此時聚焦點位置恰好大於焦距10%左右： 6. 順限和側限的關係為現代幾何光學所無，應著重分析。由「圓凸」第七條可知，畸凸的順側兩限之比系由線性插值法求得。已知單凸兩面側收限之比為1:3時，順收限為6；雙凸兩面側收限為1:1時，順收限為4。以上兩種情況是凸透鏡兩個表面曲率比的最大和最小界限，曲率比在兩者之間即為畸凸。按算術平均插值法可得，畸凸兩面側限比為1:1.1時，順限為4.1；側限比為1:2時，順限為5；側限比為1:2.9時，順限為5.9。如下表（即「凸限全率表」的第一和第四行數據）： 可按現代幾何光學對上表進行核算。根據Г.Г.斯留薩列夫著《幾何光學》，圖31（a）中的S（即側收限）如下式： 對理想薄透鏡，取d=0，得下面（1）式： 平凸順收限如下式： 畸凸順收限如下式（r1=r2時為雙凸）： 以上諸式中，r1和r2分別為透鏡第一表面和第二表面的曲率半徑，取n=1.5，注意不同情況下曲率半徑的正負號，可算出： 比較以上兩表可知，鄭復光原表中的平凸和雙凸數值為實測值，與理論值相等。用線性插值法求得的畸凸數值自然有以直代曲的誤差。 7. 原表最後一行為「兩收限較」。「較」為「差」。所以這一行可以叫「差率」。也是用來進行換算。是用比率換算的另一法。比如，已知某雙凸透鏡側收限為2寸，按比率順收限為4倍，得8寸。按差率，順收限比側收限多3倍，所以在2寸上再加3個2寸即得8寸。不對稱透鏡的差率只計一面，另一面註明「此較無用」。 8. 表中各個數值並非二位數、三位數、四位數，而是小數。比如「六〇〇」並非600而是6.00。600在古代一般寫作六百而非「六〇〇」。「六〇〇」恰恰是中國古代算術不寫出小數點而用位置表示的書寫法。在後面的所有應用例題中，都稱為「六」而非「六百」。又如，「五五一」並非551而是5.51，在後面正文中也能看出來。這些數值都代表比率，而不是某種實際數據，當然是取個位數。 〔3〕置：本意為布置籌算，見「圓凹」第四條注〔1〕。 〔4〕單率六：單凸透鏡的順收限與正面側收限的比率為6，故稱單率六。 〔5〕較率：順收限的率數與側收限的率數之差。 〔6〕雙率四：雙凸透鏡的順收限與正面側收限的比率為4，故稱雙率四。 〔7〕此例表達了「凸限全率表」作為一個線性插值模型的用法。表中載有兩面側收限之比為1:1.1和1:2的各比值，現在要計算的凸透鏡兩面側收限之比為1:1.9，於是在前兩者之間繼續線性插值。 〔8〕五因、三歸之：古人有一些速算法，將乘數或除數分解為幾個一位數的因數，從而將乘法或除法運算化為個位數的連乘、連除。因：古人稱一位數乘法叫「因」。楊輝《乘除通變算寶》中有「相乘六法」。其「單因」法：「細物一十二斤半、稅一，今有二千七百四十六斤。問：稅幾何？」「術曰：八因以代一二五除也。」這相當於說2 746÷12.5=2 746÷100×8。又「重因」法：「絹二百七十四匹，每匹四十八尺，問：共幾尺？」「草曰：置絹數，六因之，八因之。」這相當於說：274×48=274×6×8=1 644×8=13 152。此處的「五因」，為以10除、以5乘。在楊輝的速算法中，以15為除數的除法化為「二因、三歸」。可見「二因」為以2乘、以10除，相當於以5除；反之，「五因」為以10除、以5乘，相當於以2除。這些古代速算法，有的在今天看來似乎不必要，但在籌算中是有效果的。歸：除。見「圓疊」第十三條注〔8〕。 〔9〕約：本意為約減，此處為除。 〔10〕《渾蓋通憲》：即《渾蓋通憲圖說》，利瑪竇和李之藻合作翻譯的介紹西方簡平儀的著作，成書於1607年，底本為利瑪竇的老師克拉維烏斯的《論星盤》（Astrolabium）。該書講測量法，常常一個問題有數法，鄭復光也經常提出「又法」，可見在思想方法上受其影響。其書中云：「凡位置，星辰必須兼前數術以相參驗，始可無爽。」 【譯文】 凸限全率表 應用一：有一枚單凸透鏡，正面側收限為2寸，求：深力即順收限為多少？ 答：1尺2寸。 求法：設定正面側收限2寸。查表一順收限得到6，稱之為單率6，單凸透鏡的換算率總是使用這個數值。為簡便計，以後只稱單率6。作為乘數，乘它，即為要求的結果。另一求法：查表一較率得到5，以它乘側收限，再加上側收限。 應用二：有一枚單凸透鏡，影面側收限為6寸，求：深力為多少？ 答：1尺2寸。 求法：設定影面側收限6寸。查表一影面側收限得到3、查順收限得到6，就以6乘、以3除，即為要求的結果。另一求法：設定6寸，將它翻倍。 應用三：有一枚雙凸透鏡，每面側收限為2寸，求：深力為多少？ 答：8寸。 求法：設定2寸。查表二順收限得到4，稱之為雙率4，雙凸透鏡總是使用這個換算率。作為乘數，乘它，即為要求的結果。另一求法：查表二較率得到3，以它乘2寸，再加上2寸。 應用四：有一枚畸凸透鏡，側收限正面為2寸、副面為3寸8分，求：深力為多少？ 答：9寸8分。 求法：以正面側收限除副面側收限，得倍數1.9。查表三側收限找到相近但是略小的數值，為正面1.0、副面1.1。然後以副面比率1.1與1.9相減，剩餘差數0.8。此時順收限為4.1，就加上差數，得4.9，作為乘數，乘正面側收限2寸，即為要求的結果。另一求法：查表三較率得到3，以它乘正面側收限2寸，得6寸，再加上副面側收限3寸8分，同樣得出結果。 應用五：有一枚單凸透鏡，順收限為1尺2寸，求：正面側收限為多少？ 答：2寸。 求法：以單率6除它，即為要求的結果。另一求法：以10除並以5乘、再以3除它。 應用六：有一枚單凸透鏡，順收限為1尺2寸，求：影面側收限為多少？ 答：6寸。 求法：以6除、以3乘它，即為要求的結果。另一求法：將它減半。 應用七：有一枚雙凸透鏡，順收限為8寸，求：側收限為多少？ 答：2寸。 求法：以雙率4除它，即為要求的結果。 應用八：有一枚畸凸透鏡，順收限為9寸8分，側收限正面為2寸，求：副面側收限為多少？ 答：3寸8分。 求法：查表三較率得到3，以它乘正面側收限2寸，得6寸，作為減數，與順收限相減，剩餘差數即為要求的結果。 應用九：有一枚畸凸透鏡，順收限為1尺4寸1分，側收限副面為5寸1分，求：正面側收限為多少？ 答：3寸。 求法：以副面側收限與順收限相減，剩餘9寸，以較率3除它，即為要求的結果。 應用十：有甲、乙兩枚凸透鏡，側收限甲一面為4寸、一面為1尺2寸，乙一面為2寸、一面為5寸。求：兩枚凸透鏡的區別。 答：甲是單凸透鏡，乙是畸凸透鏡。 求法：以較深一面側收限除較淺一面側收限，倍數正好為3倍的是單，不足3倍的是畸。 應用十一：有一枚雙凸透鏡或畸凸透鏡，順收限為9寸，求：同等深度的單凸透鏡的側收限為多少？ 答：1寸5分。 求法：以單率6除它，即為要求的結果。 如果分別以側收限來提問，就按規則先分別求得順收限，雙凸透鏡的求法見應用三，畸凸透鏡的求法見應用四。以6除它。 一系：表中的全部比率，不一定涵蓋所有應用，但凡製作儀器時，每求一個數據，一定要用幾種方法進行核算，結果才能準確，不可不知。根據《渾蓋通憲》。 二 凹限全率表〔1〕 用一：有單凹，側收限二寸，求：與凸相切適平，問凸順收限幾何？ 答曰：一尺二寸。 法：置側收限二寸，檢表一深限得六，亦謂之單率六，乘之，即所求。此與凸側限求順限同，其又法不備載，余仿此。 用二：有單凹，側收限二寸，求：與雙凸相切適平，問雙凸側收限幾何？ 答曰：三寸。 法：置二寸，六乘、四除，即所求。 蓋置二寸，六乘、四除者，先求得深限，再除得側限也。 用三：有雙凹，每面側收限二寸，求：與凸相切適平，問凸順收限幾何？ 答曰：八寸。 法：置二寸。檢表二深限得四，亦謂之雙率四，為法，乘之，即所求。 用四：有雙凹，每面側收限三寸，求：與單凸相切適平，問凸側收限幾何？ 答曰：二寸。 法：置三寸，四乘、六除，即所求。 用五：有畸凹，側收限正面一寸二分、副面三寸，求：與凸相切適平，問凸順收限幾何？ 答曰：六寸六分。 法：以正除副，得倍數二五。檢表三側收限得相近略小者，正一〇、副二〇。爰以副二〇與二五相減，余較五。其深限五十，乃加較五，得五五，為法，乘正面一寸二分，即所求。此法與下用六互文見例〔2〕。 用六：有畸凹，側收限正面一寸二分、副面三寸，求：與單凸相切適平，問凸側收限幾何？ 答曰：一寸一分。 法：檢表三較率得三，以乘正限，得三寸六分，加副限，以單率六除之，即所求。 用七：有雙凹，側限三寸，求：同深單凹側限幾何？ 答曰：二寸。 法：四乘、六除，即所求。 一系：凹無順限，而理與凸通，故借凸順限為深限虛率用之。 【注釋】 〔1〕此表原有一處明顯誤刻：側展限最左邊一個數據「六二一」為「二六一」之誤，今已正之。深限最右邊，應只有「六〇〇」而沒有旁邊的「〇」，但仍依原刻。 由於凹透鏡在透射時不能會聚光束、不能產生實像，所以當時還沒有測量凹透鏡焦距的方法，鄭復光在「圓凹二」中亦表明其「難以量取」。但凹透鏡的兩個表面對光反射時，能會聚光束，可供測量側收限（以及側展限、側均限），故其深力「惟有側收限可憑」。其實直接用這個可以實測的側收限來表征凹透鏡的深力，也是可以的，它與焦距的關係是簡單的比例關係，僅相當於單位不同。鄭復光在「圓凹四」中也明確表達了這一正確思路：「凹無順限，以其側限為深，未為不可……」結果同樣是「凹愈深，限愈短」。但是鄭復光想要「與凸通為一例」，並且考慮到畸凹的兩面曲率不同，不能只憑任意一面的側收限來換算深力。這裡出現了一個問題，既然凹透鏡沒有順收限，即沒有實焦點，那麼側收限與深限的比率如何確定呢？鄭復光認為可以「借凸率虛取之」，於是「凹限全率表」就是「凸限全率表」的側三限部分。其中，單凹（平凹透鏡）的「景（影）面」（平面）對光時，連側收限也沒有，所以表中註明「此行（列）無數」。 然而這種處理是有問題的。凸透鏡側收限是圖31a中的S，是經第一表面折射進入、再經第二表面反射、再從第一表面折射出來而產生，與兩面曲率半徑的關係如「圓率」第一條注〔2〕中的（1）式所示；凹透鏡的側收限只是由第一表面的反射直接產生，與凹面鏡完全一樣，如圖31b所示，側收限與曲率半徑的關係並非上述（1）式，而只是簡單地等於第一表面的半徑的二分之一。所以凹透鏡的深限與側收限之間的比率，在物理意義上是不能「與凸通為一例」的。鄭復光很清楚「通光凹之面受光，與含光凹等」（「圓凹」第五條），但不清楚凸透鏡的側收限經過了兩次折射而與之不同。在光的行為的解釋上，缺少一個折射模型，這是當時中國的現狀。於是鄭復光雖然通過精密而系統的實驗建立了正確的「凸限全率表」，但直接套用該表中側三限部分的「凹限全率表」卻與凹透鏡深限的物理意義不符。按現代公式，凹透鏡的側收限為： 其中r為第一表面的曲率半徑。不考慮負號，平凹透鏡的焦距為： 雙凹和畸凹透鏡的焦距為： 其中r1和r2分別為透鏡第一表面和第二表面的曲率半徑。取n=1.5，根據以上三式可計算出下表的第三行。第一、二兩行是「凹限全率表」中的數值。 從上表可知，鄭復光所得的凹透鏡深限，數值上與現代理論值相比一律大得多。這是一種系統誤差，即每個數值的偏大程度都是一樣的。應該指出，這並不妨礙鄭復光對透鏡構成的儀器進行合理的定量設計。因為，正如前面所言，這只是表明凹透鏡的深限在物理意義上不表征焦距，但與焦距有比例關係，相當於單位不同而已。也就是說，當鄭復光說某凹透鏡深限為6寸時，相當於我們說焦距4寸；說4寸相當於2寸，說4.63寸相當於2.10寸，等等。 〔2〕互文見（xiàn）例：「互文」是古詩文中常用的修辭方法，通常是將一個句子的各部分分開寫到兩個句子裡去（也有單句互文），要兩句互相補充、滲透，才能表現出完整的意思。此處指兩個應用題的已知數相同，但條件和所求不同，兩個例題本可合併為一題多問，但分為兩題，互相補充為一個完整的計算規則。例，條例，規則。 【譯文】 凹限全率表 應用一：有一枚單凹透鏡，側收限為2寸，求：與某凸透鏡緊貼而恰如平鏡，問該凸透鏡順收限為多少？ 答：1尺2寸。 求法：設定側收限2寸。查表一深限得到6，也稱之為單率6，乘它，即為要求的結果。這與凸透鏡的側限求順限相同，另一解法不再提供，其餘仿照此例。 應用二：有一枚單凹透鏡，側收限為2寸，求：與某雙凸透鏡緊貼而恰如平鏡，問該雙凸透鏡側收限為多少？ 答：3寸。 求法：設定2寸，以6乘、以4除，即為要求的結果。 設定2寸，以6乘、以4除的意思是，先求出深限、再除得側收限。 應用三：有一枚雙凹透鏡，每面側收限為2寸，求：與某凸透鏡緊貼而恰如平鏡，問該凸透鏡順收限為多少？ 答：8寸。 求法：設定2寸。查表二深限比率得到4，也稱之為雙率4，作為乘數，乘它，即為要求的結果。 應用四：有一枚雙凹透鏡，每面側收限為3寸，求：與某單凸透鏡緊貼而恰如平鏡，問該單凸透鏡側收限為多少？ 答：2寸。 求法：設定3寸，以4乘、以6除，即為要求的結果。 應用五：有一枚畸凹透鏡，側收限正面為1寸2分、副面為3寸，求：與某凸透鏡緊貼而恰如平鏡，問該凸透鏡順收限為多少？ 答：6寸6分。 求法：以正面側收限除副面側收限，得倍數2.5。查表三側收限找到相近但是略小的數值，為正面1.0、副面2.0。然後以副面比率2.0與2.5相減，剩餘差數0.5。此時深限為5.0，就加上差數0.5，得5.5，作為乘數，乘正面側收限1寸2分，即為要求的結果。這個求法與下面的「應用六」參互體現規則。 應用六：有一枚畸凹透鏡，側收限正面為1寸2分、副面為3寸，求：與某單凸透鏡緊貼而恰如平鏡，問該單凸透鏡側收限為多少？ 答：1寸1分。 求法：查表三較率得到3，以它乘正面側收限，得3寸6分，再加上副面側收限，以單率6除它，即為要求的結果。 應用七：有一枚雙凹透鏡，側收限為3寸，求：同等深度的單凹透鏡側收限為多少？ 答：2寸。 求法：以4乘、以6除，即為要求的結果。 一系：凹透鏡沒有順限，但道理與凸透鏡相通，所以借凸透鏡順限作為深限的虛擬比率來運用。 三 兩凸相離距顯限率表〔1〕 用一：有甲、乙兩凸相等，順收限二寸，求：距顯限幾何？ 答曰：四寸。 法：並兩順收限，即所求。 用二：有甲、乙兩凸不等，順收限甲一寸五分、乙一尺九寸，求：距顯限幾何？ 答曰：二尺零五分。 法：並兩順收限，即所求。 用三：有兩凸不等，距顯限二尺〇五分。或知深凸順收限一寸五分，求：淺凸幾何？或知淺凸順收限一尺八寸，求：深凸幾何？ 答曰：深凸一寸五分者，淺凸一尺九寸。淺凸一尺八寸者，深凸二寸五分。此謂四凸不等，其兩凸一深一淺，各為一距顯限則相等者。 法：置距顯限二尺〇五分，以減深凸一寸五分，余為所求淺凸一尺九寸。若減淺凸一尺八寸，余為所求深凸二寸五分。 用四：有深凸，順收限一寸，求：足距〔2〕之淺凸幾何？ 答曰：八寸。 法：置深凸限一寸，八之，即所求。 用五：有淺凸，順收限四尺，求：足距之深凸幾何？ 答曰：五寸。 法：置淺凸限四尺，八而一，即所求。 【注釋】 〔1〕這個「兩凸相離距顯限率表」只是以數值表示兩鏡距等於兩焦距之和，即L=f外凸+f內凸。 〔2〕足距：此足距為克卜勒望遠光組的數值規定，包括兩鏡距和兩鏡焦距比，此處指後者。伽利略式望遠鏡的兩鏡焦距比規定見於前面「圓疊」第十三條。克卜勒式的兩鏡焦距比的足距規定卻未事先給出，而是首次直接出現在這個例題中，並在後面的「作遠鏡」第十條中再次提出。按此足距規定，物鏡和目鏡的焦距比為8比1，在今天看來就是規定望遠鏡的放大倍數為8倍。 按：現代設計也以8倍為最恰當的放大率。這表明鄭復光對望遠鏡的研製富有經驗，從理論上說，也是他對望遠鏡的放大率、視場和亮度之間關係有深刻把握的必然結果。 【譯文】 兩凸相離距顯限率表 應用一：有甲、乙兩枚相同凸透鏡，順收限為2寸，求：距顯限為多少？ 答：4寸。 求法：兩個順收限相加，即為要求的結果。 應用二：有甲、乙兩枚不同凸透鏡，順收限甲為1寸5分、乙為1尺9寸，求：距顯限為多少？ 答：2尺零5分。 求法：兩個順收限相加，即為要求的結果。 應用三：有兩枚不同凸透鏡，距顯限為2尺零5分。如果已知深凸透鏡的順收限為1寸5分，求：淺凸透鏡順收限為多少？又如果已知淺凸透鏡的順收限為1尺8寸，求：深凸透鏡順收限為多少？ 答：深凸透鏡順收限1寸5分時，淺凸透鏡順收限1尺9寸。淺凸透鏡順收限1尺8寸時，深凸透鏡［順收限］2寸5分。這指的是4枚凸透鏡不相等，其中每兩枚凸透鏡一深一淺，分別構成一個相等的距顯限。 求法：設定距顯限2尺零5分，減去深凸透鏡順收限1寸5分，剩餘差數即為要求的淺凸透鏡順收限1尺9寸。如果減去淺凸透鏡順收限1尺8寸，剩餘差數即為要求的深凸透鏡順收限2寸5分。 應用四：有一枚深凸透鏡，順收限為1寸，求：足距的淺凸透鏡順收限為多少？ 答：8寸。 求法：設定深凸透鏡順收限1寸，取它的8倍，即為要求的結果。 應用五：有一枚淺凸透鏡，順收限為4尺，求：足距的深凸透鏡順收限為多少？ 答：5寸。 求法：設定淺凸透鏡順收限4尺，取它的八分之一，即為要求的結果。 四 凸凹相切變淺限率表〔1〕 凡到界則適平，平則無限。然既以為界，則無限而有數。故取以為率，期適其用而已。 用一：有凸，側收限四寸；凹，側收限八寸，相切。求：變淺限幾何？ 答曰：四尺八寸。 法：檢表一界率三，乘凸限四寸，得一尺二寸。以凹限八寸減之，余較四寸。以加凸限四寸，得八寸，為側限數。爰以單率六乘之，得四尺八寸，為所求。 用二：有凸，順收限三尺六寸；凹，側收限一尺一寸，相切。求：變淺限幾何？ 答曰：七尺八寸。 法：檢表一界率三，乘凸限三尺六寸，得一丈〇八寸，為實。以單率六乘凹側限一尺一寸，得六尺六寸。減實，余較四尺二寸。以加凸順限三尺六寸，得七尺八寸，為所求。 用三：有凸，順收限二尺三寸，變淺限五尺，求：相切之凹側收限幾何？ 答曰：七寸。 法：檢表一界率三，乘凸限二尺三寸，得六尺九寸，為實。以變淺限五尺減之，余較一尺九寸。以加凸順限二尺三寸，得四尺二寸，為凹深限。爰以單率六除之，得七寸，為所求。 用四：有凸，側收限五寸五分，變淺限七尺八寸，求：相切之凹側收限幾何？ 答曰：九寸。 法：檢表一界率三，乘凸限五寸五分，得一尺六寸五分。以單率六乘之，得九尺九寸，為實。以變淺限七尺八寸減之，余較二尺一寸。以加凸順限三尺三寸，得五尺四寸，為凹深限。爰以單率六除之，得九寸，為所求。 用五：有凸，變淺限一丈，相切之凹側收限一尺，求：原凸順收限幾何？ 答曰：四尺。 法：檢表一界率三，加一數，得四，為法。以單率六乘凹側限一尺，得六尺。加變淺限，得一丈六尺，為實。法除實，得四尺，為所求。 附：天元〔2〕細草〔3〕 草曰：立天元一為〔4〕凸順限，得〔5〕。以界率三乘之，得。以變淺限減之，得〔6〕。加一天元，得。寄左〔7〕。乃以單率六乘凹側限一尺，得六尺，為同數〔8〕。消左〔9〕，得。下法上實〔10〕，除之，得原凸順限。〔11〕 用六：有凸，變限七尺八寸，相切之凹側收限九寸，求：原凸側收限幾何？ 答曰：五寸五分。 法：檢表一界率三，加一，得四，為法。以單率六除變淺限七尺八寸，得一尺三寸。加凹側限九寸，得二尺二寸，為實。法除實，得五寸五分，為所求。 附：天元細草 草曰：立天元一為凸側收限，得。以界率三乘之，得式。以單率六除變限，得一尺三寸，減式，得下。加天元，得。寄左。乃以凹側收限九寸為同數。消左，得。下法上實，除之，得原凸側收限。〔12〕 一系：凹求變淺，檢表二，仿此求之。 【注釋】 〔1〕該表的「表一」表示f凸與f凹之比為1:2，即凸深凹淺時，互相密接的結果相當於凸透鏡變淺，變淺限（組合焦距）計算法為：以f凸乘「界率3」，減去f凹，為變淺程度；再加上f凸，為變淺後的組合焦距。「表二」為凹深凸淺時的凹變淺限。詳見「圓疊」第十二條。 〔2〕天元：中國古代數學列方程方法「天元術」的簡稱。 〔3〕細草：意為「詳細草稿」，傳統算學中的詳細布算過程（出現於宋元時期）。天元術脫胎於籌算開方式，所以天元細草為用算籌布列方程的過程。 〔4〕立天元一為：天元術專門用語。將要求的未知數立為天元一，相當於今天所說設未知數為x。 〔5〕從書中的幾個天元草看，鄭復光採用的列方程格式和術語，與天元術的創建者（宋）李冶所用一樣。常數項旁邊標「太」，一次冪項旁邊標「元」。向上每層減少一次冪，向下每層增加一次冪。為省略「太」字和「元」字的列式，表示常數項為零，一次冪項係數為1，即x。 〔6〕：帶一撇的算籌表示為負，此籌相當於-10+3x。 〔7〕寄左：天元術專門術語。將運算所得的中間結果（一般為多項式）放在左邊。 〔8〕同數：天元術專門術語。指與左邊多項式相等的另一個數或另一個多項式。前面處理的都是多項式，到「以某某為同數」這一步，得到方程。 〔9〕消左：天元術專門術語。將方程等號兩邊的所有項全部移到右邊，使左邊為零。此處相當於得到：，但算籌只擺出，表示上面為-16，下面為4，與現代算式含義相同。即相當於將不含未知數的項全部移項到右邊，得到一個未知數的計算式。 〔10〕下法上實：以分數的分母為法（除數）、分子為實（被除數）。 〔11〕以上天元術列方程步驟如下： 立天元一為凸順限，得：設凸順收限為x 以界率三乘之，得式：3x 以變淺限減之，得：-10+3x 加一天元，得。寄左：-10+4x 乃以單率六乘凹側限一尺，得六尺，為同數：-10+4x=6 消左，得。下法上實，除之，得原凸順限： 右邊方框內為16÷4的筆算草稿。第三行為被除數16，第五行為除數4，第一行為商數4。第二行為商數4乘除數4得到的結果16，用來減去被除數16，旁邊加一撇表示負號。第四行的兩個零，表示此次減法得數為零，即除盡。 〔12〕上草中，「得式」的「式」和「得下」的「下」均為「下式」的簡稱。「減式」為「減上式」。其天元術列方程步驟如下： 立天元一為凸側收限，得：設凸側收限為x 以界率三乘之，得式：3x 以單率六除變限，得一尺三寸。減式，得下：-130+3x 加天元，得。寄左：-130+4x 乃以凹側收限九寸，為同數：-130+4x=90 消左，得。下法上實，除之，得原凸側收限： 右邊方框內為220÷4的筆算草稿，分為20÷4和200÷4兩步。右列為第一步，求得個位數商為5。左列為第二步，200仍記為20，將負號（一撇）前移一位表示百位，將第一步求得的個位數商置於此時的個位數商位置，在十位數位置求得十位數商為5。最後得數為55（寸）。 【譯文】 凸凹相切變淺限率表 一旦到界則恰如平鏡，平鏡就沒有限。但既然用來作為界，那就沒有限但有數值。於是取來設為界率，以待發揮它的作用而已。 應用一：有一枚凸透鏡，側收限為4寸；一枚凹透鏡，側收限為8寸，互相緊貼。求：變淺限為多少？ 答：4尺8寸。 求法：查表一界率得到3，乘凸透鏡側收限4寸，得1尺2寸。減去凹透鏡側收限8寸，剩餘差數4寸。以它加上凸透鏡側收限4寸，得8寸，為側收限數。然後以單率6乘它，得4尺8寸，為要求的結果。 應用二：有一枚凸透鏡，順收限為3尺6寸；一枚凹透鏡，側收限為1尺1寸，互相緊貼。求：變淺限為多少？ 答：7尺8寸。 求法：查表一界率得到3，乘凸透鏡順收限3尺6寸，得1丈零8寸，為被減數。以單率6乘凹透鏡側收限1尺1寸，得6尺6寸。與被減數相減，剩餘差數4尺2寸。以它加上凸透鏡順收限3尺6寸，得7尺8寸，為要求的結果。 應用三：有一枚凸透鏡，順收限為2尺3寸，變淺限為5尺，求：與之疊加的凹透鏡的側收限為多少？ 答：7寸。 求法：查表一界率得到3，乘凸透鏡順收限2尺3寸，得6尺9寸，為被減數。以變淺限5尺與它相減，剩餘差數1尺9寸。以它加上凸順收限2尺3寸，得4尺2寸，為凹透鏡深限。然後以單率6除它，得7寸，為要求的結果。 應用四：有一枚凸透鏡，側收限為5寸5分，變淺限為7尺8寸，求：與之疊加的凹透鏡的側收限為多少？ 答：9寸。 求法：查表一界率得到3，乘凸透鏡側收限5寸5分，得1尺6寸5分。以單率6乘它，得9尺9寸，為被減數。以變淺限7尺8寸與它相減，剩餘差數2尺1寸。以它加上凸透鏡順收限3尺3寸，得5尺4寸，為凹透鏡深限。然後以單率6除它，得9寸，為要求的結果。 應用五：有一枚凸透鏡，變淺限為1丈，與之疊加的凹透鏡的側收限為1尺，求：原先凸透鏡的順收限為多少？ 答：4尺。 求法：查表一界率得到3，加上1，得4，作為除數。以單率6乘凹透鏡側收限1尺，得6尺。加變淺限，得1丈6尺，作為被除數。除數除被除數，得4尺，為要求的結果。 附：天元細草 草：立天元一為凸透鏡順收限，得。以界率3乘它，得。與變淺限相減，得。加上一個天元，得。放在左邊。就以單率6乘凹透鏡側收限1尺，得6尺，為［右邊的］相等數。進行消去左邊的變換，得。下為除數、上為被除數，做除法，得出原先凸透鏡的順收限。 應用六：有一枚凸透鏡，變淺限為7尺8寸，與之疊加的凹透鏡的側收限為9寸，求：原先凸透鏡的側收限為多少？ 答：5寸5分。 求法：查表一界率得到3，加1，得4，作為除數。以單率6除變淺限7尺8寸，得1尺3寸。加凹透鏡側［收］限9寸，得2尺2寸，作為被除數。除數除被除數，得5寸5分，為要求的結果。 附：天元細草 草：立天元一為凸側收限，得。以界率3乘它，得下式：。以單率6除變淺限，得1尺3寸。減上式，得下式：。加天元，得。放在左邊。就以凹透鏡側收限9寸為［右邊的］相等數。進行消去左邊的變換，得。下為除數、上為被除數，做除法，得出原先凸透鏡的順收限。 一系：求凹透鏡變淺，查表二，仿照以上算法求取。 五 凸凹相離變顯限率表〔1〕 用一：有凸，順收限九寸六分，求：加凹得變顯限足距，問凹側收限幾何？ 答曰：八分。 法：以凸率一二為一率，凹率一為二率，今凸限九寸六分為三率，得四率，即所求。此用表二之率。 又法：置凸順限，二歸、又六歸，即得。蓋凸順限二歸之為凹深限，故以單率六歸之得凹側限也。此用表一之率。 用二：有單凹，側收限三寸，求：加凸得變顯限足距，問凸順收限幾何？ 答曰：三尺六寸。 法：以凹率一為一率，凸率一二為二率，今凹側限三寸為三率，得四率，即所求。 又法：置凹側限，六因、二因，即得。 用三：有單凹，側收限三寸；凸，順收限九寸六分。求：差距變顯限幾何？ 答曰：二寸五分六厘。 法：先求足距同用一。以定率一二為一率，定率一為二率，今凸限九寸六分為三率，得四率八分，為足距之凹側限。爰以今凹側限三寸為一率，足距八分為二率，今凸順限九寸六分為三率，得四率，即所求。 用四：有凸，順收限九寸六分，知差距變顯限二寸五分六厘，求：原凹側收限幾何？ 答曰：三寸。 法：先同用一，求得足距八分。爰以變顯限二寸五分六厘為一率，凸限九寸六分為二率，足距八分為三率，得四率，即所求。 用五：有單凹，側收限四寸，知差距變顯限二尺七寸，求：原凸順收限幾何？ 答曰：三尺六寸。 法：先同用二，求得足距凸順限四尺八寸為首率，變顯限二尺七寸為末率。用連比例法〔2〕，以首率、末率相乘，得十二尺九十六寸〔3〕。開平方，得中率三尺六寸，即所求。 附：天元術草〔4〕 術曰：以定率一二乘凹限，與變限相乘，為正實〔5〕。從空〔6〕。一為負隅〔7〕。平方開之〔8〕。 草曰：立天元一為凸限。以定率一乘之，得。合以定率除之，不除，便為足距內寄為母。〔9〕又以凸限乘之，得。合以凹限除之，不除，便為差距內寄為母。寄左。以兩母相通〔10〕，得。以變限距得，為同數。相消，得。開平方。〔11〕 【注釋】 〔1〕該表僅表示鄭復光規定的伽利略式望遠鏡的足距定率，表一指凹透鏡側收限和凸透鏡側收限的比率為1:2，表二指凹透鏡側收限和凸透鏡順收限的比率為1:12。根據我們在「圓疊」第十三條注中的分析，這些數據沒有實際意義。 〔2〕連比例法：指通過比例式a:x=x:b求x。a為「首率」，b為「末率」。x2=a·b，開平方求之。 〔3〕「九十六寸」應作「九寸六」。 〔4〕此處和以下「天元術草」分為「術」和「草」。「術」為列方程所得的最後開方式，「草」為用算籌布列方程的詳細過程。 〔5〕正實：中國古代稱方程中的常數項為「實」，「正實」為正數的實。 〔6〕從空：中國古代稱方程中的一次冪係數為「從」（縱），又叫方、從方、從法。「從空」意為從為零。 〔7〕負隅：中國古代稱方程中的最高次冪係數為「隅」，又叫法、隅法、常法。「負隅」為負數的隅。 〔8〕平方開之：即開平方。中國古代將開平方（x2=a）和解一般的二次方程（ax2+bx+c=0，即隅不為1，從不為空）都叫做開平方。此術所列方程為：-x2+1 296=0。 〔9〕「合」意為「本該」，這個x本該要用12除，才是足距側收限。但是在籌算中，每一步都擺出分母是很不方便的，所以將分母寄在旁邊，叫做「內寄某某為母」，以待後來進行去分母計算。　　「不除，便為足距」：省語，「便」下省「以之」，「為」下省「帶分」。意為本該要除，但是先不除，姑且以它為帶著分母的足距側收限。這種術語與李冶《測圓海鏡》中的一致。李冶在該除而先不除時往往說「不受除，便以此為某某」，同時必註明「內帶某某為分母」，相當於鄭復光說「內寄某某為母」。內，內部，其中。寄，寄存，存放。母，分母。 〔10〕通：通分運算之類的等量變換叫做「通」。 〔11〕以上天元草是根據「圓疊」第十三條中的公式列方程。公式為。其中，為凹透鏡足距側收限，為凹透鏡差距側收限，L差為差距變顯限，L足為足距變顯限。由於在籌算列式中，最後要以L差為同數，故變換為。四項中兩項為已知數，。另外兩項中含有未知數f足=x。按「定率」規定，。按足距規定，L足=f足=x。於是得：。這樣一個列式在今天很方便，但在籌算中需要逐一布列。其步驟如下： 立天元一為凸限。以定率一乘之，得：設f足=x，乘1，得x。 合以定率除之，不除，便為足距內寄為母：本該以定率12除天元x，即為足距側收限，但是先不除，姑且以它為帶著分母的足距側收限。這一步得到，分母12寄在旁邊。 又以凸限乘之，得：。 合以凹限除之，不除，便為差距內寄為母。寄左：本該以4除上式，即為差距鏡筒長，但是先不除，姑且以它為帶著分母的差距。把分母4寄在旁邊。此時得到，把這個中間結果放在左邊。 以兩母相通，得：用兩個分母乘兩邊，左邊分母消去，右邊為48。 以變限距得，為同數：「距」下疑脫「乘之」。右邊再乘上差距變顯限27，得到方程x2=1 296。 相消，得。開平方：進行消去左邊的變換，得：-x2+1 296=0。解方程。表示常數項為1 296，表示一次冪項為零，表示二次冪項係數為-1。 右邊方框內為開平方筆算稿。先列出上、中、下三欄。上為常數項即正實1 296。中為一次冪係數，為零，故稱「空從」。下為二次冪的負係數即負隅，為-1。其開方法和今天是一致的： 右列，因302＜1 296＜402，估得初商為30。將30置於正實1 296上面。將30乘負隅，得-30，置於空從下面。再置30於其下。二者相乘得-900，置於正實之下，與之相加，得396。以初商30乘2、乘負隅，得-60，置於從欄最下面，預備作為下一步的從。因其為負數，在下一步中稱負從。 左列，為求次商（即根的個位數），另起一式進行計算。此時被開方數即正實為396，負從為-60，負隅為-1。估計次商，因60×6＜396＜60×7，估得次商為6，置於正實396上面個位數的位置。以6乘負隅，得-6，置於負從之下，與之相加，得-66，置於從欄下一行，作為除數。以次商6乘除數-66，得-396，置於正實之下，與之相加，得零，為除盡，即開方開盡。初商30加次商6，得36，為最後所得的根。 中國古代的開方術，最初帶有幾何思維模式。將被開方數視為某個面積，將要求的根視為邊長。如圖71，根由初商a和次商b構成。即，邊長為a+b，面積為a2+2ab+b2。上述開方，面積為1 296，即a2+2ab+b2=1 296。a為使a2最接近1 296的整數，即初商。試得初商為30，得60b+b2=396。60b的幾何意義為圖中的兩個長方形，故60稱「從方」。因從方為兩個a·b，故第二步的從（一次冪係數）為2乘a（2×30=60）。b為使60b最接近396的整數，試得6，開盡。 圖71 【譯文】 凸凹相離變顯限率表 應用一：有一枚凸透鏡，順收限9寸6分，求：加上凹透鏡得變顯限足距，問凹透鏡側收限為多少？ 答：8分。 求法：以凸透鏡定率12為一率，凹透鏡定率1為二率，當前凸透鏡順收限9寸6分為三率，求得四率，即為要求的結果。這是用表二的比率。 另一求法：設定凸透鏡順收限，以2除、再以6除，即得。因為凸透鏡順收限被2除就是凹透鏡深限，所以以單率6去除就得到凹透鏡側收限。這是用表一的比率。 應用二：有一枚單凹透鏡，側收限3寸，求：加上凸透鏡得變顯限足距，問凸透鏡順收限為多少？ 答：3尺6寸。 求法：以凹透鏡定率1為一率，凸透鏡定率12為二率，當前凹透鏡側收限3寸為三率，求得四率，即為要求的結果。 另一求法：設定凹透鏡側收限，乘6、乘2，即為要求的結果。 應用三：有一枚單凹透鏡，側收限3寸；一枚凸透鏡，順收限9寸6分。求：差距變顯限為多少？ 答：2寸5分6厘。 求法：先按「應用一」的方法求出足距側收限。以定率12為一率，定率1為二率，當前凸透鏡順收限9寸6分為三率，求出四率為8分，為足距的凹透鏡側收限。然後以當前凹透鏡側收限3寸為一率，足距側收限8分為二率，當前凸透鏡順收限9寸6分為三率，求出四率，即為要求的結果。 應用四：有一枚凸透鏡，順收限9寸6分，已知差距變顯限為2寸5分6厘，求：原先凹透鏡的側收限為多少？ 答：3寸。 求法：先按「應用一」的方法，求得足距側收限8分。然後以變顯限2寸5分6厘為一率，凸透鏡順收限9寸6分為二率，足距側收限8分為三率，求出四率，即為要求的結果。 應用五：有一枚單凹透鏡，側收限為4寸，已知差距變顯限為2尺7寸，求：原先凸透鏡的順收限為多少？ 答：3尺6寸。 求法：先按「應用二」的方法，求得足距凸透鏡順收限4尺8寸為首率，變顯限2尺7寸為末率。用連比例法，以首率、末率相乘，得12尺9寸6。開平方，得中率3尺6寸，即為要求的結果。 附：天元術草 術：以定率12乘凹側收限，與變顯限相乘，作為正實。從空。1為負隅。開平方。 草：立天元一為凸透鏡順收限。以定率1乘它，得。應該以定率除它，先不除，就以它為［帶分母的］足距［凹透鏡側收限］含有寄存的為分母。再以凸透鏡順收限乘它，得。應該以凹透鏡側收限除它，先不除，就以它為［帶分母的］差距含有寄存的為分母。放在左邊。以兩個分母通乘［兩邊］，得。以變顯限長度［乘它］，得，為［右邊的］相等數。左右相消，得。開平方。 六 相切變深限率表〔1〕 半甲限即甲倍限。圓疊二十二論注。明其理曰：甲倍限，據其數曰半甲限。 用一：有甲加乙凸，順收限甲四寸、乙一尺六寸，問：變深限？ 答曰：三寸五分。 法：以甲除乙，得四倍，為法。乃檢表一，其半甲限五，謂之半率五，入後止稱半率，五從省。以折甲限，得二寸。即以減乙限，余較一尺四寸，為實。法除之，為所求。 用二：有單凸甲加乙，側收限甲二寸、乙四寸，問：變深限？ 答曰：九寸。 法：以單率六各乘，得順收限。甲一尺二寸，乙二尺四寸。以用一法入之〔2〕，得所求。 又法：以甲除乙，得二倍，為法。以半率五折甲限，得一寸。即以減乙四寸，余較三寸，為實。法除之，得一寸五分，為側限中數。以單率六乘之，亦得。 用三：有雙凸甲加乙，側收限甲一寸、乙五寸，問：變深限？ 答曰：三寸六分。 法：以雙率四各乘，得順收限。以用一法入之，得所求。 又法：求得側收限中數九分，以雙率四乘之，亦得。即用二又法。 用四：有畸凸甲加乙，側收限甲正面六分、副面一寸二分，乙正面二寸、副面三寸。問：變深限？ 答曰：二寸五分。 法：先各求其順收限。法詳圓率一之用四。求得甲順限三寸，乙順限九寸。爰以甲三寸除乙九寸，得三倍，為法。以半率五折甲限三寸，得一寸五分。即以減乙限九寸，余較七寸五分，為實。法除之，得所求。此即用一之法。 一系：有單凸加雙或畸，及有雙凸加畸，法皆先求其順限，以用一法入之。至於單、雙互變，畸例雙、單，詳圓率一，變通在人，茲不備具。 用五：有變深限二寸，甲凸順限三寸，問：乙順限？ 答曰：四寸五分。 法：以半率五折甲限，得一寸五分。以乘甲限，得四尺五寸，為實。副〔3〕以變深限二寸，減甲限三寸，余較一寸，為法。除之，得所求。 附：天元術草 術曰：以變限減甲限，餘一寸，為一率；以半率五折甲限，得一寸五分，為二率；甲限三寸為三率。推得四率，即乙限。〔4〕 草曰：立天元一為乙限，得。合以甲限卅分除之，不除，便為倍數內寄為母。副置甲限，半之，得，為半甲限。以母通之，得，為帶分〔5〕半甲限。以母通天元，得，為帶分乙限。內減帶分半甲限，得，為帶分較數〔6〕，為實。以倍數天元除之，得，為變深限。寄左。以變深限為同數。消左，得。下法上實，合問。〔7〕 論曰：此法，用天元如常，而前有寄母、後不寄母〔8〕，及改寸為十分，最易眩惑，故為解之： 本法〔9〕求較，用半率五以折甲限三寸，則得一寸五分，是不得不改寸為分，以就單位也。至寄母三十分，本寄於天元內，後復以天元除帶分數，則所寄之母即已消去，故寄左數遂無寄母也。試取較，改草曰： 合以天元法除之，不除，便為變深限內寄天元為母。寄左。副置變深限，以天元母通之，得，為同數。消左，得。與前法同。〔10〕 用六：有變深限九寸六分，乙凸順收限三尺，問：甲順收限？ 答曰：一尺二寸。 法：以乙順限三尺乘變限九寸六分，得二百八十八尺，為負實。乙順限三尺為正從。半率五厘題以分為單位，故半率當退位為厘。為負隅。以和數〔11〕平方開之，得所求。〔12〕 附：天元草 草曰：立天元一為甲順限。以除乙順限，得式：，為倍數，為上法〔13〕。副置天元，半之，得〔14〕，為半甲限。以減乙順限，得，為較數，以為實。合以上法除之，不除，便為帶分變深限數內寄上法為母。寄左。副置變深限，以母通之，得，為同數。消左，得和數。平方開之〔15〕，合問。〔16〕此開得第一數也，第二數四尺八寸無用。〔17〕 用七：有子、丑兩單凹側收限，求變深。法與求凸用二同。求凹俱與求凸同。余仿此。 用八：有子、丑兩雙凹側收限，求變深。法如用三。 用九：有子、丑兩畸凹各面側收限，求變深。法如用四。以凹深限虛率當凸順限數算。 一系：凹無順限，無緣得有變深數以求子或丑也，如虛設數為問，則依用五、用六法求之，無容設例矣。 【注釋】 〔1〕如同變淺限的關鍵常數是「界率3」一樣，變深限的關鍵是「半甲限」。只要用相疊加的兩枚透鏡的焦距比作為「倍數」去除「半甲限」，即得變深程度，即組合焦距比甲的焦距短的那一段。故表中數據給出甲、乙兩凸同深（均為10）時的半甲限為5。子、丑兩凹同深亦仿照兩凸。半甲限也表示順收限不等於10而等於其他數值時，也將其折半。 〔2〕以用一法入之：意為按「應用一」的計算法進行計算。 〔3〕副：「副置」的簡稱。副置：（唐）李籍《九章筭術音義》解釋說：「別設筭位，有所分也。」意為在旁邊另外進行一項相關計算時的第一步，另外布置一個數。李籍語引自郭書春《九章筭術譯註》。 〔4〕此術為根據比例式來求取f2。即通過10:15=30:x，求得x=45。右邊方框內「三〇」和「一五」兩個數據的位置互換，為誤刻。 〔5〕帶分：「帶有［被寄存的］分母」的省文。 〔6〕此處的「數」不是一個數值而是多項式。後文中的「寄左數」也是指放在左邊的多項式。放在右邊的「同數」既可為一個數值，亦可為一個多項式。「較數」既可為兩數相減所得的一個數值，亦可為一個相減的多項式。 〔7〕以上「天元草」為根據「圓疊」第二十二條注〔9〕中的公式來列方程。步驟如下： 立天元一為乙限，得：設未知數乙限為x。 合以甲限卅分除之，不除，便為倍數內寄為母：這一步是布置這個「倍數」，此時f2為未知數x。x本該被f1（30）除，才是倍數，但先不除，就以它為帶著分母的倍數，把分母30寄放在旁邊。這一步得到倍數為。 副置甲限，半之，得，為半甲限：另外布置甲限，取其一半，為，得15。 以母通之，得，為帶分半甲限。以母通天元，得，為帶分乙限：這一步最有迷惑性，鄭復光在後面也說「最易眩惑」，相當於以分母30分別乘半甲限15（即）和天元x（即f2），同時又讓它們都帶上分母30。在現在看來等於以30乘、以30除，什麼也沒有做。但在籌算中，一開始就寄放了一個分母，最後總要消掉，所以在消掉之前就要帶上。以分母30乘半甲限，得450，為帶著分母30的半甲限（算籌只擺出，即450）；乘天元得30x（算籌在太位下為一次冪），為帶著分母的乙限。 內減帶分半甲限，得，為帶分較數，為實：以帶分乙限減帶分半加限（即-），得，為帶著分母的差數（即相減式）。在算籌式中，分母30不擺出來而寄在旁邊。 以倍數天元除之，得，為變深限。寄左：這一步做完整個分數多項式。即以倍數（即）除，寄存的分母30在此時消去，得，為變深限。算籌式中（30）在太位為常數，（-450）在上面一行為負一次冪。將這個表示變深限的多項式放在左邊。 以變深限為同數。消左，得：上面寄左的多項式與已知的變深限20相等，得到方程，進行消去左邊的變換，得：。 下法上實，合問：以下面的法數（除數）10除上面的實數（被除數）450，所得符合所問。 〔8〕前有寄母、後不寄母：指前面以甲限30除天元時寄存分母，而後面以帶所寄分母的天元除帶分母的相減式時卻不寄存分母。實則此時分母已消去，無所寄。 〔9〕本法：指上述解法為基本解法，系相對於下面的解法為變法而言。本，基本，原本。 〔10〕從相減式-450+30x這一步開始，改變算法，另起算草為： 本該以天元x為除數（法）去除上式，則表示變深限，但是先不除，就以上式為帶著分母的變深限，將分母天元x寄在旁邊。將所得多項式放在左邊。另外布置變深限20（於右邊），以分母天元x同時乘左右兩邊，左邊寄存的分母在此時消去，得等式：-450+30x=20x。進行消去左邊的變換，得：。與前面的方法所得一致。 〔11〕和數：各個數相加所得的項。既可為幾個數相加所得的一個數值，亦可為一個相加的多項式。 〔12〕此「法」為方程-0.5x2+300x-28 800=0。 〔13〕上法：「法」為除數，此數為稍後要用到的除數，故「上法」為預先得到的法（除數）。 〔14〕在這個算籌符號中，「元」在左，表示0.5x。若「元」在右，則為5x。 〔15〕古代將解一元二次方程也叫做開平方。 〔16〕以上「天元草」為列出方程：。其中f1=x，f2=300，F=96。列方程步驟如下： 立天元一為甲順限：設甲順限為x。 以除乙順限，得式：，為倍數，為上法：以x除乙順限，得，為變深限的倍數，作為預留的法數（除數）。 副置天元，半之，得，為半甲限：另外布置天元x，取其一半，得0.5x（即），為半甲限。 以減乙順限，得，為較數，以為實：以半甲限與乙順限相減，得300-0.5x，為變深限的差數，作為被除數。 合以上法除之，不除，便為帶分變深限數內寄上法為母。寄左：本該以上法除上式，即為變深限，但先不除，就以它為帶分母的變深限，將分母寄在旁邊。將整個式子放在左邊。這一步得到。 副置變深限，以母通之，得，為同數：將變深限96置於右邊，兩邊同乘300以去分母，右邊得28 800，作為與左邊相等的數。 消左，得和數。平方開之，合問：進行消去左邊的變換，（右邊）得到多項式各項之和（左邊為零，左右相等）。按今天的習慣，左右與古代相反，得方程：-0.5x2+300x-28 800=0。解方程，所得符合所問。 右邊方框內為解一元二次方程-0.5x2+300x-28 800的筆算列式。 右列，上為常數項即負實-28 800，中為一次冪係數即正從300，下為二次冪的負係數即負隅-0.5。因1002＜28 800＜2002，估得初商為100。將100置於負實-28 800上面。將初商100乘負隅-0.5，得-50，置於正從300下面，與之相加，得余從250。以初商乘余從，得25 000，置於負實之下，與之相加，得-3 800。再以初商100乘負隅-0.5，得-50，置於余從250之下，與之相加，得200，預備作為下一步的從。 左列，為求次商，另起一式進行計算。此時被開方數即負實為-3 800，從為200，負隅為-0.5。估計次商為20。以20乘負隅-0.5，得-10，置於從下，與之相加，得190。以次商乘190，得3 800，置於負實之下，與之相加，得零。開盡。初商100加次商20，得120，為要求的根。 由上可知，中國古代的開平方運算與解一元二次方程運算，是同一個程序，故一律稱作開平方。像此題這種一次冪項不為零的情況，又稱「帶從開平方」。 〔17〕上述方程有兩個根，另一個為x=420，這個根對於上述應用題的題意來說無用。 【譯文】 相切變深限率表 半甲限就是甲倍限。「圓疊」第二十二條論注。道理講明了就是：甲倍限，從數值上說就叫半甲限。 應用一：有甲、乙凸透鏡組合，順收限甲4寸、乙1尺6寸，問：變深限為多少？ 答：3寸5分。 求法：以甲順收限除乙順收限，得4倍，作為除數。然後表一，其半甲限為5，稱之為半率5，以下只稱半率，5從略。以它將甲順收限折半，得2寸。就以它與乙順收限相減，剩餘差數1尺4寸，作為被除數。以除數除它，為要求的結果。 應用二：有單凸透鏡甲和乙的組合，側收限甲2寸、乙4寸，問：變深限為多少？ 答：9寸。 求法：以單率6分別乘側收限，得出順收限。甲1尺2寸，乙2尺4寸。以「應用一」的解法求解，就得到要求的結果。 另一求法：以甲側收限除乙側收限，得2倍，作為除數。以半率5將甲側收限折半，得1寸。就以它與乙側收限4寸相減，剩餘差數3寸，作為被除數。以除數除它，得1寸5分，為側收限的中間數。以單率6乘它，也能得出結果。 應用三：有雙凸透鏡甲和乙的組合，側收限甲1寸、乙5寸，問：變深限為多少？ 答：3寸6分。 求法：以雙率4分別乘側收限，得出順收限。以「應用一」的解法求解，就得到要求的結果。 另一求法：求得側收限中間數9分，以雙率4乘它，也能得出結果。即「應用二」的另一解法。 應用四：有畸凸透鏡甲和乙的組合，側收限甲正面6分、副面1寸2分，乙正面2寸、副面3寸。問：變深限為多少？ 答：2寸5分。 求法：先分別求出它們的順收限。求法詳見「圓率」第一條的「應用四」。求得甲順收限為3寸，乙順收限為9寸。然後以甲順收限3寸除乙順收限9寸，得3倍，作為除數。以半率5將甲［順收］限3寸折半，得1寸5分。就以它與乙順收限9寸相減，剩餘差數7寸5分，作為被除數。以除數除它，就得到要求的結果。這就是「應用一」的解法。 一系：如果碰到單凸透鏡加雙凸透鏡或畸凸透鏡，以及雙凸透鏡加畸凸透鏡的情況，方法都是先求出它們的順收限，以「應用一」的解法求解。至於單、雙互相換算，畸例比雙、單，詳見「圓率」第一條，變通在於人為，此處不再一一列舉。 應用五：有變深限2寸，甲凸透鏡順收限3寸，問：乙凸透鏡順收限為多少？ 答：4寸5分。 求法：以半率5將甲順收限折半，得1寸5分。以它乘甲順收限，得4尺5寸，作為被除數。另以變深限2寸，與甲順收限3寸相減，剩餘差數1寸，作為除數。除數除被除數，就得到要求的結果。 附：天元術草 術：以變深限與甲順收限相減，剩餘1寸，作為一率；0以半率5將甲順收限折半，得1寸5分，作為二率；甲順收限3寸為三率。推得四率，即乙順收限。 草：立天元一為乙順收限，得。本該以甲順收限30分除它，先不除，就以它為［帶分母的］倍數含有寄存的為分母。另外布置甲順收限，取其一半，得，為半甲限。以分母對它作通分乘法，得，為帶有分母的半甲限。以分母對天元作通分乘法，得，為帶有分母的乙順收限。其中減去帶有分母的半甲限，得，為帶有分母的差數，作為被除數。以倍數天元除它，得，為變深限。放在左邊。以變深限為［右邊的］相等數。進行消去左邊的變換，得。下為除數、上為被除數［進行除法］，所得符合所問。 論：以上解法，為正常運用天元術，但前面寄存分母、後面不寄存分母，還有把1寸改為10分，最容易讓人迷惑，所以對此作一點解釋： 原本的解法中求差數時，用半率5將甲順收限3寸折半，結果得1寸5分，這樣就不得不改寸為分，以便將就單位。至於寄存的分母30分，本來就寄在天元之中，後來又以天元除帶分母的項，所寄的分母就已經消去，所以寄在左邊的項就沒有寄存的分母了。試從差數這一步將天元草改為： 本該以作為除數的天元去除它，先不除，就以它為［帶分母的］變深限含有寄存的天元為分母。放在左邊。另外設置變深限，以天元分母通乘［兩邊］，得，作為［右邊的］相等數。進行消去左邊的變換，得。與前一方法相同。 應用六：有變深限9寸6分，乙凸透鏡順收限3尺，問：甲凸透鏡順收限為多少？ 答：1尺2寸。 求法：以乙順收限3尺乘變深限9寸6分，得288尺，為負實。乙順收限3尺為正從。半率5厘題目上以分為單位，所以半率當退位為厘。為負隅。對和數進行開平方運算，得所需結果。 附：天元草 草：立天元一為甲順收限。以它除乙順收限，得下式：，為倍數，為預置的除數。另外布置天元，取其一半，得，為半甲限。以它與乙順收限相減，得，為差數，以它為被除數。本該以預置的除數去除它，先不除，就以它為帶分母的變深限數含有寄存的預置除數為分母。放在左邊。另外布置變深限，以分母通乘［兩邊］，得，作為［右邊的］相等數。進行消去左邊的變換，得和數。開平方，所得符合所問。這是開方所得的第一個數，第二個數4尺8寸無用。 應用七：有子、丑兩枚單凹透鏡的側收限，求變深限。解法與求解凸透鏡的「應用二」相同。求解凹透鏡一律與求解凸透鏡相同。其餘仿照此例。 應用八：有子、丑兩枚雙凹透鏡的側收限，求變深限。解法如「應用三」。 應用九：有子、丑兩枚畸凹透鏡的各面側收限，求變深限。解法如「應用四」。把凹透鏡深限虛率當作凸透鏡順收限數來計算。 一系：凹透鏡沒有順限，無由從變深限數來求子或丑的限，如果虛設數值來提問，則依照「應用五」、「應用六」的解法求解，無須再設置例題了。