鏡鏡詅痴譯註 · 鏡鏡詅痴卷之二

釋圓〔1〕 鏡多變者，惟凹與凸。察其形，則凹在圓外，凸在圓內。天之大，以圓成化；鏡之理，以圓而神。作釋圓。 【注釋】 〔1〕釋圓：闡釋球面透鏡。圓，泛指圓形和球形。對於球面透鏡的形狀，鄭復光有時以「圓」稱球弧面，有時稱側視圖的圓弧。 按：此篇為全書內容重中之重，是獨創性最高、成就最大的一篇。以「圓理」、「圓凸」、「圓凹」、「圓疊」、「圓率」五章，分別論述透鏡基本原理、凸透鏡、凹透鏡、透鏡組合和透鏡計算。筆者曾長期查閱第一期西學東漸的各種科技文獻，基本可以肯定鄭復光之前中國沒有關於透鏡的定量討論，即使是定性討論，也只有《遠鏡說》中語焉不詳的少量介紹。該篇內容一直沒有得到詳盡透徹的解析，致使學界對其合理性和正確性一直抱有謹慎態度，因此對鄭復光及其科學成就的評價也顯不足，可以說《鏡鏡詅痴》最光輝的篇章長期以來是處於埋沒狀態的。 【譯文】 性質變化多端的鏡片，要數凹鏡和凸鏡。審視它們的形狀，就是凹形在圓［球］之外，凸形在圓［球］之內。宇宙的宏大，是用圓成就造化；鏡片的物理，也由於圓而奇妙。因此作這篇《釋圓》。 圓理〔1〕 一 鏡之光線，面平者，因物收展，可平行，可廣行，故有隨時而移者，以順目光線〔2〕。面圓者，因物收展，必廣行而不平行，故獨有其不移者，能濟目光線。夫以順目為用者，自無所違忤；以濟目為用者，失其理即反以為累。原鏡八。 【注釋】 〔1〕圓理：可解為「圓之理」，即球面透鏡的基本原理。但按此書標題體例，此篇各章題中的「圓」字宜解為動詞，有「使圓滿」之意，見「明原」篇注〔1〕。故「圓」在此有雙關之意，「圓理」意為「詳解圓之理」，以下各章俱同。 〔2〕目光線：目之光線，即「原線」第一條中專門提出的「目線」。 【譯文】 鏡片的光線，在鏡片表面呈平面時，根據物體［的尺度而］收展，可以平行，也可以廣行，所以會按不同情況偏移，以此順應目光線。表面呈球面時，根據物體［的尺度而］收展，一定是廣行而不平行，所以獨具不偏移的光線，能夠增益目光線。以順應目光為作用的，自然沒有任何牴觸；以增益目光為作用的，違背了規律就反而有害。「原鏡」第八條。 二 圓界分三百六十度。作徑線自界約行至心，會成一點。圓有定界，則心有定處，而界線之闊狹亦有定處。鏡之圓者，其光線亦然。 【譯文】 圓周分為360度。作出各條徑線，從圓周會聚到圓心，就交會成一點。圓有確定的邊界，圓心就有確定的位置，同時邊界的寬窄也有確定範圍。呈圓形的鏡片，它們的光線也是如此。 三 圓界分三百六十度，大圓與小圓等也。所異者，圓愈小則界愈曲，度愈狹，徑愈短。鏡之圓者，其光線亦然。 【譯文】 圓周分為360度，大圓和小圓是相等的。不同之處在於，圓越小則圓周越曲，尺度越窄，直徑越短。呈圓形的鏡片，它們的光線也是如此。 四 圓兩徑線約行至心則交成角，過心則侈，復歧為二，永不復交。鏡之圓者，其光線亦然。 【譯文】 圓的兩條徑線會聚到圓心就交會成一個角，過了圓心就散開，重新分岔為兩條［射線］，永遠不再交會。呈圓形的鏡片，它們的光線也是如此。 五 物之相射，其線必直。故目正對處，其視瞭然；斜對處，其視眊然〔1〕。目能四顧於物，無不正對。余嘗斜迤車中，不坐起則塗〔2〕過之物不能確見，足征斜對之理。若以管窺，則太斜處並隔於管口而不見。使管外口安一平玻璃，物象雖斜入鏡，而斜對者不能入目也。若凹與凸，則能入目矣。何者？凹能收物使小，凸遠於目，則倒物象而亦小，故皆能斜攝物景。蓋物之所居雖偏，而鏡之環面所對則正，是以環愈甚者，其斜攝之境愈大也。〔3〕 【注釋】 〔1〕眊（mào）然：眼睛失神，視物不清。 〔2〕塗：通「途」。 〔3〕此條堪稱基本原理，開宗明義，表明球面透鏡比平板透明體的視場大，是因為能縮小物像，而且曲率越大，視場也越大。 【譯文】 物體互相照射，那些光線一定是直線。所以眼睛正對的地方，所見清楚；斜對的地方，所見模糊。眼睛能朝四周觀察物體，沒有不正對的。我曾斜靠在車裡，不坐起來則途中掠過的物體看不真切，這足以驗證斜對的道理。如果用一根管來觀察，則太斜之處還要被管口遮擋而看不見。假使在管口安置一塊平玻璃，物像雖然斜著進入鏡筒，但斜對的景物卻不能進入眼睛。如果［安置］凹透鏡或凸透鏡，景物就能進入眼睛了。這是為什麼？因為，凹透鏡能收縮物［像］使之變小，凸透鏡離眼睛較遠時，就能顛倒物像同時也使之變小，所以都能斜著攝取物像。總的來說，即使物體的位置偏離，但透鏡的球面對出去卻是正的，因此球面彎曲越厲害的，斜著攝取的範圍也就越大。 六 凡圓形，以弧而見。弧出於曲線，線愈曲，弧愈深。若同一曲線，平視之而曲淺，側視之而曲深者，視線長短為之也。 解曰： 正圓以九十度為最深。橢比正圓，大徑〔1〕較大，必深；小徑〔2〕較小，必淺；理也。夫橢與正圓，形不同而曲無異勢，九十度既最深，而橢能更深者，正圓之曲有定，橢圓之曲無窮也，故深極可以至於不見〔3〕。而小徑反之，亦無礙於較淺。依顯，凸同，正對視物稍大，側則漸大，可成倒景，視線長短故也。如圖（圖28）： 圖28 辛、戊凸同，而丁戊短如橢小徑，庚子長如橢大徑，甲視己雖同，必變為一深凸、一淺凸矣。 【注釋】 〔1〕大徑：橢圓的長軸。 〔2〕小徑：橢圓的短軸。 〔3〕深極可以至於不見：橢圓長軸端點的曲率趨於無窮時，橢圓的形狀趨於一條直線。 【譯文】 大凡圓形，都是通過弧來顯現。弧產生於曲線，曲線越曲，弧度越深。如果對於同一曲線，正著看去曲度就淺一些，側著看去曲度就深一些，這是視線長短不同造成的。 解： 正圓以90度為最深。橢圓與正圓相比，長軸較大，［長軸方向］必定較深；短軸較小，［短軸方向］必定較淺；事理就是如此。按說橢圓和正圓，形狀不同但彎曲的態勢沒有區別，90度既然已經最深，而橢圓卻能更深，是因為正圓的曲度是恆定的，橢圓的曲率卻可以無窮，所以最深可以達到消失。而短軸的情況與此相反，同樣可以越來越淺。由此推之，同一凸透鏡，正對著看物體則稍有放大，側著看則越側越大，可以成倒像，這是視線長短不同的緣故。如圖（圖28）： 辛和戊是相同的凸透鏡，而丁戊像橢圓的短軸一般短，庚子像橢圓的長軸一般長，同樣是從甲看己，但必定成為一個度數深、一個度數淺的凸透鏡了。 七 弧側成橢，能使凸加深，本章六。此一理也。凸遠於目，能使物見大，此又一理。 夫凸深則見物大，遠目則見物愈大，凹與凸反，故凹深則見物小，遠目則見物愈小。但凸遠目，大極能倒物象而轉小，乃如凹理矣。依顯，凸鏡上下側之，則上下有遠近，而物方者見長矣；使左右側之，則左右有遠近，而物方者見扁矣。若凸之深者，恰值物象將倒處，使上下側之，是上下倒而左右不移也；或左右側之，是左右易而上下如常也，是正面變反面也。推之凹理，側即加深，亦能方者為長、為扁。但凸是側處顯大，凹是側處顯小，似同而實異。又，凹不能倒物，亦無所為正變反矣。（圖29） 圖29 【譯文】 圓弧側起來就變成橢弧，能使凸透鏡的度數加深，本章第六條。這是一種事理。凸透鏡與眼睛拉開距離，能使物體顯得變大，這又是一種事理。 凸透鏡度數深則顯得物體變大，與眼睛拉開距離則顯得物體更大，凹透鏡卻與凸透鏡相反，所以凹透鏡度數深則顯得物體變小，與眼睛拉開距離則顯得物體更小。但是凸透鏡與眼睛拉開距離時，放大到極點就能顛倒物像並轉而變小，這就與凹透鏡性質相同了。由此推之，凸透鏡上下偏側，則上下有遠近差異，方形物體就顯得變長；如果左右偏側，則左右有遠近差異，方形物體就顯得變扁。如果度數深的凸透鏡，正好在物像即將顛倒的位置，使之上下偏側，就會上下顛倒而左右不變；再使之左右偏側，就會左右互換而上下依舊，成了正面變反面。推論到凹透鏡的規律，偏側就會加深，也能使方形變長、變扁。但凸透鏡是側處顯得物像大，凹鏡是側處顯得物像小，似乎相同而其實不同。還有，凹透鏡不能顛倒物［像］，也就沒有正面變反面的情況了。（圖29） 八 圓徑之理，與圓體鏡光線〔1〕同理。而有不同者，圓界與鏡之凸凹相等，則半徑線與鏡光線必不等。何也？ 圓徑線以中心交角為斷，鏡光線以取景收光為憑。收光生於交，而不在交處，故必長於半徑也。圓徑線各因弧而不變，鏡光線兼隨照而生差，故其長短無定也。 【注釋】 〔1〕鏡光線：是鄭復光的一個假說，在正式提出假說之前，已在「原景」第十三條、「原線」第一條和第十條、「原鏡」第八條和第十一條、本條等多次提前使用該概念，詳細的假說將在下條提出。 【譯文】 圓球徑線的道理，與圓球體的鏡光線同理。但不同之處在於，當圓球的周界與鏡片的弧度相等時，半徑線與鏡光線必不相等。為什麼？ 圓球半徑線以圓心處的交角為端點，鏡光線以取影會聚光束為依據。光束的會聚產生於相交，但［會聚點］不在交點上，所以必定比半徑長。圓球半徑線各自按弧度而不變，鏡光線卻還要依據不同的照射而產生變化，所以它的長短是不定的。 九 鏡有光，則有光線。〔1〕唯圓形者，可於取景、借光〔2〕見之。蓋聚眾光於一處，光復極濃，故能見象於空中也。然此雖可見，實不足以為鏡光線。蓋真鏡光線有二： 一出弧背如甲丙乙，則有背交如子，從交侈行子壬與子癸，名弧背光線。（圖30-1） 圖30-1 一出弧面如甲己乙，從面約行甲丁與乙丁，則有面交如丁，名弧面光線甲庚與乙戊。〔3〕（圖30-2） 圖30-2 凡約行皆有交，穿交皆變侈行，愈行愈闊。凸鏡兩弧相背，故有此兩種光線，乃生三限〔4〕。因其順透得光，名順三限。此三限者： 一因光在極遠如日，視徑甚小，函於弧面光線戊庚界內，背距〔5〕丁革甚長，為面交所隔，故隔射〔6〕倒入於鏡甲丙乙。透鏡而出，為背線甲水與乙火所函，不得不約行，約極則成象。此處水火，以目視光，則見恰塞鏡面；以版承光，則見成為倒象，〔7〕而面距如己斗有定度，為第一限。〔8〕（圖30-3） 圖30-3 一因光在極近，恰當面交如丁，交止一點，光體則大，交不能函，且背距甚短，無交可隔，故光體上下丑、寅自出兩線丑甲與寅乙，直射順入於鏡甲丙乙。透鏡而出，為背線甲子與乙子所函，不得不約行，則有背交，穿交乃倒，變為侈行，侈則漸大，遂亦成象。此處任遠如己絲，以目視光，皆見恰塞鏡面；以版承光，皆見成為倒象，而背距丁丙則有定度，為第二限。〔9〕（圖30-4） 圖30-4 一因光在遠近之間如胃丙或畢丙，光體既大如虛危或亢氏，丁之交線不能函光，光不當交，子之視鏡，不能塞滿，於是面交、背交，此兩交分權；面距、背距，斯兩距恰等。此處如昴，以目視光，亦能恰塞鏡面；以版承光，亦能見為倒象，而兩距必皆有定度，為第三限。〔10〕（圖30-5） 圖30-5 第一限因收光成象，名順收限。第二限因展光成象，名順展限。第三限因光象相等，此伸彼縮，迭相消長，名順均限。〔11〕 至於鏡之對光返照，則成折線。原線三。折線所成亦有三限，同此一理，必稍側乃見。〔12〕名側收限、側展限、側均限，〔13〕以資後論。 凸返照即凹，亦有側限；凹不能取景，即無順限，故側三限尤為凹鏡所專賴。 解曰： 凡光射物，中無所隔則直射，中有所隔則隔射。直射則散為明，不見光象；隔射則聚其光，倒呈厥體。故光照孔為直射，穿孔既遠，光線相交，交為之隔，變成隔射。蓋光之邊束於孔之邊，而聚成一交，則上射下、下射上，乃見倒光象，此取景理也。是故，鏡既通光，即無殊孔；凸有線交，即如物隔；光塞鏡，鏡束光，不得不聚成交而見為倒象者，勢固然也。 在順收限，如第三圖。是光居遠處如日，目在交處如斗，見光塞滿。使目不動，移光任遠，則光度應漸小，而塞滿如故。何也？光射丁而函於戊丁庚角故也。蓋光遠極小至一點止矣，而光線交角亦止一點，故光既到角如丁，順鏡散射鏡面，自無不滿矣。此推得順收限之理：因隔射而倒成滿光，因直射而收為光體也。 在順展限，如第四圖。是光居丁處，已無交隔，目在遠處如元或絲，見光塞滿。使光不動，移目任遠，則光度應漸小，隔凸視物，大極則倒，復小而清故也。而塞滿如故。何也？過交而散為午子未角故也。蓋光線穿子則侈，愈遠益闊，自無不滿矣。此推得順展限之理：因直射而入於鏡面，因隔射而展為倒象也。 若光出丁角之外，如第五圖，則不得不隔射，而體非丁角所能函，又不能移鏡光之交，故弧面之線丁戊與丁庚為無權〔14〕，而弧背之線甲室與乙壁乃當令〔15〕。何也？弧背之線愈遠愈侈，雖光體甚大，故罔有弗函者也。夫既函於弧背光線之內，則必變隔射為直射。光既直射鏡面，則透鏡而過，不能不出交而成倒象。必出交而成倒象，則引目近鏡，不能不收象而使不塞滿。此皆移光移目，逐漸生差之故也。 且凡視法，漸遠漸小；凸鏡視法，漸遠漸大。順收限，引光任遠，皆恰塞鏡面，無復大小，故知是光之入交無改移，必穿交隔射也。順展限，引目任遠，皆恰塞鏡面，無復大小，而倒象則漸遠漸大，故知是景之出交成倒象，必光體直射也。 凡光體射鏡，因為光線大力交隔所攝，故變隔射；不為光線大力交隔所攝，故能直射。今順均限，既有光線交隔，則不應直射；而溢出光線界外，則不能隔射。乃毅然決其為直射者，以有弧背光線之大力在，則是弧背光線當令，因使弧面光線亦退處於無權，乃能循弧背線順入鏡面，及透鏡而出，穿弧背線之交，遂能取景。故知是光之出交成倒象，必弧背光線直射也。而引光近鏡無定度，透鏡倒象亦無定度，此伸必彼縮，互為消長。〔16〕又知弧背線攝光直射，不與光體自生之線直射同也。 一系： 凸鏡順收限，其光線雖借光可見，然在巨日之中，亦閃爍不明。其法：宜俟日照暗室，閉門留縫，野馬也，塵埃也，〔17〕以鏡承光，仿佛似之。〔18〕又法：含煙噴之，光線遇煙尤灼然明顯。若凹〔19〕鏡側收限，宜取含光者，光線方濃而易見。 二系： 平鏡透明〔20〕，如物之有孔；對日大光，即如孔之漏日，亦應有交。但鏡大於孔不啻〔21〕倍蓰〔22〕，其交益遠，且無弧面光線攢聚〔23〕一處大力，故取景甚淡，亦無足用，姑略焉。〔24〕 【注釋】 〔1〕這一句概括了整個假說。早在「原光」一章中，將「鏡」定義為「內光體」時，即已表明鏡體自身是一個光體的假設，即鏡體本身有光。這些「光」通常為各種光束，其形狀由鏡體的形狀決定。在「原線」第六條中提出，以光束的側剖面的輪廓線來表示這些光束，稱之為「光線」。對於鏡光，則稱「鏡光線」。 〔2〕取景：此指凸透鏡對平行光透射聚焦。　　借光：此指凹面對平行光反射聚焦，凹面包括凹面鏡表面和凸、凹透鏡相對於光照方向為凹面的表面。 〔3〕透鏡改變光線的方向，使之會聚或發散，現在的解釋模型是折射，鄭復光的解釋模型是「鏡光線」，所以「鏡光線」是一個取代「折射」地位的解釋模型。有人認為上文中的「面交」和「背交」既然對等於現在所謂的焦點，而焦點對於同一枚透鏡是固定的，則「圓理」第八條所謂「鏡光線兼隨照而生差，故其長短無定」是不正確的，此須商榷。古文常以一個概念指各種性質類似的事物，具體含義由上下文確定。所以「交」這個概念，有時指實際光束的會聚點，此時則該交點距鏡片的距離不定，正如按折射模型來解釋，也是隨光源的距離和大小而不同。但鄭復光同時明確規定，每一枚透鏡均有其固定的真鏡光線和鏡光交，其中「面交」對應於物方焦點（前焦點），是很明確的。 〔4〕三限：以下鄭復光將通過實驗，確立關於透鏡成像共軛性質的三個常數，均與焦距相關。鄭復光先後定義了一系列的「限」，在所有情況下，「限」都具有「常數」的意義。 〔5〕背距：不是物距，也不是第一焦距，是物體到前焦點的距離，這個變量在今天看來是不必要的，但鄭復光的「鏡光線」假說將涉及這個變量。詳見以下幾條注。 〔6〕隔射：在「明原」篇「原線」第八條中，鄭復光把《夢溪筆談》中的「格術」的「格」解釋為「隔」，並以划槳和搖櫓作比，表明「隔」就是兩條交叉的直線，因交點固定，起到力學上的支點作用，表現為阻隔，使交點兩邊的方位和運動方向發生顛倒。鄭復光以此正確地解釋了小孔成像，同時認為凸透鏡成實像和小孔成像的原理類似，都是因光線交叉而顛倒。所以「隔射」一詞，意義最終回到沈括的「本末相格」，即光線首尾方位互逆的行進方式，猶言「交叉照射」。 〔7〕這是鄭復光對觀察凸透鏡實像的一個重要描述，此後經常出現。「以目視光，皆見恰塞鏡面」，指不能直接透過透鏡看見物像，只能看見透鏡充滿光亮，必須「以版承光」，用像屏接收實像。版，通「板」。 〔8〕顯然，這個「第一限」是一個特殊的像距（「面距」），其物理意義按今天的話說，就是平行光經凸透鏡成像的結像面在主軸上的位置與透鏡後焦點重合。「斗」就是後焦點（像方焦點）。面距「己斗」（即第一限），就是透鏡的焦距。但是，鄭復光根據自己的鏡光線假說，認為光線方位顛倒是發生在入射到鏡面之前，這在今天看來是不對的。即這是一個重要而正確的實驗，但解釋有問題。以下凡是以鏡光線假說解釋透鏡成像機理之處（包括其他篇章），一般不再一一重複說明。 〔9〕這個「第二限」是一個特殊的物距（「背距」），此時光源經凸透鏡成最大實像。這個物距在數值上無限接近（略大於）透鏡焦距。（物距完全等於焦距時，即不成像，而產生出射的平行光束。）此時的光源位置，即「面交」，就是凸透鏡的前焦點（物方焦點）。 〔10〕此時光源位於物方二倍焦距處，成像於像方二倍焦距處，物距與像距、物高與像高均相等。此「第三限」即為凸透鏡二倍焦距。鄭復光測得為第一限和第二限之和。本來前兩限均為焦距，數值應相等，但鄭復光的測量值為第一限偏大10%，其可能的原因將在「圓率」章的相關注釋中進行分析。 〔11〕至此，鄭復光通過三個表現透鏡成像共軛性質的實驗，確立了他的光學理論中最核心的概念。順收限和順展限均表征焦距，順均限為二倍焦距。三個實驗分別為凸透鏡成最小實像、最大實像和等大實像，一個是物在遠處、像距有定度，一個是物距有定度、像在遠處；一大一小，一收一展；第三個是物和像都在不近不遠處，不大不小；其餘情況一律以這三個為參照，此消彼長。這首先顯示了收、展二限的共軛性，繼而顯示了全過程的共軛性。 〔12〕稍側乃見：是實驗的需要，凹面反射時，如果主光軸方向與入射光方向一致（鄭復光稱為「正對」），則入射光束和反射光束重疊，觀察不到反射光束及其所成的像。因此使鏡片稍側，則入射光束和反射光束之間形成一個以入射點為頂點的夾角。鄭復光在「原光」第十條中已經預先準備了這條知識。 〔13〕顯然，側收限、側展限、側均限分別為任意反光凹面的前後焦距和二倍焦距。其中反光凹面包括凹面鏡，也包括凸透鏡、凹透鏡對光為凹的表面。以圖明之： 圖31 需要注意的是，凹透鏡是第一表面為凹面，入射光束直接在該表面上反射而生產側收限，故其側收限與凹面鏡同；但是，凸透鏡是第二表面為凹面，其側收限的物理意義要複雜得多，入射光先經第一表面折射、再經第二表面反射、再經第一表面折射出來，才生成側收限。關於凸透鏡側收限的進一步研究見「圓率」第一條「凸限全率表」及注。 〔14〕無權：沒有權重，指不起作用。 〔15〕當令：掌權，指起支配作用。 〔16〕至此，鄭復光通過實驗完全確立了透鏡共軛成像的全過程。 〔17〕野馬也，塵埃也：語出《莊子·逍遙遊》，「野馬」意為漂浮的霧氣或水汽。 〔18〕從這條附論明顯看出，鄭復光通過暗室中的散射光觀察到透鏡聚焦光束的形狀，以此為「鏡光線」假說的依據。後面論及的凹面鏡同理。 〔19〕凹：原刻作「門」，誤。 〔20〕平鏡透明：對應於現在所謂「透明」的概念是「通光」，此處的「透明」意為「能透過光明」。　　「平鏡」指平板玻璃之類的平板透明體。稱其為「鏡」則指其形如一枚鏡片。 〔21〕不啻（chì）：不止，不只。 〔22〕倍蓰（xǐ）：又作「倍屣」、「倍徙」，謂數倍。倍，一倍。蓰，五倍。 〔23〕攢（cuán）聚：聚集，聚攏。 〔24〕按：以上是鄭復光根據自己的假說，對凸透鏡成像的機理進行解說。其中正確的部分是通過實驗抓住了交會點和光線交叉顛倒這兩個關鍵，這是接下來確定焦點和成像性質的基礎。但對於光束髮生會聚的原因，鄭復光認為是來自一種強制性約束，他因此提出「鏡光線」假說。根據前面的描述，「弧面光線」和「弧背光線」這兩種「鏡光線」（原文中有時因文言文語氣而簡稱「鏡線」、「光線」、「線」等等）是以鏡面為底面，以焦點為頂點的兩個圓錐，似乎是實際存在的實體，有約束光束使之會聚、相交的能力，兩個圓錐的頂點即焦點叫做「鏡光線交」（因語氣有時簡稱「鏡光交」、「鏡線交」、「線交」、「交」等）。對於凸透鏡能成種種像，鄭復光的解釋是，物體大小和物距的不同，導致與「交」和「交線」的關係不同，物體在「交」前還是「交」後，「交線」能函還是不能函，等等情況的差異，造成最終成像性質的不同。 又按：雖然「鏡光線」假說在現在看來不太合理，但鄭復光還是認真地說出了這個假說的思路脈絡，其中既有實驗基礎，也有思辨成分：1. 受到聚焦光束形狀的啟發，將這個形狀視為實體，並賦予其強迫光線會聚的能力；2. 受到傳統格物課題「小孔成像」有關解釋模式的影響，鄭復光認為「格術」就是錐形光束在錐頂會聚後，發散為另一錐形光束，各光線的位置相對於錐形的中軸發生極性轉換，這的確可以解釋光線的會聚和顛倒兩個行為，作為光路圖恰好是正確的（見圖7、圖13、圖14等），於是鄭復光將這一模型推廣到凸透鏡；3.《遠鏡說》「光路圖」也有影響；4. 鄭復光認為透鏡對光線的作用是由形狀呈圓形所決定的，他發現出射光束的會聚、會聚後的發散，以及焦距長短與曲率的關係等，都與夾著一段圓弧的兩條半徑線相似，因此他斷言，凡圓及其半徑線所具有的性質，「鏡之圓者，其光線亦然」，「圓理」第二、第三和第四條，就是為這種思辨作準備。應該說，這些假說並非空穴來風，也無可厚非，它相當於是取代折射模型的另一個假想模型。在人類漫長而豐富的科學探索歷程中，類似的情況是很多的。大多數科學家的原始著作，除了向後人展示正確結論之外，同樣也要展示探索的曲折性。 【譯文】 鏡片有光，就有鏡光線。其中只有球弧形鏡片，可以在取影［聚焦］和借光［反射聚焦］的情況下觀察到［鏡光線］。原因在於，這些情況是把很多光會聚到一處，光重疊而變得非常濃，所以能在虛空中顯出［光束的］形象。然而這種光束雖然可見，實際上不足以把它當成鏡光線。因為真正的鏡光線是如下兩種： 一種出自弧背如甲丙乙，於是有背交如子，從交點開始發散行進子壬與子癸，命名為弧背光線。（圖30-1） 一種出自弧面如甲己乙，從弧面開始會聚行進甲丁與乙丁，於是有面交如丁，命名為弧面光線甲庚與乙戊。（圖30-2） 凡是會聚都有交點，穿過交點一律變成發散行進，越往前散得越開。凸透鏡的兩個弧面［凸向］相背，所以有這兩種光線，由此生出三限。因為它們順著［光的方向］透射而產生光束，命名為順三限。這三限是： 第一個，由於光源在極遠處如日，視覺尺度很小，被包含在弧面光線戊庚的範圍內，背距丁革很長，光被面交所隔，於是交叉照射而倒著進入鏡面甲丙乙。透過鏡片而出，被弧背光線甲水與乙火所包含，不得不會聚行進，會聚到極點就生成影像。在這個［成像］位置水火上，用眼睛看光束，都看見光恰好充滿鏡面；用板承接光束，都看見光形成倒像，而此時面距如己斗有確定尺度，這就是第一限。（圖30-3） 第二個，由於光源在極近處，正好位於面交如丁，交只是一個點，光源體卻頗大，交線不能包含它，而且背距很短，沒有交點可以阻隔，於是光體從上下丑、寅自行發出兩條射線丑甲與寅乙，直接照射而順著進入鏡面甲丙乙。透過鏡片而出，被弧背光線甲子與乙子所包含，不得不會聚行進，於是產生背交，越過交點就顛倒過來，同時變為發散行進，發散則越來越大，結果也成一個像。這個成像位置在任意遠處如己絲，用眼鏡看光束，都看見光恰好充滿鏡面；用板承接光束，都看見光形成倒像，而此時背距丁丙有確定尺度，這就是第二限。（圖30-4） 第三個，由於光源在不遠不近處如胃丙或畢丙，光體既大如虛危或亢氏，［交會於］丁的交線包含不了光體，光源又不處在交點上，從子處看鏡片，光不能充滿，於是面交和背交這兩個交點分別起作用，面距和背距這兩個距離恰好相等。在這個位置上如昴，用眼鏡看光束，光也能恰好充滿鏡面；用板承接光束，也能看見光形成倒像，而此時這兩個距離必定都有確定尺度，這就是第三限。（圖30-5） 第一限由於是收束光線成像，命名為順收限。第二限由於是展開光束成像，命名為順展限。第三限由於光源和像相等，此伸彼縮，此消彼長，命名為順均限。 至於鏡面對光反射，將會形成反折光線。「原線」第三條。反折光線也能產生三限，道理是一樣的，但一定要稍微偏側才能看見。將它們命名為側收限、側展限、側均限，以備後面論述時使用。 凸透鏡反射就相當於凹面鏡，也有側限；凹透鏡不能取影，就沒有順限，所以側三限尤其是凹透鏡所專門依賴的。 解： 凡是光線照射物體，中間沒有阻隔就直接照射，中間有阻隔就交叉照射。直接照射則散成光亮，不顯現光源的像；交叉照射則把光源的光會聚起來，倒著呈現它的形狀。所以光照射小孔是直接照射，穿過孔之後到了較遠處，光線相交，交點將它阻隔，變成交叉照射。光束的邊受到小孔的邊約束，從而會聚成一個交點，上邊的光就射到下邊、下邊的光就射到上邊，於是呈現顛倒的光源的像，這就是取影的原理。因此，鏡片既然透光，就跟小孔沒有差別；凸透鏡有光線交，就如同有東西阻隔；光充滿鏡片，鏡片約束光，不得不會聚成交點而呈現倒像，這是必然的態勢。 對於順收限的情況，如第三圖所示。此時光源處於遠處如日，眼睛在交點處如斗，看見的是光充滿鏡面。使眼睛不動，把光源逐漸移到遠處，則光源的［視角］尺度應該逐漸變小，然而卻仍然充滿鏡面。這是為什麼？是光束射到丁點同時又包含在戊丁庚角之內的緣故。最遠的光源也就小到變成一點為止，而鏡光線的交角也只是一個點，所以光束到了這個交角如丁，順著鏡光線散開入射到鏡面，當然就不會不充滿了。由此推出順收限的原理：［入射時］因交叉照射而顛倒形成充滿鏡面的光，［出射時］因直接照射而收束成光源的形狀。 對於順展限的情況，如第四圖所示。此時光源處於丁處，已經沒有交點阻隔，眼睛在遠處如元或絲，看見的是光充滿鏡面。使光源不動，把眼睛逐漸移到遠處，則光源的［視角］尺度應該逐漸變小，透過凸透鏡看物體，放大到極限就變成倒像，重新變得小而清晰。然而卻仍然充滿鏡面。這是為什麼？是越過交點之後散開成午子未角的緣故。鏡光線穿過子點就發散，散得越遠越開，當然就不會不充滿了。由此推出順展限的原理：［入射時］因直接照射而進入鏡面，［出射時］因交叉照射而展開成倒像。 若光源越出到丁角之外的情況，如第五圖，此時光束就不得不交叉照射，而且光源體不是丁角所能包含，又不能改變鏡光線的交點，因此弧面的鏡光線丁戊與丁庚變得不起作用，弧背的鏡光線甲室與乙壁於是處於支配地位。這是為什麼？因為弧背的鏡光線越遠越發散，即使光體很大，也自然沒有包含不下的。既然包含在弧背光線之內，則必定變交叉照射為直接照射。光既然直接射到鏡面，那麼穿過鏡片之後，就不能不越出交點而變成倒形。既然必定越出交點而成倒形，那麼使眼睛靠近鏡片進行觀察時，光就不能不收縮形狀而使其不能充滿鏡片。以上情況都是出於移動光源或眼睛的位置，逐漸產生變化的緣故。 而且一般的透視規律，是越遠越小；凸透鏡的透視規律，卻是越遠越大。順收限的情況是，把光源任意移遠，光始終剛好充滿鏡面，不再有大小變化，由此可知，此時光束恆定地進入交點，必定在穿過交點之後交叉照射。順展限的情況是，讓眼睛任意移遠，都看見光剛好充滿鏡面，不再有大小變化，而倒像則越遠越大，由此可知，此時影像越出交點成倒像，必定是光束直接照射。 凡是光束射向鏡片，如果受到鏡光線強力交隔的控制，就會變成交叉照射；不受到鏡光線強力交隔的控制，就能直接照射。現在順均限的情況是，既然有鏡光線強力交隔，就不應該直接照射；但是光源體溢出到鏡光線的範圍之外，則無法交叉照射。光束最終之所以毅然決定直接照射，是因為有弧背光線的強力作用存在，結果是弧背光線處於支配地位，因而使弧面光線同時退居不起作用的地位，這才能夠沿弧背光線順著進入鏡面，透過鏡片出來之後，穿越弧背光線的交點，於是能取影成像。由此可知，此時光束越過交點成倒像，必定是弧背光線直接照射。而且使光源靠近鏡片沒有限度，透過鏡片的倒像也沒有限度，此伸必定彼縮，互為消長。還可以得知，弧背光線控制光束直接照射，與光源自己發出的光線直接照射是不同的。 一系： 凸透鏡順收限，它的光線雖然通過反光可以觀察到，但在強烈的日光中，也是閃爍不清。［觀察］法：應該等陽光照進暗室，關門留縫，在水汽和灰塵中，讓鏡片迎著光照，所見大約與順收限光線相似。另一［觀察］法：含一口煙噴出去，光線碰到煙霧更加清晰明顯。對於凹鏡側收限，最好是採用凹面鏡來觀察，鏡光線才濃密而易見。 二系： 透明的平板鏡片，就如同有小孔的物體；將它對著強烈日光的效果，就跟小孔滲漏日光相似，也應該形成交會。只是平板鏡片大於孔不止幾倍，其交點更加遠，而且沒有弧面光線緊密收攏的強力作用，所以取影［所成之像］很淡，也沒什麼用處，姑且從略。 十 側三限與順三限，皆同一日光穿孔之理，而有不同者，其勢異也。故以其同而言，不過一格術耳。而以其異而言，則鏡與孔異。孔之交在背光面，鏡之交在向光面。不惟此也，即順限與側限亦異，順限長而側限短。不惟此也，即收限與收限亦異。光小約行，而光大則侈矣。 論曰： 順收限，無論光大小，距鏡既遠，皆以約行入交，過交復侈入鏡，及其穿鏡而出，則視光體大小為收光之大小。前解皆以約行立論者，緣所舉者只日與燈。燈不過寸許，日雖大，視徑本《曆書》。實小，取景皆不出一二分耳。設於室中取庭心之景，則鏡徑一寸，景徑可二三寸，勢必侈行矣。然而仍以收限名者，景體必小於光體故也。展限則否。惟均限景亦較小，而名均者，以其在未收未展之間，而兩距又等，故稱均焉。 【譯文】 側三限和順三限，同樣都是一個日光穿孔的道理，然而有不同之處，那是它們的具體情勢有差異。因此從它們的相同點來說，不外乎就是一個格術而已。而從它們的差異來說，鏡片和孔是有區別的。小孔的光線交點在背光的一面，透鏡的光線交點在向光的一面。不僅如，就是順限和側限也有區別，順限長而側限短。不僅如此，就是收限和收限也有區別，光源體小時［出射光束］會聚，光源大了就會發散。 論： 順收限，無論光源是大是小，既然距離鏡片較遠，就都按會聚行進進入交點，越過交點又發散行進進入鏡面，穿過鏡片出去之後，就要看光源體的大小來決定會聚光的大小。前面的解說都以會聚行進來立論，是因為例舉的光源只是太陽和燈。燈不過一寸來長，太陽雖然大，視徑根據《曆書》。其實不大，取影［所得之像］不超過一二分。假使在室內觀察庭院的景物，那麼當鏡片直徑為一寸時，影像尺度可以達到二三寸，這就勢必要發散行進了。但是仍然稱之為收限，是因為影像的大小必定小於發光體的大小。展限則不是這樣。然而均限的影像也較小，卻稱之為「均」，是因為考慮到它處於未收未展之間，而兩個距離又相等，所以就稱為「均」。 十一 取景之法，於取景處置目，鏡中光象必見塞滿，〔1〕不滿則取景不真，未到限故。然亦有不同者：均一滿光，順收限視光體不清，灼灼射目而已；順展限則燈體、燈心皆一一可辨者，何也？ 蓋展限短於收限，若九與十，適合鏡光線交，乃視物最大處。收限較長，則大極將昏處也。均限更長，倍鏡光線交。固無論已。 【注釋】 〔1〕按：人眼看見凸透鏡鏡面被「光象」塞滿的現象，實際上是遠處景物經透鏡所成縮小實像（包括平行光的聚焦光斑）落在了人眼前焦點附近，因而被人眼折射成平行光，或會聚點落在視網膜之後很遠的光束，因此人眼看不見光源的像，只看見「滿光」，而且眼睛的觀察位置一定是在透鏡縮小實像的位置附近。在其他情況下，人眼都能透過透鏡看見光源的各種像。這一類條目反映了鄭復光的科學研究的一大特色，即通過細緻的實驗觀察得出準確的觀察結論。但鄭復光之所以重視這一現象，是因為他猜測「塞滿」與否，關係到成像的清晰度，並據此作出很多解釋，在今天看來不太合理。 【譯文】 對於取影模式，使眼睛位於取影成像的位置，必定見到鏡片中光源的像是充滿的，不滿則所取的影像不真切，這是沒有達到［某個確定的］限的緣故。但又有不同情況：都是充滿的光，順收限情況下看發光體是不清楚的，只有刺眼的強光而已；順展限情況下卻是燈的形狀、燈心都一一可辨，這是為什麼？ 展限比收限短，大約9比10，正好吻合鏡光線交，是看物體顯得最大的位置。收限較長，則處於最大而即將模糊之處。均限更長，鏡光線交翻倍。自然不用說了。 十二 取景之法，凸鏡愈深，收光愈小，展光愈大。蓋鏡光線交，凸深則角〔1〕大，而距〔2〕長則凸淺，故角大者則展物象愈大，距短者則收物象愈小，各有其比例耳。 【注釋】 〔1〕角：此指「鏡光線交」對鏡面的張角，其角度隨焦距的縮短（度數變深）而變大。 〔2〕距：指焦距，即鏡光線交距鏡片的距離，焦距長則度數淺。 【譯文】 取影的模式，凸鏡［度數］越深，會聚光束就聚得越小，發散光束就散得越大。原因在於，對於鏡光線交，凸度深則張角大，而距離長則凸度淺，所以角度大的展開物像就越大，距離短的會聚物像就越小，各有各的比例。 十三 兩物相射之線，有平行、侈行、約行三種。平行姑可不論。侈、約二線，平鏡亦有之。特在平鏡其侈行必因乎物大，其約行必因乎物小，適稱本形矣。至凸與凹，則其侈約兼，視鏡之環面生差；能強物形而大小之，則其鏡線交所生諸限為之也。 【譯文】 兩個物體互相照射的光線，有平行、發散、會聚三種。平行暫且可以不論。發散、會聚這兩種光線，平板透明體也是有的。只不過對於平板透明體，發散必定是由於物體大，會聚必定是由於物體小，才能與本來的形狀相稱。至於凸鏡和凹鏡，它們兼有發散和會聚，是根據鏡片的弧度不同而產生變化；能迫使物形變大變小，則是它們的鏡光線交所產生的那幾個限作用的結果。 十四 鏡有凸心、凹〔1〕心，形之異也。鏡有透照、對照，用之異也。形同者，異用則異理。形異者，異用則同理。是故，通光凹與含光凹、通光凸與含光凸皆同形，對照無異也，而透照與對照則異。通光凸與含光凹、通光凹與含光凸皆異形，對照固異矣，而透照與對照則同。然通光者必有透視之反形〔2〕，又有反映之虛形〔3〕，是凹中有凸，凸中有凹，對照必非一景，第通光專以透照為用，可姑置而弗論焉。 【注釋】 〔1〕凹：原刻作「門」，誤。 〔2〕透視之反形：比如雙凸透鏡的兩個表面都是凸面向外，但從任意一面透出的另一面，形如凹面，故稱「反形」。 〔3〕反映之虛形：指透鏡的兩個表面互相成對方的反射虛像，作用如同面鏡，這是透鏡常數「側三限」的實驗基礎。 【譯文】 鏡片有凸心、凹心，這是形狀的差異。鏡片有透射、反射，這是作用的差異。形狀相同的，作用不同則性質也不同。形狀不同的，作用不同則性質相同。因此，凹透鏡和凹面鏡、凸透鏡和凸面鏡都是形狀相同，反射是沒有區別的，但一個透射一個反射就不同。凸透鏡和凹面鏡、凹透鏡和凸面鏡都是形狀不同，反射當然是不同了，可一個透射一個反射卻是相同的。然而透明體必定有透視的反形，又有反射的虛形，於是凹中有凸，凸中有凹，［兩面］對照必定不止一個影像，只不過透鏡以透射為作用，這些可以暫且擱置不論。 十五 凹鏡透照，見物恆小，同理者亦然。凸鏡透照，見物能大，同理者亦然。凸鏡對照，見物恆小；凹鏡對照，見物能大，同理者亦然。 【譯文】 凹透鏡透照，總是顯出物體變小，性質相同者也一樣。凸透鏡透照，能顯出物體變大，性質相同者也一樣。凸鏡反射，總是顯出物體變小；凹鏡反射，能顯出物體變大，性質相同者也一樣。 十六 凸鏡透照大物形者，以有鏡線交能生諸限故也。凡交內能大物者，當交則大極，過交漸昏，昏極至於不可見，復漸清而倒，漸清漸小矣，〔1〕同理者亦然。凡鏡線有交者，照物能倒物象，對光亦能取景，同理者亦然。 【注釋】 〔1〕這是一個典型的人眼直接觀察凸透鏡成像的全過程實驗。先是物體位於焦距以內，看見放大虛像（「交內能大物」）；增大物距無限接近焦點時，成最大虛像（「當交則大極」）；過了焦點，虛像消失，透鏡與眼睛聯合所成之像落在視網膜之前，為模糊的正立放大像（「過交漸昏」）；透鏡所生縮小實像落在眼睛前焦點上時，眼睛只能看見平行光（「昏極至於不可見」），此後是透鏡和眼睛聯合生成越來越小、越來越清晰的倒像（「漸清而倒，漸清漸小」）。 【譯文】 凸透鏡透照能放大物形，是出於有鏡光線交能產生各個限的緣故。凡是在交點以內能放大物形的，正處於交點就大到極限，過了交點就逐漸模糊，模糊到極點以至於不可見，然後又逐漸清晰並且顛倒，接著就不斷清晰同時不斷縮小，性質相同者也一樣。凡是鏡光線有交點的，映照物體能顛倒物像，迎著光也能［聚焦］取影，性質相同者也一樣。 圓凸〔1〕 一 鏡本平面，滂沲四〔2〕，乃成凸形。故謂凸在中央、以次漸殺者，指凸之一鏡言則可，指凸之真形言則大謬矣。何者？ 凸鏡多截球體，故中厚而邊殺，然其真形實出於球。球，自圓心至界，任作半徑線，無度不等，則何處不凸？如有一點未凸，即不中規，而凸不可用矣。 【注釋】 〔1〕圓凸：球面透鏡中的凸透鏡。 〔2〕滂沲（pāng tuó）四（tuí）：形容四周向下崩塌。《周髀算經》：「北極之下，高人所居，六萬里，滂沲四而下。」滂沲，雨大貌。，倒下，崩潰，降下。 【譯文】 鏡片本來是平面，四周崩塌下去，就成了球凸的形狀。因此，說它凸起部位在中間、［外圍］相繼削減，相對一枚鏡片而言是可以的，如果是相對球凸的真形而言就大錯特錯了。為什麼？ 凸鏡多半是從球體截取的，所以中間厚而周邊削減，然而它的真形來自球體。球體，從球心到邊界，任意作半徑線，沒有［哪一條］尺度不相等，那麼何處是不凸的呢？如果有一點沒有凸起，就不吻合圓規，而凸鏡就不能用了。 二 凸之淺者，宜無過一度；其深者，宜無過三百六十度。然鏡之鏡物，未有用球者，特截其中一弧而已。欲較其淺深，量取則難，惟以順收限為主。圓理九。今業鏡者謂之「幾寸光」。凸愈淺，限愈長；凸愈深，限愈短。故又名以凸深限。今以球徑一寸，驗其深限，不止一分。依顯，凸鏡一寸，深限無一分者，不然能無橢乎？故欲求作凸鏡，深限一二分則非小不能。 【譯文】 淺的凸透鏡，最好不小於1度；深的，最好不超過360度。但是用鏡片照物體，沒有用球體的，只是截取其中一個弧面而已。要較量它的深淺，測量起來比較難，只能著重憑藉順收限。「圓理」第九條。當今經營鏡片業的人稱之為「幾寸光」。凸透鏡［度數］越淺，［順收］限越長；凸透鏡［度數］越深，［順收］限越短。所以又稱［順收限］為凸透鏡的深限。取球徑1寸的凸透鏡，測量它的深限，不止1分。由此可知，球徑1寸的凸透鏡，沒有深限是1分的，否則豈不成了橢圓？所以要製作凸透鏡，深限要短到一二分就只能做得小才行。 三 通光凸，有一凸，有兩凸。兩凸者，兩面皆凸，必合兩面為力。須分別論之。今一凸者名單凸，兩凸相等者名雙凸，兩凸不等者名畸凸。〔1〕 【注釋】 〔1〕鄭復光對凸透鏡的分類跟現代光學基本一致，此處的單凸、雙凸、畸凸分別對應於現在所謂的平凸透鏡（plano-convex lens）、對稱雙凸透鏡（symmetrical double-convex lens）、不對稱雙凸透鏡（asymmetrical doubleconvex lens）。 【譯文】 凸透鏡，有一凸，也有兩凸。所謂兩凸，就是兩面都凸，必定是兩面合起來起作用。［各種情況］需要分別進行論述。現在將一凸的命名為單凸，兩凸相等的命名為雙凸，兩凸不相等的命名為畸凸。 四 凡通光者，受光有兩景。一為面受光，一為背受光所透。鏡資二。故凸之面與含光凸等，其背所透與含光凹等。然鏡能鑒景，凸亦有景。原景九，原鏡九。凸反景成凹象，凹翻轉又成凸象。故對照雖有凹理，而透照仍為凸用也。 【譯文】 凡是凸透鏡，都因反光而有兩個影。一個由正面反光，一個由背面反光映照出來。「鏡資」第二條。所以凸透鏡的正面相當於凸面鏡，它的背面相當於凹面鏡。而且鏡面能照出影像，凸面也有影像。「原景」第九條，「原鏡」第九條。凸面的反面影像呈凹形，凹形翻轉又呈凸形。所以反射時雖然具有凹鏡的性質，透射時仍然是凸鏡的作用。 五 凸鏡光線因環面生交，故其透出能收光為順收限。又緣鏡能發光，側出倒射亦能收光為側收限。此兩者因環面為大小，亦因光體為大小；因環面為長短，亦因遠近為長短。〔1〕至其定限〔2〕，則側收限必短於順收限者，透照與對照其勢殊也。 【注釋】 〔1〕按：正如「取景」一詞的多義性一樣，此書常以一詞用於多種類似情景。順（側）收限雖被定義為焦距，但有時也泛指一般的會聚生成縮小實像的情況，順（側）展限有時也指一般的投射放大實像的情況。此處稱順收限的長短因光源的遠近而改變，系泛指。而對應於透鏡「深力」的順收限，則確為常數，因此才有「圓率」一章中的那些確定的數量關係。 〔2〕定限：即有「常數」的含義。 【譯文】 凸透鏡的鏡光線因球面而形成交會，所以透出時能收斂光束形成順收限。又由於鏡體能發［反射］光，從側面出來反向行進也能收斂光束形成側收限。這兩種收限的大小取決於球面，也取決於光源；其長短同樣既取決於球面，也取決於光源的遠近。至於它們作為定限，則側收限一定比順收限短，這是由於透射和反射的具體情勢不一樣。 六 凸鏡三種，各具兩面，立名以資後論。雙凸，兩面既等，任以一面名正面，其一面即名余面。畸凸，一深一淺，深面名正面，則淺名副面。單凸，一凸一平，而平面亦有凸景，凸面名正面，則平名景面。凡雙凸，正面側收限一，余面亦一，其順收限四。單凸，正面側收限一，景面必三，〔1〕其順收限六。故側收與順收兩限相求之法，皆以正面為主。雙凸以四為率〔2〕，單凸以六為率。側求順，則以其率乘之；順求側，則以其率除之。唯畸凸正面與副面無一定之分數〔3〕，則無一定之率數；須先以正求副〔4〕，得其分數，乃可求其率數。〔5〕詳見下條。 論曰： 鏡面既兩，如單凸，甲面金石絲，乙面竹甘匏，〔6〕則甲面有金木絲對弧景，對弧而生，名對弧景。此甲面景也。乙面既受光，有竹土匏對弧景，但形為竹土匏，必縮而附於竹甘匏平面內。〔7〕原景十。又，乙面有竹土匏弧景，亦必反照，而有竹革匏對景景，對景而生，名對景景。此乙面景也。然則一凸面三凸景，共成四凸。（圖32左） 圖32 依顯，雙凸，則甲面有子卯丑景，乙面有午辰未景，而子申丑、子戌丑、午亥未、午酉未，共成八凸。景各有所附，不可圖，〔8〕以橫書為識別。透照之虛景無權者，其力一，則對照之虛景當權者，其力必八。兩面為八與一，則測其一面必四與一，故率用四也。（圖32右） 單凸，凸一而景三。故透照之虛景無權者，其力一，則對照之當權者，其力三。然單凸之凸面，視雙凸減半，則單凸之力亦必減半。力減半者，限必加倍，故率用六也。力三，加倍得六。〔9〕 雙必合兩面為力，推其測數，准七五折。力八與六若一百與七五。 又論曰： 雙凸之凸，所以知其有八者，證以單與畸也。蓋鏡以光為用，而光照於面，面雖無厚，能含遠近各景，原景十。故物有幾色，則鏡之面亦幾形。鏡有兩面，通光面透背景，故一鏡具有兩面。則物之景見兩象。蓋畸凸與兩單相併之理同，而畸之向光為一面，畸之出線〔10〕為一面，其凸力八，皆附於出線之一面。兩單相併，其向光為一面，其出線則兩面，向光之面不能出線。故凸力亦八，乃分附於出線之兩面。是以推算之理，原可通於畸，而推算之法，則畸為又別也。 如一圖（圖33上），為畸。乙向光，則丑受景，出午線，而乙不與。丑向光，則乙受景，出庚線，而丑不與。 圖33 二圖（圖33下），為兩單並。其乙與丑無異也，然各有一正面、一景面受光，而有長短兩種線矣。 【注釋】 〔1〕單凸平面向光時，第二表面為向光的凹面，故能反射聚焦，產生側收限；而凸面向光時，凸面的反射光發散，第二表面為平面，為什麼也有側收限？然而這個側收限是實際存在的，光線先由第一表面（凸面，即正面）折射進入鏡體，在第二表面（平面，即影面）上反射，再經第一表面折射出來而會聚。如圖： 圖34 可根據「圓率」第一條注〔2〕中的（1）式計算出，，S影=r，即正面側收限S正為1時，影面側收限S影為3。由此可見，鄭復光對透鏡的定量研究是很有深度並非常精確的。 〔2〕率：在中國古算中一般指與他數相關的數。比如此處，雙凸透鏡的兩面側收限之比為1:1時，順收限是側收限的4倍，這是一組固定關係，有「定律」之意。「以四為率」客觀上相當於雙凸透鏡的側、順限之間的換算率為4，即順限是側限的4倍。同理，單凸的換算率為6。 〔3〕分數：此處指透鏡兩面側收限的比例關係，如雙凸為1:1，單凸為1:3。畸凸則為二者之間的任意比值，故「無一定之分數」。 〔4〕以正求副：指以正面側收限除副面側收限，求得倍數。見下條。 〔5〕此條和以下幾條，論及凸透鏡除了具有透射的焦距（順收限）之外，兩個外表面同時還有反射面鏡的作用，因此也有反射面鏡的焦距（側收限）且同一鏡片的兩種焦距之間有確定比例，可以互求。鄭復光通過實驗和插值法得出互求公式，並以換算率表的方式表示。這種數量關係，是鄭復光「算術光學」的一大創造，具有很高的合理性和正確性，詳見「圓率」章及相關注釋。 〔6〕如之前使用「天干」、「地支」、「二十八宿」等一樣，此處以「八音」（金、石、土、革、絲、竹、匏、木）加「五味」中的「甘」為標註符號。 〔7〕鄭復光一方面完全清楚反射影像的位置對稱於物體，另一方面又依據中國古代「內光」「含影」的學說，認為像的位置「含」在鏡面之內。 〔8〕此指各個虛像各自附著在鏡面上而產生重疊，無法在圖示中適當地加以分別。 〔9〕在以上論述中，鄭復光試圖解釋，為什麼同一枚透鏡的順收限比側收限長，且有確定換算率。單凸的換算率為4，即單凸的順收限是側收限的4倍，亦即透射深力為反射深力的四分之一。雙凸的換算率則為6。鄭復光在實驗中發現凸透鏡的兩個表面互相反覆成反射影像，他認為這些影像對反射的深力有貢獻，而對透射沒有貢獻。於是通過如上一系列猜想，對「單率4」和「雙率6」作出解釋。 按：此條反映出《鏡鏡詅痴》的基本狀況：豐富和精細的實驗，難能可貴的定量規律，缺乏折射模型的困境。由上文可以注意到：1. 準確地觀察到透鏡的兩個表面互相反覆成像的現象。2. 順收限和側收限之間的換算率是正確的（詳見「圓率」第一條及注）。3. 將凸透鏡透射聚焦（順收限）和內表面反射聚焦（側收限）的聚光能力不同的現象，解釋為多重影像的作用，這與現代幾何光學從折射和反射角度作出的解釋不符。 〔10〕出線：發出光線，但該光線特指形成側收限的光線，即反射聚焦光束的兩條輪廓線。 【譯文】 三種凸透鏡，都有兩個表面，分別確立名稱以備後面論述時使用。雙凸透鏡，兩面既然相等，將任意一面叫做正面，另一面就叫余面。畸凸透鏡，一面度數深，一面度數淺，度數深的一面叫做正面，度數淺的一面就叫副面。單凸透鏡，一面凸一面平，但平面也有凸的反影，凸面叫做正面，平面就叫影面。凡是雙凸透鏡，正面側收限為1時，余面也是1，相應的順收限為4。單凸透鏡，正面側收限為1時，影面必定是3，相應的順收限為6。所以側收和順收兩個限互求的規則，一律以正面為準。雙凸透鏡以4為換算率，單凸透鏡以6為換算率。通過側收限求順收限，就以換算率乘側收限；通過順收限求側收限，就以換算率除順收限。然而畸凸透鏡的正面和副面沒有一定的比值，［順限和側限之間］也就沒有一定的換算率；必須先以正面側收限除副面側收限，得到兩面的比值，才可以求它的［順限和側限］換算率。詳見下條。 論： 鏡片既然有兩個表面，以單凸透鏡為例，甲面為金石絲，乙面為竹甘匏，則甲面有金木絲對弧影，對稱於弧面而生，所以叫對弧影。這是甲面的影像。乙面既然反光，就有竹土匏對弧影，只不過形狀是竹土匏，實際上一定收縮而附著在竹甘匏平面內。「原景」第十條。另外，乙面既然有竹土匏弧影，也一定反射成像，而形成竹革匏對影影，對稱於影像而生，所以叫對影影。這是乙面的影像。這樣的話，就是一個凸面有三個凸影，一共形成四個凸面。（圖32左） 顯然，如果是雙凸透鏡，則甲面有子卯丑影，乙面有午辰未影，繼而［反射生成］子申丑、子戌丑、午亥未、午酉未，一共形成八個凸面。這些影像各自附著［在相應的表面上］，無法分別圖示出來，以橫放的符號加以辨別。透射時虛影不起作用，深力為1，那麼反射時虛影起作用，深力必然是8。兩面［加起來］是8比1，那就可以推測出單是一面必定是4比1，因此把4作為換算率。（圖32右） 單凸透鏡，凸面有一個而虛影有三個。所以透射時虛影不起作用，深力為1，那麼反射時［虛影］起作用，深力是3。但是單凸透鏡的凸面，相對於雙凸透鏡要減半，於是單凸透鏡的深力也必定減半。深力減半，收限必定加倍，所以把6作為換算率。深力為3，加倍得6。 雙凸透鏡必定是兩面一起合成深力，推算它的數值，折合七五折。深力8比6相當於100比75。 又論： 雙凸透鏡的凸面，之所以知道有八個，是通過與單凸透鏡和畸凸透鏡對照求證而得。鏡片以光為作用，而光是照在面上，面雖然沒有厚度，但能含納各種距離的影像，「原景」第十條。所以物體有多少種，鏡面上就有多少個形象。鏡片有兩個面，透鏡正面映出背面的影像，所以一個鏡片具有兩面。物體的影像就會出現兩個。畸凸透鏡在性質上等同於兩個單凸透鏡合併，然而畸凸透鏡朝著光的是一面，它發出光線的是另一面，它的凸力為8，都附著在發出光線的一面。兩枚單凸透鏡合併，它朝著光的是一面，發出光線的卻有兩面，朝著光的面不能發出光線。所以凸力也是8，於是分別附著在發出光線的兩個面。因此，推算的原理，本來可以和畸凸透鏡相通，但推算的規則，畸凸透鏡卻是另一種。 如一圖（圖33上），為畸凸透鏡。乙面朝著光，則丑面反射影像，發出［會聚於］午的光線，乙面不起作用。丑面朝著光，則乙面反射影像，發出［會聚於］庚的光線，丑面不起作用。 二圖（圖33下），為兩枚單凸透鏡合併。乙面和丑面［與畸凸透鏡的情況］沒有差別，但各有一個正面、一個影面發生反射，就有了長短不同的兩種光線。 七 畸凸正面一寸，其副面自可任長之。然長至三寸則為單，短至一寸則為雙，不成畸矣。故雙與單即為畸凸限兩界，而其率亦可推求。其法：先以正除副，得其倍數。夫雙凸余面得正面一倍者，其率為四；單凸景面得正面三倍者，其率為六，則畸凸副面得正面二倍者，其率必五。蓋一倍與三倍之中數為二倍，而四與六之中數則五也。然則由二倍而減至一倍一者，其率必為四一〔1〕；增至二倍九者，其率必為五九可知也。〔2〕余仿此求之。 解曰： 以數明之。如單凸，正面側限一寸，順限六寸。若並一單，使正面側限二寸，則順限必加深而殺於六寸矣。以推之畸，將毋同乎？然兩單相併，其側限是分測所得，畸正面與副面是合測所得，正、副聯體，舉一併雙。設平其一，則限變長。故並兩單以證畸，可以明加深之理。而用以求率，則畸與雙、單，例自相通。而兩單相併，另為一支。詳後「圓疊」。 【注釋】 〔1〕「四一」和下面的「五九」是古代對小數的寫法，意為4.1和5.9，而非41和59，後者則稱「四十一」和「五十九」。 〔2〕以上雙凸透鏡和平凸透鏡的焦距（順收限）和內表面反射焦距（側收限）之比，是實驗測量的準確數值；不對稱雙凸透鏡的比值用線性插值法計算。詳見「圓率」第一條注釋。 【譯文】 畸凸透鏡的正面［深限］為1寸時，副面本來可以有任意長度。但是長到3寸就成了單凸透鏡，短到1寸就成了雙凸透鏡，不成其為畸凸透鏡了。所以雙凸透鏡和單凸透鏡就為畸凸透鏡限定了兩頭的界限，同時它的換算率也可以推求。其方法是：先以正面［側收限］除副面［側收限］，得到它們的倍數。雙凸透鏡的余面和正面為1比1時，換算率為4；單凸透鏡的影面為正面的3倍時，［順限和側限］換算率為6，則畸凸透鏡的副面為正面的2倍時，換算率必為5。因為，1倍和3倍的中間數是2倍，而4和6的中間數就是5。這樣的話，就可想而知，從2倍減少到1.1倍時，換算率必為4.1；增加到2.9時，換算率必為5.9。其餘情況仿照這個規則來求取。 解： 以實際數據來說明。設有一單凸透鏡，正面側［收］限為1寸，順［收］限為6寸。如果把它和另一枚單凸透鏡疊在一起，使正面側［收］限變為2寸，則順［收］限必定加深而小於6寸了。把這種情形推廣到畸凸透鏡，難道會有不同嗎？只不過兩枚單凸透鏡疊合，兩個側［收］限是分開測量所得，畸凸透鏡的正面和副面［側收限］是合在一起測量所得，正、副兩面連為一體，拿起其一就兼有一雙。假設把它的其中一面削平，限就變長。所以疊合兩枚單凸透鏡來求證畸凸透鏡，可以明了加深的道理。而用來求換算率，則畸凸透鏡與雙凸透鏡、單凸透鏡，規則自然相通。至於兩枚單凸透鏡疊合，另是一個話題。詳見後面的「圓疊」章。 八 凸鏡線不可見，借光原光三。乃見。一在發光，原光三。一在暈光，原光十八。皆於取景征之。〔1〕 解曰： 發光兼含光、通光鏡兩種而言。〔2〕取景者，側收限所用也。如單凸，以平面對光體，或日或燈。稍側之，以紙蒙板片，取其潔白，或白板亦無不可。切鏡稍離，用承其光，漸離漸小，小極即見倒光象，是為側收限。過限漸大而淡，無復光象，徒發光而已。（圖35） 圖35 暈光專指通光鏡一種。取景者，如單凸，以凸面正對光體，板承其下，切鏡漸離，鏡透之光鏡圓則圓，鏡方則方，光隨乎鏡，則方圓不等，皆同鏡形。漸離漸小，小極即見倒光象，是為順收限。過限漸大而淡，無復光象，與側收限同。再離漸暗，至倍限則見鏡黑景，原景九，原鏡九。更遠則黑景外見虛光，愈遠愈大，此暈光也。〔3〕緣日大而遠，故景與鏡略相等。若光小於鏡，則景漸大。若光大而近，則景漸小。原景六。而暈光則恆大者，出於鏡線侈行故耳。凡此皆諸凸所同，專言單凸者，取其於收光之理易見也，觀圖自明。依顯，光線必有鏡線為之根。（圖36） 圖36 【注釋】 〔1〕鄭復光認為一切光學系統必借光，因為它們不是自己發光的「本體之光」，只有在借光之後才發生光學行為。此處的「發光」則專指反射。「暈光」，按下文，指透鏡被投影時的半影區。　　「取景」一詞也在此明顯表現出多義性，既專指聚焦，也泛指一般的取得影像的行為。 〔2〕此指反射聚焦成像有反光鏡反射和透鏡表面反射兩種。 〔3〕此時像屏（板）上所見不是光源的像，而是鏡片的投影。「黑影」為本影，「虛光」為半影。 【譯文】 凸透鏡的鏡光線是看不見的，通過借光「原光」第三條。才能看見。一種情況是發［反射］光，「原光」第三條。另一種情況是暈光，「原光」第十八條。都是在［聚焦］取影的情況下驗證它的跡象。 解： 發［反射］光同時指反光鏡和透鏡而言。［聚焦］取影的情況，為側收限所依憑。以單凸透鏡為例，使平面對著光源，太陽或燈。稍微偏側，把紙蒙在板上，目的在於使板潔白，或者用白色的板也行。把板貼近鏡片然後稍微離開，讓它承接［鏡片透出的］光，隨著距離逐漸加大，［光斑］逐漸變小，小到極點時就呈現光源的倒像，這就是側收限。過了這個限就逐漸變大同時變淡，不再顯得是光源的像，只是發出光束而已。（圖35） 暈光專指透鏡一種。取影的情況，以單凸透鏡為例，以凸面正對光源，板承接在下面，從貼近鏡片開始逐漸離開，鏡片透出的光鏡片為圓形則光斑也圓，鏡片為方形則光斑也方，光斑與鏡片保持一致，於是不論方圓，都跟鏡片形狀相同。隨著距離逐漸增加而逐漸變小，小到極點時就呈現光源的倒像，這就是順收限。過了這個限就逐漸變大同時變淡，不再顯得是光源的像，跟側收限的情況相同。繼續遠離就逐漸變暗，到了順收限的兩倍距離時就呈現出鏡片的黑影，「原景」第九條，「原鏡」第九條。更遠就在黑影外圍出現虛光，虛光範圍隨著距離增大而越來越大，這就是暈光。由於太陽大而且遠，所以黑影與鏡片大小差不多相等。如果光源比鏡片小，黑影就會逐漸增大。如果光源大而且距離近，黑影就會逐漸縮小。「原景」第六條。而各種情況下暈光卻總是保持其大，是出於鏡光線發散行進的緣故。所有這些現象都是各種凸透鏡共有的，僅針對單凸透鏡來論述，只是考慮到它會聚光束的道理容易理解而已，看圖自然明白。顯然，［可見的］光線一定有［不可見的］鏡線作為它的根基。（圖36） 九 雙凸者，以丙丁乙向日，其順收限出於丙丁乙鏡光線，丙甲乙之反照虛景亦助其力，而丙甲乙之鏡光線則無權。其側收限出於丙甲乙鏡光線，丙甲乙〔1〕之反照虛景亦助其力，而丙丁乙之鏡光線則無權。（圖37）依顯，單凸以平向日，應有側收限，亦有順收限。反之，以凸向日，應有順收限，即有側收限。但單凸之側收限，兩面必有長短，而順收限則反覆皆同，此單之所以兩面任用，而凸深之力等也。 圖37 【注釋】 〔1〕丙甲乙：疑為「丙丁乙」之誤。按鄭復光的假設，透鏡的兩個表面互相成對方的反光鏡像，凸面的鏡像為凹面，反之亦然，這些像也在光線會聚中起作用。此處光線照射丙甲乙內表面，形同凹面鏡，發生反射聚焦（側收限），丙丁乙的鏡像也是凹面而「助其力」。 【譯文】 雙凸透鏡，以丙丁乙面對著太陽，它的順收限產生於丙丁乙面的鏡光線，丙甲乙的反射虛影也起協助作用，丙甲乙的鏡光線則不起作用。它的側收限產生於丙甲乙的鏡光線，丙丁乙的反射虛影也起協助作用，丙丁乙的鏡光線則不起作用。（圖37）顯然，以單凸透鏡的平面對著太陽，應該有側收限，也有順收限。反之，以凸面對著太陽，應該有順收限，也就有側收限。但單凸透鏡的側收限，兩面一定長短不一。而順收限則來回都一樣，這就是單凸透鏡兩面隨意使用，卻深力相等的原因。 十 通光球鏡〔1〕，雙凸之足度者也，可藉以征凸理。蓋凸鏡多是三百六十度中之一弧，其度無從量取，然其形實未有不自球截者。如圖（圖38）： 圖38 甲乙丙丁為球，丙丁為全徑，甲丁、乙丁為鏡光交，與子丁相當。試截為不足度之弧，如丑丙寅子，其交仍在丁，為丑丁、寅丁，與卯丁相當，則凸同而數不等。〔2〕故命丙丁為鏡光度，則數亦等矣，〔3〕是雙凸之鏡線交與全徑等也。〔4〕光在極遠，其順收限為甲辰、乙辰，與子辰相當，宜取丁辰為順收限，以較鏡光交必稍長，若十與九。〔5〕夫鏡光交理應在丁，驗以球之順展限〔6〕，必入火乃見，〔7〕可證也。若側收限，為球所無。〔8〕今以不足度之凸合而推之，如丑丙寅子。則順收限卯辰十，順展限卯申九，順均限十九；其側限皆得順限四之一，此雙凸率，本章六。是則順展為丙丁，側展必丙卯，一倍半徑，一半半徑；依顯，鏡光交即全徑丙丁，均限即收、展相併也。鏡多截弧，厚為其矢，取數則微，諸限悉可不論，〔9〕此特明其理耳。 【注釋】 〔1〕通光球鏡：指圓球透鏡。 按：該光學元件屬於厚透鏡，在現代幾何光學中，其焦距的計算也較為複雜，當玻璃的折射率較大時，焦距（球心到焦點）略大於或約等於半徑。從下文看，鄭復光的實驗測量值是準確的，但他是按前球面到後焦點（或前焦點到後球面）來計數，所以約等於直徑。 〔2〕此句意為整個球體和從球體截取的一個弧面，兩者曲率相等，但焦距的數值不等。 按：這個說法不甚確切，如果兩者的焦點重合，那麼兩者的鏡心也應重合，即甲乙與丑寅重合。 〔3〕令球的直徑為「鏡光度」，則整個球體和一個弧面的度數相同。這與現在所說鏡片的度數原理一致。 〔4〕按「圓理」第九條的定義，「鏡線交」就是凸透鏡的物方焦點。此句表示物方焦距（按前焦點到後球面計）等於直徑。 〔5〕順收限即像方焦距（按前球面到後焦點計），鄭復光實測得與直徑之比為10:9，此為誤差，實應相等。詳見「圓率」第一條及注。 〔6〕鄭復光的各個「限」，多數時候是指與焦距有關的共軛成像常數，但有時因古文語氣，也指各個常數所決定的成像情況。此處的「順展限」，即指順展限成像，即光源位於焦點，在透鏡另一側成最大倒立實像。 〔7〕按「圓理」第九條，順展限是成最大倒立實像時的光源距透鏡的距離，也就是物方焦距或「鏡線交」的位置。鄭復光實測發現，成倒立實像時，圓球透鏡已經接觸火苗，焦點位置按下法表示：圓球表面與主光軸有兩個交點，圓球透鏡的前焦點與靠近物體一面的交點重合，距另一交點的距離等於直徑，即上文所謂「鏡線交與全徑等」，亦即下文所謂「鏡光交即全徑」。 〔8〕凸透鏡側收限成像，是指凸透鏡內表面反射，形同凹面鏡聚光成像的情況。此處意為觀察不到圓球透鏡的這種成像情況。 按：可以計算出，透明圓球內表面對平行光進行反射的聚焦點在球體內部，距反射面與主光軸的交點約四分之一直徑。雖然觀察不到側收限，但鄭復光在下文中卻根據自己建立的換算率，從理論上推出側展限是半徑的一半，即下文所謂順展限和側展限「一倍半徑，一半半徑」。這種純粹的定量推理，當時在天文學中是有的，但將其用於獨創的物理學理論，鄭復光恐怕是中國歷史上第一人。 〔9〕這條夾注可視為「薄透鏡」的定義。 【譯文】 圓球透鏡就是全弧度的雙凸透鏡，可以通過它來求證凸透鏡的原理。凸透鏡大多是360度中的一段圓弧，其弧度無從量取，但其形體實際上都是從球體截取的。如圖（圖38）： 甲乙丙丁為球，丙丁為直徑，甲丁、乙丁為鏡光線，與子丁相應。試截取成不全弧度的弧面，如丑丙寅子，其鏡光線交點仍然在丁處，鏡光線為丑丁、寅丁，與卯丁相應，這樣就是凸面相同但［子丁與卯丁］數量不相等。因此令丙丁為鏡光度，則數量也相等了，即雙凸透鏡的鏡線交與直徑相等。光在極遠處，其順收限光線為甲辰、乙辰，與子辰相應，應該把丁辰作為順收限，因為它必定要比鏡光交稍長一些，大約10比9。鏡光交按理應該在丁點，以球的順展限［成像］來驗證，一定是球已經部分進入火苗才能看見［像］，這就得到證明了。至於側收限，是透明圓球所沒有的。現在按不全弧度的凸透鏡［把各個限］合起來推論一下，如丑丙寅子。則順收限卯辰為10，順展限卯申為9，順均限為19；各個側限都是相應順限的四分之一，這是雙凸透鏡的換算率，見本章第六條。如此則順展限為丙丁，側展限必定為丙卯，一個是半徑的一倍，一個是半徑的一半；顯然，鏡光交就等於直徑丙丁，均限就是收限和展限相加。鏡片大多是截取的弧面，厚度是它的矢高，數值上很小，各個限都可以不加以考慮，這裡［提到厚度］只是為了剖析它的道理而已。 十一 收限、展限，雖因凸而有定度，然收限之光、展限之壁〔1〕，其距鏡必遠，方無改移。約燈體寸余、凸深即順收限寸余，則遠須尺余。若凸深八九寸，則遠須丈余無定率〔2〕，不可為限，今名曰限距界，愈遠益確，〔3〕凡驗凸深淺宜用日月之光，職此之由〔4〕。 【注釋】 〔1〕壁：接收實像的像屏，此前大多指牆壁，但此後鄭復光經常談到可移動的「壁」，故泛指像屏。 〔2〕定率：此書中多次使用「定率」一詞，表示一組光學變量之間的確定關係（常數或定律）。此處指透鏡的焦距越長，作為準平行光源的燈就需放得更遠，但這個大致的關係沒有確定的數量。 〔3〕按此條定義，「限距界」是保證入射光束為平行光的最小物距，越遠越接近理想平行光。 〔4〕職此之由：原因在此。 【譯文】 收限、展限，雖然依據凸面［弧度］而有確定尺度，但收限的光源、展限的像屏，它們距離鏡片必須遠，［限］才不會有變動。估計燈的火苗一寸多、凸面深度即順收限一寸多，則需要一尺多遠；如果凸面深度八九寸，則需要一丈多遠，沒有確定的標準，不能設為限［常量］，現稱之為限距界，實際上則越遠越準確，測定凸鏡的深淺適宜於採用日、月的光，原因就在於此。 十二 順三限同理，故順收限之取景成倒也，順展、順均亦然；順收限之見物塞滿也，順展、順均亦然。而三限殊勢，故順收限之取景小，循鏡線約行之勢也；順展限之取景大，當鏡線出交之勢也；順均限之取景在小大之間，當兩限中處之勢也。三限異度，故塞滿之象，順展限大猶可見，順收限昏而難見，順均限茫無所見，距交短長之差也。三限各地，故順均限有定不移，其取景止於其所；順收限光可遠而鏡有定，其取景小而有常；順展限光不移而壁任遠，其取景大而無量。〔1〕 【注釋】 〔1〕此段是對透鏡成像共軛性質的總結性描述。 【譯文】 順三限有相同的原理，所以對於順收限取影形成倒像的情況，順展限、順均限也一樣；對於順收限［成像時］顯得物像充滿鏡片的情況，順展限、順均限也一樣。但三限的具體態勢有區別，所以順收限所成的像縮小，是沿著鏡光線會聚的態勢；順展限所成的像放大，是正好處於鏡光線越出交點的態勢；順均限所成的像在不大不小之間，是處於前面兩限中間的態勢。三限的度量有差異，所以充滿鏡片的物像，在順展限情況下雖然大但還可見，在順收限情況下模糊而難於看見，在順均限情況下茫然而看不見，都是由於距交點的距離不同。三限各有位置範圍，所以順均限［成像範圍］確定不移，它的成像之處限於應有的區域；順收限成像，光源位置可以任意遠但鏡片有確定位置，它所成的像縮小但是位置恆定；順展限成像，光源位置不能動但像屏可以任意遠，它的成像放大而且沒有限度。 十三 取景之理，如孔受光，必四邊〔1〕塞滿，遮其浮光，而光體之邊線〔2〕得以聚而加濃，故物象倒而清也。然物既塞滿，四邊之體為孔所遮，必不可見，故取景愈清之處，易目視之，必模糊不見物形矣。〔3〕然限既有定，而順展限獨可移壁近遠者，何也？蓋取景因乎塞滿，壁在限距界，已見滿象，再遠必無不滿故也，第過遠光力有窮，未免漸淡難用耳。 【注釋】 〔1〕四邊：泛指周邊一圈，非必為四邊形。 〔2〕光體之邊線：指光束，即從光源的上下或左右兩邊引出、向小孔會聚的兩條線。 〔3〕小孔成像要用像屏接受影像，才能觀察得到，這也是「取景」一詞之所指。用眼睛直接觀察實像，是看不見的。 【譯文】 取影［成像］的事理，就像小孔受光，光必然充滿孔邊，孔邊遮住浮光，從而光束能夠會聚而加濃，因此物像顛倒而清晰。然而物像既然充滿，外圍的物形被孔邊遮住，必然不可見，所以取影［成像］越是清晰之處，改用眼睛去看，必定模模糊糊看不見物形。然而各個限既然有確定尺度，唯獨順展限［成像］卻可以任意改變像屏的遠近，這是為什麼？因為，取影［成像］取決於光像充滿，像屏在限距界，已經能見到充滿鏡片的光像，更遠則必定不會不滿，只不過太遠則光力有止境，未免越來越淡而難於發揮作用罷了。 十四 含光凹對照與通光凸透照同理，而無順三限，然用其側三限，則與順三限同理，不重贅焉。 【譯文】 凹面鏡反射與凸透鏡透射原理相同，然而沒有順三限，但運用它的側三限，則與順三限原理相同，這不再重複贅述。 十五 凸鏡是次光明，〔1〕原光九。故無論合目與否，鏡近而視遠則昏。〔2〕若鏡遠而視遠，出順收限外，及物成倒，象必小而轉清，〔3〕是兼有大光明理。蓋鏡質本屬至明，目近鏡與合一，而物明不如鏡，是為居明視暗也，故昏不可視矣。交線能攝景濃，物入鏡與合一，而目遠視鏡景，是為居暗視明也，故次光明變為大光明矣。 【注釋】 〔1〕「次光明」和下面的「大光明」概念來自《遠鏡說》，本為「光密媒質」和「光疏媒質」的不太清楚的稱謂（見「原光」第九條及注），將其與透鏡相聯繫，也源自該書中所謂「前鏡形中高類球鏡而通徹焉，是即次光明意也……後鏡形中窪類釜鏡而通徹焉，是即大光明意也」。鄭復光將「大光明」和「次光明」理解為「居暗視明」和「居明視明」。按照這種解釋，凸透鏡成像時，眼睛位於像方空間，可以看見濃密的會聚光束，同時透過鏡片能看見物方空間裡的明亮景物，這就叫「居明視明」。反之，凹透鏡的光束在像方空間永遠是發散，故顯得「暗」，而透過鏡片同樣看見前方的明亮景物，這就叫「居暗視明」。鄭復光還發現，當眼睛離開鏡片一定距離時，通過凹透鏡觀察前方景物，永遠是清晰的；而通過凸透鏡，所見有時清晰（鄭復光認為此時凸透鏡兼有大光明的性質）、有時模糊、有時只見光而不見像，他認為這種區別在某種程度上是次光明性質和大光明性質的區別的反映。他還認為，更深的機理在於兩種透鏡的鏡光線和目線之間的相互作用不同，這些猜想和論述詳見以下相關條目。後面鄭復光還以這種思路來解釋凸透鏡和凹透鏡各自在伽利略望遠鏡中所起的作用。 〔2〕這就是正常人戴上老花鏡的情況，眼睛和凸透鏡聯合所成之像落在視網膜之前。更詳細地說，本來遠處物體經凸透鏡成的像是倒立縮小實像，但眼睛貼近凸透鏡，這個像的位置已在視網膜後，看不見，實際光線在成這個像之前就被眼球折射而生成一個仍然倒立的放大實像，這個像的位置在視網膜之前，因而模糊，人的視覺神經將視網膜上的倒像處理為正像。 〔3〕眼睛遠離凸透鏡，凸透鏡所生倒立縮小實像落在眼球前焦點之外，此像再經眼球成倒立縮小實像於視網膜上，兩次倒像成為正像，被視覺神經處理為倒像。此時眼睛距鏡片的距離必須大於二者的焦距之和，但眼睛的焦距很小，且鄭復光的順收限測量值可能系統性地偏大（見「圓率」第一條注），所以鄭復光觀察到，只要物距大於順收限（可能略微偏大的焦距長），即發生前述現象。 【譯文】 凸透鏡屬於次光明，「原光」第九條。所以不論是否與眼睛匹配，鏡片靠近眼睛時，看遠處就會模糊。如果把鏡片移遠一些去看遠處，［眼睛和鏡片的距離］超出順收限之外，等到物體形狀顛倒時，像必定縮小並變得清晰，這種情況屬於兼有大光明的性質。鏡片的質地本來非常明亮，眼睛貼近鏡片與之合為一體，而物體不如鏡片明亮，這就成了在亮處看暗處，於是就模糊不清了。相交的鏡光線能收斂影像使之變濃，物像進入鏡片與之合為一體，而眼睛在稍遠處看鏡中影像，這就成了在暗處看亮處，於是次光明就變成大光明了。 十六 目切凸視近，在順收限內，則物必大。〔1〕視遠出限，即昏不可視。〔2〕雖凸淺可視，物必反小。〔3〕若目離凸，則昏而漸大。〔4〕若目離適到限，則大塞滿。〔5〕若目離出限，則物倒小而更清。〔6〕皆鏡光諸線為之也。 解曰： 凸如甲丙乙，光線兩種，一為鏡光線，恆交於丁；一為順收限，線恆止於庚辛。收限雖由鏡線生，然因物形大小而收展，以射物上下兩界。故在鏡線雖似乎展，而在物實受其束。（圖39） 圖39 物近在庚辛以內，順其三角之勢，然也，物束愈小，入鏡愈大。此凸切目視近而大之理也。〔7〕 若物遠出庚辛以外如子丑，則物上下兩界射至丁交，順鏡線倒入鏡甲乙，是為隔射。而目線無隔射法，故自丙視之，仍自出兩線，一為丙子，一為丙丑，必拗鏡線穿寅、穿卯。寅子與卯丑為丁子、丁丑所約，丙寅與丙卯為甲丁、乙丁所礙。此凸切目視遠，昏而反小之理也。（圖40） 圖40 若目不切丙，物在庚辛以內，固與切凸視近同，而物更大何也？目愈離鏡，鏡束愈小，有遠差理；物束小，故視覺大也。 若物遠在庚辛以外，目離丙在順收限如辰巳內如午，則目線順鏡線，為未、申，是展丙子、丙丑為未子、申丑。此凸離目視遠，雖昏而大之理也。（圖41） 圖41 若引目當限如酉，則為酉甲、酉乙兩線。此凸當限視遠，物大塞滿之理也。（圖42） 圖42 若引目出限如酉外，離鏡既遠，物自以隔射法倒入鏡與合一，目自出其目線，遠視鏡中之象。此凸出限視遠，倒小而清之理也。（圖43） 圖43 論曰： 庚辛亦隔丁交，未嘗昏目；亥丙中有戌交，未嘗礙目，何也？ 蓋庚辛雖在丁交之外，而既為順收限，自有其鏡線，且本是鏡線交甲丁、乙丁所展而成，丁角既展，即如無交，不惟不昏，且助目矣。此限之物，當極清處；此限之外，必為丁交所不能展，故能礙物。夫礙物雲者，亦礙其直射為隔射耳。然則鏡光之戌交，不過礙目景，使見倒象於鏡而已，何嘗礙目光，使不見鏡面之丙乎？且鏡既透明，宜不隔物，今不能直見子丑正象而見倒象，此即所謂礙物也。 又論曰： 鏡線丁交既有一定，何以又展於庚辛？ 蓋物有小大定分，既值透明之鏡，必能逐分函之，而後全象見焉；鏡有會聚定角，故能束約其物，必將逐層束之，而後全象函焉。物束於鏡線，不得不縮；線函乎全象，不得不展。〔8〕彼縮此展，是二是一；既交且展，是有是無，故毫無掛礙。然必有其處，則庚辛以內是也。至庚辛以外，乃交角當權之地，物縮所不能，交展所不及，雖透明者不能遽使不見，必生種種荊棘矣。 【注釋】 〔1〕鄭復光的這個實驗在全書中的地位十分重要。現代幾何光學可以通過作圖或計算，準確確定任何實像、虛像的性質（大小、正倒、位置），但一般反而不太討論眼睛直接觀察的情況。而在鄭復光的時代，眼睛直接觀察的問題，關係到對透鏡的運用，恰恰是需要通過實驗加以解決的重要課題。因此鄭復光對透鏡所進行的實驗，就分為兩大類，一類是用像屏接收實像（以板承之），一類是用眼睛直接觀察（以目視之）。所以這個逐一更換變量（視遠、視近、目切、目離等）並連續改變變量（漸遠、漸離等）的系統實驗，不僅要發現凸透鏡成像的全過程，而且也要發現眼睛觀察的全過程。此實驗的部分結果在前面已經提及（如「圓理」第十六條），後面也將提及，此處是首次系統的實驗報告，以及根據鏡光線假說對現象所作的分析。 第一步是物體置於物方焦距（順收限）之內，眼睛在異側貼近鏡片觀察，看到正立放大的虛像。 〔2〕第二步，物體超出順收限，眼睛貼近鏡片，看見模糊的正立像。原理分析見上條注〔2〕。 〔3〕第三步，換成度數較淺的凸透鏡就能相對清楚一些，但影像也相應較小。度數較淺則結像面距離拉長，比先前較為接近視網膜。凸透鏡度數淺則放大率低，故「物必反小」。 〔4〕第四步，理同第二步，那個視網膜前的模糊放大像隨眼睛距鏡片距離的增大而增大。 〔5〕第五步，眼睛距鏡片的距離為順收限，只見鏡片被光塞滿。此時眼睛看見的是平行光，原理分析見「圓理」第十一、十六條注。 〔6〕第六步，眼睛距鏡片的距離超出順收限，看到清晰的倒立縮小像。原理分析見上條注〔3〕。 〔7〕鄭復光對凸透鏡起放大鏡作用的這種解釋，可能受到《遠鏡說》「光路圖」的影響，其圖如下： 圖44 原圖旁有註：「前鏡近目照物之全分，前鏡遠目照物之一分。」圖和文都有問題。而鄭復光可能從中猜測到，凸透鏡的會聚作用，把較大的物體收束為較小的影像，且影像與物體的大小比例越懸殊，透鏡的放大作用就越大，即後文所謂「物束小，故視覺大」。鄭復光對這一解釋自信不疑，因為凸透鏡的性質的確是度數越深則收光越小，同時作為放大鏡也就把物像放得更大；而且按視角概念也講得通，視角張開越大，則意味著物體那一頭越大，眼睛這一頭在比例上越小。雖然這種解釋碰巧與凸透鏡的性質有吻合之處，但是對實像和虛像有混淆，猜測的光路與實際不符。這種解釋，在前「原目」第六條中就已出現，其中說道：「景之小者，視物必覺大也。」「景束愈小，則視覺愈大。」 〔8〕這些說法也應該與《遠鏡說》有關，其中說道：「前鏡視遠，去目如法，物象每見其大焉。蓋以全鏡之體，照物體之分分，則見其大也。若鏡目相近，則雖鏡體，得照全象，分分不遺。」 【譯文】 眼睛貼近凸透鏡看近處，［物體位置］在順收限之內，則物像必定放大。看超出順收限的遠處，就模模糊糊看不見。雖然用度數淺一些的凸透鏡可以看見，但物像一定反而變小。如果眼睛與凸透鏡拉開距離，則所見影像模糊並逐漸變大。如果眼睛離鏡片正好到達順收限，則所見影像大到［只有亮光］充滿［鏡片］。如果眼睛離鏡片越出順收限之外，則物像顛倒、縮小並且更加清晰。這些現象都是各種鏡光線作用的結果。 解： 凸透鏡如甲丙乙，光線有兩種，一種是鏡光線，總是相交於丁點；一種是順收限，其光線總是以庚辛為界。收限雖然由鏡光線而產生，但隨著物形的大小而收縮或伸展，以此射向物體的上下兩個邊界。所以對鏡光線來看好像是展開，對物體來看其實是受到它的收束。（圖39） 物體近在庚辛以內，順應它［張開］角度的態勢，這樣的話，物形被收束得越小，進入鏡片就［張開］越大。這就是把凸透鏡貼近眼睛去看近處就顯得放大的道理。 如果物體遠在庚辛以外如子丑，則光線從物體的上下兩個邊界射到交點丁，沿著鏡光顛倒進入鏡面甲乙，此時屬於交叉照射。而目線沒有交叉照射的法則，所以從丙處看去，仍然自行發出兩條線，一條為丙子，一條為丙丑，必然逆著鏡光線穿過寅點和卯點。寅子和卯丑被丁子、丁丑約束，丙寅和丙卯被甲丁、乙丁阻隔。這就是把凸透鏡貼近眼睛去看遠處，顯得模糊並反而變小的道理。（圖40） 如果眼睛不貼近丙，物體在庚辛以內，自然和貼近凸透鏡看近處的情況相同，但物像更大是為什麼？因為，眼睛越遠離鏡片，鏡［光線對物形］的收束越小，有遠差的道理在；物形被收束得小，所以看起來就覺得大。 如果物體遠在庚辛以外，眼睛距丙處的距離在順收限如辰巳之內如午，則目線順著鏡線，為未、申兩線，相當於把丙子、丙丑展開為未子、申丑。這就是將凸透鏡與眼睛拉開距離［並透過它］去看遠處，雖然模糊但是顯得放大的道理。（圖41） 如果使眼睛正好位於順收限處如酉，則目線成為酉甲、酉乙兩條線。這就是眼睛正當凸透鏡順收限去看遠處，顯得物像大到充滿鏡片的道理。（圖42） 如果使眼睛越出順收限如酉之外，離開鏡片既已較遠，物形就自行按交叉照射的法則顛倒進入鏡片、與之合為一體，眼睛就自行發出它的目線，從遠處去看鏡片中的影像。這就是眼睛越出凸透鏡順收限去看遠處，顯得倒立縮小並且清晰的道理。（圖43） 論： 庚辛也隔著交點丁，卻並不模糊視線；亥和丙之間有交點戌，卻並不阻礙視線，這是為什麼？ 庚辛雖然處於交點丁之外，但既然是順收限，就有它自己的鏡線，而且本來就是相交的鏡線甲丁、乙丁展開的結果，丁角既然展開，就好像沒有交點一般，不僅不模糊［視覺］，而且還增強視覺。位於這個順收限的物體，正當最清晰之處；位於這個順收限之外的，必定無法被交點丁展開，所以能阻隔物形。所謂阻隔物形，也就是阻隔它的直接照射使之變成交叉照射罷了。這樣的話，鏡光線的交點戌，只不過阻礙眼睛直接看見物體，讓它從鏡片中看見倒像而已，何至於阻礙視線，致使它看不見鏡面的丙處呢？再說鏡片既然透明，本該不阻隔物像，現在不能直接看見子丑的正像卻看見倒像，這就是所謂的阻隔物像。 又論： 鏡線的交點丁既然是確定的，憑什麼又展開到庚辛？ 物體大小有確定的各部分，既然碰到透明的鏡片，鏡片必定能一分一分地逐漸收納它，然後整個物像就呈現出來了；鏡片有確定的會聚交角，所以能收束物形，必定會將它一層一層地逐步收束，然後整個物像就收納進來了。物像受到鏡線約束，不得不收縮；鏡線收納了整個物像，不得不展開。一收一展，這既是兩回事也是一回事；既交會又展開，既是有形也是無形，所以毫無障礙。只是必須有一定的位置，那就是庚辛以內。至於庚辛以外，那是［鏡光線的］交角起支配作用的範圍，物像要縮小也辦不到，交點展開也觸及不到，即使是透明體，也不能立即使它看不見，就必然產生出種種複雜枝節了。（圖43） 十七 物之上下，本乎天地定其位；物之左右，因乎對待易其名；故平鏡對照，上下不移，左右必互易。惟凸以環面生交，雖上下可以互易而見倒景。然必在交外方見倒象，在交內仍是順象也。 【譯文】 物體的上下，是根據天地而確定了各自的地位；物體的左右，卻要看面對的方位不同而互換名稱；所以平面鏡對照，［照出的影像］上下不變，左右一定互相交換。唯獨凸透鏡，由於球面產生［鏡光］交，即使上下也可以互換而呈現倒像。但必須在交點之外才可以呈現倒像，在交點之內仍然還是正像。 十八 目切凸視近必大，蓋有二端： 一以光線收物甚小，故入鏡必大。入鏡大者，視亦大也。 一以中凸照景甚小，故入目必小。入目小者，視覺大也。原目六。 解曰： 入鏡大者：設單凸以平面如甲丙對物如己丁，物線侈行，過甲丙入甲乙丙，必展而長。（圖45左）如以凸面如子丑寅對物如辰卯，物線平行，入子丑寅，及到子寅，必見其長。（圖45中）此入鏡皆大之故，目視鏡中，能無大乎？單凸如此，雙凸可知。 圖45 入目必小者：設雙凸任以一面對物，雖大如巽兌，景止一點如坎，故其線之展甚大，而視亦大。（圖45右）雙凸必然，單凸可推矣。平面有虛凸故。 此二端相反，而義實相須也。《遠鏡說》未備。 論曰： 凸之大物也二端，質言之，皆以曲線長於直線故。然凹亦是曲線，不惟不大物，而反小物者，何也？蓋虛實異勢耳。 凸為實環如甲丙乙，必長於甲乙。物如丁入長面甲丙乙，目必由短面甲乙相窺；物如壬入短面甲乙，形必於長面甲丙乙透景，故俱見為大。（圖46） 圖46 而凹為虛環如子丑寅，亦長於巳午。物如辰入短面巳午，目必由長面子丑寅相窺；物如卯入長面子丑寅，形必於短面巳午透景，故均見為小。（圖47） 圖47 蓋物入虛環，其在凹面入者，如弓甲丙乙之上弦甲乙，弦必短於弓干也；其在平面入者，如弓戊壬己之度地〔1〕庚辛，地必短於弓馳也。（圖48） 圖48 物入實環，其在凸面入者角尾亢，如柱角尾亢箕之圍箍氐房心，箍必長於柱徑角亢也；其在平面入者壁女，如弓壁危女之液角〔2〕斗室牛，角必長於弓弦鬥牛也。（圖49） 圖49 【注釋】 〔1〕度地：指某物在地上的投影。度，測量，量度。 〔2〕液角：據《考工記·弓人》記載，古代制弓有「干」、「角」、「筋」、「膠」、「絲」、「漆」等六材，其中「角」為牛角。液，浸泡。《考工記》中又有「冬析干而春液角」之語，一般都解為冬天剖干而春天浸角。但從此處看，「液角」明顯為一個名詞而非動名結構。在上面這些圖中，「甲乙丙」稱弓干，「戊壬己」稱弓弛，「壁危女」又稱弓，「斗室牛」稱液角，看來都是弓體弧形的代稱。較有可能的是，弓幹上黏附牛角的主要部位叫做「液角」。在圖49中為弓乾的內側。 【譯文】 眼睛貼近凸透鏡看近處［則所見影像］必定放大，大致有兩方面原因： 一是因為鏡光線把物像收束得很小，所以進入鏡片必然變大。進入鏡片時變大，看起來就覺得大。 一是因為［度數］中等的凸透鏡照出的影像很小，所以進入眼睛必定變小。進入眼睛時變小，看起來就覺得大。「原目」第六條。 解： 進入鏡片變大的情況：設有一枚單凸透鏡以平面如甲丙對著物體如己丁，物體的光線發散行進，穿過［平面］甲丙入射到［弧面］甲乙丙，必然展開而伸長。（圖45左）如果以凸面如子丑寅對著物體如辰卯，物體的光線平行行進，進入［弧面］子丑寅，等到了［平面］子寅，必定顯得伸長。（圖45中）有上述進入鏡片一律變大的緣故，眼睛在鏡片中所見，能不大嗎？單凸透鏡的情況如此，雙凸透鏡也可想而知。 進入眼睛必定變小的情況：設有一枚雙凸透鏡，以任意一面對著物體，物體縱然大如巽兌，影像只是一點如坎，所以其光線的展開很大，看上去也就顯得大。（圖45右）雙凸透鏡的情況必定如此，單凸透鏡的情況也就可以推想了。因為單凸透鏡的平面上有凸面的虛影。 這兩種情況相反，但道理其實是互相依存的。以上《遠鏡說》沒有論及。 論： 凸透鏡能放大物像的兩個原因，簡單地說，都是出於曲線比直線長的緣故。然而凹透鏡也是曲線，不僅不放大物像，反而縮小物像，這是為什麼呢？因為虛和實的情勢不同。 凸面是實的球弧如甲丙乙，必定比甲乙長。物體如丁［的光］進入較長的面甲丙乙，眼睛必定從較短的面甲乙去觀察；物體如壬［的光］進入較短的面甲乙，形狀必定從較長的面甲丙乙透出影像，所以都顯得變大。（圖46） 而凹面是虛的球弧如子丑寅，也比巳午長。物體如辰［的光］進入較短的面巳午，眼睛必定從較長的面子丑寅去觀察；物體如卯［的光］進入較長的面子丑寅，形狀必定從較短的面巳午透出影像，所以都顯得變小。（圖47） 物體［的光］進入虛的球弧，從凹面進入時，好比進入弓甲丙乙的上弦甲乙，弦必定比弓干短；從平面進入時，好比進入弓戊壬己在地上的投影庚辛，投影必定比下垂的弓短。（圖48） 物體［的光］進入實的球弧，從凸面進入時角尾亢，好比進入圓柱角尾亢箕的圍箍氐房心，圍箍必定比圓柱的直徑角亢長；從平面進入時壁女，好比進入弓壁危女的液角斗室牛，液角必定比弓弦鬥牛長。（圖49） 十九 凸能大物，並能小物，以光線廣行交角之故。故物近目在鏡光交內，置凸切物，漸離則漸大而顯，至凸切目而止，名曰切顯限即鏡光交。〔1〕 凸距物合切顯限不動，引目離鏡漸遠更大，至大極未昏則止，名曰離顯限。〔2〕約目距鏡亦不出鏡光交。若凸距物恰合順收限之半，則物雖大，引目再遠遂不復大，〔3〕鏡之能力未充其量也。此交線廣行漸侈之故也。 如反之，置物遠在限距界〔4〕外，目切凸則昏而小，〔5〕目遠凸則昏而大，〔6〕漸遠至順收限則昏極大極，殆不可見；〔7〕再遠則見倒象復小，愈遠愈小而復清矣。〔8〕此交線廣行過交漸約之故也。 其極清亦有定處，第凸淺，則初倒即清，尚大於本形，其距交不足一限；〔9〕凸深，則倒未遽清，已小於本形，其距交不止一限。〔10〕此則因凸生差，不可為限也。 【注釋】 〔1〕這個實驗確定了凸透鏡成最大正立虛像的物距，即「切顯限」，數值上無限接近（略小於）物方焦距，故後面夾注說位置就在鏡光交。 按：此條以下記錄了一個系列實驗，對凸透鏡和眼睛共同決定的各種不同物距和不同觀察距離下的成像特性，作出更豐富的推廣研究。 〔2〕凸透鏡成放大虛像時，如果像距不變（凸距物合切顯限不動），那麼實際像高不會因眼睛的移動而變化。此處所謂「引目離鏡漸遠更大」的現象，可能是眼睛逐漸遠離鏡片時，視場逐漸縮小，顯得先前所見景物的中心部分在鏡片範圍內逐漸「擴張」，且邊緣畸變和抖動的影響同時加劇，影像顯得逐漸模糊。所以所謂「離顯限」，不屬於其他「限」那樣的成像常數。 〔3〕理同上注，「目再遠遂不復大」的現象也不是像距等於二分之一焦距（凸距物恰合順收限之半）的必然結果，只是物距變小時，虛像的放大程度也變小，同時視場縮小和邊緣畸變都不明顯。 〔4〕限距界：見本章第十一條注〔3〕。 〔5〕這個現象的原理分析見本章第十五條注〔2〕。這個像並不比物更小，只是眼睛非常緊貼鏡片時感覺不到放大，而相對於此後眼睛離開觀察時的急劇放大就更顯得小而已。 〔6〕原理分析見本章第十六條注〔4〕。 〔7〕眼睛繼續遠離凸透鏡，當凸透鏡所生縮小實像落在眼球前焦點上時，光線進入眼睛是平行光，仿佛像放大到極點也模糊到極點。此時眼睛距鏡片的距離為透鏡焦距與眼球焦距之和，但眼球焦距相對很小，那個距離略等於凸透鏡焦距。 〔8〕眼睛繼續遠離凸透鏡，凸透鏡所生倒立縮小實像落在眼球前焦點之外，經眼球成倒立縮小實像於視網膜上，兩次倒像成為正像，被視覺神經處理為倒像。 〔9〕凸透鏡焦距較長，眼睛即使離開鏡片一定距離，仍未處於縮小實像能落在視網膜上的位置，實際光線在成這個像之前就被眼球折射而生成一個正立放大實像，正立被視覺神經處理為倒立。 〔10〕凸透鏡焦距很短，成像光束在出射面附近很快就會聚成倒立縮小實像了。 按：至此條，鄭復光完全確立了凸透鏡共軛成像的全過程： 其中，虛像的像距無法測量，順均限兩側的物距和像距為「此伸彼縮，迭相消長」。 至此可以看出，對焦距概念的確立和運用，是鄭復光透鏡理論的核心。焦距具有順收限、順展限、切顯限等不同名稱，表征不同的成像性質，它既是最小實像的像距，又是最大實像和最大虛像的物距；可以用它作為推算其他成像位置的常數，按確定比率換算出其他各限的數值，並界定各種性質的像的區域；它還是度量透鏡深力的常數，即透鏡總體性質的決定因素（「凸鏡越深，收光越小，展光越大」）。 【譯文】 凸透鏡能放大物像，又能縮小物像，是出於光線不平行而交會成角的緣故。所以當物體距眼睛較近、位於鏡光交以內時，使凸透鏡貼近物體，然後逐漸拉開距離則物像越來越大、越來越明顯，直到凸透鏡貼近眼睛為止，［把此時物體到鏡片的距離］命名為切顯限［位置］就是鏡光交。 凸透鏡距物體正當切顯限不動，使眼睛離開鏡片越來越遠［則所見影像也逐漸］更大，直至最大而又不模糊時就停止，把這個叫做離顯限。估計眼睛距離鏡片也不超出鏡光交。如果凸透鏡距離物體剛好是順收限的一半，則物像雖然大，眼睛離開再遠結果也不更大，說明鏡片的能力沒有發揮充分。以上現象是出於交叉光線越來越發散的緣故。 如果反過來，把物體置於限距界以外的遠處，眼睛貼近凸透鏡則［所見影像］既模糊又小，眼睛遠離凸透鏡則［所見影像］又模糊又大，逐漸遠離到順收限則［所見影像］模糊到極點並大到極點，幾乎看不見；再遠則看見倒像並重又變小，越遠越小並重又清晰。以上現象是出於交叉光線過了鏡光交之後越來越會聚的緣故。 視覺最清晰之處也有確定位置，只不過，凸透鏡度數較淺，則所見影像在剛剛顛倒就變清晰之時，還大於物體的本形，此時位置距離［鏡光］交不到一個［順收］限；凸透鏡度數較深時，所見影像顛倒後尚未迅速清晰［之時］，已經小於物體的本形，此時位置距離［鏡光］交不止一個［順收］限。以上情況屬於因凸度不同而產生變化，是不能設為限［常量］的。 二十 凸之能力，用切顯限視物，極明且大。本章十九。若目不動，移凸近物則昏者，此專指老目遇稍淺凸而言。短視或少年遇凸深一二寸，不盡昏目也。凸力不足，即如目太近物而昏，非關鏡也。 用離顯限視物，亦極明且大。若目不動，移凸近目則昏者，物出順收限，即如切凸視遠而昏，非關目也。 不關目者，無論凸之淺深，其昏則同。不關鏡者，稍淺而昏，極淺即否。何也？淺凸之順收限本長，目距物既遠，雖老目視自不昏，況加以凸乎？ 【譯文】 凸透鏡的能力在於，運用切顯限看物體，顯得十分清晰並且放大。本章第十九條。如果眼睛位置不動，將凸透鏡移近物體就［導致視覺］模糊，這是專指老年人的眼睛碰到度數淺的凸透鏡而言。近視眼或青年人碰到一二寸深的凸透鏡，並不都導致視覺模糊。這是因為凸透鏡深力不足時，就如同眼睛太靠近物體而視覺模糊，與鏡片無關。 運用離顯限看物體，也顯得十分清晰並且放大。如果眼睛位置不動，將凸透鏡移近眼睛就［導致視覺］模糊，這是因為物體位置越出順收限時，就如同貼近凸透鏡看遠處而視覺模糊，與眼睛無關。 所謂與眼睛無關，是指不論凸透鏡是深是淺，同樣會模糊。所謂與鏡片無關，是指［度數］稍淺會模糊，非常淺就不模糊。［後者］是什麼原因？淺度凸透鏡的順收限本來較長，眼睛距離物體既然較遠，就算老年人的眼睛去看也自然不模糊，何況加上凸透鏡呢？ 二十一 鏡線拗目線則昏，以光線交錯也。如甲。凸之雙者，此與彼各自成線，如乙。凸之單者，面與景各自成線，如丙。皆不交錯，故視近則明。若以視遠，則非鏡線所及，目線必穿鏡線視物，故成交錯之勢，不得不昏矣。（圖50） 圖50 【譯文】 鏡線逆著目線就會［使視力］模糊，這是兩種光線交錯的緣故，如甲。雙凸透鏡，兩面各自形成光線，如乙。單凸透鏡，［凸］面和它的反影各自形成光線，如丙。都不交錯，所以用以看近處就顯得清楚。如果用來看遠處，就不再屬於鏡線力所能及的範圍，目線必定穿越鏡線去看物體，於是成為交錯的態勢，就不能不模糊了。（圖50） 二十二 凸鏡照物，具有數象，而人之用之，各不相亂者，蓋就其得力光線視之，其餘自不相混也。 解曰： 鏡有兩面，各有透照、返照之象，是共四象。而鏡面凸者，又有順景、倒景各象，散見各條，不復枚舉。凹鏡同論。 論曰： 凸鏡如丙壬乙辛切目如甲視近如子交內，物自以甘石入辛，得顯象，而他線不與焉。使置目於坤而視遠如丁戊，物自以到交如癸倒入丙乙，目視丙乙得倒象，而他線亦不與焉。即任置目至不見物處，如乾視丁戊。雖為諸線所礙，而所見昏象亦不為他線所雜。此無他，所見各形，各隨其線，必不相混也。（圖51） 圖51 【譯文】 凸透鏡映照物體，具有幾個像，而當人們加以運用時，這些像並不互相干擾，這是因為［每種情況都是］憑藉起支配作用的光線去看，其餘光線自然不會相混。 解： 鏡片有兩個表面，各有透射和反射的影像，於是一共有四個像。其中鏡面是凸形的，又有正像和倒像等各種像。這些都散見於各條中，不再枚舉。對凹鏡的論述與此相同。 論： 把凸透鏡如丙壬乙辛貼近眼睛如甲去看近處如交點子以內，物體［的光］自然從甘石入射到辛，形成顯眼的像，而其他光線並不參與。假使讓眼睛位於坤處去看遠處如丁戊，物體［的光］自然通過到達交點如癸而顛倒進入鏡片丙乙，眼睛看丙乙看到倒像，而其他光線也不參與。即使讓眼睛位於看不見物體的任意位置，如在乾處看丁戊。雖然被各種光線所阻礙，但看見的模糊影像也不被其他光線所混雜。這沒什麼，看見的各種形象，各自依從各自的光線，一定不會相混。（圖51） 二十三 目切凸視近，見物明而大矣，但物出順收限，則昏而復小。目離凸視遠，見物大而昏矣，然目遠順收限，則倒而復清。穿交線與不穿故也。 解曰： 切凸出交則昏而小者，緣丙子乙角大小有定度，光線所聚，能力甚大，置目壬邊，如物出交角外在坤，以鏡理推，當為兌坤巽角與丙子乙角等，以視法論，不得不收成丙坤乙角，角度收，故象小復常；而目出兩線視物，實用井辛鬼角，而辛井與辛鬼目線力穿子交，故礙目而昏也。若置物在乾，則不穿子交，故不昏，艮乾震角與丙子乙角等，故象大也。此一說也。（圖52） 圖52 又，目切壬視丁戊，即如目與鏡合為一體，成一深凸之睛，故視遠不明，如短視人之視遠然。此又一說也。後說與凹切目而昏同理。（圖53） 圖53 離凸遠交則倒而清者，緣目在斗，視日如丁戊，中為丙乙凸鏡所隔，即如斗視丙乙；因有鏡光子交，隔日直射，使至交則倒入丙乙鏡面，透出至順收限，為丑寅取景倒象。故目視丙乙，即如斗視丑寅，線聚光濃而無隔，〔1〕所以倒而更清也。此一說也。（圖54） 圖54 又，目離凸視物，即如物與鏡合為一體，成鏡中畫象，無論象之清否，皆瞭然可辨，固無所昏花也。此又一說也。後說與凹離目而明同理。 論曰： 或問：日自丁至乙、自戊至丙，有子一交，當成倒象，且置目於午視己乙，已見倒象矣，其穿丙至女，穿乙至牛，亦應有交如卯，豈不復成順象乎？然目在斗視丁戊，仍為倒象，何也？（圖55） 圖55 曰：日射凸鏡，自丁射丙、自戊射乙，為鏡光線子交所束，不得直入，所以塞滿鏡面，取景於丑寅而倒也，故置目於子透視物，或置目於癸反照物，皆見其塞滿，究未成為倒象。此與隔孔同理，日到孔邊，何曾倒乎？惟目出癸交至午，方見倒象。而癸與卯同理，則午與斗同理。午見倒，故斗見為倒也。夫物入凸鏡，其象不一，各隨光線而見。雖既有子交，則必倒入丙乙，而子交之線，實以攝光使滿，故物大而近，遂變辰交，辰與庚同，雖為虛交，卻因子實交而生，庚生於卯亦然，故交得力處能礙目光。如目在丑寅，則視丁戊一無所見矣。蓋目之視線〔2〕，本無穿交倒見之理，故當交即礙目；而遠交至斗，則交力不及，其視丙乙，即如視丑寅，無所為倒而復順之理也。（圖56） 圖56 曰：丑寅處於空虛，豈能有物見景？ 曰：此鏡法之神妙也。凡目視一物，止此一處，止有一形。今隔凸視物，以為目到丁戊，則有丙乙隔之；以為目到丙乙，則有卯交隔之；以為日順到丙乙，則應無子交；以為日倒入丙乙，則應無斗交。蓋其見倒景在寅丑也，是合日與鏡與子三者並成之象見於丑寅也；其見滿光在丙乙，是合日與子二者並成之象見於丙乙也。紛紛各鏡線，是二是一，難以拘執。而謂倒象在丑寅者，就取景處證之耳。〔3〕（圖57） 圖57 或問： 視法之理，物入目成小景，則覺物大；入目成大景，則覺物小，理也。今置光於丑，置目於癸視丙乙，見滿光，是光入鏡大也；而移目於壬，視丙乙之照丑也不小，其於視理無乃窒乎？ 曰：不窒也。物在丑為小形，故丑入寅視覺大。視覺大者，其在丙乙實小也。物入丙乙見大象，故壬入目景必小。景之小者，視在丑覺大也。（圖58） 圖58 或問：視理，目之兩線必因物形大小而侈約。物小如丙丁，不出戊交，成丑丙、丑丁兩線，於甲戊、乙戊固無所礙，而視物明矣。若物大如己庚，豈不成丑己、丑庚兩線，而穿辛、穿壬，為甲戊、乙戊鏡光所礙乎？（圖59） 圖59 曰：鏡光線稱上下二線者，省文耳。原線六。其左右則有觜戊、畢戊兩線矣。不惟是也，以一周論，則參至柳不一度，以半徑論，則金至火不一周，每度一線，已得三萬二千四百〔4〕，咸聚於戊焉，其能力為何如乎？（圖60） 圖60 今斗虛穿室戊於牛，自斗至牛，鏡線固多，以斜穿論，則線端所觸，亦一線穿一線耳，豈可與戊數萬線同年語乎？況物在戊，彼自順照入斗，不勞目力。（圖61）若物出交在胃昴，彼將順鏡光倒入丙乙，而目在奎視婁之照胃昴，出婁胃、婁昴兩線，穿戊視物，豈不甚難？（圖62） 圖61 圖62 曰：若物大如柳星，則穿金、穿石，應是一線穿一線矣，而昏不免焉，何也？ 曰：婁柳、婁星兩線，特舉上下兩界耳，其中各線，如婁絲，亦為數萬，豈能越過戊交哉？（圖63） 圖63 【注釋】 〔1〕鄭復光深知小孔成像和凸透鏡成倒立實像的原因在於「隔」，即交叉，但按他的鏡光線假說，光線在入射透鏡之前，於「鏡光線交」發生交叉，則出射後的會聚光束應再次交叉顛倒而形成正像，但實際所得是倒像，因此鄭復光再次假設出射光束會聚後不再交叉顛倒。 〔2〕按鄭復光的概念體系，「目之視線」實為「目用以視物之線」，即「目線」。 〔3〕以上一直在討論這樣一個現象：眼睛離開凸透鏡一段距離，透過它看遠處景物，看見清晰的縮小倒像。這個現象可按現代幾何光學解釋為，眼睛對凸透鏡所成的像（丑寅）再次成像，最終成像落在視網膜上。而鄭復光以為是眼睛直接看見丑寅，這在今天看來是將兩個不同的像混為一談，但在當時是無法區分二者的。丑寅這個實像，在當時的確只能通過「取景」模式（用像屏接收）才能觀察到。 〔4〕三萬二千四百：應該是一個表示大數的隨意表達，圓周的一個象限為90度，將每條半徑也分為90分，一共4個象限，90×90×4=32 400。 【譯文】 眼睛貼近凸透鏡看近處，就看見物體又清楚又大，但是物體［位置］越出順收限，則所見影像模糊並重又變小。眼睛與凸透鏡拉開距離看遠處，就看見物體又大又模糊，然而眼睛［位置］離開順收限較遠，則所見影像顛倒並重又清晰。原因在於前者穿越交線而後者不穿越交線。 解： 眼睛貼近凸透鏡、物體位置越出順收限交點，則所見影像模糊，這種情況的原因在於，丙子乙角的大小是恆定的，是鏡光線會聚而成，能力強大，使眼睛位於鏡片旁邊的壬處，如果物體位置越出交角之外在坤處，從透鏡的事理推想，它的光線應該成為兌坤巽角與丙子乙角相等，而從透視的事理分析，卻不能不收縮成丙坤乙角，角度收縮，所以像變小而回到原狀；而眼睛發出兩條目線看物體，實際上是按照井辛鬼角，此時辛井與辛鬼兩條目線強行穿越交點子，所以就妨礙目光而導致模糊了。如果把物體放在乾處，就不會穿越交點子，所以不會模糊；艮乾震角與丙子乙角相等，所以像是放大的。這是一種解釋。（圖52） 又［可以解釋為］，眼睛貼近壬點看丁戊，就如同眼睛和鏡片合為一體，構成一個凸度更深的眼球，所以看遠處不清楚，好比近視的人看遠處一樣。這是另一種解釋。後一解釋與凹透鏡貼近眼睛就［導致視覺］模糊同理。（圖53） 眼睛與凸透鏡拉開距離並離交點較遠，則所見影像顛倒而清晰，這種情況的原因在於，眼睛在斗處，看丁戊所示的太陽，中間隔著凸透鏡丙乙，就如同從斗處看丙乙，由於有鏡光線的交點子阻隔日光的直接照射，使它到了交點之後就顛倒進入丙乙鏡面，透射出來到達順收限，形成取影倒像丑寅。所以眼睛看丙乙，就如同從斗處看丑寅，鏡線使光束會聚變濃而且沒有交隔，因此所見影像就顛倒而清晰了。這是一種解釋。（圖54） 又［可以解釋為］，眼睛與凸透鏡拉開距離去看物體，就如同物體與鏡片合為一體，成為鏡片裡的圖像，不論圖像是否清晰，都一目了然，自然無所謂昏花了。這是另一種解釋。後一解釋與拉開凹透鏡和眼睛之間的距離就［導致視覺］清楚同理。 論： 也許有人會問：日光從丁到乙、從戊到丙，有子這個交點，應該成倒像，而且使眼睛位於午看己乙，已經看見倒像了，光線穿過丙到女，穿過乙到牛，也應該有交會點如卯，那豈不是又成了正像了嗎？可是眼睛在斗處看丁戊，仍然是倒像，這是為什麼？（圖55） 答：日光射到凸透鏡，從丁射到丙、從戊射到乙，被鏡光線的交點子所約束，不能直接入射，於是就充滿鏡面，在丑寅的位置取影成像並且顛倒了，因此使眼睛位於子處透過去看物體，或者使眼睛位於癸處看反射的物像，都看見物體的光充滿鏡片，終究沒有成為倒像。這與隔著小孔同理，日光到了孔邊，何曾顛倒呢？只有當眼睛越出交點癸到了午處，才看見倒像。而交點癸和交點卯同理，於是午處和斗處也同理。在午處看見像是倒的，於是在斗處所見也就是倒的。物體的光進入凸透鏡，所生影像不一，各自順應相應的光線而呈現。雖然有了交點子，就必然顛倒進入丙乙，但交點子的鏡光線，實際上是用來收聚光束使之充滿鏡片，因此當物體較大並且較近時，就變成交點辰，辰點和庚點一樣，雖然是虛交，卻是從實交子派生，庚生於卯也一樣，所以交點發揮作用的地方能妨礙目光。如果眼睛位於丑寅，那麼看丁戊就什麼也看不見了。因為眼睛看東西的目線，本身沒有穿越交點去倒著看見的道理，所以正處於交點就妨礙視力；而如果遠離交點到了斗處，交點的力道就達不到，此時眼睛看丙乙，就如同看丑寅，不存在什麼倒而又正的事理了。（圖56） 又問：丑寅處在虛空之中，怎麼會有物體的影像呈現？ 又答：這就是鏡片性質的神奇之處。大凡眼睛看一個物體，就那麼一個位置，就那麼一個形體。現在隔著凸透鏡看物體，以為目光到了丁戊，卻有丙乙擋著它；以為目光到了丙乙，卻有交點卯擋著它；以為日光順著到丙乙，那就應該沒有交點子；以為日光倒著進入丙乙，那就應該沒有交點斗。［總的來說］，在寅丑處呈現倒像，是日光、鏡片和交點子三者聯合所生的像呈現在丑寅的結果；在丙乙呈現充滿的光，是日光和交點子二者相結合所生的像呈現在丙乙的結果。各種各樣的鏡光線，既區別又統一，這是無法拘泥的。至於說倒像的位置在丑寅，是在取影的位置上實測到的。（圖57） 也許有人會問：按透視規律的常理，物形進入眼睛成縮小的像，就會覺得物體大；進入眼睛成放大的像，就會覺得物體小，這是合乎道理的。現在把光源置於丑處，使眼睛位於癸處去看丙乙，見到充滿的光，這屬於光源形狀進入鏡片而放大的情況；而如果讓眼睛移到壬處，看丙乙照出的丑處物體卻並不變小，這對於透視的常理來說是否講不通呢？ 答：沒有講不通。物體在丑處形體小，所以丑處物形進入寅時看起來覺得大。看起來覺得大，但它在丙乙處其實是小的。物形進入丙乙呈現放大的像，因此在壬處進入眼睛的影像必定是小的。影像是小的，看起來在丑處覺得是大的。（圖58） 也許有人會問：按透視的常理，眼睛的兩條目線必然根據物體的大小而發散或會聚。如果物體小到如丙丁所示，位置不越出交點戊，形成丑丙、丑丁兩條線，對於甲戊、乙戊自然是沒有阻礙，於是看物體是清楚的了。但如果物體大到如己庚所示，豈不形成丑己、丑庚兩條線，因而穿過辛點和壬點，被甲戊、乙戊兩條鏡光線阻礙了嗎？（圖59） 答：把鏡光線說成上下二線，是一種省略。「原線」第六條。它的左右兩邊就有觜戊、畢戊兩條線。不僅如此，從圓周來說，參到柳不止一度，從半徑來說，金到火不止一圈，每度一條線，就已經有三萬二千四百條，全都會聚在戊點，它的能力有多大呢？（圖60） 現在來看斗虛線在牛點穿過室戊線，從斗到牛，鏡線自然很多，從斜著穿過來說，則光線的頭所觸碰的，也就是一條線穿過一條線而已，怎麼能和戊點的幾萬條線同日而語呢？何況物體在戊處，它自然順著照射到斗處，不煩勞眼力。（圖61）如果物體越出交點位於胃昴，它將順著鏡光線顛倒入射到丙乙，而眼睛在奎處，要是為了看鏡面婁映照的胃昴，還得發出婁胃、婁昴兩條線，穿過戊去看物體，豈不太難？（圖62） 又問：如果物體大如柳星所示，那麼穿過金點和石點，應該屬於一條線穿一條線了，但模糊仍在所難免，這是為什麼？ 又答：婁柳、婁星兩條線，只是用上下兩個邊界來概括，其中的各條線，比如婁絲，數量也是幾萬，怎麼可能越過交點戊啊？（圖63） 二十四 凸鏡為老目視近而設也，雖屬次光明，然視物能大，故有不合度之昏，無不合目之昏，可作顯微之用也。 解曰： 不合度之昏者，物出順收限外，雖老人用淺凸不可也。無不合目之昏者，物在順收限內，雖短視人用深凸亦可也。顯微之用，該乎眾矣。 【譯文】 凸透鏡是為老花眼看近處而配備的，雖然屬於次光明，但看物體能放大，所以有度數不合適的模糊，沒有不適合眼睛的模糊，可以用來做放大鏡。 解： 所謂度數不合適的模糊，是指物體處於順收限之外，即使老年人用淺度凸透鏡也不行。所謂沒有不適合眼睛的模糊，是指物體處於順收限之內，即使近視眼用深度凸透鏡也行。放大鏡的用途，是囊括很廣的。 二十五 凸能大物，故凸鏡與平鏡其徑等，其所照之地必狹，而平鏡所能見之處不見矣。然引目離遠，至物倒復小，必能見平鏡所不見之地，而斜攝入目矣。圓理五。 【譯文】 凸透鏡能放大物形，所以凸透鏡和平板透明體的直徑相等時，映照出的範圍一定較窄，於是平板透明體能呈現的某些地方就看不見了。但如果使眼睛［與鏡片］拉開較遠距離，直至物像顛倒並重又變小，一定能呈現出平板透明體所不能呈現的某些地方，把它們斜著攝取到眼睛裡。「圓理」第五條。 二十六 凸離目愈遠，視物愈大，過遠復小而倒，是上下左右皆倒而位互易矣。然上下側之，是上下有近遠，而左右等也；若左右側之，是左右有近遠，而上下等也。夫相等則有定，遠則大，過則倒而小，於是乎物形正而方者，能使或闊或狹而左右反也；物形方而順者，能使或長或短而上下倒也。（圖64） 圖64 【譯文】 凸透鏡離開眼睛越遠，透過它看物體顯得越大，太遠則重又變小並顛倒，而且是上下左右都顛倒而互換方位。但是使它上下偏側，那就上下出現遠近差異，左右卻［與原來］相同；如果使它左右偏側，那就左右出現遠近差異，上下卻［與原來］相同。相同則不變，遠則變大，太遠則顛倒並變小，因此，對於正方形，可以使它變寬或變窄並左右互換；對於正立的方形，可以使它變長或變短並上下顛倒。（圖64） 二十七 欲制凸鏡，淺者取材必大，深者取材必小，否則不易作。 解曰： 玻璃徑寸余者，淺凸之順收限四尺，則面幾如平矣；深凸之順收限四寸，則厚須二分矣。依顯，欲淺而小，欲深而大，皆不易作。今約之，限一丈者徑必五寸以上，限一寸者徑必六分以下。 一系： 水晶頂〔1〕，其凸即球，然剖而平其一面，亦不可以作鏡用，緣其體不正圓，光亦不足也。蓋制凸之法，必先制凹器，以之旋轉，乃能中度。今造眼鏡者用破釜，取其凹也。然凹有定而凸無定，猶未免恃目巧矣。若頂之凸為最深，則專以意為之，其出光〔2〕工力亦不甚足，以所重不在此也，火鏡〔3〕亦然。此業鏡者俞姓雲。 【注釋】 〔1〕水晶頂：水晶製作的禮帽頂子。清制，五品官禮帽用水晶頂。 〔2〕出光：拋光，通過摩擦使物體（常為金屬器具）表面光滑發亮的工藝程序。 〔3〕火鏡：取火鏡，雖為凸透鏡或凹面鏡，因不用於成像，製作上可以不太講究精確。 【譯文】 要製作凸透鏡，度數淺的取材必須大，度數深的取材必須小，否則不容易製作。 解： 當玻璃的直徑有一寸來長時，如果淺度凸透鏡的順收限是4尺，那麼表面差不多是平的了；如果深度凸透鏡的順收限是4寸，那麼厚度就得有2分。顯然，想要度數淺而［面積］小，想要度數深而［面積］大，都不容易製作。現在估計一下，順收限為1丈的，直徑必須在5寸以上，順收限為1寸的，直徑必須在6分以下。 一系： 水晶頂，它的凸起部分就是球，但把它剖開並把一面做平，也不能當成鏡片來用，因為它的形狀不是正圓，光亮也不夠。製作凸透鏡的方法，必須先製作凹面容器，用來旋轉研磨，才能合乎標準。現今製作眼鏡的人採用破釜，就是因為它是凹的。但是凹面是確定的，凸面卻沒用定型，未免依賴眼力的巧妙。如果說水晶頂的凸球是度數最深的，那是刻意為之，它的拋光也做工不足，因為［製作意圖］並不重在［用作透鏡］。取火鏡也是如此。以上是一位姓俞的眼鏡經營者說的。 二十八 不通光凹與通光凸同理，雖圓在形外，而背之所襯得實地，如單凸之平向光，究與凹異，故用與凸同。 【譯文】 不透明的凹鏡與透明的凸鏡同理，雖然球弧在球形之外，但背面的襯托形成實際的質地，如同單凸透鏡的平面對著光，畢竟與凹面有區別，所以作用與凸透鏡相同。